Symmetrie¨
en in het kwantummechanisch
systeem van het waterstofatoom
Aron van Baarsen
7 juli 2016
Bachelorproject
Begeleiding: dr. Raf Bocklandt
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In dit stuk wordt gekeken naar het verband tussen het kwantummechanisch systeem van het waterstofatoom en zowel de groep SO(3) als de Lie-algebra so(4) van de groep SO(4). Het doel is om de SO(3) en so(4) symmetrie van het systeem te gebruiken om meer te weten te komen over het kwantummechanische systeem van het waterstof-atoom. Hiervoor worden eerst enkele begrippen uit de kwantummechanica gegeven om het kwantummechanische systeem van het waterstofatoom te beschrijven. Vervolgens wordt het verband gegeven tussen symmetrie¨en van een kwantummechanisch systeem en representatietheorie van Lie-groepen en Lie-algebra’s. Dit motiveert de daarop volgende definities van de gebruikte groepen, Lie-groepen, Lie-algebra’s en de constructie van alle eindigdimensionale irreducibele representaties van SO(3) en so(4).
Uiteindelijk wordt deze theorie gebruikt om meer inzicht te verschaffen in het kwan-tummechanische systeem van het waterstofatoom. Uit de SO(3) symmetrie volgt dat de stationaire toestanden van het waterstofatoom met een bepaalde energie een repre-sentatie vormen van SO(3) en dat de sferische harmonieken een deel uitmaken van de golffuncties van het waterstofatoom. De so(4) symmetrie wordt vervolgens gebruikt om de energieniveau’s van het waterstofatoom te bepalen. Ook volgt uit deze symmetrie dat de stationaire toestanden van het waterstofatoom met een bepaald energieniveau een irreducibele representatie van so(4) vormen. Er wordt daarnaast bepaald hoe deze representatie zich ontbindt in irreducibele representaties van SO(3). Hieruit volgt ten-slotte, met inachtneming van de spin van een elektron, hoeveel elektronen zich in een bepaalde energietoestand van het systeem kunnen bevinden.
Titel: Symmetrie¨en in het kwantummechanisch systeem van het waterstofatoom Auteur: Aron van Baarsen, aron.vanbaarsen@student.uva.nl, 10362797
Begeleiding: dr. Raf Bocklandt Einddatum: 7 juli 2016
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1. Inleiding 4 2. Theorie 5 2.1. Kwantummechanica . . . 5 2.2. Groepen . . . 7 2.2.1. Unitaire groep . . . 72.2.2. Speciale unitaire groep . . . 8
2.2.3. Speciale orthogonale groep . . . 8
2.2.4. Spingroep . . . 9
2.3. Levi-Civita tensor . . . 11
2.4. Lie-algebra’s . . . 11
2.4.1. Lie-algebra van de speciale orthogonale groep . . . 12
2.4.2. Lie-algebra van de speciale unitaire groep . . . 12
2.4.3. Lie-algebra van de spingroep . . . 13
2.5. Representaties . . . 14 2.5.1. Lie-algebra representaties . . . 14 2.5.2. U (1) . . . 17 2.5.3. SU (2) . . . 18 2.5.4. SO(3) . . . 22 2.5.5. so(4) . . . 26 3. Resultaten 28 3.1. SO(3) symmetrie van het waterstofatoom . . . 28
3.2. so(4) symmetrie van het waterstofatoom . . . 29
3.3. Verband tussen de so(4) en SO(3) symmetrie . . . 33
4. Conclusie 35
5. Populaire samenvatting 37
Bibliografie 39
1. Inleiding
Het waterstofatoom bestaat uit een positief geladen proton en een negatief geladen elek-tron. Beiden deeltjes zorgen voor een elektrisch veld en oefenen hierdoor een kracht op elkaar uit. Door de krachten op het elektron te modelleren kan het gedrag van het elektron in een waterstofatoom voorspeld worden. Dit kan door het opstellen van een Hamiltoniaan die de totale energie van het elektron in het waterstofatoom beschrijft. Deze Hamiltoniaan geeft vervolgens aan hoe het systeem met de tijd verandert. Daar-naast geven de eigentoestanden van de Hamiltoniaan de stationaire toestanden van het systeem met een bepaalde energie eigenwaarde. Het oplossen van de tijdsonafhankelijke Schr¨odingervergelijking geeft de energieniveaus en de golffuncties van deze stationaire toestanden. In dit stuk zal er worden gekeken naar de symmetrie¨en die het kwan-tummechanische systeem van het waterstofatoom bezit. Als we het waterstofatoom zo voorstellen dat het proton op de oorsprong ligt, dan is een voor de hand liggende sym-metrie van draaiingen om een as door de oorsprong. Na een dergelijke draaiing blijft de afstand tussen het elektron en het proton gelijk, en het lijkt geen slechte aanname dat na een draaiing de energie van het elektron niet verandert. Daarnaast is er nog een symetrie die fysiek niet erg intuitief duidelijk is en afkomstig is van de elektrische potentiaal van het proton. Het doel is om deze symmetrie¨en te gebruiken om meer in-zicht te verkrijgen in de kwantummechanica van het waterstofatoom, zonder expliciet de Schr¨odingervergelijking voor het systeem op te lossen.
2. Theorie
Zoals in de inleiding al verteld, kunnen symetrie¨en van het kwantummechanische systeem van het waterstofatoom informatie verschaffen over de oplossingen van de tijdsonafhan-kelijke Schr¨odingervergelijking. De actie van de bijbehorende groep zal dan namelijk commuteren met de Hamiltoniaan. Hierdoor zullen de eigentoestanden van de Hamil-toniaan behorend bij een bepaalde energie eigenwaarde, onder werking van de groep worden afgebeeld op een eigentoestand met dezelfde energie eigenwaarde. De eigen-ruimte behorend bij een bepaalde energie eigenwaarde zal nu een representatie van deze groep vormen. Het is hierdoor nuttig om de irreducibele representaties van de groepen, behorend bij symmetrie¨en van het systeem, te bestuderen om meer te weten te komen over hoe de representatie op de eigenruimte ontbindt in irreducibele representaties van deze groepen.
Hiervoor zullen er eerst enkele begrippen uit de kwantummechanica, die we in de loop van de tekst gebruiken, uitgelegd worden. Vervolgens zullen de groepen, die we in de tekst bestuderen, ge¨ıntroduceerd worden en zal het begrip Lie-groep gedefinieerd worden. Doordat de gebruikte groepen Lie-groepen zijn, kunnen we de Lie-algebra van deze groepen bepalen als een hulpmiddel om met de groepen te werken. Tenslotte zullen we alle irreducibele representaties bepalen van de groepen die aan bod gekomen zijn. Tussendoor wordt ook nog de Levi-Civita tensor ge¨ıntroduceerd als notationeel hulpmiddel.
2.1. Kwantummechanica
De meeste begrippen uit dit stuk zijn naar Griffiths [1]. Het waterstofatoom is te zien als een kwantummechanisch systeem, waarbij de toestand van het systeem wordt gegeven door een golffunctie Ψ(x, y, z, t). Deze golffuncties moeten zich voor elk tijdstip t ≥ 0 in de Hilbertruimte L2(R3) bevinden.
Definitie 2.1. L2(R3) bestaat uit functies f : R3 → C, waarvoor geldt dat:
Z Z Z R3 |f |2 dx dy dz 1/2 < ∞ Met het inproduct gegeven door
hf, gi = Z Z Z
R3
f ¯g dx dy dz is deze ruimte een Hilbertruimte.
Ook zijn de golffuncties genormaliseerd, zodat: Z Z Z
R3
|Ψ(x, y, z, t)|2dx dy dz = 1 , ∀ t ≥ 0
Dus kan |Ψ(x, y, z, t)|2 opgevat worden als de waarschijnlijkheid dat het deeltje zich op tijdstip t op de plaats (x, y, z) bevindt.
De Schr¨odingervergelijking vertelt hoe een golffunctie zich ontwikkelt in de tijd: i~∂Ψ
∂t = ˆHΨ
Waarbij ˆH : L2(R3) → L2(R3) een begrensde lineaire Hermitische operator is, die net
als de golffunctie van de tijd kan afhangen. Deze operator heet de Hamiltoniaan en geeft de totale energie van het systeem. In het geval van het waterstofatoom hangt de Hamiltoniaan niet van de tijd af, en wordt deze gegeven door:
ˆ H = − ~ 2 2m∇ 2− e 2 4π0 1 r (2.1)
Als de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt is het handig om de golffunctie te splitsen in een deel dat enkel van de tijd afhangt en een deel dat enkel van de plaats afhangt.
Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)ϕ(t)
Vullen we dit vervolgens in de Schr¨odingervergelijking in dan zien we dat i~ ϕ ∂ϕ ∂t = 1 ψ ˆ Hψ
en dus moeten beide termen gelijk zijn aan dezelfde constante E ∈ C, en: ∂ϕ ∂t = − i ~E ϕ , ˆ Hψ = E ψ
Hieruit volgt dat ϕ(t) = e−iE~t en dat ψ een eigentoestand is van de Hamiltoniaan.
Omdat de Hamiltoniaan een Hermitische operator is, geldt er dat E ∈ R. De boven-staande vergelijking voor ψ wordt ook wel de tijdsonafhankelijke Schr¨odingervergelijking genoemd. De oplossingen van de Schr¨odingervergelijking die door deze splitsing van va-riabelen worden verkregen noemen we seperabele oplossingen en stationaire toestanden. Andere belangrijke operatoren uit de kwantummechanica zijn de plaatsoperatoren:
r = (r1, r2, r3) = (x, y, z) De impulsoperatoren: p = (p1, p2, p3) = −i ~( ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z) En de impulsmoment operatoren: b L = r × p
Hebben we een groep G met een werking op L2(R3), waarvan de werking commuteert met de Hamiltoniaan ˆH. Dan geldt er voor ψ een eigentoestand van ˆH met eigenwaarde E en g ∈ G:
ˆ
H(gψ) = ( ˆHg)ψ = (g ˆH)ψ = g( ˆHψ) = g(Eψ) = E(gψ)
Dus zien we dat gψ ook een eigentoestand is van de Hamiltoniaan, met dezelfde energie eigenwaarde E. De eigenruimte van de Hamiltoniaan behorend bij de eigenwaarde E wordt dus invariant gelaten onder de werking van G en vormt een representatie van G.
We eindigen dit deel met een stelling die we later in de tekst zullen gebruiken.
Stelling 2.2 (Propositie 8.14 in [4]). Elke negatieve eigenwaarde E van de Hamiltoniaan van het waterstofatoom (2.1) heeft een eindig aantal lineair onafhankelijke eigentoestan-den, i.e. de dimensie van de eigenruimte VE is eindig.
2.2. Groepen
In dit deel zullen de definities worden gegeven van de groepen die in het vervolg van de tekst gebruikt gaan worden. Een belangrijk gegeven is dat de gebruikte groepen Lie-groepen zijn. De gebruikte definitie van een Lie-groep is naar Kirillov [2], ook het gegeven dat de gebruikte groepen Lie-groepen zijn is bewezen in [2].
Definitie 2.3 (Lie-groep). Een Lie-groep is een verzameling G met twee structuren: G is een groep en G is een gladde vari¨eteit. Deze structuren komen overeen op de volgende manier: De groepsoperaties vermenigvuldiging en inversie zijn gladde afbeeldingen. Met glad wordt C∞, oftewel oneindig vaak continu differentieerbaar, bedoeld.
2.2.1. Unitaire groep
Definitie 2.4 (U (n)). Voor n ∈ N is U (n) de unitaire groep van rang n, bestaande uit n bij n unitaire matrices. Dus:
Ω ∈ U (n) ⇐⇒ Ω ∈ GL(n, C) & ΩΩ∗ = Ω∗Ω = I U (n) is voor elke n ∈ N een Lie-groep.
Voorbeeld 2.5 (U (1)). Voor n = 1 bestaat de unitaire groep uit 1 bij 1 matrices met complexe co¨efficienten en norm ´e´en. De elementen van U(1) zijn dus punten op de eenheidscirkel en kunnen genoteerd worden als eiθ met θ ∈ R. Merk op dat dit voor θ
en θ + 2πn hetzelfde element geeft voor n ∈ Z. We kunnen intu¨ıtief zien dat U (1) een Lie-groep is, omdat we de groep kunnen identificeren met de eenheidscirkel.
2.2.2. Speciale unitaire groep
Definitie 2.6 (SU (n)). Voor n ∈ N is SU (n), de speciale unitaire groep van rang n, de ondergroep van U (n) bestaande uit de elementen met determinant gelijk aan ´e´en. Dus:
Ω ∈ SU (n) ⇐⇒ Ω ∈ U (n) & det(Ω) = 1 SU (n) is voor elke n ∈ N een Lie-groep.
Voorbeeld 2.7 (SU (2)). Voor n = 2 bestaat de speciale unitaire groep uit unitaire 2 bij 2 matrices met complexe co¨efficienten en determinant ´e´en. Alle elementen van SU (2) zijn te schrijven als:
α β −β α , α, β ∈ C , |α|2+ |β|2 = 1 Schrijven we nu: α = x1 + ix2 , β = x3+ ix4, x1, x2, x3, x4 ∈ R
Dan zien we dat SU (2) diffeomorf is met de 3-sfeer: S3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x21+ x 2 2+ x 2 3+ x 2 4 = 1} (2.2)
Dus hierdoor zien we intu¨ıtief waarom SU (2) een Lie-groep is.
2.2.3. Speciale orthogonale groep
Definitie 2.8 (SO(n)). Voor n ∈ N is SO(n) de speciale orthogonale groep van rang n, bestaande uit n bij n orthogonale matrices met determinant ´e´en. Dus:
Ω ∈ SO(n) ⇐⇒ Ω ∈ GL(n, R) & ΩΩT = ΩTΩ = I & det(Ω) = 1 SO(n) is voor elke n ∈ N een Lie-groep.
Voorbeeld 2.9 (SO(3)). Voor n = 3 bestaat de speciale orthogonale groep uit de orthogonale 3 bij 3 matrices met re¨ele co¨efficienten en determinant ´e´en. De elementen in SO(3) komen overeen met draaiingen in R3 om een as door de oorsprong. Elk element wordt dus gekenmerkt door de as waarom de draaiing plaatsvindt en de hoek van de draaiing. De draaiingen om de x, y en z-as worden gegeven door:
Rx(θ) = 1 0 0 0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) Ry(θ) = cos(θ) 0 sin(θ) 0 1 0 −sin(θ) 0 cos(θ) Rz(θ) = cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 0 0 0 1
Een willekeurige draaiing in SO(3) is te schrijven als het product van draaiingen om de co¨ordinaatassen met “Euler hoeken” φ, θ en ψ [3]:
R(φ, θ, ψ) = Rz(ψ)Rx(θ)Rz(φ) (2.3)
Om enige intu¨ıtie te verkrijgen waarom SO(3) een Lie-groep is, voeren we de volgende constructie uit. Neem een massieve bol in R3 met straal π en de oorsprong als
mid-delpunt, dan komt elk punt in de bol overeen met een draaiing op de volgende manier: De as van de draaiing wordt gegeven door de lijn door het punt en de oorsprong. De hoek van de draaiing wordt gegeven door de afstand van het punt tot de oorsprong. De punten in de onderste helft van de bol geven draaiingen met een hoek tussen 0 en −π. De identiteit wordt gegeven door het middelpunt van de bol. De draaiingen met een hoek van π en van −π om een as zijn echter hetzelfde. Dus komen de tegenovergestelde punten op het oppervlak van de bol overeen met dezelfde draaiing. Als we nu deze tegenovergestelde punten met elkaar identificeren is de resulterende topologische ruimte homeomorf met SO(3).
2.2.4. Spingroep
Voor de speciale orthogonale groepen SO(n) zijn er de geassocieerde spingroepen Spin(n). De groep Spin(n) is een Lie-groep van dezelfde rang als SO(n) en vormt een dubbele overdekking van SO(n). De constructie van de spingroepen en het bewijs dat deze een dubbele overdekking vormen van de speciale orthogonale groepen is naar Woit [3]. We bepalen nu expliciet de groepen Spin(3) en Spin(4).
Voorbeeld 2.10 (Spin(3)). Laat H de ring van quaternionen q = q0+ q1i + q2j + q3k , q0, q1, q2, q3 ∈ R
dan vormen de quaternionen met lengte ´e´en
1 = |q|2 = q20+ q21+ q22 + q32
een groep onder vermenigvuldiging. Deze groep noemen we Spin(3) en net als SU (2) kunnen we Spin(3) identificeren met de 3-sfeer (2.2). Er geldt dan ook dat Spin(3) isomorf is met SU (2).
We kunnen een puur imaginair quaternion q = q1i + q2j + q3k identificeren met een
vector q1i + q2j + q3k = ~v := (q1, q2, q3) ∈ R3. Zo kunnen we een werking defini¨eren van
Spin(3) op R3 door middel van de conjugatiewerking, voor u ∈ Spin(3): ϕu : R3 → R3, ~v 7→ u~vu−1
Deze actie is lineair en de lengte van ~v wordt behouden |u~vu−1| = |u||~v||u|−1 = |~v|
dus komt deze actie voor elke u ∈ Spin(3) overeen met een element uit SO(3) en kunnen we een afbeelding definieren:
Φ : Spin(3) → SO(3) , u 7→ ϕu
Deze afbeelding is een homomorfisme, want voor u1, u2 ∈ Spin(3) en ~v ∈ R3 geldt
Φ(u1u2)(~v) = ϕu1u2(~v) = (u1u2) ~v (u1u2) −1 = u1u2~v u−12 u −1 1 = u1ϕu2(~v) u −1 1 = ϕu1(ϕu2(~v)) = Φ(u1)Φ(u2)(~v)
Merk ook op dat Φ(u) = Φ(−u), omdat u~vu−1 = (−u)~v(−u)−1. Dus er zijn twee elementen van Spin(3) die af worden gebeeld op hetzelfde element in SO(3). Daarnaast geldt er dat Φ een surjectieve afbeelding is en dat Spin(3) een dubbele overdekking van SO(3) is. Nemen we bijvoorbeeld
u(θ) = eiθ = (cos(θ) + i sin(θ)) ∈ Spin(3) , θ ∈ R dan
u(θ)−1 = e−iθ = (cos(θ) − i sin(θ)) ∈ Spin(3) , θ ∈ R en voor ~v = q1i + q2j + q3k met (q1, q2, q3) ∈ R3:
ϕu(θ)~v = u(θ)~vu(θ)−1
= q1 cos2(θ) + sin2(θ) i + q2(cos2(θ) − sin2(θ)) − 2q3sin(θ)cos(θ) j
+ 2q2sin(θ)cos(θ) + q3(cos2(θ) − sin2(θ)) k
= q1i + (q2cos(2θ) − q3sin(2θ)) j + (q2sin(2θ) + q3cos(2θ)) k
Dus als we i, j en k identificeren met de standaardbasis van R3, krijgen we de matrix: Rx(2θ) = 1 0 0 0 cos(2θ) −sin(2θ) 0 sin(2θ) cos(2θ)
Voor een draaiing om de x-as met een hoek 2θ en analoog krijgen we voor u(θ) = ekθ de matrix voor een draaiing om de z-as met een hoek 2θ. Gebruikmakend van de parametrisatie van een willekeurig element uit SO(3) met de Euler hoeken uit (2.3), zien we dus dat Φ een surjectieve afbeelding is.
Voorbeeld 2.11 (Spin(4)). Nemen we paren (u, v) van quaternionen met norm ´e´en dan krijgen we de groep Spin(3) × Spin(3). We kunnen nu een quaternion q = q0+ q1i +
q2j + q3k identificeren met een vector q0+ q1i + q2j + q3k = ~q := (q0, q1, q2, q3) ∈ R4 en
nu hebben we een werking
ϕ(u,v) : R4 → R4, ~q 7→ u~qv
Deze actie is weer lineair en behoudt de lengte van vectoren en komt dus overeen met een element uit SO(4) voor elke (u, v) ∈ Spin(3) × Spin(3). Ook zien we dat de werking voor (u, v) en (−u, −v) hetzelfde element in SO(4) geven. Dus op dezelfde manier als bij SO(3) is Spin(3) × Spin(3) een dubbele overdekking van SO(4). Spin(3) × Spin(3) is dus de gezochte groep Spin(4).
2.3. Levi-Civita tensor
In dit deel introduceren we de Levi-Civita tensor welke later in de tekst gebruikt zal worden om commutatierelaties compacter op te schrijven en handiger uit te rekenen. Definitie 2.12 (Levi-Civita tensor). De Levi-Civita tensor wordt genoteerd als ijk voor
i, j, k ∈ {1, 2, 3} en is gedefinieerd als: ijk =
1 als (ijk) een even permutatie van (123) is −1 als (ijk) een oneven permutatie van (123) is 0 als i = j , j = k of k = i
Als we gebruikmaken van de Einstesommatieconventie die zegt dat wanneer een in-dex herhaald voorkomt in een formule, dit impliceert dat er over deze inin-dex gesommeerd wordt. Zo kunnen we bijvoorbeeld het inproduct tussen twee vectoren ~v = (v1, v2, v3)
en ~w = (w1, w2, w3) opschrijven als ~v · ~w = viwi. Gebruikmakend van deze conventie en
de Levi-Civita tensor kunnen we de componenten van het uitproduct noteren als: (~v × ~w)i = ijkvjwk
Laten we nu δij de Kroneckerdelta, waarvoor geldt:
δij =
(
1 als i = j 0 als i 6= j
Dan hebben we de volgende nuttige resultaten met betrekking tot de Levi-Civita tensor en de Kroneckerdelta, die we later in de tekst nog zullen gebruiken:
ijkimn = δjmδkn− δjnδkm
ijkijm = 2δkm
ijkijk = 6
2.4. Lie-algebra’s
De Lie-algebra van een Lie-groep G is gedefinieerd als de raakruimte van G aan de identiteit. Omdat alle gebruikte groepen matrix groepen zijn, zullen we alleen de definitie gebruiken voor de Lie-algebra van een Lie-groep bestaande uit matrices. De definitie van de Lie-algebra van een matrix Lie-groep en de constructie van de Lie-algebra’s van de gebruikte groepen is naar Woit [3].
Definitie 2.13 (Lie-algebra). Zij G een Lie-groep bestaande uit inverteerbare n bij n matrices voor een n ∈ N. De Lie-algebra van G is de ruimte van n bij n matrices X waarvoor geldt dat etX ∈ G voor t ∈ R. De Lie-algebra van G noteren we met g.
Definitie 2.14 (Lie-haak). De Lie-haak operatie op de Lie-algebra g is de bilineaire antisymmetrische afbeelding gegeven door de commutator van matrices:
[., .] : g × g → g , (X, Y ) 7→ [X, Y ] = XY − Y X
We zijn nu in staat om de Lie-algebra te bepalen van de speciale orthogonale groep en de speciale unitaire groep.
2.4.1. Lie-algebra van de speciale orthogonale groep
Voor de Lie-algebra van SO(n) zijn we op zoek naar n bij n matrices X waarvoor geldt dat Ω = etX. Nu krijgen we voor de eigenschap van orthogonaliteit:
I = ΩΩT = etX(etX)T = etXetXT
Deze gelijkheid moet gelden voor alle t ∈ R en dus ook als we de afgeleide naar t nemen: etXXTetXT + XetXetXT = 0
Op t = 0 geldt vervolgens:
X + XT = 0
Dit geldt voor X een antisymmetrische matrix, dus waarvoor XT = −X. De Lie-algebra so(n) van SO(n) wordt dus gegeven door de n bij n antisymmetrische matrices met re¨ele co¨efficienten en het product gegeven door de commutator.
Voorbeeld 2.15 (Lie-algebra van SO(3)). Voor n = 3 wordt een basis voor so(3) gegeven door: `1 = 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 `2 = 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 `3 = 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 (2.4) Waarvoor de volgende commutatierelaties gelden:
[`1, `2] = `3, [`2, `3] = `1, [`3, `1] = `2 (2.5)
Gebruikmakend van de Levi-Civita tensor zijn deze te schrijven als: [`i, `j] = ijk`k
2.4.2. Lie-algebra van de speciale unitaire groep
Analoog aan de afleiding van so(n) zien we dat de Lie-algebra su(n) van SU (n) wordt gegeven door de n bij n scheef hermitische matrices, waarvoor X∗ = −X, met het product gegeven door de commutator.
Voorbeeld 2.16 (Lie-algebra SU (2)). Voor n = 2 wordt een basis voor su(2) gegeven door: X1 = 1 2 0 −i −i 0 , X2 = 1 2 0 −1 1 0 , X3 = 1 2 −i 0 0 i (2.6) Waarvoor eveneens de volgende commutatierelaties gelden:
[X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2 (2.7)
Oftewel:
[Xi, Xj] = ijkXk
We zien dus dat de Lie-algebra’s so(3) en su(2) isomorf zijn.
2.4.3. Lie-algebra van de spingroep
Zoals we in 2.2.4 zagen vormen de spingroepen Spin(n) een dubbele overdekking van de speciale orthogonale groepen SO(n). Hierdoor kunnen we ook de Lie-algebra’s van deze groepen met elkaar in verband brengen. We hebben in het algemeen namelijk de volgende stelling.
Stelling 2.17. Gegeven Lie-groepen G en H met Lie-algebra’s respectievelijk g en h. Als G een overdekking van H vormt dan zijn g en h isomorf.
Bewijs. Als G een overdekking van H vormt dan is er een overdekkingsafbeelding Φ : G → H, waarvoor de afgeleide Φ0 : g → h een Lie-algebra homomorfisme is. Er geldt dus dat er een omgeving U ⊂ H van de identiteit 1 ∈ H is zodat het inverse beeld Φ−1(U ) geschreven kan worden als de vereniging van disjuncte open verzamelingen Vα ⊂ G,
waarvoor geldt dat voor elke α de beperking Φ|Vα een homeomorfisme is tussen Vα en
U . Bekijken we nu de raakruimten aan de elementen 1α ∈ Vα met Φ(1α) = 1 dan zijn
deze voor elke α homeomorf aan de raakruimte van 1 ∈ U via de afbeelding Φ0. Ook geldt er, omdat Φ een homomorfisme is, dat de eenheid 1 ∈ G bevat is in de verzameling {1α}α. Dus is de raakruimte aan de identiteit 1 ∈ G homeomorf met de raakruimte aan
de identiteit 1 ∈ H. De afbeelding Φ0 is dus een homomorfisme en een homeomorfisme oftewel een isomorfisme tussen de Lie-algebra’s g en h.
Eerder zagen we al dat de spingroepen
Spin(3) ∼= SU (2) en
Spin(4) := Spin(3) × Spin(3) ∼= SU (2) × SU (2)
dubbele overdekkingen zijn van respectievelijk SO(3) en SO(4). Uit stelling 2.17 volgt dus dat
so(3) ∼= su(2) wat we eerder al expliciet zagen, en dat
so(4) ∼= su(2) ⊕ su(2) ∼= so(3) ⊕ so(3) Dus kunnen we nu ook de Lie-algebra van SO(4) beschrijven.
Voorbeeld 2.18 (Lie-algebra SO(4)). Er geldt dat so(4) ∼= so(3) ⊕ so(3) en een basis voor so(3) ⊕ so(3) wordt gegeven door paren mi = (`i, 0) en ni = (0, `i) met i ∈ {1, 2, 3}
en de `i als in (2.4). De commutatierelaties voor de mi en ni zijn hetzelfde als voor de
`i in (2.5) en onderling geldt er dat voor alle i, j ∈ {1, 2, 3}:
[mi, nj] = [(`i, 0), (0, `j)] = ([`i, 0], [0, `j]) = (0, 0) = 0
Dus de Lie-algebra so(4) bestaat uit twee commuterende kopie¨en van de Lie algebra so(3).
2.5. Representaties
In dit deel zullen we eerst alle eindigdimensionale irreducibele representaties van U (1) en SU (2) bepalen. Deze zijn nodig om vervolgens alle eindigdimensionale irreducibele representaties van SO(3) en so(4) te bepalen. Het is hierbij handig om naar represen-taties van de Lie-algebra’s van deze groepen te kijken, omdat de Lie-algebra’s en hun representaties makkelijker te begrijpen zijn dan de groepen zelf. Het grootste deel van de stellingen over Lie-algebra representaties en de afleiding van de eindigdimensionale irreducibele representaties van U (1), SU (2) en SO(3) is naar Woit [3] en het stuk over so(4) representaties is naar Singer [4]. Daarnaast hebben we de volgende stelling over unitaire representaties van Lie-groepen, die we later nog zullen gebruiken.
Stelling 2.19 (Stelling 4.30 in [2]). Elke unitaire representatie van een Lie-groep G is volledig reducibel, i.e. isomorf aan een directe som van irreducibele representaties van G.
2.5.1. Lie-algebra representaties
We kunnen een representatie van een Lie-algebra op een soortgelijke manier defini¨eren als een representatie van een groep.
Definitie 2.20 (Lie-algebra representatie). Een Lie-algebra representatie (φ, V ) van een Lie-algebra g op een n-dimensionale complexe vectorruimte V wordt gegeven door een re¨ele lineaire afbeelding
φ : g → M (n, C) , X 7→ φ(X) waarvoor geldt:
φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )]
Voor elke representatie van een Lie-groep is op de volgende manier een representatie van de bijbehorende Lie-algebra te verkrijgen.
Stelling 2.21. Als π : G → GL(n, C) een representatie van een Lie groep G is, dan is π0 : g → M (n, C) , X 7→ π0(X) = d
dt(π(e
tX
))|t=0
Voor het bewijs van deze stelling hebben we de volgende lemma’s nodig. Lemma 2.22. Voor X ∈ g en t ∈ R :
π(etX) = etπ0(X) Bewijs. Er geldt dat
d dtπ(e tX ) = d dsπ(e (t+s)X )|s=0 = d dsπ(e tX esX)|s=0 = π(etX) d dsπ(e sX) |s=0 = π(etX)π0(X)
Dus f (t) = π(etX) voldoet aan de differentiaalvergelijking d
dtf = f π
0(X) met
begin-conditie f (0) = π(1) = 1. Deze differentiaalvergelijking heeft als unieke oplossing f (t) = etπ0(X) en dus volgt er dat π(etX) = etπ0(X)
Lemma 2.23. Voor g, X ∈ M (n, C) en t ∈ R : etgXg−1 = getXg−1 Bewijs. Er geldt dat
(tgXg−1)n= (g(tX)g−1)(g(tX)g−1) . . . (g(tX)g−1) = g(tX)ng−1 Dus etgXg−1 = ∞ X n=0 (tgXg−1)n n! = g ∞ X n=0 (tX)n n! ! g−1 = getXg−1 Lemma 2.24. Voor g ∈ G en X ∈ g : π0(gXg−1) = π(g)π0(X)(π(g))−1 Bewijs. Er geldt dat
etπ0(gXg−1) = π(etgXg−1)
= π(g)π(etX)(π(g))−1 = π(g)etπ0(X)(π(g))−1
Leiden we deze gelijkheid af over t dan krijgen we π0(gXg−1)etπ0(gXg−1)= π(g)π0(X)etπ0(X)(π(g))−1 Met op t = 0 π0(gXg−1) = π(g)π0(X)(π(g))−1 Lemma 2.25. Voor X, Y ∈ g : [X, Y ] = d dt(e tXY e−tX )|t=0
Bewijs. Er geldt dat d dte tXY e−tX = XetXY e−tX − etXY Xe−tX Dus op t = 0 d dt(e tXY e−tX )|t=0 = XY − Y X = [X, Y ]
Dan nu het bewijs van stelling 2.7. Bewijs. Neem X, Y ∈ g, dan geldt er
π0([X, Y ]) = π0(d dt(e tX Y e−tX)t=0) = d dtπ 0(etXY e−tX) t=0 = d dt(π(e tX)π0 (Y )π(e−tX))t=0 = d dt(e tπ0(X)π0 (Y )e−tπ0(X))t=0 = [π0(X), π0(Y )] Dus π0 is een Lie-algebra representatie
Vanwege de volgende stelling voldoet het om alle irreducibele representaties van de lie-algebra g van een groep G te vinden, om alle irreducibele representaties van de groep G te vinden.
Stelling 2.26. Zij (π, V ) een representatie van een Lie-groep G en (π0, V ) de bijbeho-rende Lie-algebra representatie van de Lie-algebra g van G als in stelling 2.21. Dan geldt er dat als (π0, V ) irreducibel is dat dan (π, V ) ook irreducibel is.
Bewijs. Stel (π, V ) is reducibel. Dan is er een niet triviale deelruimte U ⊂ V zodat voor alle g ∈ G en v ∈ U
π(g)v ∈ U
Dan geldt er dus voor alle X ∈ g en t ∈ R dat etX ∈ G en
π(etX)v ∈ U Dus ook π0(X)v = d dt(π(e tX)) t=0v ∈ U
en dus is (π0, V ) ook reducibel. Dit bewijst de contrapositief van de stelling.
2.5.2. U (1)
Uit Schur’s lemma volgt dat alle irreducibele representaties van U (1) eendimensionaal zijn, omdat U (1) een abelse groep is [2]. Ook geldt er dat elke eendimensionale repre-sentatie irreducibel is, omdat C geen niet triviale deelruimten heeft.
Stelling 2.27. Alle irreducibele representaties van U (1) worden gegeven door: πk: U (1) → U (1) ⊂ GL(1, C) ∼= C∗, eiθ 7→ πk(θ) = eikθ, k ∈ Z
Bewijs. De functies πk zijn homomorfismen
πk(θ1+ θ2) = eik(θ1+θ2) = eikθ1eikθ2 = πk(θ1)πk(θ2)
en voldoen aan de periodiciteit van U (1)
πk(2π) = e2kπi = 1 = e0 = πk(0)
dus is elke πk een irreducibele representatie van U (1).
Nu moeten we alleen nog aantonen dat elke willekeurige irreducibele representatie f : U (1) → C∗
die aan deze eigenschappen voldoet, van de vorm πk is. Nemen we een dergelijke f en
berekenen we de afgeleide van f over θ, dan: f0(θ) = df dθ = limh→0 f (θ + h) − f (θ) h = limh→0 f (θ)f (h) − f (θ) h = f (θ) lim h→0 f (h) − f (0) h = f (θ)f 0 (0)
De enige oplossingen van deze differentiaalvergelijking, met c = f0(0) en f (0) = 1 zijn: f (θ) = ecθ
Passen we hierop de periodieke randvoorwaarden toe dan vinden we ec2π = f (2π) = f (0) = 1
Er moet dus gelden dat c = ik met k ∈ Z en dus is f gelijk aan πk voor een zeker geheel
2.5.3. SU (2)
Voor een representatie (π, V ) van SU (2) van dimensie m weten we dat als we deze beperken tot een U (1) ondergroep, de representatie ontbindt in irreducibele represen-taties van U (1). Er geldt dus voor zekere q1, q2, . . . , qm ∈ Z en Cq de eendimensionale
representatieruimte van de irreducibele representatie πk van U (1) dat:
(π|U (1), V ) = Cq1 ⊕ Cq2⊕ · · · ⊕ Cqm
De gehele getallen q1, q2, . . . , qm heten de gewichten van de representatie. Nemen we de
U (1) ondergroep van SU (2) bestaande uit elementen van de vorm: eiθ 0
0 e−iθ
(2.8) Dan kunnen we dus een basis van V kiezen, zodat:
πe iθ 0 0 e−iθ = eiθq1 0 . . . 0 0 eiθq2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . eiθqm (2.9)
Voor de gewichten q hebben we de volgende eigenschap.
Stelling 2.28. Als q ∈ Z een gewicht is van de representatie (π, V ) van SU (2), dan is −q ook een gewicht van (π, V )
Bewijs. Wanneer we de matrix (2.8) permuteren met de matrix P = 0 1
−1 0
dan krijgen we:
π(P )π(e iθ 0 0 e−iθ )π(P )−1 = π(e −iθ 0 0 eiθ ) = e−iθq1 0 . . . 0 0 e−iθq2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . e−iθqm Dus permutatie met π(P ) geeft een basisverandering van V, zodat het teken van de gewichten qj in de matrix (2.9) verandert. De verzameling gewichten {qj} is echter
onafhankelijk van de basiskeuze voor V. Dus geldt er dat als q ∈ {qj} een gewicht is van
de representatie (π, V ), dat dan ook −q ∈ {qj} een gewicht is van (π, V ).
Nemen we nu de basis (2.6) van de Lie-algebra su(2) dan kunnen we hier Hermitische matrices Sj van maken door Sj = iXj te definieren, met commutatierelaties:
Dan geldt er dat:
ei2θS3 =e
iθ 0
0 e−iθ Dus kunnen we een basis van V kiezen zodat:
π(ei2θS3) = eiθq1 0 . . . 0 0 eiθq2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . eiθqm
Voor de bijbehorende Lie-algebra representatie (π0, V ) als in stelling 2.21 geldt dan:
π0(i2S3) = d dθ eiθq1 0 . . . 0 0 eiθq2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . eiθqm |θ=0 = iq1 0 . . . 0 0 iq2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . iqm
Nu kunnen we de re¨ele lineaire afbeelding π0 uitbreiden tot een complex lineaire afbeel-ding door complexe lineariteit op te leggen (i.e. π0(X + iY ) = π0(X) + iπ0(Y )). Dan geldt er: π0(S3) = −i 2 π 0 (i2S3) = q1 2 0 . . . 0 0 q2 2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . qm 2
Nu weten we dus dat als π0(S3) eigenwaarde k2 heeft, dat k een gewicht van de
representa-tie (π, V ) is. De eigenruimte Vk⊂ V behorend bij deze eigenwaarde noemen we de k-de
gewichtruimte van de representatie en de dimensie van Vk noemen we de multipliciteit
van het gewicht k in de representatie. We kunnen nu twee bruikbare operatoren op deze gewichtruimte defini¨eren.
Definitie 2.29 (Ladderoperatoren). Laat S+:= S1+ iS2 = 0 1 0 0 , S−:= S1 − iS2 = 0 0 1 0
We noemen π0(S+) een verhoogoperator voor de representatie (π, V ) en π0(S−) een
ver-laagoperator. Er geldt namelijk dat:
[S3, S+] = [S3, S1+ iS2] = [S3, S1] + i[S3, S2] = iS2+ i(−iS1) = S1+ iS2 = S+
[S3, S−] = [S3, S1− iS2] = [S3, S1] − i[S3, S2] = iS2 − i(−iS1) = −S1+ iS2 = −S−
dus
π0(S3)π0(S+) − π0(S+)π0(S3) = π0([S3, S+]) = π0(S+)
en voor v ∈ Vk π0(S3)π0(S+)v = π0(S+)π0(S3)v + π0(S+)v = ( k 2 + 1)π 0 (S+)v π0(S3)π0(S−)v = π0(S−)π0(S3)v − π0(S−)v = ( k 2 − 1)π 0 (S−)v
Dus geldt er voor v ∈ Vk dat:
π0(S+)v ∈ Vk+2
π0(S−)v ∈ Vk−2
Voor een eigenvector met gewicht k verhoogt de operator π0(S+) dus het gewicht met 2
en verlaagt de operator π0(S−) het gewicht met 2.
Stelling 2.30. Eindigdimensionale irreducibele representaties van SU(2) hebben gewich-ten van de vorm
−n, −n + 2, . . . , n − 2, n
voor een n ∈ N en met elk gewicht van multipliciteit 1. We noemen n het hoogste gewicht en een niet nul vector v ∈ Vn met π0(S+)v = 0 een hoogste gewicht vector.
Bewijs. Vanwege de eindigdimensionaliteit van de representatie is er een hoogste gewicht n ∈ Z≥0 en dus kunnen we een hoogste gewicht vector vn ∈ Vn kiezen. Door op deze
vector herhaaldelijk π0(S−) toe te passen verkrijgen we nieuwe vectoren
vn−2j := π0(S−)jvn ∈ Vn−2j
Om aan te tonen dat de span van de vectoren vn−2j, j ≥ 0 een representatie vormen,
moeten we laten zien dat deze span invariant wordt gehouden door π0(S3) en π0(S+). Er
geldt natuurlijk dat:
π0(S3)vn−2j = (
n
2 − j)vn−2j Voor π0(S+) claimen we dat er geldt
π0(S+)vn−2j = j(n − j + 1)vn−2(j−1) (2.11)
en bewijzen dit met inductie. Voor j = 0 geldt er
π0(S+)vn= 0 = 0(n − 0 + 1)vn−2(0−1)
omdat vn een hoogste gewicht vector is. Stel nu dat (2.11) geldt voor een zekere j ∈ N,
dan geldt er voor j + 1
π0(S+)vn−2(j+1) = π0(S+)π0(S−)vn−2j = (π0([S+, S−]) + π0(S−)π0(S+))vn−2j (2.12)
en
[S+, S−] = [S1+ iS2, S1− iS2]
= [S1, S1] + [iS2, −iS2] + [S1, −iS2] + [iS2, S1]
dus
(2.12) = (2π0(S3) + π0(S−)π0(S+))vn−2j
= (n − 2j)vn−2j + π0(S−)j(n − j + 1)vn−2(j−1)
= ((n − 2j) + j(n − j + 1))vn−2j
= (j + 1)(n − (j + 1) + 1)vn−2((j+1)−1)
en met inductie volgt de claim. Dus wordt de span van de vn−2j invariant gehouden
door de Lie-algebra representatie π0 van su(2). De vn−2j vormen elk een basis voor een
´e´endimensionale ruimte en de operatoren π0(S+) en π0(S−) geven niet triviale
afbeeldin-gen tussen deze ruimten. Hierdoor is er dus geen niet triviale deelruimte van de span van de vn−2j die invariant wordt gehouden door de representatie. Dus vormt deze span een
irreducibele representatie van de Lie-algebra en met stelling 2.26 ook een irreducibele re-presentatie van de groep zelf. De eindigdimensionaliteit van de rere-presentatie impliceert ook dat er voor een bepaalde j een laagste gewicht vector bereikt moet worden, die door π0(S−) op nul wordt afgebeeld. We zagen in stelling 2.28 al dat de gewichten invariant
zijn onder verandering van teken dus moet v−n∈ V−n een laagste gewicht vector zijn en
is het enig mogelijke patroon van de gewichten:
−n, −n + 2, . . . , n − 2, n
Hieruit volgt dat elke eindigdimensionale irreducibele representatie van SU (2) geken-merkt wordt door een hoogste gewicht n ∈ Z≥0 en van dimensie n + 1 is, waarbij we
een basis voor de representatieruimte kunnen krijgen door herhaaldelijk π0(S−) op de
hoogste gewicht vector toe te passen (of door herhaaldelijk π0(S+) op de laagste gewicht
vector toe te passen). Nu we alle eindigdimensionale irreducibele representaties van SU (2) gekarakteriseerd hebben, kunnen we ze nu expliciet construeren.
Er is een natuurlijke werking van SU (2) op C2 en dus kunnen we een representatie π
van SU (2) op de ruimte van functies op C2 krijgen door:
(π(g)f )(x) := f (g−1x) , g ∈ SU (2) , x ∈ C2 (2.13) We hebben de volgende ruimte van polynomen op C2.
Definitie 2.31 (Homogene polynomen). De complexe vectorruimte Vn van homogene
polynomen van graad n ∈ Z≥0in twee complexe variabelen z1, z2is de ruimte van functies
op C2 van de vorm:
f (z1, z2) = a0z1n+ a1z1n−1z2+ · · · + an−1z1zn−12 + anzn2 , a0, . . . , an ∈ C
De ruimte van zulke functies is een complexe vectorruimte met dimensie n + 1 en we noteren de representatie (2.13) op deze ruimte met πn
Voor een gegeven n ∈ Z≥0 heeft deze ruimte precies dimensie n + 1, zoals de ruimte
die we zoeken voor de eindigdimensionale irreducibele representaties. Samen met de representaties πn op deze ruimten zijn dit precies de irreducibele eindigdimensionale
2.5.4. SO(3)
Voor elke representatie (ρ, V ) van SO(3) kunnen we het dubbele overdekkingshomomor-fisme Φ : SU (2) → SO(3) gebruiken om een representatie π := ρ ◦ Φ van SU (2) te krijgen.
Lemma 2.32. Als (ρ, V ) een irreducibele representatie van SO(3) is, dan is (π, V ) een irreducibele representatie van SU (2). Er moet dus gelden dat
π := ρ ◦ Φ = πn
Voor een n ∈ Z≥0 en πn een van de irreducibele representaties van SU (2).
Bewijs. Stel (π, V ) is reducibel, dan is er dus een niet triviale deelruimte U ⊂ V zodat voor alle x ∈ SU (2) en v ∈ U geldt dat
(ρ ◦ Φ(x))v = π(x)v ∈ U
en Φ is een surjectieve afbeelding van SU (2) naar SO(3), dus geldt er voor alle y ∈ SO(3) dat
ρ(y)v ∈ U
dus is (ρ, V ) ook reducibel. Dit bewijst de contrapositief.
Daarnaast hebben we in 2.2.4 gezien dat voor de dubbele overdekking geldt dat Φ(−1) = 1 en dus moet er voor een irreducibele representatie ρ gelden:
πn(−1) = ρ ◦ Φ(−1) = ρ(1) = 1
Met stelling 2.30 zien we nu dat
πn(−1) = πn eiπ 0 0 e−iπ = einπ 0 . . . 0 0 ei(n−2)π . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . e−inπ = 1
en dit kan alleen maar gelden als n even is. Dus zien we dat n = 2l voor een l ∈ Z≥0.
Hieruit volgt dat er voor irreducibele ρ geldt dat ρ ◦ Φ = π2l een representatie van
di-mensie 2l + 1 is en dus is ρ ook een representatie van didi-mensie 2l + 1. Net als bij SU (2) kunnen we door middel van ladderoperatoren zien dat de eindig dimensionale irreduci-bele representaties van SO(3) gekenmerkt worden door een hoogste gewicht l ∈ Z≥0 en
dat we een basis voor de representatieruimte kunnen verkrijgen door herhaaldelijk de verlaagoperator op een hoogste gewicht vector toe te passen. We noteren deze irreduci-bele representaties van dimensie 2l + 1 met ρl en we kunnen deze nu op een soortgelijke
manier als bij SU (2) construeren.
Er is een natuurlijke werking van SO(3) op R3 en dus kunnen we een representatie op de ruimte van functies op R3 krijgen door
met bijbehorende lie algebra representatie (ρ0(X)f )(x) = d dt (ρ(e tX)f )(x) |t=0 = d dtf (e −tX x)|t=0, X ∈ so(3) , x ∈ R3
Voor de basis (2.4) van so(3) krijgen we e−t`1 = 1 0 0 0 cos(t) sin(t) 0 −sin(t) cos(t) (2.14) e−t`2 = cos(t) 0 −sin(t) 0 1 0 sin(t) 0 cos(t) , e −t`3 = cos(t) sin(t) 0 −sin(t) cos(t) 0 0 0 1 (2.15) en dus voor x = x1 x2 x3 ∈ R3 (ρ0(`1)f )(x) = d dtf ( x1 x2cos(t) + x3sin(t) −x2sin(t) + x3cos(t) )t=0 = (∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , ∂f ∂x3 ) · 0 −x2sin(t) + x3cos(t) −x2cos(t) − x3sin(t) |t=0 = (∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , ∂f ∂x3 ) · 0 x3 −x2 = x3 ∂f ∂x2 − x2 ∂f ∂x3 en ρ0(`1) = x3 ∂ ∂x2 − x2 ∂ ∂x3 (2.16) Op dezelfde manier krijgen we dat:
ρ0(`2) = x1 ∂ ∂x3 − x3 ∂ ∂x1 , ρ0(`3) = x2 ∂ ∂x1 − x1 ∂ ∂x2 (2.17) We kunnen nu de Hermitische versies van deze scheef Hermitische operatoren defini¨eren als Lj = i ρ0(`j) met commutatierelaties
[Li, Lj] = i ijkLk
en voor de ladderoperatoren
Er geldt dat de werking van SO(3) op R3 de afstand tot de oorsprong invariant laat. Dit zien we ook als we de uitdrukkingen omschrijven naar sferische co¨ordinaten:
L1 = i ρ0(`1) = i(sin(φ) ∂ ∂θ + cot(θ)cos(φ) ∂ ∂φ) (2.18) L2 = i ρ0(`2) = i(−cos(φ) ∂ ∂θ + cot(θ)sin(φ) ∂ ∂φ) , L3 = i ρ 0(` 3) = −i ∂ ∂φ (2.19) L+= i ρ0(`+) = eiφ( ∂ ∂θ + i cot(θ) ∂ ∂φ) , L− = i ρ 0 (`−) = e−iφ(− ∂ ∂θ + i cot(θ) ∂ ∂φ) Voor een hoogste gewicht vector Yll(θ, φ) hebben we nu de volgende twee differentiaal-vergelijkingen: −i ∂ ∂φY l l(θ, φ) = L3Yll(θ, φ) = lY l l(θ, φ) eiφ( ∂ ∂θ + i cot(θ) ∂ ∂φ)Y l l(θ, φ) = L+Yll(θ, φ) = 0
Door scheiding van variabelen
Yll(θ, φ) = El(φ)Fl(θ)
zien we dat
d
dφEl(φ) = i l El(φ) =⇒ El(φ) = Cle
ilφ
absorberen we vervolgens de constante in Fl(θ), dan krijgen we:
ei(l+1)φ( ∂
∂θ − l cot (θ))Fl(θ) = 0 =⇒ d
dθFl(θ) = l cot (θ)Fl(θ) =⇒ log (Fl(θ)) = l log (sin(θ)) + Cll0 =⇒ Fl(θ) = Cllsinl(θ)
Dus
Yll(θ, φ) = Clleilφsinl(θ)
en door op deze functie herhaaldelijk L− toe te passen krijgen we functies Yml(θ, φ) voor
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l. Deze functies vormen een basis voor de 2l + 1 dimensionale representatieruimte Wl van ρl, heten sferische harmonieken en noteren we met Yml(θ, φ).
Er geldt dat de spherische harmonieken onderling orthogonaal zijn [6] en uit de volgende stelling volgt dat de sferische harmonieken een orthogonale basis vormen voor functies op de eenheidsbol S2 = {(x
1, x2, x3) ∈ R3 : x21+ x22+ x23 = 1}.
Stelling 2.33 (Stelling van Peter-Weyl op de bol (propositie 3.29 in [6])). Voor elke functie f ∈ L2(S2) geldt er dat:
f (θ, φ) =X l,m αml Yml(θ, φ) met αml = Z S2 f (θ, φ)Yl m(θ, φ) sin(θ) dθ dφ
Hieruit volgt dat de Hilbertruimte L2(S2) volledig te ontbinden is in eindig dimensi-onale irreducibele representaties van SO(3) als:
L2(S2) ∼= M
l∈Z≥0
Wl
Zo kunnen we dus ook elke functie ψ ∈ L2(R3) schrijven als ψ(r, θ, φ) =X
lm
gml(r) Yml(θ, φ) (2.20) voor bepaalde gml ∈ L2
(R3). Dus zijn alle irreducibele eindigdimensionale representaties van SO(3) met een zekere multipliciteit in L2(R3) bevat.
We eindigen dit hoofdstuk met de definitie van een operator die de irreducibele ein-digdimensionale representaties karakteriseert.
Definitie 2.34 (Casimiroperator voor SO(3)). De Casimiroperator voor de irreducibele representaties van SO(3) op de span van sferische harmonieken wordt gegeven door:
L2 := L21+ L22+ L23
Stelling 2.35. De Casimiroperator L2 werkt op de representatieruimte W
l van een
ir-reducibele representatie ρl als de scalar l(l + 1).
Bewijs. Er geldt dat de Casimiroperator commuteert met ρ0(X) voor alle X ∈ so(3), namelijk voor X = a1`1+ a2`2+ a3`3, a1, a2, a3 ∈ R: [L2, ρ0(X)] = [L21+ L22+ L23, ρ0(X)] = − [ρ0(`1)2, ρ0(X)] + [ρ0(`2)2, ρ0(X)] + [ρ0(`3)2, ρ0(X)] = − ρ0([`1, X])ρ0(`1) + ρ0(`1)ρ0([`1, X]) + ρ0([`2, X]ρ0(`2) + ρ0(`2)ρ0([`2, X]) + ρ0([`3, X])ρ0(`3) + ρ0(`3)ρ0([`3, X]) = ∗ en [`1, X] = a1[`1, `1] + a2[`1, `2] + a3[`1, `3] = a2`3− a3`2 [`2, X] = a1[`2, `1] + a2[`2, `2] + a3[`2, `3] = a3`1− a1`3 [`3, X] = a1[`3, `1] + a2[`3, `2] + a3[`3, `3] = a1`2− a2`1 dus ∗ = − a2ρ0(`3)ρ0(`1) − a3ρ0(`2)ρ0(`1) + a2ρ0(`1)ρ0(`3) − a3ρ0(`1)ρ0(`2) + a3ρ0(`1)ρ0(`2) − a1ρ0(`3)ρ0(`2) + a3ρ0(`2)ρ0(`1) − a1ρ0(`2)ρ0(`3) + a1ρ0(`2)ρ0(`3) − a2ρ0(`1)ρ0(`3) + a1ρ0(`3)ρ0(`2) − a2ρ0(`3)ρ0(`1) = 0
Er geldt dus dat L2ρ0(X) = ρ0(X) L2 voor alle X ∈ so(3) en dus L2 ∈ Homso(3)(ρ0, ρ0).
Dus volgt met Schur’s lemma dat L2op de representatieruimte van ρ0werkt als een scalar
[2]. Nemen we nu een hoogste gewicht vector f van de 2l + 1 dimensoniale representatie ρl en gebruiken we dat
L−L++ L3+ L23 = (L1− i L2)(L1+ i L2) + L3+ L23
= L21+ L22+ i[L1, L2] + L3+ L23
= L21+ L22+ L23 = L2
Dan zien we dat
L2f = L−L+f + L3f + L23f = (0 + l + l
2)f = l(l + 1)f
en de scalar waarmee L2 op de representatieruimte van ρl werkt is hetzelfde op de hele
representatieruimte. Dus er geldt dat de Casimiroperator op de representatieruimte van ρl werkt als de scalar l(l + 1)
De Casimir operator wordt in sferische co¨ordinaten gegeven door: L2 = − 1 sin(θ) ∂ ∂θ(sin(θ) ∂ ∂θ) + 1 sin2(θ) ∂2 ∂φ2
2.5.5. so(4)
Zoals we eerder al zagen geldt er dat:
so(4) ∼= su(2) ⊕ su(2)
Nu kunnen we uit twee irreducibele representaties (πl0, Vl) en (πm0 , Vm) (l, m ∈ Z≥0) van
su(2) een irreducibele representatie van so(4) construeren. Merk op dat het voldoet om irreducibele representaties van su(2) ⊕ su(2) te classificeren, omdat deze algebra isomorf is aan so(4). Vl en Vm zijn beiden complexe vectorruimten, oftewel C-modulen, en dus
kunnen we het tensorproduct
Vl⊗CVm
construeren als een C-moduul. Op deze complexe vectorruimte kunnen we een represen-tatie van su(2) ⊕ su(2) defini¨eren als
voor X, Y ∈ su(2). Dit voldoet aan de definitie van een Lie-algebra representatie, want er geldt voor mi en mj als in voorbeeld 2.18:
(π0l⊕ πm0 )[mi, mj] = (π0l⊕ π 0 m)[(`i, 0), (`j, 0)] = (π0l⊕ πm0 )(ijk`k, 0) = π0l(ijk`k) ⊗ 1 = [π0l(`i), πl0(`j)] ⊗ 1 = [π0l(`i) ⊗ 1, πl0(`j) ⊗ 1] = [(πl0⊕ πm0 )(`i, 0), (πl0⊕ π 0 m)(`j, 0)] = [(πl0⊕ πm0 )(mi), (π0l⊕ π 0 m)(mj)]
Dit geldt analoog voor de ni in voorbeeld 2.18 en daarnaast geldt er dat:
(πl0⊕ πm0 )[mi, nj] = 0 = [πl0(`i) ⊗ 1, 1 ⊗ πm0 (`j)] = [(π0l⊕ π 0 m)(mi), (πl0⊕ π 0 m)(nj)] Dus is πl0⊕π0
m een Lie-algebra representatie van su(2) ⊕ su(2) en met de volgende stelling
kunnen we op deze manier zelfs alle eindigdimensionale irreducibele representaties van su(2) ⊕ su(2) karakteriseren.
Stelling 2.36 (propositie 8.13 in [4]). Laat (π0, V ) een eindigdimensionale irreduci-bele representatie van su(2) ⊕ su(2). Dan zijn er eindigdimensionale irreduciirreduci-bele re-presentaties (π0l, Vl) en (π0m, Vm) van su(2) zodat (π0, V ) isomorf is aan de representatie
(πl0⊕ π0
m, Vl⊗CVm) als in (2.21).
Daarnaast geldt er dat als {vi : i = 1, 2, . . . , l + 1} een basis vormt voor Vl en als
{wj : j = 1, 2, . . . , m + 1} een basis vormt voor Vm. Dat dan
{vi⊗ wj : i = 1, 2, . . . , l + 1 , j = 1, 2, . . . , m + 1}
een basis vormt voor Vl ⊗C Vm, en dus heeft Vl ⊗C Vm dimensie (m + 1)(l + 1) over
C. Alle eindigdimensionale irreducibele representaties van so(4) hebben dus dimensie (m + 1)(l + 1) voor m, l ∈ Z≥0.
3. Resultaten
De analyse van de SO(3) en so(4) symmetrie van het kwantummechanisch systeem van het waterstofatoom in dit stuk is gebasseerd op Woit [3], Singer [4] en Gilmore [5]. De commutatierelaties die in dit deel gebruikt worden, zullen in appendix [A] uitgewerkt worden om de leesbaarheid van de tekst te verbeteren. Ook andere lange berekeningen die verder weinig inzicht verschaffen, worden in de appendix uitgewerkt.
3.1. SO(3) symmetrie van het waterstofatoom
Zoals eerder vermeld geldt er dat als we een actie van een groep hebben die commu-teert met de Hamiltoniaan (2.1) van het waterstofatoom, dat de eigenruimte van de Hamiltoniaan een representatie van deze groep vormt. Er geldt voor i ∈ {1, 2, 3}:
[ρ0(`i), ˆH] = 0 (3.1)
Hieruit volgt dat [ρ0(X), ˆH] = 0 voor alle X ∈ so(3). Nu geldt er zoals we eerder al zagen, dat een willekeurig element uit SO(3) te schrijven is als het product van draaiingen om de co¨ordinaatassen. De draaiingen om de co¨ordinaatassen worden gegeven door de matrix exponenten van de basiselementen van so(3). Met lemma 2.22 zien we nu dat:
ρ(R(φ, θ, ψ)) = ρ(Rz(ψ)Rx(θ)Rz(φ))
= ρ(eψ`3)ρ(eθ`1)ρ(eφ`3)
= eψρ0(`3)eθρ0(`1)eφρ0(`3)
Omdat de Hamiltoniaan commuteert met alle ρ0(X), commuteert de Hamiltoniaan ook met alle machten ρ0(X)n, n ∈ Z
≥0 , met de matrix exponent eρ
0(X)
en met het product van de drie matrix exponenten hierboven. Dus commuteert de Hamiltoniaan met ρ(R) voor alle R ∈ SO(3) en vormt de eigenruimte VE van de Hamiltoniaan behorend bij een
eigenwaarde E een representatie (ρE, VE) van SO(3).
Merk op dat deze representatie wordt gegeven door de werking van SO(3) op VE ⊂
L2(R3) als:
(ρE(R)ψ)(x) = ψ(R−1x) , R ∈ SO(3) , ψ ∈ VE, x ∈ R3
R ∈ SO(3): h ρE(R)ψ, ρE(R)ϕi = Z R3 (ρE(R)ψ)(x) (ρE(R)ϕ)(x) dx = Z R3 ψ(R−1x) ϕ(R−1x) dx = 1 det(R−1) Z R−1(R3) ψ(y) ϕ(y) dy = Z R3 ψ(y) ϕ(y) dy = hψ, ϕi
Waarbij we van de tweede naar de derde regel gebruikmaken van de substitutieregel en dat de Jacobiaan van de afbeelding R−1 : R3 → R3 gelijk is aan de matrix R−1.
Bij de stap van de derde naar de vierde regel gebruiken we dat R−1 ∈ SO(3) en dus det(R−1) = 1, en dat ker(R−1) = {0} dus dim(im(R−1)) = dim(R3) waaruit volgt dat R−1 een surjectieve afbeelding van R3 naar R3 is. Hieruit volgt dat ρ
E een unitaire
representatie van SO(3) is.
Er geldt met stelling 2.2 dat de eigenruimte VE eindige dimensie heeft en met stelling
2.19 is de representatie ρE volledig te ontbinden in irreducibele representaties van SO(3),
omdat deze unitair is. Dus is de representatie (ρE, VE) volledig te ontbinden in de
eindigdimensionale irreducibele representaties (ρl, Wl) van SO(3). Daarnaast weten we
uit (2.20) dat alle irreducibele eindigdimensionale representaties van SO(3) bevat zijn in de Hilbertruimte L2(R3), waarvan de eigenruimte V
E van de Hamiltoniaan een deelruimte
is. We weten nu echter nog niet welke van de irreducibele representaties bevat zijn in deze deelruimte. Hiervoor kunnen we de so(4) symmetrie gebruiken om de dimensie van VE voor de verschillende energieniveau’s te bepalen. Vervolgens kunnen we uit deze
symmetrie ook afleiden hoe de eigenruimte zich ontbindt in irreducibele representaties van SO(3). We weten nu wel al dat als een irreducibele representatie (ρl, Wl) bevat is
in (ρE, VE), dat er minimaal 2l + 1 verschillende toestanden met energie E zijn. Ook
kunnen we uit de SO(3) symmetrie afleiden dat de sferische harmonieken Yml voorkomen als een factor in de eigentoestanden van de Hamiltoniaan van het waterstofatoom.
3.2. so(4) symmetrie van het waterstofatoom
In dit deel maken we gebruik van de natuurkundige conventie om de operatoren ˆLi voor
i ∈ {1, 2, 3} te defini¨eren als: ˆ
Li = ~ Li = i~ ρ0(`i)
Zodat deze overeenkomen met de impulsmoment operatoren: ˆ
De SO(3) symmetrie van het waterstofatoom is fysisch intu¨ıtief goed te begrijpen, van-wege de sferische symmetrie van het kwantummechanische systeem van het waterstof-atoom. Voor de so(4) symmetrie is het lastiger om deze fysiek intu¨ıtief te verklaren. Deze symmetrie komt voort uit de Laplace-Runge-Lenz-vector, een behouden grootheid in het klassieke vrijwel analoge systeem van de beweging van een hemellichaam rond een ander hemellichaam. De hermitische operator afgeleid van deze vector, voor het kwantummechanische systeem, wordt gegeven door:
W = 1 2m(bL × p − p × bL) + e2 4π0 r |r|
Er geldt dat deze operator commuteert met de Hamiltoniaan van het waterstofatoom, voor i ∈ {1, 2, 3}:
[Wi, ˆH] = 0 (3.2)
Dus beelden de Laplace-Runge-Lenz-operatoren (LRL-operatoren) eigentoestanden van de Hamiltoniaan met een bepaalde eigenwaarde, af op een eigentoestand met dezelfde eigenwaarde. De eigenruimte van de Hamiltoniaan vormt dus een representatie van nog een andere Lie-algebra naast so(3). Daarnaast hebben we de volgende commutatierelatie met de impulsmoment operatoren, voor i, j ∈ {1, 2, 3}:
[ ˆLi, Wj] = i~ijkWk (3.3)
De LRL-operatoren voldoen zelf aan de volgende commutatierelatie: [Wi, Wj] = i~ijkLˆk(−
2 m
ˆ
H) (3.4)
Daarnaast hebben we de volgende resultaten met betrekking tot de LRL-operatoren: b L · W = W · bL = 0 (3.5) W2 := W · W = e2 4π0 2 ˆ I + 2 m ˆ H ˆL2+ ~2Iˆ (3.6) Met ˆI de identiteitsoperator en ˆL2 gelijk aan ~2 maal de Casimiroperator uit definitie 2.34. Nu is het doel om te achterhalen van welke Lie-algebra de LRL-operatoren een representatie vormen. Hiervoor beperken we de operatoren tot de eigenruimte VE van
de Hamiltoniaan bestaande uit eigentoestanden met energie E en doen dit voor E < 0, zodat de dimensie van VE eindig is met stelling 2.2. Op deze ruimte kunnen we geschaalde
operatoren defini¨eren als:
K =r −m 2E W Nu geldt er dat: −K2 = m 2EW 2 = m 2 ˆHW 2 = m 2 ˆH e2 4π0 2 ˆ I + ˆL2+ ~2Iˆ
Dus: 2 ˆH K2+ ˆL2+ ~2Iˆ = −m e2 4π0 2 ˆ I (3.7)
Als we achterhaald hebben van welke Lie-algebra de LRL-operatoren een representatie vormen, kunnen we de bovenstaande vergelijking gebruiken om de eigenwaarden van de Hamiltoniaan te bepalen in termen van de eigenwaarden van L2 en K2. Zo kunnen we dus de energieniveaus van het waterstofatoom bepalen.
We hebben nu dus de volgende soortgelijke commutatierelaties, waarbij we de opera-toren nog steeds beperken tot VE:
[ ˆLi, ˆLj] = i~ ijkLˆk
[ ˆLi, Kj] = i~ ijkKk
[Ki, Kj] = i~ ijkLˆk
Defini¨eren we nu op deze ruimte de operatoren M = 1 2 b L + K N = 1 2 b L − K dan geldt voor deze operatoren dat:
[Mi, Mj] = 1 4 [ ˆLi, ˆLj] + [ ˆLi, Kj] + [Ki, ˆLj] + [Ki, Kj] = i~ ijk 1 4 2 ˆLk+ 2Kk = i~ ijkMk en [Ni, Nj] = 1 4 [ ˆLi, ˆLj] − [ ˆLi, Kj] − [Ki, ˆLj] + [Ki, Kj] = i~ ijk 1 4 2 ˆLk− 2Kk = i~ ijkNk en [Mi, Nj] = 1 4 [ ˆLi, ˆLj] − [ ˆLi, Kj] + [Ki, ˆLj] − [Ki, Kj] = 0
De operatoren Mi en Ni spannen dus twee commuterende kopie¨en van so(3) op, oftewel
de operatoren spannen een Lie-algebra isomorf aan so(4) op. We kunnen de eigenruimte VE van de Hamiltoniaan behorend bij een energieniveau E < 0 dus zien als een
unitair en dus zijn ook de operatoren Mi en Ni unitair. Met stelling 2.2 heeft VE eindige
dimensie en dus is met stelling 2.19 de representatie te ontbinden in eindigdimensionale irreducibele representaties van so(4) als in (2.21), i.e.:
VE ∼=
M
λ,µ∈Z≥0
(Vλ ⊗CVµ) (3.8)
Daarnaast geldt er dat:
M2 = M · M = 1 4 b L · bL + bL · K + K · bL + K · K = 1 4 b L · bL + K · K = 1 4 b L · bL − bL · K − K · bL + K · K = N · N = N2
Dus zien we dat de Casimiroperatoren, welke karakteriserend zijn voor de irreducibele representaties van so(3), gelijk zijn. Dus moeten voor elke term in (3.8) de linker en rechter factor van het tensorproduct gelijk zijn, oftewel:
VE ∼= (Vµ⊗CVµ) ⊕ · · · ⊕ (Vµ⊗CVµ)
| {z }
α termen
(3.9) Nu is de dimensie van de eigenruimte dus gelijk aan α (µ + 1)2 voor een µ ∈ Z
≥0 en
α ∈ N. Met het oog op de resultaten weten we dat er moet gelden dat α = 1 (het is mogelijk om dit gegeven aan te tonen zonder gebruik te maken van de resultaten, maar dit valt buiten de theorie die in dit stuk gebruikt wordt) en dus vormt VE een
irreducibele representatie van so(4) met dimensie:
n2, voor n := (µ + 1) ∈ N Bekijken we nu weer vergelijking (3.7), dan zien we dat:
−m e2 4π0 2 ˆ I = 2 ˆHK2+ ˆL2+ ~2Iˆ (3.10) = 2 ˆH (M − N) · (M − N) + (M + N) · (M + N) + ~2Iˆ (3.11) = 2 ˆH2M2+ 2N2+ ~2Iˆ (3.12) = 2 ˆH4M2+ ~2Iˆ (3.13) Voor een irreducibele representatie van so(3) met dimensie µ + 1 wordt de Casimirope-rator in analogie met 2.34 en 2.35, met als enige verschil dat µ nu zowel even als oneven mag zijn, gegeven door:
M2 = ~2 µ 2(
µ 2 + 1) ˆI
Dus als we beide kanten van (3.13) toepassen op de eigenruimte van de Hamiltoniaan met energie En < 0 en dimensie n2 = (µ + 1)2, krijgen we:
2En ~2µ(µ + 2) + ~2 = −m e2 4π0 2 Dus En= − m 2~2(µ(µ + 2) + 1) e2 4π0 2 = − m 2~2(µ + 1)2 e2 4π0 2 = − m 2~2n2 e2 4π0 2
voor n ∈ N. Dit zijn precies de energie eigenwaarden die verkregen worden door het oplossen van de tijdsonafhankelijke Schr¨odingervergelijking voor het systeem van het waterstofatoom [1]. Er zijn dus voor elke n ∈ N, n2toestanden met energie E
n. De keuze
voor α = 1 in (3.9) is in dit stuk gemotiveerd door het gegeven dat de ontaarding van een energieniveau Engelijk is aan n2 [1], kijkend naar (3.9) is deze in ons geval namelijk
gelijk aan α n2 en voor een andere keuze van α zouden we dus een grotere ontaarding van
de energieniveaus verkrijgen. Zo hebben we dus helaas niet geheel zonder te verwijzen naar de oplossingen van de Schr¨odingervergelijking deze informatie kunnen verkrijgen.
In het volgende deel leggen we het verband tussen de so(4) en SO(3) symmetrie van het waterstofatoom en bepalen we hoe de irreducibele so(4) representaties op de eigenruimte met energie En te ontbinden zijn in irreducibele representaties van SO(3).
3.3. Verband tussen de so(4) en SO(3) symmetrie
We hebben in de analyse van de SO(3) symmetrie gezien dat de eigenruimte van de Hamiltoniaan met energie En ook een representatie van SO(3) vormt. Ook zagen we
dat de so(4) representatie voortgebracht door M en N isomorf is aan een tensorproduct representatie als in 2.36 met l = m = µ en dat dus:
VEn ∼= Vµ⊗CVµ, µ = n − 1
Nu kunnen we deze representatie dus zien als Mi0 en Ni0 werkend op v ⊗ w ∈ Vµ⊗CVµ
als:
Mi0(v ⊗ w) = Miv ⊗ w , Ni0(v ⊗ w) = v ⊗ Niw
Waarbij Mi en Ni zich gedragen als de reguliere irreducibele so(3) representaties op Vµ.
Daarnaast zien we dat de SO(3) representatie wordt voortgebracht door b
L = M + N
en dat deze dus isomorf is aan de representatie voortgebracht door ˆL0i = Mi0 + Ni0, werkend op Vµ⊗CVµ als:
ˆ
Er geldt dat v ⊗ w ∈ Vµ⊗CVµ een hoogste gewicht vector van deze representatie is als:
ˆ
L0+(v ⊗ w) = M+v ⊗ w + v ⊗ N+w = 0 (3.14)
Een basis voor Vµ⊗CVµ wordt gegeven door {va⊗ wb : va∈ A , wb ∈ B} met
A = {vi ∈ Vµ : i = −µ, −µ+2, . . . µ−2, µ} , B = {wi ∈ Vµ : i = −µ, −µ+2, . . . µ−2, µ}
beiden een basis voor Vµ, waarin elke basisvector respectievelijk zijn M3 en N3 gewicht
als index heeft. We hebben nu bijvoorbeeld vµ⊗ wµ als oplossing van (3.14), met:
ˆ
L0+(vµ⊗ wµ) = M+vµ⊗ wµ+ vµ⊗ N+wµ= 0
Deze vector heeft 2µ als ˆL03 = M30 + N30 gewicht en door herhaaldelijk ˆL0− op deze vector toe te passen verkrijgen we een representatie die isomorf is aan de irreducibele representatie ρµ van SO(3) met dimensie 2µ + 1. Ook hebben we vµ−2⊗ wµ− vµ⊗ wµ−2
als oplossing van (3.14), met: ˆ
L0+(vµ−2⊗ wµ− vµ⊗ wµ−2) = M+vµ−2⊗ wµ+ vµ−2⊗ N+wµ
− M+vµ⊗ wµ−2− vµ⊗ N+wµ−2
= vµ⊗ wµ− vµ⊗ wµ
= 0
Deze vector heeft ˆL03 gewicht 2µ − 2 en brengt dus een SO(3) representatie voort met dimensie 2µ − 1 die isomorf is aan ρµ−1. Analoog hebben we
vµ−4⊗ wµ− vµ−2⊗ wµ−2+ vµ⊗ wµ−4
als oplossing van (3.14) met gewicht 2µ−4 en de bijbehorende representatie met dimensie 2µ − 3 isomorf aan ρµ−2. Zo kunnen we oplossingen blijven construeren zoals
vµ−6⊗ wµ− vµ−4⊗ wµ−2+ wµ−2⊗ wµ−4− vµ⊗ wµ−6
vµ−8⊗ wµ− vµ−6⊗ wµ−2+ vµ−4⊗ wµ−4− vµ−2⊗ wµ−6+ vµ⊗ wµ−8
.. .
totdat we uitkomen bij de vector met gewicht 0 die de representatie ρ0 van dimensie 1
voortbrengt.
Hieruit volgt dat alle representaties (ρl, Wl) voor l = 0, 1, . . . , µ − 1, µ voorkomen
in de ontbinding van de representatie (ρEn, VEn) van SO(3) op de eigenruimte van de
Hamiltoniaan behorend bij energieniveau En voor n = µ + 1, oftewel dat:
VEn ∼= W0⊕ W1⊕ · · · ⊕ Wn−2⊕ Wn−1
Er geldt dan ook precies dat:
n−1
X
l=0
4. Conclusie
De eigenruimte van de Hamiltoniaan van het kwantummechanische systeem van het wa-terstofatoom vormt voor een energie eigenwaarde En < 0 een irreducibele representatie
van so(4) met dimensie n2 voor een n ∈ N. Uit deze so(4) symmetrie van het systeem
hebben we af kunnen leiden dat de energieniveaus van het systeem worden gegeven door: En= − m 2~2n2 e2 4π0 2
Dat de dimensie van de eigenruimte behorend bij een dergelijk energieniveau gelijk is aan n2, betekent dat er dus n2 toestanden van het systeem met deze energie zijn. Deze
eigenruimte vormt ook een representatie van SO(3) welke ontbindt in irreducibele re-presentaties ρl van SO(3) voor l = 0, 1, . . . , n − 2, n − 1 met allemaal multipliciteit ´e´en,
waardoor we de volgende structuur krijgen voor de eigentoestanden van de Hamiltoni-aan:
Met op de rijen de eigenruimtes van de Hamiltoniaan behorend bij de energieniveaus En voor de eerste paar n ∈ N, oftewel de eerste paar irreducibele representaties van
so(4) op de eigenruimte van de Hamiltoniaan. Op de kolommen staan de irreducibele representaties van SO(3) voor de eerste paar l ∈ Z≥0 en er is op de afbeelding duidelijk
te zien hoe de so(4) representatie zich ontbindt in irreducibele representaties van SO(3). Gedurende de hele tekst hebben we de rol van spin in het systeem van het waterstof-atoom genegeerd, maar deze rol kunnen we gemakkelijk aan het einde van de bespreking nog toevoegen. Elektronen zijn spin 1/2 deeltjes (fermionen) en hierdoor kan elk elek-tron zich in een spin +1/2 of −1/2 toestand bevinden. Voor een bepaald energieniveau kan elke toestand in dit energieniveau precies ´e´en elektron van beide spin toestanden bevatten. Om rekening te houden met de spin van de elektronen hoeven we dus slechts het aantal streepjes in afbeelding 4.1 te verdubbelen: Er gaan dus twee elektronen in de laagste energietoestand, acht in de volgende, en zo verder. De energieniveau’s van water-stof en een groot deel van de scheikunde achter hoeveel elektronen zich in verschillende “elektronenschillen” kunnen bevinden zijn dus bijna geheel af te leiden met algebra en representatietheorie.
5. Populaire samenvatting
Waterstof is veruit het meest voorkomende element in het heelal. Een waterstofatoom bestaat uit een positief geladen proton en een negatief geladen elektron. Deze deeltjes oefenen een kracht op elkaar uit en met behulp van kwantummechanica kan het gedrag van het elektron in een waterstofatoom voorspeld worden. Het waterstofatoom is een van de weinige fysische systemen die expliciet met behulp van kwantummechanica op-gelost kunnen worden. De reguliere aanpak hierbij is een ingewikkeld proces waarbij verschillende parti¨ele differentiaalvergelijkingen opgelost moeten worden. In deze tekst wordt een andere aanpak uitgewerkt. Door te kijken naar bepaalde symmetrie¨en die het systeem bezit kunnen we namelijk al redelijk veel inzicht in het systeem verkrijgen.
Zo vormen draaiingen in drie dimensies, waarbij de afstand tussen het elektron en het proton gelijk blijft, een symmetrie van het systeem. Als de afstand tussen het proton en het elektron gelijk blijft, verandert namelijk de energie van het elektron ook niet. Al deze draaiingen tezamen vormen wat we in de wiskunde een groep noemen en de toestanden in het kwantummechanische systeem van het waterstofatoom vormen een zogenaamde representatie van deze groep. Uit deze symmetrie volgt dat er meerdere toestanden van het systeem zijn met dezelfde energie. Daarnaast kan hieruit afgeleid worden hoe de kans dat het elektron zich op een bepaalde plek in het systeem bevindt, verandert onder verandering van de hoek tussen het proton en het elektron.
Een andere symmetrie van het systeem komt vanuit een iets ingewikkelder concept. Het waterstofatoom lijkt op een hele kleine versie van het enorme systeem van een pla-neet die om een andere plapla-neet draait. In dit enorme systeem komt de zogenaamde Laplace-Runge-Lenz-vector voor die de vorm en de richting van de baan die de planeet om de andere planeet maakt, beschrijft. Een aangepaste versie van deze vector vormt een symmetrie van het systeem van het waterstofatoom. Na een opeenvolging van herschrij-vingen aan deze vector wordt het duidelijk dat de toestanden van het systeem met een bepaalde energie, een representatie van nog een andere groep vormen. Uit deze symme-trie zijn vervolgens precies dezelfde energieniveaus van het waterstofatoom af te leiden, die we uit de reguliere aanpak voor het oplossen van het systeem zouden verkrijgen.
Tenslotte worden de twee hierboven beschreven symmetrie¨en in het systeem van het waterstofatoom met elkaar in verband gebracht. Hier leiden we uit af hoeveel elektronen er tegelijkertijd een bepaalde energie kunnen hebben, en deze voorspellingen komen weer precies overeen met wat we na het expliciete oplossen van het systeem zouden voorspellen. Ook wordt er nog een andere eigenschap van het elektron, de spin, hierbij betrokken. De spin van een elektron zorgt ervoor dat er zich in elke energietoestand twee keer zoveel elektronen kunnen bevinden. Na deze toevoeging komt de gemaakte voorspelling, over de hoeveelheid elektronen die zich in een energietoestand kunnen bevinden, goed overeen met de scheikundige theorie over de hoeveelheid elektronen die
zich in een “elektronenschil” kunnen bevinden. En dat door bijna alleen maar gebruik te maken van groepen en representatietheorie.
Bibliografie
[1] Griffiths, D.J. (2014). Introduction to Quantum Mechanics (Second Edition). Harlow: Pearson Education Limited.
[2] Kirillov, A. A. (2008). An introduction to Lie groups and Lie algebras. Cambridge: Cambridge University Press.
[3] Woit, P. (2016). Quantum Theory, Groups and Representations: An Introduction (under construction). Retrieved from:
http://www.math.columbia.edu/∼woit/QM/qmbook.pdf
[4] Singer, S. F. (2006). Linearity, symmetry, and prediction in the hydrogen atom. Philadelphia: Springer Science & Business Media.
[5] Gilmore, R. (2008). Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists. Cambridge: Cambridge University Press.
[6] Marinucci, D., & Peccati, G. (2011). Random fields on the sphere: representation, limit theorems and cosmological applications (Vol. 389). Cambridge: Cambridge University Press.
A. Commutatierelaties
In dit stuk worden de commutatierelaties uitgewerkt die gebruikt worden bij de analyse van de SO(3) en so(4) symmetrie. Gedurende dit hele stuk zullen we gebruik maken van de Einstein-sommatieconventie en van de natuurkundige conventie om de operatoren ˆLi
voor i ∈ {1, 2, 3} te defini¨eren als: ˆ
Li = ~ Li = i~ ρ0(`i)
Met de gebruikelijke Li als in (2.18) en (2.19) en de ρ0(`i) als in (2.16) en (2.17). Nu
komen de ˆLiovereen met de impulsmoment operatoren uit de kwantummechanica, zodat:
ˆ Li = (r × p)i = ijkrjpk Met r = (r1, r2, r3) = (x1, x2, x3) , p = −i~ ∇ = −i~ ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , ∂ ∂x3 )
en ijk de Levi-Civita tensor. Voor de impulsmoment operatoren gelden de volgende
commutatierelaties:
[ ˆLi, ˆLj] = i~ ijkLˆk
We werken nu eerst de canonieke commutatierelaties voor de impuls- en plaatsoperatoren uit. [ri, rj] = 0 [pi, pj] = 0 [ri, pj] = i~ ∂ ∂xj xi = i~ δij
Nu kunnen we de commutator (3.1) uitwerken. Merk op dat het voldoet om te laten zien dat [ ˆLi, ˆH] = 0, omdat de constante factor i~ buiten de commutator gehaald kan
worden. We brengen ter herinnering dat: ˆ H = − ~ 2 2m∇ 2− e2 4π0 1 r = p2 2m − e2 4π0 1 |r| = pipi 2m − e2 4π0 1 √ xixi Er geldt dat:
[ ˆLi, pl] = [ijkrjpk, pl] = ijkrj[pk, pl] + ijk[rj, pl]pk
= ijki~ δjlpk
en dus
[ ˆLi, plpl] = [ ˆLi, pl]pl+ pl[ ˆLi, pl]
= i~(ilkpkpl+ plilkpk)
= i~(−iklpkpl+ ilkplpk)
= i~(−(p × p)i+ (p × p)i)
= 0
Daarnaast commuteert ˆLi met 1/r, omdat er in de uitdrukkingen (2.18) en (2.19) voor
L1, L2 en L3 in sferische co¨ordinaten geen afgeleiden over r voorkomen. Dus geldt er
dat:
[ ˆLi, ˆH] = 0
Als volgende werken we de commutator (3.2) uit. We kunnen de LRL-operatoren schrij-ven als: Wi = 1 2m(ijk ˆ Ljpk− ijkpjLˆk) + e2 4π0 xi √ xlxl
Waarbij de eerste twee termen van de LRL-operatoren commuteren met de eerste term uit de Hamiltoniaan, omdat we hierboven hebben laten zien dat ˆLj en pk beiden met
deze deze term commuteren. Ook commuteert de laatste term uit de LRL-operatoren duidelijk met de laatste term uit de Hamiltoniaan. Daarnaast geldt er dat
[xi, plpl] = [xi, pl]pl+ pl[xi, pl] = i~(δilpl+ plδil) = 2i~ pi en [√1 xixi , pl] = i~ ∂ ∂xl 1 √ xixi = −i~ xl (xixi)3/2 en [√1 xixi , plpl] = [ 1 √ xixi , pl]pl+ pl[ 1 √ xixi , pl] = −2i~ xlpl (xixi)3/2 + ~ 2 ∂ ∂xl xl (xixi)3/2 = −2i~ xlpl (xixi)3/2
dus: [√xi xnxn , plpl] = xi[ 1 √ xnxn , plpl] + [xi, plpl] 1 √ xnxn = 2i~ −xi xlpl (xnxn)3/2 − i~ ∂ ∂xi 1 √ xnxn +√pi xnxn = 2i~ −xi xlpl (xnxn)3/2 + i~ xi (xnxn)3/2 + √pi xnxn Ook hebben we [ ˆLj, xk] = [jlmxlpm, xk] = jlmxl[pm, xk] + jlm[xl, xk]pm = −i~ jlmδmkxl = −i~ jlkxl = i~ jklxl dus [ijkLˆjpk, 1 √ xnxn ] = ijkLˆj[pk, 1 √ xnxn ] + ijk[ ˆLj, 1 √ xnxn ]pk = i~ ijkLˆj xk (xnxn)3/2 = i~ ijk xk (xnxn)3/2 ˆ Lj − ~ 2 (xnxn)3/2 ijkjklxl = −i~ ijk xj (xnxn)3/2 ˆ Lk− ~ 2 (xnxn)3/2 jkijklxl = −i~ kijklm xjxlpm (xnxn)3/2 − 2 ~ 2 (xnxn)3/2 δilxl = −i~(δilδjm− δimδjl) xjxlpm (xnxn)3/2 − 2~ 2 xi (xnxn)3/2 = i~ −xi xmpm (xnxn)3/2 + xlxl (xnxn)3/2 pi+ 2i~ xi (xnxn)3/2 = i~ −xi xlpl (xnxn)3/2 + √pi xnxn + 2i~ xi (xnxn)3/2 en [ijkpjLˆk, 1 √ xnxn ] = ijkpj[ ˆLk, 1 √ xnxn ] + ijk[pj, 1 √ xnxn ] ˆLk = i~ ijk xj (xnxn)3/2 ˆ Lk = i~ xi xlpl (xnxn)3/2 − √pi xnxn
