Contexten en begripsontwikkeling bij wiskunde 12.16

T i j d s c h r i f t D i d a c t i e k g-wetenschappen 3 (1985) n r . 3 169

Contexten en begripsontwikkeling bij wiskunde 12.16

R. Dekker, P. H e r f s , J . Terwei Vakgroep Onderwijskunde

R i j k s u n i v e r s i t e i t U t r e c h t

Summary

In t h i s a r t i c l e the a u t h o r s p r e s e n t some r e s u l t s o f r e s e a r c h i n t o new mathemical c u r r i c u l a i n s e c o n d a r y e d u c a t i o n c o n s t r u c t e d by t h e F o u n d a t i o n f o r C u r r i c u l u m Development (SLO). One o f t h e main c h a r a c t e r i s t i c s o f the new c u r r i c u l a i s t h a t p u p i l s a r e p r e s e n t e d w i t h r e a l - l i f e - p r o b l e m s .

The u n d e r l y i n g c o n c e p t f o r t h e s e c u r r i c u l a i s 'mathematics f o r everybody'. A f t e r b e i n g t e s t e d however, the weakest p u p i l s seem t o p r o f i t l e s s from w o r k i n g w i t h r e a l - l i f e - p r o b l e m s than more a b l e ones.

However, t h i s does not mean t h a t the p r e s e n t a u t h o r s , would p l e a d f o r t h r o w i n g o v e r b o a r d r e a l - l i f e - p r o b l e m s a l l t o g e t h e r .

I n l e i d i n g en v r a a g s t e l l i n g

Het w i s k u n d e o n d e r w i j s i s i n beweging. Steeds meer w i s k u n d e l e r a r e n , l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r s en w i s k u n d e o n d e r w i j s o n d e r z o e k e r s werken aan een 'wiskunde voor i e d e r e e n ' . U i t g a a n van de l e e f w e r e l d van de l e e r l i n g e n a l s noodzaak voor i n z i c h t e l i j k l e r e n k r i j g t b i j deze nieuwe wiskunde vorm door w i s k u n d e o p d r a c h t e n i n een c o n t e x t t e p l a a t s e n d i e voor l e e r l i n g e n h e r k e n b a a r i s .

De v o o r o n d e r s t e l l i n g i s d a t zogenaamde, ' r i j k e ' c o n t e x t e n b e l a n g r i j k e f u n c t i e s kunnen v e r v u l l e n b i j het l e r e n van b e g r i p p e n en h e t l e r e n o p l o s s e n van problemen. De v r a a g s t e l l i n g voor d i t a r t i k e l i s op deze f u n c t i e s g e r i c h t , n a m e l i j k :

Hoe f u n c t i o n e r e n c o n t e x t e n a l s m i d d e l b i j h e t l e r e n van w i s k u n d i g e b e g r i p p e n en h e t l e r e n o p l o s s e n van problemen?

170 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g O n d e r z o e k s o p z e t , -methoden en - t e c h n i e k e n

Ons o n d e r z o e k , h e t p r o j e c t I n t e r n e D i f f e r e n t i a t i e W i s k u n d e o n d e r w i j s 12-16 (SVO 0647) i s een o n t w i k k e l i n g s o n d e r z o e k naar h e t f u n c t i o n e r e n van c u r r i c u l a , z o a l s o n t w i k k e l d door h e t S L O - p r o j e c t 'Wiskunde 12-16"

voor g e d i f f e r e n t i e e r d w i s k u n d e o n d e r w i j s voor h e t e r o g e n e groepen i n het v o o r t g e z e t o n d e r w i j s . De o n t w i k k e l i n g s g r o e p 'Wiskunde 12-16', gaat u i t van een c o n c e p t 'wiskunde v o o r i e d e r e e n ' . E s s e n t i e e l voor d i t c o n c e p t en h e t daarop gebaseerde c u r r i c u l u m i s een r e e k s vernieuwende kenmer- ken. Ons onderzoek s p i t s t z i c h t o e op een a a n t a l van deze kenmerken.

Het u i t g a a n van c o n t e x t e n i s daar een van. Het v a s t s t e l l e n van de mate w a a r i n d i t kenmerk i s g e r e a l i s e e r d i s onder meer gebeurd door u i t g e - b r e i d e o b s e r v a t i e s i n twee k l a s s e n op een m i d d e n s c h o o l en op een brede scholengemeenschap, t i j d e n s h e t werken aan twee p a k k e t t e n o v e r g r a f i e - ken: ' G r a f i e k e n t a a i " en ' G r a f i e k e n en Verbanden'. Het g a a t om p a k k e t - t e n d i e door de l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r s van de SLO z i j n o n t w i k k e l d en door hen na een o f meer t r y - o u t s i n de k l a s z i j n b i j g e s t e l d . Pas daarna z i j n de p a k k e t t e n door de o n d e r z o e k e r s o n d e r z o c h t . G r a f i e k e n - t a a l i s tweemaal i n h e t onderzoek b e t r o k k e n . In b e i d e k l a s s e n hebben we ons b i j de o b s e r v a t i e s op één s u b g r o e p j e g e c o n c e n t r e e r d .

Op b e i d e s c h o l e n hebben we ook b i j a l l e b r u g k l a s l e e r l i n g e n (N=375) v r a g e n l i j s t e n afgenomen w a a r i n wat b e t r e f t r i j k e c o n t e x t e n gevraagd werd hoe z i j d i t kenmerk waarnemen, hoe z i j d i t g e r e a l i s e e r d w i l l e n z i e n en wat ze e r v a n g e l e e r d hebben.

B i j a l l e l e e r l i n g e n i s een v o o r t o e t s en een n a t o e t s afgenomen. Deze t o e t s r e s u l t a t e n b e k i j k e n we i n r e l a t i e t o t de r e s u l t a t e n op de v r a g e n - l i j s t e n op h e t punt van c o n t e x t e n .

Het o n d e z o e k s d e s i g n i s t e t y p e r e n a l s een 'one group - p r e t e s t p o s t t e s t " d e s i g n . We h a n t e r e n een c o m b i n a t i e van k w a l i t a t i e f en kwan- t i t a t i e f onderzoek.

T h e o r e t i s c h k a d e r en d e f i n i t i e van c o n t e x t e n

In ons p r o j e c t zoeken w i j a a n s l u i t i n g b i j c o g n i t i v i s t i s c h e theorieën o v e r l e r e n en o n d e r w i j z e n . D i e a a n s l u i t i n g l i g t voor de hand v a n u i t ons v e r t r e k p u n t b i j de Van H i e l e s en F r e u d e n t h a l . Deze a u t e u r s s t a a n i n c o g n i t i v i s t i s c h e t r a d i t i e s . Er z i j n b i j v o o r b e e l d l i j n e n t e t r e k k e n naar de d e n k s c h o l e n ( S e l z ) , naar P i a g e t en naar Kohnstamm. Tevens z i j n v e r b i n d i n g e n t e l e g g e n naar r e c e n t e theorieën, b i j v o o r b e e l d de n i v e a u - t h e o r i e van K l a u s m e i e r .

De t h e o r i e van K l a u s m e i e r kan a l s een v o o r l o p i g e c u l m i n a t i e van een l a n g b e z i n n i n g s p r o c e s op de c o g n i t i e v e o n t w i k k e l i n g van l e e r l i n g e n worden beschouwd. Voor ons p r o j e c t i s van b e l a n g d a t deze t h e o r i e voor een g r o o t d e e l v e r e n i g b a a r i s met de o p v a t t i n g e n van Van H i e l e over de zogenaamde d e n k n i v e a u s (Vastenhouw & Jochems, 1984). Daarom gaan we k o r t i n op de t h e o r i e van K l a u s m e i e r .

Een b e g r i p d e f i n i e e r t K l a u s m e i e r a l s een g e h e e l van e i g e n s c h a p p e n dat

Dekker e.a. 171 kenmerkend i s voor dat b e g r i p ( o b j e c t ) . Iemand d i e h e t w i s k u n d i g e

b e g r i p * f u n c t i e " v o l l e d i g b e h e e r s t moet v o o r b e e l d e n en n o n - v o o r b e e l d e n van f u n c t i e s kunnen o n d e r s c h e i d e n aan de hand van definiërende kenmer- ken. Men kan b e g r i p p e n op v e s c h i l l e n d c n i v e a u s b e h e e r s e n : c o n c r e e t , i d e n t i t e i t , c l a s s i f i c a t i e en f o r m e e l . B e g r i p p e n kan men op d r i e manie- r e n g e b r u i k e n : i n p r i n c i p e s , i n taxonomieën en b i j het o p l o s s e n van problemen. K l a u s m e i e r " s h y p o t h e s e i s dat l e e r l i n g e n de v i e r n i v e a u s i n b e h e e r s i n g van een b e g r i p i n een v a s t e v o l g o r d e d o o r l o p e n : van con- c r e e t naar f o r m e e l . Naarmate b e g r i p p e n op een hoger n i v e a u worden b e h e e r s t z a l de l e e r l i n g e r een e f f e c t i e v e r g e b r u i k van kunnen maken

(Vastenhouw & Jochems, 1984).

Nu we i e t s hebben gezegd over b e g r i p p e n en n i v e a u s gaan we i n op de term c o n t e x t . We geven een d e f i n i t i e van het b e g r i p c o n t e x t door het b e g r i p v a n u i t v e r s c h i l l e n d e g e z i c h t s p u n t e n t e benaderen b.i door het aangeven van de f u n c t i e s d i e c o n t e x t e n i n het o n d e r w i j s l e e r p r o c e s kunnen v e r v u l l e n .

V a n u i t de l e e r l i n g g e z i e n z i j n c o n t e x t e n v e r s c h i j n s e l e n d i e u i t e r a a r d i n c o m b i n a t i e met de opgave u i t n o d i g e n t o t b e s c h r i j v e n , ordenen o f v e r k l a r e n . Daarvoor z i j n o r d e n i n g s m i d d e l e n n o d i g ( b e g r i p p e n , p r i n - c i p e s , p r o c e d u r e s ) .

De l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r s (en de l e r a a r ) s t a a n voor de opgave v e r - s c h i j n s e l e n ( c o n t e x t e n ) t e s e l e c t e r e n d i e een adequate r e p r e s e n t a t i e van h e t b e g r i p m o g e l i j k maken. C o n t e x t e n z i j n omgevingen waarbinnen w i s k u n d i g e o b j e c t e n g e p l a a t s t worden o f b e t e r : waaraan men w i s k u n d i g e b e g r i p p e n kan o n t w i k k e l e n en demonstreren. C o n t e x t e n kan men o n t l e n e n aan het d a g e l i j k s l e v e n . In dat g e v a l gaat het m e e s t a l om c o n t e x t e n d i e b u i t e n de wiskunde l i g g e n . De SLO s p r e e k t d a a r n a a s t ook van con- t e x t e n b i n n e n de w i s k u n d e : a l s b e p a a l d e w i s k u n d i g e b e g r i p p e n éénmaal b e t e k e n i s hebben gekregen voor de l e e r l i n g e n kan men deze v e r v o l g e n s a l s c o n t e x t g e b r u i k e n voor het l e r e n van nieuwe b e g r i p p e n , i n z i c h t e n enz. In d i t a r t i k e l b e p e r k e n we ons e c h t e r t o t h e t c o n t e x t b e g r i p i n de e e r s t e b e t e k e n i s .

In een v e r h a a l t j e over b i j v o o r b e e l d opa d i e naar de supermarkt g a a t , i s het o b j e c t f u n c t i e v e r w e r k t . Daarmee i s het w i s k u n d i g e b e g r i p f u n c t i e op het c o n c r e t e n i v e a u aangeboden. T e g e l i j k i s nu de r e l a t i e t u s s e n c o n t e x t en n i v e a u d u i d e l i j k . Met c o n t e x t e n b e v i n d e n we ons op het l a a g s t e n i v e a u v o l g e n s de t h e o r i e van K l a u s m e i e r . Maar ook a l s de l e e r l i n g het b e g r i p op een hoger n i v e a u b e h e e r s t kunnen c o n t e x t e n een b e l a n g r i j k e r o l b l i j v e n v e r v u l l e n , b i j v o o r b e e l d b i j de t o e p a s s i n g en/of b i j de c o n t r o l e op een b e p a a l d d e n k p r o c e s .

Men kan aan c o n t e x t e n de volgende f u n c t i e s toekennen:

- (a) m i d d e l om aan t e s l u i t e n b i j k i n d e r l i j k e n o t i e s van w i s k u n d i g e b e g r i p p e n ;

172 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g - (b) c o n t r o l e m i d d e l b i j het g e b r u i k e n van het b e g r i p ;

- ( c ) m i d d e l t o t m o t i v a t i e ;

- (d) m i d d e l om de kenmerkende e i g e n s c h a p p e n van een b e g r i p op c o n - c r e t e w i j z e voor t e kunnen s t e l l e n ( r e p r e s e n t a t i e ) ;

- (e) m i d d e l om w i s k u n d i g e b e g r i p p e n t o e t e passen i n de l e e f w e r e l d en daarmee h e t a l l e d a a g s e l e v e n i n z i c h t e l i j k e r t e maken.

Het i s denkbaar (en w e n s e l i j k ) , d a t h e t l e e r p r o c e s a l s v o l g t v e r l o o p t : v e r t r e k k e n d v a n u i t c o n t e x t e n ( h e t c o n c r e t e , v e r t r o u w d e ) durven l e e r - l i n g e n het aan om meer naar de k e r n van h e t b e g r i p door t e s t o t e n . Dat w i l zeggen ze z i e n a f van b i j k o m s t i g h e d e n , d e t a i l s , r u i s enz. Maar s t e e d s b l i j f t w e l de b e h o e f t e t e r u g t e k e r e n t o t de c o n t e x t . Dat g e e f t de m o g e l i j k h e i d om na t e denken o v e r het e i g e n d e n k p r o c e s (ben i k nog op de goede weg? Geen essentiële d i n g e n v e r g e t e n , heb i k ook r e k e n f o u - ten gemaakt? e n z . ) . Anders gezegd: c o n t e x t e n kunnen een r o l s p e l e n b i j m e t a - c o g n i t i e v e p r o b l e e m o p l o s s i n g ( a l s b e g e l e i d e n d e stroom n a a s t de

.-ognities z e l f ) .

D i v e r s e pedagogen, d i d a c t i c i en l e e r t h e o r e t i c i w i j z e n op het b e l a n g van a a n s l u i t e n b i j de l e e f w e r e l d a l s m i d d e l om l e e r l i n g e n t e m o t i v e - ren. U i t g a a n van r i j k e c o n t e x t e n kan de m o t i v a t i e v e r h o g e n . D i e m o t i - v a t i e kan gepaard gaan met de b e r e i d h e i d t i j d t e b e s t e d e n aan de t a a k ( t i m e on t a s k ) . En d a t i s een v a r i a b e l e d i e van g r o t e b e t e k e n i s i s voor l e e r r e s u l t a a t .

Z o a l s gezegd i s het denkbaar d a t het l e e r p r o c e s v e r l o o p t z o a l s h i e r boven g e s c h e t s t . Het i s e c h t e r geen v a n z e l f s p r e k e n d h e i d . Op e l k n i v e a u en b i j e l k e n i v e a u o v e r g a n g i s h u l p van de l e r a a r en/of m e d e l e e r l i n g e n n o o d z a k e l i j k .

F u n c t i e s van c o n t e x t e n , een o b s e r v a t i e

L., een l e r a a r d i e aan ons onderzoek h e e f t meegedaan, h e e f t w i s k u n d e - o p d r a c h t e n rond de c o n t e x t " U i t v i s s e n " i n z i j n k l a s i n g e l e i d door m i d d e l van een k l a s s e g e s p r e k .

Het k l a s s e g e s p r e k v e r l i e p a l s v o l g t :

L.: " V e r t e l eens e v e n , 40 k i l o h o e v e e l i s d a t ? "

Rob: "80 pond".

L.: "Nee, i n ponden p r a t e n we n i e t . "

M e i s j e : " H e e l zwaar."

B e r d i e n : "40 k i l o , dat i s net zo zwaar a l s m i j . "

L.: "Aha, 40 k i l o , z e g t B e r d i e n . Dat i s net zo zwaar a l s z i j i s . Wie weegt h i e r rond de 40 k i l o ? "

Het merendeel van de l e e r l i n g e n schommelt rond d i t g e w i c h t . T a s j a : "Ohh, i k k e weeg meer."

L.: "Dus dat was n i e t een v i s j e , waar h e t ( v e r h a a l ) o v e r g a a t . Maar d a t was een b e h o o r l i j k e v i s van 40 k i l o . En het s n o e r t j e was 1 mm d i k . "

Dekker e.a. ;

De c o n t e x t en de opgave i s weergegeven i n f i g u u r 1.

173.

UITVISSEN (1)

"Ik heb iemand een vis zien vangen van wel 40 kilo" r o e p t Gemma a l s ze t h u i s komt.

"Dat kan toch niet joh, daar heb je een paal met een dikke kabel voor nodig om die vie uit het water ij hijeen" antwoordt vader o n g e l o v i g .

"Nee hoor" zegt Gemma, "wat voor hengel het waa weet ik niet, maar het wae een snoertje van maar 1 mm dikte. Dat riepen se tenminste."

Vader g e l o o f t e r n i e t s van. "Volgens mij kan dat niet. Dan aal die vis wel heel wat minder dan 40 kilo hebben gewogen. Dat overdrijven se natuurlijk. Ik denk dat dat bij de afdeling sterke verhalen thuis hoort."

Gemma b e g i n t wel een b e e t j e te t w i j f e l e n . Zou h e t dan t o c h n i e t waar z i j n ? Maar z i j had z e l f g e z i e n d a t h e t een h e e l dun d r a a d j e was geweest waar d i e v i s aan h i n g . En ze waren met z'n tweeën i n de weer geweest om d i e g r o t e v i s u i t het water t e t r e k k e n . "40 kilo" hadden ze geroepen, "aan een draadje van 1 millimeter". M i s s c h i e n had z i j d a t l a a t s t e t o c h n i e t goed v e r s t a a n .

Wat denken j u l l i e , zou Gemma g e l i j k hebben o f n i e t ?

Gemma l a a t h e t e r (nog) n i e t b i j z i t t e n .

We z u l l e n eens v o l g e n wat Gemma gaat doen. En. van z e l f , doen j u l l i e ook mee.

"Wat voor soorten vissnoeren xijn er zoal? Hoe dik zijn die en hoeveel kan daar aanhangen?" v r a a g t Gemma z i c h a f .

Z i j s t a p t de AVWU, een g r o o t w i n k e l b e d r i j f , b i n n e n , want d a a r verkopen ze a l l e r l e i v i s a r t i k e l e n .

Ze hebben v i e r s o o r t e n v i s s n o e r e n . D i t z i j n de e t i k e t j e s .

K i j k eens naar h e t e t i k e t j e op k l o s j e B. Daar staan een paar gegevens op over het s o o r t snoer d a t op d a t k l o s j e z i t .

"kg 10,125" b e t e k e n t d a t d i t snoer b r e e k t a l s j e e r i e t s aan hangt dat meer dan 10 kg p l u s 125 gram weegt. ^

"45/100 0 " b e t e k e n t d a t de d i k t e van het snoer mm i s . Het t e k e n t j e ' 0' wordt b i j t e c h n i s c h e zaken vaak g e b r u i k t a l s a f k o r t i n g voor h e t b e g r i p 'diameter'.

174 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g B e r d i e n : "Uhh. Dat kan h e l e m a a l n i e t . "

L.: "De v r a a g i s dus: kan j e een v i s van 40 k i l o vangen met een s n o e r van 1 m i l l i m e t e r d i k t e ..."

"Nee, d a t kan n i e t " , o n d e r b r e e k t een a a n t a l l e e r l i n g e n de d o c e n t . L.: "... zonder d a t h e t s n o e r b r e e k t ? "

Een paar j o n g e n s denken d a t dat ^nderdaad kan.

M a r c e l : "Je k u n t hem w e l vangen, maar j e k u n t hem e r n i e t u i t t r e k k e n . "

L.: " H i j w i l wat zeggen?"

M a r c e l : "Je kunt hem wel vangen. Dat heb j e b i j h e e l v e e l s p o r t v i s s e r d d i e v i s s e n . D i e h a l e n hem n i e t d i r e c t u i t h e t w a t e r , maar d i e h a l e n hem e e r s t door h e t water heen naar de k a n t en dan met zo'n s c h e p n e t j e h a l e n ze hem omhoog."

M e i s j e : " E e r s t u i t l a t e n zwemmen."

L.: "Maar d i e v i s van 40 k i l o , d i e b l i j f t dus 40 k i l o en d i e z a l e r dus ook w e l met 40 k i l o aan t r e k k e n . D i e l a a t z i c h hangen. Nou, wat

denk j e ? Zou h e t kunnen?" ^t

De meesten denken d a t h e t n i e t kan.

Het j o n g e n s g r o e p j e r e c h t s a c h t e r i n de k l a s b e g i n t t e t w i j f e l e n . L.: "Edwin?"

Edwin: " J a , a l s j e aan zo'n d r a a d j e h a n g t , dan denk i k n i e t d a t d a t d r a a d j e h e t h o u d t . "

L.: "Maar j i j z e g t n i e t : h e t kan h e l e m a a l n i e t ? Want h i j h e e f t i n de g a t e n d a t d i e s n o e r t j e s n o g a l s t e r k z i j n . "

M a r c e l : " J a , maar i n h e t water i s h e t m e e s t a l l i c h t e r . "

L.: " J a , maar z i j (=Gemma) z e g t dus d a t z i j hem op h e t l a a t s t e e r u i t h a a l d e n . Dus t o e n h i n g h i j even aan de d r a a d . "

B e r d i e n en C o l e t t e : "Dat houdt d i e n i e t . "

L.: "Wie denkt d a t h e t w e l kan?"

Niemand i n de k l a s i s e r s t e l l i g van o v e r t u i g d d a t h e t w e l kan. A l s geen e n k e l e l e e r l i n g r e a g e e r t op de v r a a g , z e g t B e r d i e n : " M a r c e l , M a r c e l denkt dat h e t k a n . "

L.: "Wacht e f f e . M a r c e l en H e n r i k e mogen h e t zeggen. H e n r i k e ? "

H e n r i k e : " I k d a c h t d a t h e t m i s s c h i e n wel kan, maar h e t l i g t n i e t e r a a n hoe s t e r k de h e n g e l i s ? "

L.: "Nee h e t gaat om h e t s n o e r . De h e n g e l i s s t e r k genoeg. En j i j ? "

( = M a r c e l ) .

M a r c e l : "Nou, op 8/100 daar g a a t een normale v o o r n a l doorheen. Ik denk d a t ze zo'n b e e t j e 55/100 ..."

L.: "Oh, wacht even. H i j weet e r i e t s van ..."

M a r c e l : " I k ben D e v e n t e r kampioen."

" J a h o o r " , z e g t een s t e l m e i s j e s d i e d a t n i e t g e l o v e n . L.: "Daar k r i j g e n we h e t s t r a k s o v e r , 8/100 ..."

M a r c e l : " J a h o o r , d a t g e l o o f j e n i e t , he?"

L.: "Dan moet j i j ( = M a r c e l ) h e e l goed j e b e s t doen met deze opgave.

Want d i t i s een h e l e l e u k e opgave, om e r a c h t e r t e komen o f h e t nou wel o f n i e t kon."

Dekker e.a. 175 M a r c e l : " M i j n vader v i s t ook v ^ e l . En d i e doet ook aan w e d s t r i j d e n mee. We g i n g e n eens k a r p e r s v i s s e n i n een v i j v e r . En toen was e r een j o n g e n , d i e h a a l d e e r ook zo'n h e l e g r o t e u i t . Ik g e l o o f wel 25 k i l o . D i e k r e e g d i e e r wel u i t , maar wel met v e e l m o e i t e . "

L. doet e r a l l e s aan om de c o n t e x t t e l a t e n l e v e n . H i j o r g a n i s e e r t een k l a s s e g e s p r e k w a a r i n h i j e i g e n e r v a r i n g e n en n o t i e s van l e e r l i n g e n b e t r e k t om hen voor het maken van de o p d r a c h t t e m o t i v e r e n . B e r d i e n , een m e i s j e u i t z i j n k l a s v e r g e l i j k t het g e w i c h t v a n de v i s u i t de o p d r a c h t met haar e i g e n g e w i c h t en komt zo t o t de v e r o n d e r s t e l l i n g d a t een v i s van 40 k i l o n i e t aan een s n o e r t j e van 1 mm d i k t e kan hangen.

M a r c e l , een andere l e e r l i n g u i t de k l a s t w i j f e l t . Samen met anderen d r a a g t h i j s i t u a t i e s u i t z i j n l e e f w e r e l d aan w a a r b i j het m i s s c h i e n w e l m o g e l i j k i s . De l e e r k r a c h t h a a l t bewust M a r c e l s e r v a r i n g naar v o r e n om de a a n v a n k e l i j k e v e r o n d e r s t e l l i n g t e c o n t r o l e r e n .

Zo wordt de k l a s g e m o t i v e e r d om t o t w e r k e l i j k verifiëren van Gemma's h y p o t h e s e i n de o p d r a c h t o v e r t e gaan en k r i j g t a l hec w i s k u n d i g h a n d e l e n b i n n e n de o p d r a c h t een reële b e t e k e n i s .

L e e f w e r e l d en wiskunde kunnen e l k a a r zo v e r s t e r k e n .

In de a a n s l u i t e n d e o p d r a c h t e n wordt een verband g e z o c h t t u s s e n h e t maximale g e w i c h t van de v i s en de d i k t e van het snoer v i a de t r e k - k r a c h t .

A n a l y s e van het v o o r b e e l d i n het l i c h t van K L a u s m e i e r s t h e o r i e

C e n t r a a l s t a a t h e t b e g r i p f u n c t i e : de t r e k k r a c h t i s een f u n c t i e van de d i k t e (en het m a t e r i a a l ) van het v i s s n o e r .

C o n c r e t e n i v e a u : Met de c o n f r o n t a t i e met het v e r h a a l van Gemma be- v i n d e n de l e e r l i n g e n z i c h op het c o n c r e t e n i v e a u . Op d i t n i v e a u moeten z e , op b a s i s van de v r a a g , kunnen b e p a l e n wat r e l e v a n t e gegevens z i j n i n d i t v e r h a a l . Ze moeten r e l e v a n t e o b j e c t e n kunnen o n d e r s c h e i d e n temidden van de omgeving. I n d i t g e v a l i s d a t : 'een p a a l met een d i k k e k a b e l ' o f 'een d r a a d j e van een m i l i m e t e r ' om een v i s van 40 k i l o u i t het w a t e r t e t r e k k e n . We merken op dat z e l f s op d i t c o n c r e t e n i v e a u a l een k i n d e r l i j k e , i n t u i t i e v e n o t i e van f u n c t i e o f samenhang wordt v e r o n d e r s t e l d . Kenmerkend voor 'wiskunde voor i e d e r e e n ' i s dat deze n o t i e s n i e t t e r z i j d e worden geschoven maar bewust worden g e b r u i k t a l s a a n g r i j p i n g s p u n t i n het l e e r p r o c e s .

I d e n t i t e i t s n i v e a u : L e e r l i n g e n z i e n i n dat het h i e r om v e r g e l i j k b a r e o b j e c t e n g a a t . Met andere woorden dat e r g e n e r a l i s a t i e t u s s e n deze b e i d e o b j e c t e n m o g e l i j k i s ( d r a a d j e en k a b e l ) . .

C l a s s i f i c e r e n : L e e r l i n g e n onderkennen dat e r een samenhang i s t u s s e n d i k t e en de t r e k k r a c h t van het s n o e i . B i j v o o r b e e l d dat j e de s n o e r t j e s k u n t ordenen naar d i k t e en dat daarmee een o r d e n i n g van de t r e k k r a c h t c o r r e s p o n d e e r t .

176 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g F o r m e l e n i v e a u : L e e r l i n g e n F o r m u l e r e n , ( o f tekenen o f s t e l l e n een

f o r m u l e op) d a t de t r e k k r a c h t een f u n c t i e i s van de d i k t e van het v i s s n o e r .

In v e r v o l g o p d r a c h t e n kan men l e e r l i n g e n g e b r u i k l a t e n maken van het b e g r i p f u n c t i e .

In p r i n c i p e s : b i j v o o r b e e l d hoe d i k k e r hoe s t e r k e r

In taxonomieën: een f u n c t i e i s een b e p a a l d s o o r t verband

In p r o b l e m e n : hoe d i k moeten de k a b e l s van een b r u g z i j n a l s ... enz.

U i t b o v e n s t a a n d e b l i j k t d a t d i t d e e l van het o n d e r w i j s l e e r p r o c e s i n termen van K l a u s m e i e r s t h e o r i e t e a n a l y s e r e n v a l t . Daarmee komt een t a a k a n a l y s e b i n n e n b e r e i k d i e het p r i n c i p e m o g e l i j k maakt v a s t t e s t e l l e n op welk n i v e a u een k l a s , subgroep o f i n d i v i d u e l e l e e r l i n g e n z i c h b e v i n d t en welke m a a t r e g e l e n n o d i g z i j n om naar een hoger n i v e a u t e gaan. T e g e l i j k e r t i j d wordt h e t m o g e l i j k om i n s p e c i f i e k e termen aan t e geven o f en i n h o e v e r r e l e e r l i n g e n van e l k a a r v e r s c h i l l e n en van e l k a a r kunnen l e r e n . O v e r i g e n s s u g g e r e r e n we daarmee geen algemene g e l d i g h e i d van K l a u s m e i e r s t h e o r i e . Het i s denkbaar d a t b i j andere onderwerpen i n de wiskunde o f b i j andere v a k g e b i e d e n , zo'n a n a l y s e a a n z i e n l i j k g e c o m p l i c e e r d e r wordt o f z e l f s o n m o g e l i j k i s .

De l e e r e r v a r i n q e n l i j s t en c o n t e x t e n

Een van de k w a n t i t a t i e v e o n d e r z o e k s i n s t r u m e n t e n d i e b i n n e n het ID- p r o j e c t g e b r u i k t werd, was de l e e r e r v a r i n g e n l i j s t ( 1 ) . In d i e l i j s t werd een a a n t a l s t e l l i n g e n met b e t r e k k i n g t o t het vernieuwde wiskunde- o n d e r w i j s g e p r e s e n t e e r d .

Aan de l e e r l i n g e n s t e l d e n w i j v e r v o l g e n s de v r a a g o f z i j het eens, oneens o f noch eens, noch oneens met d i e s t e l l i n g waren. Twee s t e l l i n - gen hadden b e t r e k k i n g op r i j k e c o n t e x t e n :

S t e l l i n g 6: Het werken met onderwerpen z o a l s f i e t s e n , humeur t i j d e n s een v o e t b a l w e d s t r i j d , s t e r k t e van v i s s n o e r e n , het weerbe- r i c h t enz. v e r g e m a k k e l i j k t het l e r e n van wiskunde.

S t e l l i n g 7: Het werken met onderwerpen z o a l s f i e t s e n , s t e r k t e van v i s s n o e r e n enz. maakt de w i s k u n d e l e s s e n a a n t r e k k e l i j k . Het woord " c o n t e x t ' vermeden we o p z e t t e l i j k i n de s t e l l i n g e n , omdat w i j v e r w a c h t t e n d a t de b e t e k e n i s van d a t woord n i e t d u i d e l i j k zou z i j n voor 1 3 - j a r i g e l e e r l i n g e n .

B i j n a 400 l e e r l i n g e n b e o o r d e e l d e n deze s t e l l i n g e n . De antwoorden waren n i e t i n overeenstemming met de v e r w a c h t i n g e n .

S l e c h t s 48,5?ó en 44,0?ó van de l e e r l i n g e n was het eens met r e s p . s t e l - l i n g 6 en 7. P e r c e n t a g e s l e e r l i n g e n van 12,7 en 21,3 waren het n i e t eens, noch oneens met s t e l l i n g 6 en 7: r e s p . 38,8?ó en 34,6?ó.

We c o n c l u d e r e n d a t r i j k e c o n t e x t e n voor een m e e r d e r h e i d van de l e e r - l i n g e n n i e t d i e f u n c t i e v e r v u l l e n d i e de o n t w i k k e l a a r s e r van v e r - w a c h t t e n .

Dekkers e.a 177 i n t e r v i e w s met l e e r l i n g e n

" A l s j e een onderwerp

hebt

dat j e n i e t l e u k v i n d t dan ga j e e r b i j n a ook n i k s aan doen. Dan ga j e h e l e m a a l v e r v e l e n d doen omdat j e e r n i k s aan v i n d t o f omdat j e h e t n i e t b e g r i j p t . "

J o s e , een van de door ons geïnterviewde l e e r l i n g e n g e e f t d u i d e l i j k z i j n mening o v e r de b e t e k e n i s d i e l e u k e c o n t e x t e n voor hem hebben o f l i e v e r gezegd wat e r g e b e u r t a l s ze n i e t l e u k z i j n . H i j en de andere geïnterviewde l e e r l i n g e n geven aan welke o p d r a c h t e n i n de p a k k e t t e n hen a a n s p r e k e n en welke n i e t . Hun meningen z i j n v e r r a s s e n d e e n s l u i - dend. Onderwerpen a l s het weer en f i e t s e n z i j n g e w i l d , maar c o n t e x t e n d i e hen onbekend z i j n s t a a n hen tegen z o a l s J a n e , een andere l e e r l i n g v e r w o o r d t : " I k vond vaak een onderwerp gewoon n i e t l e u k . Ik begreep e r ook h e l e m a a l n i e t s van. En dan s t o n d e r weer van ' j e moet de g r a f i e k tekenen van de g a s r e k e n i n g " . Ik w i s t n i e t eens wat g a s r e k e n i n g was."

De m e i s j e s van de geïnterviewde l e e r l i n g e n z i j n i e t s n e g a t i e v e r o v e r de c o n t e x t e n dan j o n g e n s . K e n n e l i j k i s het voor l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r s m o e i l i j k a a n s l u i t i n g b i j de l e e f w e r e l d van m e i s j e s t e v i n d e n . D i t i s o p v a l l e n d omdat 'wiskunde voor i e d e r e e n ' . i m p l i c e e r t d a t deze wiskunde ook m e i s j e s a a n s p r e e k t . A l l e negen w i l l e n d u i d e l i j k v e r b e t e r i n g van de c o n t e x t e n wat b e t r e f t h e t l e u k en bekend z i j n . Terug naar ' c o n t e x t - l o o s ' ( i n de z i n van b e t e k e n i s l o o s voor de l e e r l i n g e n ) w i l l e n ze d u i d e l i j k n i e t want op de e n k e l e ' c o n t e x t l o z e ' b l a d z i j d e s u i t h e t p a k k e t r e a g e r e n ze z e e r n e g a t i e f . "Dat h e e f t h e l e m a a l geen i n h o u d " i s h e t commentaar.

De P E R C I A - l i j s t en r i j k e c o n t e x t e n

Een ander k w a n t i t a t i e f o n d e r z o e k s i n s t r u m e n t was de v r a g e n l i j s t omtrent de P e r c e p t i e van h e t C u r r i c u l u m - i n - A c t i e ( P E R C I A - v r a g e n l i j s t ) .

Deze v r a g e n l i j s t v e r t o o n t overeenkomsten met e l d e r s g e b r u i k t e i n s t r u - menten om de p e r c e p t i e van de l e e r o m g e v i n g t e meten. Door K u h l e m e i e r

(1983) i s een i n h o u d e l i j k e t o e s p i t s i n g gemaakt op v e r n i e u w i n g s k e n m e r - ken van het P L O N - p r o j e c t . H i e r d o o r geïnspireerd hebben w i j een v r a g e n - l i j s t o n t w i k k e l d d i e i s g e b a s e e r d op v e r n i e u w i n g s k e n m e r k e n d i e horen b i j de S L O - f i l o s o f i e , wiskunde voor i e d e r e e n .

In de P E R C I A - v r a g e n l i j s t namen w i j 6 v r a g e n op met b e t r e k k i n g t o t het kenmerk r i j k e c o n t e x t e n . De vorm van de v r a g e n was a l s v o l g t :

De o p d r a c h t e n gaan waar de l e e r l i n g e n

o v e r onderwerpen, weiwat vanaf weten.

N 01

D n> 1—•

O 1—' en c rf

O Q. O 01

H- 3 01 c_..

r r 3 01 7T O.

a) D i t komt 1 2 3 4 5 voor b) Ik w i l g r a a g d a t h e t 1 2 3 4 5 voorkomt

178 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g I n de a - v r a a g werd gevraagd naar de r e a l i s e r i n g van een b e p a a l d v e r - nieuwingskenmerk, t e r w i j l i n de b - v r a a g naar de gewe'nste mate van r e a l i s e r i n g gevraagd werd.

Van de zes vragen d i e b e t r e k k i n g hadden op h e t v e r n i e u w i n g s k e n m e r k r i j k e c o n t e x t e n , b e s p r e k e n we e r v i e r :

1. De onderwerpen, d i e i n de o p d r a c h t e n g e b r u i k t worden, z i j n l e u k . 2. De o p d r a c h t e n gaan over onderwerpen, waar de l e e r l i n g e n w e l wat

v a n a f weten.

3. De onderwerpen van de o p d r a c h t e n maken d u i d e l i j k waarover een o p d r a c h t g a a t .

4. De onderwerpen maken de o p d r a c h t e n g e m a k k e l i j k . De gemiddelden op de ( a - ) v r a g e n waren:

v r a a g 1: 3,4 v r a a g 2: 3,3 v r a a g 3: 3,6 v r a a g 4: 3,3.

Voor a l l e v i e r vragen g o l d d a t het f e i t e l i j k voorkomen schommelde t u s s e n "soms" en "vaak". U i t de antwoorden op de b - v r a a g (de w e n s e l i j - ke s i t u a t i e ) konden w i j a f l e i d e n hoe hoog het p e r c e n t a g e l e e r l i n g e n was, d a t een v e r a n d e r i n g v o o r s t o n d . D i e p e r c e n t a g e s waren:

67?ó wenst v a k e r l e u k e r e onderwerpen ( v r a a g 1 ) ;

61?ó wenst v a k e r onderwerpen waar men wat v a n a f weet ( v r a a g 2 ) ;

55?ó wenst dat het v a k e r voorkomt d a t de onderwerpen d u i d e l i j k maken waarover een o p d r a c h t gaat ( v r a a g 3 ) ;

60?ó wenst d a t het v a k e r voorkomt d a t de onderwerpen de o p d r a c h t e n g e m a k k e l i j k e r maken ( v r a a g 4 ) .

U i t de r e l a t i e f hoge p e r c e n t a g e s l e i d e n we a f dat het v e r n i e u w i n g s i d e e w e l i s w a a r p o s i t i e f ontvangen w o r d t , maar dat de u i t w e r k i n g van het kenmerk r i j k e c o n t e x t e n i n het l e s m a t e r i a a l t e wensen o v e r l a a t .

Verbanden t u s s e n p r o c e s s e n , t o e t s r e s u l t a t e n en l e e r e r v a r i n g e n met b e t r e k k i n g t o t c o n t e x t e n

Tot nu toe hebben we de r e s u l t a t e n van a f z o n d e r l i j k e o n d e r z o e k s i n s t r u - menten bekeken. E r v a l t e c h t e r meer t e zeggen dan d a t . In het tweede i n t e r i m r a p p o r t ( D e k k e r , H e r f s , T e r w e i , Van d e r P l o e g , 1985b) z i j n de r e s u l t a t e n van de v r a g e n l i j s t e n o n d e r l i n g met e l k a a r i n verband ge- b r a c h t . Bovendien hebben w i j c o r r e l a t i e s berekend t u s s e n de l e e r e r v a - r i n g e n met b e t r e k k i n g t o t c o n t e x t e n en de t o e t s r e s u l t a t e n .

In de h i e r o n d e r g e p r e s e n t e e r d e t a b e l l a t e n w i j z i e n wat het verband i s t u s s e n l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. c o n t e x t e n en

a. t o e t s r e s u l t a t e n ;

b. p r o c e s s e n i n de k l a s , z o a l s gemeten v i a de p e r c i a - s c h a a l .

Dekker e.a. 179 LE ( l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n ,

d.w.z. s t e l l i n g 6 en 7) v o o r t o e t s . ;428

p = .010*

n a t o e t s .5676 p = .007*

l e e r w i n s t .1256 p = .310

P e r c i a - c l u s t e r 1 .6042 (samenwerken) p = .004*

P e r c i a - c l u s t e r 2 - . 5190 ( g e p r a a t , rumoer) p = .014*

P e r c i a - c l u s t e r 3 - 5163 ( n i e t samenwerking) p = .014*

P e r c i a - c l u s t e r 4 .2646 p l a a t s b e p a l i n g en p = .144

( i n s t r u c t i e )

P e r c i a - c l u s t e r 5 .637G ( k l a s s i k a l e b e s p r e k i n g ) p = .002*

P e r c i a - c l u s t e r 6 - . 0833 ( b e g e l e i d i n g ) p = .371

T a b e l 1: C o r r e l a t i e s t u s s e n k l a s s e g e m i d d e l d e n ( n = 1 8 ) ;

* = s i g n i f i c a n t op 5% n i v e a u .

(Voor de o p e r a t i o n a l i s e r i n g en i n s t r u m e n t a t i e z i e ons tweede i n t e r i m - r a p p o r t .)

Z o a l s u i t de t a b e l b l i j k t , hebben we een a a n t a l ( r e l a t i e f hoge) c o r r e - l a t i e s gevonden. D i e verbanden z i j n :

- In k l a s s e n met een hoge s c o r e op de v o o r t o e t s z i j n de l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n b e t e r dan i n k l a s s e n met een l a g e s c o r e op de v o o r t o e t s .

- I n k l a s s e n met een hoge s c o r e op de n a t o e t s z i j n de l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n b e t e r dan i n k l a s s e n met een l a g e s c o r e op de n a t o e t s .

- In k l a s s e n w a a r i n de l e e r l i n g e n e l k a a r vaak h e l p e n en w a a r i n goed wordt samengewerkt z i j n de l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n b e t e r dan i n k l a s s e n w a a r i n d a t minder vaak g e b e u r t .

- In k l a s s e n w a a r i n v e e l g e p r a a t en rumoer i s en w a a r i n de l e e r l i n g e n vaak p r a t e n o v e r d i n g e n d i e n i e t s met de l e s s e n t e maken hebben, z i j n de l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n s l e c h t e r dan i n k l a s - sen waar d a t minder vaak voorkomt.

180 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g - In k l a s s e n w a a r i n n i e t adequaat wordt samen wordt gewerkt z i j n de

l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n s l e c h t e r dan i n k l a s s e n waar dat minder vaak voorkomt.

- In k l a s s e n w a a r i n de docent r e l a t i e f vaak k l a s s i k a l e i n l e i d i n g e n en n a b e s p r e k i n g e n houdt z i j n de l e e r e r v a r i n g e n m.b.t. r i j k e c o n t e x t e n b e t e r dan i n k l a s s e n waar dat minder vaak voorkomt.

Samengevat: hoe b e t e r de k l a s qua t o e t s r e s u l t a t e n en o n d e r l i n g e samen- w e r k i n g en hoe v a k e r de l e r a a r k l a s s i k a l e momenten i n l a s t , des t e p o s i t i e v e r z i j n de l e e r e r v a r i n g e n van de l e e r l i n g e n met b e t r e k k i n g t o t c o n t e x t e n en omgekeerd.

C o n c l u s i e s en d i s c u s s i e

We kenden aan het werken met r i j k e c o n t e x t e n v i j f f u n c t i e s t o e . a. m i d d e l t o t a a n s l u i t i n g b i j k i n d e r l i j k e n o t i e s ;

b. c o n t r o l e m i d d e l b i j b e g r i p s g e b r u i k ; c. m i d d e l t o t m o t i v a t i e ;

d. m i d d e l om kenmerkende e i g e n s c h a p p e n van een b e g r i p op c o n c r e t e r e w i j z e voor t e s t e l l e n ;

e. m i d d e l om w i s k u n d i g e b e g r i p p e n t o e t e passen i n de l e e f w e r e l d .

U i t het g e p r o t o c o l l e e r d e l e s v e r s l a g kwamen de e e r s t e v i e r f u n c t i e s n a d r u k k e l i j k naar v o r e n . De v r a g e n l i j s t e n maakten d u i d e l i j k dat de l e e r l i n g e n het c u r r i c u l u m k e n m e r k c o n t e x t e n i n b e g i n s e l p o s i t i e f waar- d e r e n , maar minder t e s p r e k e n z i j n o v e r de f e i t e l i j k i n het l e s m a t e - r i a a l aangeboden c o n t e x t e n . U i t de i n t e r v i e w g e g e v e n s b l e e k dat even- eens: " A l s j e een onderwerp h e b t , dat j e n i e t l e u k v i n d t , dan ga j e e r ook b i j n a n i k s aan doen."

We l e i d e n h i e r u i t a f dat h e t van g r o o t b e l a n g i s om c o n t e x t e n aan t e b i e d e n d i e a a n s l u i t e n b i j de l e e f w e r e l d van de l e e r l i n g e n . Wanneer het kenmerk r i j k e c o n t e x t e n moet d i e n e n a l s m i d d e l om b e g r i p p e n i n het o n d e r w i j s aan t e l e r e n , dan s c h i e t e n we aan dat d o e l v o o r b i j a l s de g e b r u i k t e c o n t e x t e n onbekend (en a l s g e v o l g d a a r v a n onbemind) z i j n . We c o n s t a t e e r d e n dat j u i s t i n k l a s s e n met v e e l zwakke l e e r l i n g e n de v o o r o n d e r s t e l d e w e r k i n g van c o n t e x t e n achterwege b l e e f . M o g e l i j k heb- ben deze c o n t e x t e n een v e r s c h i l l e n d e b e t e k e n i s voor s t e r k e en zwakke k l a s s e n . W e l l i c h t b i e d e n deze c o n t e x t e n voor goede k l a s s e n meer aan- k n o p i n g s p u n t e n t o t m a t h e m a t i s e r e n . (Onder s t e r k e o f goede k l a s s e n v e r s t a a n we k l a s s e n met een hoge gemiddelde v o o r t o e t s s c o r e . Tussen gemiddelde v o o r t o e t s s c o r e en g e m i d d e l d e n a t o e t s s c o r e b e s t o n d een hoge c o r r e l a t i e ) .

Maar m o g e l i j k t r e e d t h i e r ook een v e e l algemener v e r s c h i j n s e l aan het d a g l i c h t . L e e r l i n g e n i n zwakke k l a s s e n waarderen r i j k e c o n t e x t e n m i s - s c h i e n ook w e l minder vanwege het g e r i n g e a a n t a l s u c c e s e r v a r i n g e n d i e z i j i n het o n d e r w i j s t o t dan t o e meegemaakt hebben. M.a.w. ze denken

Dekker e.a. 181 i n h e t algemeen minder p o s i t i e f o v e r o n d e r w i j s en dat komt ook t o t u i t d r u k k i n g i n hun h o u d i n g t e g e n o v e r r i j k e c o n t e x t e n . Dat zou kunnen betekenen dat deze onderzoeksgegevens n i e t s p e c i f i e k op c o n t e x t e n s l a a n maar i n algemene z i n moeten worden geïnterpreteerd.

Hoe kan de l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r en de docent e r voor z o r g e n dat het v e r n i e u w i n g s k e n m e r k r i j k e c o n t e x t e n ook voor de l e e r l i n g e n l e i d t t o t p o s i t i e v e r e s u l t a t e n , d.w.z. t o t i n z i c h t e l i j k l e r e n ?

De l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r kan door keuze van l e e f w e r e l d n a b i j e c o n t e x t e n b i j d r a g e n aan h e t i n z i c h t e l i j k l e r e n van a l l e l e e r l i n g e n .

De docent kan met name door m i d d e l jan k l a s s i k a l e i n l e i d i n g e n e r voor z o r g e n d a t onbekende c o n t e x t e n v e r l e v e n d i g d worden. We hebben g e z i e n dat de docent u i t ons onderzoek op b o e i e n d e w i j z e de c o n t e x t van het v i s s e n l i e t l e v e n . D a a r t o e maakte h i j ook g e b r u i k van v i s s n o e r waaraan h i j een s t o e l l i e t hangen. D e r g e l i j k e a c t i v i t e i t e n kan de l e e r p l a n o n t - w i k k e l a a r a a n b e v e l e n . Tevens kan de l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r i n een docen- t e n h a n d l e i d i n g a c h t e r g r o n d i n f o r m a t i e v e r s t r e k k e n omtrent de v e r s c h i l - l e n d e c o n t e x t e n , z o d a t d o c e n t e n z i c h goed kunnen oriënteren en v o o r b e - r e i d e n . W e l l i c h t kan de t h e o r i e van K l a u s m e i e r een v e r h e l d e r e n d e r o l s p e l e n b i j de c o n s t r u c t i e en r e a l i s e r i n g van c u r r i c u l a door r e s p . l e e r p l a n o n t w i k k e l a a r s en d o c e n t e n . Dat zou kunnen l e i d e n t o t een nog g r o t e r e s y s t e m a t i e k b i j h e t l e r e n van b e g r i p p e n v i a de n i v e a u s i n het l e e r p r o c e s .

Noot

1. Op a c h t e r g r o n d e n , c o n s t r u c t i e en a n a l y s e van de i n s t r u m e n t e n kan i n d i t a r t i k e l n i e t worden i n g e g a a n , we v e r w i j z e n d a a r v o o r naar ons tweede i n t e r i m r a p p o r t . D a a r i n wordt ook de s t a t u s van de v e r - s c h i l l e n d e i n s t r u m e n t e n u i t g e l e g d i n h e t k a d e r van h e t gehanteerde o n d e r z o e k s m o d e l , z i e p a g i n a 8 en 209.

L i t e r a t u u r

Dekker, R., H e r f s , P., en T e r w e i , J . Wiskunde voor I e d e r e e n . E e r s t e I n t e r i m r a p p o r t p r o j e c t I n t e r n e D i f f e r e n t i a t i e W i s k u n d e o n d e r w i j s 12- 16, U t r e c h t : Vakgroep O n d e r w i j s k u n d e U t r e c h t , R.U.U.. 1985.

Dekker, R., H e r f s , P., T e r w e i , D., Van der P l o e g , D. I n t e r n e D i f f e r e n t i a t i e i n h e t e r o g e n e b r u g k l a s s e n b i j wiskunde. Tweede I n t e r i m r a p p o r t p r o j e c t I n t e r n e D i f f e r e n t i a t i e w i s k u n d e - o n d e r w i j s 12-16, 's Gravenhage: SVO, S e l e c t a r e e k s , 1985.

Haenen, J . Van O e r s , B. ( r e d . ) . Begrippen in het onderwijs. Amsterdam:

Pegasus, 1983.

H i e l e , P.M.van. Fasen en s t a d i a i n de o n t w i k k e l i n g van h e t denken z o a l s d i e door P i a g e t worden g e c o n s t r u e e r d , v e r g e l e k e n met de d e n k n i v e a u s geïntroduceerd door Van H i e l e , Pedagogisch Tijdschrift, Forum voor Opvoedkunde, 5, p.207, 1982.

182 C o n t e x t e n en b e g r i p s o n t w i k k e l i n g K u h l e m e i e r , H. V e r g e l i j k e n d onderzoek naar de p e r c e p t i e van de

l e e r o m g e v i n g i n PLON-onderwijs en r e g u l i e r n a t u u r k u n d e o n d e r w i j s , Tijdschrift voor Onderwijsresearch, p.1, 1983.

5L0. S i t u a t i e b e s c h r i j v i n g e n en w i s k u n d e t e k s t e n , Wiskunde 12-16, Enschede: SLO, 1984.

Vastenhouw, J . , Jochems, W. B e g r i p p e n en hun n i v e a u s van b e h e e r s i n g : de t h e o r i e van K l a u s m e i e r en haar b e l a n g voor het o n d e r w i j s , Pedagogische Studiën, 11, p.431, 1961.