ENKELE VERBANDEN TUSSEN D IV ERSE FORM ULERING EN VAN HET MICRO-ECONOMISCH INPUT-OUTPUTMODEL
EN IMPLICATIES
door A. Limère
Inleiding
In h et decem bernum m er 1974 van h et M.A.B. verscheen van de hand van drs. C. van Halem een bijdrage genaam d: „B edrijfseconom ische betekenis van de in p u t-o u tp u tan aly se” . In d it artikel w o rd t op een deskundige wijze een ruim overzicht gegeven van de huidige stand van onderzoek naar de to e passingsmogelijkheden in de bedrijfseconom ie van het in p u t-o u tp u t m odel, d at in de m acro-econom ische theorie werd g eïntro du ceerd door W. L eontiev1). Er zijn hierbij voldoende argum enten voorhanden om de in p u t o utputanalyse op een nuttige wijze te transform eren to t een bedrijfs econom isch m odel voor com plexe p ro d u k tie stru ctu re n waarbij interde pendenties optreden. D at deze in p u t-o u tp u t benadering van de bedrijfs- huishouding meer en m eer aan bod ko m t, zowel in het theoretisch on d er zoek als in de praktijk, valt niet m eer te o n tkennen. V erscheidene publikaties over de laatste jaren in vakkundige tijdschriften en de reeds in diverse grote ondernem ingen ontw ikkelde toepassingen van deze theorie getuigen hier van2 ).
C. van Halem o n d erkent twee belangrijke form uleringen van het I.O.- m odel, nam elijk één die afgestem d is op planningsvraagstukken in de pro- duktiesfeer, een tweede voor het oplossen van kostenvraagstukken m et nam e de kostenallocatie en het berekenen van kostprijzen per eenheid. De band tussen de twee toepassingen w o rdt daarbij gelegd aan de hand van een num eriek voorbeeld.
Beide form uleringen verschillen echter essentieel van elkaar, in dit opzicht dat voor planningsvraagstukken een I.O.-m odel w o rd t gehanteerd geform u leerd in inpu tcoëfficiënten terw ijl voor de kostenallocatie gebruik w o rd t gem aakt van de o u tp u tco ëfficiën ten die kostenverdeelsleutels w orden ge n o em d 3 ). De elem enten van de transactiem atrix w orden in het eerste geval per kolom gedeeld do o r de overeenkom stige rijto talen w at ons in p u t coëfficiënten geeft die u itd ru k k en uit welke bestanddelen één eenheid van ieder pro d ukt is sam engesteld, terwijl in het tweede geval dezelfde elem enten rij voor rij w orden gedeeld do o r de rijto talen (gelijk aan de kolom totalen) w at ons o u tp u tco ëfficiën ten baart d.i. de pro po rtie w aarm ede de eenheid van ieder p ro d u k t w o rd t aangewend in de overige p ro d u k te n als tussenfabrikaten en in de eindvraag. Laatstgenoem de coëfficiënten zijn dan de m aa tsta f voor de kostenallocatie.
*) Leontiev W. W.: „The structure of the American Economy, 1919-1939” , Oxford University Press, 1951.
2) zie: bibliografie. Toepassingen van I.O.-analyse zijn o.a. bekend bij Western Electric Company, U.S.A., de Nederlandse Staatsmijnen, en Bell Telephone Manufacturing Company, België. In dit laatste geval gaat het om een toepassing op de kostenverbijzondering.
H et is mogelijk beide toepassingen uniform te form uleren in inputcoëffi- ciënten waarbij enerzijds op een wiskundige wijze h et verband w o rd t aange to o n d tussen het inp u t-o u tp u tm o d el in fysische term en en h et in p u t-o u tp u t m odel in m onetaire term en, en waarbij anderzijds de dualiteit tussen pro- d u k tiefun ctie en kostenfunctie in het daglicht w ordt gesteld. Hierbij w o rdt uitgegaan van de vaststelling dat de inputcoëfficiëntenm atrix in deze analyse de weergave is van een com plexe pro du k tiefunctie van de ondernem ing. K ostenallocatie kan direkt gebeuren aan de hand van de produktierelaties weergegeven do or deze m atrix zodat geen toevlucht dient gezocht to t alter natieve verdeelsleutels4 ).
De opzet van deze bijdrage is in een eerste gedeelte hogergenoem de ver banden aan te to nen en een verduidelijking te brengen van de consequenties ervan. In een tw eede deel w orden de gebruikte m atrices g eïnterpreteerd w at ons in staat zal stellen een m ultiplicatorw erking aan te tonen.
Een rekapitulatie: mathematische formulering van het 1.0.-model
V oor h e t form uleren van h et in p u t-ou tp utm o del w ordt uitgegaan van een transactiem atrix van de vorm afgebeeld in figuur 1.
INPUT n a a r 1 2 3 --- n __ v a n 1 E l i E l2 E l3 --- E ln V i Q i 2 E2I E22 E 23 --- V 2 q2 3 E31 E32 E33 --- V 3 q3 n E ni En2 En3 En,, V n Q n OUTPUT ... E l i F 12 F 13 --- F i n 0 q i E21 F 22 F 23 --- F 2n 0 q2 E m l Em2 F m3 F mn 0 q m figuur 1
4) In deze bijdrage wordt niet ingegaan op het probleem van het schatten van deze produktie relaties en bijgevolg van de input-coëfficiënten. Dit is een econometrisch probleem waarbij nog heel wat empirisch onderzoek kan geschieden.
Hierin stellen voor:
Ejj : de transacties in fysische eenheden van afdeling i aan afdeling j
Vj : de transacties van iedere afdeling i aan de finale vraag o f aan de voor raden ein dp ro d ukten
Qi : de totale k w an titeiten geproduceerd door afdeling i in de geëigende eenheden
Fy : de hoeveelheden prim aire inputs van soort i die van buiten de on der nem ing w orden geleverd aan afdeling j.
q ; : h et to taal aan prim aire inputs van kategorie i. n : aantal afdelingen.
m : aantal kategorieën van prim aire inputs.
Iedere afdeling produceert slechts één enkel pro dukt.
De input-coëfficiënten w orden bekom en do or Ey en Fy per kolom te delen door de overeenkom stige Qj.
c. . - 3 l
1J Qj
f.. = £ i
1J Qj (1)
Deze geven de inputs weer per eenheid p ro d u k t Qj en bijgevolg de sam en stelling van één eenheid p ro d u k t j.
[-^-] = [-f^ ] noem en we de in pu tco ëfficiën ten m atrix
F I;;
In de veronderstelling dat de input-coëfficiënten ko n stan t blijven voor ver schillende aktiviteitsniveau’s en er geen tussenvoorraden w orden aangelegd, k u nnen volgende stelsels w orden afgeleid uit de definities:
Stelsel (4) is een hom ogeen lineair stelsel in Q;. In m atrix n o tatie kunnen we nu (4) en (5) schrijven als
[I - E] [Q] = [V] (6)
[ F ] [ Q ] = [ q ] ( 7 )
Deze stelsels van vergelijkingen kenm erken volledig de pro d u k tiestru ctu u r van de ondernem ing en zijn alsdusdanig stelsels van produktiefuncties die de fysische sam enstelling in prim aire en interm ediaire inputs van ieder prod u kt van de ondernem ing kenm erken. De goederenstrom en in de bedrijfshuis- houding w orden weergegeven doo r de transactiem atrix uit figuur 1. De aldus geform uleerde relaties m aken h et mogelijk over te gaan to t planning, niet alleen van de p ro d u k tieq u o ta in iedere afdeling bij verschillende vraag- niveau’s, m aar tevens van de daarbij behorende prim aire inputs van iedere kategorie. H iervoor vermenigvuldigen we vergelijking (6) m et de inverse van de vierkante m atrix [I — E].
[I — E ] '1 [I — E] [Q] = [ I - E ] - 1 [V] o f
[Q] = [1 — E ] 1 [V] (8)
w at de vektor van de produktiehoeveelheden is voor iedere vektor van de eindvraag [V]. De hierbij benodigde prim aire inputs w orden berekend via vergelijking (7).
Een transactiematrix in monetaire termen: de kostenberekening
In plaats van over te gaan naar een aparte kostencalculatie volgens de pro- duktie-centra m ethode, d.i. een I.O.-m odel in outp u tco ëfficiën ten waarbij gebruik gem aakt w ordt van verdeelsleutels als outp u tco ëfficiën ten , kan de kostenverbijzondering nu gebaseerd w orden op hoger geschetste I.O.-model in inputcoëfficiënten.
De relatie tussen de transactiem atrix in fysische term en van figuur 1 en deze in m onetaire term en w ordt gelegd via twee vektoren.
[K] = [K x . K 2 K 3 . . . K n ] [ p ] = [Pl p 2 p 3 • • • Pml
K; zijn de kostprijzen per eenheid der n p rod u k ten , p; de aanschafprijzen per eenheid van m prim aire inputs.
D efiniëren we analoog aan figuur 1 de transactiem atrix in m onetaire term en (figuur 2)
n kolom m en 1 kolom totaalkolom n rijen A y ; Yi Xi m rijen Bij 0 x i totaalrij 1 T AJ Y X figuur 2
Deze w ordt afgeleid uit figuur 1 d o o r interm ediaire transacties E;j, totale produ kties Q i en finale o u tp u ts V, te w aarderen aan de kostprijzen K; van ieder p ro d u k t i, terwijl prim aire inputs w orden gew aardeerd aan aanschaf prijzen p;.
We bekom en volgende definitievergelijkingen Yj = K; Vi Xj = K; Qi Ay = K; Eij ®ij = Pi F ij Xi = p;qi (9)
De kostprijzen Ki zijn die w aarden waarvoor geldt dat de totale inp uts in geldeenheden gelijk zijn aan de to tale o u tp u ts in geldeenheden:
2 x i = 2 y i (X = Y) o f in m atrix no tatie lp] lq] = [K] [V] en gezien (7) en (8) [Pi [F] [Q] = [K] [I — E ] '1 [Q] o f [p] [F] [I — E] = [K] [I — E ] '1 [I — E] [K] = [p] [F] [I - E ] 1 (10)
Deze vergelijking d ru k t de kostprijzen uit in functie van de prijzen van de prim aire inputs. Tussen de prod u k tiefu ncties en de kostenfuncties bestaat bij k o nstante in pu tcoëfficiënten m atrix [-p-] een éénéénduidige relatie.
De kostenverbijzondering w o rdt dadelijk gegeven d o o r de transactiem atrix in m onetaire term en [ w11-] • A;j is h et kostenbedrag dat afdeling i uitbelast
" ij
Het 1.0.-model in monetaire termen
V ertrekkende van de transactiem atrix in m onetaire term en ku nnen op een analoge wijze volgende vergelijkingen w orden afgeleid5 ).
Xi — (Au + Aj2 + . . . A ln) = Yj X2 — (A21 + A22 + . . . A2n) = Y2
X n - ( A nl + An2 + . . . A nn) = Y n (11) B11 + B12 + . . ■ B ln = x j
B21 + B22 + . • • B2n = *2
Bmi + Bm 2 + . . . Bmn x m (12)
D efiniëren we opnieuw de inp utcoëfficiënten: aÜ =
a^l
Xi b .. - i i .1J X; (13)
X; = Tjjvoor i = j zijn de rijtotalen respektievelijk kolom totalen Noem en we [ ^ ] = 1 ^ 1 de inputcoëfficiënten-m atrix. G ezien nu per afdeling geldt dat de in p u t in m onetaire term en gelijk is aan de o u tp u t in m onetaire term en kunnen we schrijven:
2 a;j 1" 2 bjj — 1.
i i
De stelsels (11) en (12) w orden dan: Xj — 2 ajj Xj = Y; voor i = 1, . j . . n (14) 2 ba X; = x, voor i = 1, . r. J . ot in m a tn x n o ta tie . . m (15) [ I - A ] [X] = [Y]
hetzij [X] = [Y] [I - A]-1 (16)
en [x] = [B] [X] (17)
O nderzoeken we de relatie tussen inputcoëfficiënten ejj in fysische term en en in putcoëfficiënten ay in m onetaire term en.
s ) Niettegenstaande deze berekeningen overbodig zijn voor de te voltrekken analyse, geven we volledigheidshalve de betreffende vergelijkingen.
Uit vgl. (1) en (13) volgt:
e ij Qj = E ij
a ij K j = ^ i j
en daar volgens (9) Ey K; = A;j
®ij Qj K j ~ a ij Kj x j eveneens volgens (9) Qj = — K j X eü kJ Ki = aü Xi (l g ) Ki Een multiplicatorwerking
De m atrixvoorstelling van h et 1 .0 .-model biedt belangrijke voordelen. V o o r eerst dient opgem erkt dat voor het aanw enden van h et m odel als plannings instrum en t h et volstaat de inverse m atrix [I — E ] '1 slechts éénm aal te be rekenen voor verschillende w aarden van de overige variabelen waarvan m en de im pakt w enst te onderzoeken, daar waar bij de form ulering in gewone wiskundige vergelijkingen m en herhaaldelijk m oet overgaan to t het oplossen van een uitgebreid lineair stelsel van vergelijkingen volgens de substitutie- m ethode. Bij toepassingen in grote bedrijven kan h et hier gaan om verschil lende hon d erd en vergelijkingen. De m atrixinversie m aakt dan ook het grootste gedeelte u it van de bew erkingen. V oor deze inversie zijn echter com puterp rog ram m a’s voorhanden.
Een ander voordeel b e tre ft het inbrengen van gegevens indien het m odel op com puter is geprogram m eerd. De m atrixvoorstelling geeft de gegevens op een ordentelijke wijze weer in rijen en kolom m en zodat de invoer in de com puter kan geschieden kolom voor kolom o f rij voor rij. D it vergem akke lijkt alleszins de bestandsorganisatie.
Een laatste doch niet het m inst belangrijk voordeel van de m atrixvoor stelling is de in terp retatie die m en kan vasthechten aan de elem enten van de inverse m atrix [I - E ] 1. N oem en we deze e y . Daar [Q] = [I — E]"1 [V] de weergave is van een hom ogeen lineair stelsel in V;, volgt daaruit dat [AQ] = [I — E]’1 [AV]. De w aarden e y hierin kan m en interp reteren als de benodigde toenam e van pro duk tie Q; in afdeling i w anneer de eindvraag naar p ro d u k t j m et één eenheid to en eem t ( A V j = 1).
heten we de aktiviteitsm ultiplicator van afdeling i bij een stijging van de vraag naar eindp rod ukt j. Hij is samengesteld uit een au to no om verschijnsel en een geïnduceerd verschijnsel.
Beschouwen we een vektor die de stijging weergeeft van de vraag naar de ein d p ro d u k ten [AV]. Deze stijging van de vraag heeft als gevolg dat afdeling i m instens AV; m eer m o et produceren. Hier doet zich echter een geïnduceerd verschijnsel voor in alle afdelingen, dat weergegeven w o rd t door [E] [AV]. Dit zijn de direkte in puts van alle afdelingen die benodigd zijn opdat afdeling i zijn prod uk tie voor de eindvraag zou kunnen voortbrengen.
Om de direkte in puts voort te brengen zijn er op hun beu rt indirekte inputs nodig. D it geïnduceerd effekt van de eerste ronde bedraagt:
n n
2 exi c;x 2 Cii ej2 . . i = l i = l | n • ^ ^ l i e in i = l j [E]2 [AV] = 1 n } 2 Ë2i Cu i i= 1 | i 1 1 1 1 1 ” ! ! n | " e ni e il _ i = 1 i = ^ 1 c ni c in __
Nem en we de direkte inp u ts van alle afdelingen, benodigd voor de o u tp u t van één eenheid ein dp ro d ukt j. Deze w orden weergegeven do or kolom j van [E]. Rij i van [E] geeft weer hoeveel eenheden afdeling i m oet voortbrengen per eenheid o u tp u t van afdeling j die als direkte in p u t w ordt aangewend. H et p ro d u k t van deze rijen en kolom m en geeft elem enten [E]2 [AV] voor AV = 1. D it zijn de indirekte inputs per eenheid ein d p ro d u k t van afdeling i.
Deze indirekte inputs van de eerste ronde hebben weer op hun b e u rt een geïnduceerd effekt, dat we indirekte inp u ts van de tw eede ronde noem en, enz.
H et to taal effekt kunnen we weergeven door een oneindige m eetkundige reeks:
[AQ] = [AV] + [E] [AV] + [E ]2 [AV] + [E ]3 [AV] - ... = { I + [E] + [E ]2 + [E ]3 ...} [AV]
I + [E] + [E ]2 + . . . is nu een Mac Laurin reeksontw ikkeling van [ I - E ] - ‘
[AQ] = [I - E]-1 [AV] en voor AVj = 1
AQi = e | D it zijn activiteitsm ultiplicatoren.
Samenvatting
Input-o utp utan alyse is zeer bruikbaar als analyseinstrum ent in bedrijfs situaties m et com plexe in terd ep en d en te produktieprocessen. Naargelang de aard van toepassing w ordt gebruik gem aakt van verschillende form uleringen van dit m odel. Deze form uleringen zijn ech ter alle te herleiden to t één inp u t-o u tp u tm o d el gebaseerd op in pu tco ëfficiën ten en uitgedruk t in fysische term en. H et v ertrek pu n t hierbij zijn twee onafhankelijke stelsels van lineaire produktiefuncties w aarin de param eters de fysische inputco ëfficiënten e^j en fij zijn. H et eerste van deze stelsels is tevens hom ogeen in de produktie- volum es van alle afdelingen.
V oor toepassingen in kostenp ro b lem en kan op w iskundige wijze de over gang aangetoond w orden van het fysische m odel naar h et m onetaire model. Men m aakt hiervoor gebruik van een vektor van aanschafprijzen van prim aire inpu ts [p]. K ostprijzen van interm ediaire en finale p ro d u k ten w orden direkt afgeleid van deze vektor. D it illustreert de overgang van produktiefuncties naar kostenfuncties. De kostenverdeling gebeurt aan de hand van reële in p u t coëfficiënten u it de produ k tiefu n cties waarbij de kostenverdeelstaat w ordt weergegeven door de transactiem atrix in geldterm en.
Bibliografie
Brauers, W. K., Input-outputanalyse en Internationale Economische Integratie. Standaard Wetenschap pelijke Uitgeverij, Antwerpen, 1968.
Butterworth, J. E., Sigloch, B. A., A Generalized Multi-Stage Input-Output Model and Some Derived Equivalent Systems. The Accounting Review, Oktober 1973, pp. 700-716.
Churchil, N., Linear Algebra and Cost Allocations: Some Examples. The Accounting Review Oktober
1964, pp. 894-904.
Farag, S. M., A Planning Model for the Divisionalized Enterprise. The Accounting Review, April 1968, pp. 312-320.
Feltham, G. A., Some Quantitative Approaches to Planning for Multiproduct Production Systems. The Accounting Review, January 1970, pp. 11-26.
Grypdonck, A., Kostenverbijzondering bij wederkerig verband tussen de kostencentra. Maandblad voor Bedrijfsadministratie en Organisatie, 1968.
Ijiri, Y., An Application o f Input-Output Analysis to Some Problems in Cost Accounting. Management Accounting, April 1968, pp. 49-57.
Kaplan, R. S., Variable and Self-Service Costs in Reciprocal Allocation Models. The Accounting Review, Oktober 1973, pp. 738-748.
Leontiev, W. W., The Structure o f the American Economy, 1919-1939. Oxford University Press, 1951. Livingstone, J. L., Input-Output Analysis for Cost Accounting, Planning and Control. The Accounting
Review, January 1969, pp. 48-64.
Livingstone, J. L., Matrix Algebra and Cost Allocations. The Accounting Review, July 1968, pp. 503-508.
Manes, R. P., Comment on Matrix Theory and Cost Allocations. The Accounting Review, July 1965, pp. 640-643.
Minch, R., Petri, E., Matrix Models o f Reciprocal Service Cost Allocation. The Accounting Review, July 1972, pp. 576-580.
Van Straelen, R. A., Virenque, P. H., De input-output analyse. Leuven 1961.
Verheyen, P. A., De Input-output-analyse binnen de onderneming. Gepubliceerde rede; Heerlen, 1965.
