Het concept van equivalentie, het vereenvoudigen van breuken en het omgekeerde

Het concept van equivalentie impliceert dat elk rationaal getal op oneindig veel manieren kan worden geschreven. Er is een eenvoudigste schrijfwijze, namelijk als teller en noemer geen delers gemeen hebben. De breuk is dan vereenvoudigd. Anderzijds is het altijd mogelijk twee rationale getallen gelijknamig te maken. Met de beheersing van deze twee vaardigheden, het gelijknamig maken van breuken (deze vaardigheid is niet apart benoemd in dit onderzoek maar maakt onder andere deel uit van de vaardigheid optellen van ongelijknamige breuken) en het vereenvoudigen van breuken, in relatief onbekende algebraïsche opgaven toont de leerling dat hij het concept (al dan niet) beheerst. Het concept van equivalentie speelt in veel opgaven een rol.

Het onderzoek laat zien dat twee van de leerlingen het concept in elk geval ten dele beheersen. Vier leerlingen beheersen het concept niet.

35

In opgave tien zien vijf van de zes leerlingen een simpele vereenvoudiging, die de opgave aanzienlijk makkelijker maakt (de twee breuken worden dan immers gelijknamig) over het hoofd. Ook bij de toelichting ziet geen van deze leerlingen de mogelijkheid tot vereenvoudigen. De enige die wel vereenvoudigt, Nursen, doet dit verkeerd. Uiteindelijk heeft één leerling de opgave helemaal goed. Verkeerde vereenvoudigingen, en in één geval een ontbrekende eindvereenvoudiging, zijn hier (mede) oorzaak van.

Bij opgave vijftien, waarbij een tweeterm in teller en noemer tegen elkaar kunnen worden weggestreept, doen alle leerlingen foutieve vereenvoudigingen. De meest gemaakte fout is het wegstrepen in teller en noemer van afzonderlijke termen. Rob komt het dichtst bij een goed antwoord maar hij trekt uiteindelijk noemer van teller af in plaats van ze te delen, net als Misha. (Aftrekken in plaats van delen zien we ook bij Suzanne. Deze intrigerende fout zal ik straks nog eens apart bespreken).

Rob: Uh…alleen…zo kan je het opschrijven, alleen…ik zag wel meteen dat uh…dit (wijst naar noemer

in voorlaatste stap) de helft is van dit (wijst nu naar teller)…

Interviewer: Ja.. Rob: Dus uh…van de

Interviewer: Dan wijs je naar de min twee b en die min b? Rob: Van deze hele term

Interviewer: O de hele term, oke, ja… Rob: De helft van dit…

Interviewer: Ja…

Rob: Dus…had ik ook…dus…ja, ik had ook het antwoord twee kunnen opschrijven. Is hetzelfde alleen

dan valt die a weg…

Interviewer: Maar twee is niet hetzelfde als drie a kwadraat min b. Dus wat is nou goed?

Rob: Ja dat weet ik niet (lacht) maar…Ja ik dacht van ik zal die a er wel in moeten houden dus heb ik

het zo gedaan…

Beheersing van het concept van equivalentie blijkt ook wanneer de leerling juist het tegengestelde moet doen van vereenvoudigen. Dit is het geval bij de opgaven twaalf en veertien. Bij opgave twaalf moet de variabele x worden herschreven als x^2/ x om tot een goede eindoplossing te komen. De opgave wordt door geen enkele leerling goed gemaakt, zij het dat Storm de juiste oplossing laat zien die hij echter in de toelichting foutief vereenvoudigt. Suzanne schrijft in een tussenstap 1/x + x^2/x maar verwerpt dit:

Suzanne: Dus toen stopte ik maar toen dacht ik, o nee wacht want als ik dit keer dat ga doen, dit keer

dat ga doen dan wordt het wel anders want dan wordt het x tot de tweede plus…en dan x keer één is (mompelt iets)…toen kwam ik uit op dit maar toen dacht ik het kan nooit dat dit gelijk is aan dit (wijst naar beide leden van de vergelijking in regel drie van de uitwerking). Want hoe kan je in één keer tot de tweede erbij verzinnen? Dat kan niet. Toen klopte het niet meer. En toen snapte ik er helemaal niks meer van.

Bij opgave veertien gaat het om het herschrijven van het getal één als p/p. Drie leerlingen doen dit goed. Twee leerlingen doen dit niet goed. Misha komt met getallenvoorbeelden tot het juiste inzicht maar schrijft de uitdrukking p/p niet op. Het lijkt erop dat gebrek aan inzicht in equivalentie hier voor Misha niet het probleem is waardoor hij zo lang over de opgave doet. Het is het herschrijven zelf van het getal één als algebraïsche breuk dat hij lastig vindt en dat hij als het ware ontdekt als uitkomst van een lastige puzzel.

Als Misha vier minuten aan de opgave werkt vraagt de interviewer om uitleg. Misha legt uit dat hij nog bezig is. Hij zegt:

36

Misha: Bijvoorbeeld een mogelijk antwoord [proberen, RW] en dan kijken of het overeen komt. Ik ga

nu bijvoorbeeld die één onderaan zetten. (schrijft regel vier). En dan kijk ik gewoon of ik op hetzelfde antwoord uitkom als hier (wijst naar antwoord regel twee)…Dat blijkt niet het geval.

Na nog een kleine twee minuten van nadenken schrijft Misha zijn eindantwoord op. Hij legt uit: Ja, en toen heb ik eigenlijk bedacht steeds van eh, in mijn hoofd heb ik dit gezien

(omcirkelt de eerste breuk in regel twee van de uitwerking) als min vier tweede, en daar kwam dus steeds twee tweede bij. Of hier in dit geval (wijst naar regel eronder) dus drie derde. Maar omdat het negatief is doe ik eigenlijk p…Ik heb hier (wijst naar regel één van

uitwerking) eigenlijk min p bijgezet en dat valt dan eigenlijk tegen elkaar weg. En dan heb ik

hier dus twee gedeeld door p (wijst twee aan in teller en p in de noemer). Min twee gedeeld door p, die min kan je ook daar neerzetten. En dat heb ik toen vervolgens gecheckt met deze twee getallenvoorbeelden en dat klopte inderdaad.

Kortom, bij opgave veertien lijken vier van de leerlingen het concept equivalentie te beheersen. Het gaat dan om het als een breuk schrijven van het getal 1. Opgave twaalf, die uitdagender is (het als een breuk schrijven van de letter x) laat zien dat het concept equivalentie toch niet wordt beheerst.