12.0 Voorkennis
Voorbeeld 1:
Los de vergelijking sin(A) = 0 op.
We zoeken nu de punten op de eenheids- cirkel met y-coördinaat 0.
Dit is in de punten (1,0) en (-1,0)
(1,0) heeft draaiingshoek 0
(-1,0) heeft draaiingshoek π
(1,0) heeft draaiingshoek 2π enz. enz. enz.
(-1,0) heeft draaiingshoek 3π enz. enz. enz.
Dus sin(A) = 0 als A = k · π (k = geheel getal)
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 2:
Los de vergelijking sin(A) = 1 op.
We zoeken nu de punten op de eenheids- cirkel met y-coördinaat 1.
Dit is in het punt (0,1)
(0,1) heeft draaiingshoek ½π
(0,1) heeft draaiingshoek 2½ π enz. enz. enz.
Dus sin(A) = 1 als A = ½π + k · 2π
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 3:
Los de vergelijking sin(A) = -1 op.
We zoeken nu de punten op de eenheids- cirkel met y-coördinaat -1.
Dit is in het punt (0,-1)
(0,-1) heeft draaiingshoek 1½π
(0,-1) heeft draaiingshoek 3½ π enz. enz. enz.
Dus sin(A) = -1 als A = 1½π + k · 2π
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 4:
Los de vergelijking cos(A) = 0 op.
We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 0.
Dit is in de punten (0,1) en (0,-1)
(0,1) heeft draaiingshoek ½π
(0,-1) heeft draaiingshoek 1½π
(0,1) heeft draaiingshoek 2½π enz. enz. enz.
(0,-1) heeft draaiingshoek 3½π enz. enz. enz.
Dus cos(A) = 0 als A = ½π + k · π
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 5:
Los de vergelijking cos(A) = 1 op.
We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 1.
Dit is in het punt (1,0)
(1,0) heeft draaiingshoek 0
(1,0) heeft draaiingshoek 2π enz. enz. enz.
Dus cos(A) = 1 als A = k · 2π
Willem-Jan van der Zanden
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 6:
Los de vergelijking cos(A) = -1 op.
We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 1.
Dit is in het punt (1,0)
(1,0) heeft draaiingshoek π
(1,0) heeft draaiingshoek 3π enz. enz. enz.
Dus cos(A) = 1 als A = π + k · 2π
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 7:
Bereken exact cos(3x – ½π) = 1 3x – ½ π = k · 2π
3x = ½ π + k ∙ 2π
Voorbeeld 8:
Bereken exact cos2(3x – ½π) = 1
cos(3x – ½π) = 1 ∨ cos(3x – ½π) = -1 3x – ½ π = k · 2π ∨ 3x – ½ π = π + k · 2π 3x = ½ π + k ∙ 2π ∨ 3x = 1½ π + k ∙ 2π
∨
Willem-Jan van der Zanden
16 23x k
16 23x k x
12k
2312.0 Voorkennis
cos( ) = -cos( )
= -cos(30°) = -½√3 [cos is x-coördinaat]
sin( ) = -sin( )
= -sin(60°)= -½√3 [sin is y-coördinaat]
65 16
53 13
12.0 Voorkennis
12
1 2
3 3
1 2 2 2
9 3 9 3
2sin(3 ) 3
sin(3 ) 3
3 2 3 2
x x
x k of x k
x k of x k
Voorbeeld 9:
Zorg dat links enkel sinus staat Zoek in eenheidscirkel bij welke
draaiingshoek de y-coördinaat ½√3 is Schrijf de oplossing in de vorm x =
De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn:
en
1 7 4
9 , 9 ,19
29
, 89 ,195
Algemeen geldt:sin(A) = C geeft A = B + k ∙ 2π of A = π – B + k ∙ 2π
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 10:
Zorg dat links enkel cos staat Zoek in eenheidscirkel bij welke
draaiingshoek de x-coördinaat -½√2 is
De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn:
en
13 13
24 ,124
1924 ,1
1924
Algemeen geldt:
cos(A) = C geeft A = B + k ∙ 2π of A = – B + k ∙ 2π
13
1 1
3 2
3 5
1 1
3 4 3 4
13 19
12 12
13 19
24 24
2cos(2 - ) - 2 cos(2 - ) - 2
2 - 2 2 - 2
2 2 2 2
x x
x k of x k
x k of x k
x k of x k
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 11:
Maak gebruik van de regel:
sin(A) = sin(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = π – B + k ∙ 2π
sin( 1) sin(2 3)
1 2 3 2 1 (2 3) 2
4 2 1 2 3 2
4 2 3 2 2
1 2 2
4 2
3 3 3
x x
x x k of x x k
x k of x x k
x k of x k
x k of x k
12.0 Voorkennis
Voorbeeld 12:
Maak gebruik van de regel:
cos(A) = cos(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = – B + k ∙ 2π
cos(3 ) cos( 1 ) 4
1 1
3 2 3 ( ) 2
4 4
1 1
2 2 3 2
4 4
1 1
4 2
8 4
1 1 1
8 16 2
x x
x x k of x x k
x k of x x k
x k of x k
x k of x k
De oplossingen op het interval [0, 2π] zijn:
en
7 7
8,18
1 9 1 9
, ,1 ,1
16 16 16 16
12.0 Voorkennis
Gegeven is de functie
Deze functie valt te schrijven als:
De vier kenmerken van de functie zijn:
a = evenwichtsstand [= -1]
|b| = amplitude [= 1½ ]
periode = 2π/c [= 2π/2 = π]
d = x-coördinaat beginpunt [= ] Let op:
• b > 0 dus de grafiek gaat stijgend door het beginpunt;
• Bij b < 0 gaat de grafiek dalend door het beginpunt;
• De y-coördinaat van het beginpunt is de evenwichtsstand [-1].
1 2
2 3
( ) 1 1 sin(2 ) f x x
1 1
2 3
( ) 1 1 sin(2( )) f x x
13
12.0 Voorkennis
Voor het differentiëren van sinus- en cosinusfuncties gelden de volgende regels:
f(x) = sin(x) => f ’(x) = cos(x) g(x) = cos(x) => g’(x) = -sin(x)
h(x) = tan(x) => h’(x) = 1 + tan2(x) f(x) = sin(x) => F(x) = -cos(x) + c g(x) = cos(x) => G(x) = sin(x) + c De primitieven van f(ax + b) zijn 1
( )
F ax b c
a
12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [1]
De volgende goniometrische functies worden vanaf nu bekend verondersteld:
sin(-A) = - sin(A) cos(-A) = cos(A) -sin(A) = sin(A + π) -cos(A) = cos(A + π) sin(A) = cos(A – ½π) cos(A) = sin(A + ½π) tan(A) = sin(A)/cos(A)
EN sin2(A) + cos2(A) = 1
Let op:
Al deze goniometrische functies zijn te herleiden met behulp van de eenheidscirkel.
12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [1]
1 1
sin(2 ) cos( )
3 3
x x
1 1
sin(2 ) cos( )
3 3
1 1
sin(2 ) cos( 1 )
3 3
1 5
sin(2 ) sin( 1 )
3 6
1 5 1 5
2 1 2 2 ( 1 ) 2
3 6 3 6
1 1 5
2 2 2 1 2
6 3 6
1 1
2 2 3 2
6 2
1 1 2
2 2
6 6 3
[0,2 ]
x x
x x
x x
x x k x x k
x k x x k
x k x k
x k x k
x op g 1 1 1 5
1 1
6 2 6 6
eeft x x x x
Voorbeeld:
Bereken exact de oplossingen op [0, 2π] van
-cos(A) = cos(A + π) cos(A) = sin(A + ½ π)
12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [2]
De volgende goniometrische functies worden vanaf nu bekend verondersteld:
Vier verdubbelingsfuncties:
Twee somformules:
Twee verschilformules:
2 2
2 2
sin(2 ) 2sin( )cos( ) cos(2 ) cos ( ) sin ( ) cos(2 ) 2cos ( ) 1 cos(2 ) 1 2sin ( )
A A A
A A A
A A
A A
cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
t u t u t u
t u t u t u
cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
t u t u t u
t u t u t u
Let op:
1) Deze formules worden
Afgeleid in de opgaven 8, 9 en 10.
2) Deze formules worden Gegeven bij het CE.
12.1 Goniometrische formules bij vergelijkingen en herleidingen [2]
Voorbeeld:
Bewijs de verschilformule
(In dit bewijs heb je de cosinusregel en De stelling van Pythagoras nodig)
cos(t u ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )t u t u
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 cos( )
( ) ( ) 1 1 2 1 1 cos( )
2 2 2 2cos( )
2 2 2 2cos( )
cos ( ) sin ( ) 1
1 1 2 2 2 2cos( )
2cos(
B A A B
B A B A A A B B
A A B B A B A B
A A
A B A B
AB OA OB OA OB
x x y y
x x x x y y y y
x y x y x x y y
x y A A
x x y y
) 2 2
cos( )
cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
A B A B
A B A B
x x y y x x y y
12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1]
De grafiek van de functie f(x) = sin(x) is lijnsymmetrisch in de lijn x = 1,5π.
Er geldt nu: f(π) = f(2π) EN f(1,25π) = f(1,75π) EN f(1,1π) = f(1,9π) In zijn algemeenheid geldt nu: f(1,5π - p) = f(1,5π + p):
Definitie:
De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a als voor elke p geldt: f(a – p) = f(a + p)
12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1]
De grafiek van de bovenstaande sinusfunctie is puntsymmetrisch in het punt (a, b). Voor elke p geldt nu: f(a – p) – b = b – f(a + p)
f(a – p) + f(a + p) = 2b
Definitie:
De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt(a, b) als voor elke p geldt: f(a – p) + f(a + p) = 2b
12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1]
Voorbeeld 1:
Toon aan dat de grafiek van f(x) = sin2(x) + cos(x) symmetrisch is in de y-as.
(De lijn x = 0)
f(-p) = sin2(-p) + cos(-p)
= (sin(-p))2 + cos(p) [cos(-p) = cos(p)]
=(-sin(p))2 + cos(p) [sin(-p) = -sin(p)]
= sin2(p) + cos(p) = f(p)
12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [1]
Voorbeeld 2:
Toon aan dat de grafiek van f(x) = sin2(x) + cos(x) symmetrisch is in de lijn x = π
f(π – p) = sin2(π – p) + cos(π – p)
= (sin(π - p))2 - cos(-p) [cos(A + π) = -cos(A)]
= (-sin(-p))2 – cos(p) [sin(A + π) = -sin(A)]
[cos(-A) = cos(A)]
= sin2(p) – cos(p)
f(π + p) = sin2(π + p) + cos(π + p)
= (sin(π + p))2 – cos(p) [cos(A + π) = -cos(A)]
= (-sin(p))2 – cos(p) [sin(A + π) = -sin(A)]
= sin2(p) – cos(p)
12.2 Goniometrische formules bij symmetrie en primitiveren [2]
Voorbeeld:
Bereken de afgeleide van de functie:
Let op:
Je kunt de gegeven functie zo niet primitiveren. Met behulp van een verdubbelingsformule is de functie te herleiden tot een vorm, die je wel kunt primitiveren.
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 16
2
2 2
2
2
( ) cos (4 )
cos(2 ) 2cos ( ) 1 2cos ( ) 1 cos(2 )
cos ( ) cos(2 ) 4 ( ) cos (4 ) cos(8 ) ( ) sin(8 )
f x x
A A
A A
A A met A x
f x x x
F x x x c
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
• Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 3. Dit is een eenparige cirkelbeweging;
• xA= 3 cos(t) en yA = 3 sin(t);
• Op t = 0 is A in het punt (3, 0);
• De omlooptijd T van A is 2π seconden, omdat A na 2π seconden weer terug is in het punt (3,0);
• Een cirkel is 360° en dus 2π radialen;
• Het lijnstuk OA draait over een hoek van 2π radialen;
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
• In 2π seconden draait OA over een hoek van 2π radialen;
• De hoeksnelheid ω is de hoek waarover OA gedurende 1 seconde draait;
• Hoeksnelheid =
• Als de hoeksnelheid positief is, draait het punt tegen de wijzers van de klok in;
• Als de hoeksnelheid negatief is, draait het punt met de wijzers van de klok mee.
2 2 2
omlooptijd T 2 1
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
Voorbeeld 1:
Het punt R doorloopt met een hoeksnelheid van 6 rad/s de cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2 en is op t = 0 in het punt (5,5).
De bewegingsvergelijkingen van R zijn:
xR(t) = 3 + 2cos(6t) yR(t) = 5 + 2sin(6t)
Deze formules samen beschrijven de baan van R en noemen we de parametervoorstelling (pv) van de baan van R.
Algemeen:
xR(t) = a + rcos(ωt) yR(t) = b + rsin(ωt)
(a,b) is het middelpunt van de cirkel;
r = straal van de cirkel;
ω = hoeksnelheid in rad/s;
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
Voorbeeld 2:
De baan van het punt R is gegeven door:
xR(t) = 3 + 2cos(2t) en yR(t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π]
Teken de baan van R.
Stap 1:
• R beweegt over een cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2;
• Op t = 0 is R in het punt (3 + 2, 5) = (5,5);
• ω = 2 [positief], dus P draait tegen de wijzers van de klok in.
Stap 2:
• De hoek waarover R draait op [0, ½π] loopt van 2 ∙ 0 tot 2 ∙ ½π = π;
• De baan is dus een halve cirkel met middelpunt (3,5) en straal 2.
Stap 3:
• Op t = ½π geldt:
• xP = 3 + 2cos(2 ∙ ½π) = 3 + 2cos(π) = 3 + 2 ∙ -1 = 1
• yP = 5 + 2sin(2 ∙ ½π) = 5 + 2sin(π) = 5 + 2 ∙ 0 = 5
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
Voorbeeld 2:
De baan van het punt R is gegeven door:
xR(t) = 3 + 2cos(2t) en yR(t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π]
Teken de baan van R Stap 4:
Teken de baan van punt R:
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
Voorbeeld 3:
De baan van het punt R is gegeven door:
xR(t) = 3 + 2cos(2t) en yR(t) = 5 + 2sin(2t) met t op [0, ½π]
De baan van P snijdt de lijn y = x + 2 in punt A.
Bereken exact de coördinaten van dit punt.
Stap 1:
Vul de parametervergelijking in, in y = x + 2 y = x + 2
5 + 2sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 Stap 2:
Los de vergelijking die je nu krijgt op:
5 + 2sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 2sin(2t) = 2cos(2t)
sin(2t) = cos(2t)
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[1]
Stap 2:
Los de vergelijking die je nu krijgt op:
5 + 2sin(2t) = 3 + 2cos(2t) + 2 2sin(2t) = 2cos(2t)
sin(2t) = cos(2t)
cos(2t – ½π) = cos(2t)
2t – ½π = 2t + k · 2π ∨ 2t – ½π = -2t + k · 2π Geen oplossing ∨ 4t = ½π + k · 2π
∨ t = + k · ½π
In het interval [0, ½π] is er nu één oplossing bij: x = Stap 3:
Geef de coördinaten van het snijpunt A:
Gebruik: sin(A) = cos(A = ½π)
1 8
1 8
1 1 1
3 2cos(2 ) 3 2cos( ) 3 2 2 3 2
8 4 2
1 1 1
5 2sin(2 ) 5 2sin( ) 5 2 2 5 2
8 4 2
A
A
x y
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2]
• Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as;
• De projectie A’ van A op de y-as voert een trilling uit;
• P doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt P’ voert een harmonische trilling (of
harmonische beweging) uit;
• Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as;
• Een trilling heeft een trillingstijd;
• De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging.
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2]
• is een harmonische trilling.
• De trillingstijd is 5 seconden.
• De frequentie in hertz (Hz) is het aantal trillingen per seconde. Dit is 1/5 Hz.
• De amplitude (maximale uitwijking) is 3.
• Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f hoort een formule van de vorm:
u = b sin(c(t – t0)) met c = 2πf en t de tijd in seconden.
Op t = t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd.
De trillingstijd is seconden.
52
3sin
u t
T 1 2 f c
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[2]
Voorbeeld:
Gegeven is het harmonisch trillende punt P dat beschreven wordt door en uP = 8 sin (50πt – 1/10π)
Bereken de frequentie en de afgelegde afstand van P in één minuut.
De frequentie is gelijk aan Hz
De afgelegde afstand per trilling is 4 ∙ 8 = 32 cm
Er zijn 25 trillingen per seconde, dus per minuut zijn er 60 ∙ 25 = 1500 trillingen.
De afgelegde afstand in één minuut is 1500 ∙ 24 = 36.000 cm = 360 m
50 25 2
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[3]
Voorbeeld:
Gegeven zijn de harmonische trillingen u1 = 5sin(30πt) en u2 = 6sin(30πt – 0,3π).
De samengestelde trilling (de som van twee of meer trillingen) wordt weergegeven door u = u1 + u2. Als de opgetelde trillingen gelijke frequenties hebben, krijg je weer een harmonische trilling.
Stel de formule op van u in de vorm u = b sin(c(t – d)) Rond b af op twee decimalen en d op vier decimalen.
Stap 1: u1 en u2 hebben dezelfde frequentie, dus c = 30πt.
Stap 2:
Voer in de GR in: Y1 = 5sin(30πX) + 6sin(30πX – 0,3π) De optie maximum geeft X ≈ 0,02 en Y ≈ 9,81.
De amplitude (b) is dus gelijk aan 9,81 Stap 3:
De optie zero geeft X ≈ 0,0055.
Op het tijdstip 0,0055 passeert de grafiek de evenwichtsstand omhoog. (d = 0,0055)
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[4]
Voorbeeld 1:
Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(7x) De periode van y = sin(6x) is
De periode van y = sin(7x) is
In [0, 2π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x).
In [0, 2π] passen precies 7 periodes van y = sin(7x) .
De getallen 6 en 7 hebben geen gemeenschappelijke deler.
De periode van y = sin(6x) + sin(7x) is gelijk aan 2π.
2
6
2
7
12.3 Eenparige cirkelbewegingen[4]
Voorbeeld 2:
Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(9x) De periode van y = sin(6x) is
De periode van y = sin(9x) is
In [0, 2π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x).
In [0, 2π] passen precies 9 periodes van y = sin(9x) .
De getallen 6 en 9 hebben als gemeenschappelijke deler 3.
In [0, 2/3π] passen precies 2 periodes van y = sin(6x).
In [0, 2/3π] passen precies 3 periodes van y = sin(9x).
De periode van y = sin(6x) + sin(9x) is gelijk aan 2/3π.
2
6
2
9
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 1:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken exact de lengte van lijnstuk AB.
Invullen van de uitdrukkingen voor x en y in de vergelijking van de lijn geeft:
sin(t) = sin(2t)
t = 2t + k ∙ 2π ∨ t = π – 2t + k ∙ 2π -t = k ∙ 2π ∨ 3t = k ∙ 2π
t = k ∙ 2π ∨ t = ⅓π + k ∙ ⅔π
Op t = [0, 2π] geeft dit de oplossingen: t = 0 ∨ t = ⅓π ∨ t = π ∨ t = 1⅔π ∨ t = 2π ( ) sin(2 )
( ) sin( )
x t t
y t t
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 1:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken exact de lengte van lijnstuk AB.
Op t = 0, t = π en t = 2π krijg je de oorsprong.
x(⅓π) = sin(⅔π) = ½√3 B(½√3, ½√3) x(1⅔π) = sin(3⅓π) = -½√3 A(-½√3, -½√3) De lengte van het lijnstuk AB is gelijk aan:
( ) sin(2 ) ( ) sin( )
x t t
y t t
123
123
2
213
123
2 3
2 3
2 3 3 6
AB
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 2:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken exact de baansnelheid van P in het punt B.
De baansnelheid is te berekenen met:
x’(t) = 2cos(2t) en y‘(t) = cos(t) ( ) sin(2 )
( ) sin( )
x t t
y t t
2 2
( ) ( '( )) ( '( )) v t x t y t
2 2 2 2
1 2 1 1 1 1
3 3 3 2 2 4
5 5
5 1
4 4 2 2
2cos cos 2 1
5
v
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 3:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x.
Stap 1:
Bereken de snelheidsvector van de baan in B.
( ) sin(2 ) ( ) sin( )
x t t
y t t
1 2
3 3
13 1 1 1
2
3 3
1 '( ) 2cos( )
'( ) cos( ) v x
y
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 3:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x.
Stap 2:
Bereken de richtingsvector van de lijn y = x.
( ) sin(2 ) ( ) sin( )
x t t
y t t
1
y x 1 r
12.4 Bewegingsvergelijkingen [1]
Voorbeeld 3:
De baan van een punt P is gegeven door:
met t op [0, 2π]
De punten A en B zijn snijpunten van de baan met de lijn y = x.
Bereken in graden in één decimaal nauwkeurig de hoek die de baan in B maakt met de lijn y = x.
Stap 3:
Bereken de gevraagde hoek.
Dit uitrekenen geeft als hoek 71,6˚.
( ) sin(2 ) ( ) sin( )
x t t
y t t
1 1 1
2 2 2
13 2 12 2 2 2 14 12
1 1 1 cos( ) cos( ( , ))
1 2 2
( 1) 1 1
v ry x
12.4 Bewegingsvergelijkingen [2]
Voorbeeld:
Bij de parametervoorstelling hoort de formule y = 2x2 – 1
met -1 ≤ x ≤ 1. Toon dit aan.
( ) sin( 1 ) 4 ( ) sin(2 )
x t t
y t t
2
2
2 1
sin(2 ) 2(sin( 1 )) 1 4
sin(2 ) cos(2( 1 )) 4 sin(2 ) cos(2 1 )
2 sin(2 ) cos(2 11 )
2 sin(2 ) sin(2 2 ) sin(2 ) sin(2 )
y x
t t
t t
t t
t t
t t
t t
cos(2A) = 1- 2 sin2(A) 2 sin2(A) -1 = - cos(2A)
-cos(A) = cos(A + π) cos(A) = sin(A + ½π) sin(A + 2π) = sin(A)
12.4 Bewegingsvergelijkingen [2]
Voorbeeld:
Bij de parametervoorstelling hoort de formule y = 2x2 – 1
met -1 ≤ x ≤ 1. Toon dit aan.
Een bewegend punt P waarvan de baan beschreven wordt door de bovenstaande parametervoorstelling doorloopt
voortdurend de hiernaast getekende parabool tussen (-1, 1) en (1, 1).
In de punten (-1, 1) en (1, 1) keert het punt P om. Dit zijn de keerpunten. In deze
keerpunten hebben de formules voor x en y uit de parametervoorstelling beide een extreme waarde.
( ) sin( 1 ) 4 ( ) sin(2 )
x t t
y t t
12.4 Bewegingsvergelijkingen [3]
Voorbeeld 1:
De baan van het punt P wordt gegeven door:
met t op [0, π]
Het lijnstuk OP is de zijde van een vierkant.
Het punt S is het middelpunt van dit vierkant.
Stel de bewegingsvergelijkingen van S op.
( ) 2sin( ) ( ) 2sin(2 )
x t t
y t t
1 1 1 1
2 2 2 2
2sin( ) 2sin(2 ) sin( ) sin(2 ) 2sin(2 ) 2sin( ) sin(2 ) sin( )
L
t t t t
s p p
t t t t
12.4 Bewegingsvergelijkingen [3]
Voorbeeld 2:
De baan van het punt P wordt gegeven door:
met t op [0, π]
Het lijnstuk OP is de zijde van een vierkant.
Het punt S is het middelpunt van dit vierkant.
Bereken exact de coördinaten van de baan van S met de y-as.
sin(t) – sin(2t) = 0 sin(t) = sin(2t)
t = 2t + k ∙ 2π ∨ t = π – 2t + k ∙ 2π -t = k ∙ 2π ∨ 3t = k ∙ 2π
t = k ∙ 2π ∨ t = ⅓π + k ∙ ⅔π
met t op [0, π] geeft dit als oplossing t = ⅓π Dit invullen in y(t) geeft als snijpunt S(0, √3)
( ) 2sin( ) ( ) 2sin(2 )
x t t
y t t
