Langsstabiliteit van een boot op hydrofoils

(1)

Langsstabiliteit van een boot op hydrofoils

Ester van der Pol

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Juli 2010

(2)

(3)

Langsstabiliteit van een boot op hydrofoils

Samenvatting

Varen op een boot met hydrofoils en al vleugelend over het water varen. Dat was het plan van het Solarteam Groningen voor hun nieuwe boot, de Solarboat-X. Doordat draagvleugels de boot uit het water tillen, zal deze minder weerstand ondervinden en dus sneller kunnen varen.

Maar voor het varen op hydrofoils zijn meerdere configuraties van de draagvleugels mogelijk.

En welke van die configuraties is nou het beste voor de zonneboot wat betreft langsstabiliteit? Met behulp van verschillende vleugelconfiguratie bij vliegtuigen en de voorwaarden voor langsstabiliteit, zal ik hier antwoord op gaan geven.

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Auteur: Ester van der Pol

Begeleider(s): Prof. Dr. A.E.P. Veldman Datum: Juli 2010

Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407

9700 AK Groningen

(4)

(5)

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

1.1 Aanleiding . . . 1

1.2 Probleemstelling . . . 1

2 Terminologie van een vliegtuig 3 2.1 Vliegtuigassen en momenten . . . 3

2.2 Zwaartepunt ‘cg’ . . . 3

2.3 Punten op de vleugel . . . 4

3 Statische langsstabiliteit bij een vliegtuig 7 3.1 Een vliegtuigvleugel . . . 7

3.1.1 De eerste voorwaarde . . . 8

3.1.2 De tweede voorwaarde . . . 9

3.1.3 De vliegende vleugel . . . 9

3.2 Twee vleugels . . . 10

3.2.1 De eerste voorwaarde . . . 11

3.2.2 De tweede voorwaarde . . . 11

3.2.3 Het neutrale punt . . . 12

4 Verschillende vleugelconfiguraties 15 4.1 Conventioneel vliegtuig . . . 15

4.2 Canardvliegtuig . . . 17

4.3 Tandemvliegtuig . . . 20

4.4 Andere vleugelconfiguraties . . . 21 iii

(6)

iv INHOUDSOPGAVE

5 De zonneboot 23

5.1 Conventionele configuratie . . . 24 5.2 Canardconfiguratie . . . 24 5.3 Tandemconfiguratie . . . 29

6 Conclusie 31

7 Bibliografie 32

(7)

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Aanleiding

Een samenwerkingproject tussen de Hanze Hogeschool en de Rijksuniversiteit Groningen is het bouwen van een boot die slechts werkt op zonne-energie. Deze boot willen ze mee laten varen in de Frisian Solar Challenge 2010 [1] die start op 4 juli 2010. De Frisian Solar Challenge is een zesdaagse race door de wateren van Friesland waarbij alleen boten meedoen die puur op zonne-energie varen. Het doel is om zo snel mogelijk een parcours af te leggen, maar er zijn ook andere prijzen te winnen. Zo is er de prijs voor meest innovatief ontwerp waar het Groningse zonneboot-team bovenal in ge¨ınteresseerd is.

1.2 Probleemstelling

De meeste boten varen gewoon op hun romp, maar er zijn ook boten te vinden die bij hoog genoege snelheid op zogenaamde hydrofoils varen. Hydrofoils zijn een soort vleugels die zich onder water bevinden. Door de snelheid van de boot werkt er een draagkracht op de hydrofoils die de boot uit het water tilt, zodat de boot niet meer op zijn romp hoeft te varen. Dit scheelt erg veel in de weerstand die de boot in het water ondervindt doordat nu alleen de hydrofoils zich in het water bevinden die een veel kleinere oppervlakte hebben.

Doordat er op een kleiner oppervlakte gevaren wordt en een deel van de boot boven water komt, hebben we te maken met een verandering in stabiliteit van de boot. De stabiliteit van een boot heeft veel te maken met de momenten die op de boot werken. Er zijn bij een boot drie momenten te onderscheiden: het rolmoment, het giermoment en het langsmoment.

Het rolmoment heeft te maken met het ‘rollen’ van de boot, het giermoment met het naar links of rechts sturen van de boeg en het langsmoment met het omhoog of omlaag brengen van de boeg. Bij een normale boot werken deze momenten op de romp van de boot, maar bij een boot op hydrofoils is het niet meer de romp maar de hydrofoils waar je naar moet kijken.

De momenten op een boot op hydrofoils zijn dan ook het best te vergelijken met momenten op een vliegtuig, doordat deze ook op een soort hydrofoils ‘vaart’.

Bij een vliegtuig zijn dezelfde momenten te herkennen als bij een boot. Deze momenten 1

(8)

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING zeggen ook weer wat over de stabiliteit van een vliegtuig. Als de krachten en momenten die op een vliegtuig werken met elkaar in evenwicht zijn, bevindt het vliegtuig zich in een evenwichtstoestand. Bij een vlucht is het de bedoeling dat het vliegtuig dit evenwicht aanhoudt.

Wel krijgt het vliegtuig te maken met windstoten of turbulentie en zal het vliegtuig uit de stationaire toestand komen en een beweging gaan maken. En vliegtuig is (statisch) stabiel als het na een verstoring weer terug valt in de stationaire toestand zonder dat er een stuurbewe- ging aan te pas komt. Of een vliegtuig stabiel is, heeft met de configuratie van de vleugels en de verdeling van het gewicht te maken.

Over het algemeen bestaat een vliegtuig uit een romp met 2 vleugels (waarbij de vleugels door de romp getrokken zijn). Hierbij kan je een keuze maken uit verschillende groottes van de vleugels en ook de positie van de vleugels. Zo heb je het conventionele vliegtuig met een staartvleugel als stabiliserende factor, de canard (eend) waarbij juist de voorste vleugel stabiliserend werkt en een tandemvliegtuig met twee ongeveer gelijke vleugels.

(a) Conventioneel vliegtuig (b) Canard (c) Tandemvliegtuig

Figuur 1.1: Verschillende configuraties van vleugels

Deze configuraties van vleugels kan je ook toepassen op een boot op hydrofoils en daarna met de theorie voor stabiliteit bij vliegtuigen, onderzoeken of en wanneer deze configuraties stabiel zijn. In deze scriptie zullen we alleen gaan kijken naar de langsstabiliteit van een boot op hydrofoils. Bij ons onderzoek hebben we vooral gebruik gemaakt van twee boeken met een sectie over langsstabiliteit bij vliegtuigen [6] en [4].

(9)

Hoofdstuk 2

Terminologie van een vliegtuig

Om iets over de langsstabiliteit van een vliegtuig te kunnen zeggen, moeten we eerst een stel begrippen introduceren. Zo zullen we later zien dat de ligging van het a¨erodynamisch centrum en het zwaartepunt van een vliegtuig van groot belang zijn voor statische langsstabiliteit.

Maar als eerste is het belangrijk om te weten hoe een vliegtuig en vleugel eigenlijk in elkaar zitten.

2.1 Vliegtuigassen en momenten

Figuur 2.1: vliegtuigassen en momenten Bij een vliegtuig zijn drie verschillende as-

sen te herkennen: de topas, de langsas en de dwarsas. Om deze assen werken weer de momenten die op een vliegtuig werken. Zo werk het rolmoment om de langsas, het giermoment om de topas en het langsmoment om de dwarsas, zoals te zien op het plaatsje hiernaast. Het langsmoment is positief als de neus ten opzichte van de dwarsas naar boven staat en logischerwijs negatief als de neus ten opzichte van de dwarsas naar beneden wijst.

Aangezien deze scriptie alleen over de langsstabiliteit gaat, willen we dat het vliegtuig stabiel blijft op het veranderen van de positie van de neus ten opzichte van de dwarsas

na. Het rol- en giermoment blijven deze hele scriptie buiten beschouwing.

2.2 Zwaartepunt ‘cg’

Het zwaartepunt van een vliegtuig is het punt waarom alle massa van een vliegtuig in evenwicht is en de zwaartekracht aan het vliegtuig grijpt. Dit punt bevindt zich dichtbij de grootste vleugel van een vliegtuig, sinds daar zich de meeste massa bevindt en dus de kleinste

3

(10)

4 HOOFDSTUK 2. TERMINOLOGIE VAN EEN VLIEGTUIG arm nodig heeft ten opzichte van het zwaartepunt. Dit kunnen we halen uit een makkelijke manier om de positie van het zwaartepunt te berekenen: we delen de som van de momenten op de onderdelen van het vliegtuig door de som van het gewicht van die onderdelen [2]:

PM omenten Pmassa

Bij een vol vliegtuig heb je te maken met de brandstof die opraakt en hierdoor zal het zwaartepunt ook verschuiven. Daarom hebben de makers van de vliegtuigen limieten gestelt waar het zwaartepunt zich moet bevinden. Een vliegtuig bevindt zich in een evenwichtstoestand als de invalshoek α gelijk blijft zodat alle momenten van een vliegtuig in evenwicht zijn. Het langsmoment om het zwaartepunt M_cg is dan gelijk aan 0.

2.3 Punten op de vleugel

Een vliegtuig blijft vliegen doordat er een verschil is in onderdruk en bovendruk op een vleugel die een draagkrach opwekt. Deze draagkracht is afhankelijk van de invalshoek van de luchtstroom α en is gelijk aan de zwaartekracht als het vliegtuig zich in een evenwichtstoestand bevindt. Bij kleine invalshoeken is de draagkrachtco¨efficient ongeveer gelijk aan:

CL:= 2πα (2.1)

Het punt op de vleugel waar de draagkracht aangrijpt, het drukpunt (‘cp’) , is afhankelijk van de drukverdeling op de vleugel. Deze is weer afhankelijk van de vorm van de vleugel. Zo heb je een symmetrische vleugel, die symmetrisch is om zijn koorde ‘c’, een positief gewelfde vleugel en een negatief gewelfde vleugel. Bij een symmetrische vleugel ligt het drukpunt altijd op 25% van de koorde van een vleugel, maar bij gewelfde vleugels ligt het drukpunt niet vast.

(a) Symmetrische vleugel

(b) Positief gewelfde vleugel (c) Negatief gewelfde vleugel

Figuur 2.2: Verschillende soorten vleugels

Als door een windvlaag een vliegtuig onder een andere hoek komt te vliegen, is er een verandering van de invalshoek van de luchtstroom (∆α) opgetreden. De extra opgewekte draagkracht die daarbij optreedt grijpt aan in het a¨erodynamische centrum (‘ac’) van de vleugel.

Het aërodynamische centrum bevindt zich op precies 25% van de koorde van de vleugel. Bij een symmetrische vleugel vallen het drukpunt en aërodynamische centrum samen. Dit komt doordat een symmetrische vleugel geen eigen moment om zijn aërodynamische centrum heeft

(11)

2.3. PUNTEN OP DE VLEUGEL 5 (Mac = 0). Een positief gewelfde vleugel heeft een negatief eigen moment (Mac < 0). Dit zorgt ervoor dat bij een grote invalshoek α, en dus een grote draagkracht, het drukpunt vlak achter het aërodynamische centrum ligt. Bij kleinere invalshoeken komt het drukpunt steeds verder achter het aërodynamische centrum te liggen. Een negatief gewelfde vleugel heeft juist een positief eigen moment (M_ac >0) een heeft bij een grote invalshoek, en dus een grote liftkracht, het drukpunt vlak voor het aërodynamische centrum liggen. Bij kleinere invalshoeken ligt het drukpunt steeds verder voor het aërodynamische centrum.

Als je te maken hebt met meerdere vleugels, zoals bij de meeste vliegtuigen, dan heb je ook een a¨erodynamische centrum van het gehele vliegtuig. Dit punt heet het neutrale punt (‘np’).

(12)

6 HOOFDSTUK 2. TERMINOLOGIE VAN EEN VLIEGTUIG

(13)

Hoofdstuk 3

Statische langsstabiliteit bij een vliegtuig

Om de langsstabiliteit van een vliegtuig te kunnen bepalen is het belangrijk om eerst het principe van langsstabiliteit bij een enkele vliegtuigvleugel te begrijpen. Dit zou je ook kunnen zien als een vliegtuig zonder een tweede vleugel achter of voor de originele vleugel.

3.1 Een vliegtuigvleugel

Het moment van een vliegtuigvleugel rondom een willekeurig momentpunt xm wordt als volgt bepaald:

M = M_ac+ L(x_m− x_ac) (3.1)

Hierbij is Mac het moment van de vleugel om het a¨erodynamische centrum. De L is de draagkracht die aangrijpt in het a¨erodynamische centrum en die een afstand heeft van xm−xac

tot het momentpunt. Daarnaast is α de invalshoek van de luchtstroom met snelheid v.

L

M_ac⁽⁻⁾

x_ac x_m

ac m

α v

We kunnen deze vergelijking dimensieloos maken met behulp van de volgende formules:

Cm := M

q∞Sc¯ , Cm,ac:= Mac

q∞Sc¯ , CL:= L q∞S

Waarbij q∞= ¹₂ρv² de dynamische druk is van een ongestoorde stroming met dichtheid ρ en snelheid v. S is hier de oppervlakte van een vleugel en ¯cde zogenaamde a¨erodynamische koorde. Vleugels van huidige vliegtuigen zijn namelijk nooit helemaal rechthoekig. Dit betekent

7

(14)

8 HOOFDSTUK 3. STATISCHE LANGSSTABILITEIT BIJ EEN VLIEGTUIG dat we niet zomaar een koorde van een vleugel mogen gebruiken, maar dat we de gemiddelde a¨erodynamische koorde moeten gebruiken om de vergelijkingen dimensieloos te maken.

Nu kan voor het langsmoment van een vleugel de volgende formule gebruikt worden:

C_m = Cm,ac+ CL

x_m− xac

¯

c (3.2)

Er zijn twee voorwaarden waaraan een vleugel moet voldoen om langsstabiel te zijn, dus terug te vallen in zijn evenwichtstoestand op het moment dat er een kleine verandering in de invalshoek α optreed. Hierbij gaat het om het moment van het vliegtuig (in dit geval een enkele vleugel) om het zwaartepunt, omdat de momenten hierom in evenwicht zijn als het vliegtuig zich in evenwichtstoestand bevindt. Het zwaartepunt wordt nu gekozen als het momentpunt, dit wordt aangegeven door een kleine cg, en het moment om het zwaartepunt wordt dan:

M_cg = Mac+ L(xcg− xac) (3.3)

En in co¨efficientenvorm:

C_m,cg = Cm,ac+ CL

x_cg− x_ac

¯

c (3.4)

3.1.1 De eerste voorwaarde

De eerste voorwaarde is zeer intuitief. Op het moment dat er een verandering van de invalshoek ∆α > 0 optreed, waarbij de neus meer naar boven komt te wijzen, wil je dat er daarna een negatief langsmoment optreedt (Mcg<0) zodat er een negatieve verandering van de invalshoek α optreedt, de neus naar beneden gaat en het vliegtuig zichzelf weer in evenwichtstoestand brengt. Andersom moet het ook werken. Bij een ∆α < 0 moet het vliegtuig een positieve Mcg krijgen zodat er weer een positieve ∆α > 0 optreedt en zo het vliegtuig stabiliseerd. In de terminologie betekent dit:

dM_cg

dα <0 of ook wel dC_m,cg dα <0

Doordat dCL = 2πdα geldt ook ^dC_dα^L > 0 en zo wordt de eerste voorwaarde voor statische langsstabiliteit:

dC_m,cg dCL

<0 (3.5)

Als we nog een keer kijken naar de co¨efficienten vergelijking (3.4), en de voorwaarde toepassen zoals hierboven beschreven, dan krijgen we de volgende eerste voorwaarde voor langsstabiliteit:

Voorwaarde 1: dCm,cg

dCL

= x_cg− xac

¯

c <0 (3.6)

Deze vergelijking zegt dat er alleen aan voorwaarde 1 voldaan kan worden als het zwaartepunt voor het a¨erodynamische centrum ligt.

(15)

3.1. EEN VLIEGTUIGVLEUGEL 9 3.1.2 De tweede voorwaarde

De tweede voorwaarde halen we uit de momentenlijn. Dit is het verband tussen Cm,cg en CL.

C_L C_m,cg

C_m,L=0

Evenwichtstoestand

∆C_L

∆C_m,cg 0

De eerste voorwaarde is hierin te vinden als de helling ^dC_dC^m,cg

L , die volgens (3.5) negatief moet zijn. Of ook wel: bij een postieve verandering van CL, ∆CL moet er een negatieve ∆Cm,cg

optreden en bij een negatieve verandering ∆C_Lmoet er een positieve ∆C_m,cg optreden. Om- dat dit allemaal geldt bij verandering vanuit de evenwichtstoestand, moet de momentenlijn door die evenwichtstoestand lopen. Deze vindt plaats bij Mcg = 0, of ook wel bij Cm,cg = 0.

Samenvattend: de momentenlijn moet een negatieve helling hebben en door CL-as gaan. Dit betekent automatisch dat de momentlijn een positief beginpunt moet hebben, het zogenaamde nul-lift moment M_cg,L=0. Dit is het moment om het zwaartepunt waarbij geen draagkracht optreedt: CL = 0. M_cg,L=0 omgeschreven in co¨efficienten noteren we als Cm,L=0 en zal in deze scriptie altijd op het moment om het zwaartepunt slaan. De tweede voorwaarde voor statische langsstabiliteit wordt dan:

Voorwaarde 2: C_m,L=0 >0 (3.7)

Als we de co¨efficientenvergelijking (3.4) met L = 0 hierin invullen krijgen we:

Cm,cg = Cm,ac>0

Of ook wel, de vleugel moet een positief eigen moment hebben.

3.1.3 De vliegende vleugel

We hebben nu twee voorwaarden voor statische langsstabiliteit:

x_cg− x_ac

¯

c <0 en

C_m,L=0 >0

De tweede voorwaarde is te vinden in een negatief gewelfde vleugel, aangezien deze een positief eigen moment Mac heeft zoals te zien in hoofdstuk 1. Als het zwaartepunt ook nog voor het

(16)

10 HOOFDSTUK 3. STATISCHE LANGSSTABILITEIT BIJ EEN VLIEGTUIG a¨erodynamische centrum ligt, hebben we een negatief gewelfde vliegende vleugel die statisch langsstabiel is.

cg ac

M_ac⁽⁺⁾

Z L

Figuur 3.1: Negatief gewelfde vleugel

3.2 Twee vleugels

In de realiteit zijn vliegtuigen met een negatief gewelfde hoofdvleugel niet praktisch. Dit komt doordat je de minste weerstand cre¨eert als de staart van een vleugel richting de grond gericht is, maar de voorkant van de vleugel bol blijft. Dit resulteert in een positief gewelfde vleugel. Helaas is een positief gewelfde vleugel van zichzelf langsinstabiel en zal een extra vleugel het vliegtuig moeten stabiliseren. Dit gebeurt dan ook bij de meeste vliegtuigen. De twee voorwaarden voor statische langsstabiliteit gelden nog steeds, maar moeten aangepast worden voor de extra vleugel.

L2 L1

2

X X 1 2 M_ac,1⁽⁻⁾

ac Mac,2

(−)

V α

cg ac₁

Z

Er geldt nog steeds dat de momenten om het zwaartepunt van een vliegtuig in evenwicht zijn als het vliegtuig zich in een evenwichtstoestand bevindt. We gaan daarom weer kijken naar het langsmoment van een vliegtuig om zijn zwaartepunt. Deze wordt nu gelijk aan

M_cg= M_ac,1+ M_ac,2+ L₁x₁− L₂(x₂− x₁)

Hierbij is Mac,1 het moment op de eerste vleugel, Mac,2 het moment op de tweede vleugel, x1

is het afstand van het aërodynamische centrum van de eerste vleugel tot het zwaartepunt en x₂ de afstand van het aërodynamische centrum van de eerste vleugel tot het aërodynamische centrum van de tweede vleugel. L1 is de draagkracht die in het aërodynamische centrum van de eerste vleugel aangrijpt en L₂ is de draagkracht die in het aërodynamische centrum van de

(17)

3.2. TWEE VLEUGELS 11 tweede vleugel aangrijpt. De totale draagkracht L is gelijk aan deze draagkrachten opgeteld:

L= L₁+ L₂. Na omschrijven wordt het langsmoment

M_cg= Mac,1+ Mac,2+ Lx1− L2x₂ (3.8) Nu schrijven we deze formule om naar de co¨efficienten formule door te delen door q^∞S¯c, met q∞de dynamische druk van een ongestoorde stroming, S = S₁+ S₂ het oppervlakte van beide vleugels en ¯cde gemiddelde a¨erodynamische koorde van de hoofdvleugel. Zo krijgen we

C_m,cg = C_m,ac,1S₁c¯₁

S¯c + C_m,ac,2S₂c¯₂

Sc¯ + C_Lx₁

¯

c − C_L,2V¯₂ (3.9) met ¯V₂ =^S_S¯²^x_c².

3.2.1 De eerste voorwaarde

Uit de vorige sectie halen we de eerste voorwaarde (3.5) voor langsstabiliteit:

dC_m,cg dCL

<0

Nu passen we deze voorwaarde toe op de nieuwe co¨efficientenvergelijking (3.9). De eerste voorwaarde wordt nu:

dCm,cg

dC_L = x₁

¯

c −dC_L,2

dC_L V¯₂ <0 (3.10)

C_m,ac,1 en C_m,ac,2 hangen niet van de draagkrachtcoeffici¨ent af, dus die zijn verdwenen uit de vergelijking. De voorwaarde kunnen we nu verder uitwerken naar:

x₁

¯

c < dC_L,2 dCL

V¯₂

Dit levert een eis aan de positie van het zwaartepunt. Deze moet namelijk ver genoeg naar voren liggen.

3.2.2 De tweede voorwaarde

Zoals bij een vliegende vleugel luidt de tweede voorwaarde:

C_m,L=0 >0 (3.11)

Of ook wel, er geldt bij L = 0 (en dus ook CL= 0) dat Cm,cg >0. Als er geen draagkracht op het vliegtuig werkt, betekent dit niet dat er geen draagkracht op de aparte vleugels werkt.

Door de vorm van de vleugels zal er namelijk altijd een draagkracht op werken. Op de voorste vleugel werkt een positieve draagkracht L₁, waardoor op de achterste vleugel een even grote negatieve draagkracht L₂ moet werken doordat voldaan moet worden aan L = L₁ + L₂. Dit is alleen te realiseren als de invalshoek van de achterste vleugel, α₂, negatief is, omdat C_L,2 = 2πα₂. α₂ hangt af van meerdere factoren: de invalshoek van de het vliegtuig die gelijk is aan de invalshoek van de voorste vleugel α, de neerstroomhoek ǫ, wat het verschil is tussen de originele richting van de luchtstroom en de luchtstroom bij de achterste vleugel die lichtelijk is veranderd door de voorste vleugel, en de instelhoek van de achterste vleugel i₂. Deze factoren hangen op de volgende manier samen:

α₂ = α + i₂− ǫ

(18)

12 HOOFDSTUK 3. STATISCHE LANGSSTABILITEIT BIJ EEN VLIEGTUIG

α₂ α−ε α

α

i₂

α−ε

De neerstroomhoek is als volgt ongeveer gelijk aan [3]:

ǫ:= 2CL

πAR (3.12)

Zowel C_L= 2πα als AR = ^b_S² gaan over de voorste vleugel die de neerstroomhoek cre¨ert. Het enige waar we zelf invloed op hebben is de instelhoek i2. We moeten deze dan ook zo kiezen dat α₂ negatief wordt.

3.2.3 Het neutrale punt

Bij een verstoring van het evenwicht door een ∆α, treedt er een verandering in draagkracht op.

Deze verandering grijpt aan in de a¨erodynamische centra van beide vleugels. De resultante van deze draagkrachten grijpt aan in het neutrale punt van het vliegtuig. Hiervoor geldt:

x_npdL = x₂dL₂ Of ook wel x_np = dL₂

dL x₂ (3.13)

V_oud

ac₂ dα

V_nieuw

cg ac₁

L2

L1 dL2

dL1

dL₁+ dL2

np

X₂ X₁

Z X_np

We kunnen nu de ligging van het neutrale punt op de gemiddelde a¨erodynamische koorde omschrijven door middel van:

dL = dCLq∞S en dL₂ = dC_L,2q∞S₂ Naar:

x_np

¯

c = dC_L,2q∞S₂ dC_Lq∞S

x₂

¯ c

De ligging van het neutrale punt hangt af van het verschil in draagkracht van de achterste vleugel dC_L,2 ten opzichte van het verschil in draagkracht van beide vleugels dCL. De ligging wordt nu alsvolgt bepaald:

xnp

¯

c = dC_L,2

dC_L V¯₂ (3.14)

(19)

3.2. TWEE VLEUGELS 13

Met wederom ¯V₂ = ^S_S¯²^x_c².

Als we dit invullen in de eerste voorwaarde (3.10):

dCm,cg

dC_L = x₁

¯

c −dC_L,2 dC_L V¯₂ <0 Dan krijgen we:

dC_m,cg dCL

= x₁

¯ c −x_np

¯

c = x₁− x_np

¯

c <0 (3.15)

Zoals eerder al gezegd kan het neutrale punt gezien worden als het a¨erodynamische centrum van een vliegtuig. Voorwaarde (3.15) zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moet liggen om het vliegtuig langsstabiel te laten zijn. Tegelijk zegt (3.15) iets over de mate van langsstabiliteit. De mate van langsstabiliteit wordt via x₁− xnp uitgedrukt als (negatief) percentage van de gemiddelde a¨erodynamische koorde ¯c. Hoe negatiever ^dC_dC^m,cg

L , hoe stabieler het vliegtuig. Bij de meeste vliegtuigen ligt de mate van stabiliteit tussen de 5 en 15%, in formule vorm wordt dit: 0.05¯c <−(x₁− x_np) < 0.15¯c

De mate van stabiliteit is terug te zien in de momentenlijn als de helling. Hoe stabieler het vliegtuig, hoe stijler de momentenlijn. Doordat het neutrale punt vastgelegd is door vergelijking (3.14), kan de mate van stabiliteit alleen aangepast worden door de ligging van het zwaartepunt. Er is wel een limiet aan hoever het zwaartepunt naar voren mag liggen.

Als het zwaartepunt namelijk te ver naar voren komt te liggen, dan moet de voorste vleugel een te grote hoek maken om nog genoeg genoeg liftkracht op te wekken. Als deze hoek te groot wordt, zal de vleugel overtrekken en de lifkachten instorten (’stale’), het vliegtuig zal dan ’omklappen’. Hoe ver het zwaartepunt naar voren mag komen te liggen, ligt aan de configuratie van de vleugels.

(20)

14 HOOFDSTUK 3. STATISCHE LANGSSTABILITEIT BIJ EEN VLIEGTUIG

(21)

Hoofdstuk 4

Verschillende vleugelconfiguraties

Nu we de algemene voorwaarden voor statische langsstabiliteit bij een vliegtuig hebben, gaan we kijken hoe deze kloppen bij een aantal vleugelconfiguraties die bij vliegtuigen te vinden zijn. Hierbij gaan we kijken naar de ligging van het neutrale punt en het zwaartepunt en we zullen kijken naar de momentenlijnen van een conventioneel vliegtuig, een canardvliegtuig en een tandemvliegtuig waarin de voorwaarden duidelijk zichtbaar worden.

4.1 Conventioneel vliegtuig

Figuur 4.1: Conventioneel vliegtuig

Bij een conventioneel vliegtuig heb je ongeveer in het midden van het vliegtuig een grote vleugel, de hoofdvleugel, en achter bij de staart nog een kleinere vleugel, de staartvleugel. De hoofdvleugel zit bij deze configuratie vooraan en S₁ past in dit geval bij de voorste vleugel. S₂ is dan automatisch de achterste vleugel. De voorwaarden voor statische langsstabiliteit waren respectievelijk (3.15)

dCm,cg

dCL

= x₁− xnp

¯

c <0 en (3.11)

C_m,L=0 >0

Deze tweede vergelijking gaan we nu verder doorwerken met behulp van de co¨efficientenvergelijking (3.9) en de vergelijking voor de invalshoek van de achterste vleugel α₂= α + i₂− ǫ. Aan de co¨efficientenvergelijking moet het een en ander aangepast worden.

De hoofdvleugel van een conventioneel vliegtuig neemt het grootste deel van de draagkracht op zich. Dit kan vertaald worden als S ≈ S₁en ¯c= ¯c₁. Dan wordt de co¨efficientenvergelijking:

C_m,cg = C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂ S₁c¯₁ + CL

x₁

¯

c₁ − C_L,2V¯₂ (4.1) met ¯V₂ =^S_S²^x²

1c¯₁.

15

(22)

16 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES Nu gaan we de tweede voorwaarde (3.11) doorwerken in de co¨efficientenvergelijking. Hierbij nemen we L = 0 en dus ook C_L= 0 en α = 0. De co¨efficientenvergelijking wordt dan:

C_m,L=0= C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ − C_L,2V¯₂

= C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ − 2πα₂V¯₂

= C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ − 2π(i₂− ǫ) ¯V₂ >0

Doordat er meestal gebruik gemaakt wordt van positief gewelfde vleugels zullen C_m,ac,1 en C_m,ac,2 negatief zijn. De voorwaarde wordt dan:

0 > C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ >2π(i₂− ǫ) ¯V₂ (4.2) ǫis over het algemeen klein en ¯V₂ positief. Dit betekent dat de instelhoek i₂ negatief moet zijn en dus dat de staartvleugel naar beneden moet wijzen om te voldoen aan de tweede voorwaarde.

Voor de eerste voorwaarde is het van belang om de ligging van het neutrale punt te weten, zodat je de ligging van het zwaartepunt juist kan kiezen. Ook hier geldt nu S = S₁ en

¯

c= ¯c₁. De ligging van het neutrale punt wordt bepaald door de grootte van de staartvleugel ten opzichte van de hoofdvleugel en de afstand tussen de twee a¨erodynamische centra (3.14):

xnp

¯

c₁ = dC_L,2

dC_L V¯₂= dC_L,2 dC_L

S₂x₂ S₁c¯₁

Als we terug kijken naar de formule voor de draagkrachtcoefficent (2.1) krijgen we:

dC_L,2

dC_L = d2πα₂ d2πα

= d2π(α + i₂− ǫ)

d2πα = dα

dα+di₂ dα − dǫ

dα = 1 − dǫ

dα (4.3)

De instelhoek i₂ is vast en zo blijkt dat het deel van de liftkracht die de achterste vleugel opwekt uit kan worden gedrukt in de neerstroomhoek ǫ. Deze uitdrukking kan nu omgeschreven worden door de formule die we voor de neerstroomhoek (3.12) hebben: ǫ = _πAR^2C^L = _π(AR)^4πα naar: 1

dC_L,2

dC_L = 1 − 4π

π(AR)₁ = 1 − 4S₁ b₁² De ligging van het neutrale punt wordt nu:

x_np

¯

c = (1 − 4S₁ b₁²)S₂x₂

S₁c¯₁ (4.4)

Doordat de staartvleugel vrij klein is ten opzichte van de hoofdvleugel, wordt ^S_S²

1 veel kleiner dan 1. x₂ is nu zo groot, dat het neutrale punt meer achterop de hoofdvleugel komt te liggen. Voorwaarde 1 (3.15) zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moet liggen als we langsstabiliteit willen hebben. Dit betekent dat het zwaartepunt ook op of voor de

(23)

4.2. CANARDVLIEGTUIG 17 hoofdvleugel moet liggen, maar wel voor het neutrale punt. Het zwaartepunt ligt dus vrij vooraan het vliegtuig.

cg ac1 np ac2

Figuur 4.2: Positie neutrale punt conventioneel vliegtuig

We krijgen nu een negatieve helling in de momentenlijn.

C_L C_m,cg

C_m,L=0

Evenwichtstoestand 0

C_m,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig Staartvleugel

Figuur 4.3: Momentenlijn Conventioneel vliegtuig

In bovenstaand figuur zie niet alleen je de momentenlijn van het vliegtuig, maar ook de momentenlijn van een vliegtuig met alleen de hoofdvleugel. Doordat de hoofdvleugel positief gewelfd is, is de hoofdvleugel zelf statisch langsinstabiel. In het figuur is dit te zien aan de stijgende lijn en een negatieve Cm,ac. De combinatie van de twee vleugels daarentegen heeft een negatieve helling en een positieve C_m,L=0 als het zwaartepunt voor het neutrale punt wordt gekozen en de staartvleugel een negatieve instelhoek heeft. De langsstabiliteit van het vliegtuig wordt veroorzaakt door de staartvleugel: met een grote afstand x₂ is er maar een relatief kleine CL,2 nodig om het vliegtuig te stabiliseren.

4.2 Canardvliegtuig

Figuur 4.4: Canardvlieg- tuig

Bij een canardvliegtuig hebben we te maken met een grote vleugel net iets achter het midden en een kleine vleugel vooraan het vliegtuig. Wederom is het de voorste vleugel die het vliegtuig in- stabiel maakt. Dit betekent dat de achterste en grootste vleugel, de hoofdvleugel, het vliegtuig moet stabiliseren. Het is bij een canard zowel mogelijk om de hoofdvleugel alle draagkracht op zich te laten nemen, als dat beide vleugels een deel van de draagkracht op zich nemen. We nemen in dit hoofdstuk aan dat de hoofdvleugel alle draagkracht op zich neemt. De co¨efficientenvergelijking (3.9) wordt dan gelijk aan de co¨efficientenvergelijking van een

(24)

18 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES conventioneel vliegtuig (4.1) en we substitueren ook weer overal

S = S₁ en ¯c = ¯c₁, de maten van de hoofdvleugel (in dit geval de achterste vleugel). De stabiliteit van een canardvliegtuig kan met dezelfde voorwaardes worden bekeken als voor een conventioneel vliegtuig. Het verschil is nu dat we de staartvleugel bij het conventionele vliegtuig op een negatieve x₂= − ˆx₂ nemen, zodat de staartvleugel nu een neusvleugel wordt.

Dit heeft invloed op beide voorwaarden.

De eerste voorwaarde (3.15) was:

dC_m,cg dCL

= x₁− x_np

¯

c <0

We hebben hier weer de ligging van het neutrale punt nodig (3.14):

xnp

¯

c₁ = dC_L,2 dC_L

S₂x₂ S₁c¯₁ Nu passen we de negatieve afstand x₂ toe:

x_np

¯

c₁ = −dCL,2

dCL

S₂xˆ₂ S₁c¯₁

Sinds de achterste vleugel (S₁) een stuk groter is dan de voorste vleugel (S₂), is ^S_S²

1 wederom veel kleiner dan 1.

Uit het vorige gedeelte kunnen we de vergelijking voor ^dC_dC^L,2

L halen (4.3):

dC_L,2

dC_L = 1 − dǫ dα

Als we nu de formule voor de neerstroomhoek ǫ (3.12) gebruiken, krijgen we:

dC_L,2 dCL

= 1 − dǫ

dα = 1 − 4 1 − _(AR)⁴

2

= 1 −4S2

b²₂

Dit wijkt af van de vorige sectie, omdat nu de neusvleugel (met S₂ en b₂) de voorste vleugel is. Ingevuld in de ligging van het neutrale punt wordt deze:

x_np

¯

c₁ = −dC_L,2 dCL

S₂xˆ₂

S₁c¯₁ = −(1 − 4S₂ b²₂ )S₂xˆ₂

S₁c¯₁ = (4S₂

b²₂ − 1)S₂xˆ₂

S₁c¯₁ (4.5) x_np wordt nu −a ˆx₂, met a een kleine positieve waarde tussen de 0 en 1. Dit is ook wel x_np= ax₂. Het neutrale punt komt nu dus vóór het aërodynamische centrum van de vleugel te liggen. Het zwaartepunt moet weer voor het neutrale punt liggen om aan de eerste voorwaarde te voldoen.

cg np ac₁

ac₂

Figuur 4.5: Positie neutrale punt canard

(25)

4.2. CANARDVLIEGTUIG 19 De tweede voorwaarde luidde (3.11):

C_m,L=0 >0

Op dezelfde manier als bij het conventionele vliegtuig schrijven we deze voorwaarde om. Deze keer nemen we de invalshoek van de neusvleugel als instelbaar en de achterste vleugel vast (instelhoek i = 0). De hoofdvleugel heeft nu wel een neerstroomhoek ǫ. De invalshoek wordt dan:

α₁ = α − ǫ ≈ α

Deze hoek is ongeveer gelijk aan de invalshoek van het gehele vliegtuig α, omdat ǫ erg klein is. De invalshoek van de neusvleugel is nu α₂ = α + i₂, met i₂ de instelhoek. Er is in dit geval geen neerstroomhoek ǫ, omdat de neusvleugel door een onverstoorde luchtstroming gaat.

Voor de tweede voorwaarde nemen we L = 0 in de co¨efficientenvergelijking (4.1), en dus ook CL= 0 en α = 0. De tweede voorwaarde wordt nu:

C_m,L=0 = C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ − 2πα₂V¯₂ >0 Weer vervangen we x₂ door − ˆx₂ (met ˆx₂ >0) en zo krijgen we:

C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ + 2πi₂S₂xˆ₂ S₁c¯₁ >0

C_m,ac,1 en C_m,ac,2 zijn wederom negatief en zo schrijven we de tweede voorwaarde als:

C_m,ac,1+ C_m,ac,2S₂c¯₂

S₁c¯₁ >−2πi₂S₂xˆ₂

S₁c¯₁ (4.6)

S₂xˆ₂

S₁c¯₁ is nu positief, dus i₂ moet genoeg positief zijn om aan de tweede voorwaarde te voldoen.

De neusvleugel moet dus naar boven wijzen.

Hieronder vind je de momentenlijn van het canardvliegtuig.

C_L C_m,cg

C_m,L=0

C_m,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig Neusvleugel

Figuur 4.6: Momentenlijn Canardvliegtuig

Ook deze keer is ook de momentenlijn van alleen de hoofdvleugel en de momentenlijn van het vliegtuig weergegeven. In dit geval is het de neusvleugel die langsinstabiel is, zoals te zien

(26)

20 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES aan het verschil in helling tussen de twee momentenlijnen. De neusvleugel heeft namelijk een positieve helling en de hoofdvleugel is op zichzelf ook niet langsstabiel, omdat deze positief gewelfd is, Cm,ac <0. Wel heeft de hoofdvleugel een negatieve helling. Dit komt omdat het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel zich achter het zwaartepunt bevindt. Beide waarden zijn nodig voor langsstabiliteit, dus is de hoofdvleugel ook niet langsstabiel. De combinatie van de twee vleugels is echter wel langsstabiel. Ook nu is er gekozen voor een zwaartepunt voor het neutrale punt en een positieve instelhoek van de neusvleugel. Zo krijgt de combinatie van de twee vleugels een negatieve helling (voorwaarde 1) en een positieve C_m,L=0 (voorwaarde 2) en deze is dus wel langsstabiel.

4.3 Tandemvliegtuig

Figuur 4.7: Tandemvlieg- tuig

Een tandemvliegtuig bestaat uit twee ongeveer even grootte vleugels en kan gezien worden als een combinatie van een conventioneel vliegtuig en een canardvliegtuig. Over het algemeen is het bij een tandemvliegtuig zo dat het gewicht gelijk wordt verdeeld over beide vleugels en dat beide vleugels een ongeveer even grote bijdrage hebben aan de totale draagkracht. Dit is anders dan bij een conventioneel vliegtuig en een canardvliegtuig, daar is er een hoofdvleugel die het grootste deel van de draagkracht op zich neemt. De co¨efficientenvergelijking (3.9) kan in dit geval niet vereenvoudigd worden en blijft:

C_m,cg = Cm,ac,1

S₁c¯₁

Sc¯ + Cm,ac,2

S₂c¯₂ S¯c + CL

x₁

¯

c − CL,2V¯₂ met ¯V₂= ^S_S¯²^x_c².

We hadden voor de positie van het neutrale punt de volgende formule (3.14):

xnp

¯

c = dC_L,2 dC_L

S₂x₂ S¯c

dC_L,2

dCL is op dezelfde manier te berekenen als in de vorige secties en wordt in dit geval:

dCL,2

dCL

= 1 −4 ˆS ˆb²

Hierbij zijn ˆS en ˆb respectievelijk de oppervlakte en lengte van de voorste vleugel. Meestal heeft een tandem een voorste vleugel die instelbaar is. We zullen een tandem dus gaan beschouwen als een canard met ongeveer gelijke vleugels. De positie van het neutrale punt wordt nu:

x_np

¯

c = −(1 −4S₂ b²₂ )S₂xˆ₂

S¯c = (4S₂

b²₂ − 1)S₂xˆ₂

S¯c (4.7)

Met ˆx₂ = −x₂ (en ˆx₂ > 0). Ook nu hebben we xnp = ax₂, met a een waarde tussen de 0 en 1. Het neutrale punt komt net als bij de canard voor het a¨erodynamische centrum van de tweede vleugel te liggen, maar dit maal wel meer naar voren. Dat komt omdat nu ^4S_b2²

2 een

(27)

4.4. ANDERE VLEUGELCONFIGURATIES 21 stuk groter is, dan in het geval van de canard. xcg kiezen we nu weer voor het neutrale punt, zodat er voldaan wordt aan voorwaarde 1 (3.15).

cg np ac₁

ac₂

Figuur 4.8: Positie neutrale punt tandem

Voorwaarde 2 (3.11) was:

C_m,L=0 >0

Door de co¨efficientenvergelijking (3.9) te combineren met voorwaarde 2 krijgen we:

C_m,ac,1S₁c¯₁

S¯c + C_m,ac,2S₂c¯₂

S¯c > C_L,2V¯₂= −2πi₂S₂xˆ₂

S¯c (4.8)

Ook hier moet i₂ genoeg positief zijn.

C_L C_m,cg

C_m,L=0

C_m,ac

Hoofdvleugel

Vliegtuig Neusvleugel

Figuur 4.9: Momentenlijn Tandemvliegtuig

Hierboven vindt je de momentenlijn van een tandem. We hebben het zwaartepunt voor het neutrale punt genomen, en wat meer aan de voorkant van het vliegtuig. Hierdoor is de helling van de neusvleugel klein ten opzichte van de hoofdvleugel. Het verschil in beginpunt tussen de momentenlijnen van de aparte vleugels en het vliegtuig ligt aan een groot genoeg gekozen i₂.

4.4 Andere vleugelconfiguraties

Hieronder vindt je nog een tweetal wat vreemde vleugelconfiguraties. Het vliegtuig met maar een vleugel is te vergelijken met een vliegende vleugel en is dus alleen statisch langsstabiel als de vleugel negatief gewelfd is. Het vliegtuig met drie vleugels is erg stabiel. Op het moment dat een vliegtuig erg statisch langsstabiel is, is de directe consequentie dat het vliegtuig niet

(28)

22 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES echt wendbaar is. Een langsinstabiel vliegtuig heeft juist als bijwerking dat deze zeer wendbaar is, deze zijn dan ook erg handig bij luchtgevechten.

(a) Vliegtuig met drie vleugels

(b) Vliegtuig met maar een vleugel

Figuur 4.10: Nog meer configuraties van vleugels

(29)

Hoofdstuk 5

De zonneboot

Het doel van deze scriptie is om te kijken of de zonneboot statisch langsstabiel is. Nu hebben we in de vorige secties het slechts over de langsstabiteit bij vliegtuigen gehad. De overgang van vliegtuigen naar een boot met hydrofoils is erg klein, namelijk een verandering van het medium waarin de vleugels zich bevinden. Bij vliegtuigen is dit natuurlijk de lucht, bij een boot op hydrofoils ’vliegen‘ de vleugels door het water. Ook zal de romp van de boot zich niet door het water bewegen wanneer de boot hard genoeg gaat. Verder is aan de zonneboot een motor bevestigd. Deze zal zorgen voor een grote verstoorde stroming. Helaas hebben we in deze scriptie geen tijd om rekening te houden met de motor. We zullen de motor dan ook op het zwaartepunt kiezen, zodat we niet nog met een extra component van de boot rekening hoeven te houden.

Voor de configuratie van de hydrofoils van de zonneboot hebben we een aantal keuzes. We willen bij de drie configuraties uit het hoofdstuk hiervoor gaan kijken hoe stabiel die configuraties zijn bij de zonneboot. Dit zullen we gaan doen door te kijken naar de momentenlijn van de boot. Omdat de stuurman van de zonneboot geen electronica tot zijn beschikking heeft, en dus de boot zelf zou moeten stabiliseren als deze niet statisch langsstabiel is, willen we de boot zo statisch langsstabiel als mogelijk is hebben. Dit kunnen we zien aan de mate van stabiliteit. Zoals al eerder opgemerkt zegt de helling van de momentenlijn iets over de mate van stabiliteit. We herinneren ons dat de helling weer afhankelijk is van de ligging van het neutrale punt, die vast ligt bij een configuratie, en de ligging van het zwaartepunt. Omdat de boot zelf erg licht is, zal de positie van de stuurman een grote bijdrage leveren aan de ligging van het zwaartepunt. We willen uiteindelijk een advies gaan geven welke configuratie het beste is voor de zonneboot. Hierbij kijken we naar de mate van stabiliteit, maar ook naar de positie van de stuurman.

We sommen nu een aantal waardes op van onder andere de boot, die we nodig gaan hebben bij het bekijken van de momentenlijn van de boot:

23

(30)

24 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT

Symbool Betekenis Waarde

l Lengte boot 7 m

w Breedte boot 2.6 m

b Spanwijdte hydrofoil variabel (m)

c Koordelengte hydrofoil 0.16 m

S Oppervlakte hydrofoil c*b (m²)

ρ Dichtheid water 999.1 kg/m³

x₂ Afstand tussen de twee variabel (m) a¨erodynamische centra

x₁ Afstand van het zwaartepunt variabel (m) tot het a¨erodynamische centrum

van de hoofdvleugel

i₂ Instelhoek voorste vleugel variabel (graden) C_ac Eigen moment hydrofoil -0.135 Nm

De hydrofoils die ze gaan gebruiken voor de boot zijn Speer H005 modellen [5]. Hiervan is het eigenmoment experimenteel bepaald . Zoals we eerder hebben aangenomen uit de potentiaaltheorie [7] dat CL = 2πα, blijkt dit experimenteel voor de Speer H005 modellen ook te kloppen.

De hydrofoils hebben allemaal dezelfde koorde c (16 cm). Deze koorde is meteen gelijk aan de gemiddelde a¨erodynamische koorde, sinds de hydrofoils rechthoekig zijn. De hydrofoils kunnen dus alleen verschillen in spanwijdte b. b mag alleen niet groter zijn dan de boot breed is, dus kan maximaal 2.6 m bedragen. De afstand tussen de twee a¨erodynamische centra van de hydrofoils kan natuurlijk niet groter zijn dan de lengte van de boot en heeft zo ook een maximum.

5.1 Conventionele configuratie

Bij vliegtuigen betekent een conventionele configuratie dat er een grote vleugel voor en een kleine vleugel achter is. We zullen de naam conventioneel overnemen, ondanks dat deze configuratie bij boten met hydrofoils weinig gebruikt wordt. Als we ons een conventioneel vliegtuig herinneren, bleek dat het zwaartepunt van het vliegtuig iets achter het a¨erodynamisch centrum van de hoofdvleugel moest komen te liggen. Dit omdat de voorste vleugel alle draagkracht zou moeten leveren. Bij de zonneboot wil je dat beide foils de draagkracht leveren, omdat de foils vrij klein zijn. Een conventionele configuratie is dan ook niet gewenst.

Het feit dat de stuurman helemaal vooraan de boot zou komen te zitten is natuurlijk ook niet handig. Hij moet wel overzicht kunnen houden bij het varen en sturen.

5.2 Canardconfiguratie

Nu de conventionele configuratie is uitgeschakeld, gaan we verder naar de canardconfiguratie.

We hebben eerst aangenomen dat bij de canard alle draagkracht door de achterste vleugel wordt gedragen, maar bij een canardconfiguratie kunnen ook beide vleugels een draagkracht uitoefenen. De canard configuratie zou daarom wel gebruikt kunnen worden voor de zonneboot. We gaan nu een momentenlijn maken van een canard configuratie waar beide hydrofoils

(31)

5.2. CANARDCONFIGURATIE 25 draagkracht opwekken.

Voor de helling van de momentenlijn hebben we de positie van het neutrale punt nodig. Uit het vorige hoofdstuk halen we hoe deze (aangepast) berekend kan worden (4.5):

xnp= (4S₂

b²₂ − 1)S₂xˆ₂

Sc (5.1)

S₂en b₂ gelden voor de voorste (en kleinste vleugel), S = S₁+ S₂is het oppervlakte van beide vleugels en c de koorde van de hydrofoils. Uit het vorige hoofdstuk halen we dat het neutrale punt dicht voor bij het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel komt te liggen.

Ook belangrijk voor de helling van de momentenlijn is de ligging van het zwaartepunt. We gingen er in het vorige hoofdstuk bij de canard vanuit dat de achterste vleugel (bijna) alle draagkracht op zich neemt. Hiervoor moest het zwaartepunt op of heel dicht bij het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel komen te liggen. Nu laten we de draagkracht op beide vleugels werken. Het zwaartepunt mag dan meer naar voren komen te liggen. Het zwaartepunt wordt voor het grootste deel bepaald door de stuurman, maar we zullen deze wel in de buurt van het zwaartepunt van de lege boot nemen. Om dit zwaartepunt te berekenen gebruiken we de volgende formule:

x_cg=

PMomenten Pmassa

Hierbij is x_cgde afstand van het zwaartepunt tot de voorkant van de boot. De massa van een vleugel nemen we als de volume van een vleugel V = c ∗ b ∗ (dikte vleugel) maal de dichtheid van de vleugel ρvleugel. Dan wordt de ligging van het zwaartepunt:

x_cg= V₁∗ ρ_vleugel∗ r₁+ V₂∗ ρ_vleugel∗ r₂ V₁∗ ρvleugel+ V₂∗ ρvleugel

Met r₁ en r₂ respectievelijk de afstand van de achterste vleugel tot de voorkant van de boot en de afstand van de voorste vleugel tot de voorkant van de boot. De afstanden zijn hieronder schematisch weergegeven.

x

_cg

cg

1

V

r

₂ ₂

r

₁

−x

Figuur 5.1: Afstanden van de hydrofoils tot de voorkant van de boot

ρ_vleugel kunnen we uit deze vergelijking delen evenals de dikte en koordelengte c van de vleugels, sinds die voor beide vleugels gelijk zijn. Zo wordt de ligging van het zwaartepunt:

x_cg= b₁∗ r₁+ b₂∗ r₂ b₁+ b2

(32)

26 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT De ligging van het zwaartepunt is dus erg afhankelijk van de grootte van de vleugels, maar ook van de ligging van de vleugels. De positie van het zwaartepunt tot het a¨erodynamische centrum van de achterste vleugel wordt nu:

x₁= xcg− r₁ = b₁∗ r₁+ b₂∗ r₂

b₁+ b₂ − r₁ = b₂(r₂− r₁) b₁+ b₂

Sinds r₁ = ˆx₂ + r₂, kunnen we de formule hierboven alleen laten afhangen van ˆx₂ en de spanwijdte van de vleugels b₁ en b₂ door gebruik te maken van (5.1) en S_i= b_ic

x₁ = b₂(r2− (r2+ ˆx₂))

b₁+ b₂ = −b2xˆ₂

b₁+ b₂ (5.2)

De helling van de momentenlijn is nu ook alleen afhankelijk van ˆx₂ en de spanwijdte van de vleugels b₁ en b₂ (3.15):

dCm

dCL

= x₁− xnp

c = −_b^b²^x^ˆ²

1+b₂ − (^4c_b

2 − 1)_b^b²^x^ˆ²

1+b₂

c = −4 ˆx₂

b₁+ b₂ (5.3)

Dit is tevens de formule voor de mate van stabiliteit.

Voor het beginpunt van de momentenlijn kijken we naar de momentenco¨efficient waarbij L= 0:

C_m,L=0

We maken hierbij gebruik van de algemene co¨efficientenvergelijking (3.9):

C_m,cg = Cm,ac,1

S₁c¯₁

S¯c + Cm,ac,2

S₂c¯₂ S¯c + CL

x₁

¯

c − CL,2

S₂x₂

S¯c (5.4)

Het beginpunt wordt nu:

C_m,L=0 = Cm,ac,1

S₁c¯₁

S¯c + Cm,ac,2

S₂c¯₂

S¯c + 2πi2

S₂xˆ₂ S¯c

= Cm,ac

S₁c¯₁+ S₂c¯₂

S¯c + 2πi₂S₂xˆ₂

Sc¯ = Cm,ac+ 2πi₂ b₂xˆ₂

(b₁+ b₂)¯c (5.5) Met S = S₁ + S₂ en ¯c de gemiddelde a¨erodynamische koorde die gelijk is aan c. Cm,ac,1 en C_m,ac,2 zijn gelijk (Cm,ac) omdat het beide Speer H005 modellen zijn. Nu wordt de formule nog simpeler:

C_m,L=0= Cm,ac+ 2πi₂S₂xˆ₂ Sc

Zoals eerder gemeld moet de instelhoek i₂ van de voorste vleugel groot genoeg zijn om te voldoen aan de tweede voorwaarde voor langsstabiliteit (3.11) C_m,L=0 > 0. We berekenen daarom eerst de instelhoek waarbij C_m,L=0 = 0 en nemen de instelhoek daarna groter om aan de tweede voorwaarde te voldoen:

i₂ >− C_m,ac

2π^S²_Sc^x^ˆ² = −C_m,acSc 2πS₂

1 ˆ

x₂ ≡ i_2,min (5.6)

Nu het beginpunt en de helling van de momentenlijn bekend zijn, kunnen we deze gaan tekenen. Hieronder vinden we de momentenlijn voor de volgende extra waarden:

(33)

5.2. CANARDCONFIGURATIE 27 Symbool Waarde

b₁ 2 m

b₂ 1 m

S₁ 0.32 m

S₂ 0.16 m

S 0.48 m

ˆ

x₂ 5 m

i_2,min 0.002^◦

i₂ 4*i_2,min = 0.008^◦

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 CL

-1.0 -0.5 CM

Figuur 5.2: Momentenlijn Canard

We krijgen nu voor het beginpunt (5.5):

C_m,L=0 = −0.135 + 0.108 ˆx₂ = 0.405

En voor de helling (5.3):

dCm,cg

dC_L = −4

3xˆ₂= −6.67

Dit is meteen de mate van stabiliteit. Als de maat van de hydrofoils vast liggen, dan is de minimale instelhoek i_2,min (5.6) slechts afhankelijk van de keuze van ˆx₂, net als de helling.

Dit is een lineaire afhankelijkheid zoals te zien in vergelijking (5.3) Hieronder vinden we drie momentenlijnen met verschillende ˆx₂. We zien dat de momentenlijn met de grootste ˆx₂ het stijlst is. Dus hoe verder de vleugels uit elkaar liggen, hoe stabieler de boot kan zijn.

(34)

28 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

Figuur 5.3: Momentenlijnen canard met ˆx₂ = 1, ˆx₂ = 3 en ˆx₂ = 5

Als we de stuurman op het zwaartepunt van de lege boot plaatsen, blijkt de canard vrij statisch langsstabiel te zijn. Zetten we de stuurman wat naar achter, dan wordt deze minder stabiel. De stuurman mag niet achter het neutrale punt komen te zitten (voorwaarde 1). Het neutrale punt bevindt zich met onze keuze van de waarden op 0.6 m voor het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel volgens (4.5).

Er is ook nog een restrictie aan hoe ver het zwaartepunt naar voren mag liggen. Als het zwaartepunt te ver naar voren mag komen te liggen, dan moet de invalshoek α van de voorste vleugel zeer groot zijn om nog genoeg liftkracht op te wekken. Maar er is een optimum aan de draagkracht die een vleugel kan opwekken. Dit optimum zit ongeveer bij α = 15^◦ [5], dus nemen we dat α niet groter mag zijn dan 15^◦. Bij een snelheid van 10 m/s en de waarden die hiervoor gekozen zijn, kan de voorste vleugel van 1 meter breed een liftkracht van ongeveer 750 N (L = ¹₂ρv²SC_L met C_L = 2πα) opwekken. Omdat de gehele boot 200 ∗ 9.81 = 2000 N nodig heeft om het water uit te komen, is dit dus ³₈ van de gehele liftkracht. Het voorste limiet van het zwaartepunt ligt dan ook op ³₈ van ˆx₂ vanaf de hoofdvleugel.

Hieronder zie je het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen, en dus waar de stuurman mag zitten.

Figuur 5.4: Gebied waar het zwaartepunt mag liggen. Hydrofoils niet op schaal

(35)

5.3. TANDEMCONFIGURATIE 29

5.3 Tandemconfiguratie

De laatste configuratie waar we naar gaan kijken is de tandemconfiguratie. Hierbij heb je twee ongeveer even grootte vleugels op afstand ˆx₂= −x₂ van elkaar. In de vorige sectie hebben we geconstateerd dat de tandem als een canard kan worden behandeld. We willen ook dit maal de momentenlijn tekenen om te kijken naar de stabiliteit.

Uit de vorige sectie halen we de formule voor respectievelijk het beginpunt (5.5) en de helling (5.3) van de momentenlijn: We krijgen nu voor het beginpunt:

C_m,L=0= Cm,ac

S₁c¯₁+ S₂c¯₂

S¯c + 2πi₂S₂xˆ₂

Sc¯ = Cm,ac+ 2πi₂ b₂xˆ₂

(b₁+ b₂)¯c (5.7) Voor de helling hebben we net als bij de canard (5.3):

dCm,cg

dC_L = −4 ˆx₂

b₁+ b₂ (5.8)

Ook hier moeten we de minimale hoek i_2,min vinden door C_m,L=0 = 0 te berekenen. Als we die gevonden hebben kunnen we ook dit keer i₂groter nemen om aan voorwaarde 2 te voldoen (4.8) en de momentenlijn tekenen. Hiervoor gebruiken we de extra onderstaande waarden:

Symbool Waarde

b₁ 2.1 m

b₂ 1.9 m

S₁ 0.336 m

S₂ 0.304 m

S 0.64 m

ˆ

x₂ 5 m

i_2,min 0.002^◦

i₂ 4*i_2,min = 0.008^◦ Hieronder zie je de momentenlijn voor de waarden:

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 CL

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 CM

Figuur 5.5: Momentenlijn Tandem