πkT Gρm met T en m respe tievelijk de temperatuur en massa van het mole uul en ρ de di htheid van de ondenserende gaswolk

3 Quantumfysis he vers hijnselen in het universum

3.1 Stervorming

Sterren ondenseren uit gaswolken die voornamelijk uit waterstof bestaan. Als een gaswolk

voldoende di htheid heeft of koud genoeg is, dan kunnen delen ervan ondenseren en sterren

vormen. Hetgebieddat ondenseertdienteenminimumafmetingtehebben,zodatervoldoende

massa en gravitatie is omde gasdrukin de wolk teoverwinnen. Deze minimum lengte heet de

Jeans lengte 19

en bedraagt

λ_Jeans = πkT Gρm

¹₂

, ⁽³⁸⁾

met T ^en m respe tievelijk de temperatuur en massa van het mole uul en ρ ^{de di htheid van}

de ondenserende gaswolk. Elk deel vande gaswolk groter dan de Jeans lengte heeftvoldoende

zelf-gravitatie en kan ondenseren. Demassavan een dergelijk gebied is

4

3πρλ³_Jeans ^{en wordt de}

Jeans massagenoemd,

MJ= 4

3πρλ³_Jeans = 4π⁵² 3

 kT Gm

³

2

ρ⁻¹². ⁽³⁹⁾

Het is belangrijk om in te zien dat M_J ^{afneemt als} ρ ^{toeneemt. Als dus een instabiel gebied}

initieel ter grootte λJeans ondenseert, neemt de di htheid toe. Dit verlaagt de Jeans massa en dat maakt kleinere delen van het gebied instabiel voor ondensatie. Indien de di htheid in de

gaswolkniethomogeenis,danishetwaars hijnlijkdatdesamentrekkende gaswolkfragmenteert

inkleineregebieden. Sterrenkundigen noemeneen dergelijk gebied eenprotoster.

Degravitationele potentiëleenergievandemole ulen wordttijdensde ontra tie vandegaswolk

omgezet in warmte 20

. Hierdoor neemt de temperatuur van het gas toe tijdens de ontra tie.

Gedurende ontra tievandeprotosterwordtdedi htheiduiteindelijkvoldoendehoogomstraling

gevangentehoudenenbegintdeprotosterzi htegedragenalseenzwartli haam. Opdatmoment

neemt de temperatuur s herp toe en begint de protoster te s hijnen in het zi htbare li ht. De

energievan ontra tie isvoldoende omdeprotoster enkelemiljoenen jarentelaten s hijnen.

3.2 Energiehuishouding in sterren

De verhitting tijdens ontra tie van de protoster is voldoende om kernfusie te initiëren. Het

me hanismevanenergieprodu tieindezonisfusievanwaterstofatomentotheliumenfusieisde

energiebronvansterren. De onstru tievaneenfusierea toropaardeisingewikkeld,hetgrootste

probleem is de zogenaamde ` onnement' (opsluiting) van het plasma. Een plasma met een

temperatuurvanongeveer10^{8 Kdientineeneindigvolumeopgeslotenteworden. Vastewanden}

19

NaardeBritseastrofysi usSirJamesJeans(1877-1946). WekunnendegrootteR^{vaneensferis hgebieddat}

instabielisvoorstervormingbijbenaderingvindendoordegemiddeldekinetis heenergie

3

2kT ^{vaneenmole uul}

metmassam^{gelijktestellenaan deabsolutewaardevande}gravitationelepotentiëleenergie

GmM

R ^{. Vervolgens}

vervangenwedemassaM ^{vanditgebieddoorhaardi htheid}ρ^viadesubstitutieM = ⁴₃πρR^{3. Ditlevertdande}

benadering

3

2kT = ^GmM_R → ³₂kT = ⁴₃πGmρR²→ R =

 9kT 8πGρm

¹

2

. Eenexa teberekeningdiedegeluidssnelheid

indegaswolkinrekeningbrengt,levertvergelijking(38).

20

Ookonzezonisuiteendergelijkeprotosterontstaan. DezonheefteenmassaM⊙= 2 × 10^{30kgenbestaatuit}

ongeveer10⁵⁷waterstofatomenmetelkeenmassavanm = 1, 67 × 10^{−27 kg. Dehuidige}luminositeitvandezon bedraagtL⊙= 3, 8×10^{26W.Wehebbengeziendatde}ontsnappingssnelheidvandezongelijkisaanvontsnapping = q_2GM

⊙ R⊙

. Dekinetis heenergievaneenatoomalshetdezonbereiktisdus

1

2mv²ontsnapping=^GM⊙m

R⊙ = 3 × 10⁻¹⁶

J.Hieruitvolgt datdegravitationele potentiële energie voldoendeis omdeprotosterenkelemiljoenenjaren te

latens hijnen.

zijnniet mogelijkenwe dienentoevlu ht tenementotmagnetis he opsluiting ofopsluiting met

behulpvanlasers. Hetvolumevanhetmagnetis hvelddientrelatiefkleintezijn, enkelekubieke

meters,wantanderswordthetvermogen,maarwordenookde onstru tiekosten,onoverkomelijk.

In de zon zijn deze problemen opgelost, alhoewel niet al te e iënt. De buitentemperatuur is

ongeveer 6000 K, terwijl de temperatuur in het entrum van de zon ongeveer 1, 6 × 10^{7 K is.}

Kernfusie verloopt relatieftraag, maarde totale energieprodu tie isgroot,omdathetvolume zo

groot is.

Gravitatie reguleert het fusiepro es in sterren: als om een of andere reden de rea ties sneller

verlopen, dan heeft dat een temperatuurstijging tot gevolg. Dit leidt dire t tot expansie van

het entrale deel van de ster, waardoor de rea tiesnelheid vermindert en de energieprodu tie

afneemt. Evenzo als het tegenovergestelde gebeurt en de temperatuur en dus ook de gasdruk

afneemt,dankrimptdekernvandesterenneemtderea tiesnelheidweertoe. Opdezewijzekan

een ster miljarden jaren een stabiele energieprodu tie leveren. Hetzelfde pro es maakt ook dat

alsde massavande stergrootis, de entrale druken temperatuur relatief hoog is, waardoor de

energieprodu tie grootis. Ditheeftooktotgevolgdatzwaresterreneenrelatiefkortelevensduur

hebben.

Vóórdeontdekkingvankernrea tieskondeenergieprodu tieindezonnietverklaardworden: er

wasgeenbronbekenddieeendergelijkehoeveelheidenergiegedurendelangere tijdkonprodu e-

ren. Geologis he studies tonenaan dat de zon ongeveer dezelfde temperatuur heeft gehad voor

een periode van minstens 10^{9 jaar. Eddington was een van de eersten dieerop wezen, dat met}

de fusie van vier waterstofatomen tot een

4

He-atoom, er ongeveer 7 MeV/nu leon aan energie

vrijkomt. Ditpro eslevertmiljoenen kerenmeer energie opdaneen hemis he rea tie. Er blijft

e htereenprobleem: klassiekkanfusienietoptredeninsterren,omdatdethermis heenergievan

de protonen onvoldoende is om de Coulombafstoting te overwinnen. Het quantumme hanis h

tunnelee t maakt dergelijke rea ties ook bij lagere temperatuur mogelijk. Men kan nu spe i-

eke rea ties, verantwoordelijk voor stellaire energieprodu tie, vaststellen. De eerste sequentie

die werd voorgesteld was de zogenaamde koolstofof CNO y lus weegegeven inFig. 8, waarin

12

Cen4p getransformeerd worden ineen α^{-deeltjeen 12C.DeCNO- y lus verloopt als volgt,}

12C p → ¹³N γ,

13N → ¹³C e⁺ν,

13C p → ¹⁴N γ,

14N p → ¹⁵O γ,

15O → ¹⁵N e⁺ν,

15N p → ¹²C⁴He.

(40)

In dezesequentie fungeert hetkoolstofals een katalysator. Hetondergaat veranderingen, maar

hetwordt nietverbruikt. De totalerea tiekandus ges hreven worden als

4p →⁴ He. ⁽⁴¹⁾

DetotaleenergieQ^{dieindezerea tievrijkomt,kaneenvoudiggevonden wordenuitdebekende}

massa's(viaE = mc^{2). Ergeldt}

Q(4p →⁴He) = 26, 7 MeV. ⁽⁴²⁾

Vandezeenergiewordtongeveer25MeVgebruiktomdesterteverhitten,derestwordtafgevoerd

door de neutrino's. De CNO- y lus isdominant inhetesterren. In koude sterren zoals de zon,

isde pp^{- y lus}belangrijker. Deessentiëlestappen indepp^{- y lus zijn} pp → de⁺ν

of ppe⁻ → dν















dp →³Heγ ⁽⁴³⁾

en

3He³He →⁴He 2p, ⁽⁴⁴⁾

of

3He⁴He →⁷ Be γ. ⁽⁴⁵⁾

In vergelijking (44) is de rea tie 4p →⁴ He + 2e⁺+ 2ν ^reeds gerealiseerd. In vergelijking (45) wordt

7

Begevormd en ditleidttot

4

He via twee sequenties,

7Be e⁻→⁷ Li ν; ⁷Li p → 2 ⁴He, ⁽⁴⁶⁾

of

7Be p →⁸B γ; ⁸B →⁸ Be^∗ e⁺ν; ⁸Be^∗→ 2 ⁴He. ⁽⁴⁷⁾

De pp^{- y lus heeft dezelfde} energieopbrengst als de CNO- y lus. Om de rea tiesnelheden te

Figuur 8:CNOen pp^{- y lus voor het}fusiepro es van een ster. Depp^{- y lus isdominant inde}

zon (deCNO- y lusverzorgtsle hts 1,6%vande energieprodu tieinde zon). DeCNO- y lus

is belangrijk inmassieve waterstof-brandende sterren met een hoge entrale temperatuur, zoals

SiriusA.

kunnen berekenen, zijner twee vers hillende soorten input nodig. Ten eerste, de temperatuur-

verdeling van hetinwendige van de zon dient bekend te zijn. Hetoriginele werk gaat terug tot

de temperatuur inhet inwendige van de zon ongeveer 16 miljoen K is). Ten tweede dienen de

werkzame doorsneden 21

voor de genoemderea ties bekendtezijnvoor temperaturen inde orde

van16 miljoen K.Deze temperatuur orrespondeert met kinetis he energieënvansle hts enkele

keV,endebijbehorendewerkzamedoorsnedenzijnuitermate klein. Devergelijkingentonendat

ertweetypenrea tieseenrolspelen: hadronis heenzwakkerea ties(allerea tiesmetneutrino's

zijnzwak). Degemiddeldelevensduurvanhetverval

8B →⁸ Be^∗ e⁺ν^{isgemeten. Detweezwakke}

rea ties in vergelijking (43) verlopen e hter zo traag, dat ze niet in het laboratorium gemeten

kunnenworden: zewordenberekenddoorgebruiktemakenvandeHamiltoniaanvoordezwakke

wisselwerking. Teneindedewerkzamedoorsnedenvoordehadronis herea tiestevinden,worden

dewaardendiebijhogereenergieëngemetenzijn, geëxtrapoleerdnaar enkelekeV.Experimenta-

toren(zoalsW.A.FowlervanCalte h)en diversetheoretenzijnvanmeningdat huns hattingen

stabiel zijnen dat zowel de stru tuur van sterren alsde kernfysis he aspe ten van de produ tie

vanzonne-energie goed begrepen zijn.

3.3 Nu leosynthese in sterren

Vers hillende li hte elementenzijngevormdtijdensde BigBang. Deze zogenaamde primordiale

produ tie is niet mogelijk voor zware elementen, omdat neutron- of protonvangst van

4

He niet

tot stabiele kernen leidt en vanwege het trage verloop van andere rea ties. Neutronvangst bij-

voorbeeld,leidttot

5

He,hetgeeninstabielisenweerdire tvervaltnaar

4

He. Ookde vangstvan

α^{-deeltjes via 4}He⁴He →⁸ Be^{, vormt alleen het instabiele 8Be, dat weer} onmiddellijk opbreekt intwee alfa deeltjes. Als de temperatuur van hetuniversum gedaald istot ongeveer 3 × 10^{8 K,}

ongeveereen half uur na haargeboorte, stopt nu leosynthese, omdat Coulomb repulsie verdere

kernrea ties verhindert. De abondanties van de diverse elementen gevormd inde Big Bangzijn

nu ingevroren,zodatde abondanties van deli hteelementend^{,3He,4He en7Li, zoalsdietegen-}

woordig wordenwaargenomen, nog steedsde toestand van een universum van een halfuur oud

ree teren.

Li hte kernen kunnen ook in sterren geprodu eerd worden. In hetgeval van

4

He verklaart dit

produ tiepro es e hter sle hts ongeveer 10 %van de waargenomen abondantie van ditelement.

Deuterium kan al helemaal niet in signi ante hoeveelheden in sterren geprodu eerd worden,

omdat het bijdergelijke hoge di htheden dire t inzwareelementen ge onverteerd wordt. Deze

onversiebeperktdehuidigebaryondi htheidinhetuniversumtotminderdanongeveer5×10⁻²⁸

kg/m

3

. De produ tie van lithium in sterren wordt positief beïnvloed door neutrino intera ties

met

4

He. Deze rea ties produ eren

3

H,

3

He, protonen en neutronen. Een vande su essen van

hetstandaardmodelishaarvermogenomdeabondantiesvandeli hteelemententevoorspellen,

zelfs alvers hillendie een fa tormiljard vanelkaar. E hter, de gemetenabondanties van zware

elementen kan niet verklaard worden door Big Bang nu leosynthese. Klaarblijkelijk werden de

zware elementen in een later stadium geprodu eerd, nadat stervorming reeds plaatsgevonden

had. Nu leosynthese, de verklaring van de abondantie van de elementen, is dus onlosmakelijk

verbonden met sterstru tuur ensterevolutie.

Druken temperatuur ineenster zijnimmens. Inde zonbijvoorbeeld, isde drukinhet entrum

2×10^10barendetemperatuur16×10^{6K.Atomenzijnonderdeze}omstandighedenbijnavolledig geïoniseerd, waardoor er een plasma van vrijeelektronen en naakte atoomkernen ontstaat. De

interne druk wordt in stand gehouden door kernrea ties die voor de stralingsenergie van de

ster zorgen. Zolang deze rea ties plaatsvinden, zullen gravitationele en interne druk elkaar in

balans houden en is de ster ineen evenwi htstoestand. Wat gebeurt ere hter als de brandstof

21

Dewerkzamedoorsnedeiseenmaatvoordewaars hijnlijkheiddateenbepaaldewisselwerkingtussendeeltjes

plaatsvindt(bijvoorbeeldverstrooiingof eenkernrea tie). Dezewaars hijnlijkheidis vaak sterkafhankelijkvan

deenergievandedeeltjesofdesamenstellingvaneentargetdatwordtbes hoten. Dewerkzamedoorsnedewordt

aangeduidmetσ^{enheeftdedimensievan}oppervlakte.

opgebruikt is? Wat gebeurt er met onze zon als alle waterstof opgebruikt is en de pp^{- y lus}

stopt? Desterzaldanondergravitatiesamentrekken,waardoorde entraledrukentemperatuur

zullen toenemen. Bijhogeretemperatuur zullen nieuwe kernrea tiesplaatsvindenen eennieuwe

evenwi htstoestand wordt bereikt. Onder die omstandigheden zullen nieuwe elementen worden

gevormd. Erzijndusvers hillendestadia vankernfusieen ontra tie. Inallestadia zullenzware

elementengegenereerdworden. Fig. 9geeftderesultatenvandeberekeningvandesamenstelling

Figuur9:Resultatenvandeberekeningvandesamenstellingvaneenstermeteenmassavan15

zonnemassa's. Deabondanties van de diverse elementen worden gegeven als fun tie van massa

(inzonnemassa's).

van een ster met een massa van 15 zonnemassa's. Deze ster bevindt zi h aan het eind van de

diversestadiavanverbranding. Eendergelijkesterzaldandesupernova-fase ondergaan,waarna

zij zi h tot een neutronenster zal ontwikkelen. Ook voor de berekening van de supernova-fase

bestaanernauwkeurige modellen. Figuur10 toontde resultaten vaneen dergelijke berekening.

Figuur 10:Resultaat vaneen omputersimulatie van een supernova. Demassaverdeling wordt

gegevenals fun tie vande tijd, voor de eerste0,7se onde vanhet pro es.

Devolgendebelangrijkestap,nadevormingvan

4

He,isdeprodu tievan

12

C.Het

8

Be,gevormd

inderea tie

4He⁴He →⁸Be^{,isinstabiel. E hter,indiende4Hedi htheidhooggenoegis,kunnen}

meetbare hoeveelheden

8

Beaanwezigzijn indeevenwi htsrea tie

4He⁴He ⇐⇒⁸Be^∗. ⁽⁴⁸⁾

Explosieve koolstof verbranding

Massaabundantie

Figuur 11: Residu van koolstofverbrandingin een exploderende ster. De irkels stellen zonne-

stelselabondanties voor,terwijldeberekende waardendoorkruisengerepresenteerdworden. De

lijnenverbindenstabiele isotopenvan eengegeven element. Deaangenomen piektemperatuuris

2 × 10^{9 Ken de di htheid is}10^{8 kg/m3.}

Vangstvan een alfadeeltje kan dan plaatsvinden,

4He⁸Be^∗→¹²C, ⁽⁴⁹⁾

waardoor koolstofgevormd wordt. Deze vangst-rea tie wordt versterkt, omdat de vormingvan

12

Cvoornamelijk verloopt viaeen resonantie meteen aangeslagen toestand,

12C^∗.

Devormingvan

16

Ovindt plaats via

4He¹²C →¹⁶O γ. ⁽⁵⁰⁾

Bovenstaande sequentie kan herhaaldworden voor zwaardere elementen, terwijlproton- en neu-

tronvangst de elementen kunnen vormen die tussen de alfa-a htige nu leïden liggen. Fusierea -

ties, zoals koolstofverbranding, zijn van vitaal belang om rekens hap te kunnen geven van de

abondantie vanelementen inhetgebied20 ≤ A ≤ 32^{. Derea ties,}

12C ¹²C → ²⁰Ne α

→ ²³Na p

→ ²³Mg n

(51)

vereiseneentemperatuurhogerdanongeveer10^{9 K.Dergelijke}temperaturen komensle htsvoor inenkelezeermassievesterrenenmendenktdatkoolstofverbrandingvoornamelijkplaatsvindtin

sterren ongeveer 2 × 10^{9 K is. Figuur 11 laat zien dat de abondantie van de} geprodu eerde elementengoedovereenkomt met deresultaten vanstermodellen. Opdezelfde manierkanzuur-

stofverbranding,

16O¹⁶O → ²⁸Si α

→ ³¹P p

→ ³¹S n

(52)

rekens hap geven van de abondantie van elementenmet 32 ≤ A ≤ 42^{, maar vereist een tempe-}

ratuur van ongeveer 3, 6 × 10^{9 K.} Verbranding van sili ium draagt bijtot de verklaring van de vormingvan veelelemententot Ni.

Een nieuw aspe tkomt aan de ordeals de vormingvan ijzer bereikt wordt. Debindingsenergie

pernu leonheefteenmaximumindebuurtvandeFe-groep. Vooratoomgetallengroterdandat

van ijzer, neemt de bindingsenergie per nu leon af. Om die reden kan de Fe-groep niet dienst

doen als brandstof en de verbranding stopt als ijzer gevormd is. Dit verklaart ook waarom de

elementenindebuurtvanFemeerabondant zijndanandere. Elementenzwaarderdanijzerzijn

waars hijnlijk gevormd door neutron- en protonvangst rea ties. Deze pro essen vinden plaats

zolang de ster brandtof wanneer explosiesprotonen en neutronen produ eren. Op hetmoment

dat dekernrea tiesdiede energievande sterleverenstoppen,stopt ookde produ tievanzware

elementen.

3.4 Standaard zonnemodel

Hetstandaard zonnemodel (standard solar model - SSM) is een van de meest omplete en su -

esvolle theorieën van de modernesterrenkunde. We zullen de basisgeda htena hter ditmodel

en de onsequenties ervan kortbespreken. HetSSM isgebaseerdop vieraannamen:

• ^{Dezon issferis h}symmetris h.

• ^{Dezon isin}hydrostatis hevenwi ht.

• ^{Energie wordt} overgebra ht door straling en onve tie alsookdoor neutrino's.

• ^{Fusie vanwaterstof totheliumis de}energiebron.

De entripetale versnelling op de equator van de zon is a = v²/R ≈ 5 × 10^{−3 m/s2 en dat}

is verwaarloosbaar ten opzi hte van haar gravitatie van g = GM/R² ≈ 274 ^{m/s2. Sferis he}

symmetrie is dus een goede aanname en we mogen toestandvariabelen, zoals temperatuur en

druk, s hrijven als fun tie van de afstand tot het entrum van de zon, bijvoorbeeld T (r) ^en P (r)^{. Indiendelokale ompositie} (voornamelijkwaterstofen helium)bekendis, dan geven deze twee grootheden ook de di htheid. Als we aannemen dat de gasdruk

22

dominant is over de

stralingsdrukdankunnenwe dezelaatsteverwaarlozen. Er geldtPgas= ^ρkT_µ ^en Pstraling= ^4σT_3c^4,

metρ^{dedi htheid,}µ^dedeeltjesmassa(3, 345 × 10^−27kgvoorwaterstofmole ulen),σ ^deStefan-

Boltzmann onstante enc^de li htsnelheid. Diepindezon bedraagt dedi htheidρ ∼ 10^{4 kg/m3}

en temperatuur T ∼ 10^{7 K en onder deze ondities vinden we} P_gas ∼ 1, 4 × 10^{15 N/m2 en} Pstraling ∼ 2, 5 × 10^{12 N/m2. We ziendat de} stralingsdrukinderdaad verwaarloosbaar is

23

.

22

Wevindendeuitdrukkingvoordegasdrukuitdeidealegaswet,P V = N kT^,metP^degasdruk,V ^hetvolume, N^{hetaantalmole ulen,}k^{de onstantevanBoltzmannen}T ^detemperatuur. Omdatdedeeltjesdi htheid,

N V = ^ρ

µ^,

metρ^demassadi htheid,µ^hetmole ulaire massa(µ = 2mp ^voorwaterstofmole ulen, H2^)enmp^demassavan

hetproton,kunnenwedegasdrukooks hrijvenalsP = ^ρkT_µ ^.

23