Praktische opdracht Wiskunde Archimedes
Praktische-opdracht door een scholier 5e klas havo
2163 woorden 16 jaar geleden
6,3
131 keer beoordeeld
Vak Wiskunde
Deelvraag 1: Wie was deze man?
Archimedes is geboren in 287 voor Christus. Zijn hele leven woont hij in Syracuse op Siciliё.
De vader van Archimedes was de astronoom Phidias. Er bestaan verhalen dat Phidias familie was van de tiran (koning Hieroon II) van Syracuse. In ieder geval was hij wel een goede bekende van de koninklijke familie. Van Archimedes is niet bekend of hij getrouwd was en of hij kinderen had.
Archimedes heeft in Egypte bij opvolgers van Euklides wiskunde gestudeerd. Niet alleen was hij hier op de hoogte van de wiskunde die zich ontwikkelde, maar ook kende hij enkele van de wiskundigen daar
persoonlijk.
In zijn tijd heeft Archimedes een grote reputatie opgebouwd. Zijn wiskundige ideeën waren hier niet zozeer de oorzaak van. De oorzaak van zijn reputatie komt meer door het feit dat hij een aantal uitvindingen op zijn naam heeft staan.
Zo heeft hij voor Hieroon II een paar effectieve oorlogsmachines gebouwd. Archimedes’ machines berustten voor een groot deel op het hefboomprincipe; daarmee is maar een kleine kracht nodig op een groot gewicht te verplaatsen.
Ook heeft deze man de ‘schroef van Archimedes’ uit. Dit is een pomp waarmee je water omhoog kunt pompen.
Archimedes ontving veel roem voor zijn uitvindingen. Toch vond hij zuivere wiskunde de enige wetenschap die het bestuderen waard was. Zijn grootste interesse ging uit naar de meetkunde en de natuurkunde.
Zelfs zo erg dat hij ook tijdens gewone dagelijkse dingen steeds maar geometrische figuren tekende en bestudeerde.
Hij berekende met de zogenaamde ‘uitputtingsmethode’ (dit is een voorloper van het tegenwoordig veelgebruikte integreren) de oppervlakte en de inhoud van allerlei objecten. Maar tegenwoordig is hij toch nog wel het meest bekend door de wet van Archimedes.
Deze man heeft een belangrijke plek ingenomen in de tegenwoordige wiskunde. Hij wordt gezien als een van de drie grootste wiskundigen aller tijden.
Archimedes heeft geleefd tot 212 v. Christus. Hij werd gedood tijdens de verovering van Syracuse door de
Romeinen. Ook de machines die Archimedes had ontworpen voor Hieroon II hielden de verovering niet tegen.
Er gaan verschillende verhalen over hoe de 75 jaar oude Archimedes om het leven is gekomen. In één van die verhalen was Archimedes zo druk met zijn meetkundige berekeningen dat hij de bedoelingen van de Romeinse soldaat die hem wilde gevangennemen niet in de gaten had. Archimedes riep de soldaat ongeduldig toe om ‘zijn cirkels niet te verstoren!’ waarop de soldaat hem in woede doodde.
Deelvraag 2: waardoor is deze man beroemd geworden?
Er zijn een aantal belangrijke uitvindingen van deze man bekend.
Over een paar van deze geef ik duidelijke uitleg. Hij bedacht onder andere:
· wapens voor Hieroon II
· Het systeem voor het benaderen van het getal pi
· Meetkundige vormen
· De Archimedische schroef
· De wet van Archimedes
· Stellingen over het zwaartepunt van vlakke figuren en van lichamen.
Wapens voor Hieroon II=
In de tijd dat Archimedes leefde, had Sicilië oorlog met de Romeinen. Hij bedacht een paar effectieve oorlogsmachines voor Hieroon II ter verdediging van Syracuse. De beroemde geschiedschrijver Plutarchus vertelt over de wapens van Archimedes. De machines berustten voor een groot deel op het
hefboomprincipe. Hiermee is maar een kleine kracht nodig om een groot gewicht te kunnen verplaatsen.
Een uitspraak van Archimedes bij zijn hefboomprincipe: ”Geef mij een plaats om te staan en ik zal de aarde bewegen”.
Deze afbeelding toont een wapentuig die Archimedes heeft ontworpen. De haak die je ziet pakt een schip vast, en deze kan hij dan gemakkelijk omver gooien. Zo werden veel vijandelijke schepen vernield.
Het systeem voor het benaderen van het getal pi=
Archimedes heeft het eerste begin gevonden voor het berekenen van pi.
Deze manier is redelijk in woorden uit te leggen. Hij zag een cirkel met een middellijn 1. De omtrek heeft dan lengte Pi. De omtrek van de cirkel kun je niet direct uitrekenen. Archimedes kon wel de omtrek van de ingeschreven hoeken uitrekenen. Hij maakte in de cirkel een regelmatige zeshoek. Deze omtrek is 3. De cirkel is groter dan de ingetekende zeshoek, en dus kun je hieruit afleiden dat Pi groter is als 3. Doormiddel van de zeshoek kun je ook een ingetekende twaalfhoek maken. De berekening hiervan ligt alweer dichter bij Pi. Hij verdubbelt deze aantallen nog een aantal keer, waardoor hij een 96-hoek krijgt.
Deze is bijna niet te onderscheiden van een echte cirkel. Van deze 96-hoek rekent hij de omtrek uit en vind dat π groter is als 3 10/71 en kleiner is als 3 1/7
Of in getallen uitgedrukt:
3.140845070422535211... < π < 3.142857142857142857...
De berekening van Archimedes is in 2 decimalen nauwkeurig. Dit is de benadering die veel scholen gebruiken.
Meetkundige vormen=
De wiskundige man heeft zich verdiept in een methode om de oppervlakte en inhoud van figuren te kunnen berekenen. Een aantal belangrijke figuren die hij berekende waren:
De piramide, de kegel, de cilinder en de bol.
Naast deze ontdekkingen kwam hij ook achter vele ,tot dan toe, onbekende vormen. Deze vormen kregen steeds meer vlakken. Elk vlak was een driehoek, een vierkant of een vijfhoek.
Met deze vlakken heeft hij vele vormen gemaakt.
Archimedes kwam op deze figuren omdat hij de uitputtingsmethode van Eudoxus kende. Deze paste hij toe. Het is een methode die bedacht is door de Grieken.
De methode is een voorloper van het ’integreren’ wat men tegenwoordig toepassen in de wetenschap.
Deze figuren tonen twee vormen die Archimedes ontdekt heeft. Hij heeft ze De isoaeder en De dodecaeder genoemd.
Deelvraag 3: de schroef van Archimedes
Deze schroef is een zeer nuttige uitvinding geweest. Nadat Archimedes de schroef uitgevonden had, is het tijden erna nog veel gebruikt als werktuig. De Archimedische schroef was een apparaat waarmee men water, of andere vloeistoffen, en poeders omhoog kan brengen.
het apparaat bestaat simpel weg uit een holle buis. Hierin zit een soort schroef. Als je deze schroef rond draait, gaat het water omhoog.
Door middel van deze afbeeldingen kan ik duidelijker uitleggen hoe de pomp werkt. Bij deze uitleg neem ik water als middel dat vervoerd gaat worden.
Binnen in een buis zit een spiraalvormige schroef. De schroef heeft een speciale vorm, waardoor het water niet meer kan terug lopen naar beneden. Het laagte deel van de schroef zit net in het water. De schroef staat in een schuine stand, hierdoor word het water omhoog vervoert. Deze schuine stand en de speciale vorm zorgen ervoor dat het water in ‘losse pakketjes’ word vervoert.
Aan de uitvinding van Archimedes zit wel een beperking. De buis met de schroef kan namelijk maximaal in een hoek van 45 graden staan. Anders werkt het niet goed. Het vervoer met de schroef gebeurt meestal opwaarts, maar er zijn ook gevallen waar het vervoer horizontaal gaat.
De schroef werd vroeger veel gebruikt om water te winnen voor irrigatie. De schroef van Archimedes word ook wel tonmolen genoemd. Het is de voorlogen van de schroefpomp. Grotere poldermolens en veel poldergemalen hebben als wateropvoer-werktuig een groter aangepaste variant van de schroef van Archimedes, de zogenaamde vijzel.
Deelvraag 4: de Wet van Archimedes
Archimedes werd vooral bekend doordat hij een natuurkundige uitvinding deed. Het soortelijke gewicht.
De wet van Archimedes is zeer bekend en beroemd:
“Een lichaam geheel of gedeeltelijk in een vloeistof ondergedompeld ondervindt daarin een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.”
Bij de wet van Archimedes hoort een verhaal:
Koning Hieroon II van Syracuse twijfelde of zijn nieuwste kroon wel van puur goed was. Hij gaf Archimedes de lastige opdracht om dit te onderzoeken. Want de kroon mocht niet worden door gezaagd. Hij moest dus op een andere manier aan de oplossing komen. Archimedes liet zijn bad eens tot de rand vol lopen. Hij zag dat het overliep toen hij er in stapte. Toen begreep hij hoe hij aan de oplossing van het probleem moest komen. Hij was zo blij dat hij “Eureka!” riep en zonder kleren op straat rende. Hij woog de kroon en nam een blok goud van hetzelfde gewicht. Deze legde hij in een bak met water en kon door de stijging van het water het volume uitrekenen. Toen bleek het volume van de klomp goud niet overeen te komen met dat van de kroon, want wat bleek: er zat ook zilver in de kroon!
Zo kwam Archimedes er achter dat elk materiaal zijn eigen soortelijke gewicht had. Door dit verhaal is al uitgelegd hoe de wet werkt, maar ik er wordt nog een duidelijk voorbeeld gegeven.
De werking van de wet wordt hier uitgelegd met een blok aluminium en een blok hout.
Het schijnbare gewicht van een blok aluminium dat in water is ondergedompeld, neemt af met een hoeveelheid gelijk aan het gewicht van het daarbij verplaatste water. Als een blok hout geheel in water is ondergedompeld, is de opwaartse kracht groter dan het gewicht van het hout.
Doordat hout een kleinere dichtheid heeft dan water, is het gewicht van het blok hout lager dan dat van hetzelfde volume water. Door de opwaartse kracht komt het hout naar de oppervlakte en verschijnt het gedeeltelijk boven water. Hierbij wordt zoveel water verplaatst, totdat de opwaartse kracht precies gelijk is aan het gewicht van het blok.
Deelvraag 5: wat merken wij nu nog van deze man?
Archimedes heeft veel geschriften gemaakt.
De volgende werken zijn van hem bewaard gebleven:
· "Over evenwicht in het platte vlak".
Hierin liet Archimedes een aantal fundamentele stellingen over zwaartepunten van vlakke figuren zien. Hij bepaalde in het eerste boek het zwaartepunt van een parallellogram, een driehoek en een trapezium. Het tweede boek gaat over het zwaartepunt van een deel van een parabool.
· "De kwadratuur van de parabool."
Archimedes berekent hierin de oppervlakte tussen een parabool en een koorde in die parabool.
· "Over de bol en de cilinder."
In het eerste boek laat Archimedes zien dat de oppervlakte van een bol vier keer de omtrek van een grootcirkel op die bol is, bepaalt hij de oppervlakte van een bolsegment en laat hij zien dat de inhoud van een bol 2/3 is van de inhoud van de omhullende cilinder. In het tweede boek wordt getoond hoe een bol door een plat vlak in twee delen met een vooraf gegeven verhouding kan worden verdeeld. Bij deze
berekeningen gebruikte Archmedes de uitputtingsmethode van Eudoxus.
· "Over spiralen."
In dit boek wordt de Archimedische spiraal gedefinieerd en eigenschappen ervan besproken.
· "Over conoïden en sferoïden."
Hierin gaat het om omwentelingslichamen als paraboloïden, hyperboloïden en ellipsoïden. Het gaat daarbij om het onderzoek naar de inhoud van omwentelingslichamen en delen ervan.
· "Over drijvende lichamen."
Het boek over de principes van de hydrostatica, met de beroemde 'wet van Archimedes'.
· "Het opmeten van de cirkel."
Archimedes laat in dit geschrift zien, dat de exacte waarde van de omtrek van een cirkel met diameter 1 ligt tussen de 223/71 en de 22/7. Hij vindt dit resultaat door de cirkel in te sluiten tussen regelmatige veelhoeken met 96 zijden.
· "De zandrekenaar."
Een opmerkelijk boek waarin Archimedes een systeem voor getallen voorstelt waarmee getallen tot 8 · 1016 kunnen worden beschreven. Hij beweert dat dit getal groot genoeg is om alle zandkorrels in het heelal te tellen. In dit boek legt Archmedes ook het idee van Aristarchus uit, dat de zon in het centrum van het heelal staat en de planeten (waarvan de aarde er één is) om de zon draaien. Hij noemt ook afstanden in het heelal, zoals die afkomstig zijn van Eudoxus, Phidias (zijn vader) en Aristarchus.
· "De methode."
Hierin beschrijft Archimedes hoe hij tot veel van zijn resultaten is gekomen. Hij vindt dat het nuttig is om eerst door onderzoeken en experimenteren op vermoedens te komen en die dan met meetkundige methoden te bewijzen.
Er hebben zeer waarschijnlijk ook andere werken van de hand van Archimedes bestaan. Sommige later wetenschappers verwijzen er naar.
Als Archimedes een nieuwe stelling had, stuurde hij deze vaak op naar Alexandrie. Dit deed hij zonder het bewijs te leveren of de stellingen wel klopten. Zo testte hij zijn vrienden. Het bleek namelijk dat sommigen van het net deden of zij zelf die stelling gevonden hadden. Om ze te testten stuurde Archimedes bewust een paar foute stellingen op. Dit vertelt hij in het voorwoord van zijn boek ‘Over spiralen’.
De werken van Archimedes zijn erg helder in hun uitleg, en waren daarom hele mooie voorbeelden van wiskundige methoden.
Toch waren die werken ook na zijn dood maar weinig bekend. Er zijn maar 3 beroemde wiskundigen bekend die ze later hebben gebruikt.
Dit waren Heroon, Pappos en Theoon (leefden eind 4e eeuw na Chr.) uit Alexandrie. Zij hebben veel uit Archimedes’ werken gehaald. Maar verder duurde het tot na de 6e eeuw voordat een paar van de werken van Archimedes weer gebruikt werden. Eutocius maakte veel gebruik van de werken en zette er ook commentaren bij.
De beroemde wiskundige man leefde ver voor onze tijd, maar nog steeds wordt hij nu gezien als een van de grootste wiskundigen aller tijden!
Hij wordt samen met Isaac Newton (Engeland, 1643-1727) en Carl Friedrich Gauss (Duitsland 1777-1855)
gezien als de 3 grootse wiskundigen aller tijden.
Archimedes zelf vond zijn berekeningen van een cilinder die een bol omhult, het belangrijkste en hechtte aan deze de meeste waarde. Daarom wilde hij een afbeelding op zijn graf, met daarop de verhouding van beider inhouden.
Op de maan is er een krater naar hem vernoemd: de Archimedes Krater.Dit is bij weinig mensen bekend, maar het is wel een grote eer als er op de maan een krater na je word vernoemd.
