Voorbeeld: Kruislings vermenigvuldigen: 6.0 Voorkennis

6.0 Voorkennis

A C AD BC

B D  

 

 

 

  



50 10 1

50 10( 1) 50 10 10

10 60 6

x

x x x x

Kruislings vermenigvuldigen:

Voorbeeld:

6.0 Voorkennis

Herhaling van rekenregels voor machten:

 

[1] [2]

[3] ( ) [4]

p q p q p p q

q

p q pq p p p

a a a a a

a

a a ab a b

 

  

 

0

1

1 0[5] 1 [6]

[7] [8]

p

p p

q q p

q q

a als a a

a

a a a a

   

 

Voorbeeld 1:

Schrijf als macht van a:

Voorbeeld 2:

Schrijf zonder negatieve exponenten:

³  ⁸ ³   ^{8 3}  ⁵ 8

1 :a a :a a a

a

     

 

   

 

 

3

3 3

3

3 1 1 243 243

7 3 27 243 27

7 243

a a a a

6.1 Kwadratische formules [1]

Voorbeeld 1:

Teken de grafiek van y = x² - 3x – 2;

Stap 1:

Vul bij de GR de formule in:

Y= | Y1= X^2 – 3X -2 Stap 2:

Maak een tabel met de GR:

3 Willem-Jan van der Zanden

x -1 0 1 2 3 4

y 2 -2 -4 -4 -2 2

6.1 Kwadratische formules [1]

• Dit is de grafiek van de tweedegraadsfunctie / kwadratische functie:

y = x² - 3x - 2;

• De functie heeft een top (minimum) in het punt (1,5; -4,25); Dit is te berekenen met de optie MINIMUM op de GR;

• De grafiek van deze functie is een dalparabool.

Stap 3:

Teken de grafiek van y = x² - 3x – 2;

6.1 Kwadratische formules [2]

5

Voorbeeld:

Een grasveld heeft de vorm van een rechthoekige driehoek met twee zijden van 20. Er wordt een rechthoekig terras op aangelegd met breedte x.

Stel de formule op van de oppervlakte van dit terras en bereken de maximale oppervlakte van het terras.

Alle hoeken in de figuur zijn 45˚ of 90˚.

Dat betekent dat alle driehoeken gelijkbenig zijn.

De lengtes zijn daarom zoals in de figuur hiernaast.

Oppervlakte terras is x ⋅ (20 - x) = 20x - x² Voer in Y1 = 20X – X^2

De optie MAXIMUM geeft x = 10 en Y = 100

Het terras kan een maximale oppervlakte van 100 m² hebben.

Willem-Jan van der Zanden

6.2 Grafieken veranderen [1]

• Machtsfunctie f(x) = axⁿ met a > 0 en n even.

• Deze functie heeft een minimum als extreme waarde.

6.2 Grafieken veranderen [1]

• Machtsfunctie f(x) = axⁿ met a < 0 en n even.

• Deze functie heeft een maximum als extreme waarde.

• Deze functie is symmetrisch in de lijn x = 0.

6.2 Grafieken veranderen [1]

• Machtsfunctie f(x) = axⁿ met a > 0 en n oneven.

• Deze functie heeft geen extreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0)

6.2 Grafieken veranderen [1]

• Machtsfunctie f(x) = axⁿ met a < 0 en n oneven.

• Deze functie heeft geen extreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0)

6.2 Grafieken veranderen [1]

• De zwarte grafiek is f(x) = 0,5x²

• De rode grafiek is g(x) = 0,5(x + 2)² dus een verschuiving van (-2,0) van f(x)

• De groene grafiek is h(x) = 0,5(x + 2)² – 3 dus een verschuiving van (0,-3) van g(x).

• De rode en groene grafieken zijn beeldgrafieken.

6.2 Grafieken veranderen [2]

• De zwarte grafiek is f(x) = 0,5x² met minimum (0,0);

• De rode grafiek is g(x) = 0,5(x + 2)² dus een verschuiving van (-2,0) van f(x) Het minimum verschuift nu ook 2 naar links en wordt (-2,0)

• De groene grafiek is h(x) = 0,5(x + 2)² – 3 dus een verschuiving van (0,-3) van g(x) Het minimum verschuift nu ook 3 naar beneden en wordt (-2, -3)

6.2 Grafieken veranderen [3]

• De zwarte grafiek is f(x) = x²;

• De rode grafiek is g(x) = 0,5x². Dit is de grafiek van f(x) vermenigvuldigd

t.o.v. de x-as met factor 0,5. Er is nu een herschaling in verticale richting met factor 0,5.

• Het punt (1,1) op de zwarte grafiek wordt (1; 0,5) op de rode grafiek;

• Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2,2) op de rode grafiek.

6.2 Grafieken veranderen [3]

• De zwarte grafiek is f(x) = x²;

• De rode grafiek is g(x) = -0,5x². Dit is de grafiek van f(x) vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor -0,5. Er is nu een herschaling in verticale richting met factor -0,5.

• Het punt (1,1) op de zwarte grafiek wordt (1; -0,5) op de rode grafiek;

• Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2, -2) op de rode grafiek.

6.2 Grafieken veranderen [3]

• De zwarte grafiek is f(x) = 0,25x² met top (0,0);

• De rode grafiek is g(x) = 0,25(x - 2)²-3 met top (2, -3). Dit is de grafiek van f(x) die 2 naar rechts en 3 naar beneden is verschoven;

• De groene grafiek is h(x) = -2(0,25(x - 2)² – 3)) = -0,5(x-2)² + 6 met top

(2, -6). Dit is de grafiek van g(x) die vermenigvuldigd is met -2 t.o.v. de x-as.

6.3 Rekenen met machten en wortels [1]

• Bij een even exponent n geldt:

• De functie xⁿ = p heeft twee oplossingen als p > 0:

• De functie xⁿ = p heeft één oplossing als p = 0. De oplossing is gelijk aan 0.

• De functie xⁿ = p heeft geen oplossingen als p < 0,

n p en pn



6.3 Rekenen met machten en wortels [1]

• Bij een oneven exponent n geldt:

• De functie xⁿ = p heeft altijd één oplossing: ⁿ p

6.3 Rekenen met machten en wortels [1]

Voorbeeld 1:

x² = 9

x = √9 ˅ x = -√9 x = 3 ˅ x = -3

Voorbeeld 2:

x⁴ = -81

Geen oplossingen.

Voorbeeld 3:

x³ = 27

x = = 3

Voorbeeld 4:

x³ = -27

x = = -3

Let op: Wortels die mooi uitkomen, moet je altijd herleiden.

3 27



3 27

6.3 Rekenen met machten en wortels [1]

Voorbeeld 5:

Los de volgende vergelijking op en geef het antwoord in twee decimalen Nauwkeurig:

8x⁶ + 20 = 92 [Alle losse getallen naar rechts]

8x⁶ = 72 [Zorg dat er geen getal meer voor de x staat]

x⁶ = 12

x = ˅ x = -

x ≈ 1,51 ∨ x ≈ - 1,51 Op de GR:

• Typ 6 in op je GR;

• MATH | 5: ^x√ |ENTER |12 | ENTER

6

12

12

6.3 Rekenen met machten en wortels [2]

19 Willem-Jan van der Zanden

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2:

Let op: Als de exponent een niet-geheel getal is, geef je enkel de positieve oplossing van x.

Links en rechts tot de macht

 





 

1,60

1 1

1,60 1,60 1,60

1 1,60

9

9 9 3,95 x

x x

 





 

  

1,65 1,65 1,65

1 1,65

5 9 30

5 39

39 5

39 3,47 5

x x x

x

Links en rechts tot de macht

1,601

1,651

6.3 Rekenen met machten en wortels [3]

  

 

 

 

 





2

2 3 9 6 12 2 3 9 6

3 9 3 3 9 3 3 9 9 3 18

6 . .

x x x x x x x o k

Voorbeeld:

Los op: 2 3x   9 6 12

Let op:

• Neem pas het kwadraat als “links” enkel een wortel staat (Wortel vrijmaken);

• Controleer bij wortelvergelijkingen altijd de oplossing(en).

6.3 Rekenen met machten en wortels [4]

De volgende regel geldt:

Uit √A = B volgt A = B² voor B ≥ 0.

Voorbeeld 1:

Maak x vrij bij:

 

 

 

 

 

 

2

2

2

1 2 4

2 6

2 6

4( 6) 4 24

4 24

6

y x

x y

x y

x y

x y

x y

Gebruik: Uit √A = B volgt A = B²

2 6

y x

6.3 Rekenen met machten en wortels [4]

Voorbeeld 2:

Maak x vrij bij K =16(x – 2)² met x ≥ 2.

 

 

 

 

 

 

2

2

2 1

16 161

14

14

16( 2) 16( 2) ( 2)

2 2 2

K x

x K

x K

x K

x K

x K

14

2

x    K kan niet, want x ≥ 2.

6.3 Rekenen met machten en wortels [4]

Voorbeeld 3:

Schrijf y = 3x^2,3 in de vorm x = ayⁿ.

 

   











2,3

2,3 1 3

1 1 2,3 3

1 1

1 2,3 2,3 3

0,43

3

0,62

x y

x y

x y

x y

x y

Delen door het getal voor x.

Gebruik:

Gebruik:

1

n n n

x   a x a a

( )ab ^p a b^{p p} [4]

6.3 Rekenen met machten en wortels [4]

Voorbeeld 4:

Schrijf y = 0,5 · - 7 in de vorm x = …. ³ x

  

  

 

 

3 3 3

3

0,5 7

0,5 7

2 14 (2 14)

x y

x y

x y

x y

Losse getallen naar rechts

Delen door het getal voor de wortel Links en rechts tot de macht 3 nemen.

6.4 Gebroken formules [1]

De formules en zijn gebroken formules.

Bij een gebroken formule staat de variabele in de noemer van de breuk.

Voorbeeld 1:

y 1

 x 3 ⁵

y 3

  x



5 3

2 1

5 3 2 1

5 6 3

3 3

 

   

 

  



( )

x x

x x

x x x

x

Hiernaast is een gebroken vergelijking opgelost.

Dit oplossen kan door kruislings vermenigvuldigen.

Algemeen: A C

geeft AD BC

B D 

6.4 Gebroken formules [1]

Voorbeeld 2:

8 1

6 3

5 3

2 1

5 3

2 1 1

5 1 3 2 1 5 6 3

6 8

1

 

 

   

 

  

 

( )

x x

x x

x x

Met deze tussenstap kun je gebruik maken van kruislings vermenigvuldigen.

De regel kan ook gebruikt worden. ^A C geeft A BC

B  

6.4 Gebroken formules [2]

Er zijn verschillende soorten breuken, die je tot één breuk kunt herleiden

1)

2)

3)

4)

5) Want delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde.

A C A D C B AD BC B D B D D B BC

      

B C B AC B AC B

A A

C C C C C C

       

A C AC B D BD  A B AB

C C

 

A C AC B A B B C

  

  

 

6.4 Gebroken formules [2]

Voorbeeld 1:

Vereenvoudig

Voorbeeld 2:

Schrijf zonder breuk in de noemer

        

 

 

3 5 6 15 6 15 6 15

2 x x

x x x x x x x

 

     

  

 

  

 

4 1 4 ( 1)

4 1

1 1 1

1

x x x x

y x x

x x x

x

6.4 Gebroken formules [2]

Voorbeeld 3:

Schrijf zonder breuk in de noemer

    

  

      

 

2 2 2 2

2

600 600 3 1800 1800

5 5 3 15 3 15

3 3 3

a a b ab ab

T b a b a b b a b b a

b b b

en b ≠ 0

6.4 Gebroken formules [3]

Bij breuken geldt de volgende regel:

Je mag B en C dus verwisselen. (Wisseleigenschap) Voorbeeld 1:

Schrijf als functie van A 1

A A C A

C A BC B

B     B  C

  

  

  

 

 6 500

5 6 500

5 5 500

6 500 5

6

A B

A B

B A

B A

6.4 Gebroken formules [3]

Voorbeeld 2:

Schrijf als functie van A

 



  

  

   

   

  

 6 5

6 ( 5)

6 5

6 5 (1 ) 6 5

6 5 1 A B

B

B A B

B AB A

B AB A

B A A

B A

A

Kruislings vermenigvuldigen

6.5 Formules met machten [1]

Definitie:

P en Q zijn evenredig als er een getal a (coëfficiënt) bestaat zodanig dat P = aQ

y en xⁿ zijn dus evenredig als er een getal a bestaat zodanig dat y = axⁿ Voorbeeld:

De grafiek y = ax^0,87 gaat door het punt P(20, 150) Bereken a in twee decimalen nauwkeurig:

y = ax^0,87

150 = a · 20^0,87 150 = a · 13,54…

a = ≈ 11,07 _13,54...¹⁵⁰