Het relatiebegrip

Het relatiebegrip

Citation for published version (APA):

Leeuw, de, A. C. J. (1968). Het relatiebegrip. (TH Eindhoven. Vakgr. organisatiekunde : rapport; Vol. 7). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1968

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

RET 'RELATIEBEGRIP ire A.C.J. de Leeuw groep organisatieleer

rapport no.

7

19 december 1968.

TEO H

N

I SO H

E

HO

G E

SOH

0 0

L

·E

I

N

D H

0 V E N

' . . .... ,& • • afdeling der bedrijfakunde

1.0.

groep organiaatieleer

Het relatiebegrip~

ire A.O.J. de Leeuw.

1. Inleiding. 2.10bjekten. en attributen.

'2.1.

Objekten.

2.2.

Attributen. 2.3. De vektorruimte

-Pc..,.)

3.

Het dynamiachcgedrag. ~.1. De "afgelegde baantJ • 3.2. De variatie

cS

~

4.

Het relatiebegrip.

4.1.

De relatie 1{

(J(,~X~

J

4.2.

Afgeleider.el..atiea •.

4.2.1.

De relatie

'R. (

X,

-e-

X2,

J

1+.2.2. De relatie

7?

t

X,

~

X4!

J

4.2.3.

De relatie

l?

{X.

;

X~

-j .

'4.2.4.

Typen ·relatiea.

4.2.5.

Relaties tussen objektenverzame11ngen.

4.3.

Enkele relatiebegrippen uit de literatuur.

~.4. Over Causaliteit.

5.

Samenvatting.

19-12-1968

Het relatiebegrip.

1. lfinleiding.

In de definitie van het begrip l'ayeteem" zoals dit is

gepresen-teerd in

[1]

en [2J wordt gebruik gemaakt van het koncept "relatie", Aangezien het in de bedoe.ling ligt met het begrip "systeem" de basis te leggen voor-een methodologievoor de bestudering van systemen in het algemeen en de bestudering van organisaties in het bij-zonder lijkt het zinvol het relatiebegrip nader t~ specificeren. Dit stellen wij ons voor in dit rapportje te doen.

Wij hebben ook hiergakozen voor de wiskundige symboliak en weI om drie belangrijke redenen.

Ten eerste levert de wiskunde ons een taal welke in to~namende

mate binnen aIle disciplines wordt gehanteerd en daarmee in toe-nemende mate als universeel kommunikatiemediumdienst kan doen. Ten tweede is het met wiskundige symboliek mogelijk zeer precies weer te geven wat men bedoelt. Ten derde en tenslotte is het ge-bruik van wiskunde een noodzakelijke voorwaarde om totk~ntifi-·

cering te geraken.

2. Objekten.en attributen.

In

[2J

wordt gesteld dat objektend1e spbsystemen z1jn welke wij beschouwen als black-box.

Een black box is gedefinieerd als een systeem waarvoor geldt:

S·.: <

1'Wo'~ ~

EV' J

o?,

E.s'

>

Hierin is:

iworde verzameling van objekten van

~welke

slechts

~~n objekt~

nl. Wo , bevat

Et

de omgeving van

$ ,

zijnde de verzameling van objekten die niet tot

S

behoren en weI relatica met .~ vertonen.

~erde verzameling van relaties tussen

E

en ~ •

Het is evident dat bij het konstrueren van een theorie moet worden uitgegaan van een aantal koncepten welke niet worden gedefinieerd. (de zg. primitieve termen). Voor een axiomatiache theorie is het niet strikt noodzakelijk dat deze primitieve termen een intuItieve . betekenis hebben. Wij zullen evenwel, in verband'met de

toe-passingsgebieden waarvoor wij de theorie trachten te konstrueren , trachten de koncepten een

intuItiev~ betek~nis

te geven door middel van een aantal eenvoudige voorbeelden. Vooralsnog beschouwen wij de koncepten objekt en attribuut als primitieve termen.

201. Ob1ekten._{_-.I.' ..}

Wij duiden objekten aan met het symbool ~en een verzameling van objekten met het symbool

1N'.

Voorbeelden:

\l,

=

{Jan, Karel, de

x-8

rekenmachine van de THE

1

Wij onderaoheiden drie objekten:

W.:::

Jan

«J~::: Karel

w~: de

x-8

rekenmachine van de THE

- 'Wt,=

fx.'1'2.~

Wij onderscheiden drie objekten: w.=)(,

W" ':

't,

w,:: ':&

De objekten zijn hier mathematische variabelen.

Vlij beschouwen slechta verzamelingen V waarvoor geldt:

V"I"¢

2.2. Attributen.

Attributem zijn op te vatten als eigenschappen van de objekten. Vlij duiden ze aan met het symbool

x.

Attributen zijn abatrakte begrippen die gebruikt worden omoeen objekt te karakteriseren.

De verzameling van attributen behorende bij het objekt noteren we met

X

_{to.> •}

Xc."

=

lit

t

x is een attribuut van w

1

Voorbeelden: {Jan

1

ileeftijd, motivatie, gewicht, langte, ••••

1

fDe

x-8

rekenmachine van de THE \

{invoersnelheidin bits per seconde, prijs, gewioh~~••

3

Aan

X...,

stellen we de eis:"X.,1

¢

Dit betekentdat wij geen objekten zullen beschouwen waaraan geen attributen ~unnen worden toegeken~d.

De att~ibuten x E

J.[w

kunnen bepaaldewwaarden aannemen.

Op het fundamentele vraagstuk van het toekennen van getallen aan waarnemingen gaan we hier niet in.(1)

3

-De verzameling van waarden die x kan aannemen geven we aan

met J)(N).

Een bepaalde waarde word t aangeduid met !. 6 1> C)f) II

2.3.

De vektorruimte,r~.

De attributen )( e

X...

spanneneen vektorruimte

T'..

Ope Formeel kan men 7'~' opvatten als de verzameling

waarover een metria!: ct is gedefinieerd. Op een bepaald moment is nu alle inf'ormatie omtrent de attributen

x

e

X...

vastgelegd in een vektor l! S

7'....

3.

Het dynamisch gedrag.

3.1.

De "afgelegde baan".

In paragraaf

2.3.

hebben we gesteld dat ~en objekt e:... op een

bepaald moment kan worden gekarakteriseerd door een vektor

X

e ~~

Aangezien ons met name het dynamisch gedrag van deze vektor interesseert zullen we de verzarneling van "punten" in

T"

&.-.>

die 2:S "doorlooptlf _{nader karakteriseren. Wij beschouwen het}

gedrag van 2:S gedurende het tijdsinterval

T

=

<-

c::oQ~-t, ')

Daartoe definieren we de afgelegde baan Ii c-oo.-bJ ala een afbeelding van

T

ill

T'

w '

~c--)t.J : T - ) 0 T\oU .

Op het tijdst.ip t wordt alle informatie omtrent w nu vastgelegd door ~

c-

co,-t ']

Op analoge wijze kunnen we nu de baan ~

C-t,.t. ... At.1

deflnieren. Hierin is A-t. Eo Co .... 00)

Er zijn vele banen .denkbaar.

De verzameling van alle toegestane of' denkbare banen duiden we aan met

':D (.

Iit i:f t. +A -!. ' ] ) •

- lJ.

-3.2. De. varia tie

6

Ii

Onder de variatie J~ zullen we verstaanneen willekeurige baan die ~ in T'doorloopt. Nauwkeurigar geformuleerd:

& ~ is een baan! t ~ •t ....4 -f:.

J

e

j) ( ~ C1; , -t:..+ A

-e

1

waarvoor geldt:

~t:. e. ( 0 , + 00)

:I

ob, 3"t_{z ('6,}

e

C-t..t"'At.1 ~-I:1Ei J:i:)i.-tA-t.1

'==*

cL

C

~ '-i:;), ~ (t:_{z ))}

=/:"0 )

Hierin is d de metriek .lie wij hebben gedefinieerd.

De betekenis hiervan is eenvoudig dat wij de nulvariatieJ4 ~o

nmetzullen beschouwen.

4.

Het relatiebegriE.

4.1.

De relatie

'R

Lx

I

~

Xi,

~

Wij zullen allereerst definieren wanneer we apreken van een re-latie tussen twee disjuncte attrib~tenverz~~eIingen;C,en

)(a

Intuitief is het duidelijk dat het begrip relatie'duidt op een

~. "veranderiniin de ene verzameling die een verandering in de andere verzameling impliceert.

Definitie:

Zij

X

I een attributenverzameling

)(zeen attributenverzameling

~en ~ vektorru~mten opgespannen door de elementen uit

X,

respectievelijk

X

z

:1

2i,

3

~z

:I

ci?S, (~I € ~

Jt

x~ b ~&- 6~, 6

JJ (

Q,~,)

*

:J

0~~ EOJ) ( &'62,.))

=?

'R (

X, --..

X

z

J

Men kan'tlit op alternatieve wijze ala voIgt definieren. Zij

r-(=

7J (;

~,J

"

'J)(

tf?!~)

)("JJ

(5*-)

13'

=

L>

(C~a)

[

1?

f

'X, -.

X:t

~

c::::.

R )(

~

11.

{X,---.

X.tJ :-;.

¢.

4.2.

Afgeleide relaties. Z

In paragraaf

4.1.

hebben we de relatie '7l,

I}(,

~

.z

1gedefinieerd. relatiea .

5

-4.2.1.

De relatie

11 {

X,

~

Xl.

J

Definitie:

. 4.2.2.

De relatie Definitie:

4.2.3.

De relatie Definitie:

11.

f

X,

c:-

X.t}

~

1l

f:X

₄

--+X,

r

11 [X,

~XlJ

11.

f

X,-4~

J

A

1{[

X,

~X~} ~

Il

t

X,

~Xz

}

1l (X, ;

X"

j

1/ [

X, ...

X

zY

V

1i

f

X,

~

XJl

f

V

11.

I

X,

~

X.

J

#

1l

t

X ;

X, }

,

We spreken

1l IJ(,

;~; uit .als: itEr is een relatie tussen

X,

en J{~.

4.2.4.

Typen relaties. Zij:

1!.

f

X, ;

X

_t

J

waarin

X,

en

X

Jl disjuncte attributenverzamelingen zijn.

We onderscheiden:

- De implicatieve relatie .

1/.

f

x,

-+

X

_{z }}

J\ - ,

'it

tX/~ X3. ~#

"1l {

.l';

~ X,j

- De coimplicatieve relatie

71 fX,-,.

X

₂

1

A 11 [X

~

)rlJ

~1l

!

X,

~

X,]

4.2.5.

Relaties tussentwee objektenverzamelingen. Zij ~ een objektenverzameling

~ een objektenverzameling zodanig dat

rv;n

W,

=

¢

en

:x :

U

'X~

I WE"V/ • !.

waarin J(~de attributenverzamelingbhhoren4e bij het objekt ~

voorstelt.

Def'in:ttli;~:

1L {X, ;

"X,J

#'R

IV,;

V,

J

Op analoge wijze 'kan men definieren de relaties

11.!

IV'j

Tv

J

waarin (.v ¢

V

en

- 6

4.3.

~nkele relatiebegrippen uit de literatuur.

In de wiskunde

(1~

wordt het begrip (binaire-) relatie gede-finieerd als een deelverzame~ingvan het cartesisch produkt

van twee verzamelingen. In feite hebben wij onze relatiedefinitie hierop gebaseerd. De vraag is nu in hoeverre zich de in de lite-ratuur voorkomende typen relaties onderdde door ons voorgestelde definitie laten vangen.

M.L. Zetterberg geeft in

[4J

een opsomming van fn de sociologie gebruikte typen causale relaties. Wij zullen nagaan in hoev~rre

de~e dich:

laten.

ondarbnengen'in.:'de,'dob;rrons: voorgestelde: typen~(;;

,

1. Een relatie kan omkeerbaar of onomkeerbaar zijn. omkeerbaar: ( if X, then

y ;

and if

y.

then X ) In onze nota tie

1l {

X

~

Y

1

onomkeerbaa;:: (i,f X • then

y ;

but if

y

then no conclusions about

X )

In onze notatie

11. {

X

~

Y

J

2. Een relatie kan deterministisch zijn of stochastisch. deterministisch (if Xthen always

y )

stochastisch (if X then probably

y' )

Met de begrippen deterministisch'en stochastisch kan een uitspraak worden gedaan over de aard van de relatie. Voor het door ons uitgevoerde relatiebegrip ,komt dat near op het

volgende: , (2)

11

f)(~Y3 c: j:}x13

11. {

x-.,.

y}

is een afbeelding ~

1?

[X....,yjis determdmistisch

11 { )(-.,

y)

is niet' eenwaardig

~

?l

t

y-"y}is stochastisch

In een volgend paper hopen we op de begrippen deterministiscn en stochastisch nader in te gaan.

3.

De relatie kansequentieel of niet sequentieel zijn

(3)

sequentieel: (if X then latery ) niet sequen tieel: ' (if X then also

y )

Aangezien wij over het tijdsaspect van de relatie niet hebben geapr6kenj kunnen wij dit type relatie (nag) niet onderscheiden.

Het is evident dat echter voor beide typen geldt

1?fx-,)ovj·

(1) Zie o.m.

[5]

en

[6).

(2) Zie paragraaf 4.1.

- 7 ..

4.

De relatie kan voldoende (sufficient) zijn of niet voldoende (contingent).

"suffid.ent",: (if)(, then

y

regardles~ ·of anything else) "contingent": (if

X

t then

y

t but only if Z )

We komen hier in de sfeer van de multivariate relaties. We gaan er hier niet nader op in, maar volstaan met op te merken dat men de contingente relatie kan omzetten in een vpldoende relatie door te stellen: (if X and "Z then

y

regardless of anything else). En indien we X and

-;z

vervangen door X' : (if X' then

y

regardless ,of anyting else)

5.

De relatie kan noodzakelijk zijn ofvervangbaar.

noodzakelijk (necessary): (if

X

and only if X. then

y)

vervangbaar (substitutable): (if

X,

then

y

b~t ifz. ,then also

y )

We volstaan met de volgende opmerkin~'L'

Het betreft hier een multivariate relatie.

6.

De relatie kan interdependent zijn.

Zij .A l( en

A't

"kleine" toenamen in de varia~elen )( en

y

Men spreekt van een interdependente relatie indien: - Als X verandert van

x,

in >(1. (waarin x,::: x, .... ~ )( )

dan en slechts d.an verandert ~ van

'jl

in

'do

+

A'1

- Bovendien: Indien ~ verandert van ~l in

'1:t

(waarin ~1=~I+6c~.) dan en slechts dan verandert X van Xz. in X~ ....~ x .

Deze interdepenterelatie is een speciaal geval van de relatie 1l,

I

X~

y

J

waarbij 1)(Jx) en ']){tf

yJ

is beperkt' L

tot "kleine" ver.anderingen A,xen A

1 .

Hiermee is de inter .dependente relatie nog niet volledig gedefinieerd vanwege

hattcyclische karakter ervan. We gaan ,er thana niet nader op in.

Konklusie:

Het door ons gedefinieerde relntiebegrip omvnt de typen relaties welke door Zetterberg worden genoemd. We kunnen evenwelnog niet alle typen relaties in onze terminologie exact definieren.

- 8 ":"

4.4.

Over Causalite~.

Ret is duidelijk d~t ons bij de definitie van het relatiebegrip de intuitieve betekenis van de causale relatie voor ogen heeft gestaan. Teneinde het causale aspect van het relatiebegrip meer

in~oud te geven, zullen we enkele filosofische beschouwingen over

causaliteit weergegeven. Carnap

[7]

presenteert een analyse van het begrip "causaal".

Uit deze analyse blijkt volgens Carnap(1):

"Causal relations mean predj.ctabili ty. This does not mean actual predictability, because no one could have known all the relevant facts and laws. It means predic~ability in the sense that,

i f

the total previous situation had'been known, the event could have been predicted • •••••• It does not imply the possibility of some one actually predicting the event, but rather a potential predic-tability. Given all the relevant fa~ts and all the relevant laws of nature, it would have been possible to predict the event before it happened".

Men kan zich de vraag stellen in hoeverre de begrippen "causaal" en wetenschappelijke verklaring akwivalent zijn.

Nagel gaat hier in, een hoofdstuk in [8]nader op in. Hij komt tot de volgende konklusie.

"The general conclusion suggested by this.hasty surv@, namely that scientific explanations are not uniformmy causal, even if allowance is made for the diverse senses in which the term is currently employed- meads directly to:the further question whetfuer reliable prediction is possible only in those cases in which the causal determinants of events have been established ••.•

VIe can often make suecesful predictions on the basis of known

sequential relations are not 'directly causal or, at any rate, are not known to be causal."

Aangezien wij ons niet kompetent aehten om de begrippen "causaal" en "wetenschappelijke verklaring" nader filosofisch uit te werken, volstaan wij met de citaten van Carnap en Nagel grof, maar voor ons doel voldoende nauwkeurig samen te vatten en in verband te brengen met onze relatie definitme. Zij

-n

{x, -.,. X

_l

3

De relatie kan causaal zijn. (In de zin van voorspelbaarheid indien aIle relevante gegevens en wetmat~gh~denbekendzouden zijn).

Zij kan niet causaal zijn.

9

-5.

Samenvatting.

Het begrip "relatie" is ingovoerd. Daarbi,\~ zijn we uitgegaan van twee disjuncte attributenverzamelingen

X,

en

X

t •

Het essentiele element in de definitie kan als voIgt worden omschreven. We zeggen dat er een relatie tussen X,enXtbestaat, indien er een

verandering in de waarden van de attributen X E')(, denkbaar is die een verandering in de attributen )(E

'X,

impliceert.

De implicatie kan al of niet een causaal aspect hebben.

In beide gevallen echter heeft de relatie een voorspellend karakter. We hebben gekonstateerd dat .ons relatiebegrip de door, Zetterberg

[4)

geformuleerde typen relaties in de sociologie omvat.

Tenslotte merken we nog op dat het niet relevant is of zich een verandering in de attributen )( €

X,

inderdaadvoordoet, Het gaat

z.ieJ,

er om of ereen verandering in de attributen )t

e-X,

zou k6.nnen voordoen.,

10

-Literatuur.

(1]

A. de Leeuw "De Bysteembenadering van orgariisaties" Technische Hogeschool Eindhoven

Afd. Bedrij~skunde i.o.,groep organisatieleer

dd.

15-10-1968.

[2] A. de Leeuw "De bestudering van systemen" Technische Hogeschool Eindhoven

Afd. Bedrijfskunde i.o., groep organisatieleer dd.

6-11-1968.

,

. [3]

P. Suppes and J.L. Zinnes "Basic measurement· theory" in: R.D. Luce e.a. (eds)

"Handbook of mathematical psychology"

vol 1

Wiley New York

1968

[41

H.L. Zetterberg "On theory and verification in sociology" Third enlarged editmon The ~edminster press

1965

[51

W.H. Starbuck "Mathematics and organisation theory"

Ch. 8 in: J .G. March ed. .'

flHandbook of organisations" Rand mc Nally

1965

[6]

VI.R. Ashby "The set theory of mechanism .and homeostasis" In: D.J. Steward ed.

"Automation theory and learning systems" .Academic press London

1967

[7] R. Carnap "Philosophical foundations of physics" Basic books. Inc.

1966

[8J

D. Lerner ed. "Cause and effect"

The massachusetts Institute of Technology

1965

The free press New York.

i