University of Groningen
Topics in inhomogeneous Bernoulli percolation
Carelos Sanna, Humberto
DOI:
10.33612/diss.150687857
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Publication date: 2020
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Citation for published version (APA):
Carelos Sanna, H. (2020). Topics in inhomogeneous Bernoulli percolation: A study of two models. University of Groningen. https://doi.org/10.33612/diss.150687857
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Resumo
Esta tese é uma investigação de alguns aspectos matemáticos de percolação de elos de Bernoulli não-homogênea em dois grafos G = (V, E) distintos; em cada um de-les, consideramos uma decomposição E0∪E00do conjunto de elos E em questão
e, dados 𝑝, 𝑞 ∈ [0, 1], atribuímos parâmetros 𝑝 e 𝑞 aos elos de E0e E00,
respectiva-mente. Em tal formulação, um dos conjuntos, digamos E00, é visto como o conjunto
de inomogeneidades.
O primeiro grafo G = (V, E) considerado é aquele induzido pelo produto cartesi-ano de um grafo infinito e conexo𝐺 = (𝑉 , 𝐸) e o conjunto dos inteiros Z. Escolhemos uma coleção infinita C de subgrafos finitos e conexos de 𝐺 e trabalhamos com o mo-delo de percolação de elos de Bernoulli em G que atribui probabilidade 𝑞 de estar aberto a cada elo cuja projeção em 𝐺 incide sobre algum subgrafo em C, e probabili-dade 𝑝 para os demais elos. Aqui, focamos nossa atenção no parâmetro crítico para percolação, 𝑝𝑐(𝑞 ), definido como o supremo dos valores de 𝑝 para os quais percolação
com parâmetros 𝑝, 𝑞 não ocorre. Mostramos que a função 𝑞 ↦→ 𝑝𝑐(𝑞 )é contínua em
(0, 1), no caso em que os grafos de C estão “suficientemente espaçados entre si” em𝐺 e seus conjuntos de vértices possuem cardinalidade uniformemente limitada.
O segundo grafo é a usual rede hipercúbica 𝑑-dimensional, L𝑑
= (Z𝑑
,E𝑑), 𝑑 ≥ 3, onde definimos o modelo de percolação de Bernoulli não-homogênea em que cada elo contido no subespaço 𝑠-dimensional Z𝑠
× {0}𝑑−𝑠, 2 ≤ 𝑠 < 𝑑, está aberto com
probabilidade 𝑞, e os demais elos estão abertos com probabilidade 𝑝. Definindo 𝑞𝑐(𝑝)como o supremo dos valores de 𝑞 para os quais percolação com parâmetros
𝑝 , 𝑞não ocorre e denotando o ponto crítico para percolação homogênea em L𝑑por 𝑝𝑐∈ (0, 1), provamos dois resultados: primeiro, a unicidade do aglomerado infinito
na fase supercrítica de parâmetros (𝑝, 𝑞), para 𝑝 ≠ 𝑝𝑐; segundo, mostramos que, para
𝑝 < 𝑝𝑐, o ponto crítico (𝑝, 𝑞𝑐(𝑝))pode ser aproximado por pontos críticos de slabs, no
espírito do clássico teorema de Grimmett e Marstrand para percolação homogênea.
