Examen Numerieke Analyse, 7 sept 1995, 1e Lic Informatica
maak iedere opgave op een apart vel papier, zet op ieder vel je naam en het nummer van de opgave.
1. Op analoge wijze als het bestaan van de Singuliere-waardenontbinding van een matrix kan de volgende stelling bewezen worden: Bij iedere complexe matrix A∈ ICn×nbestaan er een orthogonale matrix U en een bovendriehoeksmatrix R∈ ICn×n zodat A = UHRU . Hierbij is UH de “Hermitisch” gespiegelde van U (spiegelen en complex toevoegen). We moeten met complexe matrices werken omdat ook een re¨ele matrix complexe eigenwaarden kan hebben, zoals b.v.
µ
0 1
−1 0
¶ .
Bewijs deze stelling uitgaande van het feit, dat iedere matrix B∈ ICp×pminstens ´e´en eigenvektor bezit, omdat det(B− λI) een polynoom van graad p in λ is en dus minstens ´e´en nulpunt moet hebben.
Ga na, dat de diagonaal van R precies de eigenwaarden van A bevat met hun multipliciteiten.
2. In de telecommunicatie, in (optimale-) besturingsproblemen, maar ook bij het iteratief oplossen van stelsels niet-lineaire vergelijkingen komt vaak het probleem voor dat we een lange reeks van “bijna gelijke”
stelsels vergelijkingen moeten oplossen van de vorm
Akxk= bk, met Ak+1= Ak+ ukvkT, Ak ∈ IRn×n, xk, bk, uk en vk ∈ IRn.
Met een kostprijs van O(n3) flops per slag kun je ieder stelsel opnieuw oplossen via een LU- of QR- ontbinding. Omdat het verschil tussen Ak+1 en Ak van rang 1 is, kun je de QR-ontbinding van Ak+1
echter ook uit die van Ak afleiden in O(n2) flops.
a. Schrijf een algoritme (dat niet meer dan O(n2) flops gebruikt), dat een QR-ontbinding maakt van een Hessenbergse matrix H ∈ IRn×nmet behulp van Givens rotaties. Hoeveel flops heeft deze algoritme i.h.a. nodig? (antwoord in de vorm cn2+ O(n) met nader te bepalen c). Een matrix H met elementen hij is Hessenbergs, als hi,j = 0 voor alle i, j met i > j + 1, dus als alle elementen onder de eerste nevendiagonaal nul zijn.
b. Laat R∈ IRn×neen bovendriehoeksmatrix zijn en u en v∈ IRn twee vectoren. Schrijf een algoritme (dat niet meer dan O(n2) flops gebruikt), dat R + uvT ontbindt in het produkt van een orthogonale en een Hessenbergse matrix (met behulp van Givens rotaties) en bepaal het benodigde aantal flops.
c. Laat A ∈ IRn×n een inverteerbare matrix zijn. Schrijf een algoritme, die de QR-ontbinding van (A + uvT) bepaalt en het stelsel (A + uvT)x = c oplost in O(n2) flops, als de QR-ontbinding A = Q R van A gegeven is.
d. Hoeveel flops heeft je algoritme in het totaal nodig? (antwoord in de vorm cn2+ O(n) met nader te bepalen c).
N.B. Je zou hetzelfde willen doen op basis van de “goedkopere” LU-ontbinding (met rijverwisselingen), maar dat geeft problemen met de numerieke stabilteit.
3. We beschouwen de volgende integratieformule voor een voldoend gladde re¨ele funktie f op IR:
Z h
−h
f (x) dx = c1h f (t1) + c2h f (t2) + c3hq+1f(p)(ξ) (1) a. Bepaal de onbekende constanten c1, t1, c2 en t2 zodat de formule exact is voor polynomen tot zo
hoog mogelijke graad.
b. Bepaal p, q en c3 (de orde en de constante van de restterm) en bewijs geldigheid van de formule (dus het bestaan van een ξ∈ [−h, h]) voor iedere funktie f ∈ Cp([−h, h]) (alle funkties met een p-de continue afgeleide).
c. We verdelen het interval [0, 1] in n stukken van lengte 2h en dus met 2nh = 1 en passen de inte- gratieformule (1) toe op ieder deelinterval. Bewijs, dat er voor iedere f ∈ Cp([0, 1]) een ξ ∈ [0, 1] is, zodat
Z 1
0
f (x) dx = Xn j=1
³
c1h f (t1+ 2jh− h) + c2h f (t2+ 2jh− h)´
+12c3hqf(p)(ξ) (2)
en laat ook zien, dat de restterm gelijk is aan 12c3hq(f(p−1)(1)− f(p−1)(0)) + O(hp+1).
d. Bij het integreren van de funktie f (x) = sin(x) vinden we het volgende resultaat:
n R1
0 sin(x)dx 1 0.45958781 2 0.45969099 4 0.45969727 8 0.45969766 16 0.45969769
Komt dit overeen met het antwoord, dat je verwacht? Motiveer je antwoord, alleen “ja” of “nee” is niet voldoende.
1
