Breuken: fragmentarische Beheersing en gedeeltelijk Begrip?

1

Breuken: fragmentarische Beheersing en

gedeeltelijk Begrip?

Een kwalitatief onderzoek naar procedurele vaardigheden en conceptueel begrip bij het algebraïsch manipuleren van breuken door leerlingen met Wiskunde A in de vierde klas van het vwo.

Onderzoek van René Wagenaar Master Wiskunde, HvA

Begeleider: Sonia Abrantes Garcez Palha 22 november 2013

3

Inhoudsopgave

Samenvatting

... 6

1

Geschiedenis van de onderzoeksvraag

... 7

1.1

Aanleiding

... 7

1.2

Achtergronden

... 7

2

Onderzoeksdoel

... 8

3

Vraagstelling

... 10

3.1

Hoofdvraag

... 10

3.2

Deelvragen

... 10

4

Theoretisch kader

... 11

4.1

Procedurele vaardigheid

... 11

4.2

Conceptueel begrip

... 11

4.3

Terminologie bij Sfard en Kilpatrick

... 11

4.4

Onderscheid en verwevenheid

... 11

4.5

Bruin-Muurling: conceptuele begrippen, big ideas

... 12

4.5.1

Relatieve vergelijking ... 12

4.5.2

Van geheel getal naar rationaal getal ( van

ℤ

naar

ℚ )

... 12

4.5.3

Relatie vermenigvuldiging en deling ... 13

4.5.4

Equivalentie ... 13

4.6

Bruin-Muurling: procedurele vaardigheden, complicerende factoren

... 13

4.7

Conceptueel model

... 14

5

Methode

... 15

5.1

Operationalisering van variabelen

... 15

5.1.1

Procedurele vaardigheden. ... 15

5.1.2

Conceptueel begrip ... 15

5.2

Typering van het onderzoek

... 16

5.3

Instrumenten

... 16

5.3.1

De opgaven

... 16

5.3.2

De videosessies

... 17

5.4

Analyse

... 17

5.4.1

De interviews: opnamepraktijk en transcriptie ... 17

5.4.2

Beschrijving en interpretatie per opgave en invullen van de matrix ... 18

5.4.3

Profielschetsen ... 18

4

6

Resultaten

... 20

6.1

Enige opmerkingen vooraf

... 20

6.1.1

Toelichting en verantwoording bij de tabellen gegevensanalyse per leerling. ... 20

6.2

Resultaten per leerling

... 23

6.3

Samenhangen op individueel niveau

... 32

6.4

Verdere resultaten

... 33

6.4.1

Optellen van gelijknamige breuken en vermenigvuldigen van breuken. ... 33

6.4.2

Alle leerlingen beheersen het concept van de breuk als relatieve vergelijking... 34

6.4.3

Het concept van equivalentie, het vereenvoudigen van breuken en het omgekeerde

van vereenvoudigen.

... 34

6.4.4

Verwarring rond het concept delen als inverse van vermenigvuldigen ... 36

6.4.5

De behandeling van het minteken bij breuken. ... 37

6.4.6

De inverse bewerkingen aftrekken en delen worden verwisseld. ... 39

7

Discussie

... 40

7.1

Vermenigvuldigen van breuken en conceptueel begrip

... 40

7.2

De concepten equivalentie en delen als inverse van vermenigvuldigen

... 41

7.3

Verwisseling van inverse bewerkingen bij van Stiphout

... 41

7.4

Generaliseerbaarheid

... 42

7.5

Validiteit en betrouwbaarheid

... 42

7.6

Heuristiek en conceptueel begrip ... 43

8

Conclusies en aanbevelingen

... 44

9

Docent en onderzoek. Een kort persoonlijk slotwoord

... 46

Literatuur

... 48

Bijlage 1: De opgaven

... 50

Bijlage 2: de opgavenmatrix

... 52

Bijlage 3: Taak gebaseerd onderzoeksinterview, protocol en verantwoording

... 53

Bijlage 2.1

... 56

Overzichtsmatrix voor Suzanne

... 56

Overzichtsmatrix voor Rob

... 57

Overzichtsmatrix voor Nursen

... 58

Overzichtsmatrix voor Storm

... 59

Overzichtsmatrix voor Thomas

... 60

6

Samenvatting

In dit kwalitatieve onderzoek wilde ik achterhalen welke belemmeringen leerlingen ondervinden op het gebied van conceptueel begrip en procedurele vaardigheden bij het verwerven van competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken. Met dit onderzoek sluit ik aan op de constatering binnen mijn sectie wiskunde dat tekort schietende algebraïsche vaardigheden met betrekking tot breuken een belemmering vormen voor de leerlingen in de bovenbouw. In de literatuur is brede steun te vinden voor deze constatering (Bruin-Muurling, 2010; van de Craats, 2007; KNAW, 2009). De leerlingen hebben hierdoor grote moeite met onder meer het differentiëren van functies en met het oplossen van gebroken vergelijkingen.

Het theoretisch kader voor dit onderzoek is onder meer ontleend aan het werk van Bruin-Muurling (2010), Kilpatrick, Swafford & Findell (2001), Polychroniadis, Pradeep & Stragalinou (2011), Rittle-Johnson, Siegler & Wagner Alibali (2001), Sfard (1991) en van Stiphout (2011).

In dit onderzoek is bij zes leerlingen in de vierde klas van een grootstedelijk gymnasium een taakgebaseerd interview afgenomen. Op basis van het werk van met name Bruin-Muurling (2010) werden verschillende procedurele en conceptuele vaardigheden met betrekking tot breuken onderscheiden. Vervolgens is per leerling een individueel profiel opgesteld dat laat zien welke procedures en welke concepten elke leerling beheerst en welke moeilijk zijn voor de leerling. In dit onderzoek komt naar voren dat de vaardigheden optellen en aftrekken van gelijknamige en – met name – van ongelijknamige breuken op zichzelf staande vaardigheden lijken te zijn die de leerlingen vloeiend beheersen. De procedure vermenigvuldigen van breuken hebben de leerlingen minder goed onder de knie. Dit is opvallend omdat de procedure eenvoudiger is. Voorts laat het onderzoek zien dat alleen het concept van de breuk als relatieve vergelijking door alle leerlingen wordt beheerst. De concepten equivalentie en delen als inverse van vermenigvuldigen worden door geen van de leerlingen goed beheerst. Het laatste concept is verwarrend voor de leerlingen.

Op basis van de eindcijfers van de leerlingen, betrokken bij dit onderzoek, voor het vak wiskunde A aan het einde van het vierde leerjaar betoog ik dat de leerlingen representatief zijn voor de vwo-leerling in het vierde jaar met wiskunde A als vak. Maar gezien het kleine aantal vwo-leerlingen is terughoudendheid bij het doen van generaliseringen geboden.

Dit onderzoek heeft als praktisch resultaat de ontwikkeling van een methode die de docent in staat stelt om voor de individuele leerling te achterhalen welke onderscheiden procedurele vaardigheden de leerling al dan niet beheerst en welke conceptuele begrippen moeilijk zijn voor de leerling. Een

verdere didactische aanpak kan worden gebaseerd op de resulterende profielschets. Echter, de profielschetsen werden opgesteld na een complexe en tijdrovende analyse op basis niet alleen van de schriftelijke uitwerkingen van de opgave, maar ook van de mondelinge toelichting van de leerling. In de praktijk van het lesgeven is de hier gemaakte analyse daarom niet onmiddellijk realiseerbaar. Dat neemt niet weg dat de in dit onderzoek onderscheiden procedurele vaardigheden en de

conceptuele begrippen met betrekking tot breuken wellicht een goede basis kunnen vormen voor een didactiek van breuken in een leerlijn die passend is voor het vwo en die, voortbouwend op rekenen met breuken, de leerling begeleidt bij het leren bedrijven van algebra met breuken. Dit onderzoek laat enerzijds zien dat sommige basisvaardigheden, met name vermenigvuldigen van breuken,

onvoldoende zijn geautomatiseerd. Wij moeten daarom als wiskundesectie voorzien in meer

gelegenheid voor de leerlingen om deze basisvaardigheid te oefenen. Tegelijk komt naar voren dat in de lespraktijk het stimuleren en bijbrengen van conceptueel begrip van breuken bij de leerling en dus het praten over het waarom van procedures van doorslaggevend belang is.

7

1

Geschiedenis van de onderzoeksvraag

1.1 Aanleiding

Rekenkundige vaardigheden schieten tekort bij leerlingen in de eerste klas van het vwo. Dit is vooral zo bij het rekenen met breuken. Eigen onderzoek in het kader van de opleiding tot tweedegraads docent wiskunde toont dit aan (Wagenaar, 2010). De oorzaak moet wellicht worden gezocht in het rekenonderwijs op de basisscholen (Bruin-Muurling, 2010; Van de Craats, 2007). Dit is ook landelijk een punt van zorg (Van de Craats, 2007; KNAW, 2007). In een survey-studie laat Bruin-Muurling (2010) bovendien zien dat de verdere ontwikkeling van deze vaardigheden in de onderbouw van het voortgezet onderwijs stagneert. Deze rekenkundige vaardigheden bereiden voor op meer abstracte algebraïsche vaardigheden die in het wiskundeonderwijs in de bovenbouw steeds belangrijker worden. In het hoger onderwijs zijn dan ook aansluitingsproblemen voor het vak wiskunde

geconstateerd, en dan vooral op het gebied van algebraïsche vaardigheden (Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde, 2010, blz. 15). Kortom, in de doorlopende leerlijn van basis- en voortgezet onderwijs schieten prestaties van leerlingen bij rekenen en algebra met breuken tekort. Daarom wil ik mij in dit onderzoek in het kader van mijn masteropleiding richten op de algebraïsche vaardigheden van leerlingen met betrekking tot breuken in de bovenbouw van het vwo. Waarom vinden leerlingen breuken zo moeilijk?

Met dit onderzoek sluit ik aan op de constatering binnen mijn sectie wiskunde dat tekort schietende algebraïsche vaardigheden met betrekking tot breuken een belemmering vormen voor de leerlingen in de bovenbouw. De leerlingen hebben hierdoor grote moeite met onder meer het differentiëren van functies en met het oplossen van gebroken vergelijkingen.

1.2 Achtergronden

Bruin-Muurling (2010) analyseert de prestaties van de leerlingen op het gebied van breuken op twee niveaus (blz. 14). Zij kijkt enerzijds naar de vaardigheden ( bijvoorbeeld breuken optellen of breuken vermenigvuldigen) die leerlingen al dan niet beheersen, anderzijds naar het begrip dat leerlingen hebben van onderliggende concepten met betrekking tot breuken. In de literatuur over het leren van wiskunde worden deze twee niveaus veelal aangeduid met procedurele vaardigheden en conceptueel begrip (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; Polychroniadis, Pradeep & Stragalinou, 2011; Rittle-Johnson, Siegler & Wagner Alibali, 2001; Sfard, 1991; van Stiphout, 2011). Deze begrippen vormen een theoretisch kader voor mijn onderzoek. Ik ga daar verderop dieper op in.

Bruin-Muurling (2010) en ook Van Stiphout (2011) beschrijven weliswaar lacunes in conceptueel begrip en in procedurele vaardigheden van leerlingen bij het bedrijven van algebra met breuken, maar het gaat hier om analyses op basis van eindantwoorden (Bruin-Muurling) of er wordt slechts

incidenteel naar schriftelijke uitwerkingen gekeken (Van Stiphout). Vaak valt dan niet nauwkeurig vast te stellen waarom een leerling een bepaalde fout maakt en of een goed antwoord niet het resultaat is van geluk. In mijn onderzoek wil ik dit juist wel kunnen vaststellen. Het hier voorgestelde onderzoek ligt dan ook in lijn met een aanbeveling van Bruin-Muurling (2010) voor verder onderzoek, waarbij op gedetailleerder niveau wordt gekeken naar het werk van de leerlingen en naar de (denk)processen die ten grondslag liggen aan hun aanpak.

8

2

Onderzoeksdoel

Mijn onderzoeksdoel is te komen tot een advies voor een didactiek voor het rekenen met, en algebraïsch manipuleren van breuken die is toegespitst op de individuele lacunes in procedurele vaardigheden en conceptueel begrip van leerlingen. Dit advies is in lijn met de wens van de sectie wiskunde om de vaardigheden van leerlingen in de bovenbouw bij het werken met breuken te verbeteren.

Daarmee bouw ik voort op het werk van Bruin-Muurling (2010), maar zoals ik hierboven reeds heb aangeduid is een aanvullende analyse op microniveau nodig. Bij die analyse biedt het onderscheiden van vaardigheden houvast. Ik onderscheid de volgende procedurele vaardigheden: de leerling

beheerst…

• het optellen van gelijknamige breuken • het optellen van ongelijknamige breuken • het aftrekken van gelijknamige breuken • het aftrekken van ongelijknamige breuken • het vermenigvuldigen van gelijknamige breuken • het vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken • het vereenvoudigen van breuken

• werken met een gebroken getal • werken met een oneigenlijke breuk

• werken met opgaven met een geheel getalnotatie en breuknotatie • toepassen van het kruisproduct

• links en rechts delen

Natuurlijk kan het onderscheid van verschillende procedurele vaardigheden meer of minder fijnmazig zijn. Ik volg hier de indeling van Bruin-Muurling, met dien verstande dat sommige procedurele vaardigheden in het werk van Bruin-Muurling ook wel worden aangeduid met ‘complicerende

factoren’. Dit geldt bijvoorbeeld voor het vereenvoudigen van breuken en voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie. Ik kom hier later op terug. Ook heb ik toepassen van kruisproduct en links en rechts delen toegevoegd als procedurele vaardigheden omdat ze in de onderbouw apart benoemd en geoefend worden.

Op het niveau van conceptueel begrip maak ik gebruik van wat Bruin-Muurling aanduidt als ‘big ideas’. Bruin-Muurling onderscheidt 5 big ideas. Het zijn relatieve vergelijking, reïficatie, equivalentie, van geheel getalstelsel naar rationaal getalstelsel (van Z naar Q), en relatie vermenigvuldiging en deling. Nu merkt Slavit (1997) op dat reïficatie, ofwel het beschikken over een object-georiënteerd begrip van een wiskundige entiteit, geen kwestie van wel of niet is. Veeleer wordt reïficatie gradueel bereikt. Opdrachten die het wiskundige object (in dit onderzoek breuken, bij Slavit functies) presenteren los van enige context zijn het meest geëigend om reïficatie aan te tonen. Slavit gebruikt in zijn onderzoek bijvoorbeeld veel functiegrafieken en gaat na of in de loop van de tijd leerlingen op een andere manier naar functies gaan kijken. In mijn onderzoek gaat het niet om het vaststellen van een ontwikkeling, maar om het vaststellen van de mate van beheersing op conceptueel niveau en op het gebied van vaardigheden. Om die reden zal ik deze big idea bij dit onderzoek buiten beschouwing laten. Wat betreft de relatie vermenigvuldiging en deling gaat het met name om het inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen. Dat resulteert in het volgende rijtje conceptuele begrippen:

• Relatieve vergelijking

• van geheel getal naar rationaal getal

• Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen • equivalentie

9

10

3

Vraagstelling

3.1 Hoofdvraag

Op grond van de bestudeerde theorie en in samenhang met het gestelde onderzoeksdoel kom ik tot de volgende hoofdvraag:

1.0 Welke belemmeringen ondervinden leerlingen op het gebied van conceptueel begrip en

procedurele vaardigheden bij het verwerven van competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken?

3.2 Deelvragen

Aan de hand van de hierboven onderscheiden procedurele vaardigheden en ‘big ideas’ kan deze hoofdvraag in een aantal deelvragen worden opgesplitst. Deze deelvragen stellen mij in staat om voor de individuele leerling een profiel op te stellen met betrekking tot de mate van beheersing van de verschillende procedurele vaardigheden en de mate van conceptueel begrip op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken. Ook de samenhangen tussen vaardigheden onderling, tussen concepten onderling, en tussen vaardigheden en concepten komen aan bod.

1.1 Welke van de onderscheiden procedurele vaardigheden kunnen de leerlingen goed aan en welke vaardigheden beheersen zij onvoldoende?

1.2 Welke samenhang kan hierin worden aangewezen?

1.3 Welke van de onderscheiden conceptuele begrippen beheersen de leerlingen goed, en welke beheersen of begrijpen zij onvoldoende?

1.4 Welke samenhang kan hierin worden aangewezen?

1.5 Welke samenhang is er tussen de verschillende procedurele vaardigheden enerzijds, en het begrip van relevante concepten anderzijds?

11

4

Theoretisch kader

4.1 Procedurele vaardigheid

Kilpatrick et al.(2001) definiëren procedurele vaardigheid (procedural fluency) als bedrevenheid in het flexibel en foutloos uitvoeren van procedures. De auteurs benadrukken het belang van procedurele vaardigheden om vlot en foutloos wiskunde te kunnen bedrijven. Ook Sfard (1991) wijst procedurele vaardigheden en kennis aan als noodzakelijke ingrediënten van wiskundige competentie. De studie van Polychroniadis et al. (2011) laat zien dat basaal conceptueel begrip alleen niet voldoende is voor competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken, maar dat ook procedurele vaardigheden nodig zijn. Procedurele vaardigheid is niet alleen het in een bepaalde volgorde kunnen uitvoeren van een aantal stappen of bewerkingen, maar ook het vermogen om deze procedures bij onderling verwante problemen efficiënt en met inzicht in te zetten.

4.2 Conceptueel begrip

Kilpatrick et al. (2011) definiëren conceptueel begrip als begrip van wiskundige concepten, operaties en relaties. Leerlingen met een goed conceptueel begrip kunnen het belang inschatten van een wiskundig idee en zij zien in op welke gebieden je het kunt inzetten. Met andere woorden, hun wiskundige kennis is gestructureerd. Zij zijn in staat om feiten of methodes die ze vergeten zijn te reconstrueren op basis van inzicht. (Kilpatrick et al., 2011). Conceptueel begrip is generaliseerbaar (Rittle-Johnson et al., 2001). De leerling kan conceptuele begrippen waarover hij of zij wel degelijk beschikt niet altijd onder woorden brengen (Kilpatrick et al., 2011, Rittle-Johnson et al., 2001).

4.3 Terminologie bij Sfard en Kilpatrick

In de terminologie van Sfard vinden we procedurele vaardigheden en conceptuele begrippen terug als operationele en structurele concepten. Operationele concepten hebben betrekking op hoe je een concreet rekenkundig of wiskundig probleem aanpakt, bijvoorbeeld het optellen van twee

ongelijknamige breuken. Een operationeel concept kan worden beschreven als een stapsgewijs uit te voeren rekenkundig of algebraïsch algoritme.

Bij structurele concepten gaat het om het maken van mentale abstracties, bijvoorbeeld het inzicht dat een breuk een getal is. Operationeel gezien is een breuk het resultaat van een deling ‘die niet

uitkomt’. Structureel gezien is de breuk een getal waarmee desgewenst kan worden verder gerekend. Kilpatrick et al. gebruikt de termen procedural fluency en conceptual understanding. Conceptual understanding beschrijft hij als “an integrated and functional grasp of mathematical ideas” (Kilpatrick et al., 2001, blz. 5). Procedural fluency verwijst volgens Kilpatrick naar ”knowledge of procedures, knowledge of when and how to use them appropriately, and skill in performing them flexibly, accurately, and efficiently” (idem, blz. 8).

4.4 Onderscheid en verwevenheid

Wat is de rol van procedurele vaardigheden bij het bedrijven van wiskunde? Procedurele

vaardigheden stellen ons in staat om snel en foutloos tot een antwoord te komen op uiteenlopende rekenkundige en wiskundige vraagstukken. De leerling die over goede procedurele vaardigheden beschikt weet niet alleen procedures foutloos toe te passen, hij weet ook wanneer hij welke procedure

12

moet gebruiken. Tegelijk echter, en hier komt de verwevenheid van procedurele vaardigheden en conceptueel begrip duidelijk naar voren, vormt juist de beheersing van een procedurele vaardigheid vaak de basis voor het begrip van de leerling op conceptueel niveau (Sfard, 1991, blz. 11). Sfard (1991) karakteriseert procedurele vaardigheden en conceptueel begrip als complementair, niet als tegengesteld.

En wat is de rol van conceptueel begrip bij het bedrijven van wiskunde? Volgens Kilpatrick et al. (2001, blz. 5) komt de ontwikkeling van conceptueel begrip neer op de organisatie van (wiskundige) kennis tot een coherent geheel van onderling verbonden (wiskundige) ideeën. Pas wanneer de leerling zijn kennis op een dergelijke manier heeft gestructureerd is hij in staat om grotere

hoeveelheden kennis te assimileren en zo nodig zelfs vergeten kennis opnieuw te construeren. Maar ook de conceptuele begrippen zelf kunnen niet worden beschreven zonder dat sprake is van een zekere overlap (Bruin-Muurling, 2010, blz. 15). Tegelijk is conceptueel begrip doorgaans impliciete kennis die dus niet direct kan worden gemeten (Sfard, 1991, blz. 19). Vandaar dat kwalitatief

onderzoek als hier beoogd waardevol is in het vaststellen van (het stadium van en belemmeringen in ) de wiskundige conceptuele begripsvorming bij leerlingen.

4.5 Bruin-Muurling: conceptuele begrippen, big ideas

Bij Bruin-Muurling ga ik eerst in op de conceptuele begrippen. Bruin-Muurling spreekt van onderliggende concepten binnen het domein van breuken. De vijf big ideas die Bruin-Muurling onderscheidt benoemen verschillende aspecten van deze onderliggende concepten (Bruin-Muurling, 2010, blz. 15). Het stuk voor stuk en afzonderlijk begrijpen van deze vijf big ideas is volgens Bruin-Muurling niet genoeg voor de leerling om tot een dieper inzicht te komen in het domein van breuken: de leerling moet de big ideas in hun samenhang begrijpen (blz. 15). De big ideas zijn weliswaar van elkaar te onderscheiden, maar tegelijk overlappen ze elkaar.

In dit onderzoek gebruik ik vier van de vijf big ideas. Het zijn relatieve vergelijking, equivalentie, van geheel getalstelsel naar rationaal getalstelsel (van



naar



), en relatie vermenigvuldiging en deling. Reïficatie, de vijfde big idea die Bruin-Muurling onderscheidt, laat ik buiten beschouwing omdat, zoals eerder al opgemerkt, deze big idea moeilijk te operationaliseren is binnen het bestek van dit

onderzoek.

4.5.1 Relatieve vergelijking

Bruin-Muurling (2010, blz. 16 e.v.) merkt op dat in didactisch onderzoek onderscheid wordt gemaakt tussen maesurement division en partitive division. Een typerend voorbeeld van maesurement division is: hoeveel stukken van ¾ meter kun je snijden van een touw dat 6 ¾ meter lang is. Een typerend voorbeeld van partitive division is: als je met zijn drieën een pizza deelt, hoeveel krijgt ieder dan? Maar deling speelt ook een rol bij een grootheid als snelheid, die we bijvoorbeeld uitdrukken in km/uur. Al deze ‘soorten’ deling verenigt Bruin-Muurling onder de noemer van relatieve vergelijking. De leerling die zich afvraagt hoeveel keer de noemer in de teller past begrijpt een breuk in termen van een relatieve vergelijking.

4.5.2 Van geheel getal naar rationaal getal ( van ℤ naar ℚ )

Aspecten van deze big idea zijn bijvoorbeeld de notie dat we elk geheel getal a kunnen schrijven als 𝑎

1 . Verder kunnen we er in ℚ niet langer op vertrouwen dat, als in ℕ, vermenigvuldiging groter maakt en deling kleiner. Dat hangt weer samen met de verschillende rol die teller en noemer spelen in een breuk. Bijvoorbeeld: bij gelijke positieve teller vertegenwoordigt de breuk met de grootste positieve noemer het kleinste getal. Inzicht in de rol van teller en noemer is noodzakelijk om te begrijpen dat gelijknamig maken van breuken bij optellen en aftrekken nodig is, terwijl dit bij vermenigvuldigen niet

13

hoeft. Verder is het zo dat binnen een gegeven interval we in ℚ, anders dan in ℤ, oneindig veel getallen vinden.

4.5.3 Relatie vermenigvuldiging en deling

Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen is het onderliggende concept dat procedures als vereenvoudigen van breuken en wegstrepen van overeenkomstige factoren in teller en noemer verbindt. Wie dit concept beheerst ziet direct dat bijvoorbeeld

31

×

17₃₁

=

17

_{. Hij doorziet dat}

3 4 4 1 4 1 4 3

=

₃

×

=

₃

÷

₄

=

×

₃

=

₁

÷

_{(blz. 20).} 4.5.4 Equivalentie

Equivalentie ten slotte is een basisbegrip bij de vorming van rationale getallen. Er is niet langer een unieke relatie tussen getal en symbolische representatie, zoals bij de natuurlijke getallen. In principe kunnen oneindig veel breuknotaties hetzelfde getal voorstellen. Deze notaties zijn voor te stellen als een reeks met als eerste lid de vereenvoudigde breuk, die daarom een speciale rol heeft.

4.6 Bruin-Muurling: procedurele vaardigheden, complicerende factoren

We hebben gezien dat je conceptueel begrip niet direct bij leerlingen kunt bevragen. Leerlingen kunnen immers soms wel degelijk over conceptueel begrip beschikken zonder dat zij dit kunnen verwoorden (zie 4.2) Je kunt ze wel opgaven voorleggen en uit hun aanpak en hun uitleg daarbij conclusies trekken over conceptueel begrip.

Bruin-Muurling koppelt daartoe bepaalde typen opgaven aan de big ideas. Zo’n type opgave kan bijvoorbeeld zijn: het optellen van twee ongelijknamige breuken. Ik benoem dit als een procedurele vaardigheid: het optellen van twee ongelijknamige breuken. Zelf gebruikt Bruin-Muurling het begrip procedurele vaardigheden overigens niet. Complicerende factoren in de opgaven bij Bruin-Muurling zorgen vervolgens voor een oplopende moeilijkheidsgraad. Deze complicerende factoren voorkomen dat leerlingen intuïtief of op grond van vertrouwdheid met het type probleem de juiste oplossing vinden. Zo helpen de complicerende factoren om conclusies te trekken over belemmeringen in conceptueel begrip bij leerlingen. Tegelijk is elke complicerende factor te zien als een probleem dat met behulp van een passende procedurele aanpak kan worden opgelost. Zo is het vóórkomen van een gebroken getal bij Bruin-Muurling een complicerende factor. Ik benoem in dit onderzoek de techniek die nodig is om opgaven met een gebroken getal tot een goed einde te brengen als een procedurele vaardigheid.

14

4.7 Conceptueel model

Het conceptuele model hieronder toont de kernbegrippen bij dit onderzoek in hun samenhang.

15

5

Methode

Als onderzoekseenheid kies ik de vwo-leerling in het eerste jaar van de bovenbouw die voor het vak Wiskunde A heeft gekozen. Ik doe dat om de volgende reden. Het ligt voor de hand dat leerlingen die wiskunde B hebben gekozen beter presteren op het gebied van wiskunde. Belemmeringen bij het toepassen van conceptuele begrippen en procedurele vaardigheden zijn bij deze groep leerlingen minder aanwezig. Ik wil echter juist een groep leerlingen onderzoeken die zwakker is en dus meer belemmeringen ondervindt.

Ik geef zelf les aan een groep leerlingen die wiskunde A doen in het vierde jaar van hun

gymnasiumopleiding. Uit deze groep heb ik 6 leerlingen gevraagd mee te doen aan het onderzoek. Dit betekende voor de leerlingen een tijdsinvestering van een uur of meer. Zij declareerden deze uren als schoolstage-uren. De onderzoekssessies vonden plaats op school.

Het gaat in dit onderzoek dus om een kleine steekproef van gymnasiumleerlingen uit een stedelijk milieu. De sociaaleconomische achtergrond van de leerlingen is uiteenlopend. Er is geen reden om aan te nemen dat belemmeringen in conceptueel begrip en in procedurele vaardigheden die in dit onderzoek aan het licht komen typisch zouden zijn voor leerlingen van deze school, of voor

gymnasiumleerlingen. In zoverre zijn de gegevens dus generaliseerbaar naar de populatie leerlingen in het vwo in Nederland. Echter, dit onderzoek is kwalitatief van aard, niet kwantitatief. Over de frequentie waarmee, bijvoorbeeld, een bepaalde belemmering in procedurele vaardigheid op

populatieniveau voorkomt wordt geen uitspraak gedaan. Ons onderzoek beoogt daarentegen om bij te dragen aan een gedetailleerder inzicht in de belemmeringen die leerlingen ondervinden, op het niveau van procedurele vaardigheden en conceptueel begrip, bij het algebraïsch manipuleren van breuken. Juist de verwevenheid van vaardigheid en begrip maakt dit nodig.

5.1 Operationalisering van variabelen 5.1.1 Procedurele vaardigheden.

Ik heb de leerlingen een aantal opgaven voorgelegd, waarin de operationele vaardigheden zoals hierboven opgesomd aan bod kwamen. Deze vaardigheden kwamen niet geïsoleerd per opgave voor: één opgave doet vaak een beroep op verschillende operationele vaardigheden. Ook is bij een aantal opgaven meer dan één aanpak mogelijk. De leerling werd gevraagd zijn keuze toe te lichten. Bij de bespreking van het onderzoeksinstrument ga ik hier verder op in.

5.1.2 Conceptueel begrip

Om belemmeringen in conceptueel begrip op te sporen was het zaak de leerling opgaven aan te bieden die nieuw voor hem zijn (Rittle-Johnson et al., 2001). Bij zulke opgaven kon de leerling niet terugvallen op gememoriseerde algoritmen voor een reeds bekend probleem. Hij moest inventief en met inzicht te werk gaan. Verder was het belangrijk bij de leerling navraag te kunnen doen als hij een fout maakte of als hij vastliep in een opgave. Zo kon aan het licht komen welke conceptuele

belemmeringen eventueel een rol speelden. Bij de keuze voor een bepaalde aanpak van de opgave werd de leerling gevraagd die keuze toe te lichten. Ook dit gaf inzicht in het begrip van de leerling op conceptueel niveau.

16

5.2 Typering van het onderzoek

Het onderzoek bestond uit een reeks klinische interviews (taak gebaseerde interviews) ter verdieping van survey-onderzoeken van onder meer Bruin-Muurling (2010), NKBW (2010) en Polychroniadis et al (2011). Het ging dus om kwalitatief, interpreterend onderzoek. Leerlingen kregen een aantal opgaven voorgelegd. De instructie aan de leerlingen was om de opgaven met pen en papier op te lossen en daarnaast het eigen denkproces hierbij te verwoorden. De sessies werden vastgelegd middels video-opnames. Deze opnames werden vervolgens getranscribeerd en geanalyseerd met het doel

belemmeringen in conceptueel begrip en procedurele vaardigheden aan het licht te brengen.

5.3 Instrumenten 5.3.1 De opgaven

Ik heb 20 opgaven ( zie bijlage 1) opgesteld waarin een aantal procedurele vaardigheden en

concepten op het gebied van breuken aan bod komt (zie matrix in bijlage 2). Deze opgaven zijn deels ontleend aan de literatuur. Zie ook hiervoor de matrix. Zeer eenvoudige opgaven die naar

verwachting door veel leerlingen goed worden beheerst heb ik niet opgenomen. Voorbeelden zijn de optelling of aftrekking van twee gelijknamige breuken en de vermenigvuldiging van twee eigenlijke breuken.

De eerste opgaven zijn alleen rekenwerk. Deze rekenopgaven, die voor de leerlingen meer vertrouwd zijn dan de algebraopgaven, stelden de leerling in de gelegenheid om even te wennen aan het werken met breuken. In de vervolgopgaven speelt algebra een rol. Soms konden de rekenopgaven worden gebruikt als model bij de aanpak van de algebraïsche opgaven. Dit was het geval bij de opgaven 1 en 9, 2 en 10, en 5 en 18.

De behandeling van het minteken bij breuken kreeg speciale aandacht in de opgaven 8 en 20. Hierbij ging het erom dat

b

a

b

a

b

a

−

=

−

=

−

. Ook bij de opgaven 14 tot en met 17 speelde de behandeling van

het minteken een belangrijke rol. Deze opgaven stelden mij in staat om heel gericht te kijken naar welke fouten de leerlingen maken met het minteken en of deze fouten al dan niet losstaan van het feit dat het minteken in een breuk is opgenomen.

Opgave 11 behelst de toepassing van een specifieke techniek, namelijk het kruisproduct, dat veel geoefend is in jaar 3 en belangrijk bij het oplossen van vergelijkingen.

Bij opgaven 7 en 13 speelt het inzicht een rol dat ‘hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk’. Ik heb 11 van de 20 opgaven aangemerkt als minder vertrouwd (of geheel nieuw) voor de leerling. Deze opgaven zijn van belang bij de identificatie van conceptuele begrippen (Rittle-Johnson et al., 2001).

In de matrix zijn 4 van de 5 ‘big ideas’ van Bruin-Muurling opgenomen. Reïficatie is niet opgenomen omdat deze big idea binnen de opzet van dit onderzoek moeilijk te operationaliseren is, zoals hierboven al is opgemerkt.

Belangrijk voor het succes van het onderzoek was de inschatting of de opgaven al dan niet betrekkelijk nieuw waren voor de leerlingen. Alleen zo kan immers conceptueel begrip worden aangesproken. Ook de toewijzing van procedurele vaardigheden en big ideas aan de verschillende opgaven is belangrijk. Daarom heb ik de opgaven voorgelegd aan een collega met de vraag ze te maken en de matrix in te vullen. Ook de moeilijkheidsgraad van de opgaven is belangrijk. Ik heb daarom in een proefsessie de opgaven voorgelegd aan een leerling.

17

5.3.2 De videosessies

Op basis van de proefsessie is voor deze videosessies een protocol gemaakt. Dit protocol is bovendien opgesteld volgens 10 richtlijnen die Goldin (2000) geeft voor onderzoek middels taak gebaseerde interviews. Ik verwijs naar bijlage 3 voor een uitgebreide beschrijving en verantwoording van dit protocol aan de hand van deze 10 kwaliteitscriteria. Hieronder beschrijf ik kort de opzet van de sessies.

De leerlingen werkten gedurende 90 tot ongeveer 120 minuten aan 20 opgaven met breuken. Dit werd op video vastgelegd. De camera zoemde in op het opgavenblad . Bij de sessies was de proefleider aanwezig. De proefleider gaf een korte uitleg. Daarna overhandigde hij de opgaven en vroeg hij de leerling om ze eerst rustig allemaal door te nemen en aan te tekenen welke vragen hij als makkelijk inschatte en welke als moeilijk. Daarna begon de leerling met het maken van de opgaven. Per ongeveer drie opgaven keek de proefleider samen met de leerling terug naar het werk en vroeg hij de leerling om een toelichting. Ook moedigde de proefleider de leerling, als deze niet verder kwam, aan om te verwoorden wat zijn twijfel was of waar volgens de leerling de moeilijkheden lagen. In het algemeen waren de interrupties van de proefleider erop gericht om de leerling aan te moedigen inzicht te verschaffen in zijn denkproces met betrekking tot de opgaven. De proefleider gaf in eerste instantie geen enkele hint. In het tweede deel van de sessie echter, wanneer de leerling alle opgaven gemaakt had, nam de proefleider samen met de leerling de opgaven nog eens door en besprak de

moeilijkheden en de gekozen aanpak met de leerling. Doel was hier om zoveel mogelijk aanvullende informatie te verkrijgen over (belemmeringen in ) procedurele vaardigheden en conceptueel begrip bij de leerling. In deze fase van de sessie kon het nuttig zijn om de leerling bijvoorbeeld een alternatieve strategie voor te leggen, of een aanwijzing te geven die de leerling in staat stelde om (alsnog) tot een oplossing te komen.

Naar aanleiding van de proefsessie (zie 5.6) zijn twee van de oorspronkelijke 20 opgaven aangepast.

5.4 Analyse

Eerst werd van de sessies een transcriptie gemaakt. De analyse gebeurde op basis van de

videobeelden en de transcripties. De opgavenmatrix was bij de analyse een belangrijke leidraad. Per leerling werd vastgesteld welke van de onderscheiden procedurele vaardigheden, al dan niet correct, zijn toegepast (deelvraag 1.1). Conceptuele begrippen werden per leerling op basis van expliciete uitlatingen of, meer indirect, op grond van de door de leerling gekozen probleemaanpak

geïdentificeerd (deelvraag 1.3). Omdat, zoals we gezien hebben, deze begrippen elkaar deels overlappen viel een dergelijke identificatie niet geheel eenduidig te doen. Eventuele meerduidigheid werd in de analyse zo goed mogelijk benoemd. Op basis van deze eerste, inventariserende, analyse kon de onderlinge interactie tussen procedurele vaardigheden en tussen conceptuele begrippen worden vastgesteld (deelvragen 1.2 en 1.4). Ten slotte werd op basis van deze eerste analyse de samenhang tussen procedurele vaardigheden en conceptuele begrippen vastgelegd. Zo werd het mogelijk om een antwoord te geven op de hoofdvraag van dit onderzoek.

5.4.1 De interviews: opnamepraktijk en transcriptie

De zes interviews werden afgenomen in de periode van april tot begin juli 2013. Elk interview nam, zoals eerder al opgemerkt, tussen de anderhalf en twee uur in beslag. Vier leerlingen waren afkomstig uit de leerlingencluster aan wie ik in het schooljaar 2012 – 2013 zelf les gaf. De overige twee leerlingen waren afkomstig uit mijn mentorklas. Ik kende dus alle leerlingen. Hun motivatie om mee te doen aan het onderzoek bestond erin dat ze (verplichte) schoolstage-uren konden verdienen. Alle leerlingen hadden als eindcijfer in klas vier voor wiskunde A een ruime voldoende (Thomas 6,9; Suzanne 6,5; Misha 6,9; Storm 7,0; Rob 7,7; Nursen 7,1).

18

Het gehele interview werd met een videocamera opgenomen. Daarbij stond de camera gericht op het werkblad van de leerling. Zo kon ik naderhand nauwkeurig vaststellen wat de werkwijze van de leerling geweest was en hoe lang hij of zij over elke stap in de aanpak van de opgaven deed.

De transcriptie op basis van geluidsopnamen en beelden is nagenoeg volledig. Alleen incidenteel zijn korte passages weggelaten die op geen enkele wijze bijdroegen aan het inzicht in procedurele of conceptuele vaardigheid van de leerling.

De sessies vonden steeds op school plaats in een leeg klaslokaal.

5.4.2 Beschrijving en interpretatie per opgave en invullen van de matrix

Op basis van de transcriptie en onder incidenteel terugkijken van het videomateriaal is vervolgens per opgave, per leerling een beschrijving gegeven van hoe de leerling de opgave aanpakte. In deze beschrijving is de toelichting van de leerling op de eigen aanpak verwerkt. Op basis hiervan is,

eveneens per opgave en per leerling, een interpretatie en conclusie geschreven waarin de vertaalslag werd gemaakt naar de theorie die de basis vormt voor dit onderzoek.

Op basis van bovenstaande interpretaties per opgave is vervolgens een eerste overzicht van de onderzoeksresultaten gemaakt door invullen van de matrix in bijlage 2.1. In deze matrix is per leerling en per opgave te zien welke vaardigheid aan bod komt en of de leerling in de betreffende opgave al dan niet laat zien de vaardigheid ook te beheersen.

5.4.3 Profielschetsen

Dit proces van stapsgewijze analyse resulteerde onder meer in individuele profielschetsen van de leerlingen met betrekking tot de mate van beheersing op procedureel en op conceptueel niveau van de algebraïsche manipulatie van breuken. Deze profielschetsen staan hieronder in het hoofdstuk resultaten. In de profielschetsen is sprake van beheersing van een vaardigheid of van gedeeltelijke

beheersing. Soms spreek ik van beheersing op een basaal niveau. En uiteraard oordeel ik ook dat de

leerling een procedure of een concept niet beheerst. In deze oordelen probeer ik de resultaten van de gegevensanalyses per leerling samen te vatten. Om te kunnen spreken van beheersing is niet alleen nodig dat de leerling een procedure correct toepast, maar ook dat de procedure vlot en efficiënt wordt uitgevoerd. Waar het gaat om conceptueel begrip betekent beheersing hier dat de leerling in alle of in de meeste gevallen waar dit conceptuele begrip in de opgaven aan de orde was, dit begrip ook toont. Als de leerling een procedure correct uitvoert maar niet vlot en efficiënt, kan eventueel de frase

beheerst de procedure op basaal niveau worden gebruikt. Doorgaans wordt dan een kleine toelichting

gegeven.

5.6 Proefsessie

Op 14 februari heb ik een proefsessie gedaan. Hierbij was een collega aanwezig, Wim van der Hulst, die vergelijkbaar onderzoek gaat doen en graag wilde meekijken. In paragraaf 5.3.2 is al opgemerkt dat op basis van de hier opgedane ervaringen, en zeker ook onder gebruikmaking van de

opmerkingen van Wim, een interviewprotocol is gemaakt en twee vragen zijn aangepast. Het protocol is in de bijlage opgenomen. De veranderde opgaven zijn opgaven 13 en 19. Opgave 13 was

19

13. Schrijf in de vorm a <…… of a >……..

b

a

2

1 <

met a, b > 0 .

Deze opgave bleek te lastig voor de leerling, zozeer dat het ondoenlijk bleek de aanpak van de leerling op een zinnige wijze te analyseren. Hij werd vervangen door:

13. Los op:

4 :

3_t

=

1

Zonder inzicht in delen en vermenigvuldigen als inverse bewerkingen lijkt deze opgave moeilijk op te lossen en dat is precies de bedoeling.

Ook deze opgave bleek erg lastig:

19. Herleid:

b

b

a

b

a

2

÷

6

⋅

⋅

1

÷

⋅

3

Ook hier gaat het erom in te zien dat delen door a hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/a, de sleutel tot het herleiden van deze uitdrukking. De uitdrukking is onbekend voor leerlingen omdat vergelijkbare opgaven in de leermethodes al gelijk als breuk worden geschreven. Bij de leerling bleek tijdens de proefsessie dat hij niet begreep dat je de uitdrukking gewoon van links naar rechts kunt ‘lezen’. Hij begon haakjes te plaatsen en produceerde vervolgens een woest en zeer onjuist stuk algebra. De hoop is dat door de opgave iets te vereenvoudigen, of eigenlijk te verkorten, leerlingen minder in de wat raken. De aangepast opgave is:

20

6

Resultaten

In dit hoofdstuk zal ik puntsgewijs de resultaten van het onderzoek bespreken, na enige opmerkingen vooraf. Per leerling wordt in paragraaf 6.2 een profielschets gegeven van vaardigheden, zowel procedureel als conceptueel, op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken, en van lacunes in die vaardigheden. Samenhangen op individueel niveau worden besproken in paragraaf 6.3. Dan volgen de overige resultaten.

6.1 Enige opmerkingen vooraf

Al tijdens de interviews werd duidelijk dat de opgaven elf en twintig, om verschillende redenen die ik hieronder toelicht, voor dit onderzoek niet bruikbaar waren. De resultaten van deze opgaven zijn daarom bij de verdere gegevensanalyse buiten beschouwing gelaten. In de bijlagen zijn de resultaten van deze opgaven wel terug te vinden.

Opgave elf was bedoeld om na te gaan of leerlingen in staat waren de techniek van het kruisproduct toe te passen. Maar geen van de leerlingen bediende zich van deze techniek. De opgave kon ook anders worden opgelost en de leerlingen verkozen deze alternatieven. De leerlingen maakten daarbij gebruik van heel verschillende methoden die wel veel onthulden over hun algebraïsche vaardigheden in het algemeen, maar niet zozeer specifiek over algebraïsche vaardigheden bij het werken met breuken. Om die reden is opgave elf in de verdere analyse weggelaten.

Bij opgave twintig werd door alle leerlingen ‘het natuurkundedriehoekje’ erbij gehaald als ezelsbruggetje bij de vergelijking waar het in de opgave dan ook om draait: a = b/c. Alleen een

minteken compliceerde de opgave. Weliswaar liet het laatste onderdeel van deze opgave zich niet met behulp van dit ezelsbruggetje tot een goed einde brengen, maar de resultaten werden door inzet van het ezelsbruggetje moeilijk interpreteerbaar. Ook deze opgave is daarom in de verdere analyse weggelaten.

In de matrix per opgave die werd gebruikt voor een eerste overzicht van de resultaten (zie bijlage 2.1) zijn alle in hoofdstuk twee genoemde, aan Bruin-Muurling (2010) ontleende procedurele

vaardigheden opgenomen. Twee van deze vaardigheden zijn echter alleen relevant voor

rekenkundige opgaven, namelijk werken met een gebroken getal en werken met oneigenlijke breuken. De vaardigheden zijn in de verdere analyse daarom buiten beschouwing gelaten.

De vaardigheden toepassen van kruisproduct en links en rechts delen hingen nauw samen met opgave elf en zijn dus niet in de verdere analyse opgenomen.

Opgave zeven is wel in de verdere analyse opgenomen, ofschoon het hier om een rekenkundige opgave gaat. De opgave vraagt echter om een niet-rekenkundige aanpak. We vinden dit terug in de benadering van de leerlingen: vijf van de zes (en uiteindelijk alle zes) berekenen het antwoord niet, maar beredeneren het. Het is de enige opgave die het concept van relatieve vergelijking toetst. Daarom is de opgave toch in de analyse opgenomen.

6.1.1 Toelichting en verantwoording bij de tabellen gegevensanalyse per leerling.

Het hierboven beschreven proces van gegevensverwerking resulteert in zes tabellen

gegevensanalyse per leerling. Deze tabellen (genummerd 1 tot en met 6) zijn een belangrijk

hulpmiddel om per leerling vast te stellen over welke vaardigheden hij of zij beschikt en wat de eventuele samenhang is tussen die vaardigheden. Maar raadpleging van met name de

21

komen. Dit zal duidelijk worden bij de bespreking, per leerling, van de vaardigheden op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken waarover hij of zij beschikt of van de lacunes in deze vaardigheden.

Eerder is opgemerkt dat bij intercollegiale toetsing van het meetinstrument bleek dat het onderscheid tussen het concept delen als inverse van vermenigvuldigen en het concept equivalentie niet altijd gemakkelijk te maken was. Deze moeilijkheid lijkt inherent aan het feit dat de twee conceptuele aspecten zo nauw verweven zijn dat wiskundigen geneigd zijn te oordelen: het gaat om hetzelfde. Bij de gegevensanalyse is in dit onderzoek besloten om heel strikte criteria voor het onderscheid aan te houden. Ik zal dit duidelijk maken aan de hand van twee voorbeelden.

Suzanne werkt opgave achttien als volgt uit:

y

xy

x

y

x

x

⋅ =

=

We zien dat zij de factor x eerst in de noemer brengt, dan vereenvoudigt. Op grond van plaatsing van de factoren x in teller en noemer en het (impliciet) wegstrepen ervan wordt geoordeeld dat Suzanne het concept van equivalentie beheerst. Net als bij Bruin-Muurling (2010) wordt het concept van equivalentie dus geoperationaliseerd in opgaven en procedures die vereenvoudigen van breuken behelzen (Bruin-Muurling, 2010, p. 40).

Rob noteert het volgende:

y

x

y

x

⋅ =

Hij plaatst de vermenigvuldigingsfactor x niet in de teller, dus wordt zijn aanpak geduid in termen van het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen (Bruin-Muurling, 2010, p. 54,55) Hij komt tot het juiste antwoord, maar de toelichting die hij geeft is als volgt:

Rob: Ja…Ik had gewoon een getallenvoorbeeld genomen…stel je voor x is twee en y is één, krijg je

dus twee keer één tweede, en da’s één. Dus y. Ik dacht misschien is dat toevallig dus neem ik nog een andere…bijvoorbeeld x is drie en y is één…dan krijg ik drie keer een derde is ook één.

Int: Hmhm…

Rob: Dus ik dacht van…dan is het gewoon y.

Int: Dus je hebt met twee keer een getallenvoorbeeld gecheckt van uh…nou dat is wat eruit

komt…da’s de uitkomst…ja…Je nam trouwens wel in beide getallenvoorbeelden één voor y, klopt dat?

Rob: Ja…

Int: En als je iets anders neemt voor y?

Rob: Uh…Nou bijvoorbeeld x is drie en y is twee…da’s drie keer twee derde da’s twee… Int: Ja…Dus dan lukt het ook?

Rob: Dan klopt het ook.

Overwegende dat uit de toelichting van Rob geen inzicht blijkt maar dat hij niettemin tot het goede antwoord komt wordt geconcludeerd dat het concept delen als inverse van vermenigvuldigen wellicht onvoldoende ontwikkeld is. In tabel 2 hieronder bij Rob verschijnt een 2 voor twijfelachtig bij opgave achttien in de rij inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen.

22

Bij het omzetten van een variabele of een getal in getalnotatie naar breuknotatie wordt het concept van gehele getallen naar rationale getallen (van ℤ naar ℚ , c2 in de tabellen 1 t/m 6) ingezet. Als de geïntroduceerde breuk een andere factor dan 1 in de noemer heeft beschouw ik dit tevens als een blijk van conceptuele beheersing van het begrip equivalentie. Dit is aan de orde in de opgaven twaalf en veertien.

In de tabellen 1 tot en met 6 hieronder vinden we een kolom getiteld uitvoering vlot en efficiënt. Voor de beoordeling op dit aspect spelen een aantal criteria een rol. Ten eerste de tijd die een leerling aan een opgave besteedt. In het voorbeeld hierboven besteedt Rob ruim een minuut aan de opgave. Ter vergelijking: Misha besteedt negen seconden aan de opgave, Storm ruim een halve minuut. Die halve minuut is als werktijd voor deze opgave wellicht lang. Wellicht leidt niet tot een negatief oordeel. Ruim een minuut is zeker lang dus de uitvoering wordt beoordeeld als niet vlot en efficiënt. In de tabel (tabel 4) verschijnt een 0.

Een ander criterium is het vermijden van onnodige tussenstappen. Een voorbeeld is opgave 10:

Schrijf als één breuk:

a

2

ab

−

b

Meteen vereenvoudigen levert de meest eenvoudige procedure op. Ziet de leerling dit over het hoofd dan is vermenigvuldigen van de tweede breuk met de factor a in teller en noemer voldoende om de breuken gelijknamig te maken. Leerlingen doen geen van beide: de uitvoering is niet vlot en efficiënt. Overigens wordt de uitwerking van de opgave ook geanalyseerd na het gelijknamig maken van de breuken. Het kan zijn dat de verdere uitwerking onberispelijk is. Dan vinden we in de tabel bij opgave 10 bij de procedurele vaardigheid aftrekken van twee gelijknamige breuken bij deze leerling een vlotte en efficiënte uitvoering.

Een volgend criterium is de toelichting die de leerling geeft. In het voorbeeld hierboven kiest Rob getallenvoorbeelden. Dit is op zichzelf misschien al niet een vlotte en efficiënte aanpak. Maar hij kiest voor y het getal één als voorbeeld en dit is een ongelukkige keuze.

Het laatste criterium ten slotte is het feit of de leerling al dan niet een kleine hint heeft (moeten) krijgen van de interviewer. Is dit het geval, dan wordt de aanpak geanalyseerd als niet vlot en efficiënt. Het spreekt vanzelf dat als een belangrijke hint nodig was de hele procedure als niet correct wordt beoordeeld. De leerling was dan niet in staat om zelf een correcte aanpak te ontwikkelen. In de tabellen (1 t/m 6) vinden we niet bij elke leerling bij een gegeven vaardigheid, bijvoorbeeld aftrekken van gelijknamige breuken, dezelfde opgaven vermeld. Dit is het gevolg van verschillen in uitwerking bij leerlingen. Een voorbeeld is opgave 14:

Schrijf als één breuk:

p

2

1

p

+

−

+

Suzanne schrijft het getal 1 als p/p en gaat verder met de aftrekking van twee gelijknamige breuken. We vinden dus opgave 14 vermeld bij aftrekken van twee gelijknamige breuken in de tabel

gegevensanalyse van Suzanne (tabel 1). Nursen komt niet tot die stap. We vinden opgave 14 niet vermeld in de tabel gegevensanalyse van Nursen (tabel 3) bij aftrekken van twee gelijknamige

23

6.2 Resultaten per leerling

Ik benadruk nog eens dat het in deze paragraaf in principe om de algebraïsche vaardigheden van de leerlingen gaat. Ik vermeld dat niet steeds om onnodige woordherhaling te voorkomen.

In de profielschetsen (ik herhaal hier de toelichting die in paragraaf 5.4.3 al eens is gegeven) is sprake van beheersing van een vaardigheid of van gedeeltelijke beheersing. Soms spreek ik van beheersing

op een basaal niveau. En uiteraard oordeel ik ook dat de leerling een procedure of een concept niet beheerst.. In deze oordelen probeer ik de resultaten van de gegevensanalyses per leerling samen te

vatten. Om te kunnen spreken van beheersing is niet alleen nodig dat de leerling een procedure correct toepast, maar ook dat de procedure vlot en efficiënt wordt uitgevoerd. Waar het gaat om conceptueel begrip betekent beheersing hier dat de leerling in alle of in de meeste gevallen waar dit conceptuele begrip in de opgaven aan de orde was, dit begrip ook toont. Als de leerling een procedure correct uitvoert maar niet vlot en efficiënt, kan eventueel de frase beheerst de procedure op basaal

niveau worden gebruikt. Doorgaans wordt dan een kleine toelichting gegeven.

Tabel 1

Gegevensanalyse voor Suzanne

Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure

Uitvoering vlot/ efficiënt p1 Optellen van gelijknamige breuken 9 1 1 p2 Optellen van ongelijknamige breuken 9, 12 1, 2 1, 0 p3 Aftrekken van gelijknamige breuken 10, 14, 16 1, 0, 1 0, 0, 1 p4 Aftrekken van ongelijknamige breuken 10 1 0 p5 Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken 19 0 0 p6 Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken 19 0 0 p7 Vereenvoudigen van breuken 10, 14, 15, 19 0, 0, 0, 2 0, 0, 0, 2 p8 Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie 12, 14, 17, 18 1, 1, 1, 1 0, 1, 1, 1

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 Relatieve vergelijking 7 1 c2 Van ℤ naar ℚ 12,14 1, 1 c3 Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen 13 2 c4 Equivalentie

8, 10, 12, 14, 15,

18, 19 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Suzanne beheerst de procedures voor optellen van gelijknamige en van ongelijknamige breuken op een basaal niveau.

Datzelfde geldt voor het aftrekken van gelijknamige algebraïsche breuken. Als de algebraïsche uitdrukking iets ingewikkelder is (bijvoorbeeld meer termen in de teller) of afwijkt van wat gebruikelijk is (de opgave geeft eerst een negatieve algebraïsche breuk, dan een positieve breuk) wordt het

minteken niet goed verwerkt. Verder moet worden opgemerkt dat zij tussentijdse vereenvoudigingen nalaat wat de procedure onnodig compliceert. Dit punt komt verder aan bod bij vereenvoudigen van

breuken.

Suzanne beheerst de procedure voor het aftrekken van ongelijknamige breuken op een basaal niveau. Zij maakt gelijknamig en behandelt het minteken correct. Echter, de procedure wordt niet vlot en efficiënt uitgevoerd, onder meer omdat zij niet kiest voor het kleinste gemene veelvoud. Bij het vereenvoudigen maakt zij grote fouten.

24

Suzanne beheerst de procedure voor het vermenigvuldigen van (gelijknamige en ongelijknamige) algebraïsche breuken niet. Zij volgt min of meer de procedure voor het optellen van breuken en maakt dus eerst gelijknamig. Dan vermenigvuldigt zij tellers maar de noemers niet. Overigens liet ze eerder zien, bij de rekenkundige opgaven, dat ze de procedure weliswaar niet paraat had maar kon

reconstrueren op basis van een getallenvoorbeeld.

Suzanne beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van algebraïsche breuken niet. Zij verzuimt eenvoudige algebraïsche breuken als a/(ab) te vereenvoudigen. Bij breuken met meer termen in de noemer of teller streept ze afzonderlijke termen in teller en noemer tegen elkaar weg in plaats van factoren weg te strepen. Ook bij eenvoudige breuken met getallen ziet zij gelegenheden om te vereenvoudigen snel over het hoofd.

Suzanne beheerst de procedure voor het werken met algebraïsche breuken in combinatie met een geheel getalnotatie. Bij opgave twaalf gaat het weliswaar mis, maar zij past in eerste instantie de juiste procedure toe en herschrijft 1_x

+

x

als

2

1 x

x

+

x . Zij verwerpt echter dit resultaat en staakt haar poging. Ik concludeer dat de procedure juist is en dat de lacune conceptueel van aard is.

Suzanne beheerst het concept van de breuk als relatieve vergelijking.

Suzanne toont in verschillende voorbeelden dat ze inziet dat een geheel getal(notatie) kan worden omgezet in een breuknotatie. Bij opgave twaalf echter (zie hierboven) zien we dat het misgaat. Ze begrijpt dat

x

=

₁x maar ze verwerpt ₁x

=

x_x2. Ik heb dit opgevat als een lacune in het concept van equivalentie.

Suzanne laat niet overtuigend zien dat zij inzicht heeft in het concept delen als inverse van

vermenigvuldigen. Zij maakt weliswaar een aantal keer gebruik van de regel dat delen door een getal

hetzelfde is als vermenigvuldigen met ‘het omgekeerde getal’ (bedoeld wordt het inverse getal onder de bewerking vermenigvuldigen). Dit doet ze in opgaven zes en zeven. Het lijkt erop dat zij bij opgaven die vertrouwd zijn of die niet algebraïsch zijn de regel weet toe te passen maar dat zij dit bij minder vertrouwde, algebraïsche opgaven zoals opgave dertien niet doet.

25

Tabel 2

Gegevensanalyse voor Rob

Opgaven die een rol spelen

Correcte

procedure _Uitvoering vlot/ efficiënt p1 Optellen van gelijknamige breuken _ _ _ p2 Optellen van ongelijknamige breuken 9 0 0 p3 Aftrekken van gelijknamige breuken 16 1 1 p4 Aftrekken van ongelijknamige breuken 10 0 0 p5 Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken _ _ _ p6 Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken 19 1 1 p7 Vereenvoudigen van breuken 10, 15, 19 0, 0, 0 0, 0, 0 p8 Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie 12, 14, 17, 18 0, 0, 1, 1 0, 0, 1, 0

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 Relatieve vergelijking 7 1 c2 Van ℤ naar ℚ 12,14 0, 0 c3 Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen 13, 18, 19 0, 2, 0 c4 Equivalentie 8, 10, 11, 13, 15, 19 2, 0, 2, 0, 0, 0

0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Op grond van de aanpak bij opgave zestien concludeer ik dat Rob de procedure voor het optellen van twee algebraïsche breuken beheerst. Bij de opgaven negen, twaalf en veertien komt de procedure niet aan bod omdat Rob er niet in slaagt de breuken gelijknamig te maken. Ook de procedure voor het aftrekken van gelijknamige breuken beheerst Rob. Maar optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken gaat bij Rob fout, en dit ondanks voorafgaande analoge rekenkundige voorbeelden. Op grond van de gegevens kan niet worden geconcludeerd of Rob al dan niet de procedure voor het vermenigvuldigen van gelijknamige breuken beheerst. Maar het vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken verloopt goed.

Rob beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van breuken niet. In het rekenkundige deel gaat het wel goed, maar een gemakkelijk te vereenvoudigen breuk als a/(ab) wordt toch niet

vereenvoudigd. In opgave vijftien worden bij een breuk met meertermige teller en noemer teller en noemer niet gedeeld maar van elkaar afgetrokken.

In het algemeen beheerst Rob de procedure voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie niet. Hierbij kan worden opgemerkt dat bij optellen en aftrekken Rob niet de juiste procedure toepast, bij vermenigvuldigen echter wel, ook als sprake is van meer complexe algebraïsche breuken. Rob beheerst het concept van de breuk als relatieve vergelijking.

Rob toont op algebraïsch niveau geen inzicht in de relatie tussen gehele getallen en rationale getallen. Het is meteen al frappant dat Rob het opnemen van het gehele getal in de breuk bij opgave vier (in het rekenkundig deel) nalaat. Zijn aanpak bij deze opgave is verder correct, maar zeer omslachtig. In het algebraïsche deel schrijft hij in geen enkel geval een geheel getalnotatie om naar een

breuknotatie. Dit leidt bij optellingen tot een verkeerde aanpak.

Rob beheerst het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen niet. Bij opgave achttien komt hij weliswaar tot de juiste eindconclusie, maar in de toelichting ontbreekt elke verwijzing naar het feit dat de twee factoren x tegen elkaar wegvallen. De analogie met opgave vijf, die Rob niet correct oploste, wordt bovendien niet opgemerkt.

26

Tabel 3

Gegevensanalyse voor Nursen

Opgaven die een rol spelen

Correcte

procedure Uitvoering vlot/ efficiënt

p1 Optellen van gelijknamige breuken _ _ _ p2 Optellen van ongelijknamige breuken 9 0 0 p3 Aftrekken van gelijknamige breuken 16 0 0 p4 Aftrekken van ongelijknamige breuken 10 0 0 p5 Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken _ _ _ p6 Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken _ _ _ p7 Vereenvoudigen van breuken 10, 14, 15, 18 0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 1 p8 Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie 10, 12, 17, 18 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 Relatieve vergelijking 7 1

c2 Van ℤ naar ℚ _ _

c3 Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen 13, 19 2, 2 c4 Equivalentie 8, 10, 14, 15, 18 2, 0, 0, 0, 1

0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Nursen gaf bij aanvang van de sessie meteen aan dat ze heel slecht is in breuken. Die voorspelling bleek juist. Ze bracht slechts twee van de dertien algebraïsche opgaven tot een goed einde. De grote lacunes in haar vaardigheden zorgden ervoor dat stappen in de uitwerking achterwege bleven waardoor weer andere vaardigheden domweg niet aan bod kwamen.

Op grond van de aanpak bij opgave zestien concludeer ik dat Nursen de procedure voor het optellen van twee algebraïsche breuken beheerst. Zij rondt opgave zestien weliswaar niet goed af maar dat is uitsluitend te wijten aan de behandeling van het minteken. Bij de opgaven negen, twaalf en veertien komt de procedure helaas niet aan bod omdat Nursen er niet in slaagt de breuken gelijknamig te maken.

Nursen beheerst de procedures voor het optellen en aftrekken van twee ongelijknamige breuken niet. het aftrekken van twee gelijknamige breuken laat Nursen alleen zien in opgave zestien, waarbij een breuk met meertermige teller een rol speelt. De fout die ze maakt komt neer op het niet goed

overbrengen van het minteken op een tweetermige teller. Plaatsing van het minteken in de teller doet Nursen goed. Ik concludeer dat Nursen het aftrekken van twee gelijknamige breuken op een basaal algebraïsch niveau beheerst, maar dat het overbrengen van het minteken op een meertermige teller verkeerd wordt uitgevoerd.

Ik concludeer op grond van het rekenkundig deel van de opgaven dat Nursen (ook) de procedure voor het algebraïsch vermenigvuldigen van breuken niet beheerst.

De procedures voor het vereenvoudigen van breuken en voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie beheerst Nursen niet.

Nursen toont beheersing op conceptueel niveau van de breuk als relatieve vergelijking. Nursen laat niet zien dat zij het concept van gehele getallen naar rationale getallen beheerst. Het is onzeker of Nursen een goed inzicht heeft in de inverse relatie van delen en vermenigvuldigen. Bij opgave 19 bijvoorbeeld ziet ze dat in

2 ₃

6

a

27

De factoren b wegvallen. Maar zij weet de uitdrukking

2 ₃

6

a

a

÷ ⋅

niet verder te vereenvoudigen, al vermoedt ze dat het zou moeten kunnen.

28

Tabel 4

Gegevensanalyse voor Storm

Opgaven die een rol spelen

Correcte

procedure _Uitvoering vlot/ efficiënt p1 Optellen van gelijknamige breuken 7, 9, 12 1, 1, 1 1, 1, 0 p2 Optellen van ongelijknamige breuken 7, 9, 12 1, 1 ,1 1, 1, 0 p3 Aftrekken van gelijknamige breuken 10, 14, 16 1, 1, 1 1, 1, 1 p4 Aftrekken van ongelijknamige breuken 10 1 0 p5 Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken _ _ _ p6 Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken 17,18, 19 1, 1, 1 1, 1, 0 p7 Vereenvoudigen van breuken 10, 12, 15, 18, 19 1, 0, 0, 1, 2 0, 0, 0, 1, 0 p8 Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie 13, 14, 17, 18 1, 1, 2, 1 1, 1, 0, 1

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 Relatieve vergelijking 7 1 c2 Van ℤ naar ℚ 12, 14, 17, 18 1, 1, 1, 1 c3 Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen 13, 18, 19 0, 2, 2 c4 Equivalentie 8, 10, 12, 14, 15,

18, 19 2, 1, 2, 1, 0, 1, 2 0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Storm beheerst de procedures voor het optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Maar bij opgave tien, het aftrekken van twee ongelijknamige breuken, kiest hij niet voor het kleinste gemeenschappelijk veelvoud, wat de procedure compliceert. Ook een aanvankelijke

vereenvoudiging wordt niet uitgevoerd.

Ik concludeer op grond van het rekenkundig deel dat Storm de procedure voor het vermenigvuldigen van twee gelijknamige breuken beheerst. Hij beheerst ook de procedure voor het vermenigvuldigen van twee ongelijknamige breuken. Bij de opgaven zeventien en achttien kan worden opgemerkt dat het bij één van de te vermenigvuldigen breuken gaat om een breuk met een één in de noemer, wat geen ‘mooie’ voorbeelden zijn van de vermenigvuldiging van twee ongelijknamige breuken. Opgave negentien vormt echter wel een goed voorbeeld. Hier maakt Storm kleine rekenfouten en verzuimt hij een vereenvoudiging. Kleine slordigheden spelen Storm in alle opgaven parten en lijken een

algemene trek in zijn wiskundige werk. Hij merkt dit zelf op.

Storm beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van algebraïsche breuken alleen op het meest basale niveau. Bij breuken met meertermen in teller of noemer volgt hij niet de juiste procedure. Ook ziet hij vereenvoudigingen die de opgave aanzienlijk vergemakkelijken over het hoofd.

Storm beheerst de procedure voor het werken met opgaven met geheel getalnotatie en breuknotatie. Ook bij de vermenigvuldiging van een breuk met een variabele in geheel getalnotatie kiest hij ervoor de variabele als breuk met noemer één te schrijven.

Storm toont inzicht in het concept van de breuk als relatieve vergelijking.

Storm toont inzicht in het concept van Gehele getallen naar rationale getallen. Hij laat onder meer (functioneel) de volgende herschrijvingen zien:

2

1

1

x

p

x

x

x

x

p

=

=

=

Storm lijkt het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen niet volledig te beheersen. Bij opgave achttien bijvoorbeeld is zijn uitwerking als volgt:

29

Hij ziet wel degelijk dat hij de uitkomst ook in één keer had kunnen opschrijven. Hij ziet ook de analogie met opgave vijf ( 13 * 7/13). Juist in die opgave kwam naar voren dat Storm niet goed kan uitleggen waarom de rekenregel werkt en twijfelt hij ook of zijn aanpak juist is. De tussenstap die we hem hier zien doen geeft hem wel meer vertrouwen dat zijn aanpak goed is.

De tabel laat zien dat het niet gemakkelijk is te beslissen of Storm het concept van equivalentie nu wel of niet beheerst. Beheersing van het concept zou de leerling in staat moeten stellen om ook in meer onbekende en complexere opgaven tot een juiste manier van vereenvoudigen te komen. Opgave tien is hiervan een voorbeeld: het is een type opgave dat Storm niet ziet als gemakkelijk op te lossen, maar hij weet tot een goed antwoord met correcte vereenvoudigingen te komen. Vlot echter gaat het niet. Bij opgave vijftien gaat het helemaal fout. Bij opgave achttien, we zagen het hierboven, wordt een correcte vereenvoudiging gedaan maar toegepast op stap twee in de uitwerking is die

vereenvoudiging routinematig. In opgave negentien laat Storm de breuk (9ab)/6 na een voorgaande correcte vereenvoudiging als eindantwoord staan.

30

Tabel 5

Gegevensanalyse voor Thomas

Opgaven die een rol spelen

Correcte

procedure _Uitvoering vlot/ efficiënt p1 Optellen van gelijknamige breuken 9, 12, 14 1, 1, 1 1, 1, 1 p2 Optellen van ongelijknamige breuken 9 1 1 p3 Aftrekken van gelijknamige breuken 10, 14, 16 1, 2, 2 1, 0, 0 p4 Aftrekken van ongelijknamige breuken 10 1 0 p5 Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken _ _ _ p6 Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken _ _ _ p7 Vereenvoudigen van breuken 10, 14, 15, 18 0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1 p8 Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie 12, 14, 17, 18, 19 0, 1, 1, 1, 0 0, 1, 1, 1, 0

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 Relatieve vergelijking 7, 13 1, 1 c2 Van ℤ naar ℚ 12, 14 0, 1 c3 Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen 13, 18, 19 2, 1, 0 c4 Equivalentie 8, 10, 12, 14, 15, 19 2, 0, 0, 1, 0, 0

0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Thomas beheerst de procedures voor optellen en afrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Wel moet worden opgemerkt dat Thomas bij het gelijknamig maken van breuken niet kiest voor het kleinste gemeenschappelijke veelvoud, hetgeen de procedure compliceert. Verder maakt hij bij het overbrengen van het minteken op een meertermige teller fouten.

In het rekenkundige deel van de opgaven laat Thomas zien dat hij niet weet hoe hij breuken moet vermenigvuldigen.

Thomas beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van breuken niet. Heel basale

vereenvoudigingen doet hij weliswaar goed ((xy)/x), maar (ab)/(ab^2) laat hij als eindantwoord staan en opgave vijftien met meertermige teller en noemer gaat helemaal fout.

Thomas beheerst de procedure voor het vermenigvuldigen van een geheel getalnotatie met een breuknotatie. Hij weet dat hij het gehele getal alleen met de teller van de breuk moet

vermenigvuldigen. Uit de toelichting van Thomas wordt duidelijk dat hij dit voorafgaande aan de sessie misschien niet meer wist, maar dat hij deze ontdekking opnieuw heeft gedaan in het rekenkundige deel. De procedure voor het optellen van een variabele in geheel getalnotatie en een breuk beheerst hij niet. Hij slaagt er wel in om het getal één bij een complexe algebraïsche breuk op te tellen. Thomas beheerst het concept van een breuk als relatieve vergelijking.

Het concept van gehele getallen naar rationale getallen beheerst Thomas niet. Hij weet dat hij het getal één kan schrijven als het quotiënt van twee keer dezelfde variabele, maar niet hoe hij een losse variabele kan schrijven als breuk.

Thomas toont geen beheersing van het concept delen als inverse van vermenigvuldigen. In verband met een heel elementaire opgave (x * y/x) toont hij dit inzicht overigens wel en verwoordt het ook goed. Een voorgaande rekenkundige opgave ( 13 * 7/13) ondersteunt hem bij dit inzicht. Bij andere, wat minder bekende opgaven weet hij het inzicht niet of niet goed genoeg in te zetten.