De opbouw van notenladders
Door Dirk Schut
Voorwoord
Iedereen kent de notennamen wel: a, bes, b, c, cis, d, es, e, f, fis, g en gis, maar wat stellen deze namen voor en waarom vinden we juist deze noten mooi? Door te kijken naar de wis‐ en natuurkundige opbouw van de toonladders kan het antwoord op deze vraag gevonden worden.
Horen
Een zuivere toon is een regelmatige verandering van de luchtdruk. Des te sneller de luchtdruk verandert, des te hoger de toon. Hoe hoger de maximale luchtdruk hoe harder de toon. De toonhoogte wordt uitgedrukt in
luchtdrukveranderingen per seconde, hiervoor wordt de natuurkundige grootheid frequentie met als eenheid hertz (Hz) gebruikt. Om een idee te geven hoe snel de luchtdruk veranderd: Een jong kind kan tonen tussen de 20Hz en de 20.000Hz horen. Het volume van een toon is voor de opbouw van notenladders niet belangrijk.
Mensen kunnen goed relatief horen, maar niet goed absoluut.
Als je twee tonen hoort kan je meestal wel zeggen welke de hoogste was, maar niet hoe hoog deze was in hertz. Hierdoor is het zo dat de absolute hoogte van een toon niet uitmaakt voor hoe zuiver je een toon vindt klinken. Dit kan je goed zien bij een gitaar. Als één snaar van een gitaar vals is dan klinkt de hele gitaar vals, maar als alle snaren even ver te hoog of te laag zijn gestemd dan klinkt de gitaar zuiver. Hieruit kan je ook herleiden dat de verhoudingen tussen noten in een notenladder bij iedere noot gelijk moeten zijn, want als je een hele gitaar één noot omlaag stemt dan klinken alle toonladders, die nu een noot lager zijn, nog steeds zuiver.
Boventonen
Noten uit een toongenerator zijn volledig zuiver. Toch klinken zulke noten erg vervelend. Dit is zo omdat we gewend zijn boventonen te horen. Bijna alle muziekinstrumenten berusten op het principe van resonantie. Hier zal ik niet te diep op ingaan, maar het zorgt ervoor dat bij een buis of snaar bepaalde tonen versterkt worden. Er wordt een willekeurige beweging veroorzaakt door de muzikant, namelijk het aanslaan van een snaar of het blazen op een fluit, en deze wordt door het instrument in een beperkt aantal bewegingen veranderd. Deze bewegingen veroorzaken
luchtdrukverschillen en zijn daardoor hoorbaar. Er wordt dus geluid voortgebracht in een beperkt aantal verschillende toonhoogtes.
De laagste voortgebrachte toon heet de grondtoon. De andere tonen heten boventonen. Er zijn oneindig veel boventonen, maar iedere boventoon klinkt iets minder hard. Bij snaarinstrumenten
Luchtdruk
Tijd(s)
Een A (440Hz)
0.0023 0.0045
worden boventonen veroorzaakt die een veelvoud zijn van de grondtoon. Als je dus een grondtoon hebt met een hoogte van honderd hertz zijn de boventonen: 200Hz, 300Hz, 400Hz… Bij blaasinstrumenten worden boventonen veroorzaakt van een oneven aantal keer de grondtoon: 300Hz, 500Hz, 700Hz…
Verhoudingen in volume tussen de grondtoon en de verschillende boventonen bepalen de klank van een instrument. In de rest van het verslag wordt uitgegaan van een snaarinstrument.
Mooie klanken
Intervallen met overeenkomstige boventonen worden mooi gevonden. Dit is zo, omdat als dit niet zo is er boventonen kunnen ontstaan die vals klinken. Stel dat je twee noten speelt: één met een frequentie van 246Hz en een andere met een frequentie van 500Hz. De eerste boventoon van de eerste noot is 492Hz. Dit lijkt erg op 500Hz, maar verschilt net, hierdoor klinkt het vals. In de praktijk klinken tonen die in de boventonen van een andere toon voorkomen goed samen met die andere toon. Dit is zo omdat ze dan vanzelf overeenkomstige boventonen hebben.
De eerste boventoon van een toon is twee keer zo hoog als de grondtoon. De boventonen van deze toon(200Hz, 400Hz, 600z…) zijn voor de helft gelijk aan de boventonen van de grondtoon(100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz…). Dit is het meest consonante interval mogelijk. Hierdoor krijgt deze noot dezelfde naam als de grondtoon, dit is het octaaf. Om een toonladder te maken moeten er een aantal noten tussen het octaaf en de grondtoon gevonden worden, deze noten moeten een
verhouding tot de grondtoon hebben tussen de één en de twee. Als de verhouding grondtoon:toon lager is dan 1 dan is de toon lager dan de grondtoon, als de verhouding hoger is dan 2 dan is de toon hoger dan een octaaf. De derde boventoon is drie keer zo hoog als de grondtoon, dit is te hoog om binnen het octaaf te passen. Daarom kijken we naar de verhouding tussen de eerste boventoon en de tweede boventoon. Deze verhouding is twee staat tot drie. Dit is het een na consonantste interval, namelijk de kwint. Het volgende interval is weer een octaaf. Daarna worden de intervallen vanuit de derde boventoon berekend. Dit staat uitgewerkt in de bijlage(voor de eerste zestien boventonen). Door de tabel in de bijlage regel voor regel uit te lezen kan je zien welke intervallen goed klinken. Hoe eerder een interval voor het eerst voorkomt hoe beter hij klinkt met de grondtoon.
Reine stemmingen
Stemmingen die gebruik maken van deze intervallen worden reine stemmen genoemd. In de bijlage staat de meest gebruikte reine stemming, die daardoor wel de reine stemming genoemd wordt.
Opvallend is dat sommige intervallen uit de reine stemming pas vrij laat in de tabel voor komen. Dit is zo omdat niet alleen de verhouding tussen de grondtoon en de noten uit de toonladder belangrijk zijn, maar ook de verhoudingen tussen de noten onderling. De verhouding tussen een grote terts(1 1/4) en een kwart(1 1/5) is 1 1/15, deze verhouding wordt gebruikt als kleine secunde, maar is behoorlijk onstabiel. Zelfs met het gebruik van relatief dissonante boventonen is het onmogelijk een
Boven: De vorm van een toon met twee boventonen.
Onder: De boventonen uitgesplitst.
volledig zuivere reine stemming te maken. Zo is de verhouding tussen een kleine secunde( 1 1/15) en een grote secunde(1 1/8) niet gelijk aan een kleine secunde terwijl dit wel zo zou moeten zijn.
1
1 1
Dit is in de toonladder van de grondtoon waarin deze stemming is geconstrueerd niet zo erg omdat deze intervallen bijna nooit wordt gebruikt, maar als een andere noot als grondnoot van de
toonladder wordt genomen kunnen deze verhoudingen problemen opleveren. Als de stemming rein gestemd is in C dan geldt des te meer kruizen of mollen, des te valser de stemming.
Evenredig zwevende stemmingen
Er zijn wel stemmingen mogelijk waarbij alle intervallen precies kloppen. Bij dit soort stemmingen zijn alle notenladders even vals(zwevend). Deze stemmingen worden daarom evenredig zwevende stemmingen genoemd. Een evenredig zwevende stemming wordt opgebouwd uit machtswortels van twee. Het interval tussen twee naast elkaar liggende noten is bij een toonladder van twaalf noten altijd 2 / . Door het kwadratische karakter van dit interval kunnen de intervallen makkelijk
vermenigvuldigd worden. Als je twaalf keer een kleine noot omhoog gaat kom je van vanzelf weer uit bij een octaaf, want 2 / 2.
Het nadeel is dat een evenredig zwevende stemming niet bestaat uit boventonen. Een evenredig zwevende stemming klinkt dus altijd vals. Hoe vals een evenredig zwevende stemming klinkt is afhankelijk van het totaal aantal noten in de notenladder. Bij twaalf noten is het verschil tussen de noten uit de notenladder en de boventonen verbazend goed. Het verschil met de dichtstbijzijnde boventoon is op zijn grootst 1,02%. Een ander groot voordeel van de twaalftonige evenredig zwevende stemming is de goede benadering van de kwint en de grote terts. Aangezien dit de belangrijkste intervallen zijn(ze vormen samen met de grondtoon het majeurakkoord) is het handig dat deze intervallen goed kloppen en 2 / 1,4983… en 2 / 1,3348… dus die liggen
behoorlijk goed in de buurt van de 1,5 en 1,3333 die het moeten zijn. In vergelijking met andere evenredig zwevende stemmingen is deze stemming al helemaal goed. De 19‐ en 24‐tonige stemmingen klinken ook behoorlijk goed, maar minder goed dan de 12‐tonige. Pas de 31‐tonige stemming klinkt gemiddeld zuiverder dan de 12‐tonige stemming, maar deze heeft wel erg veel toetsen en heeft een minder goede benadering van de kwint.
Consonante noten
De bijlage had ik gemaakt om meer inzicht te krijgen in de opbouw van toonladders, maar ik kan hem ook gebruiken om te bepalen welke intervallen goed klinken en welke minder. In de volgende tabel staan de intervallen in de volgorde dat ik ze tegen ben gekomen bij het uitlezen van de tabel. Ik heb hiervoor de intervallen van de reine stemming gebruikt, maar omdat deze erg lijken op die van de 12‐
tonige evenredige zwevende stemming neem ik aan dat de volgorde daarvoor ook klopt.
1. Octaaf 2. Reine kwint 3. Reine kwart
4. Grote sext 5. Grote terts 6. Kleine terts 7. Overmatige kwart 8. Kleine sext 9. Grote secunde 10. Grote septiem 11. Kleine septiem 12. Kleine secunde
Deze lijst wijkt op sommige punten af van wat ik had verwacht. De grote secunde staat later in de lijst dan dat ik had verwacht en de overmatige kwart juist eerder. Dit kan komen door een fout in mijn tabel. Dat de volgorde in de tabel klopt is niet bewezen, want ik ben zelf op dit idee gekomen, maar hij lijkt behoorlijk goed overeen te komen met de informatie uit de bronnen. Of het komt doordat we niet gewend zijn naar deze intervallen te luisteren. Zo werd de grote terts in de middeleeuwen als onstabiel klinkend interval beschouwd.
Alternatieve stemmingen
Behalve de 12‐tonige stemming worden er sommige andere stemmingen gebruikt. In de middeleeuwen zijn er verschillende stemmingen bedacht om de reine stemming beter te laten klinken in alle toonladders. Dit waren eigenlijk een soort benaderingen van de evenredig zwevende stemming. In India wordt gebruik gemaakt van een 22‐tonige toonladder. In het Midden Oosten wordt de 24‐tonige evenredig zwevende stemming gebruikt. In de renaissance werd in europa de 19‐
tonige evenredig zwevende stemming bedacht en door enkele componisten gebruikt. De 31‐tonige stemming is uitgevonden door de Nederlandse natuurkundige Huygens waarna een klein aantal vooral Nederlandse componisten hier gebruik van hebben gemaakt.
Bronnen
Twelve tone musical Scale Keith Enevoldsen
http://thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm
Wisfaq vraag en antwoord, muziek en stemmingen Auteur onbekend
http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=8044&j=2003
The birth of blues: how physics underlies Music J M Gibson
http://iopscience.iop.org/0034‐4885/72/7/076001/pdf/rpp9_7_076001.pdf
Gelijkzwevende stemming Meerdere auteurs (onbekend)
http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_stemming
Reine stemming
Meerdere auteurs (onbekend)
http://nl.wikipedia.org/wiki/Reine_stemming Alle webpagina’s zijn op 27‐3‐2011 bezocht
