Andere vleugelconfiguraties

stuk groter is, dan in het geval van de canard. xcg kiezen we nu weer voor het neutrale punt, zodat er voldaan wordt aan voorwaarde 1 (3.15).

cg np ac1

ac2

Figuur 4.8: Positie neutrale punt tandem

Voorwaarde 2 (3.11) was:

C_m,L=0 >0

Door de co¨efficientenvergelijking (3.9) te combineren met voorwaarde 2 krijgen we: C_m,ac,1^S1c¯₁

S¯c + C_m,ac,2^S2c¯2

S¯c ^{> CL,2}_V¯_{2= −2πi2}^S2xˆ₂

S¯c (4.8)

Ook hier moet i₂ genoeg positief zijn.

C_L C_m,cg C_m,L=0 Evenwichtstoestand 0 C_m,ac Hoofdvleugel Vliegtuig Neusvleugel

Figuur 4.9: Momentenlijn Tandemvliegtuig

Hierboven vindt je de momentenlijn van een tandem. We hebben het zwaartepunt voor het neutrale punt genomen, en wat meer aan de voorkant van het vliegtuig. Hierdoor is de helling van de neusvleugel klein ten opzichte van de hoofdvleugel. Het verschil in beginpunt tussen de momentenlijnen van de aparte vleugels en het vliegtuig ligt aan een groot genoeg gekozen i₂.

4.4 Andere vleugelconfiguraties

Hieronder vindt je nog een tweetal wat vreemde vleugelconfiguraties. Het vliegtuig met maar een vleugel is te vergelijken met een vliegende vleugel en is dus alleen statisch langsstabiel als de vleugel negatief gewelfd is. Het vliegtuig met drie vleugels is erg stabiel. Op het moment dat een vliegtuig erg statisch langsstabiel is, is de directe consequentie dat het vliegtuig niet

22 HOOFDSTUK 4. VERSCHILLENDE VLEUGELCONFIGURATIES echt wendbaar is. Een langsinstabiel vliegtuig heeft juist als bijwerking dat deze zeer wendbaar is, deze zijn dan ook erg handig bij luchtgevechten.

(a) Vliegtuig met drie vleugels

(b) Vliegtuig met maar een vleugel

Hoofdstuk 5

De zonneboot

Het doel van deze scriptie is om te kijken of de zonneboot statisch langsstabiel is. Nu hebben we in de vorige secties het slechts over de langsstabiteit bij vliegtuigen gehad. De overgang van vliegtuigen naar een boot met hydrofoils is erg klein, namelijk een verandering van het medium waarin de vleugels zich bevinden. Bij vliegtuigen is dit natuurlijk de lucht, bij een boot op hydrofoils ’vliegen‘ de vleugels door het water. Ook zal de romp van de boot zich niet door het water bewegen wanneer de boot hard genoeg gaat. Verder is aan de zonneboot een motor bevestigd. Deze zal zorgen voor een grote verstoorde stroming. Helaas hebben we in deze scriptie geen tijd om rekening te houden met de motor. We zullen de motor dan ook op het zwaartepunt kiezen, zodat we niet nog met een extra component van de boot rekening hoeven te houden.

Voor de configuratie van de hydrofoils van de zonneboot hebben we een aantal keuzes. We willen bij de drie configuraties uit het hoofdstuk hiervoor gaan kijken hoe stabiel die configu-raties zijn bij de zonneboot. Dit zullen we gaan doen door te kijken naar de momentenlijn van de boot. Omdat de stuurman van de zonneboot geen electronica tot zijn beschikking heeft, en dus de boot zelf zou moeten stabiliseren als deze niet statisch langsstabiel is, willen we de boot zo statisch langsstabiel als mogelijk is hebben. Dit kunnen we zien aan de mate van stabiliteit. Zoals al eerder opgemerkt zegt de helling van de momentenlijn iets over de mate van stabiliteit. We herinneren ons dat de helling weer afhankelijk is van de ligging van het neutrale punt, die vast ligt bij een configuratie, en de ligging van het zwaartepunt. Omdat de boot zelf erg licht is, zal de positie van de stuurman een grote bijdrage leveren aan de ligging van het zwaartepunt. We willen uiteindelijk een advies gaan geven welke configuratie het beste is voor de zonneboot. Hierbij kijken we naar de mate van stabiliteit, maar ook naar de positie van de stuurman.

We sommen nu een aantal waardes op van onder andere de boot, die we nodig gaan heb-ben bij het bekijken van de momentenlijn van de boot:

24 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT

Symbool Betekenis Waarde

l Lengte boot 7 m

w Breedte boot 2.6 m

b Spanwijdte hydrofoil variabel (m)

c Koordelengte hydrofoil 0.16 m

S Oppervlakte hydrofoil c*b (m²)

ρ Dichtheid water 999.1 kg/m³

x₂ Afstand tussen de twee variabel (m)

a¨erodynamische centra

x₁ Afstand van het zwaartepunt variabel (m)

tot het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel

i₂ Instelhoek voorste vleugel variabel (graden)

C_ac Eigen moment hydrofoil -0.135 Nm

De hydrofoils die ze gaan gebruiken voor de boot zijn Speer H005 modellen [5]. Hiervan is het eigenmoment experimenteel bepaald . Zoals we eerder hebben aangenomen uit de potentiaaltheorie [7] dat CL = 2πα, blijkt dit experimenteel voor de Speer H005 modellen ook te kloppen.

De hydrofoils hebben allemaal dezelfde koorde c (16 cm). Deze koorde is meteen gelijk aan de gemiddelde a¨erodynamische koorde, sinds de hydrofoils rechthoekig zijn. De hydrofoils kunnen dus alleen verschillen in spanwijdte b. b mag alleen niet groter zijn dan de boot breed is, dus kan maximaal 2.6 m bedragen. De afstand tussen de twee a¨erodynamische centra van de hydrofoils kan natuurlijk niet groter zijn dan de lengte van de boot en heeft zo ook een maximum.

5.1 Conventionele configuratie

Bij vliegtuigen betekent een conventionele configuratie dat er een grote vleugel voor en een kleine vleugel achter is. We zullen de naam conventioneel overnemen, ondanks dat deze confi-guratie bij boten met hydrofoils weinig gebruikt wordt. Als we ons een conventioneel vliegtuig herinneren, bleek dat het zwaartepunt van het vliegtuig iets achter het a¨erodynamisch centrum van de hoofdvleugel moest komen te liggen. Dit omdat de voorste vleugel alle draagkracht zou moeten leveren. Bij de zonneboot wil je dat beide foils de draagkracht leveren, omdat de foils vrij klein zijn. Een conventionele configuratie is dan ook niet gewenst.

Het feit dat de stuurman helemaal vooraan de boot zou komen te zitten is natuurlijk ook niet handig. Hij moet wel overzicht kunnen houden bij het varen en sturen.

5.2 Canardconfiguratie

Nu de conventionele configuratie is uitgeschakeld, gaan we verder naar de canardconfiguratie. We hebben eerst aangenomen dat bij de canard alle draagkracht door de achterste vleugel wordt gedragen, maar bij een canardconfiguratie kunnen ook beide vleugels een draagkracht uitoefenen. De canard configuratie zou daarom wel gebruikt kunnen worden voor de zonne-boot. We gaan nu een momentenlijn maken van een canard configuratie waar beide hydrofoils

5.2. CANARDCONFIGURATIE 25

draagkracht opwekken.

Voor de helling van de momentenlijn hebben we de positie van het neutrale punt nodig. Uit het vorige hoofdstuk halen we hoe deze (aangepast) berekend kan worden (4.5):

xnp= (^4S2

b²₂ − 1)^S2xˆ2

Sc (5.1)

S₂en b₂ gelden voor de voorste (en kleinste vleugel), S = S₁+ S₂is het oppervlakte van beide vleugels en c de koorde van de hydrofoils. Uit het vorige hoofdstuk halen we dat het neutrale punt dicht voor bij het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel komt te liggen.

Ook belangrijk voor de helling van de momentenlijn is de ligging van het zwaartepunt. We gingen er in het vorige hoofdstuk bij de canard vanuit dat de achterste vleugel (bijna) al-le draagkracht op zich neemt. Hiervoor moest het zwaartepunt op of heel dicht bij het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel komen te liggen. Nu laten we de draagkracht op beide vleugels werken. Het zwaartepunt mag dan meer naar voren komen te liggen. Het zwaartepunt wordt voor het grootste deel bepaald door de stuurman, maar we zullen deze wel in de buurt van het zwaartepunt van de lege boot nemen. Om dit zwaartepunt te berekenen gebruiken we de volgende formule:

x_cg= P

Momenten P

massa

Hierbij is x_cgde afstand van het zwaartepunt tot de voorkant van de boot. De massa van een vleugel nemen we als de volume van een vleugel V = c ∗ b ∗ (dikte vleugel) maal de dichtheid van de vleugel ρvleugel. Dan wordt de ligging van het zwaartepunt:

x_cg= ^{V1∗ ρvleugel∗ r1+ V2∗ ρvleugel∗ r2} V₁∗ ρvleugel+ V₂∗ ρvleugel

Met r₁ en r₂ respectievelijk de afstand van de achterste vleugel tot de voorkant van de boot en de afstand van de voorste vleugel tot de voorkant van de boot. De afstanden zijn hieronder schematisch weergegeven.

x

_cg

cg

1

V

r

_{2 2}

r

₁

−x

−x

Figuur 5.1: Afstanden van de hydrofoils tot de voorkant van de boot

ρ_vleugel kunnen we uit deze vergelijking delen evenals de dikte en koordelengte c van de vleugels, sinds die voor beide vleugels gelijk zijn. Zo wordt de ligging van het zwaartepunt:

x_cg= ^{b1∗ r1+ b2∗ r2} b₁+ b2

26 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT De ligging van het zwaartepunt is dus erg afhankelijk van de grootte van de vleugels, maar ook van de ligging van de vleugels. De positie van het zwaartepunt tot het a¨erodynamische centrum van de achterste vleugel wordt nu:

x₁= xcg− r₁ = ^{b1∗ r1+ b2∗ r2}

b₁+ b₂ ^{− r1 =}

b₂(r₂− r₁) b₁+ b₂

Sinds r₁ = ˆx₂ + r₂, kunnen we de formule hierboven alleen laten afhangen van ˆx₂ en de spanwijdte van de vleugels b₁ en b₂ door gebruik te maken van (5.1) en S_i= b_ic

x₁ = ^{b2(r2− (r2+ ˆx2))}

b₁+ b₂ ⁼

−b2xˆ₂

b₁+ b₂ ^(5.2)

De helling van de momentenlijn is nu ook alleen afhankelijk van ˆx₂ en de spanwijdte van de vleugels b₁ en b₂ (3.15): dCm dCL = ^{x1− xnp} c = ⁻ b₂xˆ₂ b₁+b₂ − (^4c_b 2 − 1) ^b2xˆ₂ b₁+b₂ c = ^{−4 ˆx2} b₁+ b₂ ^(5.3)

Dit is tevens de formule voor de mate van stabiliteit.

Voor het beginpunt van de momentenlijn kijken we naar de momentenco¨efficient waarbij L= 0:

C_m,L=0

We maken hierbij gebruik van de algemene co¨efficientenvergelijking (3.9): C_m,cg = Cm,ac,1 S₁c¯₁ S¯c + Cm,ac,2 S₂c¯₂ S¯c + CL x₁ ¯ c − CL,2 S₂x₂ S¯c (5.4)

Het beginpunt wordt nu:

C_m,L=0 = Cm,ac,1 S₁c¯₁ S¯c + Cm,ac,2 S₂c¯₂ S¯c + 2πi2 S₂xˆ₂ S¯c = Cm,ac S₁c¯₁+ S₂c¯₂ S¯c + 2πi₂^S2xˆ2 Sc¯ = Cm,ac+ 2πi₂ ^b2xˆ2 (b₁+ b₂)¯c (5.5) Met S = S₁ + S₂ en ¯c de gemiddelde a¨erodynamische koorde die gelijk is aan c. Cm,ac,1 en C_m,ac,2 zijn gelijk (Cm,ac) omdat het beide Speer H005 modellen zijn. Nu wordt de formule nog simpeler:

C_m,L=0= Cm,ac+ 2πi₂^S2xˆ2 Sc

Zoals eerder gemeld moet de instelhoek i₂ van de voorste vleugel groot genoeg zijn om te voldoen aan de tweede voorwaarde voor langsstabiliteit (3.11) C_m,L=0 > 0. We berekenen daarom eerst de instelhoek waarbij C_m,L=0 = 0 en nemen de instelhoek daarna groter om aan de tweede voorwaarde te voldoen:

i₂ >− ^Cm,ac 2π^S2xˆ₂ Sc = −^Cm,acSc 2πS₂ 1 ˆ x₂ ≡ i_2,min (5.6)

Nu het beginpunt en de helling van de momentenlijn bekend zijn, kunnen we deze gaan teke-nen. Hieronder vinden we de momentenlijn voor de volgende extra waarden:

5.2. CANARDCONFIGURATIE 27 Symbool Waarde b₁ 2 m b₂ 1 m S₁ 0.32 m S₂ 0.16 m S 0.48 m ˆ x₂ 5 m i_2,min 0.002◦ i₂ 4*i_2,min = 0.008◦ 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 ^CL -1.0 -0.5 CM

Figuur 5.2: Momentenlijn Canard

We krijgen nu voor het beginpunt (5.5):

C_m,L=0 = −0.135 + 0.108 ˆx₂ = 0.405 En voor de helling (5.3): dCm,cg dC_L ^{= −} 4 3^{xˆ2= −6.67}

Dit is meteen de mate van stabiliteit. Als de maat van de hydrofoils vast liggen, dan is de minimale instelhoek i_2,min (5.6) slechts afhankelijk van de keuze van ˆx₂, net als de helling. Dit is een lineaire afhankelijkheid zoals te zien in vergelijking (5.3) Hieronder vinden we drie momentenlijnen met verschillende ˆx₂. We zien dat de momentenlijn met de grootste ˆx₂ het stijlst is. Dus hoe verder de vleugels uit elkaar liggen, hoe stabieler de boot kan zijn.

28 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

Figuur 5.3: Momentenlijnen canard met ˆx₂ = 1, ˆx₂ = 3 en ˆx₂ = 5

Als we de stuurman op het zwaartepunt van de lege boot plaatsen, blijkt de canard vrij statisch langsstabiel te zijn. Zetten we de stuurman wat naar achter, dan wordt deze minder stabiel. De stuurman mag niet achter het neutrale punt komen te zitten (voorwaarde 1). Het neutrale punt bevindt zich met onze keuze van de waarden op 0.6 m voor het a¨erodynamische centrum van de hoofdvleugel volgens (4.5).

Er is ook nog een restrictie aan hoe ver het zwaartepunt naar voren mag liggen. Als het zwaartepunt te ver naar voren mag komen te liggen, dan moet de invalshoek α van de voorste vleugel zeer groot zijn om nog genoeg liftkracht op te wekken. Maar er is een optimum aan de draagkracht die een vleugel kan opwekken. Dit optimum zit ongeveer bij α = 15◦

[5], dus nemen we dat α niet groter mag zijn dan 15◦

. Bij een snelheid van 10 m/s en de waarden die hiervoor gekozen zijn, kan de voorste vleugel van 1 meter breed een liftkracht van ongeveer 750 N (L = ¹₂ρv²SC_L met C_L = 2πα) opwekken. Omdat de gehele boot 200 ∗ 9.81 = 2000 N nodig heeft om het water uit te komen, is dit dus ³₈ van de gehele liftkracht. Het voorste limiet van het zwaartepunt ligt dan ook op ³₈ van ˆx₂ vanaf de hoofdvleugel.

Hieronder zie je het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen, en dus waar de stuurman mag zitten.

5.3. TANDEMCONFIGURATIE 29

5.3 Tandemconfiguratie

De laatste configuratie waar we naar gaan kijken is de tandemconfiguratie. Hierbij heb je twee ongeveer even grootte vleugels op afstand ˆx₂= −x₂ van elkaar. In de vorige sectie hebben we geconstateerd dat de tandem als een canard kan worden behandeld. We willen ook dit maal de momentenlijn tekenen om te kijken naar de stabiliteit.

Uit de vorige sectie halen we de formule voor respectievelijk het beginpunt (5.5) en de helling (5.3) van de momentenlijn: We krijgen nu voor het beginpunt:

C_m,L=0= Cm,ac

S₁c¯₁+ S₂c¯₂

S¯c + 2πi₂^S2xˆ2

Sc¯ = Cm,ac+ 2πi₂ ^b2xˆ2

(b₁+ b₂)¯c (5.7) Voor de helling hebben we net als bij de canard (5.3):

dCm,cg

dC_L ⁼ −4 ˆx₂

b₁+ b₂ ^(5.8)

Ook hier moeten we de minimale hoek i_2,min vinden door C_m,L=0 = 0 te berekenen. Als we die gevonden hebben kunnen we ook dit keer i₂groter nemen om aan voorwaarde 2 te voldoen (4.8) en de momentenlijn tekenen. Hiervoor gebruiken we de extra onderstaande waarden:

Symbool Waarde b₁ 2.1 m b₂ 1.9 m S₁ 0.336 m S₂ 0.304 m S 0.64 m ˆ x₂ 5 m i_2,min 0.002◦ i₂ 4*i_2,min = 0.008◦

Hieronder zie je de momentenlijn voor de waarden:

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 ^CL -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 CM

30 HOOFDSTUK 5. DE ZONNEBOOT Het beginpunt is nu (5.7): C_m,L=0 = −0.135 + 0.108 ˆx₂ = 0.405 En de helling (5.8): dC_m dCL = − ˆx₂ = −5

Ook hier is het zwaartepunt, en zo ook de plaats van de stuurman van belang. Het neutrale punt ligt in dit geval (4.7) 1.575 m voor het a¨erodynamische centrum van de achterste vleugel. Het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen, vanaf het neutrale punt voor de plaats van de voorste vleugel, is groter dan bij de canard.

Hieronder vind je het gebied waarin het zwaartepunt mag liggen. Het voorste limiet hebben we bepaald zoals bij de canard (L = ¹₂ρv²SC_L) met een snelheid van 10 m/s en de waarden van hierboven.

Figuur 5.6: Gebied waar het zwaartepunt mag liggen. Hydrofoils niet op schaal

Zoals te zien is op het plaatje, is het gebied waar bij de tandem het zwaartepunt mag liggen veel groter dan bij de canard. Bij de canard is de mate van stabiliteit maximaal −8 volgens (5.3), omdat we daar |x₁| maximaal hebben. Bij de tandem kan de mate van stabiliteit een stuk groter worden, omdat de afstand tussen het zwaartepunt en het neutrale punt ook een stuk groter kan worden. Als we de bestuurder op het voorste limiet van het zwaartepunt zetten, dan is de mate van stabiliteit ongeveer gelijk aan −13.6, dankzij vergelijking (5.8). We hebben bij de tandem dus erg veel speelruimte wat betreft het plaatsen van het zwaartepunt en kunnen op die manier een boot maken met de gewenste stabiliteit. Zoals eerder genoemd is bij vliegtuigen een stabiliteit van −5 tot −15 normaal, dus de stuurman kan het beste iets achter het voorste limiet gaan zitten zodat de boot ook nog goed bestuurbaar blijft.

Hoofdstuk 6

Conclusie

De langsstabiliteit bij een boot op hydrofoils moet ervoor zorgen dat als de neus naar boven of naar beneden beweegt door bijvoorbeeld hoge golven, de boot niet omklapt. Hiervoor zijn een aantal punten op de boot van groot belang, namelijk het neutrale punt, het zwaartepunt van de boot en hun relatieve afstand. Als we de afmetingen van de hydrofoils weten, dan ligt het neutrale punt van de boot vast. Het zwaartepunt kan je aanpassen door de stuurman op een bepaald punt te plaatsen.

Uit hoofdstuk 3 halen we de twee voorwaarden waar de zonneboot aan moet voldoen wil deze statisch langsstabiel zijn. Voorwaarde 1 (3.15) heeft te maken met de relatieve afstand tussen het neutrale punt xnp en het zwaartepunt x₁:

dCm,cg

dCL

= ^{x1− xnp} ¯

c ^<0

Deze voorwaarde zegt dat het zwaartepunt voor het neutrale punt moet komen te liggen. De tweede voorwaarde (3.11) zegt dat het zogenaamde nul-lift moment positief moet zijn. Of ook wel, als er geen draagkracht op het gehele vliegtuig werkt (L = 0), moet er wel een draagkracht op de aparte vleugels werken door de vorm van de vleugels. Omgeschreven in een wiskundige formule is dit:

C_m,L=0 >0

Als we de co¨efficienten vergelijking toepassen op de tweede voorwaarde komt er uit dat de kleinste vleugel een bepaalde instelhoek i moet hebben om aan deze voorwaarde te voldoen. Zo moet de staartvleugel bij een conventioneel vliegtuig naar beneden wijzen en de voorste vleugel bij een canard juist naar boven.

Bij de zonneboot zijn er drie configuratie mogelijkheden. Zo kan je een grote vleugel voor en een kleine achter (conventionele configuratie), een kleine vleugel voor en een grote achter (canard) of twee gelijke vleugels (tandem) plaatsen. Bij de conventionele configuratie werkt alle draagkracht op de hoofdvleugel en zal de stuurman erg ver naar voren moeten zitten om deze configuratie statisch langsstabiel te maken. Dit blijkt niet erg handig te zijn.

Bij de canard en de tandem configuratie is dit al beter. Bij beide configuraties heb je een gebied waarin het zwaartepunt moet liggen om de boot statisch langsstabiel te laten zijn. Bij de canard is dit echter maar een klein gebiedje achterin de boot, terwijl bij de tandem de

32 HOOFDSTUK 6. CONCLUSIE stuurman veel meer bewegingsruimte heeft. De tandemconfiguratie is dan ook de gunstigste keuze voor de zonneboot.

We moeten er bij de zonneboot wel rekening mee houden dat we de boot niet t´e langs-stabiel maken. Eerder in deze scriptie is al gemeld dat grote stabiliteit gelijk staat aan lichte mobiliteit. Omdat het gaat om een race door friese wateren, wil je wel een redelijk hoge mate van mobiliteit hebben. Dit betekent dat de stabiliteit dus niet te groot mag zijn. De stuurman zal dus ongeveer in het midden van de boot moeten komen te zitten. Dit is wat de bouwers van de echte zonneboot ook hebben uitgevoerd.

Bibliografie

[1] http://frisiansolarchallenge.nl.

[2] http://www.wikihow.com/Calculate-Center-of-Gravity.

[3] http://adg.stanford.edu/aa241/stability/staticstability/htm. [4] John D. Anderson Jr. Introduction to Flight. McGraw-Hill, 2008.

[5] Thomas E. Speer. Low reynolds number hydrofoils. http://www.tspeer.com/ Hydrofoils/h105/h105.htm, January 1999.

[6] E. Torenbeek and H. Wittenberg. Aeronautiek, Grondslagen en techniek van het vliegen. DUP Science, 2002.

[7] A.E.P. Veldman and A Velick´a. Stromingsleer. Rijksuniversiteit Groningen, 2007.

In document Langsstabiliteit van een boot op hydrofoils (pagina 27-39)