VAN ATOOM TOT KOSMOS Wie het kleine niet eert . . .
Piet Mulders
Nationaal Instituut voor Subatomaire Fysica (Nikhef), Faculteit Betawetenschappen, Vrije Universiteit (VU)
pjg.mulders@gmail.com http://www.nat.vu.nl/⇠mulders
C T
P
R L
L R
R L
L R
R L R
L
e e e e
e e
e e
e e e e
Opgaven
Opgave 1.1
Het volgende stukje is de inleiding van het artikel ‘Wat beweegt de atmosfeer?’ van Peter Siegmund (TU Eindhoven), NTvN 73, no. 7 (2007) 240:
De intensiteit van de inkomende zonnestraling aan de top van de atmosfeer bedraagt gemiddeld 350 W/m2. [. . . ] De zon verliest door kernfusie per seconde een massa van twee kilo om het vermogen aan zonne-energie te maken dat door de Aarde wordt onder- schept. Dit is zo’n tienduizend keer zoveel als de huidige wereldwijde energieconsumptie, die gemiddeld per persoon neerkomt op 2500 W – een flinke waterkoker. Wolken weer- kaatsen 30% van de inkomende zonnestraling en de atmosfeer absorbeert 20% . De Aarde absorbeert de rest. Die energie raakt de Aarde weer kwijt door verdamping (24%), di- recte warmteafgifte aan de atmosfeer (6%) en door het uitzenden van infrarode straling (20%). Deze infrarode straling wordt grotendeels (14%) geabsorbeerd door de atmos- feer, vooral door waterdamp en kooldioxide (het ‘broeikase↵ect’). De verdampingsenergie komt in de atmosfeer vrij in de vorm van warmte als de waterdamp condenseert. Van de inkomende zonnestraling wordt dus uiteindelijk (20+24+6+14=)64% opgenomen door de atmosfeer. De atmosfeer verliest deze energie weer door het uitzenden van infrarode straling. Wereldwijd gemiddeld heerst aan de top van de atmosfeer stralingsevenwicht:
de netto ingaande zonnestraling (100-30=70%) is even groot als de uitgaande infrarode straling (20-14+64=70%).
(a) De energiestroom van de Zon is I0 = 1 400 W/m2. Hoe correspondeert dat met bovenstaande gemiddelde intensiteit?
(b) Controleer de getallen in het stukje over het massaverlies van de zon.
(c) Probeer deze inleiding te illustreren met een diagram.
Opgave 1.2
(a) Wat zijn de kracht, massa en de versnelling die we in F = m a moeten gebruiken om de in hoofdstuk 1 genoemde relatie tussen afstanden van planeten tot de Zon (R) en hun omloopstijd om de Zon (T ) te bepalen.
(b) Wat is de constante R3/T2 in AE3/jr2 en wat in mks eenheden. Wat kunnen we hieruit afleiden?
(c) Hoe kunnen we de massa van de Aarde bepalen?
(d) Bereken de som van kinetische en potenti¨ele energie voor een planeet die op afstand R om de Zon beweegt.
(e) Voor een ellipsbaan gelden min of meer dezelfde relaties, maar met straal R ver- vangen door de halve grote as a. De centrale massa (zwaartepunt) bevindt zich in het brandpunt van de ellips en de afstand tot het brandpunt heeft een minimum- waarde van rmin = a(1 e) en een maximumwaarde van rmax = a(1 + e), waar e de excentriciteit van de ellipsbaan is.
De ster S2 waarvan de baan om Sagittarius A* is gemeten heeft als parameters a
= 970 AE (Astronomische Eenheid gelijk aan de a van de aardbaan, 1 AE = 149,6
⇥106 km), een excentriciteit e = 0,88 (minimale afstand dus ca 120 AE) en een omloopstijd van 16,0518 yr. Bereken hiermee de massa van het object waar S2 omheen draait (het superzware zwarte gat in ons Melkwegstelsel).
Opgave 2.1
We bekijken in deze opgave tijd-dilatatie en ruimte-contractie voor een trein die door een tunnel beweegt. De trein is 900 m lang en de tunnel is 720 m lang. De tunnel heeft 2 sporen en op het ene spoor staat een trein, ook 900 m lang stil. Van die trein bevindt zich dus 180 m buiten de tunnel.
We bekijken het probleem allereerst vanuit de tunnel, waar een stilstaande trein van 900 m staat en de andere trein komt aanstormen met 0,6 c (zestiende van de lichtsnelheid, 180 m in 1 µs). Gezien vanuit de bij tunnel staande waarnemer lijkt de lengte van de bewegende trein slechts 720 m, precies de lengte van de tunnel! Op tijdstip 0,0 passeert de rijdende trein het uitstekende eindpunt van de stilstaande trein. Met de snelheid van 0,6 c gaat de trein na 1,0 µs de tunnel in en komt er na 5,0 µs weer uit. Het lijkt alsof we de trein zouden kunnen opbergen in de tunnel, als die bij exit abrupt stopt (laten we even aannemen dat dit abrupt stoppen kan!). Zit de trein nu in de tunnel? Het zou vreemd zijn, want als we het omdraaien ziet de machinist van de trein de tunnel op zich afkomen met 0,6 c, maar die is slechts 576 m lang. De stilstaande trein is 720 m lang. Wat gebeurt er als de machinist inderdaad de trein bij exit stilzet. Hij doet dit door de trein in z’n geheel 3,2 µs na binnengaan van tunnel stil te zetten, dat is 4,0 µ s na passeren van eindpunt van stilstaande trein.
Schets de situaties en klokstanden voor waarnemer bij tunnel en voor de machinist.
Dat maakt het mogelijk om het geheel te begrijpen. Hieronder het begin van beide situatie schetsen.
900 m
576 m 720 m
= v c = 0.6
= 1
q 1 vc22
= 1.25
<latexit sha1_base64="9nnae3aHDyNc+rEDM9W48yw4Vto=">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</latexit>
3,2
train tunnel clocks
576 m 900 m
0,8 1,0 0,0 0,0 0,0
4,0
trein (in rust)
720 m 720 m
0,0 0,0
0,8 1,0
0,0
tunnel (in rust)
Opgave 2.2
De mogelijke waarden van het baanimpulsmoment om een bepaalde as zijn gequantiseerd in veelvouden van ¯h. Wanner L ¯h dan lijkt het of het impulsmoment L = mvr bij een rotatie alle mogelijke waarden kan hebben (een continu¨um), de klassieke situatie van
een tol of een aan een touw rondslingerende massa. Voor een in een atoom ronddraaiend elektron werkt dat niet meer. Afhankelijk van de baan heeft het elektron een bepaald impulsmoment ` en de orientatie van de baan is zodanig dat bezien langs de z-as het impulsmoment alleen veelvouden van ¯h aanneemt, bijvoorbeeld voor ` = 1 hebben we
`z = m`¯h met m` = 1, 0 of -1, corresponderend met drie mogelijke quantumtoestanden.
Het elektron heeft daarnaast nog een intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, dat de waarde s = 1/2 heeft en dat twee mogelijke projecties langs de z-as toelaat (twee quantum- toestanden), sz = ms¯h met ms = 1/2 of -1/2.
(a) Geef het aantal quantumtoestanden bij een gegeven impulsmoment ` (of s) door te kijken hoeveel `z-waarden mogelijk zijn als de maximale en minimale waarden m` = `z/¯h = ±` (of ms = sz/¯h = ±s) zijn en alleen stapjes ter grootte van ¯h mogelijk zijn.
(b) Om het baanimpulsmoment van een elektron te combineren met de spin, tellen we de impulsmomenten op. Omdat voor zowel baanimpulsmoment als spin de waarden
`z en sz gequantiseerd zijn, vinden we voor jz = `z+ sz ook discrete mogelijkheden.
Welke en hoeveel? Laat zien dat de mogelijke waarden voor mj = jz/¯h juist degene zijn die horen bij j = 3/2 en j = 1/2, zodat we de ‘optelling’
1⌦ 1/2 = 3/2 1/2 hebben. Dit is een symbolische schrijfwijze.
(c) Combineer op eenzelfde manier de spin van twee elektronen tot een totale spin, Sz = s1z+ s2z. Laat zien dat we (symbolisch) krijgen:
1/2⌦ 1/2 = 0 1.
Opgave 2.3
In deze opgave beschrijven we de Einstein-Podolski-Rosen (EPR) paradox en de Bell ongelijkheden, die ons in staat stellen om de unieke aspecten van de quantummechanica te zien. We doen dit stap voor stap aan de hand van de volgende figuur.
1
2
3
1
2
3
43
B
| " i
| # i
q3 4| " i +
q1 4| # i q3
4| " i q1
4| # i
q1 4| " i
q3 4| # i
q1 4| " i +
q3 4| # i 1
2
3
A
QUANTUM 60o
60o
3 1 2 bijv:
1 2 3 bijv:
= +
+ +
+ KLASSIEK:
ieder paar heeft complementaire info
(0o) 0%
(60o) 25%
(120o) 75%
= +
<latexit sha1_base64="De+WXaAqxpsGUaojc5tl8qndgpc=">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</latexit>
1
2(| " #i | " "i) begintoestand
meting A meting B
75%
50%
<latexit sha1_base64="AW4qQt1vo5MLhTNDsavOgo18AKs=">AAAB8HicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsyIoispuHFZwdZKZyiZNNOG5jEkGaEM/Qo3LhRx6+e4829M21lo64HA4Zx7b+49ccqZsb7/7ZVWVtfWN8qbla3tnd296v5B26hME9oiiivdibGhnEnassxy2kk1xSLm9CEe3Uz9hyeqDVPy3o5TGgk8kCxhBFsnPeZhnKCQ00mvWvPr/gxomQQFqUGBZq/6FfYVyQSVlnBsTDfwUxvlWFtG3LxKmBmaYjLCA9p1VGJBTZTPFp6gE6f0UaK0e9Kimfq7I8fCmLGIXaXAdmgWvan4n9fNbHIV5UymmaWSzD9KMo6sQtPrUZ9pSiwfO4KJZm5XRIZYY2JdRhUXQrB48jJpn9WDi7p/d15rXBdxlOEIjuEUAriEBtxCE1pAQMAzvMKbp70X7937mJeWvKLnEP7A+/wBkMSQPQ==</latexit>
In de begintoestand worden twee deeltjes met tegengestelde spins geproduceerd, bij- voorbeeld de producten van een vervallend deeltje zonder spin. Deze deeltjes vliegen in tegenovergestelde richtingen weg en we gaan nu bij A of B meten wat de spin-ori¨entatie is, waarvoor we een Stern-Gerlach apparaat beschikbaar hebben dat 3 mogelijke standen (1, 2 of 3) heeft waarbij gemeten wordt of de spin langs vertikale richting staat (stand 1), onder 60o (stand 2) of onder 120o (stand 3). Nu wordt de beslissing wat gemeten gaat worden pas genomen als deeltjes bijna bij het meetapparaat zijn. De resterende tijd is in ieder geval zo kort dat er geen signaal meer kan worden verstuurd tussen A en B om meetrichtingen door te geven. Dus de meetrichtingen zijn onafhankelijk van elkaar! De resultaten van de metingen worden aangegeven als in de 2 voorbeelden bij A en B, in de figuur is meting A in stand 1 en het resultaat is +, de meting van B is in stand 2 en het resultaat is . Alle resultaten van die paren van metingen worden verzameld.
Het niet-opzienbarende deel van de metingen is dat er zowel bij A en B in alle standen even vaak + als wordt gemeten in zowel standen 1, 2 en 3. Het opzienbarende is als we de metingen zoals gedaan bij A en B gaan vergelijken en kijken naar correlaties tussen de paren. Ook daarbij zijn er ‘vanzelfsprekende’ resultaten die niemand zal verbazen, zoals dat als A en B beide hebben besloten in stand 1 te meten, alle uitkomsten (100%) tegen- gestelde spins laten zien en nooit gelijke uitkomsten (0%), aangegeven als het bovenste percentage bij de drie paren linksonder in de figuur. Voor paren waar A in stand 1 meet en B in stand 2, blijkt 25% van die metingen gelijke spins laten zien, terwijl voor paren
waar A in stand 1 meet en B in stand 3 maar liefst 75% van de metingen gelijke spins laten zien. Kunnen we die percentages begrijpen? Zoals ook ‘vanzelfsprekend’ zijn de uitkomsten bij andere standen voor A soortgelijk (25% bij hoekverschil van 60o en 75%
bij hoekverschil van 120o).
(a) Hoe verklaar je deze uitkomst in de quantummechanica. Daar is het uitgangspunt de gol↵unctie gegeven in de begintoestand, met twee componenten| "#i en | #"i met co¨efficienten die gekwadrateerd 1/2 opleveren. Ga zelf na wat de waarschijnlijkheden zijn bij de metingen die de resultaten linksonder opleveren (gebruik hiervoor de quantumtoestanden in het blokje QUANTUM). De quantummechanische verklaring heeft als bijzondere het twee-dimensionale karakter van de oplossingsruimte.
(b) Hoe verklaart een realist op ‘klassieke’ manier deze metingen. In dat geval is het uitgangspunt dat elk van de twee deeltjes de informatie bij zich draagt, dus een
‘briefje’ bij zich heeft met wat te doen bij de stand 1, 2 of 3 van het meetapparaat.
De briefjes worden in paren uitgegeven aan de vertrekkende deeltjes en de correlatie is dat de informatie voor standen 1, 2 en 3 altijd complementair is (zoals in het voorbeeld in het blokje KLASSIEK). Laat nu zien dat bij analyse het aantal paren N (" · · ; · · ") N(" · · ; · " ·) + N( · " · ; · · "). Deze ongelijkheid, een voorbeeld van een Bell ongelijkheid, laat zien dat de klassieke verklaring niet werkt want 75%
> 50% en niet kleiner of gelijk.
Opgave 3.1
(a) Bereken de pakkingsgraad van de drie roosterstructuren in figuur 5
(b) Bereken voor een sc en fcc rooster de maximale straal van een atoom dat nog in het rooster past, d.w.z. bereken de straal van de holtes (uitgedrukt in de ribbe a van de kubus of liever nog in de straal van de atoom ratoom van het originele rooster).
(c) Uit het voorgaande blijkt dat voor zwaardere (grotere) atomen die bijvoorbeeld in een sc rooster gerangschikt zijn, er gemakkelijk voldoende ruimte is om een water- stofatoom (r ⇡ 0.05 nm) in de roosterholte op te slaan. Stel je voor dat je het materiaal dan verzadigt met waterstof, wat is dan de dichtheid van waterstof in dat materiaal en vergelijk die met waterstof in de gastoestand.
Opgave 3.2
In het waterstofatoom wordt de potenti¨ele energie van het elektron in het elektrische veld gegeven door
U (r) = e2 4⇡✏0r.
(a) Laat zien dat de kracht werkend op het elektron gelijk is aan F (r) = e2
4⇡✏0r2.
(b) Wat is de (mks) eenheid van e2/4⇡✏0 en gebruik die grootheid in combinatie met m en ¯h om een grootheid met dimensie van lengte te vinden. De notatie voor ‘eenheid van m is kg’ is ‘[m] = kg’.
(c) De kracht op het elektron levert de centripetale kracht om het elektron te binden.
Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal rnen energie En.
(d) Wat is de snelheid van het elektron in baan n. Druk deze uit in de lichtsnelheid.
Merk op dat we hierbij de dimensieloze grootheid ↵ = e2/4⇡✏0¯hc ⇡ 1/137 tegenko- men.
Opgave 3.3
Voor de veelvoorkomende harmonische oscillator wordt de potenti¨ele energie voor een systeem gegeven door
U (r) = 12kr2 (bij een veer is k de veerconstante).
(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door F (r) = k r.
(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit k, m en ¯h. We merken op dat de grootheid ! =p
k/m nuttig kan blijken.
(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.
Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal rnen energie En.
(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid.
Opgave 3.4
Voor een lineaire potentiaal wordt de potenti¨ele energie voor een systeem gegeven door
U (r) = T0r.
De grootheid T0 (eenheid N) wordt wel de spankracht genoemd.
(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door
F (r) = T0
(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit T0, m en ¯h.
(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.
Combineer dat met mvr = n ¯h om uitdrukkingen te vinden voor straal rnen energie En.
(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid en bekijk de toepasbaarheid voor quarks met mc2 ⇠ 10 MeV (up of down quarks) of voor de bottom quark met mc2 ⇠ 5 GeV voor T0 = 1 GeV/fm.
Opgave 3.5
1p 1/2 1p 3/2 1p
2s
1d 2s 1/2
1d 5/2 1d 3/2 2p
2p 3/2 1f
1s 1s 1/2
1f 5/2
1f 7/2 2p 1/2 1g 9/2 1g
1h
3s 3s 1/22d 3/2
2d
2d 5/2 1h11/2 1g 7/2
E magic #
nl nl j
126
? ? ? ? ? ?
Bij atoomkernen hebben we ook een spectrum van mogelijke energietoestanden, maar hier blijkt het quantumgetal voor het totale impulsmoment een belangrijke rol te spelen, dus E = E(n, `, j). [Dit is een ge- volg van spin-baan wisselwerkingen.] Het spectrum van n`j-toestanden (voor proto- nen en neutronen) wordt gegeven in neven- staande figuur. Bepaal de magische getallen voor de Z- en N -waarden van atoomkernen uit de ontaarding van de verschillende ni- veau’s.
Opgave 3.6
Baryonen zijn opgebouwd uit drie quarks. We gaan de mogelijkheden bekijken voor de drie lichtste smaken (u, d en s) ge¨ıllustreerd in onderstaande figuren. Net zoals we eerder twee spin-toestanden gezien hebben, kunnen we de smaak ook zien als drie specifieke eigenschappen van quarks en antiquarks en daar quantumgetallen aan toekennen. In dit geval worden daarvoor isospin Iz en hyperlading Y gebruikt, zo gekozen dat ze voor het gemiddelde van de multipletten (die aangegeven worden als 3 en 3⇤), netjes gemiddeld op nul uitkomen.
Y
anti−quarks Y
quarks
Iz
−1 1/2
u
−1/2
d s Iz
−1/2 1/2
d u
s −1
Voor twee-quark toestanden (qq) kunnen de negen (drie maal drie) toestanden opgesplitst worden in twee multipletten (een 3⇤ triplet van antisymmetrische toestanden) en een 6
sextet van symmetrische toestanden. Wat spin betreft kunnen de toestanden in het triplet alleen spin s = 0 hebben en de toestanden in het sextet alleen spin s = 1.
Y Y
Iz Iz
(dd) (ud) (uu) [ud]
(ds) (us) [us]
[ds]
(ss)
Gecombineerd met een derde quark krijgen we 27 toestanden, waarvan er 10 volledig symmetrisch zijn. Dat blijken ook symmetrische spin toestanden te zijn (spin 3/2). Het Pauli principe laat naast de tien toestanden met spin 3/2, slechts 8 toestanden (octet 8) met spin 1/2 toe.
baryon decuplet (s = 3/2) octet baryons (s = 1/2)
Y Y
udd uud uuu
uds
uss
sss ddd
Σ Σ
Ξ Ξ
∆ ∆ ∆ ∆
n p
Ω
−
Σ∗ Σ∗ Σ∗
Ξ∗
Ξ∗
0 +
+
0 0
−
−
− 0 + ++
−
− uus
dds
dss
dds uus
dss uss
uds
Λ
0Σ
0uud udd
I
zI
zMesonen bestaan uit quark en antiquark combinaties. Er zijn geen beperkingen omdat het geen identieke deeltjes zijn. We krijgen twee nonetten, een met spin 0 en een met spin 1.
q q (3x) q q (3x)
K
Y
− +
u s
u d d u
s u s d
0 d s
ρ ρ ω φ Y
− +
u s
u d d u
s u s d
π π
0η η
d s
K K
K
π
0
K* K*
K*
0K*
+0
−
− 0
+
ρ
pseudoscalar nonet (s = 0) vector meson nonet (s = 1) I
zI
zDeeltjes en hun eigenschappen, zoals massa en spin kunnen gevonden worden op de website van de ‘particle data group’, http://pdg.lbl.gov.
(a) Aan de quarks en antiquarks kunnen we baryongetal B = +1/3 en B = 1/3 toekennen, met als logische consequentie B = 1 voor baryonen en B = 0 voor
mesonen. Ga in het triplet na dat het aantal vreemde quarks minus anti-quarks gegeven wordt door
Ns = B Y Ns = B + Y Voor de ‘vreemdheid’ S⌘ Ns Ns krijgen we de relatie
S = Y B,
een relatie die niet alleen voor quarks, maar ook voor de mesonen en baryonen geldt.
Overtuig jezelf er van dat dit niet alleen werkt voor de basistripletten, maar ook voor de hieruit opgebouwde baryonen en mesonen. We merken op dat positief/negatief voor ‘vreemdheid’ puur een kwestie van afspraak is. Geef ook een uitdrukking voor de lading Q.
(b) Zoek de massa’s van de decuplet baryonen met spin J = 3/2 op? (op de pdg- webpagina’s wordt de spin van een deeltje met J aangegeven omdat voor een uit quarks samengesteld deeltje de spin van het deeltje in het algemeen het resultaat van quark spins en baanimpulsmoment is). Wat valt je op. Kun je de massaverschillen qualitatief verklaren?
(c) Doordat quarks en antiquarks in mesonen behalve spin ook nog eens een baan- impulsmoment kunnen hebben zien we ⇢-deeltjes met hogere spins. Afhankelijk van het feit of het baanimpulsmoment even of oneven is worden deze deeltjes a- of
⇢-mesonen genoemd. We hebben bijvoorbeeld
J = 1 J = 2 J = 3 J = 4
⇢(770) a2(1320) ⇢3(1690) a4(2000)
Bestudeer het verband tussen massa en spin. Vergelijk dit met de theoretische beschouwing in het dictaat (kader p. 20).
Opgave 3.7
Bij botsingen tussen deeltjes kunnen quarks en antiquarks elkaar annihileren of ze kunnen in paren gecreeerd worden. Het onderstaande quarklijn-diagram laat schematisch zien wat er gebeurt, inclusief het veranderen van de smaak van een quark door creatie van een zwak krachtdeeltje.
d d
π
∆ p
u
d u u u u
d u +
+ + p
π +
Kijk op deze manier ook eens naar ⇡ p-verstrooiing en K p-verstrooiing en teken het quarklijnen-diagram. Met voldoende energie kunnen er ook ‘vreemde’ deeltjes (met een of zelfs meer s-quarks erin) gemaakt worden. Geef hiervan voorbeelden.
Opgave 3.8
(a) Teken voor D-mesonen (quark-inhoud cq) Y Iz diagrammen. Wat zijn de ‘spins’
van de mesonen waarin het baanimpulsmoment nul is.
(b) Teken voor baryonen met een c-quark de Y Izdiagrammen. Kun je de bijbehorende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen.
(c) Teken voor baryonen met twee c-quarks de Y Iz diagrammen. Kun je de bijbeho- rende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen.
Opgave 4.1
(a) Bereken de omwentelingstijd voor een satelliet dicht bij het aardoppervlak. Druk het resultaat uit in de versnelling van de zwaartekracht (g ⇡ 9, 8 m/s2).
(b) Bereken de tijd nodig om ‘door de aarde te vallen’ zoals beschreven in 3.1 gebruik- makend van de eigenschap dat de kracht op afstand r van het aardmiddelpunt wordt bepaald door de massa binnen een bolschil met straal r.
Opgave 4.2
Construeer uit de grootheden ¯h (de gereduceerde Planck constante), c (de lichtsnelheid) en G (de gravitatieconstante van Newton) een grootheid met dimensie van energie en een grootheid met dimensie van lengte.
Opgave 4.3
Beredeneer wat er gebeurt met het spiegelbeeld van een magneet?
Opgave 6.1
(a) Leidt de uitdrukking voorE( , T ) af uit die voor E(f, T ) gebruikmakend van E( , T ) d = E(f, T ) df.
(b) Gebruik bijvoorbeeld Mathematica om de Planck curve als functie van y = kT /hc te plotten.
(c) Bepaal de waarde ymax van het maximum en leidt de uitdrukking voor de maxT af.
Check de numerieke waarde in mks eenheden.
Opgave 6.2
(a) Gebruik
X1 n=0
xn = 1
1 x
om te laten zien dat
X1 n=0
n xn = x (1 x)2.
en leidt hiermee de gemiddelde energie voor fotonen met een bepaalde frequentie af.
(b) Beredeneer dat het uitgezonden vermogen per m2 van een zwarte straler gelijk is aan cE.
(c) Gebruik Z 1
0
dx x3
ex 1 = ⇡4 15
om te laten zien dat de Stefan-Boltzmann constante gelijk is aan
= 8 ⇡5k4 15 h3c2.
(d) Gebruik Z 1
0
dx x2
ex 1 = 2 ⇣(3)⇡ 2, 404
om een uitdrukking voor de dichtheid van fotonen in een zwarte straler af te leiden.
Opgave 6.3
(a) Beschouw een mens als een volume met constante temperatuur. Bereken de uitge- zonden energie per seconde en per oppervlakte van een mens bij lichaamstempara- tuur.
(b) Als de lichaamstemperatuur gelijk zou zijn aan de omgevingstemperatuur, dan zou er geen energietransport zijn. Gebruik dit om de opgenomen energie uit de omgeving te schatten bij 20 graden Celsius.
(c) Bereken uit het verschil het vermogen van een mens. Klopt dit een beetje?
Opgave 6.4
Schat de (constante) dichtheid van materie (in kg/m3 en in aantal protonen per cm3) zoals die uit de rotatiekromme van M33 volgt.
