TCP eeeeeeeeeeee PietMulders Wiehetkleinenieteert... VANATOOMTOTKOSMOS

(1)

VAN ATOOM TOT KOSMOS Wie het kleine niet eert . . .

Piet Mulders

Nationaal Instituut voor Subatomaire Fysica (Nikhef), Faculteit Betawetenschappen, Vrije Universiteit (VU)

pjg.mulders@gmail.com http://www.nat.vu.nl/⇠mulders

C T

P

R L

L R

R L

L R

R L R

L

e e e e

e e

e e e e

(2)

Opgaven

(inclusief oplossingen)

Opgave 1.1

Het volgende stukje is de inleiding van het artikel ‘Wat beweegt de atmosfeer?’ van Peter Siegmund (TU Eindhoven), NTvN 73, no. 7 (2007) 240:

De intensiteit van de inkomende zonnestraling aan de top van de atmosfeer bedraagt gemiddeld 350 W/m². [. . . ] De zon verliest door kernfusie per seconde een massa van twee kilo om het vermogen aan zonne-energie te maken dat door de Aarde wordt onder- schept. Dit is zo’n tienduizend keer zoveel als de huidige wereldwijde energieconsumptie, die gemiddeld per persoon neerkomt op 2500 W – een flinke waterkoker. Wolken weer- kaatsen 30% van de inkomende zonnestraling en de atmosfeer absorbeert 20% . De Aarde absorbeert de rest. Die energie raakt de Aarde weer kwijt door verdamping (24%), di- recte warmteafgifte aan de atmosfeer (6%) en door het uitzenden van infrarode straling (20%). Deze infrarode straling wordt grotendeels (14%) geabsorbeerd door de atmosfeer, vooral door waterdamp en kooldioxide (het ‘broeikase↵ect’). De verdampingsenergie komt in de atmosfeer vrij in de vorm van warmte als de waterdamp condenseert. Van de inkomende zonnestraling wordt dus uiteindelijk (20+24+6+14=)64% opgenomen door de atmosfeer. De atmosfeer verliest deze energie weer door het uitzenden van infrarode straling. Wereldwijd gemiddeld heerst aan de top van de atmosfeer stralingsevenwicht:

de netto ingaande zonnestraling (100-30=70%) is even groot als de uitgaande infrarode straling (20-14+64=70%).

(a) De energiestroom van de Zon is I0 = 1 400 W/m². Hoe correspondeert dat met bovenstaande gemiddelde intensiteit?

(oplossing)

De dwarsdoorsnede van de Aarde gezien vanaf de zon is ⇡ R². Dit komt terecht op het hele aardoppervlakte, dus op 4⇡ R².

(b) Controleer de getallen in het stukje over het massaverlies van de zon.

(oplossing)

Met R = 6 000 km, vinden we voor het vermogen dat de Aarde opvangt ⇡ R²I₀ ⇡ 1, 6 10¹⁷ W. Dit geeft het aantal Joules per seconde. Een evengrote hoeveelheid energie mc² krijg je uit een massa m⇡ 1, 8 kg.

(c) Probeer deze inleiding te illustreren met een diagram.

(oplossing)

(3)

100 = 350 W/m²

Ruimte Zon

Aarde

6

Atmosfeer

Zonnestraling Verdamping

Geleiding 20

14 30 30 64

30 70

100 100

50 30 20 50

Warmte

Opgave 1.2

(a) Wat zijn de kracht, massa en de versnelling die we in F = m a moeten gebruiken om de in hoofdstuk 1 genoemde relatie tussen afstanden van planeten tot de Zon (R) en hun omloopstijd om de Zon (T ) te bepalen.

(b) Wat is de constante R³/T² in AE³/jr² en wat in mks eenheden. Wat kunnen we hieruit afleiden?

(oplossing)

Als we de gravitatieconstante G kennen, kunnen we hier de massa van de zon uit bepalen.

(c) Hoe kunnen we de massa van de Aarde bepalen?

(oplossing)

Dat kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van de afstand Aarde-Maan (ca. 384 000 km) en de omloopstijd van de Maan (ca. 27,3 dagen).

(d) Bereken de som van kinetische en potenti¨ele energie voor een planeet die op afstand R om de Zon beweegt.

(oplossing)

De energie is de som van kinetische en potenti¨ele energie, E = ¹₂mv² GM m

R ,

Uit de gelijkstelling van gravitatiekracht aan centripetale kracht volgt mv²

R = GM m

R² ) ¹₂mv² = 1 2

GM m R .

(4)

Dus we vinden

E = 1 2

GM m R .

De energie is negatief wat aangeeft dat het systeem ‘gebonden’ is.

(e) Voor een ellipsbaan gelden min of meer dezelfde relaties, maar met straal R vervangen door de halve grote as a. De centrale massa (zwaartepunt) bevindt zich in het brandpunt van de ellips en de afstand tot het brandpunt heeft een minimum- waarde van rmin = a(1 e) en een maximumwaarde van rmax = a(1 + e), waar e de excentriciteit van de ellipsbaan is.

De ster S2 waarvan de baan om Sagittarius A* is gemeten heeft als parameters a

= 970 AE (Astronomische Eenheid gelijk aan de a van de aardbaan, 1 AE = 149,6

⇥10⁶ km), een excentriciteit e = 0,88 (minimale afstand dus ca 120 AE) en een omloopstijd van 16,0518 yr. Bereken hiermee de massa van het object waar S2 omheen draait (het superzware zwarte gat in ons Melkwegstelsel).

(oplossing)

We hebben alleen a en T nodig. Vergeleken met onze Aarde en de Zon, hebben we:

Aarde: a³ T² = 1³

1² AE³

yr² en voor S2: a³

T² = 970³

16,05² = 3,54⇥ 10⁶ AE³ yr² . Dus we vinden voor het superzware zwarte gat MBH = 3,54⇥ 10⁶ MZon.

(5)

Opgave 2.1

We bekijken in deze opgave tijd-dilatatie en ruimte-contractie voor een trein die door een tunnel beweegt. De trein is 900 m lang en de tunnel is 720 m lang. De tunnel heeft 2 sporen en op het ene spoor staat een trein, ook 900 m lang stil. Van die trein bevindt zich dus 180 m buiten de tunnel.

We bekijken het probleem allereerst vanuit de tunnel, waar een stilstaande trein van 900 m staat en de andere trein komt aanstormen met 0,6 c (zestiende van de lichtsnelheid, 180 m in 1 µs). Gezien vanuit de bij tunnel staande waarnemer lijkt de lengte van de bewegende trein slechts 720 m, precies de lengte van de tunnel! Op tijdstip 0,0 passeert de rijdende trein het uitstekende eindpunt van de stilstaande trein. Met de snelheid van 0,6 c gaat de trein na 1,0 µs de tunnel in en komt er na 5,0 µs weer uit. Het lijkt alsof we de trein zouden kunnen opbergen in de tunnel, als die bij exit abrupt stopt (laten we even aannemen dat dit abrupt stoppen kan!). Zit de trein nu in de tunnel? Het zou vreemd zijn, want als we het omdraaien ziet de machinist van de trein de tunnel op zich afkomen met 0,6 c, maar die is slechts 576 m lang. De stilstaande trein is 720 m lang. Wat gebeurt er als de machinist inderdaad de trein bij exit stilzet. Hij doet dit door de trein in z’n geheel 3,2 µs na binnengaan van tunnel stil te zetten, dat is 4,0 µ s na passeren van eindpunt van stilstaande trein.

Schets de situaties en klokstanden voor waarnemer bij tunnel en voor de machinist.

Dat maakt het mogelijk om het geheel te begrijpen. Hieronder het begin van beide situatie schetsen.

900 m

576 m 720 m

= v c = 0.6

= 1

q 1 ^v_c²2

= 1.25

<latexit sha1_base64="9nnae3aHDyNc+rEDM9W48yw4Vto=">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</latexit>

3,2

train tunnel clocks

576 m 900 m

0,8 1,0 0,0 0,0 0,0

4,0

trein (in rust)

720 m 720 m

0,0 0,0

0,8 1,0

0,0

tunnel (in rust)

(oplossing)

De oplossing voor het systeem waar de tunnel in rust is, is gegeven in de volgende figuur.

De uitgangspunten zijn dat voor tunnel en stilstaande trein horizontale lijnen dezelfde tunnel-tijden hebben, terwijl de trein-tijden op de klokken in de trein en voor de machinist langzamer lopen. De rest is een beetje puzzelen.

(6)

900 m

720 m

5,0

train tunnel clocks

720 m 720 m

0,0 0,0

5,0

0,8 1,0

4,0

0,0 5,0

5,0 4,0 3,8 5,8

4,0 2,4 3,0

2,8

3,4

= v c = 0.6

= 1

q 1 ^v_c²2

= 1.25

2,0 2,5 4,0 3,2

4,0

De oplossing voor de trein in de tunnel gezien vanuit de waarnemer in de trein is gegeven in de volgende figuur. Nu zijn de trein-tijden op horizontale lijnen gelijk en loopt de tunnel-tijd langzamer.

2,0

900 m

576 m 720 m

= v

c = 0.6

= 1

q 1 ^v_c2²

= 1.25

3,2

train tunnel clocks

576 m 900 m

5,0 4,0

0,8 1,0

0,0 0,0 0,0

5,0 5,8

3,8 4,0

5,0

4,0 2,8

3,0 3,4

2,5 2,4 4,0

Om het verhaal te complementeren zijn ook nog wat lichtsignalen gegeven met ’toekomst’

gebieden (geel).

(7)

Opgave 2.2

De mogelijke waarden van het baanimpulsmoment om een bepaalde as zijn gequantiseerd in veelvouden van ¯h. Wanner L ¯h dan lijkt het of het impulsmoment L = mvr bij een rotatie alle mogelijke waarden kan hebben (een continu¨um), de klassieke situatie van een tol of een aan een touw rondslingerende massa. Voor een in een atoom ronddraaiend elektron werkt dat niet meer. Afhankelijk van de baan heeft het elektron een bepaald impulsmoment ` en de orientatie van de baan is zodanig dat bezien langs de z-as het impulsmoment alleen veelvouden van ¯h aanneemt, bijvoorbeeld voor ` = 1 hebben we

`z = m`¯h met m` = 1, 0 of -1, corresponderend met drie mogelijke quantumtoestanden.

Het elektron heeft daarnaast nog een intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, dat de waarde s = 1/2 heeft en dat twee mogelijke projecties langs de z-as toelaat (twee quantumtoestanden), sz = ms¯h met ms = 1/2 of -1/2.

(a) Geef het aantal quantumtoestanden bij een gegeven impulsmoment ` (of s) door te kijken hoeveel `z-waarden mogelijk zijn als de maximale en minimale waarden m` = `z/¯h = ±` (of ms = sz/¯h = ±s) zijn en alleen stapjes ter grootte van ¯h mogelijk zijn.

(oplossing)

Er zijn dan in het algemeen 2` + 1 impulsmomenttoestanden, bv. bij ` = 1 met waarden m` = `z/¯h = 1, 0 en 1. Idem voor spin hebben we in het algemeen 2s + 1 toestanden, bv. voor s = 1/2 met ms= sz/¯h = 1/2 en 1/2. Dit is ge¨ıllustreerd in de linker twee figuren in het volgende schema,

lz 1

0

−1

z

1

0

−1 z

1

0

−1

s j

l = 1 s = 1/2 j = 1/2 of 3/2

(b) Om het baanimpulsmoment van een elektron te combineren met de spin, tellen we de impulsmomenten op. Omdat voor zowel baanimpulsmoment als spin de waarden

`_z en s_z gequantiseerd zijn, vinden we voor j_z = `_z+ s_z ook discrete mogelijkheden.

Welke en hoeveel? Laat zien dat de mogelijke waarden voor mj = jz/¯h juist degene zijn die horen bij j = 3/2 en j = 1/2, zodat we de ‘optelling’

1⌦ 1/2 = 3/2 1/2 hebben. Dit is een symbolische schrijfwijze.

(8)

(oplossing)

De volgende waarden zijn mogelijk:

m` = `z/¯h ms = sz/¯h mj = jz/¯h

1 1/2 3/2

1 -1/2 1/2

0 1/2 1/2

0 -1/2 -1/2

-1 1/2 -1/2

-1 -1/2 -3/2

We zien 6 mogelijke toestanden, met als hoogste waarde mj = jz/¯h = 3/2. Samen met toestanden mj = 1/2, 1/2 en 3/2 vormen dat de vier toestanden met j = 3/2. Blijven over twee toestanden met mj

= 1/2 en 1/2, die bij j = 1/2 horen (zie rechterfiguur hierboven).

(c) Combineer op eenzelfde manier de spin van twee elektronen tot een totale spin, Sz = s1z+ s2z. Laat zien dat we (symbolisch) krijgen:

1/2⌦ 1/2 = 0 1.

(oplossing)

De mogelijke toestanden zijn:

m` = `z/¯h ms = sz/¯h mj = jz/¯h

1/2 1/2 1

1/2 -1/2 0

-1/2 1/2 0

-1/2 -1/2 -1

We zien 4 mogelijke toestanden, met als hoogste waarde mS = Sz/¯h = 1. Samen met toestanden mS = 0 en 1 vormen dat de drie toestanden met S = 1. Blijft over een toestand met mS = 0.

(9)

Opgave 2.3

In deze opgave beschrijven we de Einstein-Podolski-Rosen (EPR) paradox en de Bell ongelijkheden, die ons in staat stellen om de unieke aspecten van de quantummechanica te zien. We doen dit stap voor stap aan de hand van de volgende figuur.

1

2

3

1

2

3

43

B

| " i

| # i

q3 4| " i +

q1 4| # i q3

4| " i q1

4| # i

q1 4| " i

q3 4| # i

q1 4| " i +

q3 4| # i 1

2

3

A

QUANTUM 60^o

60^o

3 1 2 bijv:

1 2 3 bijv:

= +

+ +

+ KLASSIEK:

ieder paar heeft complementaire info

(0^o) 0%

(60^o) 25%

(120^o) 75%

= +

<latexit sha1_base64="De+WXaAqxpsGUaojc5tl8qndgpc=">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</latexit>

1

2(| " #i | " "i) begintoestand

meting A meting B

75%

50%

<latexit sha1_base64="AW4qQt1vo5MLhTNDsavOgo18AKs=">AAAB8HicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsyIoispuHFZwdZKZyiZNNOG5jEkGaEM/Qo3LhRx6+e4829M21lo64HA4Zx7b+49ccqZsb7/7ZVWVtfWN8qbla3tnd296v5B26hME9oiiivdibGhnEnassxy2kk1xSLm9CEe3Uz9hyeqDVPy3o5TGgk8kCxhBFsnPeZhnKCQ00mvWvPr/gxomQQFqUGBZq/6FfYVyQSVlnBsTDfwUxvlWFtG3LxKmBmaYjLCA9p1VGJBTZTPFp6gE6f0UaK0e9Kimfq7I8fCmLGIXaXAdmgWvan4n9fNbHIV5UymmaWSzD9KMo6sQtPrUZ9pSiwfO4KJZm5XRIZYY2JdRhUXQrB48jJpn9WDi7p/d15rXBdxlOEIjuEUAriEBtxCE1pAQMAzvMKbp70X7937mJeWvKLnEP7A+/wBkMSQPQ==</latexit>



In de begintoestand worden twee deeltjes met tegengestelde spins geproduceerd, bijvoorbeeld de producten van een vervallend deeltje zonder spin. Deze deeltjes vliegen in tegenovergestelde richtingen weg en we gaan nu bij A of B meten wat de spin-oriëntatie is, waarvoor we een Stern-Gerlach apparaat beschikbaar hebben dat 3 mogelijke standen (1, 2 of 3) heeft waarbij gemeten wordt of de spin langs vertikale richting staat (stand 1), onder 60ô (stand 2) of onder 120ô (stand 3). Nu wordt de beslissing wat gemeten gaat worden pas genomen als deeltjes bijna bij het meetapparaat zijn. De resterende tijd is in ieder geval zo kort dat er geen signaal meer kan worden verstuurd tussen A en B om meetrichtingen door te geven. Dus de meetrichtingen zijn onafhankelijk van elkaar! De resultaten van de metingen worden aangegeven als in de 2 voorbeelden bij A en B, in de figuur is meting A in stand 1 en het resultaat is +, de meting van B is in stand 2 en het resultaat is . Alle resultaten van die paren van metingen worden verzameld.

Het niet-opzienbarende deel van de metingen is dat er zowel bij A en B in alle standen even vaak + als wordt gemeten in zowel standen 1, 2 en 3. Het opzienbarende is als we de metingen zoals gedaan bij A en B gaan vergelijken en kijken naar correlaties tussen de paren. Ook daarbij zijn er ‘vanzelfsprekende’ resultaten die niemand zal verbazen, zoals dat als A en B beide hebben besloten in stand 1 te meten, alle uitkomsten (100%) tegengestelde spins laten zien en nooit gelijke uitkomsten (0%), aangegeven als het bovenste percentage bij de drie paren linksonder in de figuur. Voor paren waar A in stand 1 meet en B in stand 2, blijkt 25% van die metingen gelijke spins laten zien, terwijl voor paren

(10)

waar A in stand 1 meet en B in stand 3 maar liefst 75% van de metingen gelijke spins laten zien. Kunnen we die percentages begrijpen? Zoals ook ‘vanzelfsprekend’ zijn de uitkomsten bij andere standen voor A soortgelijk (25% bij hoekverschil van 60^o en 75%

bij hoekverschil van 120^o).

(a) Hoe verklaar je deze uitkomst in de quantummechanica. Daar is het uitgangspunt de gol↵unctie gegeven in de begintoestand, met twee componenten| "#i en | #"i met co¨efficienten die gekwadrateerd 1/2 opleveren. Ga zelf na wat de waarschijnlijkheden zijn bij de metingen die de resultaten linksonder opleveren (gebruik hiervoor de quantumtoestanden in het blokje QUANTUM). De quantummechanische verklaring heeft als bijzondere het twee-dimensionale karakter van de oplossingsruimte.

(oplossing)

Voor de percentages van de metingen waarbij de meetrichtingen 60^ouit elkaar liggen realiseren we dat de meting bij A impliceert dat we de toestand|uparrow #i hebben, de helft van het aantal gevallen. Van die gevallen zou inderdaad bij een meting bij B moeten kijken hoe goed de toestand past bij de toestanden van het meetapparaat, en dat is 0² = 0 (0%) in stand 1, (p

1/4)² = 1/4 (25%) in stand 2 en (p

3/4)² = 3/4 (75%) in stand 3.

(b) Hoe verklaart een realist op ‘klassieke’ manier deze metingen. In dat geval is het uitgangspunt dat elk van de twee deeltjes de informatie bij zich draagt, dus een

‘briefje’ bij zich heeft met wat te doen bij de stand 1, 2 of 3 van het meetapparaat.

De briefjes worden in paren uitgegeven aan de vertrekkende deeltjes en de correlatie is dat de informatie voor standen 1, 2 en 3 altijd complementair is (zoals in het voorbeeld in het blokje KLASSIEK). Laat nu zien dat bij analyse het aantal paren N (" · · ; · · ")  N(" · · ; · " ·) + N( · " · ; · · "). Deze ongelijkheid, een voorbeeld van een Bell ongelijkheid, laat zien dat de klassieke verklaring niet werkt want 75%

> 50% en niet kleiner of gelijk.

(oplossing)

De oplossing volgt door even de aantallen precies te specificeren, waarbij de meeste vrijheid al vastligt door het complementaire karakter van de twee briefjes,

N (" · · ; · · ") = N(" " # ; # # ") + N(" # # ; # " "), N (" · · ; · " ·) = N(" # " ; # " #) + N(" # # ; # " "), N (· " · ; · · ") = N(" " # ; # # ") + N(# " # ; " # ").

Deze beschrijving volgt de discussie van de EPR paradox in N. David Mermin, Is the Moon There When Nobody Looks? Reality and the Quantum Theory, Physics Today 38, 4 (1985) 38.

(11)

Opgave 3.1

(a) Bereken de pakkingsgraad van de drie roosterstructuren in figuur 5

(oplossing)

Stel de ribbe heeft lengte a. Dan zien we eenvoudig dat voor de roosters:

sc: ratom = ¹₂a bcc: ratom = ¹₄ap

3 fcc: ratoom = ¹₄ap

2

Het aantal atomen in de roosters in een kubus is:

sc: n = 8⇥ ¹₈ = 1 bcc: n = 1 + 8⇥¹₈ = 2 fcc: n = 6⇥ ¹₂ + 8⇥¹₈ = 4

Dus de pakkingsgraad is p = n⁴₃⇡r_atoom³ /a³, sc: p = ¹₆ ⇡⇡ 0.524

bcc: p = ¹₈⇡p

3⇡ 0.680 fcc: p = ¹₆⇡p

2⇡ 0.740

(b) Bereken voor een sc en fcc rooster de maximale straal van een atoom dat nog in het rooster past, d.w.z. bereken de straal van de holtes (uitgedrukt in de ribbe a van de kubus of liever nog in de straal van de atoom ratoom van het originele rooster).

(oplossing)

sc: een inpassend atoom zal uit symmetrieoverwegingen in het midden zitten. Be- kijk de rechthoek van 2 schuin tegenover elkaar liggende ribben (zijden dus a en ap

2). De diagonaal heeft lengte ap

3. Daarop passen 2 ratoom+ 2 rholte, dus sc: rholte= ¹₂a(p

3 1) = ratoom(p

3 1)⇡ 0.732 ratoom

fcc: Dit rooster is opgebouwd uit gelijkzijdige vierhoeken waarin de afstanden tussen atomen op de hoekpunten 2 ratoom = ¹₂ ap

2 is. Inpassende atomen liggen dus in het midden (zwaartepunt/hoogtepunt) van zo’n gelijkzijdige vierhoeken. Alle zijden hiervan vormen gelijkzijdige driehoeken (met zijden met lengte 2 ratoom. Hoogtelij- nen in deze driehoeken hebben lengte ratoom

p3 met hoogtepunt op 2/3 van hoekpunt, d.w.z. op afstand ²₃ratoom

p3. De hoogtelijn in de vierhoek loopt van een hoekpunt naar het hoogtepunt in de tegenoverliggende driehoek. De lengte hiervan is ²₃ratoom

p6 en het hoogtepunt van de vierhoek ligt op 3/4 van het hoekpunt, d.w.z.

op afstand ¹₂ratoom

p6. Deze afstand is ook gelijk aan rholte+ ratoom, dus fcc: rholte = ratoom(¹₂p

6 1)⇡ 0.225 r^atoom.

(c) Uit het voorgaande blijkt dat voor zwaardere (grotere) atomen die bijvoorbeeld in een sc rooster gerangschikt zijn, er gemakkelijk voldoende ruimte is om een waterstofatoom (r ⇡ 0.05 nm) in de roosterholte op te slaan. Stel je voor dat je het materiaal dan verzadigt met waterstof, wat is dan de dichtheid van waterstof in dat materiaal en vergelijk die met waterstof in de gastoestand.

(oplossing)

Als er ruimte is in een sc rooster zouden er net zo veel H-atomen zijn als zwaardere

(12)

atomen. Voor een typisch metaal met atoomgewicht van zeg 60 en soortelijk gewicht van 6 kg/l, betekent dit 100 ⇥Nav atomen/l en dus plaats voor evenveel waterstof- atomen, corresponderend met 0,1 kg waterstof per liter. Dat is veel meer waterstof dan in gasvorm. Voor waterstofgas hebben we onder standaard omstandigheden (1 atm, 273 K) Navmoleculen per 22,4 liter, dus 2 gram per 22,4 l oftewel een dichtheid van 0,001/22,4 kg/l = 8, 9⇥ 10 ⁵ kg/l.

Opgave 3.2

In het waterstofatoom wordt de potenti¨ele energie van het elektron in het elektrische veld gegeven door

U (r) = e² 4⇡✏₀r.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het elektron gelijk is aan F (r) = e²

4⇡✏0r². (oplossing)

De kracht wordt gevonden als F = rU, in dit geval is alleen de radi¨ele richting belangrijk en hebben we F (r) = dU/dr.

(b) Wat is de (mks) eenheid van e²/4⇡✏0 en gebruik die grootheid in combinatie met m en ¯h om een grootheid met dimensie van lengte te vinden. De notatie voor ‘eenheid van m is kg’ is ‘[m] = kg’.

(oplossing) We vinden

 e²

4⇡✏0r = J = kg m²

s² , dus

 e² 4⇡✏0

= J m = kg m³ s² . Met een beetje puzzelen en [m] = kg en [¯h] = J s = kg m²/s, vinden we

4⇡✏0¯h²

m e² = m.

Deze grootheid staat bekend als de Bohrstraal a0 ⇡ 0.05 nm.

(c) De kracht op het elektron levert de centripetale kracht om het elektron te binden.

Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal r_nen energie En.

(oplossing) We combineren

m v² rn

= e²

4⇡✏0rn ) mv²n= e² 4⇡✏0rn

mvnrn = n ¯h,

(13)

en vinden

rn = n² 4⇡✏0¯h²

m e² = n²a0. De energie van het elektron is

En= ¹₂mv²_n e² 4⇡✏0rn

= ¹₂ e² 4⇡✏0rn

= 1 n²

m e⁴ 32 ⇡²✏²₀¯h².

(d) Wat is de snelheid van het elektron in baan n. Druk deze uit in de lichtsnelheid.

Merk op dat we hierbij de dimensieloze grootheid ↵ = e²/4⇡✏0¯hc ⇡ 1/137 tegenko- men.

(oplossing)

Uit de quantisatie voorwaarde vinden we vn= n ¯h

m rn

= 1 n

e² 4⇡✏0¯h en dus

vn

c = 1 n ↵.

De snelheid van het elektron in het atoom is dus niet-relativistisch.

Opgave 3.3

Voor de veelvoorkomende harmonische oscillator wordt de potenti¨ele energie voor een systeem gegeven door

U (r) = ¹₂kr² (bij een veer is k de veerconstante).

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door F (r) = k r.

(oplossing)

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit k, m en ¯h. We merken op dat de grootheid ! =p

k/m nuttig kan blijken.

[k] = N m = kg

s². en [!] =

"r k m

#

= s ¹.

Dat is een (hoek)frequentie. Vermenigvuldigen met ¯h (J s) zien we dat [¯h!] = J = kg m²

s² en

"r

¯h m!

#

= m

(14)

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.

Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal rnen energie E_n.

m v² rn

= k rn ) vn² = !²r²_n ) vn = ! rn, mv_nr_n = n ¯h,

en vinden

rn= r

n ¯h

m! en vn= r

n¯h!

m. Daaruit volgt voor de energieniveau’s

En= ¹₂mv²_n+ ¹₂kr_n² = n ¯h!.

We merken op dat de volledige quantummechanische aanpak uiteindelijk een soortgelijk resultaat oplevert, maar met n = 2 nr+ ` + ³₂.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid.

vn

c = r

n ¯h!

mc²

Dus het ligt aan de verhouding van de karakteristieke energie ¯h! en de rust-energie mc² wanneer het systeem relativistisch wordt. Wanneer vn/c ! 1 is bovenstaande afleiding niet meer goed. We moeten dan de ‘relativistisch’ correcte uitdrukking voor energie¨en gebruiken.

Opgave 3.4

Voor een lineaire potentiaal wordt de potenti¨ele energie voor een systeem gegeven door U (r) = T0r.

De grootheid T0 (eenheid N) wordt wel de spankracht genoemd.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door F (r) = T₀

(oplossing)

(15)

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit T0, m en ¯h.

[T0] = N = J

m = kg m s² . Een beetje puzzelen geeft

"✓

¯h² m T0

◆^1/3#

= m en

"✓

¯h²T₀² m

◆^1/3#

= J

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.

Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal rnen energie En.

m v² rn

= T₀ ) m vn² = T₀r_n, mvnrn= n ¯h,

en vinden

rn =

✓ n² ¯h²

m T0

◆^1/3

en vn =

✓ n¯h T0

m²

◆1/3

. Daaruit volgt voor de energieniveau’s

En= ¹₂mv²_n+ T0rn= ³₂T0rn = ³₂

✓

n² ¯h²T₀² m

◆^1/3 .

We merken op dat voor de volledige quantummechanische aanpak geen algebraische uitdrukking bestaat, maar een goede benadering is n = 1.8 nr+ ` + 1.376.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid en bekijk de toepasbaarheid voor quarks met mc² ⇠ 10 MeV (up of down quarks) of voor de bottom quark met mc² ⇠ 5 GeV voor T0 = 1 GeV/fm.

vn

c =

✓

n¯hc T0

m²c⁴

◆1/3

.

De bepalende factor is de vergelijking van ¯hc T0 en (mc²)². Voor quarks in een nucleon is de spankracht T0 ⇡ 1 GeV/fm. Vermenigvuldigd met ¯hc ⇡ 0.2 GeV fm zien we dat ¯hc T0 ⇠ 0.2 GeV², terwijl voor lichte quarks mc² ⇠ 10 MeV en dus (mc²)² ⇠ 0.000 1 GeV². We vinden dus dat ¯hc T0/(mc²)² ⇠ 2 000 en voor n = 1 het resultaat v1/c ⇡ 13, wat aangeeft dat de niet-relativistische uitdrukking niet werkt. De (correcte) relativistische behandeling is in hoofdstuk 3 besproken. Voor een bottom quark met mc² ⇠ 5 GeV krijgen we ¯hc T⁰/(mc²)² ⇠ 0.008 en v¹/c ⇡ 0.2 wordt de niet-relativistische benadering al veel beter.

(16)

Opgave 3.5

1p 1/2 1p 3/2 1p

2s

1d 2s 1/2

1d 5/2 1d 3/2 2p

2p 3/2 1f

1s 1s 1/2

1f 5/2

1f 7/2 2p 1/2 1g 9/2 1g

1h

3s 3s 1/22d 3/2

2d

2d 5/2 1h11/2 1g 7/2

E magic #

nl nl j

126

? ? ? ? ? ?

Bij atoomkernen hebben we ook een spectrum van mogelijke energietoestanden, maar hier blijkt het quantumgetal voor het totale impulsmoment een belangrijke rol te spelen, dus E = E(n, `, j). [Dit is een ge- volg van spin-baan wisselwerkingen.] Het spectrum van n`j-toestanden (voor protonen en neutronen) wordt gegeven in neven- staande figuur. Bepaal de magische getallen voor de Z- en N -waarden van atoomkernen uit de ontaarding van de verschillende ni- veau’s.

(oplossing)

De oplossing van onder af zijn de getallen: 2, 8, 20, 28, 50, 82.

Opgave 3.6

Baryonen zijn opgebouwd uit drie quarks. We gaan de mogelijkheden bekijken voor de drie lichtste smaken (u, d en s) ge¨ıllustreerd in onderstaande figuren. Net zoals we eerder twee spin-toestanden gezien hebben, kunnen we de smaak ook zien als drie specifieke eigenschappen van quarks en antiquarks en daar quantumgetallen aan toekennen. In dit geval worden daarvoor isospin Iz en hyperlading Y gebruikt, zo gekozen dat ze voor het gemiddelde van de multipletten (die aangegeven worden als 3 en 3^⇤), netjes gemiddeld op nul uitkomen.

Y

anti−quarks Y

quarks

I_z

−1 1/2

u

−1/2

d s I_z

−1/2 1/2

d u

s −1

(17)

Voor twee-quark toestanden (qq) kunnen de negen (drie maal drie) toestanden opgesplitst worden in twee multipletten (een 3^⇤ triplet van antisymmetrische toestanden) en een 6 sextet van symmetrische toestanden. Wat spin betreft kunnen de toestanden in het triplet alleen spin s = 0 hebben en de toestanden in het sextet alleen spin s = 1.

Y Y

I_z I_z

(dd) (ud) (uu) [ud]

(ds) (us) [us]

[ds]

(ss)

Gecombineerd met een derde quark krijgen we 27 toestanden, waarvan er 10 volledig symmetrisch zijn. Dat blijken ook symmetrische spin toestanden te zijn (spin 3/2). Het Pauli principe laat naast de tien toestanden met spin 3/2, slechts 8 toestanden (octet 8) met spin 1/2 toe.

baryon decuplet (s = 3/2) octet baryons (s = 1/2)

Y Y

udd uud uuu

uds

uss

sss ddd

Σ Σ

Ξ Ξ

∆ ∆ ∆ ∆

n p

Ω

−

Σ∗ Σ∗ Σ∗

Ξ∗

0 +

+

0 0

−

− 0 + ++

−

− uus

dds

dss

dds uus

dss uss

uds

Λ

0

Σ

⁰

uud udd

I

_z

I

_z

Mesonen bestaan uit quark en antiquark combinaties. Er zijn geen beperkingen omdat het geen identieke deeltjes zijn. We krijgen twee nonetten, een met spin 0 en een met spin 1.

q q (3x) q q (3x)

K

Y

− +

u s

u d d u

s u s d

0 d s

ρ ρ ω φ Y

− +

u s

u d d u

s u s d

π π

⁰

η η

d s

K K

K

π

0

K* K*

K*

⁰

K*

⁺

0

−

− 0

+

ρ

pseudoscalar nonet (s = 0) vector meson nonet (s = 1) I

_z

I

_z

Deeltjes en hun eigenschappen, zoals massa en spin kunnen gevonden worden op de website van de ‘particle data group’, http://pdg.lbl.gov.

(a) Aan de quarks en antiquarks kunnen we baryongetal B = +1/3 en B = 1/3 toekennen, met als logische consequentie B = 1 voor baryonen en B = 0 voor

(18)

mesonen. Ga in het triplet na dat het aantal vreemde quarks minus anti-quarks gegeven wordt door

Ns = B Y N_s = B + Y Voor de ‘vreemdheid’ S⌘ Ns Ns krijgen we de relatie

S = Y B,

een relatie die niet alleen voor quarks, maar ook voor de mesonen en baryonen geldt.

Overtuig jezelf er van dat dit niet alleen werkt voor de basistripletten, maar ook voor de hieruit opgebouwde baryonen en mesonen. We merken op dat positief/negatief voor ‘vreemdheid’ puur een kwestie van afspraak is. Geef ook een uitdrukking voor de lading Q.

(oplossing)

Voor de lading (in veelvouden van e) vinden we Q = ¹₂Y + Iz.

(b) Zoek de massa’s van de decuplet baryonen met spin J = 3/2 op? (op de pdg- webpagina’s wordt de spin van een deeltje met J aangegeven omdat voor een uit quarks samengesteld deeltje de spin van het deeltje in het algemeen het resultaat van quark spins en baanimpulsmoment is). Wat valt je op. Kun je de massaverschillen qualitatief verklaren?

(oplossing)

Voor de verschillende baryonen, door de ‘particle data group’ gerangschikt naar hun ‘vreemheid’ of ‘hyperlading’ vinden we als laagste spin J = 3/2 toestanden de deeltjes (1232), ⌃(1385), ⌅(1530) en ⌦(1672). Tussen haakjes staat de massa in MeV/c². De stappen zijn respectievelijk 153, 145 en 142 MeV, terwijl de baryonen iedere keer een vreemde quark meer hebben. Blijkbaar is in een baryon de energiebijdrage van een vreemde quark zo’n 150 MeV meer dan de energiebijdrage van een niet-vreemde (u of d) quark. Dit wordt toegeschreven aan het feit dat vreemde quarks een grotere massa hebben dan lichte quarks. Meer gedetailleerde analyses wijzen op massa’s van zo’n 10 MeV voor up en down quarks en zo’n 180 MeV voor vreemde quarks.

(c) Doordat quarks en antiquarks in mesonen behalve spin ook nog eens een baanimpulsmoment kunnen hebben zien we ⇢-deeltjes met hogere spins. Afhankelijk van het feit of het baanimpulsmoment even of oneven is worden deze deeltjes a- of

⇢-mesonen genoemd. We hebben bijvoorbeeld

J = 1 J = 2 J = 3 J = 4

⇢(770) a2(1320) ⇢3(1690) a4(2000)

Bestudeer het verband tussen massa en spin. Vergelijk dit met de theoretische beschouwing in het dictaat (kader p. 20).

(oplossing)

We krijgen voor de gekwadrateerde massa’s:

(19)

J = 1 J = 2 J = 3 J = 4 0.59 1.74 2.85 4.0

waaruit voor deze mesonen een helling volgt van 1/↵⁰ ⇡ 1, 15 GeV².

Opgave 3.7

Bij botsingen tussen deeltjes kunnen quarks en antiquarks elkaar annihileren of ze kunnen in paren gecreeerd worden. Het onderstaande quarklijn-diagram laat schematisch zien wat er gebeurt, inclusief het veranderen van de smaak van een quark door creatie van een zwak krachtdeeltje.

d d

π

∆ p

u

d u u u u

d u +

+ + p

π +

Kijk op deze manier ook eens naar ⇡ p-verstrooiing en K p-verstrooiing en teken het quarklijnen-diagram. Met voldoende energie kunnen er ook ‘vreemde’ deeltjes (met een of zelfs meer s-quarks erin) gemaakt worden. Geef hiervan voorbeelden.

Opgave 3.8

(a) Teken voor D-mesonen (quark-inhoud cq) Y I_z diagrammen. Wat zijn de ‘spins’

van de mesonen waarin het baanimpulsmoment nul is.

(oplossing)

c s

c u c d

c s

c d c u

D

D D

Y Y

∗ D

∗

∗ +

+

s s

+

⁰

+

0

s = 0 s = 1

I

_z

I

_z

(b) Teken voor baryonen met een c-quark de Y Izdiagrammen. Kun je de bijbehorende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen.

(oplossing)

(20)

Ξ∗

^c⁰

Ξ∗ +

^c

Ω

^c⁰

Ω∗

^c⁰

Ξ +

^c

Σ

^c⁰

++ Σ ∗

^c

Σ ∗

^c

Σ ∗

^c

s = 3/2

Y Y

s = 1/2

udc uuc

uuc udc

ddc ddc

ssc ssc

dsc usc dsc usc

Σ +

^c

Σ

^c

Λ +

^c ⁰

+ ++

Ξ

⁰^c

I

_z

I

_z

(c) Teken voor baryonen met twee c-quarks de Y Iz diagrammen. Kun je de bijbehorende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen.

(oplossing)

Ξ

^cc

+

Ω

^cc

+ Ω ∗ +

^cc

Ξ∗ +

^cc

Y

s = 3/2 Y

s = 1/2

dcc ucc dcc ucc

scc scc

+ Ξ

^cc

++ Ξ ∗ ++

^cc

I

_z

I

_z

(21)

Opgave 4.1

(a) Bereken de omwentelingstijd voor een satelliet dicht bij het aardoppervlak. Druk het resultaat uit in de versnelling van de zwaartekracht (g ⇡ 9, 8 m/s²).

(oplossing)

We kunnen het resultaat uit 1.5 gebruiken en daarnaast g = GMaarde/R², dus

T = s

4⇡²R³ GMaarde

= 2⇡

s R

g . Met R = 6000 km, vinden we ongeveer 84 minuten.

(b) Bereken de tijd nodig om ‘door de aarde te vallen’ zoals beschreven in 3.1 gebruikmakend van de eigenschap dat de kracht op afstand r van het aardmiddelpunt wordt bepaald door de massa binnen een bolschil met straal r.

(oplossing)

De kracht binnen de Aarde wordt gegeven door

F (r) = GMaardem r²

r³

R³ = GMaardem

R³ r = mg R r

en is naar het middelpunt gericht. De beweging is dus net als die van een veer met de kracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. De bewegingsvergelijking wordt

¨ r = g

Rr,

wat aanleiding geeft tot oscillaties met hoekfrequentie ! = p

g/R. De trillingstijd hiervoor is

T = 2⇡

! = 2⇡

sR g,

identiek aan de omlooptijd van een satelliet dicht bij aardoppervlak. De tijd van de ene naar de andere kant van de aarde is de helft, 42 minuten.

Opgave 4.2

Construeer uit de grootheden ¯h (de gereduceerde Planck constante), c (de lichtsnelheid) en G (de gravitatieconstante van Newton) een grootheid met dimensie van energie en een grootheid met dimensie van lengte.

(oplossing)

De grootheden genoemd aan het einde van paragraaf 4.1 zijn het resultaat. Deze zijn met de gegeven grootheden als startpunt uniek (op constantes na).

(22)

Opgave 4.3

Beredeneer wat er gebeurt met het spiegelbeeld van een magneet?

(oplossing)

De richting van het magneetveld draait om, dus noord- en zuidpool verwisselen van rol.

Dit is het eenvoudigste te zien bij een magneet gevormd door een spoel waar een stroom doorheen loopt.

(23)

Opgave 6.1

(a) Leidt de uitdrukking voorE( , T ) af uit die voor E(f, T ) gebruikmakend van E( , T ) d = E(f, T ) df.

(oplossing)

Gebruik df = d(c/ ) = (c ²) d .

(b) Gebruik bijvoorbeeld Mathematica om de Planck curve als functie van y = kT /hc te plotten.

(oplossing)

Als functie van deze variable krijgen we E(y, T ) dy = E( , T ) d met E(y, T ) = 8⇡ (kT )⁴

(hc)³ 1 y⁵

1 (e^1/y 1),

(c) Bepaal de waarde y_max van het maximum en leidt de uitdrukking voor de _maxT af.

Check de numerieke waarde in mks eenheden.

(oplossing)

Het maximum ligt bij dE/dy = 0,

✓ 5

y⁶

◆

e^1/y 1

✓ 1 y⁵

◆ e^1/y

✓ 1

y²

◆

= 0, y = e^1/y

5 (e^1/y 1) = 1 5 (1 e ^1/y).

Dit ligt niet zo ver van y = 0, 2. Door nu 0,2 in de rechteruitdrukking te substitueren krijgen we een betere schatting van y,

y = 0, 2

(1 e ⁵) = 0, 2014,

Desgewenst kan het nog een keer ge¨ıtereerd worden, maar dat levert bij bovenstaande nauwkeurigheid (4 decimalen) niets nieuws meer op. De Convergentie gaat heel snel, omdat e ⁵ al een erg klein getal is. We vinden dus

maxT = 0, 2014hc

k = 2, 9⇥ 10 ³m K.

Opgave 6.2

(a) Gebruik

X1 n=0

xⁿ = 1

1 x

(24)

om te laten zien dat

X1 n=0

n xⁿ = x (1 x)².

en leidt hiermee de gemiddelde energie voor fotonen met een bepaalde frequentie af.

(oplossing)

Di↵erentieer de beginuitdrukking en vermenigvuldig met x. Zie verder kader in tekst.

(b) Beredeneer dat het uitgezonden vermogen per m² van een zwarte straler gelijk is aan cE.

(c) Gebruik

Z ₁

0

dx x³

e^x 1 = ⇡⁴ 15

om te laten zien dat de Stefan-Boltzmann constante gelijk is aan

= 8 ⇡⁵k⁴ 15 h³c².

(oplossing)

Dit betekent niets anders dan overal f vervangen door x = hf /kT , d.w.z. f = x kT /h. Als check is eenvoudig na te gaan dat inderdaad [ ] = W m ²K ⁴.

(d) Gebruik

Z ₁

0

dx x²

e^x 1 = 2 ⇣(3)⇡ 2, 404

om een uitdrukking voor de dichtheid van fotonen in een zwarte straler af te leiden.

(oplossing)

De dichtheid van fotonen per frequentie-interval en per volume is gelijk aanN (f, T ) = E(f, T )/hf, dus

N (f, T ) = 8⇡ f² c³

1 e^{hf /kT} 1. Hieruit vinden we na integratie over frequentie de dichtheid

N (T ) = T³ met = 16⇡ ⇣(3)

✓ k hc

◆3

⇡ 60, 4 ⇥

✓ k hc

◆3

.

Het numerieke resultaat is ⇡ 2, 03⇥10⁷m ³. Voor het heelal met een temperatuur van 2,725 K vinden we ongeveer 410 fotonen/cm³.

(25)

Opgave 6.3

(a) Beschouw een mens als een volume met constante temperatuur. Bereken de uitgezonden energie per seconde en per oppervlakte van een mens bij lichaamstempara- tuur.

(oplossing)

Het vermogen per oppervlakte is bij T = 309 K (36 graden Celsius) I = T⁴ ⇡ 520 W/m².

(b) Als de lichaamstemperatuur gelijk zou zijn aan de omgevingstemperatuur, dan zou er geen energietransport zijn. Gebruik dit om de opgenomen energie uit de omgeving te schatten bij 20 graden Celsius.

(oplossing)

De opgenomen energie per seconde per oppervlakte is bij T = 293 K gelijk aan I ⇡ 420 W/m².

(c) Bereken uit het verschil het vermogen van een mens. Klopt dit een beetje?

(oplossing)

Beschouwen we de mens als een tonnetje met volume 75 liter, dan is dus V = ⇡ r²h

= 75 dm³. Nemen we een straal van r = 0, 12 m, dan krijgen we h = 1, 66 m. Het oppervlak is dan O = 2⇡ r h + 2⇡ r² = 1,3 m². Het verschil tussen (a) en (b) is ca.

100 W/m². Dus het vermogen is zo’n 130 W, exact de goede orde van grootte. De ruststofwisseling is ca. 75 W, een vermogen van 130 W correspondeert met lichte arbeid. Boven 200 W betekent grote inspanning, waarbij warmteafvoer inderdaad een belangrijk issue is.

Opgave 6.4

Schat de (constante) dichtheid van materie (in kg/m³ en in aantal protonen per cm³) zoals die uit de rotatiekromme van M33 volgt.

(oplossing)

We kunnen bijvoorbeeld de massa binnen een straal van R = 10 kpc ⇡ 3 ⇥ 10²⁰ m berekenen. Die is gelijk aan M = v²(R) R/G (met G⇡ 6, 7 ⇥ 10 ¹¹ m³kg ¹s ²). Voor de lichtgevende massa vinden we uit v(R)⇡ 45 ⇥ 10³ m/s als resultaat Mlichtgevend ⇡ 1 ⇥ 10⁴⁰ kg en voor het totaal met v(R) ⇡ 120 ⇥ 10³ m/s vinden we Mtotaal ⇡ 7 ⇥ 10⁴⁰ kg.

Dus voor de donkere materie vinden we MDM ⇡ 6 ⇥ 10⁴⁰ kg. Delen door het volume, (4⇡/3)R³ ⇡ 1, 1 ⇥ 10⁶² m³ geeft een dichtheid

⇢DM ⇡ 5 ⇥ 10 ²² kg/m³

of met mp ⇡ 1, 6 ⇥ 10 ²⁷ kg, een dichtheid ⇢DM ⇡ 0, 3 protonen/cm³. Merk overigens op dat de donkere materie zeker niet uit protonen bestaat, maar op deze manier is het een

(26)

beetje te vergelijken met de dichtheid van de interstellaire materie, die bijvoorbeeld in de schijf van het melkwegstelsel van de orde van 5 protonen/cm³ is.