1) Korte herhaling

Oefeningen analytische meetkunde

1) Korte herhaling

1. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door:

 

'

2

P Q Q P

Q

 

^.

2. De cirkel

c  x

²

 y

²

 2 x  4 y   2 0

wordt gespiegeld om de rechte

r

 

x 2 y

 

2 0

.

Bepaal de vergelijking van dit spiegelbeeld.

2) Kegelsneden (in basisvorm) a) De parabool

1. Van een parabool zijn een punt, de symmetrieas en de topraaklijn gegeven. Construeer het brandpunt en de richtlijn.

2. De raaklijnen

t

A en

t

_B in twee verschillende punten A en B van een parabool snijden elkaar in

S

. Als M het midden is van

  ^AB

, bewijs dan dat

MS

evenwijdig is met de as van de parabool.

b) De ellips

1. A en A' zijn de toppen op de grote as van de ellips E . Neem een willekeurig punt P  E dat geen top is. De topraaklijn in A ^snijdt PA' ⁱⁿ R en de raaklijn aan P ⁱⁿ

S

. Bewijs dat

S

het midden is van

  ^AR

^.

2. Een willekeurige raaklijn aan een ellips E met brandpunten

F

₁ en

F

₂ snijdt de topraaklijnen in de toppen van de grote as in P en

Q

.

a) Bewijs dat

PF

1 

QF

1 en

PF

₂ 

QF

₂.

b) Toon aan dat hieruit volgt dat de brandpunten op de cirkel liggen met als middellijn

  ^PQ

^.

3. Gegeven is de ellips

2 2

2 2

1

x y a b

  

E

. Bewijs dat de oppervlakte van het vierkant omgeschreven aan E _waarvan de diagonalen symmetrieassen zijn van E gelijk is aan ^{2 a}



^2b2



^.

c) De hyperbool

1. Punt P ligt op de hyperbool

2 2

2 2

1

x y a b

  

H

met toppen T₁ en T₂. Bewijs dat het product van de richtingscoëffiënten van PT₁ en PT₂ een constante is.

2. Op een hyperbool

H

neem je twee punten P₁ en P₂ die symmetrisch gelegen zijn ten opzichte van het middelpunt

O

van

H

. De raaklijnen in deze punten snijden de asymptoten s₁ en s₂ in een parallellogram dat dezelfde oppervlakte heeft als de assenrechthoek van

H

. Bewijs dit!

3) Homogene coördinaten – het projectieve vlak

1. Geef een stel homogene coördinaten van de punten met als koppel cartesische coördinaten:

  ^1,1

A ^B   ^{0, 0 C}   ^{3, 0 D}   ^{0,5 E}   ^{5, 7}

2. Geef het koppel cartesische coördinaten van de punten met als stel homogene coördinaten:

 ^{3, 2, 2} 

A

^B  ^{3, 0, 3 }  ^C  ^{0, 0, 7}  ^D  ^{18, 18,36 } 

^{0, 2,1}

E 2

 

 

3. Geef een stel coördinaten van het punt P op oneindig van de volgende rechten:

a) Met als vergelijking:

a x y b3x2y 6 0 c5y 7 0

d  2 x   3 0

b) Met richtingscoëfficiënt

m   3

c) Die gaat door de punten

P

1

  3, 2

en

P

2

  1, 4

d) Die gaat door de punten

P

₁

 2, 3, 2  

en

P

₂

 6, 3,3  

4. Bewijs dat de volgende punten collineair zijn:

a)

P

1

 2, 3, 2 

,

P

2

  1, 2, 3  

^en

P

3

 7, 0,13 

b)

P x y

₁



₁

,

₁

,1 

,

P x y

₂



₂

,

₂

,1 

en

P x

₃



₁

 x

₂

, y

₁

 y

₂

, 0 

5. Geef de homogene vergelijking van de rechte P P1 2: a)

P

1

 1, 2, 3  

^en

P

2

 2, 1, 4  

b)

P

₁

 0,3,1 

en

P

₂

 4, 0, 0 

6. Gegeven zijn de punten

P

1

 2,1, 2 

en

P

2

  1, 3,3 

a) Geef een stelsel parametervergelijkingen van P P1 2 met twee homogene parameters.

b) Het punt

P

3

 10, 9, 6   

behoort tot P P_{1 2}. Vind de waarden van de bijhorende parameters in dat geval.

c) Geef een stel homogene coördinaten van het punt op oneindig van P P1 2. d) Geef een stel homogene coördinaten van het midden van

 PP

1 2



. e) Vind een homogene vergelijking van P P1 2.

7. Bepaal een stel homogene coördinaten van het snijpunt

S

van de rechten d₁ en d₂: a) d13x4y z 0 en d₂   x y 2z0

b) d13x4y z 0 en d₂ 6x8y z 0

8. Gegeven zijn

P

₁

 1, 1,3  

en

P

₂

 2,1, 4 

. Geef een stel homogene coördinaten van P zodat

PP

₂

  2 PP

₁. 9. Gegeven zijn de rechten d1  x y 2z0 en d₂ 3x2y z 0

a) Geef de vergelijking van de rechtenbundel met d1 en d₂ als basisexemplaren.

b) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het punt

^P  ^{2,1, 2} 

^gaat.

c) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het oneigenlijke punt

Q  2,1, 0 

gaat.

d) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met d3 3x2y4z0. e) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met de y-as.

10. Stel de vergelijking op van de rechtenbundel die door het punt gaat:

a) de oorsprong

^O   ^{0, 0}

b) het punt

^P   ^2,3

c) het punt

^P  ^{2,1, 0} 

11. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten

C  5   , 0 

en

D  0, 2   

, waarbij



de reële getallen doorloopt. Bewijs dat de middelloodlijn van

  ^CD

door een vast punt gaat.

12. Bepaal de homogene vergelijking van de kromme

K

waarvan je de cartesische vergelijking krijgt. Bepaal, als ze bestaan, een stel homogene coördinaten van de punten op oneindig van

K

_.

a) Kx²y² a² _b) Kx²y² r² _c) Kx²y²2x3y0 d) K4x²9y²  x 5 0 e) Kx³y³ xy f) ^K



^x2y2



^{2 1 0}

13. Gegeven is de kromme K2x²3xyky²2x3y 7 0_.

Voor welke waarde van

k  ℝ

^heeft

K

twee samenvallende punten op oneindig?

14. De rechte d 5x4y5z0 wordt ook gegeven door het stelsel parametervergelijkingen:

5 5 5 1 5

x h

y h

z h

  

   

   



.

Gebruik deze parametervoorstelling om de snijpunten van

d

met de parabool Py² 5xz te vinden.

Waarom vind je op deze manier niet het snijpunt

^Q  ^{1, 5,5} 

^?

4) Imaginaire punten en rechten

1. Toon aan dat de rechte

^{r }  ^{2 4  i x}  ^{  }  ^{3 6 i y}  ^{   4 8 i 0}

geen imaginaire rechte is.

2. Zijn de volgende puntenparen toegevoegd imaginair?

a)

^P

₁

   ^{1 2 ,1 i}  ^{i i ,} 

^en

^P

₂

 ^{1 3 , 2,1}  ⁱ  ⁱ 

^b)

^P

₁

 ¹  ^{i i , 2 ,1}  ⁱ 

^en

^P

₂

 ¹  ^{i , 2,1}  ⁱ 

3. Door het punt

^A   ^{3, 2}

brengen we een imaginaire rechte

a

^{aan die} b   x y 1 0 snijdt. Is het snijpunt reëel of imaginair?

4. Bepaal het reële punt dat gelegen is op de imaginaire rechte met vergelijking:

a) a2ix  y 3i 0 b)

^{b  }  ^{1 i x}  ^{ }  ^{1 i y}  ^{ 6 z  0}

^c)

^{c }  ^{3  i x}   ^{ 6 2  i y iz}  ^{  0}

5. Bewijs: als een reële rechte door een imaginair punt gaat, dan gaat ze ook door het toegevoegde punt.

6. Stel de vergelijking op van de reële rechte die door het punt

^P  ^{2  i ,3  i ,1} 

^gaat.

7. Als twee imaginaire rechten elkaar in een reëel punt snijden, zijn de rechten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair? Wat is de duale betekenis hiervan?

8. a) Hoeveel imaginaire punten liggen er op een reële rechte?

b) Hoeveel reële punten liggen er op een imaginaire rechte?

c) Hoeveel imaginaire rechten gaan er door een reëel punt?

d) Hoeveel reële rechten gaan er door een imaginair punt?

9. Het midden van twee imaginaire punten

^{P x y} 

₁

^,

₁



^en

^{Q x y} 

₂

^,

₂



definiëren we ook als ^{1 2}; ^{1 2}

2 2

x x y y

M   

 

 ^.

a) Bepaal het midden van

^P  ^{1  i , 2  i} 

^en

^Q  ^{5 3 , 7  i i} 

b) Bepaal het midden van

^P  ^{2, , 2 i} 

^en

^Q  ^{ 2,1, i} 

c) Bewijs dat het midden van een toegevoegd imaginair puntenpaar reëel is.

d) Als het midden van een imaginair puntenpaar reëel is, zijn de punten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair?

10. Bepaal de snijpunten van de rechte

d

met de parabool

P

:

a) d  y ix en Py² 2x b) d x 2iy 1 0 en P y² x 11. Bewijs dat (in een georthonormeerd assenstelsel) elke cirkel door de isotrope punten gaat.

5) Coördinatentransformaties

1. Bij een affiene coördinatentransformatie worden de coördinaten van de nieuwe basis gegeven door

^{O ' 2,1,1}  

^,

 

1

8,3,1

E

en

^E

₂

 ^0,1,1 

^.

a) Stel de matrix M van deze coördinatentransformatie op.

b) Bepaal een stel coördinaten t.o.v.

 ^{x y ,} 

als t.o.v.

 ^{x y ', '} 

geldt dat

^P  ^{6, 2,1} 

^en

^{Q  }  ^{1, 4, 0} 

^.

c) Bepaal een stel coördinaten t.o.v.

 ^{x y ', '} 

als t.o.v.

 ^{x y ,} 

geldt dat

^P  ^{1,1, 0} 

^en

^{Q }  ^2,3,1 

^.

d) Bepaal de vergelijking van

d

t.o.v.

 ^{x y ', '} 

als t.o.v.

 ^{x y ,} 

geldt dat d  x 3y2z0. 2. Een verschuiving van het assenstelsel

 ^{x y ,} 

brengt de nieuwe oorsprong in het punt

^{O ' 3, 2}  ^ 

^.

a) Bepaal een stel coördinaten t.o.v.

 ^{x y ', '} 

als t.o.v.

 ^{x y ,} 

geldt dat

^P  ^{1, 4, 0} 

^en

^{Q }  ^2,3,1 

^.

b) Bepaal de vergelijking van

K

t.o.v.

 ^{x y ', '} 

als t.o.v.

 ^{x y ,} 

geldt dat Kx²2y²6x8y160. 3. Men voert een draaiing uit van het assenstelsel met hoek



Bgtan 2. Bepaal de vergelijking van

K

t.o.v. dit

nieuwe assenstelsel als t.o.v. het oude geldt dat K3x²8xy3y²10x20y0.

4. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel

 ^{x y ,} 

geldt dat Kxy1. Voer nu een draaiing uit van het assenstelsel over een hoek

   4

. Wat wordt dan de vergelijking van

K

? Welke soort kromme is

K

?

6) Kegelsneden

1. Bepaal de componenten van de ontaarde krommen waarvan je de vergelijking krijgt in cartesische coördinaten:

2 2

1  x 5xy4y 0

K ^{3 2}

2

 4 y  4 y  x y

K

K3



x²y²



²3



x²y²



 2 0 2. De volgende krommen zijn ontaard in twee toegevoegd imaginaire rechten. Geef telkens hun vergelijking:

2 2

1  x 4y 0

K ^{2 2}

2

 x  2 xy  y  2 x  2 y   5 0

K

^{2 2}

3

 x  y  4 x  6 y  13  0 K

3. Bewijs dat een affiene kegelsnede die door de isotrope punten gaat een cirkel is.

4. Bepaal voor de volgende vergelijkingen van de tweede graad de matrix

C

en de determinanten  ^en



^:

a) x²4y²z² yz4xy0 b) x²7xy6y² 4

5. Je krijgt ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel de kwadratische vergelijking gegeven van enkele rechtenparen door de oorsprong.

a) Bepaal de aard van dit rechtenpaar.

b) Staan de componenten loodrecht op elkaar?

c) Geef de vergelijkingen van de componenten.

2 2

16x 5xy6y 0 K

2 2

2

 x  4 xy  4 y  0 K

2 2

3

 2 x  2 xy  2 y  0 K

6. Van welk rechtenpaar is de volgende vergelijking de algemene vergelijking?



0



² 2 "



0



0



'



0



² 0

a x x b x x y y a y y

       

K _{, met}

^  ^{a  b "  a '  0} 

7. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvan de componenten d1 en d₂ zijn gegeven:

a) d₁   x y 1 0 en d₂ 2x  y 3 0 b)

d

1

  x  2  i y    1 0

^en

d

2

  x  2  i y    1 0

^. 8. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvoor geldt:

a)

D  2,3,1 

is een dubbelpunt en

P

₁

 1,1, 0 

en

P

₂

 5,0,1 

liggen op de kegelsnede

b)

^D  ^{3, 2,1} 

is een dubbelpunt en de componenten zijn evenwijdig met het rechtenpaar K7x²xy0.

9. Bewijs dat de volgende kegelsneden ontaard zijn. Bepaal de aard van hun componenten. Bepaal de vergelijking van hun componenten. Bepaal hun dubbelpunt en hun punten op oneindig.

a) Kxy3y²2x8y 4 0 b) K2x²5xy3y²9x8y 5 0 c) K4x²12xy9y²24x36y360 d) K49x²14xyy²28x4y290

10. Bepaal de parameters



en



in de vergelijkingen van de kegelsneden opdat aan de voorwaarde wordt voldaan.

a) ^K

^

^x2

 ^

^{2 2}



^y2

^

^{x 1 0}

^K

is ontaard en bevat precies één reëel eigenlijk punt.

b) K4x²2xy



y²2



x4y 3 0

K

is ontaard in twee evenwijdige componenten.

c) ^K

 ^

^21



^{x2z2 }

 ^{ }

^{ 1}



^yz

 ^

^1



^zx2

^

^xy0

^K

is niet-affien.

11. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel wordt de vergelijking van een affiene kegelsnede gegeven.

Bepaal de aard, stel een gereduceerde vergelijking op, en maak een schets van de bijhorende kromme.

a) Kx²xyy²15y600

b) K9x²24xy16y²2x6y 5 0 c) K6x²4xy9y²4x32y 6 0 d) K16x² 24xy9y²46x28y1060 e) K xy2x4y0

12. Bewijs dat deze vergelijking een imaginaire kegelsnede voorstelt: Kx² y²z²yzzxxy0 13. Bespreek de aard van de kegelsneden in functie van de parameter



^:

a) K



x²2xy



y²2x2y 3 0 b) K2x²2



xy



y²2



x4y  



2 0 c) ^K

^

^x2

 ^

^{2 2}



^y2

^

^{x 1 0}

7) Meetkundige plaatsen

1. Voor een driehoek

ABC

zijn de punten A en B vast en is

C

een veranderlijk punt. Bepaal de meetkundige plaats van het punt

C

zodat het product van de zijden

AC

en

BC

gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk uit

C

.

2. Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van een gelijkzijdige driehoek constant is.

3. Gegeven is een parallellogram

ABCD

en een veranderlijk punt P. De evenwijdige met

BC

door P snijdt AB in Q en de evenwijdige met AB door P snijdt

BC

in R. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat QR//AC.

4. Een veranderlijke rechte

d

met vaste richting snijdt de assen van een georthonormeerd assenstelsel met oorsprong

O

in A en B. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van

 OAB

^.

5. Gegeven is een driehoek

ABC

en een veranderlijk punt P. Men trekt in P de loodlijn in A op PA, in B op PB en in

C

op

PC

. Bepaal de meetkundige plaats van P zodat deze drie loodlijnen concurrent zijn.

6. Gegeven zijn twee rechten

x

^en y, met x y. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de cirkels die van

x

een lijnstuk van lengte

2a

^{en van} y een lijnstuk van lengte

2b

afsnijden.

7. Door een vast punt A brengt men een veranderlijke rechte

d

aan en door een vast punt B brengt men een rechte

e

aan die loodrecht staat op

d

. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

d

en

e

^.

8. Ten opzichte van een georthonormeerd zijn gegeven

^A  ^{2, 2} 

^en

^B  ^{2, 2 } 

^{. Op de y}-as neem je een veranderlijk punt

C

. Bepaal de meetkundige plaats van het hoogtepunt van de driehoek

 ABC

.

9. Ten opzichte van een assenstelsel zijn de vaste punten

^{A a}  ^{, 0} 

^en

^B  ^{ a , 0} 

gegeven, met

a  0

^{. Op de} y^-as liggen de punten

C

en D zodat

OC   3 OD

. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

AC

^en BD. 10. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten

^A   ^{0, 4}

^en

^B   ^{2, 0}

^{. Een}

veranderlijke loodlijn op AB snijdt de

x

-as in

C

^{en de} y-as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

AC

^en BD.

11. De driehoek

 ABC

is rechthoekig in het vaste hoekpunt

C

. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste richting. Buiten de driehoek construeert men de vierkanten

CADE

^en

CBFG

. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AF en BD.

12. In een assenstelsel is een vast punt

^A  ^{4, 2} 

gegeven, waardoor men een veranderlijke rechte

d

aanbrengt die de y-as snijdt in B. De rechte die B verbindt met het midden van

  ^OA

snijdt de

x

-as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

d

en de evenwijdige met

OA

^door D.

13. Uit een veranderlijk punt D van een parabool

P

met top

O

laat men een loodlijn neer op de as van

P

. Door het voetpunt trekt men de rechte

a

evenwijdig met

OD

en door D trekt men de rechte

b

evenwijdig met de as van de parabool. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

a

^en

b

^.

14. Op de parabool P  y² 2px neem je twee veranderlijke punten

D x 

_D

, y

_D



^en

E x 

_E

, y

_E



waarvoor geldt dat y_D  2y_E. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de raaklijnen in D en E aan

P

.

15. De normaal in een veranderlijk punt van een ellips E snijdt de assen van deze ellips in de punten A ^en B^{. Bepaal} de meetkundige plaats van het midden van

  ^AB

^.

16. Neem een veranderlijk punt D op een ellips E _met A een top op de hoofdas en als symmetriemiddelpunt

O

^. Noem D' de loodrechte projectie van D op de nevenas van E . Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

OD

^en AD'.

17. Neem een veranderlijk punt D op een ellips E _met A een top op de hoofdas. Noem D' en D'' de spiegelbeelden van D om de assen van de ellips. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AD ^en

' '' D D .

(Je krijgt alternatieve vragen als je de ellips E in de opgaven 15, 16 en 17 verandert naar een hyperbool

H

) 18. Op een ellips E met lengten van de halve assen

3

^en

6

neem je een veranderlijk punt D. De normaal

n

ⁱⁿ D

snijdt de hoofdas van E _in E. Bepaal de meetkundige plaats van punt

P  n

waarvoor geldt dat

DP 2 EP  

. (We zeggen ook wel dat de deelverhouding van P ten opzichte van het koppel punten

 ^{D E ,} 

gelijk is aan 2.) 19. Door een veranderlijk punt D van een ellips E trekt men de loodlijn op de hoofdas die de grote hoofdcirkel

C

van de ellips snijdt in punt Q (met D aan dezelfde kant van de hoofdas). Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de normaal in D ^aan E en de normaal in Q aan

C

.

20. In een veranderlijk punt D van een gelijkzijdige hyperbool

H

trekt men de raaklijn t. Deze rechte snijdt de asymptoten van

H

in E en E'. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van

  ^DE

^en

 ^{DE '} 

^.

21. Een gelijkbenige driehoek

 ABC

is ingeschreven in een vaste cirkel, met A 30 en BC75. De hoekpunten A B, en

C

zijn veranderlijk. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van de driehoek.

22. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel neemt met de veranderlijke punten A op de

x

-as en B op de y^{-as zodat}

AB  L

een constante lengte is. Bepaal de meetkundige plaats van de loodrechte projectie van de oorsprong

O

op AB. We noemen deze kromme de klavervierkromme.