Uniforme Integreerbaarheid en de Stelling van
Dunford-Pettis
Brian M¨
ollenkamp
27 juli 2017
Bachelorproject Begeleiding: dr. B.J.K. KleijnKorteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In deze scriptie behandelen we eigenschappen en stellingen over allereerst uniforme in-tegreerbaarheid en later over de zwakke topologie en de zwak-ster topologie. Deze topo-logi¨een zijn beide niet metrizeerbaar voor oneindig-dimensionale ruimten. We formuleren en bewijzen de stellingen van Banach-Alaoglu en Lebesgue-Vitali met als einddoel om hiermee de stelling van Dunford-Pettis te bewijzen. Deze stelling zegt dat een verzame-ling K ⊂ L1(P ) uniform integreerbaar is dan en slechts dan als deze verzameling relatief
zwak compact is. Deze stelling vormt samen met de stelling van Eberlein-ˇSmulian een enorm krachtig resultaat binnen de functionaalanalyse.
Titel: Uniforme Integreerbaarheid en de Stelling van Dunford-Pettis Auteur: Brian M¨ollenkamp, 10778101
Begeleiding: dr. B.J.K. Kleijn
Tweede beoordelaar: prof. dr. J.J.O.O. Wiegerinck Einddatum: 27 juli 2017
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4
2 Uniforme Integreerbaarheid 6
2.1 Inleiding . . . 6
2.2 Uniforme Integreerbaarheid . . . 7
2.3 Stelling van De la Vall´ee Poussin . . . 9
3 Zwakke Topologie¨en op L1(P ) 13 3.1 Zwak en zwak-ster topologie¨en . . . 13
3.2 Stelling van Tychonoff . . . 15
3.3 Stelling van Banach-Alaoglu . . . 17
3.4 Stelling van Eberlein-ˇSmulian . . . 18
3.5 Stelling van Lebesgue-Vitali . . . 18 4 De Stelling van Dunford-Pettis 21
5 Conclusie 23
6 Populaire Samenvatting 24
1 Inleiding
Vele deskundigen zien de Poolse wiskundige Stefan Banach (1892-1945) als de grondleg-ger van de functionaalanalyse. De stelling van Hahn-Banach, de stelling van Banach-Steinhaus en het hele begrip van een Banachruimte zijn voorbeelden van fundamentele stellingen en begrippen van onder andere zijn hand. We mogen het belang van zijn collega Hans Hahn in dit geheel ook niet ongenoemd laten. Deze twee wiskundigen en nog enkele anderen hebben hiermee de basis gelegd voor de huidige functionaalanalyse en daarmee ook voor de functionaalanalytische kant van deze scriptie.
Van de maattheoretische kant van deze scriptie is vooral de Franse wiskundige Henri Lebesgue (1875-1941) de grondlegger. In zijn werk Int´egrale, longueur, aire: ”Integraal, lengte, oppervlak”, afkomstig uit 1902, heeft Lebesgue de integraalrekening nauwkeurig opgebouwd. In deze scriptie pluk ik daar ook de vruchten van. Tevens heeft de Frans-man samen met de Italiaan Giuseppe Vitali een stelling geformuleerd en bewezen die van essenti¨ele waarde is in deze scriptie. Deze komen we aan het einde van het derde hoofdstuk tegen.
´
E´en van de eerste wiskundigen die serieus over uniforme integreerbaarheid na begon te denken was de Belgische wiskundige Charles-Jean de la Vall´ee Poussin (1866-1962). Hij hield zich in de periode van 1912 tot en met 1916 hoofdzakelijk bezig met Lebesgue-integratie en infinitesimaalrekening en formuleerde in deze periode zijn stelling omtrent uniforme integreerbaarheid die in het tweede hoofdstuk van deze scriptie aan bod zal komen. Het meest bekende werk van De la Vall´ee Poussin is echter zijn priemgetalstel-ling uit 1896.
Ruim 20 jaar later kwamen de hoofdrolspelers van dit hele verhaal in beeld. Dit zijn de Amerikaanse wiskundigen Nelson Dunford (1906-1986) en Billy James Pettis (1913-1979). Vele jaren hebben deze twee functionaalanalytici samengewerkt. Zij bedachten in de jaren dertig van de vorige eeuw hun stelling van Dunford-Pettis, de hoofdstelling van deze scriptie. Deze legt een link tussen uniforme integreerbaarheid en compactheid in de zwakke topologie. In het het vierde hoofdstuk zullen we hier uitgebreid op ingaan.
De echter kracht van de stelling van Dunford-Pettis werd pas echt zichtbaar toen een paar jaren later William Frederick Eberlein (1917-1986), Vitold Lvovich ˇSmulian (1914-1944), maar ook Alexander Grothendieck (1928-2014) de equivalenties tussen verschil-lende soorten zwakke compactheid aantoonden in de stelling van Eberlein-ˇSmulian. De waarde van deze stelling in dit vakgebied is enorm. Over het bewijs van de stelling gingen echter jaren heen en dit zullen wij hier dan ook niet doen.
Grothendieck vervolgde in de jaren daarna zijn studie in dit vakgebied samen met wiskun-digen als Dieudonn´e, Schachermayer, Ruess, Schwartz, en Diestel. De laatstgenoemde heeft een artikel geschreven over de stelling van Dunford-Pettis en dit artikel vormt de rode draad van deze scriptie. In dit artikel worden ook enkele toepassingen en gevolgen genoemd die in deze scriptie niet zijn opgenomen [1].
2 Uniforme Integreerbaarheid
2.1 Inleiding
In dit hoofdstuk staat de eigenschap uniforme integreerbaarheid centraal. Deze eigen-schap speelt in de gehele scriptie een belangrijke rol. We nemen voor deze eigeneigen-schap aan dat (Ω, Σ, P ) een kansruimte is. Een deelverzameling K van de Lebesgue-integreerbare functies L1(P ) is uniform integreerbaar als voor alle > 0 er een c = c > 0 bestaat,
zodat voor t > c geldt dat
Z
{|f |>t}
|f |dP < ,
voor alle f ∈ K. Het blijkt dat deze definitie equivalent is aan de volgende: Een deelver-zameling K ⊂ L1(P ) is uniform integreerbaar dan en slechts dan als K normbegrensd is
en voor alle > 0 er een δ > 0 bestaat zodat voor E ∈ Σ geldt dat
P (E) < δ ⇒ Z
E
|f |dP <
voor alle f ∈ K. Deze equivalentie zullen we in deze inleidende paragraaf reeds gebrui-ken, maar bewijzen we pas in de volgende paragraaf.
Merk op dat we voor uniforme integreerbaarheid niet noodzakelijkerwijs in een kans-ruimte hoeven te leven. In elke eindige maatkans-ruimte kan gesproken worden over uniforme integreerbaarheid. Echter, in deze scriptie wordt er voor gekozen om te werken in een kansruimte. We gebruiken hiervoor consistent de kansruimte (Ω, Σ, P ), waarbij Ω dus een verzameling is, Σ de σ-algebra op Ω en P de kansmaat op Σ.
Wanneer een verzameling K ⊂ L1(P ) uniform integreerbaar is, legt dit menige
eigen-schap van K vast. Zowel vanuit functionaalanalytisch als maattheoretisch perspectief is uniforme integreerbaarheid een elementaire eigenschap. We zien dit bijvoorbeeld in de onderstaande stelling van Lebesgue en Vitali, waarin het verband tussen de maattheorie en de functionaalanalyse wordt gelegd. We bewijzen de stelling hier niet.
Stelling 2.1.1. Laat (Ω, Σ, P ) een kansruimte zijn. Neem aan dat de functie f P -meetbaar is en laat {fn}∞n=1 ⊂ L1(P ). Dan geldt dat {fn} in maat naar f convergeert
en dat {fn} uniform integreerbaar is dan en slechts dan als f ∈ L1(P ) en limn→∞fn= f
in de ruimte L1(P ).
Uniforme integreerbaarheid is geen heel zeldzame eigenschap voor een verzameling K. Een verzameling K bezit al vrij snel deze eigenschap. Dat zien we ook in de onderstaande stelling.
Stelling 2.1.2. Laat (Ω, Σ, P ) een kansruimte zijn en laat {fn}n∈N een rijtje in L1(P )
zijn. Als voor alle E ∈ Σ geldt dat limn→∞
R
EfndP < ∞, dan is {fn}n∈N begrensd in
L1(P ) en uniform integreerbaar.
De eigenschap uniforme integreerbaarheid laat zich ook makkelijk vertalen naar de kans-rekening. In de kansrekening is een collectie random variables χ ⊂ L1(P ) uniform
integreerbaar als
lim
t→∞X∈χsupE[|X|1{|X|≥t}] = 0.
We zien duidelijk een verband met de eerstgenoemde functionaalanalytische definitie van uniforme integreerbaarheid. De in het begin genoemde equivalente definitie kunnen we nu dan ook bij random variables een interpretatie geven. Als de collectie χ uniform integreerbaar is, dan betekent dat dat er een C ∈ R bestaat zodat E[|X|] ≤ C voor alle X ∈ χ. Deze bewering komt overeen met het normbegrensd zijn van de verzameling K in L1(P ). Tevens weten we dat er voor alle > 0 een δ > 0 bestaat zodat voor E ∈ Σ
geldt dat
P (E) < δ ⇒ sup
X∈χE[|X|1A
] < .
Het bewijs voor deze equivalentie loopt analoog aan het bewijs wat in de volgende pa-ragraaf gegeven wordt voor het functionaalanalytische geval.
Zoals eerder al vermeld laten de resultaten betreffende uniforme integreerbaarheid in de functionaalanalyse zich dus makkelijk vertalen naar equivalente resultaten binnen de kansrekening, waarin random variables de hoofdrol spelen. In deze scriptie is de keuze ge-maakt voor een functionaalanalytische invalshoek. Voor een kanstheoretische invalshoek van uniforme integreerbaarheid kan ik de lecture notes van Gordan Zitkovic aanraden, die in de bibliografie zijn opgenomen [3].
2.2 Uniforme Integreerbaarheid
Definitie 2.2.1 (Uniforme Integreerbaarheid). Laat (Ω, Σ, P ) een kansruimte zijn. Een deelverzameling K ⊂ L1(P ) heet uniform integreerbaar als
lim
c→∞f ∈Ksup
Z
{|f |>c}
|f |dP = 0,
in andere woorden, K heet uniform integreerbaar als voor alle > 0 er een c = c > 0
bestaat, zodat voor t > c geldt datR{|f |>t}|f |dP < voor alle f ∈ K.
Deze definitie heeft zoals in de inleiding reeds is genoemd nog een andere equivalente formulering. Dit bewijzen we in de volgende stelling.
Stelling 2.2.1 (Uniforme Integreerbaarheid). Laat (Ω, Σ, P ) een kansruimte zijn. Een deelverzameling K ⊂ L1(P ) is uniform integreerbaar dan en slechts dan als K
norm-begrensd is en voor alle > 0 er een δ > 0 bestaat zodat als voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δ danRE|f |dP < voor alle f ∈ K.
Bewijs. ⇒ : Stel K is uniform integreerbaar. Neem nu een willekeurige E ∈ Σ en merk op dat voor alle c ≥ 0 geldt dat
Z E |f |dP = Z E∩{|f |≤c} |f |dP + Z E∩{|f |>c} |f |dP ≤ c · P (E) + Z {|f |>c} |f |dP.
Wanneer we E = Ω nemen zien we dat voor alle c ≥ 0 geldt dat
||f || ≤ c + Z
{|f |>c}
|f |dP.
Omdat K uniform integreerbaar is kunnen we c∗ > 0 zo kiezen dat voor alle f ∈ K geldt
dat Z
{|f |>c∗}
|f |dP ≤ 1.
Vervolgens zien we dan dat
||f || ≤ c∗+ 1.
We concluderen dat K normbegrensd is in L1(P ) en daarmee is het eerste deel bewezen.
Laat nu > 0. We weten nog dat Z E |f |dP ≤ c · P (E) + Z {|f |>c} |f |dP.
Doordat K uniform integreerbaar is bestaat er een c > 0 zodat R
{|f |>c}|f |dP < 2 voor
alle f ∈ K. Nu kiezen we δ := 2c en zien we dat voor alle E ∈ Σ met P (E) < δ = 2c geldt dat Z E |f |dP ≤ c · P (E) + Z {|f |>c} |f |dP < c · 2c + 2 = . Dit is exact wat bewezen diende te worden.
⇐ : Neem nu aan dat K normbegrensd is in L1(P ) en neem aan dat voor alle > 0 er
een δ > 0 bestaat zodat voor alle E ∈ Σ met P (E) < δ geldt datR
E|f |dP < voor alle
f ∈ K. Dan geldt er vanzelfsprekend dat onafhankelijk van de keuze voor c > 0 er geldt dat c · 1{|f |>c}≤ |f | · 1{|f |>c}. Dit impliceert c · P ({|f | > c}) ≤ Z {|f |>c} |f |dP ≤ Z |f |dP = ||f ||1.
Voor M := sup{||f ||1: f ∈ K} geldt nu dat P ({|f | > c}) ≤ Mc voor alle f ∈ K.
Nu kunnen we c > 0 zo kiezen dat Mc < δ. Dan geldt omdat P ({|f | > c}) < δ dat R
{|f |>c}|f |dP < voor alle f ∈ K. Dit bewijst dat K uniform integreerbaar is, zoals
Deze equivalente definitie wordt in de wiskunde vaker gebruikt dan de oorspronkelijke definitie. Dit zal in deze scriptie, met name in het derde en vierde hoofdstuk, niet anders zijn. De reden daarvan is dat normbegrensdheid een eigenschap is die sterk gelinkt is aan compactheid. In het vierde hoofdstuk zullen we zien dat, wanneer de juiste topologie op L1(P ) wordt gedefinieerd, compactheid en uniforme integreerbaarheid twee heel nauw
verbonden begrippen zijn.
Uniforme integreerbaarheid is, zoals eerder reeds is genoemd, niet een heel sterke ei-genschap. Een begrensde verzameling functies K moet van hele bijzondere aard zijn wil deze niet uniform integreerbaar zijn. Zo zijn bijvoorbeeld voor p ≥ 2 alle normbegrensde verzamelingen in Lp(P ) uniform integreerbaar. Dit zien we eenvoudig in: Stel dat de
verzameling K normbegrensd is in Lp(P ). H¨olders ongelijkheid zegt nu voor q ∈ R zo
dat 1p +1q = 1 dat voor alle X ∈ Σ en f, g meetbaar er geldt dat
Z X |f g|dP ≤ Z X |f |pdP 1 pZ X |g|qdP 1 q .
Dus als we nu voor g de constante functie 1 nemen en ons realiseren dat P (X) ≤ 1 voor alle X ∈ Σ omdat (Ω, Σ, P ) een kansruimte is, vinden we
Z X |f |dP ≤ Z X |f |pdP p1 < ∞,
voor alle f ∈ K en X ∈ Σ. Dit impliceert dat K ook normbegrensd is in L1(P ). Neem
nu > 0 en neem q ∈ R opnieuw zo dat 1p + 1
q = 1. Stel dat ||f ||p ≤ M . Neem nu
δ := (M )q. Uit H¨olders ongelijkheid volgt nu dat voor E ∈ Σ met P (E) < δ er geldt dat Z E |f |dP = Z E |f · 1|dP ≤ ||f ||pp1p · P (E)1q < M · M = .
Dus de verzameling K is uniform integreerbaar. Verderop in dit hoofdstuk zullen we een voorbeeld zien van een verzameling die niet uniform integreerbaar is.
2.3 Stelling van De la Vall´
ee Poussin
Een algemener en meer formeel resultaat omtrent uniforme integreerbaarheid vinden we in de stelling van De la Vall´ee Poussin. Het kan gezien worden als een soort test voor uniforme integreerbaarheid. Wanneer een deelverzameling K aan de eisen van deze test voldoet, is deze uniform integreerbaar, wanneer de deelverzameling er niet aan voldoet, is deze niet uniform integreerbaar.
Stelling 2.3.1 (De la Vall´ee Poussin). Een deelverzameling K ⊂ L1(P ) is uniform
integreerbaar dan en slechts dan als er een niet-negatieve, stijgende, convexe functie Φ : R≥0 → R≥0 bestaat met Φ(0) = 0 zodat limx→∞Φ(x)x = ∞ en supf ∈KR Φ(|f (w)|)dP <
Bewijs. ⇐ : Laat > 0. Per aanname weten we dat er een M ∈ R en een niet-negatieve, stijgende, convexe functie Φ : R≥0 → R≥0 bestaat zodat supf ∈KR Φ(|f (w)|)dP ≤ M .
Ook per aanname kunnen we een T ∈ R≥0 vinden zodat voor alle t > T geldt dat Φ(t)
t > M
en dus dat voor alle |f (t)| > T geldt dat
Φ(|f (t)|) |f (t)| >
M . Nu zien we dat voor alle f ∈ K geldt dat
Z {|f |>T } |f |dP < M Z {|f |>T } Φ(|f |)dP ≤ .
En dus is K uniform integreerbaar.
⇒ : Neem nu aan dat de deelverzameling K ⊂ L1(P ) uniform integreerbaar is. Definieer voor n ∈ N de functies Pn: K → R≥0 gegeven door Pn(f ) = P (x : |f (x)| > n) voor
f ∈ K. Nu gaan we de uniforme integreerbaarheid van K gebruiken. Doordat K uniform integreerbaar is geldt namelijk dat er een stijgend rijtje natuurlijke getallen Cn
met limn→∞Cn= ∞ bestaat, zodanig dat
sup f ∈K Z {|f |>Cn} |f |dP ≤ 1 2 n . We zien nu dat ∞ X k=Cn Pk(f ) ≤ ∞ X k=Cn k · P (x : k < |f (x)| ≤ k + 1) ≤ Z {|f |>Cn} |f |dP ≤ 1 2 n .
Dit heeft als gevolg dat voor alle f ∈ K
∞ X n=1 ∞ X k=Cn Pk(f ) ≤ ∞ X n=1 1 2 n = 1.
Nu gaan we de functie Φ maken. We defini¨eren φ : R≥0 → Z≥0 met φ(x) = αn voor
x ∈ (n, n + 1], waarbij
αn=
(
0, als n < C1,
max{k ∈ N : Ck≤ n}, als n ≥ C1.
Nu defini¨eren we Φ : R≥0 → R≥0 door Φ(x) = R0xφ(t)dt. Het is duidelijk dat Φ
niet-negatief, stijgend en convex is, doordat {αn}∞n=0 een stijgende rij is, bestaande uit
niet-negatieve getallen. Tevens geldt er vanzelfsprekend dat Φ(0) = 0. Tot slot zien we met de regel van l’Hˆopital in dat
lim x→∞ Φ(x) x = limx→∞ Φ0(x) 1 = limx→∞φ(x) = ∞.
Met deze functie Φ zien we nu dat Z Φ(|f (x)|)dP ≤ α1· P (x : 1 < |f (x)| ≤ 2) + (α1+ α2) · P (x : 2 < |f (x)| ≤ 3) + . . . = ∞ X n=1 αn· Pn(f ) = ∞ X n=1 ∞ X k=Cn Pk(f ) ≤ 1.
Nu zien we dat geldt
sup
f ∈K
Z
Φ(|f (x)|)dP ≤ 1 < ∞.
Dus de functie Φ voldoet aan alle gestelde eisen. Dit bewijst de stelling.
We kunnen nu gaan kijken naar begrensde verzamelingen functies die niet uniform in-tegreerbaar zijn. Zoals eerder gemeld zijn deze verzamelingen van zeer specifieke vorm. Het standaard tegenvoorbeeld voor uniforme integreerbaarheid is de volgende.
We bekijken de kansruimte ([0, 1], B([0, 1]), λ). Definieer nu het rijtje functies fn: R → R
met
fn(ω) =
(
n, als ω ≤ n1, 0, anders.
In de bovenstaande figuur zien we de functies getekend, met bijgevoegd een visueel argument waarom de verzameling niet uniform integreerbaar is. Dit laatste gaan we hieronder wiskundig hard maken.
Deze rij functies kan worden gezien als een deelverzameling K van L1(P ), want het is
normbegrensd in L1(P ). Dit is eenvoudig in te zien, er geldt namelijk voor alle n ∈ N dat ||fn||1 = Z ∞ −∞ |fn(ω)|dP = n · 1 n = 1.
En dus geldt ook dat supn∈N||fn||1 = 1 < ∞. Dus is het rijtje {fn}∞n=1 normbegrensd.
Maar uniform integreerbaar is het rijtje niet. Als we bijvoorbeeld = 12 nemen, zien we in dat voor elke δ > 0 voor E = [0,δ2) ∈ B([0, 1]) geldt dat λ(E) = δ2 < δ en tevens voor d = d2δe ∈ N we hebben dat Z E |fd|dP ≥ 2 δ · δ 2 = 1 ≮ 1 2. Dit spreekt de uniforme integreerbaarheid van {fn}∞n=1 tegen.
Het blijkt dat elke begrensde verzameling Lebesgue-integreerbare functies die een tegen-voorbeeld voor uniforme integreerbaarheid vormt, lijkt op het bovenstaande tegen-voorbeeld. Elk tegenvoorbeeld betreft namelijk een verzameling functies die voor steeds kleinere maat, steeds grotere waarden aannemen.
3 Zwakke Topologie¨
en op L
1
(P )
3.1 Zwak en zwak-ster topologie¨
en
We beschouwen nu de ruimte L1(P ) als Banachruimte. De duale ruimte van L1(P ),
oftewel de ruimte die alle continue lineaire functionalen f : L1(P ) → R behelst, is een
ruimte die isometrisch isomorf is met de ruimte L∞(P ). We gaan in dit hoofdstuk een
topologie defini¨eren op L1(P ). De topologie die we op deze ruimte L1(P ) defini¨eren
is de zogeheten zwakke topologie. Dit is dus een andere topologie dan de standaard topologie. Dit doen we omdat de standaard topologie, de topologie die ge¨ınduceerd wordt door de standaard norm op L1(P ), veel minder geschikt is. Vele stellingen van
topologische aard over Banachruimten, dus in het bijzonder over L1(P ), nemen namelijk
een eigenschap aan, of bewijzen dat een verzameling een bepaalde eigenschap heeft, die alleen betekenis heeft in de zwakke topologie [4]. Het idee achter de zwakke topologie is dat je zo min mogelijk verzamelingen open maakt zodat toch alle functies f in de duale van L1(P ) continu zijn. Dus wat je in feite doet, is dat je voor A ⊂ R open, voor alle
f ∈ L1(P )0 = L∞(P ), de verzameling f−1(A) open ’verklaart’ in L1(P ). De rest van de
verzamelingen, die dus niet geschreven kunnen worden als f−1(A) voor een f in de duale van L1(P ) voor een open A ⊂ R, zijn niet open in L1(P ). Wiskundiger geformuleerd
zeggen we dus dat de zwakke topologie op L1(P ) de topologie is die gegenereerd wordt
door de subbasis
{f−1(O) : O ⊂ R, f ∈ L∞(P )},
waarbij O open is in R. We kunnen zonder verdere toelichting inzien dat deze zwakke topologie zich eenvoudig laat generaliseren naar een willekeurige genormeerde lineaire ruimte X. Deze topologie op L1(P ), of op X, heet dus de zwakke topologie, maar wordt
ook wel eens de initiale topologie genoemd.
We kunnen nu in deze topologische ruimte ook het begrip zwakke convergentie een betekenis geven.
Definitie 3.1.1 (Zwakke convergentie). Laat {xn}∞n=1 een rijtje in X zijn. Het rijtje
{xn} convergeert zwak naar x ∈ X als limn→∞f (xn) = f (x) voor alle f ∈ X0.
Merk op dat ’gewone’ convergentie in X zwakke convergentie impliceert. De norm-topologie op L1(P ) is dus sterker dan de zwakke topologie.
De zwakke topologie heeft ook zo zijn nadelen. De zwakke topologie op L1(P ) is
name-lijk niet compleet en ook niet metrizeerbaar. Dit laatste resultaat volgt uit het volgende argument: Stel dat er een metriek d op L1(P ) bestaat die de zwakke topologie op L1(P )
induceert. Definieer nu de verzameling
Un= {f ∈ L1(P ) : d(f, 0) <
1 n}.
We zien nu dat Unper definitie open is in de zwakke topologie. Dus per definitie van een
subbasis bevat Un een V die een eindige doorsnijding is van elementen uit de subbasis
bestaande uit de stroken
Wf,g0 = {g ∈ L1(P ) : |(f, g − g0)| < 1},
voor f ∈ L1(P ). Deze subbasis is oneindig-dimensionaal, terwijl V een eindige
doorsnij-ding is, dus Un is niet normbegrensd. Dus voor alle n ∈ N bestaat er een fn∈ Unzodat
||fn|| ≥ n. Maar {fn}∞n=1 convergeert naar 0. Dit geeft een tegenspraak. Dus is L1(P )
niet metrizeerbaar.
In het algemeen geldt dat de zwakke topologie op X niet compleet en niet metri-zeerbaar is als X oneindig-dimensionaal is. Het bovenstaande bewijs voor de niet-metrizeerbaarheid loopt geheel analoog voor een willekeurige genormeerde lineaire oneindig-dimensionale ruimte X.
Omdat de zwakke topologie op de ruimte L1(P ) niet metrizeerbaar is gelden bepaalde
stellingen niet in onze ruimte. Er geldt bijvoorbeeld in metrizeerbare ruimten X, Y dat een afbeelding f : X → Y continu is dan en slechts dan als voor alle rijtjes {xn}∞n=1⊂ X
die convergeren naar een x ∈ X, er geldt dat {f (xn)}∞n=1 convergeert naar f (x) in Y .
De implicatie van links naar rechts gaat nog steeds op in niet-metrizeerbare ruimten. De implicatie van rechts naar links is echter niet altijd meer waar. Daarom defini¨eren we het volgende.
Definitie 3.1.2 (Gerichte verzameling). Een verzameling A heet een gerichte verzame-ling als er een reflexieve en transitieve binaire ordening op is gedefinieerd waarin iedere deelverzameling van twee elementen uit A een grootste element bevat.
Definitie 3.1.3 (Net). Laat A een gerichte verzameling en X een topologische ruimte zijn. Een net in X is een afbeelding f : A → X. We noteren een net als {xα}α∈A.
Nets bieden de oplossing voor het bovengenoemde probleem. Voor nets geldt namelijk de volgende stelling, waarvan het bewijs in propositie 14 en 15 van het artikel van Stijn Vermeeren staat opgenomen [5].
Stelling 3.1.1. Laat X, Y twee topologische ruimten en laat f : X → Y zijn. Dan geldt dat f continu is dan en slechts dan als voor elk net {xα}α∈A⊂ X wat convergeert naar
x ∈ X geldt dat {f (xα)}α∈A convergeert naar f (x) in Y .
Een genormeerde lineaire ruimte X, over een vectorruimte F, ligt ingebed in de dubbel duale ruimte X00 van X door de canonieke afbeelding JX: X → X00 met JX(x) = Fx,
waar Fx(f ) = f (x) voor alle f ∈ X0. Ook geldt dat X isometrisch isomorf is met JX(X)
[10]. We kunnen X dus zien als een deelruimte van X00. Nu kunnen we ook op bijna ana-loge manier als hierboven een topologie op X0 defini¨eren. De topologie die we op X0 de-fini¨eren is de topologie die gegenereerd wordt door de subbasis {f−1(O) : O ⊂ F, f ∈ X},
waarbij O open is F. Deze topologie noemen we de zwak-ster topologie. Merk op dat de zwak-ster topologie op X0 zwakker is dan de zwakke topologie op X0 en alleen gelijk is als X reflexief is. Dan geldt immers dat X isometrisch isomorf is met X00. Wij kijken in deze scriptie echter alleen maar naar L1(P ), en deze ruimte is niet reflexief.
Ook voor de zwak-ster topologie kunnen we nu het begrip zwak-ster convergentie de-fini¨eren.
Definitie 3.1.4 (Zwak-ster convergentie). Laat {fn}∞n=1 een rijtje in L∞(P ) zijn. Het
rijtje {fn} convergeert zwak-ster naar f ∈ L∞(P ) als limn→∞fn(x) = f (x) voor alle
x ∈ L1(P ).
Niet geheel verrassend is ook de zwak-ster topologie voor een oneindig-dimensionale genormeerde lineaire ruimte X niet compleet en niet metrizeerbaar. Dit bewijzen we hier niet.
3.2 Stelling van Tychonoff
We willen uiteindelijk in dit hoofdstuk de stelling van Banach-Alaoglu bewijzen. In het bewijs van deze stelling kan je niet om de stelling van Tychonoff heen, dus het is van essentieel belang om deze hier te behandelen. Belangrijk om te vermelden is dat we hiervoor het keuze-axioma nodig hebben, dus dat nemen we bij dezen aan, waardoor we het lemma van Zorn mogen gebruiken.
Lemma 3.2.1 (Lemma van Zorn). Laat S een partieel geordende verzameling. Als elke totaal geordende deelverzameling van S een maximaal element heeft, dan heeft S zelf ook een maximaal element.
Dit lemma gebruiken we in het bewijs van de stelling van Tychonoff.
Stelling 3.2.1 (Stelling van Tychonoff). Laat (Xα, τα) compacte topologische ruimten
zijn voor alle α ∈ A. Dan is, uitgerust met de producttopologie, X =Q
α∈AXα ook een
compacte topologische ruimte.
We zullen deze stelling verderop bewijzen, maar daarvoor hebben we eerst twee lemma’s nodig. De eerste is een klein en wat onbekend lemma.
Lemma 3.2.2. Laat (Xα, τα) compacte topologische ruimten zijn voor alle α ∈ A en
definieer X = Q
α∈AXα. Dan bestaat er voor elke open overdekking van X die alleen
bestaat uit elementen van de vorm πα−1(O) met O open in τα, een eindige deeloverdekking
van X.
Bewijs. Laat U een open overdekking van X die alleen bestaat uit elementen van de vorm πα−1(O) met O open in τα. Definieer
Uα = {O ∈ τα|πα−1(O) ∈ U }.
Nu geldt dat er minstens ´e´en α ∈ A bestaat zodat Uα de verzameling Xα overdekt.
Want stel dat dit niet zou gelden, dan bestaat er voor iedere α ∈ A een zekere xα∈ Xα
zodat xα niet in de vereniging zit van alle elementen O ∈ Uα. Nu geldt voor f ∈ X
is een overdekking van X, dus dit geeft een tegenspraak. We concluderen dat er dus minstens ´e´en α ∈ A bestaat zodat Uα de verzameling Xα overdekt. Voor deze α ∈ A
geldt door compactheid dat er O1, O2, O3, ..., On ∈ Uα bestaan zodat Xα bevat zit in
Sn
i=1Oi. Nu zien we dat {π−1α (O1), ..., πα−1(On)} een eindige deeloverdekking van X is,
zoals gewenst.
We vervolgen met Alexanders subbasis lemma. In het bewijs van dit lemma hebben we het lemma van Zorn en dus het keuze-axioma nodig.
Lemma 3.2.3 (Alexanders subbasis lemma). Laat (X, τ ) een topologische Hausdorff ruimte zijn en laat E een subbasis zijn voor τ . Als elke collectie bestaande uit verzame-lingen uit E die X overdekken een eindige deeloverdekking heeft, is X compact.
Bewijs. We bewijzen dit met tegenspraak. Dus stel dat elke overdekking van X be-staande uit verzamelingen uit E een eindige deeloverdekking heeft, maar X niet com-pact is. Omdat X niet comcom-pact is bestaat er een niet-lege collectie F bestaande uit alle open deeloverdekkingen van X die geen eindige deeloverdekking hebben. We brengen een ordening op F aan door middel van inclusie. Nu bekijken we een totaal geordende deelverzameling {Eα}α∈A ⊂ F . We defini¨eren nu E = Sα∈AEα. Nu heeft E geen
eindige deeloverdekking, want stel dat E wel een eindige deeloverdekking O1, O2, ..., On
zou hebben. Dan geldt voor alle j ∈ {1, 2, ..., n} geldt Oj ∈ Eαj voor zekere αj. Omdat
we een totale ordening hebben op {Eα}α∈A bestaat er een Eα0 die alle Oj bevat. Dit
impliceert direct dat deze eindige deelcollectie nooit X kan overdekken.
Nu gaan we het lemma van Zorn gebruiken. Volgens het lemma van Zorn bestaat er een maximaal element M van F . We bekijken nu de verzameling S = M ∩ E . Er geldt nu dat S de verzameling X overdekt. Want stel dat S niet de verzameling X overdekt. Dan bestaat er een x ∈ X zodat x in geen ´e´en verzameling zit die in de collectie S zit. We weten dat M een overdekking is van X, dus er bestaat een O ∈ M zodat x ∈ O. Omdat E subbasis is, bestaan er nu V1, V2, ..., Vn∈ E zodat x ∈Tni=1Vi⊂ O. We zien nu
dat voor alle j ∈ {1, 2, ..., n} geldt dat Vj ∈ M, anders zou x in een verzameling uit de/
collectie S zitten en zou S dus X dus overdekken. Dus omdat M maximaal was, bestaat er voor iedere M ∪ {Vj} dus een eindige deeloverdekking van X. Dus X = Vj∩ Uj, waar
Uj een eindige vereniging van verzamelingen uit M is. Nu volgt
O ∩ ( n \ j=1 Uj) ⊇ ( n \ j=1 Vj) ∩ ( n \ j=1 Uj) ⊇ n \ j=1 (Vj ∩ Uj) ⊇ X.
Dit is in tegenspraak met de maximaliteit van M. Dus S overdekt X. Nu geldt omdat S ⊆ E dat S per aanname een eindige deeloverdekking heeft. Omdat ook geldt dat S ⊆ M, vinden we een tegenspraak. Dus nu moet wel gelden dat de collectie F leeg is. Dit bewijst dat X compact is.
Nu hebben we genoeg hulpmiddelen vergaard om de stelling van Tychonoff te kunnen bewijzen. Het is een eenvoudig en kort bewijs wat gebruik maakt van beide lemma’s.
Bewijs stelling van Tychonoff. Neem als subbasis voor de producttopologie op X de collectie
{πα−1(O)|α ∈ A, O ∈ τα}.
Door ons eerste lemma weten we dat elke deelcollectie van deze collectie die X overdekt, een eindige deeloverdekking heeft. Nu weten we door Alexanders subbasis lemma dat X compact is.
3.3 Stelling van Banach-Alaoglu
Stelling 3.3.1 (Stelling van Banach-Alaoglu). Laat X een genormeerde lineaire ruimte zijn over de vectorruimte F en laat B∗ = {f ∈ X0: ||f || ≤ 1} de normgesloten eenheidsbol in X0 zijn. Dan is B∗ compact in de zwak-ster topologie op X0.
Bewijs. Laat x ∈ X. We defini¨eren
Dx = {λ ∈ F : |λ| ≤ ||x||} ⊂ F.
Tevens defini¨eren we D = Q
x∈XDx. Door de stelling van Tychonoff weten we dat D
compact is in de producttopologie. We voorzien B∗ = {f ∈ X0: ||f || ≤ 1} van de zwak-ster topologie. We defini¨eren nu de afbeelding φ : B∗ → D met φ(f ) = (f (x))x∈X, voor
f ∈ B∗. Onze afbeelding φ is duidelijk lineair. We zien tevens dat als φ(f ) = 0, dan is f (x) = 0 voor alle x ∈ X, dus f = 0. De kern van φ is dus gelijk aan {0}, dus de afbeelding φ is injectief. Neem nu een net {fα}α∈A⊂ B∗ dat zwak-ster convergeert naar
f ∈ B∗. Dan geldt dat fα(x) convergeert naar f (x) voor alle x ∈ X. Dus
φ(fα) = (fα(x))x∈X → (f (x))x∈X = φ(f ).
Dus de afbeelding φ is tevens continu volgens stelling 3.1.1.
We laten nu zien dat φ(B∗) een gesloten deelverzameling is van D. Neem hiertoe s = (sx) ∈ D zodat s ∈ φ(B∗). We defini¨eren f : X → F zodat f (x) = sx voor alle x ∈ X.
We bewijzen nu dat deze f een lineaire afbeelding is. Neem x, y ∈ X en α, β ∈ F. Kies nu fn∈ B∗ zo dat
|f (x) − fn(x)| < 1 3n voor alle x ∈ X. Dit impliceert
|f (x) − fn(x)| + |f (y) − fn(y)| + |f (αx + βy) − fn(αx + βy)| <
1 n. Omdat fn lineair is vinden we nu dat
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Dus f is lineair. Omdat sx ∈ Dx, geldt |sx| ≤ ||x||, dus ||f || < 1, dus f ∈ B∗. Dus per
definitie van f geldt nu dat s = φ(f ) ∈ φ(B∗). Dus is φ(B∗) in de product-topologie een gesloten deelverzameling van D. Omdat D compact en Hausdorff is, is φ(B∗) nu ook compact. En tot slot geldt nu omdat B∗ en φ(B∗) homeomorf zijn door middel van de afbeelding φ, dat B∗ ook compact is, en dat was wat bewezen diende te worden.
3.4 Stelling van Eberlein-ˇ
Smulian
We vervolgen dit hoofdstuk met nog een essenti¨ele stelling binnen dit vakgebied. Dit is de stelling van Eberlein-ˇSmulian. Daarvoor benodigen we eerst nog enkele definities. Definitie 3.4.1 (Zwak rijtjes-compact). Een verzameling K is zwak rijtjes-compact als voor alle rijtjes {xn}∞n=1 ⊂ K geldt dat er een deelrijtje {xnk}
∞
k=1 bestaat die zwak
convergeert naar een x ∈ K.
Definitie 3.4.2 (Zwak aftelbaar compact). Een verzameling K is zwak aftelbaar com-pact als er voor alle aftelbare zwak open overdekkingen van K een eindige deeloverdek-king bestaat.
Nu wordt de relatie tussen onder andere deze twee definities vastgelegd in de stelling van Eberlein-ˇSmulian.
Stelling 3.4.1 (Eberlein-ˇSmulian). Laat K een deelverzameling van een Banachruimte X. Dan zijn de volgende drie eigenschappen equivalent:
1. De verzameling K is relatief zwak compact, 2. De verzameling K is relatief zwak rijtjes-compact, 3. De verzameling K is relatief zwak aftelbaar compact.
Voor het bewijs van deze stelling kan ik u verwijzen naar de thesis van Kristina Qarri [9].
De enige implicatie die voor deze scriptie relevant is, is de implicatie die zegt dat als een verzameling relatief zwak compact is, dat deze dan ook relatief zwak rijtjes-compact is. Dit gaan we verderop in het vierde hoofdstuk toepassen.
3.5 Stelling van Lebesgue-Vitali
Het laatste benodigde ingredi¨ent voor we aan de hoofdstelling kunnen beginnen is de stelling van Lebesgue-Vitali. Het presenteert opnieuw een criterium waaronder een ver-zameling uniform integreerbaar is.
Stelling 3.5.1 (Lebesgue-Vitali). Laat {fn} een normbegrensd rijtje in L1(P ) zijn zodat
voor alle E ∈ Σ geldt dat limn→∞
R
EfndP = 0, dan is de verzameling {fn} ∞
n=1 uniform
integreerbaar.
Bewijs. Stel van niet. Dan bestaat er een 0 > 0 zodat er voor alle m ∈ N en δ > 0 een
E ∈ Σ met P (E) < δ en n ≥ m bestaat zodat |R
EfndP | ≥ 0. Laat E1 ∈ Σ en n1 ∈ N
zo dat |R
E1fn1dP | ≥ 0.
Omdat {fn} normbegrensd is, bestaat er een δ1 > 0 zo dat als voor E ∈ Σ geldt dat
P (E) < δ1, dan R E|fn1|dP < 0 4. Laat nu E2 ∈ Σ en n2 > n1 zo dat P (E2) < δ1 2 en |R E2fn2dP | ≥ 0.
Opnieuw, omdat {fn} normbegrensd is, bestaat er een δ2 > 0 zo dat als voor E ∈ Σ
geldt dat P (E) < δ2, dan
R
E|fn2|dP <
0
4. We kunnen δ2 zo kiezen dat δ2 < δ1
Als we dit proces vaak genoeg herhalen vinden we een rijtje {Ek}∞k=1 ⊂ Σ, de getallen
n1< n2 < · · · < nk< . . . en δk> 0 met δk+1 < δ2k zodat voor alle k ∈ N geldt
Z Ek fnkdP ≥ 0,
terwijl P (Ek+1) < δ2k, en als voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δk dan
Z
E
|fnk|dP < 0 4. Er volgt dat omdat
P (Ek+1∪ Ek+2∪ . . . ) ≤ P (Ek+1) + P (Ek+2) + · · · ≤ δk 2 + δk+1 2 + · · · < δk, dat Z Ek+1∪Ek+2∪... fnkdP ≤ Z Ek+1∪Ek+2∪... |fnk|dP < 0 4. We defini¨eren nu Ak= Ek\(Ek+1∪ Ek+2∪ . . . ), dan geldt Z Ak fnkdP ≥ Z Ek fnkdP − Z Ek∩(Ek+1∪Ek+2∪... ) fnkdP > 30 4 .
De verzamelingen Ak zijn per definitie paarsgewijs disjunct en voor alle k ∈ N geldt
Ak⊆ Ek, dus
P (Ak+1∪ Ak+2∪ . . . ) < δk.
Laat k1 = 1 en definieer kj > kj−1 zo dat
Z Ak1∪···∪Akj−1 fnkjdP < 0 4. Dan geldt er in het bijzonder dat
Z Akj fnkjdP > 30 4 . Tevens geldt er dat
P (Akj+1∪ Akj+2∪ . . . ) ≤ P (Akj+1∪ Akj+2∪ . . . ) < δkj en dus dat Z Akj+1∪Akj+2∪... fnkjdP < 0 4.
Maar dan geldt voor alle j ∈ N dat Z Ak1∪Ak2∪... fnkjdP = Z Ak1∪···∪Akj 1 fnkjdP + Z Akj fnkjdP + Z Akj+1∪... fnkjdP > 0 4.
Wat een tegenspraak geeft. Dus moet er wel gelden dat de verzameling {fn}∞n=1uniform
integreerbaar is.
De hierboven genoemde stellingen spelen een grote rol in de volgende paragraaf, waarin de stelling van Dunford-Pettis zal worden bewezen. De terugkant van die stelling is een gevolg van de stellingen van Lebesgue-Vitali en Eberlein-ˇSmulian. De heenkant maakt onder andere gebruik van de stelling van Banach-Alaoglu.
4 De Stelling van Dunford-Pettis
Voordat we in onze hoofdstelling duiken moeten we nog een klein stukje theorie behan-delen omtrent de duale en de dubbele duale ruimte van L1(P ). We weten dat de duale
van L1(P ) de ruimte L∞(P ) is. Uit de stelling van Radon-Nikodym volgt dat de actie
van g ∈ L∞(P ) op een f ∈ L1(P ) gegeven wordt door
g(f ) = Z
Ω
f (ω)g(ω)dP (ω).
Nu wordt het lastiger: Hoe beschrijven we de duale van L∞(P )? We weten dat L1(P )
bevat zit in zijn eigen dubbel duale ruimte. Het blijkt dat L∞(P )0 gelijk is aan de
ruimte die bestaat uit alle additieve, begrensde maten [1]. Neem dus µ : Σ → R een begrensde, additieve maat die verdwijnt op P-null sets. Dan kunnen we alle x∗∈ L∞(P )0
identificeren met µ voor g ∈ L∞(P ) door middel van de volgende identificatie
x∗(g) = Z
Ω
g(ω)dµ(ω).
De ruimte waarmee L∞(P )0 nu is ge¨ıdentificeerd is de Banachruimte ba0(Σ), bestaande
uit alle begrensde additieve maten.
Nu kunnen we naar de hoofdstelling van deze scriptie. Dit is de stelling van Dunford-Pettis. De stelling zelf oogt betrekkelijk kort en is betrekkelijk eenvoudig geformuleerd. Het bewijs is des te ingewikkelder en is een samenvoeging van al het voorgaande. Stelling 4.0.2 (Dunford-Pettis). Een deelverzameling K ⊂ L1(P ) is relatief zwak
com-pact dan en slechts dan K uniform integreerbaar is.
Bewijs. ⇐ : Neem K ⊂ L1(P ) en veronderstel dat K uniform integreerbaar is. We weten
nu door de equivalente definitie van uniforme integreerbaarheid dat K normbegrensd is en dat er voor iedere > 0 een δ > 0 bestaat zodat als voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δ dan RE|f |dP < voor alle f ∈ K. Doordat K normbegrensd is weten door de stelling van Banach-Alaoglu we dat Kzwak
∗
⊆ L∞(P )∗, de afsluiting van K in de zwak-ster
topologie, compact is in de zwak-ster topologie. Immers, een normbegrensde verzameling valt binnen een gesloten bol, die compact is door de stelling van Banach-Alaoglu. Als we nu een µ ∈ Kzwak
∗
nemen en ons bedenken dat we µ kunnen zien als een begrensde additieve maat, kunnen we µ(1E) door bovenstaande identificatie benaderen door 1E(f )
voor een zekere f ∈ K. We weten nu in het bijzonder dat
|µ(E)| = |µ(1E)| ≤ sup f ∈K Z E f dP ≤ sup f ∈K Z E |f |dP.
Dus wanneer we nu gebruiken dat K uniform integreerbaar is, zien we dat voor alle > 0 er een δ > 0 bestaat zodat als P (E) < δ, dan |µ(E)| < . Oftewel µ is een element van L1(P ). Dus K
zwak∗
ligt binnen L1(P ), maar de zwak-ster topologie is zwakker dan
de zwakke topologie, dus voor Kzwak, de afsluiting van K in de zwakke topologie, geldt Kzwak ⊂ Kzwak
∗
en deze ligt dus ook binnen L1(P ). Tevens is K zwak
compact, want Kzwak
∗
is compact. Dus K is relatief zwak compact.
⇒ : Stel nu dat K ⊂ L1(P ) relatief zwak compact is. Door de stelling van
Eberlein-ˇ
Smulian is de verzameling K nu ook relatief zwak rijtjes-compact. Omdat K zwak rijtjes-compact is weten we in het bijzonder dat K normbegrensd is. Op zoek naar tegenspraak stellen we nu dat er een 0 bestaat zodat voor alle n ∈ N we een fn ∈ K
en En ∈ Σ kunnen vinden zodat P (En) < n1, er geldt dat |
R
EnfndP | ≥ 0. Vanwege
dat K relatief zwak rijtjes-compact is moet er echter gelden dat {fn}∞n=1 een zwak
convergerende deelrij, zeg {fnk}
∞
k=1 heeft, met een limiet in K, dus in het bijzonder in
L1(P ). Nu defini¨eren we gk= fnk− f . Het rijtje {gk}
∞
k=1 is nu een normbegrensd rijtje
in L1(P ) dat zwak naar 0 convergeert. De integraal over een willekeurige verzameling
E ∈ Σ is zelf een lineaire functionaal die een element uit L1(P ) stuurt naar een element
uit R. Dus is de integraal over E voor alle E ∈ Σ een element uit L1(P )0. Per definitie
van zwakke convergentie geldt er dus voor alle E ∈ Σ dat
lim
k→∞
Z
E
gkdP = 0.
Nu weten we met de stelling van Lebesgue-Vitali dat {gk}∞k=1 uniform integreerbaar is.
Laat nu > 0. Omdat {gk}∞k=1 uniform integreerbaar is bestaat er een δ1 > 0 zodat als
voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δ1, er geldt dat
R
E|gn|dP <
2 voor alle n ∈ N. Omdat f
normbegrensd is bestaat er tevens een δ2 > 0 zodat als voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δ2
er geldt dat R
E|f |dP <
2. Nu geldt voor δ = min{δ1, δ2} > 0 dat als voor E ∈ Σ geldt
dat P (E) < δ, er geldt dat Z E |gn+ f |dP ≤ Z E |gn|dP + Z E |f |dP < 2 + 2 = .
Tevens is de verzameling {gk+ f }∞k=1 normbegrensd, want zowel {gk}∞k=1 als f is
norm-begrensd, dus is {gk+ f }∞k=1 = {fnk}
∞
k=1 uniform integreerbaar. Dit is in tegenspraak
met de manier waarop we de rij {fn}∞n=1 hebben gedefinieerd, dus moet K wel uniform
integreerbaar zijn.
In combinatie met de stelling van Eberlein-ˇSmulian vinden we nu dus vier kernbegrippen die aan elkaar equivalent blijken te zijn. Dit is een enorm krachtig en misschien ook wel verrassend resultaat. Desalniettemin zijn deze stellingen voor de functionaalanalyse en de topologie van enorm belang.
5 Conclusie
In het vierde hoofdstuk van deze scriptie hebben we het hoofdresultaat en einddoel van de gehele scriptie geformuleerd en bewezen: Een verzameling K ⊂ L1(P ) is relatief zwak
compact precies als deze uniform integreerbaar is. Een misschien verrassend maar enorm nuttig resultaat. Compactheid is namelijk een topologische eigenschap die de deur tot vele handige stellingen open zet. We weten bijvoorbeeld dat als een verzameling K com-pact is, dat iedere continue functie f : K → R zijn minimum en maximum aanneemt op K. Ook weten we dat iedere oneindig-dimensionale deelverzameling A van een compacte ruimte K een accumulatie-punt bevat, oftewel een punt a ∈ A zodat elke open omgeving van a oneindig veel punten uit A bevat.
Het is echter niet alleen de kracht van compactheid die deze stelling zo belangrijk maakt. De vereniging van de stelling van Dunford-Pettis met de stelling van Eberlein-ˇSmulian vormt namelijk in feite ´e´en grote stelling waarin vier kernbegrippen aan elkaar equivalent blijken te zijn. Wanneer een rij {fn}∞n=1 in L1(P ) bijvoorbeeld uniform integreerbaar is,
is de afsluiting hiervan meteen zwak rijtjes-compact. Daarmee bewijs je meteen dat er een deelrij {fnk}
∞
k=1en een f ∈ L1(P ) moet bestaan zodat voor alle X ∈ Σ en g ∈ L∞(P )
geldt dat lim k→∞ Z X fnkgdP = Z X f gdP.
Zoals eerder vermeld speelt uniforme integreerbaarheid ook een belangrijke rol in de kansrekening. Daarin is ´e´en van de meest belangrijke resultaten opnieuw een equiva-lentie. Het blijkt dat een rijtje L1-begrensde martingalen convergeren in verwachting
dan en slechts dan als het rijtje uniform integreerbaar is. Deze stelling heeft binnen het vakgebied in de kansrekening dat zich bezighoudt met de studie van martingalen vele toepassingen [12].
In een eventueel vervolgonderzoek zou de stelling van Eberlein-ˇSmulian beter bestu-deerd kunnen worden. Deze stelling is van onschatbare waarde en het bestuderen van het bewijs en de toepassingen van de stelling verschaft nog veel meer inzicht in deze tak van de topologie en de functionaalanalyse. Ook zou dieper kunnen worden ingegaan op de toepassingen van Dunford-Pettis zelf. Daar ben ik in deze scriptie helaas niet aan toegekomen. Tot slot zou ook een beter onderzoek naar de zwakke en de zwak-ster topologie interessant zijn. Het niet-metrizeerbaar zijn van deze topologische ruimten biedt vele uitdagingen en heeft mij gedurende deze scriptie geleerd om heel kritisch na te denken over stellingen die in metrizeerbare ruimten zo vanzelfsprekend zijn.
6 Populaire Samenvatting
We leven in deze scriptie in een kansruimte (Ω, Σ, P ) en bekijken de ruimte van alle in-tegreerbare functies, aangeduid met L1(P ). Wanneer voor een verzameling K ⊂ L1(P ),
bestaande uit integreerbare functies, geldt dat K begrensd is in norm en dat je de in-tegraal over een willekeurige f ∈ K kleiner dan elke > 0 kan praten door het gebied waarover je integreert klein genoeg te maken, heet K uniform integreerbaar. Dus een normbegresnde verzameling K is uniform integreerbaar als voor alle > 0 er een δ > 0 bestaat zodat als voor E ∈ Σ geldt dat P (E) < δ dat danRE|f |dP < voor alle f ∈ K. Wanneer een verzameling niet normbegrensd is, is deze dus per definitie niet uniform integreerbaar. Desalniettemin is uniforme integreerbaarheid geen bijzonder sterke eigen-schap. Een verzameling die normbegrensd is moet van zeer specifieke vorm zijn wil deze niet uniform integreerbaar zijn.
We defini¨eren nu een topologie op L1(P ). Dit is niet de standaard topologie. We
be-kijken eerst alle lineaire functies f van de vorm f : L1(P ) → R. Uit de topologie weten
we dat de functie f continu is precies als voor alle open A ⊂ R de verzameling f−1(A) ook open is in L1(P ). De topologie die we op L1(P ) defini¨eren is de grofste topologie
zodat alle f van bovenstaande vorm continu zijn. Dus voor alle open A ⊂ R verklaren we als het ware de verzameling f−1(A) open in L1(P ) voor alle mogelijke lineaire f
van de vorm f : L1(P ) → R. De op deze manier op L1(P ) gedefinieerde topologie heet
de zwakke topologie. Deze topologie is in tegenstelling tot de standaard topologie op L1(P ) niet metrizeerbaar. Het begrip compactheid in deze zwakke topologie houdt wel
gewoon nog steeds in dat een verzameling K compact is als er voor iedere zwak open overdekking van K een eindige deeloverdekking bestaat. Het laatste wat we nu nog be-nodigen is de betekenis van convergentie in deze zwakke topologie op L1(P ). Een rijtje
{fn}∞n=1 in L1(P ) convergeert zwak naar f ∈ L1(P ) als limn→∞g(fn) = g(f ) voor alle
mogelijke lineaire functies g van de vorm g : L1(P ) → R. Merk op dat de integraal over
een willekeurige (meetbare) verzameling lineair is, en dus precies een g van deze vorm is. Deze eigenschap van de integraal komt in deze scriptie van pas.
Als we nu het keuze-axioma aannemen kunnen we met de bovenstaande begrippen krach-tige stellingen bewijzen. De stelling van Eberlein-ˇSmulian vertelt ons nu bijvoorbeeld dat de afsluiting K van een verzameling K ⊂ L1(P ) zwak compact is dan en slechts
dan als deze zwak rijtjes-compact is, oftewel dat elk rijtje in K een zwak convergerende deelrij heeft binnen K. Dit is een stelling die al vanzelfsprekend waar is in metrizeerbare ruimten, maar dus ook geldt in deze specifieke niet-metrizeerbare ruimte.
Het meest verbluffende resultaat van deze scriptie is de stelling van Dunford-Pettis. Deze zegt dat een verzameling K ⊂ L1(P ) uniform integreerbaar is, precies als de afsluiting
K zwak compact is. Dit is in combinatie met de eerder genoemde stelling van Eberlein-ˇ
Smulian een enorm belangrijk resultaat binnen de topologie en de functionaalanalyse. Het heeft dan ook vele handige gevolgen binnen deze vakgebieden, maar zelfs binnen de kansrekening.
Bibliografie
[1] J. Diestel, Uniform Integrability: An Introduction, University of Pretoria, Pretoria, Zuid Afrika, 1991
[2] V. I. Bogachev, Measure Theory. Volume I, Moskou, Rusland, Springer-Verlag, 2007 [3] G. Zitkovic, Uniform Integrability, University of Texas, Austin, Verenigde Staten,
2015
[4] B. Cascales, I. Namioka, J. Orihuela and M. Raja, Banach Spaces and Topology, University of Murcia, Murcia, Spanje, 2001
[5] S. Vermeeren, Sequenced and nets in topology, University of Leeds, Leeds, Verenigd Koninkrijk, 2010
[6] K. Conrad, Zorn’s lemma and some applications, University of Connecticut, Storrs, Verenigde Staten
[7] C. Wildman, A Proof of Tychonoffs Theorem, University of California, San Diego, Verenigde Staten, 2010
[8] G. Ramesh, Weak Topologies, Indian Institute of Technology, Hyderabad, India [9] K. Qarri, Eberlein-Smulian and some of its applications, University of Agder,
Kris-tiansand, Noorwegen, 2014
[10] B.P. Rynne & M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer-Verlag, Lon-den, Tweede editie, 2008
[11] J. Bell, The Dunford-Pettis theorem, University of Toronto, Toronto, Canada, 2015 [12] J. Taylor, Martingales - Uniform Integrability, Arizona State University, Tempe,
