1 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 0
: 0 dan als
0 : dan 0 als
1
=
→
±∞
→
=
±∞
→
→
=
y t e asymptoo horizontal
y x
x asymptoot verticale
y x
y x
2 : 2 dan als
1 2
0 : dan 0 als
1 2 2 2 1
1
=
→
±∞
→ +
=
=
±∞
→
→
= + +
=
→ +
=
y t e asymptoo horizontal
y x
y x
x asymptoot verticale
y x
x x x
x y x
y x
2 : 2 2 dan als
2 : dan 2 als
2 2 2 2
) 2 ( 2 2 2
2 2
=
=
→
±∞
→
=
±∞
→
→
−
= −
−
−
= +
→
− +
=
y t e asymptoo horizontal
x y x x
x asymptoot verticale
y x
x x x
y x y x
6 : 5 6 , 0 dan 3 als
2 1
0,5 : asymptoot verticale
1 5 , 0
2 3
=
=
→
±∞
→
=
→
=
−
= −
y t e asymptoo horizontal
x y x
x
x x
x y x
5 , 0 :
5 , 5 0 , dan 0 als
2 2
- : asymptoot verticale
2 5 , 2 5 , 0
−
=
−
− =
→
±∞
→
−
=
→
=
−
−
= +
y t e asymptoo horizontal
x y x
x
x x
x y x
Uitwerkingen hoofdstuk 3
3. Gebroken functies.
Opgave 3.1 Functievoorschrift gebroken functie.
a
b
c
d
e
2 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 8
: 8 8 dan als
2 : .
2 8 8 2
) 2 ( 4 4 4
2 4
=
=
→
±∞
→
−
=
+
= + +
+
= + + +
=
y t e asymptoo horizontal
x y x x
x asymptoot vert
x x x
x x x
y x
4 : .
3 4 dan 12
als
3 2 2
3 : .
2 3
12 12 3
2
) 3 2 ( 4 4 4
3 2
4
=
− =
→−
±∞
→
=
→
=
+
− +
= −
−
−
= +
− +
=
y asymptoot vert
x y x
x
x x
asymptoot vert
x x x
x y x
2 1 4
1
3 +
+
= + x y x
6 2 3
4 +
= + y x
5 21 6 ) 5 (
) 5 ( 2 5 11 ) 4
(
5 2 11 2 4
2 ) 3 (
1 ) 3 ( ) 4 (
−
= −
− + −
−
= −
− +
= −
− +
− +
= −
x x x
x x
x x k of
x x x
x x k f
g
h verticale asymptoot: x = 2
−1
horizontale asymptoot: y = 4 1 3
i verticale asymptoot: x = -2 horizontale asymptoot: y = 2
Opgave 3.2 Grafieken verschuiven.
Bepaal het functievoorschrift waarmee de grafiek van
2 1 ) 4
( −
= + x x x f op de volgende manier verplaatst wordt:
a 2 naar links
x x x
x x
m 4 9
2 ) 2 (
1 ) 2 ( ) 4
( +
− = +
+
= +
` Door voor x de term (x + 2) in te vullen verschuif je de grafiek twee plaatsen naar links. Voor x = -2 heeft deze grafiek van m(x) dezelfde waarde als f(x) voor x = 0.
x x x
x x x
x x
x x n x of
x x
n 4 9 1 4 9 3 9
) ( 9 1
) 4
( +
− =
= +
− ×
= + + −
=
Door m(x) – 1 te doen worden alle waardes van m(x) met 1 verminderd. De grafiek schuift dus 1 naar beneden
b 3 naar rechts en 2 naar boven.
3 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 0
1
; 9
; 5
) ( : lg
9 5 9
1 4 9 1 4
2 ) 2 (
1 ) 2 ( ) 4 (
=
=
=
=
+
= +
= + +
= + + +
=
− + +
+
= +
d en c b a met
d cx
b x ax
g emeen a
x x x
x x x
x x
x x g
5 0
; 1
; 9 : dan
) ( als
9 5 ) (
=
=
=
= + +
= +
=
d en c b a
c d bx x a g x x g
c 1
2 ) 2 (
1 ) 2 ( ) 4
( +
− +
+
= + x x x g
verschuiving 2 naar links en 1 naar boven d
e
f 2
1 ) 4
( −
= + x x x f
Als x → ± ∞ dan f(x) →4 dus horizontale asymptoot y = 4 Als x ↑ 2 dan f(x) →-∞
Als x ↓ 2 dan f(x) →∞ dus verticale asymptoot x = 2
Als x van links naar 2 gaat is (x – 2) negatief en zeer klein en is de y-waarde dus negatief en zeer groot.
Als x van rechts naar 2 gaat is (x – 2) positief en zeer klein en is de y-waarde dus positief en zeer groot.
Limietnotatie:
∞
− = +
−∞
− = +
=
− +
− = +
↓
↑
±∞
→
±∞
→
2) 1 (4
2) 1 (4
4 2) 1 4 1 ( 2)
1 (4
lim lim
lim lim
2 2
x x x
x
x x x
x
x x
x x
9 5 )
( = +
x x g
Als x → ± ∞ dan f(x) →5 dus horizontale asymptoot y = 5 Als x ↑ 0 dan f(x) →-∞
Als x ↓ 0 dan f(x) →∞ dus verticale asymptoot x = 2
4 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 5
, 4 0 ) 2 4 4 2 3 ( 4)
4 3 2 ( 4)
4 3
(2 lim lim
lim = =
−
−
=
−
−
− =
−
∞
→
∞
→
∞
→
x x
x x
x x x
x
x x
x x
x
−∞
− =
= −
− + ↑
↑
3) 2
1 (2 ) lim 3 1 2 ( 2
lim1,5 1,5 x x
x x
x
5 , 2 0 ) 1 2 3
1 3 lim( 3)
2 ( 3
lim − =−
=
− +
−
− = +
−
−∞
→
−∞
→
x x x
x
x x
−∞
− = +
= −
−
−
−
= −
− −
−
↓
↓
↓
2 ) 3
2 ( 6
) lim 2
3
) 2 3 ( 2 ( 2 ) lim 2 2 3 ( 2 lim
23 23
23 x
x x
x
x x x
x
x x x
x x
y x 1 2 1 2
1 2 +
= +
= +
=
2 3 2 ) 2 (
) 2 ( 2 2 2 1
2 1
−
= −
− + −
= −
− +
=
x x x
x x
y x
2 3 10 2
10 ) 2 ( 3 2
4 2 3 ) 2 ( 3 2
4
3 +
= −
− +
= −
− +
× +
= −
−
= +
x x
x x
x x
y x
5 , 1 0 5 , 1 1
2 5 , 0 ) 1 ( 5 , 0 1
2 5 ,
0 −
+
= − +
− + +
= − +
−
= −
x x
x x
y x
3 7 2
+
= + x y x
Opgave 3.3 Limieten
Bepaal de volgende limieten.
a
Alle termen delen door x levert hetzelfde antwoord b
(2x – 3) < 0 en zeer klein en (2x – 1) >0
c
d
(3x – 2) > 0 en zeer klein en (-6x +2) < 0
Opgave 3.4 Functievoorschrift herleiden a
b
c d
e ( x ≠ -3)
Als x ↑-3 dan (x + 3) zeer klein (→0) en positief en omdat (2x + 7) dan ongeveer +1 is gaat de y-waarde naar +∞
5 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 2
10 3
10 9
2 1 3
3 1 3
2 3
− +
= −
=
→ +
−
=
− → +
×
= −
− +
= −
x y x
b b b
x b y x
1 1 2
1 8
1 9 4
4 3 2
1 2
+
= −
−
=
→ +
−
=
− + →
− +
−
= × +
= +
x y x
b b b
x b y x
3 8 2
8 6
4 2 8
4 8
_ 5
3 2 5 1 5
3 6 3 1
3
−
= −
−
=
−
−
=
→
− =
= −
−
=
−
+
=
− →
= +
+
=
−
− →
= +
−
= +
x y x
a b
a
a b b a
a
b b a
a x
b y ax
) 2 ( ) 2
2 (
) 2 )(
2 ( 2 2
) 4 (
2 2 = −
−
−
= +
−
= − x
x x x x
y x
f (x ≠ 2)
De grafiek is een rechte lijn met helling 2 en snijpunt y-as (0; -4) Voor x = 2 is de functie niet gedefinieerd! Dit is een gaatje in de grafiek. Je kunt dit aangeven met een open rondje.
Opgave 3.5 Bepaal functievoorschrift van de hyperbool.
a
b
c
-
6 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken )
16 , 0
; 16 , 1 ( : 2 )
16 , 6
; 16 , 5 ( : 1 :
)) 10 3 (
; ) 10 2 ((
: 2 10
3 1 10
2
)) 10 3 (
; ) 10 2 ((
: 1 10
3 1 10
2
10 2 2
40 4 2
4
40 6 1 4 16 4
0 6 4
3 2 3
2
) 3 )(
1 ( 3 2 3 1
3 2
3 1
) ( 3 en
3 ) 2
(
2 2
1 1
2 , 1 2
2 , 1 2
2
2
−
−
−
−
→
−
= +
=
→
−
=
+ +
→ +
= +
=
→ +
=
±
± =
=
− →
±
= −
=
−
×
×
−
=
−
=
−
−
→
−
−
= +
→
− +
= +
→ +
− = +
≠ +
− =
= +
S en S
afgerond
snijpunt x
y x
snijpunt x
y x
a x ac b x b
ac b
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x g
x x f
36 18 1 4 36 4
0 18 6
15 8 3
2
) 3 )(
5 ( 3 2 3 5
3 2
3 5
) ( 3 en
3 ) 2
(
2 2
2
−
=
×
×
−
=
−
=
= +
−
→
− +
−
= +
→
− +
−
= +
→ +
−
− = +
≠ +
−
− =
= +
ac b D
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x g
x x f
2 129 1 2 11 2
129 11 2
4
129 2 1 4 121 4
0 2 11
6 5 4
6 2
) 2 )(
3 ( ) 2 )(
2 2 2 ( 2 3
2 2
2 2 3
) 2 ( 3 en
2 ) 2
(
2 , 1 2
2 , 1 2
2
2 2
±
−
± =
= −
− →
±
= −
=
−
×
×
−
=
−
=
− +
→
+
−
= + +
→
−
−
= + + + →
= −
− +
−
≠
∧ + ≠
= −
−
= +
a x ac b x b
ac b
x x
x x x
x
x x x
x x x x
x
x x x
x x x g
x x f
) 82 , 0
; 2 , 0 ( : 2 )
43 , 1
; 2 , 11 ( : 1
82 , 2 0 2 , 0
2 2 , 2 0
, 0
43 , 2 1 2 , 11
2 2 , 2 11
, 11 7
, 5 5 , 5 :
1 2
1 1
2 , 1
−
−
− + =
= −
→
=
+ =
−
−
= −
→
−
=
→
±
−
=
S en S
y x
y x
x afgerond
Opgave 3.6 Snijpunten bepalen en tekenonderzoek.
a
b
D < 0 dus geen oplossingen ofwel geen snijpunten.
c
7 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 13
2 2 0 3
3 2
7
3 ≤ < ≥
− +
− als x of x
x x
d
3 5
, 1 3 0
3
2 > <− >
−
+ alsx of x
x x
e
5 , 1 3 0
2 7 3
3 0 2
) 3 2 ( 2 ) 1 0 (
3 2 2 2 1 3 2
1
≠
− ≤ +
→−
− ≤
−
−
→ +
≤
− −
→ +
− ≤ +
x x x
x x x
x x x
x
1.3
8 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 16
, 3 2 :
10 2 2
24 16 4
0 6 4 0
6 4
) 6 4 (
doen van onderzoek
gaan teken We
3 3 0
6 0 4
3
) 3 )(
1 ( 3 2
0 ) 1 3 (
3 1 2
3 3 2
2 , 1 2
, 1
2 2
2 2
±
=
→
± + =
= ±
=
−
−
→
= + +
−
+ +
−
≠
− >
+ +
→−
− >
− +
−
→ +
>
+
− −
→ + +
− >
+
x afgerond x
x x x
x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
) 83 , 0
; 18 , 0 ( ) 09 , 2
; 68 , 5 ( :
83 , 2 0 18 , 0
2 18 , 18 0
, 0
09 , 2 2 68 , 5
2 68 , 68 5
, 5
93 , 2 75 , 2 :
4 137 1 4 11 4
16 121 11
0 2 11 2
6 5 4
6 2 ) 3 )(
2 ( ) 2 )(
2 2 (
) 2 3
2 ( 2 3
2 2
2 1
2 2
1 1
2 , 1 2 , 1 2
2 2
−
−
− + =
= −
→
=
+ =
−
−
= −
→
−
=
±
−
=
±
− + =
±
= −
→
=
− +
→
+
−
= + +
→
−
−
= + +
→
−
≠ + ≠
= −
− +
S en S
snijpunten y x
y x
x afgerond
x
x x
x x x
x x
x x
x
x en x x
x x
x
Opgave 3.7 Snijpunten bepalen en ongelijkheden.
a
16 , 5 3
16 ,
1 < <
−
< of x
x
b
9 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken )
1
; 3 ( :
3 1 3 3
6 2
) 2 0
( )
2 ( 2 3 1 3
−
−
−
− =
=
→
−
=
→
−
=
→
−
≠
≠
= + + →
=
S snijpunt
y x
x
x en x x x x
x c
Opgave 3.8 Snijpunten bepalen en ongelijkheden.
In de figuur hierna zijn de grafieken weergegeven van de functies f(x) = 2x + 2
g(x) = x – 3
h(x) = (2x + 2)(x – 3) k(x) =
3 2 2
− + x
x
a A: f(x) rechte lijn met helling 2 B: g(x) rechte lijn met helling 1 C: k(x) hyperbool
D: h(x) parabool met snijpunten (-1;0) en (3,0)
10 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken L
5μmol , 0 25
50
50 ) 5 , 0 ( 5 50 , 0 50 100 5
, 0 100
=
→
=
→
= + + →
= + →
=
x x
x x x x
y x
5 , 0 100 k
] [
] [ v
m max
= + + →
= ⋅
x y x s
v s
grafiek met
klopt k
x x
x
8 1 8 3
5 2 ) 5 2 ) ( 5 (
5 3
2 2
− =
= −
−
− +
−
= ×
−
−
=
→
−
= +
] [
1 v
k v
1 1 ] [ v
k v
1 1
] [ v
k ] [ v
] [ 1 ] [ v
k ] 1 [ k ] [
] [ v
max m max max
m max
max m max
max m m
max
s v
s v
s s
s v
s s v s
v s
⋅ +
=
⋅ → +
=
→
+ ⋅
= ⋅
⋅ →
= + + →
= ⋅
max max
m max
m max
v 1 v
k ]
[ 1 1
) ] (
[ 1 v
k v
1 1
=
=
=
=
+
=
→
⋅ +
=
b en s a
v x y
b ax x s y
v
L 125μmol , 0 5 025 , 0 k 025 , v 0
025 k , 20 0
) 2 , 0 7 , 0 (
s 5μmol 2
, 0 2 1
, 1 0 2 , 0 ) 0 (
m max
m max max
=
×
=
→
=
→
− =
=
=
=
→
=
→
=
a
v v y
b Welke waarde heeft k(x) als geldt: f(x)=g(x)
c h(−5)=(2×−5+2)(−5−3)=−8×−8=64
d n(x)= f(x)+g(x)→n(x)=2x+2+(x−3)=3x−1
Opgave 3.9 Michaelis-Menten
a
b asymptoten: horizontaal y =100 : verticaal x = -0,5
c x ofwel [s] is een concentratie en die is altijd >0
y ofwel v is de omzetsnelheid van de enzymen en ook deze is altijd positief.
d
Men noemt dit de km-waarde.
Opgave 3.10 Lineariseren
a
opm:
s q p qs en p
b ook a dan b a als
1
1 1
⋅
=
=
=
b
c
11 uitwerkingen gebroken functies 2013©Vervoort Boeken 10
10
10 10 10
10 10 1 1 10
1 1 1 1 1
= −
→
= −
−
=
→
−
=
→ +
=
v b v
v v v v v b v b
b v f
m max
k v
+
= ⋅ x y x
x x
x x
x x x
y x
m max m
max
m max
1 k v k
v
k v
+
= +
⋅ + =
= ⋅ d
e
Als x →∞ dan y →vmax
Als x↑−kmdan y → -∞
Opgave 3.11 Gebroken functie in de optica.
a
b
c asymptoten: horizontaal : b=10 : verticaal v=10
b
v
