Een analyse van een geometrisch contactmodel ter bepaling van contactkrachten

van contactkrachten

Citation for published version (APA):

Mengelers, J. H. J. (1979). Een analyse van een geometrisch contactmodel ter bepaling van contactkrachten. (DCT rapporten; Vol. 1979.006). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1979

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Door Datum Rapportnummer : J.H.J. Mengelers : mei 1979 : 700150006

Dit rapport is geschreven in het kader van een I -opdracht, Uitgevoerd bij afdeling Letselpreventie van IW-TNO.

2

Af studeerhoogleraar

Afstudeercoaches

: Prof.dr.ir. J.D. Janssen Vakgroep Technische Mechanica Afd. Werktuigbouwkunde

Technische Hogeschool Eindhoven

: Dr.ir. L. Braak

Vakgroep Technische Mechanica TH Eindhoven

: Ir. J. Maltha

Projektleider Mathematische Modellen van de afdeling Letselpreventie van IW-TNO, Delft

Hoofdstuk 1 Algemene inleiding

Hoofdstuk 2 Mathematische notatie

1

5

Hoofdstuk 3 Het bestaande contactmodel in MADYMO voor inter- actie tussen een ellipsoïde en een oneindig vlak

3.1 Inleiding 9

3.2 Het ellipsoïde-vlak-model 10

ellipsoïde-vlak-contacten 12

model 17

9

3.2.1 De beschrijving van het contactmodel voor

3.2.2 De contactkrachten in het ellipsoïde-vlak-

Hoofdstuk 4 De beschrijving van een contactmodel voor het

contact tussen een ellipsoïde en een begrensd vlak 22

4.1 Inleiding 22

4.2 Afleiding van een aantal geometrische groot-

? &

heden L."

4.2.1 De maximale indringdiepte o" 30 4.2.2 De grootte van het contactoppervlak bij vol-

ledige doorsnijding 36

De grootte van het contactoppervlak bij 4.2.3

gedeeltelijke doorsnijding 43

Hoofdstuk 5 Experimenten 50

5.1 Inleiding 50

5.2 De beschrijving van de experimenten 51 5.2.1 De vervormbare lichamen en de contactvlakken 52 5.2.2 De meetopstelling

5.3 De resultaten van de experimenten

57 59

Literatuurlijst 7 0

1

ALGEMENE INLEIDING

In de afgelopen tien jaar is op diverse plaatsen in de wereld -met name in de Verenigde Staten- in de auto-industrie veel onder- zoek vexricht naar “gross-motioni’-computersimulaties van voer- tuiginzittenden of voetgangers bij verkeersongevallen. Deze

computersimulaties zijn gebaseerd op de dynamica van systemen van starre lichamen, waarbij veelal wordt uitgegaan van de Lagrange- vergeiijkingen.

Bij het uitwerken van de systeemvergelijkingen is het noodzakelijk, naast het in rekening brengen van de kinetische energie.van het systeem, ook de uitwendige krachten op het systeem te kennen. Deze uitwendige krachten bestaan voornamelijk uit gordelkrachten -als het een voertuiginzittende betreft- en uit contactkrachten b i j contact L - - - - Lussen het slachtoffer er: de directe aq-eïinq (het

interieur of het voorfront van het voertuig).

Voor de gordels worden vaak eenvoudige mobellen gebruikt in de vorm van wel- of niet-lineair elastische veren waarvan de veerkarakteris- tiek overeenkomt met de gordeikarakteristiek. Hierbij worden bij veel simulaties voor de gosdelkrachten vaste aangrijpingspunten in het voertuig en op de inzittende aangenomen.

Daarnaast bestaat vaak de optie om bij de wisselwerking tussen gor- del en inzittende een bepaald percentage “slip” te introduceren.

geometrische contactmodellen gehanteerd om op elk tijdstip de contactkrachten tussen het slachtoffer en delen van de directe omgeving te simuleren.

Sinds een vijftal jaren wordt bij IW-TNO aan de ontwikkeling van een 3-dimensionaal mathematisch model voor "gross-motion"-simulatie van een voertuiginzittende gewerkt.

Nadat de uitgewerkte systeemvergelijkingen operationeel waren ge- maakt in een goed werkend computerprogramma, ontstond er behoefte aan een verfijning en uitbreiding van de bestaande contactmodellen ter bepaling van de uitwendige krachten op het systeem.

Dit heeft geresulteerd in een afstudeeropdracht bij de vakgroep Technische Mechanica van de Technische Hogeschool Eindhoven. Deze opdracht luidde als volgt:

"Een groot probzeem b i j het drie-dimensionaze modeZZenpakket

i s

nog een goed eZZipsoîde-vZak en eZZipsoîde modeZ. De kwaZiteit van

een modeZsimuZatie wordt

nZ.

goeddeels bepaaZd door de kwaZiteit

van deze zgn. krachtmodeZZen. De

opbom

van het modeZZenpakket

i s zodanig moduZair, dat

d i t

aZs een afzonderZijk probzeem kan

worden gezien.

Het probzeem i s : een eZZipsoZde b e s c h r i j f t een bekende baan i n

de ruimts met een bekende snelheidsfunktie (dus

ook

versneZZingi,

op een zeker t i j d s t i p t r e f t de eZZipsoîde een vZak, de rand van

een vZak of een hoek, gevormd door een aantaZ vlakken.

De

vraag

i s

dan:

BepaaZ de glastiSche, de dempings-

en

de

mi

jvingskrachten

tussen

eZZipsoZde

en

vZak.

D i t

moet zodanig aZgemeen opgezet worden, dat

een redeZijk goede benadering van de verschilzende t e simuleren

gebeurtenissen verkregen

wordt (bv. been tegen dashboard, hoofd

tegen voorruit of

stuur,

knie tegen

bumper

e t c . ) . DitzeZfde

geZdt ook voor de i n t e r a c t i e tussen twee eZZipsoZden".

In dit rapport is getracht een aantal aspecten van bovenstaande probleemstelling nader te onderzoeken.

De opzet van deze studie bestaat uit twee hoofdlijnen.

De eerste hoofdlijn betreft de geometrische beschrijving van het botsingsfenomeen tussen een ellipsoïde en een omgeving die uit platte vlakken is opgebouwd. Hierbij wordt verondersteld dat de rjeometrie van de boksende lichamen niet verandert. maar dat deze in elkaar door kunnen dringen.

De tweede hoofdlijn wordt gevormd door de experimenten met betrek- king tot botsingen tussen ellipsoldes en platte vlakken. Deze experimenten dienen ter ondersteuning van de eerste hoofdlijn en ter verificatie van het nieuwe contactmodel.

De aandacht is voornamelijk gericht geweest op het oplossen van geometrische vraagstukken, die verband houden met de doorsnijding

van een ellipsoïde door een begrensd vlak of door een hoek gevormd door een aantal vlakken.

Verder zijn de resultaten van een simulatie van de experimenten met behulp van het bestaande programma vergeleken met de werkelijke experimentele resultaten.

In hoofdstuk 2 is de mathematische notatie geïntroduceerd die noodzakelijk is voor een eenvoudige oplossingsmethodiek bij het vinden van de doorsnijding van ellipsoldes en begrensde vlakken. De stand van zaken rond het bestaande "contact?nodel" zoals dat momenteel verwerkt is in MADYMO, is summier weergegeven in hoofdstuk 3.

De uitbreiding die hieraan toegevoegd is in de vorm van een be- schrijving van contact tussen ellipsoïde en een begrensd vlak, is beschreven in hoofdstuk 4.

IE heoffistuk 5 wordt een beschrijving gegeven van de experimenten die ter ondersteuning en verificatie van het uitgebreide model kunnen dienen.

Hoofdstuk 6 geeft de vergelijking tussen computerresultaten en experimentele resultaten, afgesloten door een nabeschouwing met enkele suggesties voor toekomstig onderzoek in deze.

2

MATHEMATISCHE NOTATIE

I n d i t h o o f d s t u k wordt e e n opsomming gegeven v a n e e n a a n t a l begrip-

p e n e n n o t a t i e - a f s p r a k e n zoals d i e g e h t r o d u c e e r d z i j n i n hoofd-

s t u k

2

v a n lit. C l Z l .

S l e c h t s de d e f i n i t i e s e n b e g r i p p e n d i e i n h e t verdere verloop v a n

d i t rapport v a n n u t b l i j k e n t e z i j n , worden h i e r i n e e n korte s a m e n v a t t i n g herhaald.

Een V e k t o r wordt aangegeven door e e n l e t t e r ( a l dan n i e t m e t i n d e x ) met e e n p i j l e r b o v e n . N o t a t i e : + + + + v, w p x, y&' etc.

M e t e n i g e nadruk wordt gesteld dat de naam vektor n i e t gebruikt

wordt a l s a f k o r t i n g voor e e n scalar-drietal v i , v2, v3, zoals veelal g e b r u i k e l i j k i s .

Een s c a l a r wordt aangegeven door e e n l e t t e r ( a l d a n n i e t v o o r z i e n v a n e e n i n d e x ) . N o t a t i e : a, b, a ,

Pj,

kR, e t c .

Een matrix i s een v e r z a m e l i n g v a n o b j e c t e n d i e g e r a n g s c h i k t z i j n i n e e n rechthoekig t a b l e a u .

D e a f m e t i n g e n van e e n matrix worden, zoals g e b r u i k e l i j k , a a n g e g e v e n door h e t a a n t a l r i j e n e n kolommen v a n zo'n rechthoekig t a b l e a u .

A l s h e t a a n t a l kolommen g e l i j k i s a a n

1

dan noemen w e deze matrix e e n kolommatrix of kortweg kolom.

Een matrix met scalaire grootheden als elementen wordt een scalar-

matrix genoemd en aangegeven door een onderstreepte letter, bv.

A l s de elementen in het tableau vektoren zijn, spreken we van een

vektorvatrix. Notatie: een onderstreept symbool met een pijl erboven

A,

+ + +

xI

L.

Verder enkele notatie-afspraken met betrekking tot de gebruikelijke bewerkingen tussen scalaire grootheden en vektoren en tussen

vektoren onderling:

-

scalair produkt: geen symbool, bijvoorbeeld: sm, pq +

+ +

-

inwendig produkt: o

,

bijvoorbeeld: v

.

w

+ +

-

uitwendig produkt: % I bijvoorbeeld: v B w

Een vektor kan worden voorgesteld a l s een lineaire combinatie van

+ -+ +

+

v = v e + v e + v e

1 1 2 2 3 3 ( 2 . 1 )

-+

de coördinaten van

v

ten opzichte van de basis-

1'

v2r v3 waarbij v

+ 4 - +

vektoren e e e3 genoemd worden. 1' 2'

In matrixformulering:

+ + T of v = e v

als coördìnatenko Zom(matrix) en

+T 3 3 3

- e :=

Tel,

e2' e3] als b a s i s

-

e

T waarbij v :=

gedefinieerd woxdt.

Bij gebruik van meer dan een basis worden deze bases van elkaar onderscheiden door een bovenindex die tussen haakjes geplaatst

+(r) wordt, bijvoorbeeld

-

:(') en 5

.

De basisvektoren van een orthonormale basis hebben de eigenschap dat het inwendig produkt van twee basisvektoren gelijk is aan de Kroneckerdelta,

i,j = 1,2,3 ( 2 . 4 )

naar :(') wordt gegeven door +(y)

De basistransformatie van basis

-

e

_-

de matrixvergeli j king:

sr

waarbij de elementen van scalarmatrix A

-

vastgelegd zijn door:

i l j = 1,2,3

Er wordt verder volstaan met het vermelden van enkele eigenschappen van scalarmatrix A

-

zonder deze nog te bewijzen (zie lit. Cl23 1 .

C Y - + ( Y \

1.

Uitgaande van de transformatie

:"'

-

=

- -

AY- e ' - ' geldt voor ASr:

-

sr T

-

of met andere woorden

( 2 . 8 )

+(SI

= en de

2. Het verband tussen de transformatie

-

e

-

--+ (r) rs

+(SI

inverse van deze transformatie - e =

-

A

-

e is vastgelegd door : sr T

-

Ars =

(5

) + (r)T

;(EI

I

3 . De transformatie van I(~), afkomstig van v =

-

v naar

-

v('), afkomstig van de uitdrukking v =

-

v

-

-t ( S I T

:(SI

I

-

ligt vast door:

( 2 . 9 )

HET BESTAANDE CONTACT-MODEL IN MADYMO VOOR INTERACTIE TUSSEN EEN ELLIPSOLDE EN EEN ONEINDIG VLAK

3 . 1 .

Inleiding

De huidige drie-dimensionale mathematische modellen voor "gross- motion"-simulaties van systemen van starre lichamen bevatten een

dynamica-mode2

en een

contact-model.

Het dynamica-model genereert de bewegingsvergelijkingen en lost deze op.

Het contact-model genereert de krachten, afkomstig van de inter- actie van delen van het systeem met de omgeving.

In 1st. c l 2 1 is bij de beschrijving van de starre lichamen van een systeem alleen sprake geweest van de positie van de ver- schillende scharnierpunten t.o.v. de lichaamsgebonden basis, van de zwaartepunten waarin de massa's geconcentreerd gedacht zijn en van de drie hoofdtraagheidsassen per lichaam. De vorm van de afzonderlijke lichamen is hierbij volledig buiten beschouwing ge- bleven.

Om toch het contact tussen delen van het systeem en de directe om- geving te kunnen bepalen, worden er aan een lichaam een of meer geometrisch eenvoudige oppervlakken toegekend. Hiervoor worden veelal mathematisch goed te beschrijven geometrische vozmen ge- nomen.

Men beperkt zich hierbij tot b o l l e n ,

e l l i p s o î d e s

en eZZiptisehe

e i Zinders.

In het contact-model van MADYMO wordt gebruik gemaakt van ellip- sordes en bollen, waarbij de bol eigenlijk als een bijzondere vorm van ellipsoïde gezien wordt.

3 . 2 . H e t e

2 Zipsolide-u Zak-mode 1

Bij de interactie van de omgeving met delen van het systeem van starre-lichamen worden volgens het volgende contact-model krachten gegenereerd die weer gebruikt worden als uitwendige krachten bij het oplossen van de bewegingsvergelijkingen.

Een ellipsoïde verbonden met een lichaam van het systeem, enkel en alleen om dat lichaam van een geometrische contour te voorzien, komt in contact met een vlak dat verbonden is met de omgeving of met een ander systeem.

Tijdens dit contact wordt verondersteld dat de ellipsoïde in het vlak kan doordringen en er dus van een doorsnijding van ellipsoïde en vlak sprake is (zie figuur 3.1).

Figuur

\ /

In dit contact-model wordt een kracht berekend die opgebouwd is uit drie componenten

,

een elastische kracht, een dempingskracht en een wrijvingskracht.

Afhankelijk van de indringdiepte van de ellipsoïde t.o.v. het vlak, gemeten in een richting loodrecht op het vlak, wordt de elastische kracht berekend met behulp van een kracht-indringdiepte-tabel. De dempingskracht wordt berekend door de indringsnelheid, die gelijk is aan de normaalcomponent van de relatieve snelheid tussen ellipsoïde en vlak, te vermenigvuldigen met een dempingscoëfficiënt. De wrijvingskracht wordt bepaald door de tangentiaalcomponent van de relatieve snelheid van de ellipsoïde ten opzichte van het vlak, te vermenigvuldigen met een wrijvingscoëfficiënt.

Deze wrijvingskracht staat loodrecht op de elastische kracht en de dempingskracht en is tegengesteld aan de richting van de tangentiaalcomponent van de relatieve snelheid.

De beperkingen van dit model zijn:

- _{De hoofdassen van de ellipsoïde moeten parallel lopen aan de} basisvektoren van de lichaamsgebonden lokale basis van het lichaam waartoe de ellipsoïde behoort.

- Het vlak wordt verondersteld onbegrensd te zijn.

-

Het middelpunt van de ellipsoïde mag het vlak niet passeren.

De eerste beperking is er een van praktische aard; er hoeft tussen eiiipsoïde en iichaamsgebsnden basis geen assentransforuiatie uit- gevoerd te worden waardoor het algoritme relatief eenvoudig blijft.

De tweede beperking maakt het niet mogelijk contact tussen ellip- sofdes en begrensde vlakken of scherpe hoeken te beschrijven. De derde beperking is ingevoerd ter vermijding van extra compli- caties e

3.2.1 De b e s c h r i j v i n g van h e t contactmode2

voor e22ipsoZde-

v2ak-contacten

De ellipsoïde is gedefinieerd door de lengte van de halve hoofd- assen E E E en de positie van het middelpunt.

Het vlak is gedefinieerd door de positie van drie punten. Zie figuur 3.2.

a‘ b’ c

Figuur 3.2 De positie van ellipsoïde en vlak t.o.v. de lichaamsgebonden basis

In figuur 3 . 2 zijn Ea, Ebi Ec

x x x de plaatsvektoren van de drie punten die het vlak de halve assen van de ellipsoïde

+ - + + A ' Hl' H2

bepalen en is

+

x de plaatsvektor van het middelpunt van de ellipsoïde. O

Aangezien in het contact-model enkel sprake is van het contact tussen een ellipsoïde en een onbegrensd vlak, is het voldoende dat vlak te karakteriseren door de positie van een punt, aangegeven door x en de eenheidsnopmaal c . De eenheidsnornaalvektor c,

die loodrecht op het betreffende vlak staat, is naar buiten gericht; dit houdt in dat de eenheidsnormaal in die richting wijst waar

zich geen materiaal bevindt en vanwaar het vlak vrij toegankelijk is.

+ + -t

A'

Ye eenhei6sncrzaul kun eenvoudig afgeleid :wnrder! uit de drie TI&- + - + +

toren xn

,

xTT,

,

x+, die de positie van het vlak aangeven.

n n A nL

U i t f i g u u r 3 . 3 i s af t e l e i d e n d a t g e l d t : -f -+ x - x 8 2 A 3 en d 2 :=

IG

B2

- x

A

I I

( 3 . 1 )

H i e r i n wordt m e t

11

....

. 11

de e u c l i d i s c h e norm bedoeld, ook w e l de l e n g t e van een v e k t o r genoemd.

-+

D e eenheidsnormaal c vinden w e door t e s t e l l e n d a t

-+ -+ 2 -+ d l X d c := -f

II

d,

*

d2

II

( 3 . 2 )

Zoals r e e d s i n de p a r a g r a a f 3.2 aangeduid i s , wordt e r g e z o c h t n a a r de maximale i n d r i n g d i e p t e van de e l l i p s o ï d e t e n o p z i c h t e van h e t v l a k , i n de r i c h t i n g l o o d r e c h t op d a t v l a k .

D i t i s de a f s t a n d van een p u n t P _{op de e l l i p s o ï d e , d a t een raak-}

v l a k h e e f t evenwijdig aan h e t b e t r e f f e n d e v l a k , t o t d a t v l a k . l i e t e r ~ ~ r e r d i ~ i & l i i k i ,.-A..=nrr f i g u n r 3 . 0 . -+ De c o ö r d i n a t e n van h e t c o n t a c t p u n t P i n de l o k a l e b a s i s e v i n d t men a l s v o l g t :

-

( 3 . 3 ) 2 2 2 2 m e t R = i / ( C X T 2 E a + ( C Y 3 E b + ( C Z ) E C

'

D e a f l e i d i n g van de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 3 ) band i n hoofdstuk 4 gegeven worden.

Nadat de coördinaten van punt P berekend zijn, wordt de maximale indringdiepte

6,

in de richting loodrecht op het vlak, als volgt bepaald.

Eerst berekenen we de verschilvektor x +- volgens PA +- PA X +-

-+

= x - x P A

De grootte van

6

wordt gevonden door het inprodukt:

-+

-+

6 : = x . c PA

(3.4)

(3.5)

In figuur 3.4 worden de in vergelijking (3.5) gebruikte vektoren weergegeven.

Het volgende criterium wordt gehanteerd om aan te geven of er wel of geen sprake is van indringing.

Als

6>0

bestaat er een indringing ter grootte van

6;

als &O is er geen indringing.

Als aangrijpingspunt van de in paragraaf 3.2 genoemde krachten wordt het punt P genomen. Voor de berekening van de dempings- en wrijvingskracht wordt gebruik gemaakt van de normaal- en tangentiaalcomponent van de relatieve snelheid van de ellipsorde t.o.v. het vlak (zie figuur 3.5).

P

,

1

,

Figuur 3.5 De relatieve snelheid van ellipsoïde t.o.v. het vlak

+-

Voor de relatieve snelheid s geldt:

+ + +-

s = s - s ell vlak

+- +-

+

Het ontbinden van s in s en s geschiedt als volgt:

n t

+

+ - + + - s = ( s . c ) c n +- + - + s = s - s t n ( 3 . 7 ) ( 3 . 8 ) \ -f +

waarbij in het vervolg s de normaalcomponent en s de tangentiaal- component van de relatieve snelheid van de ellipsoïde ten opzichte van het vlak genoemd worden.

n t

3.2.2 D e contactkrachten van h e t eZZipcoîde-vZak-model

In paragraaf 3.2.1 zijn de normaal- en tangentiaalcomponent van de relatieve snelheid en de maximale indringdiepte van de

ellipsoïde ten opzichte van het vlak bepaald. In deze paragraaf wordt de aandacht gericht op de in 3.2 vermelde krachten die samengesteld de totale contactkracht vormen. Hierbij wordt duidelijk op welke manier deze krachten van de geometrische en kinematische grootheden uit 3 . 2 . 1 afhangen.

Figuur 3.6 geeft aan hoe de totale contactkracht uit de wrijvings-, de dempings- en de elastische kracht is opgebouwd.

Figuur 3.6 De wrijvings-, dempings- en elastische kracht

D e e Z a s t i s c h e k r a c h t Fv

Nadat aan de hand van (3.3), (3.4) en tenslotte (3.5) de maxi- male indringing

6

is bepaald, wordt op de volgende manier de rlusticche kracht F

uit een experimenteel vastgestelde kracht-indringdiepte-relatie zoals bijvoorbeeld in de grafiek uit figuur 3.7 is aangegeven.

-f

-+

vastgelegd. De grootte van F V wordt afgeleid

15

IC

5

x

m

Figuur 3 . 7 De grafiek van de kracht a l s fUriktie van de indrin-diepte

+- U i t deze grafiek wordt voor een waarde van 8 de grootte van F

,

aangeduid met

I

F

I

,

afgeleid.

De kracht als funktie van de indringing wordt i n tabelvorm i n het cornputexprogramma ingevoerd, en de onbekende funktie- waarden door interpolatie berekend.

De e l a s t i s c h e kracht heeft dezelfde richting als de normaal- vektor van het vlak.

V

-+

De

dempingskracht Fd

-?-

De relatieve snelheid s van de ellipsoïde ten opzichte van het vlak wordt ontbonden in een component loodrecht op het vlak (ver- gel. 3 . 7 1 , de normaalcomponent genoemd, en in een component langs het vlak gericht (vergel. 3 . 2 ) , de tangentiaalcomponent genoemd. De dempingskracht F

van de relatieve snelheid volgens:

-f

is alleen afhankelijk van de normaalcomponent d

-?- -?-

Fd -

-

-

b s

n ( 3 . 9 )

-?-

Hierin is b de dempingscoëfficiënt in kg/s en s n de normaal-

-?-

component van s in m/s.

De

w r i j v i n g s k r a c h t Fw

De wrijvingskracht-vektor is in grootte afhankelijk van de krach- ten loodrecht op het vlak en in richting van de tangentiaal-

-?-

component van de relatieve snelheid. De grootte IF W

1

ligt vast volgens de relatie:

-?- -?-

IF

I

= f

.

+ Fdl

W W

(3.10)

met f als wrijvingscoëfficiënt. De richting van F

gentiaalcomponent van de relatieve snelheid.

W

-f

is tegengesteld aan de richting van de tan-

(3.11)

D e t o t a l e c o n t a c t k r a c h t u i t f i g u u r 3.6 wordt bepaald door

(3.12)

4

DE BESCHRIJVING VAN EEN CONTACTMODEL VOOR HET CONTACT TUSSEN EEN ELLTPSOIDE EN EEN BEGRENSD VLAK

4. I

In

Zeiding

In paragraaf 3 . 2 &s een drietal beperkingen van het bestaande ellipsoïde-vlak model genoemd. Twee daarvan zijn van praktische aard, nl. het evenwijdig zijn van de hsofdacsen van de ellipsoZde aan de lichaamsgebonden basisvektoren en de eis dat het middelpunt van de ellipsolde het vlak niet mag passeren.

Deze vormen echter geen wezenlijke beperking van het model,

aangezien in het geval van de richting van de hoofdassen de geome- trische vorm voldoende gevarieerd kan worden door middel van

lengteverandering van de hoofdacazïì en in k e t geval van de

poritiebeperking van het middelpunt er sprake is van een situatie die zich zelden zal voordoen.

De eis dat de vlakken onbegrensd moeten zijn, vormt echter een aanzienlijke beperking in de simulatie van de fysische werkelijk- heid.

In het bestaande model i s '-steeds sprake van een voZZedìge doorsnijding van de ellipsoïde en het vlak (zie figuur 4 . 1 L r waarbij de ellipsoïde het vlak niet kan passeren.

Figuur 4.1 Volledige doorsnijding ellipsoïde en onbegrensd vlak

Een gedeeZteZijke doorsnijding

een begrensd vlak (zie figuur 4.2) behoort niet tot de mogelijk- haden van het bestaande model.

Figuur 4.2 Een gedeeltelijke doorsnijding van een ellipsoïde en een begrensd vlak

De omgeving van h e t beschouwde systeem van starre Lichamen wordt gemodelleerd door middel van onbegrensde vlakken zoals aangegeven i n figuur 4.3. Om nu toch contact mogelijk t e maken tussen bepaalde eiEFpsoTdes van net systeem, Dijvoorbeeid 4 en 5 , e n vlakken dia door een bepaald vlak "afgeschermd" worden, bijvoorbeeid vlak

2

en 3 ,

kan i n het computerprogramma aangegeven worden welke contact- combinaties tussen ellipsoïdes en vlakken mogelijk zijn.

Figuur 4 . 3 Het systeem van s t a r r e lichamen i n een omgeving van onbegrensde vlakken

Z o kunnen bijvoorbeeld de volgende combinaties opgegeven worden:

e l l i p s o ï d e 1 met vlak 4 e l l i p s o ï d e

2

met vlak

1

e l l i p s o ï d e 4 met vlak

2

en vlak 5

In dit hoofdstuk zal aandacht geschonken worden aan het afleiden van een aantal geometrische grootheden bij een doorsnede van een ellipsoïde met een begrensd vlak.

4.2 Afleiding

van

een aantal geometrische grootheden

Uit de afleiding van de bewegingsvergelijkingen van een systeem van starre lichamen (lit. C81, [ I l l ) wordt duidelijk dat de uitwendige krachten die op het systeem werken bij contact tussen systeem en omgeving, bekend moeten zijn. In deze afleiding

van de bewegingsvergelijkingen is geen aandacht besteed aan de vorm van de afzonderlijke lichamen. Teneinde contacten tussen systeem en omgeving te kunnen beschrijven, worden aan de afzonder- lijke lichamen een of meer ellipsoïdes toegekend.

In het volgende is sprake van een ellipsolde die verbonden is met een star lichaam dat deel uitmaakt van een systeem van starre lichamen.

Om deze reden is er in de hiernavolgende afleiding sprake van drie verschillende bases:

-

de ellipsozde-basis

-

e -P met het middelpunt van de ellipsoXde als oorsprong, en de basisvektoren in de richting van de hoofd- assen van de ellipsoïde;

-

de

Ziehaamsgebonden basis

-

met het binnenscharnierpunt (zie lit. c l 1 1 pag. 31) van lichaam i als oorsprong;

-40)

-

de absozute

referentiebasis

-

e ten opzichte waarvan de positie van het hele systeem beschreven wordt.

Nogmaals wordt -wellicht ten overvloede- gesteld dat de basis- vektoren van de ellipsoïde-basis evenwijdig lopen aan de over- eenkomstige lichaamsgebonden basisvektoren.

Figuur 4.4 geeft de positie van de ellipsoïde als deel van het hele systeem.

Figuur 4.4 De ellipsoïde als deel van het systeem

Figuur 4.5 geeft nog eens een voorstelling van de drie afzonder- lijke bases die bij de volgende afleidingen een rol spelen.

-+(o) ;(i) -+

Figuur 4.5 De bases

-

e

,

-

r e

Allereexst volgt,conform de afspraken u i t hoofdstuk

2,

een op- somming van een aantal afspraken w a t b e t r e f t vektoren en het vast- leggen van punten met behulp van vektoren.

-+

van een V e k t ~ r x wordt de co0rdinatenkolom

-f -+ T +

t.o.v. basis e weergegeven door & zodat geldt x = 5

2

+(i1

t.o.v. basis 5 t.o.v. basis 5 -+(O)

(i) weergegeven door

5

weergegeven door 5 ( O )

zodat geldt -+ x = 5 ( i ) T ;(i) -+ ( o ) T ;(o) zodat geldt x = 5

I n d i e n e e n vektor de p o s i t i e v a n twee punten P e n Q t e n opzichte v a n elkaar vastlegt, k a n d i t aangegeven worden door de vektor -t x _PQ

_'

waarbij de i n d e x P h e t b e g i n p u n t e n de i n d e x Q h e t e i n d p u n t v a n

de vektor a a n g e e f t (zie f i g u u r 4 . 6 ) .

D e plaats v a n h e t m a t e r i e e l p u n t P i n de r u i m t e k a n t e n opzichte v a n e e n v a n de vektorbases worden vastgelegd door e e n vektor v a n

de b e t r e f f e n d e o o r s p r o n g n a a r P.

Z o k a n de p o s i t i e v a n p u n t P t e n opzichte v a n de ellipsoïde-basis

-t -f

e worden aangegeven door x

-

OP

Evenzo k a n P vastgelegd worden door x

v a n de lichaamsgebonden basis I u i t f i g u u r 4.3.

als O de o o r s p r o n g is v a n deze basis.

-f

als O' Ü e o o r s p r o n g i s

O'P

4.2.1 D e

maximale incbingdiepte 6

De afleiding van de indringdiepte

6

wordt voornamelijk beschreven ten opzichte van basis

e .

Alvorens tot deze afleiding over te gaan, worden de ellipsoïde en het vlak, door middel van de betref- fende vergelijkingen, in basis beschreven.

-+

+-

Binnen de ellipsoïde-basis

-

e wordt de ellipsoïde beschreven door:

2 2 Z 2 2 2 X

Y

-

+ -

+ - =

1

2 E E C b Ea ( 4 . 1 )

waarbij x, y en z de coördinaten zijn van een punt van de ellipsoïde in basis -+

2.

In matrixnotatie geschreven als:

T

x A x = l

-

- -

met als definities

A :=

-

( 4 . 2 j

en :=

lxl

L:

In figuur 4.7 wordt het onbegrensde vlak 57 vastgelegd duor de plaats -+

van een willekeurig punt A door middel van x normaal e .

en de eenheidsbuiten- OA

Q

Figuur 4.7 De ellipsorde en het onbegrensde vlak

-+ De vergelijking van het vlak in basis e is:

_-

C

OA ' x . c = x

ofwel in coördinatenkolommen geschreven:

( 4 . 3 )

-+ waarbij 5,

5

en x _-0A de coördinatenkolommen ten opzichte van basis e

_-

-f

zijn van respectievelijk een willekeurige vektor x, de eenheidsnor- maal c en de positievektor -f -f x van punt A.

OA

Het ellipsoïde-oppervlak gedefinieerd volgens vergelijking (4.1)

R -f R1

kan beschouwd wouden als een

niveauuiiak

van de funktie f : waarbij 3 2 2 z 2 2 2 X Y f = -

+ 2

+ -

E Eb C E a

De gradient van funktie definitie gelijk aan:

af

f, aangeduid met grad € of Q€ - is per

(4.5)

De vektor met als coördinaten (grad f) staat loodrecht op het niveauvlak door punt P (zie lit. c 2 1 1 ) .

in punt P

Voor het ellipsoïde-oppervlak kan gesteld worden dat de vektor in punt P, gedefinieerd door

-f T - f

Qf = Qf e P --P-

loodrecht staat op het ellipsoïde-oppervlak door P.

T -f

A x is gelijk aan 2 A x in basis

-

e De gradiënt van f =

_-

x

_{- -}

_{- -}

(4.7)

De maximale indringdiepte

6

is met behulp van het begrip gradiënt

a l s volgt te definiëren:

De maximaze indringdiepte

6

i s de afstand tussen het gegeven vlak en een raakvZak aan

de

e l l i p s o f d e , dat evenuijdig

i s

aan dat vZak, met dien verstande dat de gradiënt behorende b i j het raakpunt

tegengesteld van r i c h t i n g i s aan de eenheidsnornaal van h e t gegeven vlak.

Dit wordt nog eens verduidelijkt in figuur 4.8:

Aan de hand van vergelijking (4.7) en de bovenstaande definitie, geldt voor de coördinatenkolom van x

OP

3 -+

in basis e (zie figuur 4.8):

_-

FlSP =

-Y

2

ofwel

Vergelijking (4.9) ingevuld in (4.29 levert

Hieruit volgt voor y (met de voorwaarde y > U ) :

1

Y =

3

Voor punt P wordt als coördinatenkolom in basis

e

gevonden:

-1 (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12)

P

Figuur 4.9

De indringdiepte

6

is gelijk aan:

+ -f C PA ô = x ( 4 . 1 3 ) + Hierin is x

wijst (zie figuur 4.9).

een vektor die vanuit P naar h e t punt A van vlak Q

+-

De indringdiepte in coördinatenkolommen ten opzichte van basis - e:

- x I T c (4.14)

-OP

-

ô = ( % A

-+(i) of ten opzichte van de lichaamsgebonden basis e

(4.15)

Aangezien aangenomen is dat de hoekverdraaiingsoriëntatie van de

+-(i) +-

lichaamsgebonden basis

-

e en van de ellipsoïde-basis

e

gelijk +

aan elkaar zijn, is de transformatiematrix tussen

e(i)

- en

2

gelijk aan de eenheidsmatrix.

Vergelijking (4.15) kan dus herschreven worden tot:

(4.16)

4.2.2 De

grootte van het contactoppervlak bij volledige doorsnijding

De doorsnede van een ellipsoïde met een vlak is een ellips. Het oppervlak van deze ellips, die in het vervolg de

contactellips

wordt genoemd, wordt in deze paragraaf bepaald. Hiervoor wordt allereerst naar het middelpunt M van de contactellips uit figuur 4.10 gezocht.

Verder zijn gegeven:

T

x A x = l de ellipsoïde-vergeli jking (4.2) :

-

- -

T T

en de vergelijking (4.3) voor het vlak: x

2

= x c = constant

-QA

-

-

Figuur 4.10 De contactellips bij volledige doorsnijding

-+

We definiëren een vektor u vanuit het middelpunt M naar een wille- keurig punt van de contactellips.

Voor dat punt van de contactellips geldt:

(4.171

rn

A x + 2 u ' A x + u L A u = l T

~ O M

--OM

-

-

- -

( 4 . 1 8 )

Voor het punt op de doorsnijdingsellips diametraal gelegen tegenover het bovengenoemde punt geldt:

of uitgeschreven

( 4 . 1 9 )

( 4 . 2 0 )

A l s vergelijking ( 4 . 2 0 ) van ( 4 . 1 8 ) wordt afgetrokken, l e v e r t d i t :

T

u A x

_-

= O -OM

-

( 4 . 2 1 )

T 7 r i r r . P VUVI yuiALen n.7-C vsn de contactellipc geldt dat z e zowel op de ellipsoXde

liggen als dat ze deel uitmaken van het vlak. De l a a t s t e voorwaarde voor deze punten i s dan ook:

T u

c = o

- -

Combineren van ( 4 . 2 1 ) en (4.22) g e e f t : ( 4 . 2 2 ) ( 4 . 2 3 )

Vergelijking ( 4 . 2 3 ) geldt voor a l l e

-

u, met andere woorden A x = V C

-

-<)M

-

D i t l e v e r t : -1 = V A

_-

_-

c %M

Er i s reeds u i t ( 4 . 3 ) bekend dat

T c T -OM x

-

C = x O A

-

Vergelijking (4.25) ingevuld i n (4.26) g e e f t : T - 1 T T v c

( A

)

c = x

c -OA

-

-

waaruit voor V gevonden wordt:

( 4 . 2 4 ) ( 4 . 2 5 ) ( 4 . 2 6 ) ( 4 . 2 7 ) (4.28) + -t De coördinaten van x (4.28) i n (4.25) i n t e vullen

i n de vektorbasis

-

e worden gevonden door

OM

m

Als we vergelijking ( 4 . 2 9 ) met vergelijking ( 4 . 1 2 ) vergelijken, blijkt dat geldt:

= Y x

%M -OP

met

( 4 . 3 0 )

( 4 . 3 1 )

Of, met andere woorden, uit ( 4 . 2 9 ) en ( 4 . ? 2 ) blijkt dat het mid- delpunt M van de contactellips op de lijn OP ligt.

De oppervlakte van de contactellips is bekend als de halve assen van de contactellips bekend zijn. Alvorens deze te bepalen wordt eerst de volgende stelling geponeerd waarbij voor het bewijs naar appeadix A w m d t verwezeri.

De hoofdassen

van

de e o n t a c t e l l i p s u i t figuur

4.12

liggen

in

de

richting

van eenheidsvektoren a en

die met eenheidsnormaal

e

van

vlak V

een orthonomale

basis

vormen en die

a l s

v o l g t gede-

-+

+

finieerd

z i j n :

x . # C OM + ( 4 . 3 2 ) a = + + + b = c l a ( 4 . 3 3 )

Figuur 4.11 De halve assen van de contactellips

De lengte van de halve assen van de contactellips wordt op de vol- gende manier bepaald. Volgens de bovenstaande stelling zijn de punten van de contacteiiips äie op de hoofàacsen liggen, eind- punten van de vektoren + x

+

1

+ a en + x

+ rl

+ b.

De grootte van h en q wordt als volgt berekend.

De eindpunten van de halve assen liggen zowel op de ellipsoïde als in het vlak, zodat per vektor twee vergelijkingen ter beschik- king staan: T a c = O

- -

T b c = O

- -

Uitwerken van

1

en 2 geeft

T T a c = O (5.24) -t A x = V

-

c

- -

I

a A X = O

-

- O M

-

OM I T + 2 q b T A s M + n 2 b T A b = 1 ad 2.

~ O M

A

~ O M

- -

-

- -

T T b c = O (5.24) -t

A%M

=

v

-

c

- -

I

b

A s M = o

(4.34b) (4.35a) (4.35b) (4.36b) (4.37a)

Uit de vierkantsvergelijkingen (.4.36a) en ( 4.37a) vinden we a l s

(.4. 37b)

A = - / m

.I

a A a

_{- -}

(4.38)

(4.39)

De oppervlakte van de contactellips is gelijk aan

n

A

q waarbij voor

h

en 17 uit (4.38) en (4.39) de positieve waarden gekozen zijn

4.2.3 De gpootte van het contactapperv2ak b i j gedee2teZijke door-

sni

jding

In paragraaf 4.2.2 is het oppervlak bepaald van de doorsnede van een eìlipsoide met een onbegrensd vlak of met een begrensà vlak waarvan de begrenzingslijnstukken zich buiten de ellipsoïde bevinden zoals in figuur 4.12 is aangegeven.

In het volgende zal sprake zijn van een gedeeltelijke doorsnijding van een ellipsolde met een begrensd vlak. Figuur 4.13 geeft aan wat met een gedeeltelijke doorsnijding bedoeld wordt. Het gearceerde oppervlak geeft aan van welk contactoppervlak sprake is.

a

b

Figuur 4.13 De twee situaties van gedeeltelijke doorsnijding

De in figuur 4.13 met a en b aangegeven situaties zullen hier afzonderlijk uitgewerkt worden, Opdat zich enkel en alleen de met a en b aangeduide doorsnijdingssituaties zullen voordoen, moet aan de betreffende vlakken een aantal eisen gesteld worden. Er

zal daarom in het vervolg alleen sprake zijn van begrensde vlak- ken waarvan de begrenzingslijnstukken een vierhoek vormen en waarvan de afmetingen zodaplig zijn dat niet meer dan één hoekpunt van het vlak zich binnen de ellipsoïde kan bevinden.

De hoeken van de vierhoek worden verondersteld kleiner dan

180°

te zijn.

Situatie

a

In paragraaf 4.2.2 is reeds aangegeven op welke wijze het middel- punt van de contactellips en de eenheidsvektoren a en b l in de richting van de halve assen van de ellips, bepaald kunnen worden. Als vlak V uit figuur 4.13.a het vlak van tekening is, kunnen zich de in figuux 4.14 aangegeven mogelijkheden van doorsnijding voordoen e

-+

+

A

// 3- i

1

i

\

i

i

i

Figuur 4.14 De verschillende mogelijkheden van doorsnijding in situatie a

De grootte van het gearceerde oppervlak in figuur 4.15 ligt vol- ledig vast door de afstand % van middelpunt M tot het lijnstuk E* H** en door de hoek

0

die lijn H H met de eenheidsvektor a maakt. Hierbij moet echter wel onderscheid gemaakt worden tus-

a: %%

-+

sen de situatie dat M binnen het gearceerde oppervlak ligt of zich erbuiten bevindt.

Figuur 4.15 Oppervlak ellipssegment

In het geval dat M zich buiten het contactoppervlak bevindt, ligt het verband tussen 2 en @ en het oppervlak van het gearceerde ellipssegment vast door de volgende vergelijking waarbij voor

de herkomst en de afleiding hiervan naar appendix B wordt verwezen.

C

R

b 2

opp. ellipssegment = O =

-

C a arccos ( - ) -

R

@ @ a a C C met 1

R

=

, .

R

C J1

+

E cos2

6

Hierin is a de lengte van de halve as van de contactellips in de richting van de eenheidsvektor a -+

b de lengte van de halve as van de contactellips in -+

de richting van de eenheidsvektor b

*

22 +

4

de hoek tussenH H en vektor a

Indien M zich binnen het gearceerde contactoppervlak bevindt, wordt de grootte hiervan gegeven door:

R

b 2 = 1~ ab -

-

C

a arccos (

-

- O@ a a C C met voor !? ( 4 . 4 1 ) .

E, a, b en

4

dezelfde definities als in vergelijking C,

Situatie

b

(4.41)

(4.42)

In het geval dat een hoekpunt van de vierhoekW uit figuur 4.13

zich binnen de ellipsoïde en daarmee binnen de contactellips bevindt, wordt bij de berekening van het gearceerde oppervlak uit figuur 4.16 dit contactoppervlak uit twee gedeelten opgebouwd gedacht.

Ook hier wordt weer onderscheid gemaakt tussen de situatie dat M binnen of buiten het gearceerde gedeelte ligt, dat omsloten wordt door het lijnstuk S 1 s 2 en de boog S1 S2 van de ellips.

Figuur 4.16 geeft een voorstelling van zaken waarbij vlak VI uit figuur 4.13 het vlak van tekening vormt.

Figuur 4.16 De grootte van het contactoppervlak als een hoekpunt van het vlak dat zich binnen de ellip- sofde bevindt

Als M buiten het bovengenoemde oppexvlak ligt, geldt:

+= C a C C

R

b 2 O@ =

C

a arccos (

-

1

-

R

-f

*

waarbij x de vektor is üie van snijpunt S 1 naar hoekpunt E

de vektor van S

₁

naar S aangeeft; alles onder hand- 2

wijst en x

having van de afspraken uit (4.41). s1s2

Als M binnen het besproken oppervlak ligt, geldt:

*

x

II

C

R

b 2 O = T ab

-

- [ a arccos ( - 1

-

R

1

-

+

%

11;

a C C SIH* s1s2

@

a ( 4 . 4 4 )

Hiermee is de berekening vastgelegd van de grootte van de mogelijke contactoppervlakken tussen een ellipsoïde en een begrensd vlak onder bepaalde voorwaarden, die omschreven zijn in het begin van deze paragxaaf.

5

EXPERIMENTEN

5.1

In

Zeiding

Detweedehoofdlijn van deze studie zoals aangegeven in de algemene inleiding van hoofdstuk 1, wordt gevormd door een serie eenvoudige experimenten. Het doel van deze experimenten is een indruk te krij- gen van de totale contactkracht a l s funktie van de tijd, bij een botsing tussen een ellipsoïde en een vlak of een hoek gevormd door begrensde vlakken.

Zoals reeds in de beschrijving van de contactkracht uit paragraaf 4 . 2 . 4 is aangegeven, wordt verondersteld dat deze krachtwerking voor een groot deel gekarakteriseerd kan worden door een elastisch

,

ees dempingc- en een wrijvingseffect.

Inzicht in de grootte van de drie hoofdeffecten, elasticiteit, demping, wrijving, wordt vooral verkregen uit experimenten die elk fenomeen apart analyseren.

Zo kan het elastische effect dat door een soort "veerkracht" ver- tegenwoordigd wordt, bepaald worden door bijvoorbeeld een statische meting uit te voeren, waarbij de kracht als funktie van bijvoor- beeld de indringdiepte wordt gemeten.

Een andere mogelijkheid is het bepalen van een dynamische wrijvings- coëfficiënt voor het contact tussen ellipsoïde en vlak ais funktie van normaalkracht en materiaaleigenschappen.

In tegenstelling tot statische metingen waarin de bijdragen van de hoofdeffecten afzonderlijk onderzocht worden, is in de serie dynamische experimenten vooral de aandacht gericht geweest op de krachtwerking in zijn geheel. Het voordeel van een dynamische meting is dat er sprake is van een botsing, waarbij dus de

factor

snelheid

een rol speelt, hetgeen bij statische metingen niet het geval is.

In het volgende zal getracht worden bovenstaande vage omschrij-

vingen meer gestalte te geven in de beschrijving van de experimenten.

5 . 2

De beschrijving

van de experimenten

De opzet is geweest drie van vorm verschillende ellipsoldes van hetzelfde materiaal met een bepaalde snelheid tegen een vlak te laten botsen en hierbij de kracht als funktie van de tijd te

registreren. Hiervoor is gezocht naar een botsing waarbij de kracht- werking tussen ellipsoïde en vlak zoveel mogelijk in de richting_ van de eenheidsnormaal op het vlak plaatsvond. Er is gekozen voor een serie "vrije val"-experimenten waarbij de drie verschillende ellipsoïdes van bepaalde hoogten op drie verschillende trefvlakken vallen.

In de volgende paragrafen zal een meer gedetailleerde beschrijving van deze valproeven gegeven worden.

5.2.1

De vervorrhare Zichamen en de contactvlakken

De keuze van de "vrije val'Lproeven is voornamelijk bepaald door het feit dat het lichaam voor, tijdens en na de botsing vrij moet kunnen bewegen zonder dat er kinematische beperkingen, in de vorm van bijvoorbeeld een geleiding, opgelegd zijn.

In paragraaf 3.2 en 4 . 1 worden ellipsoïde-vormen gebruikt om aan een systeem van starre lichamen contouren toe te kennen om contact tussen het systeem en de omgeving te simuleren. Hierbij wordt het contact van een lichaam van willekeurige vorm met een deel van de omgeving gesimuleerd door het contact tussen wiskundig goed

gedefinieerde oppervlakken zoals tussen een ellipsoïde en een plat vlak.

Gm nu de omstandigheden en de randveorwaarden ïsn simulatie en fysische werkelijkheid zoveel mogelijk overeen te laten komen, wordt een lichaam genomen waarbij fysische vorm en gestileerde wiskundige contour aan elkaar gelijk zijn. Vandaar dat de lichamen waarmee deze "vrije val"-experimenten worden uitgevoerd, ellipsoïdes zijn.

Het betreft twee series van drie ellipsoïdes.

De ene serie omvat drie ellipsoïdes van verschillende afmetingen en vervaardigd uit poly-urethaan (PU-123). Dit is hetzelfde mate- riaal dat gebruikt wordt voor de TNO-IO dummy.

Voor de juiste afmetingen en verdere specificaties wordt verwezen naar figuur 5.1 en tabel 5 . 1 .

Figuur 5.1 De drie ellipsoides B, E S en E G

De gegevens van de ellipsoides B, E S P EG Tabel 5 . 1

De andere serie bestaat uit drie ellipsoides van dezelfde afmetingen en van hetzelfde materiaal als in de eerste serie, met dit verschil dat deze lichamen voorzien zijn van een metalen kern in de vorm van een gesloten aluminiumpijp.

Voor de juiste afmetingen en verdere specificaties wordt verwezen naar figuur 5.2 en tabel 5.2.

E Figuur 5.2 De drie ellipsoides B E

E

K' EsKr GK Tabel

5 . 2

De gegevens van de ellipsoides B

I n de tabellen

5.1

en 5 . 2 z i j n afkortingen gebruikt om de diverse ellipsoides aan t e geven. Hier volgt i n het kort een d u i d i n g van de gebruikte codering voor deze ellipsoïdes.

De afkorting B s t a a t voor bol met s t r a a l R = E = E = E =

0.125

m.

a b c

De l e t t e r s E staan voor de "slanke" e l l i p s o ï d e met assen

E geeft de "grote" e l l i p s o ï d e

aan met a l s assen E = E =

0.125

m en E =

0.25

m. De toevoeging

K i n D

,

E E slaat op de s e r i e vari ellipsoTdec die van g e l i j k e

afmetingen z i j n a l s de hierboven beschreven e l l i p s o i d e s maar daar-

S

= Eb = 0.08 m en E =

0.25

m en E

a C G

a b C

K SK' GK

b i j z i j n voorzien van een metalen kern i n de vorm van een aluminium p i j p .

De v l a k k e n waar de h i e r b o v e n b e s c h r e v e n ellipsordes op z u l l e n b o t s e n , worden i n h e t vervolg a l s geheel met trefvlakken a a n g e d u i d . F i g u u r 5.3 i s e e n schets v a n de d r i e t r e f v l a k k e n e n f i g u u r 5 . 4 geeft e e n d o o r s n e d e v a n e l k trefvlak.

Figi^ur 5 * 3 Een schets v a n de d r i e t r e f v l a k k e n

Het eerste trefvlak, aangeduid met TV 1, is een ronde aluminium schijf. Dit trefvlak moet een

onvervormbaar p l a t v la k

nabootsen; hiertoe is een diameter voor de schijf gekozen die groter is dan de diameter van een mogelijk contactoppervlak tussen ellip- soïde en TV 1.

Het tweede trefvlak, aangeduid met TV 2, stelt een

tweevZakshoek,

gevormd door twee oneindige halfvlakken voor, waarbij onder een oneindig halfvlak wordt verstaan een vlak dat aan één zijde begrensd wordt door een lijn.

De hoek die deze halfvlakken met elkaar maken, is 120°. Dit wordt met de "dakvormige" constructie met tophoek 120 uit figuur 5 . 3 en 5.4 nagebootst.

Het derde trefvlak, aangegeven met TV 3, heeft dezelfde vorm als het tweede trefvlak TV 2 met dit verschil dat de hoek tussen twee vlakken 60° bedraagt.

De trefvlakken TV 2 en TV 3 zijn van aluminiumplaat vervaardigd.

O

5.2.2 D e meetopstelling

De totale meetopstelling omvat een stellage, de valtoren genaamd, en een hoeveelheid elektronische randapparatuur die het mogelijk maakt een kracht als funktie van de tijd te registreren.

In de meetopstelling voor de experimenten voor ellipsoïde-vlak- contacten bestaat de valtoren uit een kubusvormig betonnen blok, dat het voetstuk van de stellage vormt, uit twee vertikaal hierop

geplaatste pijpen, die ter geleiding van het juk dienen waaraan de vallichamen opgehesen worden en uit een klem -inrichting om de eenheid waar de krachtopnemer in bevestigd is, op het betonnen blok te klemmen.

De elektronische apparatuur bestaat in hoofdzaak uit een ladings- versterker, die het signaal afkomstig van de krachtopnemer ver- sterkt en een oscilloscoop waar het signaal als funktie van de tijd geregistreerd kan worden.

Figuur 5.5 is een schets van de gehele meetopstelling; voor meer gedetailleerde informatie in de vorm van tekeningen en specifi- caties wordt verwezen naar bijlage C .

,

r

i

I

l

i

E

i

I 1

Met behulp van de i n

5.2.2

beschreven meetopstelling i s getracht de contactkracht t e registreren a l s een e l l i p s o ï d e met een bepaalde snelheid een vlak t r e f t .

Alvorens ertoe over t e gaan de resultaten van deze experimenten weer t e geven, dient ten eerste de wijze waarop de e l l i p s o i d e s met de betreffende trefvlakken i n contact z i j n gekomen beschreven t e worden en ten tweede de p l a a t s waar de kracht gemeten i s t e worden aangegeven.

Op het moment van contact i s er sprake van een r e l a t i e v e snelheid tussen e l l i p s o ï d e en vlak die i n het geval van t r e f v l a k TV

1

tegengesteld i s aan de richting van de normaal op dat vlak en i n geval van de trefvlakken TV 2 en TV 3 loodrecht s t a a t op de ribbe van de tweevlakshoek en zich i n het bissectricevlak hiervan be- vindt.

De p o s i t i e van de ellipsoïde ten opzichte van het vlak i s tijdens het contact zodanig dat de richting van de r e l a t i e v e snelheid samenvalt met de richting van d.e langste halve a s van de e l l i p - soïde.

Figuur 5 . 6 geeft het hierboven omschrevene nog eens weer waarbij dan tevens de p l a a t s waar de kracht gemeten wordt aangegeven i s .

Q

F i g u u r 5 . 6 D e p o s i t i e v a n ellipsoïde t . o . v . trefvlak e n

;In r i l - . - r t r i . _ _ - . Y 2 - l r . - - . m L t n r r m r r t r r . . r.ri.,-;It

u== pLaaL.3 w a a L uc r.LaLiir. y c r i i c ~ c r i WULUC

E l k e ellipsoïde u i t de twee series omschreven i n

5.2.1

i s m e t d r i e

v e r s c h i l l e n d e snelheden op e l k v a n de i n

5.2.2

omschreven tref- v l a k k e n g e v a l l e n . Hiertoe i s e l k e e l l i p s o ï d e v a n drie verschil- l e n d e valhoogtes i n de valtorem l o s g e l a t e n , waarbij zoals i n f i g u u r 5 . 7 aangegeven is, onder de valhoogte de a f s t a n d t u s s e n

h e t laagste punt v a n de e l l i p s o ï d e en h e t hoogste p u n t v a n h e t t r e f v l a k v e r s t a a n w m U t .

T

n

F i g u u r 5 . 7 D e valhoogte H

I n Ü e experimenten z i j n a c h t e r e e n v o l g e n s

0 . 5

meter,

1

meter e n

1.5

meter a l s valhoogte genomen; deze worden a a n g e d u i d met

sespect.&uzlhjk Bi, a2, H 3 .

De valhoogtes 0 . 5 ,

1

e n

1.5

meter komen v o l g e n s de v o l g e n d e formule v = =

(5.1

1 en b i j v e r w a a r l o z i n g v a n de l u c h t w r i j v i n g o v e r e e n met de v o l g e n d e relatieve snelheden t u s s e n e l l i p s o ï d e e n t r e f v l a k , n l . 3 . 1 3 "/s I m "/s e n 5.02 / s .

De hierna volgende pagina's geven een overzicht van de verkregen resultaten, daarbij onderverdeeld naar de twee series die afzon- derlijk weer in een soort matrixstructuur onderverdeeld zijn naar de parameters: trefvlak,ualhoogte en lichaam. Hierbij is gebruik gemaakt van de in dit hoofdstuk geïntroduceerde afkor- tingen voor de begrippen trefvlak, valhoogte en lichaam.

Hier volgt nogmaals een korte opsomming.

B = bol met straal R = E = E = E = 0.125 m.

= ellipsoade met E = E = 0.08 m en E = 0.25 m. = ellipsoïde met E = Eb = 0.125 m en E = 0.25 m.

a b C

ES a b C

EG a C

als B, E E

,

maar voorzien van metalen kern.

'IK S' G

E~~

T V 1 = aluminium schijf die een onvervormbaar plat vlak voorstelt. T V 2 = aluminium dakconstructie die een tweevlakshoek met een hoek

van 120" voorstelt.

T V 3 = aluminium dakconstructie die een tweevlakshoek met een hoek

O

van 60 voorstelt.

Hl = een valhoogte van 0.5 m. H2 = een valhoogte van

1

m. H3 = een valhoogte van 1.5 m.

o

5 IO 15 EO 2 5 { - 1' io-s sec.

lH21

IH31

o

5 10 t5 $0

2s

o 5 10 IS .?o 2 s

t

-

e

:*

/a-J&c

*

i0-3 jet

O 5

- * -

- - - _

-

i-

- t - - 1 : -

i

-:*

/0-3&..c,

*

to’3jet

NABESCHOUWING EN S U G G E S T I E S

6 . 1 Nabeschouwing

In dit rappoxt is de nadruk gelegd op twee onderwerpen die een r o l kunnen spelen bij de verdere ontwikkeling van geometrische contactmodellen voor de bepaling van contactkrachten tussen systemen van starre lichamen en hun omgeving.

Een belangrijk accent is gelegd op de bepaling van de grootte van diverse contactoppervlakken tussen een ellipsoïde en een begrensd vlak. Dit is voornamelijk bepaald door het feit dat het bestaande contactmodel zoals dit in hoofdstuk 3 beschreven is, als grote beperking heeft dat slechts de maximale indringdiepte a l s enige criterium gehanteerd wordt.

De beschrijving uit hoofdstuk 4 biedt de mogelijkheid om naast , de maximale indringdiepte ook nog het contactoppervlak in reke-

ning te brengen bij de bepaling van de krachtwerking tussen een ellipsoïde en een begrensd vlak.

De in hoofdstuk 5 beschreven experimenten vormen het tweede onder- werp dat de verdere ontwikkeling van contactmodellen kan onder-

steunen. De resultaten van die experimenten zullen in eerste instantie naast het verkrijgen van inzicht in het werkelijke bot- singsgebeuren, ter verificatie dienen voor nieuw ontwikkelde contact- krachtmodellen.

Juist dit laatste aspect blijkt interessantevergelijkingen op te leveren. Zo zijn in de figuren 6.1, 6.2 en 6.3 de resultaten van een sexie experimenten met de resultaten van een simulatie van deze experimenten uitgevoerd met het bestaande contactmodel uit

MADYMO

.

Het betreft hier de vergelijking tussen de botsingen van de drie ellipsoZdes B I E E op de platte schijf TV 1 en de overeen- komstige simulaties.

S I G

Hierbij valt duidelijk op dat de karakteristieke verschillen tus- sen bol en slanke ellipsoïde wat betreft tijdsduur van de botsing niet terug te vinden zijn in de resultaten van de simulatie. Wel blijkt dat de uitkomsten van de simulatie evenals de resul- taten van de experimenten aangeven dat de krachtwerking bij de elastische lichamen zonder kern evenredig is aan de hoeveel- heid impuls die het lichaam v0Or oe botsing bezit.

Het vermoeden bestaat dat het in rekening brengen van de grootte van het contactoppervlak de resultaten van simulatie en realiteit dichter bij elkaar zal brengen, omdat het contactoppervlak bij de slanke ellipsoïde minder snel zal toenemen dan bij de bol het geval is.

6.2 Suggesties

voor

toekomstig onderzoek

De volgende onderwerpen zouden als suggestie kunnen dienen voor toekomstig theoretisch en praktisch onderzoek in het kader van de verdere ontwikkeling van dit soort geometrische contactmodellen ter bepaling van de contactkrachten.

.

In dit rapport zijn contactmodellen, met name de geometrische aspecten daarvan, in hun algemeenheid behandeld. Dit zou de indruk kunnen wekken dat elke willekeurige contactsituatie met een algemeen model beschreven kan worden.

Het verdient echter aanbeveling om in navolging van onderzoe- kers uit de Verenigde Staten voor elke contactsituatie het contactmodel aan te passen en zodoende voor elk contact de afhankelijkheid tussen kracht en geometrische grootheden op- nieuw te definiëren en vast te leggen.

.

Het verwerken van de inzichten uit hoofdstuk 4, gerelateerd aan de resultaten uit hoofdstuk 5, in een stuk computerprogram- matuur kan een voortzetting vormen van deze studie.

.

Voor de analyse van een speciale klasse van contactproblemen uit het grote aantal contactsituaties in de "crash-victim"- modellen vormt de werkwijze van Aboudi c l 1 en Hughes C6l een goede basis.

De eindige elementenmethode biedt een mogelijkheid om in een bepaalde contactsituatie door het variëren van een aantal para- meters de geometrische grootheden te bepalen die in meer of

mindere mate van invloed zijn op de krachtwerking tussen de contactlichamen.

LITERATUURLIJST

C l 1 J. Aboudi, 'The dynamic c o n t a c t stresses caused by t h e impact of a non-linear e l a s t i c haZf-space by

an

asymmetrical

projec-

ti 2

e ' I .

Juni 1977. Computer methods in applied mechanics and engineering. Vol. 13, pp. 189-204.

[21 J.T. Fleck, F.E. Butler, S . L . Vogel, An improved three-dimen- sionaZ computer simulation of v e h i c l e c r a s h

victims.

Vol. I, engineering manual. Rapport no: DOT HS-801 507. April 1975. Calspan Corporation, 4455 Genesee St., Buffalo, New York 14221.

C3l W. Flügge, V i s c o e l a s t i c i t y . 1975. Springer-Verlag.

C41 J.E. Fowler, R.K. Axford, K.R. Butterfield, "Computer S i m Z a t i o n

of t h e P e d e s t r i a n Impact".

October 1976. Sixth International Technical Conference on Experinaentab Safety Vehicles. Washington.

C 5

1

W. Goldsmith

,

Impact.

1960. Edward Arnold (Publishers) Ltd, London.

C6l T.J.R. Hughes, '9 f i n i t e element method f o r a

c l a s s

of contact- impact

prob

Zems

".

1976. Computer methods in applied mechanics and engineering 8, pp. 249-276.

C71 R.L. Huston, C.E. Passerello, Multi-rigid-body system dynamics w i t h app Zications

t o

humambody models and f i n i t e - s e g m e n t cab l e

mode

2 s .

January 1977. University of Cincinnatti, CLncinnatti, Ohio 45221, rapport no. ONR-UC-ES-080177-4.