Impliciete beschrijving van geometrische elementen en het numeriek oplossen ervan

Impliciete beschrijving van geometrische elementen en het

numeriek oplossen ervan

Citation for published version (APA):

Meijers, P. J. G. (1988). Impliciete beschrijving van geometrische elementen en het numeriek oplossen ervan. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPA....). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

Impliciete beschrijving van geometrische elementen en hst numeriek oplossen ervan

WPA-rapport nr . . . .

Uitgevoerd door: Laboratorium voor geometrische meettechniek TU

Eindhoven.

SAMENUATTING '

.

De software voor een meetmachine wordt voor een erg groot gedeelte in het buitenland ontwikkeld. Daarom vroegen ze zich bij de

vakgroep W.P.A. sektie meettechniek aan de T.U.E. af, of het niet mogelijk was zelf software voor de 2-D en 3-D meettechniek te

ontwikkelen met de bedoeling minstens net zo nauwkeurige resultaten te verkrijgen als de bestaande software. Aan de hand van een

uitgebreid literatuuronderzoek moest ondergetekende een indruk over deze mogelijkheid geven.

Na de benodigde literatuur en software te hebben bestudeerd, wordt in dit verslag een mogelijke oplossing gegeven om de

karakteristieke grootheden van geometrische elementen te bepalen. Karakteristieke grootheden zijn bijvoorbeeld: straal, positie hartlijn, kegeltophoek, etcetera.

Een geometrisch element wordt beschreven door parameters en variabelen. Om de parameters van Cniet-)lineaire geometrische elementen te bepalen uit een diskreet aantal punten, wordt er in hoofdstuk 2 een methode beschreven om deze op te lossen. Deze berust op het pricipe van de kleinste kwadraten-methode en wel zodanig dat de som van de kwadraten van de loodrechte afstand van geometrisch oppervlak en meetwaarde minimaal is. Deze methode wordt ook wel de orthogonale regressie genoemd. Het aantal meetwaarden, waardoor het geometrisch element is gedefinieerd, moet minimaal het aantal te schatten of te bepalen parameters bedragen.

Omdat het algoritme alleen werkt met impliciet functionele relaties wordt er in hoofdstuk 3 een opsomming gegeven van de meest

voorkomende geometrische elementen in de 2-D en 3-D meettechniek. Deze geometrische elementen worden dus daar als een impliciete functie beschreven. Uerder wordt er in dit hoofdstuk aandacht

geschonken aan het bepalen van de startwaarden voor de parameters. Het kan namelijk mogelijk zijn dat bij verkeerde startwaarden

(alleen kegel of cylinder) het algoritme naar de niet-gewenste oplossing, of helemaal niet convergeert.

INHOUD INHOUD

1. INLEIDING

2. PARAMETERSCHATTING UOLGENS DE KLEINSTE KWADRATEN-METHODE

2.1 Inleiding

e.e

De berekening van ~

2.3 Het algoritme

3. DE IMPLICIETE BESCHRIJVING VAN GEOMETRISCHE ELEMENTEN

3.1 Inleiding

3.e

LJlak in 3-D 3.3 Lijn in 2-D 3.~ Cirkel in 2-D 3.5 Bol in 3-D 3.6 Elips in 2-D 3.7 Lijn in 3-D 3.8 Cylinder 3.9 Kegel LITERATUUROUERZICHT

1. INLEIDING

In de meettechniek worden steeds hogere eisen gesteld aan de nauwkeurigheid. Deze nauwkeurigheid uit zich in het steeds

nauwkeuriger worden van de meetmachine met de daarbij behorende

~ data gegevens, welke middels een computer worden verwerkt. De

computer bepaalt uit deze datagegevens_liet gewenste geometrisch

.';/-. element .

Geometrisch elementen zijn bijvoorbeeld: cylinder, kegel, cirkel, paraboloide, lijn, vlak enzovoorts.

Dm deze geometrische elementen te kunnen bepalen moeten minimaal

tf

:ee~:n

PI

een aantal meet s bekend zijn. Bij het minimale aantal hoeft

het geometrisch element niet geometrisch bepaald te zijn, maar is wel wiskundig exact bepaald. Er is dan een meetstrategie volgens een bepaalde procedure nodig om het geometrisch element als het ware "richting'' te geven. Als voorbeeld zou kunnen dienen een cylinder, die door vijf punten is gedefinieerd. Zou je drie van deze punten in een vlak en twee punten evenwijdig aan dit vlak door meting hebben bepaald, dan kun je bij het berekenen van de

karakteristieke parameters van de cylinder op problemen stuiten. De eerste mogelijkheid zou kunnen zijn dat de hartlijn van de cylinder door het midden van de drie punten en aan de ene kant van de

laatste twee punten ligt Cfig. 1,bijlage 1). De tweede mogelijkheid is dat de hartlijn aan de andere kant van de laatste twee punten terecht komt Cfig. 2,bijlage 1). Een derde mogelijkheid is, dat als twee van de eerste drie punten en de laatste twee punten in een vlak liggen, de hartlijn van cylinder evenwijdig aan de aangetaste vlakken ligt (fig. 3,bijlage 1). De laatste mogelijkheid is de

hartlijn loodrecht op de derde mogelijkheid Cfig. ~. bijlage 1).

Bij meer dan het minimale aantal meetwaarden wordt het probleem nog complexer om uit de meetgegevens de de beste oplossing te bepalen. Wiskundig kan dit het beste worden beschreven door de kleinste

kwadraten-methode. Dit wil zeggen: de som van de kwadraten van de loodrechte afstand van de meetwaarden en geometrisch oppervlak is minimaal.

Het probleem is nu dat bestaande software bij bepaalde complexe

geometrische elementen hieraan~~~~?l?~~fwijkingen hebben,

hetgeen de nauwkeur~heid van de_meetma~~e óeinvloed. Uit een

internationale test, 2aaraan een tiental laboratoria uit zes verschillende landen hebben meegewerkt en door de Physikalische Technische Bundesanstalt in Braunschweig is uitgevoerd, is dit namelijk gebleken.

Bij die software-test moesten karakteristieke grootheden zoals straal, richting hartlijn, kegeltophoek etcetera, worden bepaald uit een twintig tot vijfentwintigtal punten die een kleine

afwijking ten opzichte van het werkelijke geometrisch oppervlak hadden. Deze afwijkingen, die de meetmachines ten opzichte van de referentie-software hadden, zijn in een meetrapport gezet CUoor bepaalde resultaten zie bijlage 2).

In het volgende hoofdstuk wordt het algoritme beschreven dat een oplossing geeft voor het bepalen van zulke overbepaalde Cniet-) lineaire geometrische elementen. Bovenstaande software-tests zijn op een homecomputer uitgevoerd, en uit die tests bleek dat de berekende karakteristieke grootheden niet minder nauwkeurig waren dan die van de geteste meetmachines Czie bijlage 2).

In het daaropvolgend hoofdstuk wordt een impliciet functionele

beschrijving gegeven van de meestvoorkomende geometrische elementen in de 3-D en 2-D meettechniek. Dit wordt zo gedaan omdat het

algoritme alleen met impliciet functionele relaties werkt

In het laatste hoofdstuk wordt tenslotte een literatuuroverzicht gegeven.

2. PARAMETERSCHATTING UOLGENS DE KLEINSTE KWADRATEN-METHODE

2.1 Inleiding

Het algoritme is van het Gauss-Newton type en de volgende parameters en variabelen zijn daarbij nodig:

n - aantal metingen

•

,.,

-variabelen, onbekende werkelijke waarden

1; i grootte

*

.·1

,1.:>

-

parameters, onbekende werkelijke waarden grootte

[ _{p x}

'~\

~n //- x

e.- willekeurige fouten van metingen

1 i

-

1, 2, ... , n Eee. )=0 1 x.- meetwaarden l

* *

varee. )=(2 1 x. = ,t'. +e. 1 '1 1 i= 1,2,".,n

fee ,p )-0 Dit is een functionele relatie van incidentele

parameters ei en parameterschatter

p.

Er wordt aangenomen dat de willekeurige fouten die bij het meten optreden allemaal normaal verdeeld en onafhankelijk zijn en

allemaal dezelfde variantie per as hebben. Dit komt in de

variantiematrix 0 te staan met alleen componenten op de

hoofddiagonaal. Deze componenten zijn dus volgens bovenstaande evengroot.

2.2 De berekening van

p

*

* *

1

1

p is de beste benadering voor p in fee ,? )-0 als oplossing voor

het volgende minimalisatie probleem:

J

minimaliseer ~ p ~ p "1' ·=·2' · · · ", n' .~' n ,.. C - ,, ) T (.)-1 C - ,,. ) "·' xi ':· i .;;. xi ':· i i==l met nevenbetrekking

Uit bovenstaande blijkt dat als voor matrix 0 gewoon de

eenheidsmatrix wordt genomen er niets aan het minimalisatieprobleem veranderd. Deze matrix wordt dus verder voor het bepalen van de parameters àls eenheidsmatrix behandeld. Geometrisch stelt de

* *

relatie FC? ,p ) een Cp - q) dimensionaal gekromd oppervlak voor in

het p - dimensionale ruimte rnP. De parameter-schatter

h

is die

* *

waarde ~dat het een zodanige beschrijving van FC~ .~ ) geeFt, dat

de som van de kwadraten van de aFstand tussen meetwaarde x. en zijn

J_

loodrechte projectie ?i op het oppervlak minimaal is. Deze

berekening van

p

wordt ook wel de orthogonale regressie genoemd

CSchwetlick

&

Tiller 1885).

2.2 Het algoritme

*

De Functie FC? ,p) waarbij parameterschattingsvector p geschat moet

worden, wordt opgelost door een iteratieve algoritme van het Gauss-Newton type. Tijdens elke iteratiestap wordt FC?i,p)-0

* *

* *

gelineariseerd rond de lopende waarden ?

1,?2 , ... ?n,p, die berekend

moeten worden. We hebben dan een minimalisatie-probleem met een kwadratische voorwaardeFunctie met lineaire nevenvoorwaarden. Bij introductie van Lagrange-multipliers krijgen we een groot aantal lineaire vergelijkingen, die opgelost moeten worden. De lopende waarden worden elke iteratie-stap veranderd door de nieuwe berekende waarden. De volgende iteratie-stap mag weer beginnen. Deze stappen worden zovaak herhaald totdat convergentie is bereikt,

dit wil zeggen dat Jei voor i - 1,2, ... ,n en J~ voldoende klein

*

zijn in absolute waarden. e is dan gelijk aan ei en

p

In detail loopt het algoritme als volgt:

*

Fl

"-STAP 1

Geef voor ?1,?2 , •• ·?n als startwaarde xi, i=l,2, ... n. Pak voor

een goede schatting voor de werkelijke waarde

p

0

STAP 2

*

Bereken de residuen van f. en bepaal de partiele afgeleiden van de

l.

*

*

eerste orde. Dit zijn ffi en f pi·

*

* *

fi := fq·i"G ) i-1, 2, ... n, grootte 1 x 1

* *

·== f _·~::· ('"' _{t; i , /.'.)} "., ) · - i-1,2, ... n, grootte 1 x p

*

*

·=

f,.:ic;·. ,/] )

·=

;··' l. i=-1,2, ... n, grootte 1 x # C ,LD

en lineariseer de nevenbetrekking C2.2.1) rond de lopende waarden:

met

*

/\fi ·- :~·i

-

:;·i,

*

./\/3 . = r~

-

/73

STAP 3

i-1,2, ... n

i-1,2, ... n

Uervang hst minimalisatieprobleem C2.2.1) door minimaliseer

-'\ <• L' ," ;i ,., ·' i"J

.( .. ''1' .1<::2> 'oLIC,n>Llt:

," n

L·i-1 Cx i ':· i '···:· -!>

*

-.!•!:•) T • ." n -1 · Cx 'i ':· i '··· -!:·

*

--'.'.1i:· <,. i )

onderhevig aan de betrekking:

*

*

*

fl.. + f,·,:·i· ·Ael.. + f f:!i ·-,··· ·AA - 0

Introduceer de Lagrange multipliers Ai' dit zijn vectoren van

grootte q en vorm de Langrangiaan ~=

;f.".C.J,;·1,/1_{~'2• · · ,/},~·n,\1,\.2' ·' .>~'n•·':~/J)}

Differentieer de Lagrange multipliers \. naar zijn argumenten en

l

stel de ontstane vergelijkingen gelijk aan nul. Dit leidt tot de volgen set van n·p + n·q +#Cp) lineaire vergelijkingen voor de

onbekenden Af₁,A?₂, .. Aen,A

1,A2 ,

0-l·A~i

+ f;i-Ai ! p .de:

STAP

'i

*

•

f >-· • • l .. '1···· .(~ . <;" l . l + f _{ri . . L1p} : q i·· l r n

*

T ·-·1· -1 f ,-, . . :Ä.l. - pl .. :\n, .!.1/:i ;";.-1. ( _{.". x.}

o.

•

f. l l

•

- !.'.) " l i=l,2, ... n i==l, 2, ... n

Los bovenstaande vergelijkingen op. Uoor

AP

krijgen we:

n

*

T

* *

-1 n

*

T

*

*

*

i.11'.3 - - CE.

1f .. ,. •H.·f.".) ·CL'. 1f 1 ... ·H.·{f.+f, .. ·Cx.-1;.)})

1- ~l l ~l l= ~l l l ;1 l ·1

en voor A?i,indien

AP

is berekend,

* -

*

T

* *

*

*

l\l' (-:'.\i-1) - x - P -U.f ·H ·{f +f ·Cx -!=· )+f •./J.{:D i-1,2, " . n

-·· ." i !.. /·· i ·., i " !; i i i !;' i 'i ':· i ,Bi In bovenstaande vergelijkingen wordt de afkorting

*

*

~

*

T -1

H. :=Cf,. ·~.L·f,. ) gebruikt.

l ,~·1 <1

STAP

5

Uervang de oude waarden door de nieuwe:

*

*

):;1 .

-

_E'. '> i _{' l} en

*

*

,q _·= /:.' ,_ .. _{" ..} } waarbij i=l,2, ... n

UERDERE STAPPEN

Herhaal stap 2 tot en met 5 totdat convergentie wordt bereikt. Dit

*

is hst geval als de residuen van fi, de veranderingen ~ti'

i=l,2, ... n en

AP

voldoende klein zijn in absolute waarde.

LAATSTE STAP

*

De uiteindelijke schatting heb je nu verkregen: ei ·- ei voor

*

3. DE IMPLICIETE BESCHRIJUING UAN GEOMETRISCHE ELEMENTEN

3.1 Inleiding

Omdat beschreven algoritme alleen werkt met residuen van de

*

*

*

impliciete functies f., f~. en fP worden hiermee dus als zodanig de

1 ç1 ~

geometrische elementen beschreven.

Problemen met het algoritme treden alleen op als de matrix

n

*

T

* *

vertegenwoordigd door CE

1._0 f,. ·H. ·f,.l, grootte ~1 1 ~1 #C~l x #C~l,

singulier is. Uan deze matrix moet namelijk per iteratie-stap de inverse bepaald worden.

Als er zulke problemen optreden worden deze vermeld, en er worden mogelijke oplossingen ter voorkoming van deze singulariteit

beschreven.

3.2 Ulak in 3-D

Een vlak wordt als volgt beschreven:

fC~. ,pl = E·x.+F·y.+G·z.+ H = 0

1 1 1 1

De parameters E,F,G,H kunnen worden gedeeld door H en stel:

E F G H

H ·= A ;

H

:= B ;

H

:=

c ;

H

:-1

=> fCt. ,Bl = A·x.+B•y.+C·z.+ 1 = 0

. 1 . 1 1 1

dus beschreven door drie parameters en drie variabelen.

Er treedt nu een probleem op. Als een willekeurig vlak exact door coordinaat C0,0,0) gaat, is bovenstaande functie singulier Cl-0) en zouden er dus geen oplossingen zijn. Dit kan worden opgevangen door een rekenkundig foefje uit te halen. Uerstoor de meetwaarden met een waarde veel kleiner dan het oplossend vermogen van het

-s

~

meetsysteem (bijvoorbeeld 10 meter - 1 nm) dan is het bovenstaande

functie niet meer singulier als het vlak door coordinaat C0,0,0) gaat. Maar

er treedt een ander probleem op. Door de zeer complexe berekeningen per iteratie-stap is de numerieke stabiliteit niet meer

gewaarborgd. Dit is na verschillende tests namelijk gebleken. Beter is het probleem te beschrijven door 2 impliciete vergelijkingen:

Vlak 1 - f(P R) ' i ' r vlak 2 - fC2.,B) "1 • A·x.+B·y.+C·z.+A+B+C-1-0 1 1 1 A·x.+B·y.+C·z.+2·A-2·B+2·C-1+0 1 1 1

Je probeert eerst het probleem aan te pakken met behulp van de beschrijving van vlak 1. Dreigt de impliciete functie singulier te worden, dit zijn de vlakken x--1, y--1 of z--1 of twee meetwaarden op de lijn met vectorvoorstelling x-A,y-\ en z-\, dan kan tijdens de iteratie worden overgeschakeld op de impliciete beschrijving van vlak 2. Je kunt dit zien aan hst feit dat tijdens hst vegen van

n

*

T

* *

Matrix CF.

1 fP. ·H. ·f0 . ) een component van de hoofddiagonaal zeer

i= ~1 1 p1

klein af nul is geworden.

Doordat de parameters lineair en onafhankelijk zijn in de

impliciete functie, kunnen de startwaarden voor deze parameters ongelijk aan nul worden gekozen.

Uit tests is gebleken, dat als aan bovenstaande voorwaarden wordt voldaan, het algoritme zeer snel convergeert. Elk ruimtelijk vlak kan dus door bovenstaande vergelijkingen worden bepaald.

3.3 Lijn in 2-D

Een lijn in 2-D wordt beschreven daar 2 parameters en 2 variabelen:

lijn 1 - fCt,B)-A·x.+B.11.+A+B-l-O _{. . 1 ~1}

lijn 2 - fCt,~)=A·xi+B.yi+2·A-2·B-1-0

Ook nu geldt weer dat als de impliciete relatie van lijn 1 singulier dreigt te worden, overgeschakeld moet worden op de

impliciete relatie van lijn 2.

De procedure die gehanteerd moet worden is dus hetzelfde als die bij het vlak en geeft dus ook altijd oplossingen.

3.~ Cirkel in 2-D

Een cirkel wordt beschreven door 3 parameters en 2 variabelen:

fCt,~l-x2_+y2_{+A·x+B·y+C=}

0

De karakteristieke grootheden van de cirkel zoals straal en

cirkelmiddelpunt kunnen uit de bepaalde parameters A,B,C gehaald worden.

X --0.S·A

m y m --5·8

Ook hier zijn de parameters lineair en onafhankelijk in de impliciete functie en dus ook hier kan als startwaarde voor de parameters elke waarde ongelijk aan nul worden gepakt.

3.5 Bol in 3-D

Een bol wordt beschreven door ~ parameters en 3 variabelen:

fC~,Fl-x~+y2_{+z~+A·x.+B·y.+C·z.+D-O}

. l l l l l l

Uit de bepaalde parameters volgt:

X _m -= -.S·A ; Y _m -= -.S·B ; Z _m -- -.S·C

Hier geldt hetzelfde als bij de cirkel: Elke startwaarde voor de parameters ongelijk aan nul is goed.

3.6 Elips in 2-D

Een elips wordt beschreven door 5 parameters en 2 variabelen:

2 2

fC?,Pl= A·x.+B·x. ·y.+C·y.+D·x.+E·y.-1=0

i i i i i i

Deze vergelijking levert problemen op als de elips precies door het punt C0,0) gaat, omdat de vergelijking dan singulier wordt Cl=O). Dit kan als volgt worden opgelost:

2 2

fC?,Pl - A·x.+B·x. ·y.+C·y.+D·x.+E·y.+D+E-1=0

i i i i i i

Parameter D of E zijn namelijk altijd ongelijk aan nul als de elips precies door het punt C0,0) gaat. Het middelpunt van de slips is afhankelijk van parameters Den Een is dus dan ongelijk aan nul. Door een draaiings-transformatie om de oorsprong toe te passen zodanig dat alle componenten met x·y eruit vallen, kunnen de

karakteristieke grootheden van de slips worden bepaald omdat dan de hoofdassen van de slips precies evenwijdig met de x-as en y-as

liggen.

Stel die draaiings-hoek is ~ C~ kan bepaald worden uit de

parameters A,B en C, verwijzing Grossman 1981:p. 5~6-5~7), dan

volgen uit,

stel: A':- A·cos2_{Cf)+B·sin(~) ·cos(f)+C·sin}2_Cf)

B':= A·sin2_{C~)-B·sinC~l·cosC~)+C·cos}2_C~)

C':- D·cosC~)+E·sinC~)

D':= E·cosC~l-D·sinCf)

E': - D+E-1

de volgende karakteristieke grootheden: Middelpunt slips:

Xm ·-

-.5·~:·cos(f)+.5·~:·sinC~)

Ym

· - - . · A , ·

5

c,

sin

. ( .")

'F - • 5 D) ·

B , ·

cos ( I") F

D

a

kleinste diameter slips

A'

Db : = B', Da

Ook hier zijn de parameters A tot en met E lineair en onafhankelijk in de vergelijking: Elke startwaarde voor de parameters ongelijk aan nul is goed.

3.7 Lijn in 3-D

Een lijn in 3-D wordt beschreven door 2 parameters en 3 variabelen. Een mogelijk oplossing is om deze lijn te beschrijven is als

snijlijn van twee vlakken:

ULAK 1 vlak 1.1: fCt,BJ=A·x.+B·z.+A+B-1-0

,' ' l. l.

vlak 1.2: fCt,BJ-A·x.+B·z.+2·A-2·B-1=0

' ' l. l.

ULAK 2 vlak 2.1: fC?,BJ--B·C·x.+D·y.+A·C·z.+C+D-1-0

,' ' l. l. l.

vlak 2.2: fCt,BJ=-B·C·x.+D·y.+A·C·z.+2·C-2·D-1-0

' ' l. l. l.

Ook hier geldt weer: Als vlak 1.1 singulier dreigt te worden, kan er overgeschakeld worden op vlak 1.2. Hetzelfde geldt voor vlak 2.1. Uit de gegeven punten (minimaal 2) moeten dan eerst de

parameters A en B worden bepaald, daarna uit de tweede vergelijking C en D. Er treden problemen op als de lijn precies evenwijdig aan de y-as ligt. De vergelijking voor vlakl is dan singulier. Dit kan alleen worden opgelost door hst probleem op twee verschillends manieren te beschrijven:

LIJN 1:

ULAK 1 vlak 1.1: fCt,Bl-A·x.+B·z.+A+B-1=0 _{• r l. l.}

vlak 1.2: fC~,pl-A·x.+B·z.+2·A-2·B-1-0

ULAK 2 vlak 2.1: fC2,pJ=-B·C·x.+D·y.+A·C·z.+C+D-1-0

. i i i

vlak 2.2: fCt,AJ--B·C·x.+D·y.+A·C·z.+2·C-2·D-1-0 _{, ~ i i i}

LIJN 2:

ULAK 1 vlak 1.1: f(f,BJ=A·x.+B·y.+A+B-1-0 _{. . i i}

vlak 1.2: fC2,BJ=A·x.+B•y.+2·A-2·B-1-0 _{' . i i}

ULAK 2 vlak 2.1: fC?,PJ--B·C·x.+A·C·y.+D·z.+C+D-1-0

i i i

vlak 2.2: fCt,BJ--B·C·x.+A·C·y.+D·z.+2·C-2·D-1-0

' . i i i

Uit de set meetwaarden worden eerst die twee punten gehaald, die het verst van elkaar liggen. Uan deze twee punten wordt de

richtingsvector bepaald en uit deze richtingsvector wordt de grootste coèfficient genomen. Er zijn nu drie mogelijkheden:

1

-

coèfficient 1 het grootst: lijnl of lijn2 kan genomen worden

2 - _{coèfficient 2 het grootst: lijn2 moet genomen worden}

3 - cof.,,ff icient 3 het grootst: lijnl moet genomen worden

Wordt aan bovenstaande voorwaarden voldaan dan convergeert het algoritme altijd tot een oplossing.

Uoor de startwaarden voor de parameters geldt hetzelfde als die bij het vlak.

3.8 Cylinder

Een cylinder wordt beschreven door 3 variabelen en 5 parameters:

fC?,PJ=Cb 1+Aa 1-xJ 2+Cb2+Aa2-yJ 2+Cb3+Aa3-zJ 2-R2=0

X = a₁x+ay₂+a₃z ;

i~j-1 ...:;. -·i·

en a·b=O

waarbij

Uit het bovenstaande blijkt dat de parameters a 1,a2,a3 ,b1,b2 ,b3 en

R bepaalt moeten worden C7 parameters). Omdat er 2 nevenvoorwaarden

wordt beschreven als a₁=cos~·sinu ; a₂-sin~·sinu ; a₃-cosu waarbij

~ de hoek ten opzichte van x-as en u de hoek ten opzichte van de

.• :t

z-as voorstelt en b3 van bals b3=C-a 1 ·b1-a 2 ·b 2)/a 3 dan treden er

problemen op: ,.,

Als u = 0-, dus elke hartlijn evenwijdig met de z-as, dan is het probleem singulier

- _{Als u = S0°,dan is b 3 niet bepaald}

Uit tests is gebleken dat als u i 0° oF u i

so

•::J

bovenstaand probleem zeer slecht convergeert, ook al zijn de startwaarden voor de parameters goed gekozen.

Daarom wordt de vergelijking van de cylinder anders beschreven en ··1· ' .•

wel zodanig dat vector a een vrijheidsgraad meer meer krijgt en

4 ~

vector b onaFhankelijk wordt van vector a Czie bijlage 3). Ook is

gebleken dat als er iets in de noemer staat, de parameterwaarden minder goed convergeren. Dus wordt bovenstaande impliciete

vergelijking met Ca1

2

+a 22+a 32)2 vermenigvuldigd. Uerder stelt men

2 2 2 4

R2

gelijk aan l/Ca 1 +a 2 +a 3 ) en legt men vector

h

in een

grondvlak, dit is het x-y vlak, x-z vlak oF y-z vlak. Dus drie mogelijkheden:

CYLINDER 1

- Fce,p)=CCb1-x)·µ+\·a1) 2+CCb2-y)·µ+\a2) 2+C\a3-z·µ) 2-1-0

waarbij: p Ca 1

2

+a.;2+a," 2) ; )-,. == a 1 • Cx-b 1 )+a 2 ·

Cy-b'.,~

)+a3 · z

CYLINDER 2

- Fce,p)==CCb1-x)·µ+\·a1) 2_+C\a2-y·p) 2_{+CCb3-z)·µ+\·a}

3 ) 2-1-0

2 2 2

waarbij: p = Ca₁ +a₂ +a₃ ) ; \ = a₁ ·Cx-b₁)+a 2 ·y+a 3 ·Cz-b_{3 )}

CYLINDER 3

- Fce,p)-C\·a1-x·µ) 2_{+CCb2-y)·µ+\·a2)} 2_{+CCb3-z)·p+\a3l} 2_-1-0

waarbij: µ - Ca1

2

+a 22+a3

2

l ; \ - a1 ·x+a 2 ·Cy-b2)+a3 ·Cz-b 3 )

Waarin Cb 1,b2 ) , Cb1,b 3 ) en Cb 2 ,b 3 ) de coordinaten in

respectievelijk de grondvlakken x-y,x-z en y-z voorstellen van

Uit een van tevoren gedefinieerde meetstategie, bijvoorbeeld eerst 3 punten vrijwel loodrecht op de harlijn en daarna 3 punten in een

ander vlak ook vrijwel loodrecht op de hartlijn, kunnen de 2

middelpunten van de beide cirkels C3 punten) worden bepaald. Deze liggen in de buurt van de hartlijn. Hetzelfde als bij de lijn in 3-D wordt ook nu weer uit de richtingsvector de grootste

coêfficient bepaalt. Er zijn nu 3 mogelijkheden:

- coëfficient 1 het grootst: cylinder 3 moet worden gepakt

- coëfficient 2 het grootst: cylinder 2 moet worden gepakt

- coêfficient 3 het grootst: cylinder 1 moet worden gepakt

Uit de van te voren bepaalde meetstrategie kunnen de startwaarden

voor de parameters a₁ ,a₂ ,a₃ ,b₁ en b₂ goed gekozen worden en

convergeert het Coverbepaald) probleem zeer snel tot de oplossing. Uit de bepaalde parameters kunnen dan de karakteristieke grootheden van cylinder, zoals positie hartlijn en straal, bepaald worden.

····i· ····i·

hartlijn :- b + Ä·~

2 2 2

R _cyl =1/Ca, +a0 _- +a~ )

~ ~

3.9 De kegel

Een kegel wordt beschreven door 6 parameters en 3 variabelen:

fC~,pJ=Cb₁+Aa₁-xl 2_+Cb2+Aa

2-yl 2_+Cb3+Äa3-z) 2 _-A2_-0

CUoor afleiding zie bijlage ~)

waarbij

:.~.-2 2 2

a, +a.-. +a", ". .{. -1

punt Cb₁ ,b₂ ,b~) - toppunt van de kegel

2 2 2 .5

tophoek kegel - 2·ATNCCa1 +a2 +a3 ) )

Ook nu staat er in de noemer iets. Vermenigvuldigen met

2 2 2 2

Ca 1 +a 2 +a3 ) levert:

waarbij:

!·,-al· Cx-b 1 )+a2 · Cy-b2 )+a3 • Cz-b:..:)

2 2 2

r=a J. +a :ï: +a :·1.

·-·,. -·1·

hartlijn kegel - b+A~

2 2 2 .5

tophoek kegel - 2·ATNC1/Ca 1 +a2 +a3 ) )

Ook nu kunnen uit een van te voren bepaalde meetstategie CDus ook eerst 3 punten vrijwel loodrecht op de harlijn en daarna 3 punten in een ander vlak ook vrijwel loodrecht op de hartlijn) de

startwaarden voor de parameters goed gekozen worden. Wordt aan deze voorwaarden voldaan dan convergeert het algoritme zeer snel tot de gewenste oplossing.

CONCLUSIES:

Worden de software-resultaten, die uitgevoerd zijn op de

homecomputer, vergeleken met bestaande software, dan blijkt dat de eigen software veel betere resultaten geeft bij de kegel Czie bijlage 2).

Uoor de andere geometrische elementen heeft de eigen software geen of zeer kleine afwijkingen ten opzichte van de

referentie-software en bestaande software. CDe

referentie-software is die software, ontwikkeld door het

Physikalische Technische Bundesanstalt, dat representatief wordt geacht voor bepaalde softwarde-tests).

- Ook valt op dat de standaardafwijking a voor elke kegel groter

is bij de eigen ontwikkelde software. Daar deze standaardafwijking een maat is voor de kleinste

kwadraten-oplossing en de eigen sofware de karakteristieke grootheden beter berekend, duidt dit wellicht op een foute berekening van de standaard-afwijking.

- Uit het bovenstaande blijkt, dat het zeer goed mogelijk is een eigen software-pakket te ontwikkelen voor een 2-D of een 3-D meetmachine

[iJ

l;J

---~ / " ' /

~

LITERATUUR 19Y:1 Kommerell, K 1979 Blaam, D 1923 Rutgers, J.G.

Uorlesungen tiber analytische geometrie der ebene

Linear algebra and geometrie

Inleiding tot de analytische meetkunde eerste deel: Het platte vlak

tweede deel: De ruimte

1972 Hunter, J. Analytic geometrie and vectors

1972 Bijl, Or J. en

Salet, Drs W.J.H. Analytische meetkunde I

1981 Grossman, S.I. Calculus

1986 Hillegers, L.T.M.E. Dr. The estimation of parameters in

runctional realtionship models CChapter 6)

1970 Lingane, P.J. and Hugus, Z.Z.

Normal equations for the Gaussian least-squares rerinement or rormation constants with simultaneous adjustment of the spectra of the absorbing species

Inorganic Chemistry, vol. 9, no. Y:, April 1970, 757-762

1978 Anderson, T.F., Abrams, D.S., and Grens ,E.A.

Evaluation of parameters ror nonlinear thermodynamic models

1973 Britt, H.I., and Luecke, R.H.

The estimation or paramers in nonlinear, implicit models

Technometrics, vol. 15, no. 2, May 1973, p. 233-2Y:7

1982 Patino-Leal, H., and Reilly, P.M.

Statistical estimation or parameters in vapor-liquid equilibrium

A.I.Ch.E. Journal, vol. 28, no. Y:, July 1982, 580-587

iX. 1985 Schwetlick, H., and Tiller, U.

Numerical methods ror estimating parameters in nonlinear models with errors in the variables

Bijlage 2

Uergelijkende resultaten van referentie-software, bestaande software en eigen software:

Notatie van gebruikte karakteristieke parameters:

wl - Hoek x-component t.o.v. z-component van Chart-)lijn

w2 - Hoek y-component t.a.v. z-component van Chart-)lijn

xCO),yCO) - Snijpunt van de Chart)lijn met het z-vlak

z - Snijpunt vlak met z-as

v

wl - Hoek van van x-component t.o.v. z-component van de

v

normaal van een vlak

w2 - Hoek van van y-component t.o.v. z-component van de

v

normaal van een vlak

x ,y - Middelpunt cirkel

m m

D - Diameter cirkel of cylinder

DCzO) - Diameter doorsnijdings-cirkel van de kegel bij z-0

WK - tophoek kegel

a - standaardafwijking van de metingen:

r

n _{". l-x} 10.s -<:· )T · Cx -<:• J-1.., • <. • • .:" • . 1 1 ·1 1 1 1= L •• Cn-p) _,

waarbij p het aantal parameters is waardoor de impliciete vergelijking wordt beschreven.

Gebruikte afkortingen:

R.S.G.W. - Referentie-Software Gewenste Waarde

R.A.M.S. - Relatieve Afwijking Meetmachine Software t.a.v.

R.S.G.W .. C3-D Meetmachine staat in het lab.)

Lijn in 3-D

1° Lijn met een combinatie van sinus en random gesuperponeerde waarden:

r~::::::::::·-.·::~::~~:::.§:·;:·~:.:.:::~=-.·::::::·:·::::·~~~~--~:·:_~-.~--··r···:···:~:··;·:e.··:;_~_-;-._§:.::::-.

...

:.::···_::::~~~-.-··:=:l-.:~--.~_-·::~::~-.e.·:;i~§~~-~:~~--:~:-.:~·-·:-.-.-.~:1

l x C 0) -- P.±2. 7095 C mm) 1 < 0 . 1 C 1;1m) [ < 0 . 1 C i\lm) 1 1 .

[_::~-~-~~~~~-~~~:~~~-~:~::-~1::::~~-~:~:~~~=-=~:~]=-==~~-~~=~~=J

1 1 1 1 1 w 1 = -59 . 6267 ( C)) 1 < 0. 1 ( ") l < 0 . 1 ( ") i

1=~~-=~~~~~~~~=~·l-Î~~~-~~!:~===~~~~=~:~~::::~==~=~;=-~::::::~:~1

1 a - 0.0309 Cmm)! <0.1 Cµm) 1· <0.1 Cµm) 1 !.. •... _ ... " ... " ... " ... ·-·-···--···-··--··-·-··· ·----···-··-··-··-··-····---···-···-··· ···-···-·--···--···-····-···-.l

28 Lijn met een combinatie van random en halfsinus gesuperponeerde

waarden: r··-·-···-·-·-···-·-···-·--···-····---·-·---·-·----T--··--···"···--... -···-···--···-···-··-···r···---·--··-··---···-··----····-·-·--·-·--···-··, '! R.S.G.W ₁ R.A.M.S. l. R.A.E.S.

i

····-···-···-···-···-·-···-···T···-··--··-····-····-·-·-···-···-···-·-·-···--··· ··-··-···-···-··---···-·j

l

xCO) = 310.3817 Cmm) j <0.1 Cµm) j <0.1 Cµm)

j

,".""""". _____ "_""""""""""""" .. """"""." .. """""""""""" ... """"""" .. """"._.t""""" .... """.""."""""" __

"""""""""""_."""."-"."""._"".".""""t----·-"."""""".""""""""."""""""".""""""_"." •• ".".""""""""""""

1 yCO) = -2lf. 771'-± Cmm)

I

<O .1 C;.1m) j <O .1 C;.1m) 1

!·-"" .. """" .. """ .. " .. """"."".-."-""""""""."""""."""""""""""""."""""""""""c .. """"".""".".-.""" •. ""-"."""""""""""."""""""""."" .. "._""""".j"""" ... """"""."""""".""""""."""".-"""""""""""""""""""""""""1 1 wl = -76.01±52 C(:l) 1 <0.1 (") <0.1 (") !

l

! .... """.""""".""" .. " ... ""." .... "".""."."""" .. ".".-" .... -""."" .. "." .. -".·-f·-··"··"··"""''--···-··-··-··""·""-·"."" .... "." ... "-""" ... " ... """""." ..

"".1""""."""" ... """.",_"",.""." ... "" .. ".""""" ... "" .. "_"" .. "."""" ..

"""1! wl = -O.Olf53 (c;) 1 <0.1 (") 1 <0.1 (") , ,""""""""""""."."".""."""."""."""""".""""_"""""".""""._".""". _ •. "".+.""".""""-""""""."""."""-""."""_"""""""."""".""."".""""t"""""" .... ""." ... """." .. """"."""."."".--".""".--.""."""""" .. 1

l

a = 0.0317 Cmm) 1 <0.1 (") 1 <0.1 Cpm) 1 1...".".""""."""""""""""""""."""".""""""""""""""""""""."" •. ".""."""""""" •• """""""""""""""-"".".""".""""""""".""."". _ _ _ """""."_""".t.."".""""""""""""".".""""."""." •. """ •. """"."-"" •. "."".-"""."""".J Ulak

1° Ulak random gesuperponeerd in de x-richting en als halve sinus gesuperponeerd in de y-richting:

r."."." .. ""."" ... ""."." .. "" .. "." .. " .. " .. """.""""""" .. "".-"""_ ... " ...

-"T----·-·-·--""""" ... """""""." .... "".""."""""""""""."-""-r--"--"·--·--·-·-·--·---"".".""""""" ... "" .... "."""."""""".1 . R.S.G.W f R.A.M.S. ₁• R.A.E.S. 1-·--···-··"."" ... " ... """"""""""""" .. """." ... " .. "." .. """" .... "" .. "" .. """"." ..

"ï ."." .... "".".".""""" .. "".""" .. "

.. """"""""" .. """."""."" ... """" .. "" .. ". "

.... "

.... "

.... "." .... "" ... "

... "

... "

... "

.. "

.. "" .. "" ... "." ..

Il zCO) = -93.3108 Cmm)

I

<0.1 Cpm) jl <0.1 (Mm) .. " .... """."" ... ".".".""" .. " .. " ... " ... """" ... " ... "." ... " .. " .... ".""."." .. "." ... "] ... " ... "" ... " .. " ... " ... " .... "."" ... """ ... " ... ". r" .. "" .... " ... " .. " ... " ... " ... " .. " ... ... 1 W 1 V - 13, 9856 ( C•) 1 ( 0, 1 ( ") 1 ( 0 , 1 ( ")

J

1 ••• " ••••.•..••.•• " ••.• " •••••.•••• " •• "." .•• " ••.•. " •••••••••• " •••••.••. " •.•.•...•• " •..••.•••••• ---···-···-·-·-·-·--" ••. "" •.• "_ •••.•• "." ••••.•. "." •• " •••••••• "." ••• " ... """"." •• "" •• r""···-·---"---·---"··-···---····-·-·-···"-·-····"·-··-"--" 1 w2 = 0 . OOOlf C cl) 1 < 0 . 1 C " ) < 0 . 1 C " ) 1 1 1 v 1 l.." ... " ... " ... "."""."."".-" ... "" ... " ... ".""""." ... " ... ""." .... " .. "" . ..1.."""."-... " ... "." .... "" ... "" .. " ... " .. " ... " .. " ... "" ... "" ... " ... " .. t···-···--····-".""""" .... " .. "." .. " ... _."" .. """."" .. " ... "" ... "."" .. " ... -j j a = 0.0081 Cmm) 1 <0.1 Cpm)

l

<0.1 Cpm) j I."" ... " ... " ... " ... """ .. " ... " .. """"" .. " .... "" .... " .. " .. " .. " ... ""."""""."."._,, ... " ... " ... "".-.".""-... "" ... _"".""-.. -"".-"" .. ""." .. "."-... " ... """.""" ... "." ... """""".""" .. "-.".""""" ... "" ... " ... "." .. "." ... " . .1

Cylinder

1° Cylinder met een sinus van de derde orde gesuperponeerd:

r···---··-··-····-···-·-···-····-····-" ... " ... T ... " ... " ... " ... " ... "." ... ""." ... ·-·--···r···-···-···-···"···-···1

1··--:-~--~;--":-:

..

:.=~~--~--~~··;·;··-··-~-~~·;··+·""···---~--~--~-~~-~--?"

.. : ..

_·-·~-;~~~---f--··"

...

B".~~~~ ~ §_:_~··:~··;···-··-····-····-!

f ·-·-···-·-"-···--·-·---·-·-·-·-···-·--·--"---·-···-· ... ···""" ... " ... " .. .}." ... "" .... "."" ... " .... "" ... " .. "."" ..

".-.~----·-·--+-"··---·---"

.... "" .. " ... ".""."." .. "_:""" ... """ .. " ... " ... "." ... , j yCO) - -5.2615 Cmm) 1 <0.1 (f.1m) j <0.1 (f.im) 1-·-·""·--"---·---····--···"···-·"···-···-····+"." ... "" ... "."., __ ",_._,," __ " __ " ________ ··-r----·-"··--·--·-·-·---·-··""'""""""" ___ ,_"" .... ""J

l

D = 213 . 5SOY: C mm) 1 < 0 . 1 C pm) ! < 0 . 1 C pm) 1 r·---·-·-·-·-···-···"···"---···--" ... """"" ... " .

.!-." ... "." .. "."""""."" .. """" ... """ __ " _____________ ._. __ ". __

J_._. _____ .

__________ "

... "

... "_ ... "

.. ".""."."""" ..

""J 1 w 1 = 0 . 0000 ( '.:)) 1 < 0 . 1 ( " ) 1 < 0 • 1 ( " ) 1 1 ! 1

r

l " .... "" .... "" ... " .. """." .... - " . " ... " .... """"" .. " -.. """ ... "".""." ... " .... .l.. .. " ... """" ... " .. "._." .. " ... "" .. " .. """"" ... " .... " ... " ... "." ... "" .... " ______ ". ______ , __ "., ... """ .... ""."""."""""""."""""."""""""".""."". I wl - Y:3.17Y:6 ((;) <0.1 (") 1 <0.1 (")

[-.-.~:~-.:~:~::~~:-.:::-~:~~~:~::~-.~:::::::::::::::::::~-.~:~:~:-..i::::::::::::~:::::-.-~-.~~~--~~~:~:~-~~~~-;-=:::I~:~:-_:::::.:~:~~--~~:::~:::~::::_-~::~'.:~::~~:::~:::~~:::i

2° Cylinder met zowel random waarden als een sinus van derde orde gesuperponeerd:

r---·--·--··--·-·---·"""." .. "." .. ""."." ... """ .. ".""" .. "" .. "."" ... " ... "" .. "."""" .. " .. _ .... "".".""---·-··-·---·-·---"--"-T.".". ___ ._" ____ "_. ___ . ____________ .. "" .. " .. " .. " .... 1

; R.S.G.W 1 R.A.M.S. ' R.A.E.S. 1

i·--"··-·--·-·-·--·-"." .. " .. """""." ... "" ... "" ... ""." .. """ ... """."".""."T."".".""" .. " .. " .. " ... " .. "." ... "." ... " ... """ .. """"."."" ... ".""." ... ______ 't··--·-·-·"---·"-""." .... " .. "." .. --"" ... " ... "."" .. "." .... .J

j x CO) = 3Y:. 2Y:8Y: C mm)

I

< 0. 1 C pm)

i

< 0. 1 C i;1m) ll

i··." .... "."" .. """ ... "."""-""" ... "" .. " .... "."" .. "." ... " .. """"""""" .... "."" ... "T ... ""."" ... " .. " ... "" .. " .. "." ... " .. " ... ""." ... "."_""_ .. _._," .. _____ ,_,_,__ ____________ , __ " .. " .... "."""" ... "." ... " ... " .. "" .. "".""".". 1 y C 0 ) = 5 . 3152 C mm) 1· < 0 . 1 C f.tm) [ < 0 . 1 C f.im) 1 " .. """""".""."".""."""."." ... " ... " .. -"""""." .. "".""."""" ... """"" .. ".""."", .... "." ... " ... , .... _ ... " ... " ... " ... "." .... " ... " ... " ... __,",_,,, ... "__, ...

j

1 D = 215.1120 Cmm)J <0.1 Cpm) 1 <0.1 C1-1m) 1"."." .... " ... """ ... " .. "."" ... """_. ____________ """ .. "." ... " ... "." ... , ... " ... ".""." .... "" ... " ... "." ... " ... ".--·-···-·-"." .... ""rl ." .... """.""."."".""" .... "."""""" ... """" .. " ... ".".""."""" ... " ... 1.

i

Wl == 28.1832 (D) 1 <0.1 (") +0.36 (")

~

.. """"."""""""""""".""."" .. ".""" ... " .. """".""".""."".".".""".""""."" .. """ .. ""1...."" ... " .... "" ... " ... "" ... " ... " ... "."" .... -·-··-" ... """""." .. t.""" .... "." .. """ ".""""." ... "." .. """ .. "."""""""" .. ""."."." ... """" .. ..! 1 w2 = 0 . 0008 C o) 1 < 0 . 1 C " ) 1 < 0 . 1 C " )

l

t~::-.:~---~-~-~~~----:~~~~t=-~~~~~~~~--~~;:~::J--.:--~---~:~-~~=-~~~~:~]

Kegel

1° Kegel met zowel random waarden als een bananenvorm gesuperponeerd:

r:~---.:.:·:::~:-.·-.~:·:;§.--.·--~--::··~-.·:-.·-.-.-.:·:~:~····:·--····.:-..---.~~~~r=::·-.-.·B.-.·::;~'.-.·~.-~i~·.----::::

..

::::::-.--·::-..::::···-.:~:r:-.~-.~~~~~--~-~:i:~···~--.--.~·=-.-.·-.----~.-.."."~

l

xCO) - 55.2708 Cmm) i +18.6 (Mm) • 1 <0.1 Ct.1m) j'

t

l ···-···-···-···-···-···-···-·-····-···-···-···"·-·l···-···-··-···-···-····-···-·-: ... "" .. " ... " ... " ···-···--····---·-·-··-····-··-·--···~·-···-···-y C 0) = -2~.3003 Cmm) 1 -0.1 Cµm) <0.1 Cµm) 1 l···-···-···-···-···-··-····-···--·-··-···-···-···-···-···-···-·+··--···-···-·---·---··---·--·-·-···-···-····ri-··-····-····-···-····-·-·--···-···-···-··· j WK = 38. 6810 (;:;)

i

-0. 36 C ") < 0, 1 C ") ! ... " ... "." ... ·-···-···-···-·-···-···-····---·-·--··-·--···-····-··-···-···--·--·-·-·--···

···-···-··-····-···-···-····-····-··-·-···---·~

DCzO)==

221.~~06

Cmm) 1 +0.9 Cpm) <0.1 Cpm) 1 ..••••.. " .•••.••.•.•••. " •... " .•..•... "."."" ..•... " ... " .•... "" .. -"." ..••.•...•..•.•.••..•.... " •... 1. .... ·-···-·-·-···-···-···"··-·-···r···-····-··--···-·-··--···---·-·-··-····-···-···--···--··--···11 1 wl = 18.5136 ( o ) 1

-~9

(") <0.1 (") 1··---··--···----···--··-··-···-···-···-··-···-···-··-···-···.J. ... " ... "." ... " .... " ... " ... " ... "" ... "." .. " .. " ... 1···-···-···-·-·-····-···-···....J 1 W2 = 31 , 8580 ( D) 1 ( 0, 1 ( ")

i

(

0, 1 ( ") 1

[~--~~==-~~~~~~~:~~~t:·:=~_ci~-~~~-;=~~:[~--:~·=:~~~~~~::j

2° Kegel met een bananenvorm gesuperponeerd:

r···-·-·--···-···--··--·----··-·-···-·-····---··---····-··r·---···-···-·-···-···-····-···--··-·--·--·-···-·-·-··--·-·-·----···-·-···-·-·---···-···1 1 1 R.S.G.W ₁ R.A.M.S. 11 R.A.E.S. ···-·--···-·-·-···--···-··-···-····-···-···-···-···-···r···-···-···-·--··-···---···-··-·--···-···-·-····-··· ····-···-··-···----···-···-···-···-·--···-1 i x C 0) = -~ 1 . 7737 C mm)

!

+~ 1 . ~ C um) < 0 . 1 C um) ···-···-···-·-···-···-·-··-··-···t··-·-····-·-·--···-···-···-···-··-·-·-···-···-···-···-···~ yCO) = 29.1680 Cmm) 1 <0.1 Cpm) <0.1 Ci,1m) 1 ···-···-···-···-···-···-···-···-···-···-···-···-··-····--···--·-···--···-···-···--··· ····-···-····-·-····---···-·-···-···-·-···-·--·-·-··-··j 1 WK =

~3

. 7235 ( D)

!

< 0. 1 ( ") i < 0. 1 ( ")

i

!···-···-···-··· ··· ····-····-···-··-···+···-···-····-···-····--····-···-···· ·+···-···-····-···"···-···j 1 DCzO)= 183.~689 Cmm) l +9.7 Cpm) j +0.3 Cµm) j 1···-·:·i··-···:-····-···~·~···:··~·~-;·i""."

...

~···;~;·;···1 ···-···=·~~···:···~--·· ····~··;;··;-··-···-···r--·-···-···-····-··~·;·-:"·i···-···~· ;·;···;···-···-···1 ···-···-···-···-·-···-·--···--····-·,·-···-···---·-····-···-··-···-··-···-t···-···-···-··---·-·-···--···-·-·-··--··-···-····-···-.J W2 = 1 ~ , ~921 ( D) 1 ( 0 , 1 ( ") 1 ( 0 , 1 ( ") 1 ···-···-··-··-··-···-···--···--·-···--··--·-·---···l····-···-··-···-·-···-···-··-····--r--·-···-···-···-···-···-···-···-···-·-···--··· 1 a = 0.0385 Cmm) '[ +2.2 Cµm) l +1.0 Cµm) !... . ... " ... " ... " ... " ... ···-···-···--·--···--····--····-···-···-·-····--···L." .. " .. ".""._ ... " .. " .. :" ... ·-···-·-···-·

38 Kegel met zowel random waarden als sen bananenvorm gesuperponeerd: i x C 0) = 21.f . 3920 C mm) j +25 . 0 C pm)

i

< 0 . 1 C Aim) j

1-·-··;··:···~--~·;-·-=···"··;·~--:·-~-05-;·--··--~-~~-;-1-···-···--···--··-~~···:

...

~···-····-···~-··;,;~·;···"r-··"···-···-·-···~-~---~-;-···---~--~i-~-;-···---····-1

1 ::t l t • l··--··--···--·-·--·-····-···-·-··-·--·-·--·-·--··-···-·----·1-···-·"" ... "." ... "."." ... "." ... " ... " ... ".---·-···---·---····i-··-···----·-·-··-··---···-···--···---·--···--1 i WK = Lf8. Lfl Lf5 Co) 1 -0. 36 C ") 1 < 0. 1 C ,.iim) 1 1·•••--••-•••••oo•••••••oooo•••oo•••••••oo•••••oo••oo•••••••••••••••••oo•oo-.oo•••oooo••H• ... •-H••--•••-+-·-·•-•••••oo•••H••oooo•••-•••••-••••••••••••••oo••••oo•oooo•oo•oo•••••••HHHoo••••••"•H•••ootoooo•-"--••••·-··---•-oo•••-·oo-·----••-oooo•••---··--·-J 1 DCz0)-2"±2.1970 Cmm) l +1.Lf Cpm) <0.1 Cpm) j' i---·----·---·---··----···---···-·"·-··-" .. """.-.""" .. "t"""."""""."" .. " ... """""" ... " ... ---·--·---t-·--·----·--·."" .. ".-"-... " ... "." ... " ... "." .. " .. " .... . j wl - 30.801.fB ( o ) 1 -53 (") 1 +0.36 (") 1

r~~-~~~~~~~~~t==~~~c:~=~-~t~~~=~==j

j (.} - 0. 0390 C mm) L ' +2. 7 C .vm)

!

+1 . 1 Cum) i " ... " .. "." .. " ... """-""."""."." ... "" .. " .. "" ... " ... " ... " " " .... """" ... "... ··-··-··-·-" ... " ... " .... """.".",

__

"." ..

":

.. "" ... """ ... " ... " ... ".""." .. """"""."""."" .... "."."""·---~·-·-···-····-···-···....]

Lf° Kegel random gesuperponeerd:

r ... " ... " ... "" .. "" ... "" ... " ... " .. " ... " ... " .. "." ... "." ... """." .. " .. "r···-··--···"-····-·-····-···--··-" .. " ... "" ... " ... "r··-··oo•oo-···"-·"·-·--···-··--···-"" •••• " •••.• ""." •• ".""".1

!,:--;;z;;~~:§~~~---z~~;-r-Ji~~!J~~-rR~~

[ ... ""." ... "" ... " ... """ ... " ... " ... "" ... "" ...

---r---·-··-····-···-····--··-···--···-·-·---···"···r·--···"···-···-··----···---··--···-··-·-·-·-···~

!d C 0) - 19 . 2"±83 C mm) 1 -0 . 3 C pm) 1 < 0 . 1 C pm) ----··---···----···---·-·-·-···-···-····--··Jr"" .. " ... " .. " ... " .... " ____ ... " ... " ... _______ ." .. " .. """.".+·---"---" .. "" ... -"" ... """" ... _" .. "" .. " ... "."." .. 1

WK = 35.2076 Co) -0.36 (")

j

<O.l Cf.im)

•••·--••H••oo•••oo••-••••••••-•••••••oo••oo••-•••oo•••••••••oo••••••oo••-oo••ooHoooo•-•oo••-•oooo••oo•••••••oo•t·-•••oo••• ... • ... ••oo•••••-oo••--00••0000• ... "".""""".,.,.,."." ••• "., •• , •• ,.".,",.,"."" 1 ., •• _.""_,"".","."""""""""" ... , ... ",_,"_",. _______ • ...

"".j

1 DCzO)= 172.0727 Cmm) 1 -0.6 Cpm)

l

<0.1 Cmm)

J

r·-·-·---··-···-··-·---···-···-···-···-···"" .. " ... " ... J" ... " .... "" .. "" .. "."" ... """ ... -." ... "."" .. "" .. "" ... "-.... " .. " .... "_ .... - ... """""" .. """ .... ""."".""""".".""" .. "" .. """."."" .... -"."""" wl = llf.3593 ( o ) 1 -5.0 (") <0.1 (") 1

~~_:2~~~~~~==~~~=l=-~~~~~~2=~+-~:~=j

1 c- = 0 . 0353 C mm) 1 +O . 8 C pm)

l

+2 . 5 C f.im) 1 1..." ... """ .. "" .. "."" .. """.""."".""" ... "."" ... ".""" .. """"".""" ... "" ... "" .. "1... ... "" ... """""." .... "" ... _"."" ... " .... """ .... """""" .. """" ... """"" "."" .. "."" .. """.""."".""" .... " .. " ... " ... ""."""." ... ".""" ... """""..J

5° Kegel met een concave vorm gesuperponeerd: r--···-···----·-···-··-·-·-·--"-·---···-···-··--·-·-···-·-··-·-·T···--·--"···-···-····-··--···-·-·"-·-···-···-·-·-···-r···-···-·--··---"-··-·-·--·-····-"---·-""---·-·-·-··1 j _{·-·-···--"" .. -.. " ... " .. """."" ... "._ ... " .. -." ... _"" .... " .... ·-·-··-t···-···-····--··-··-·-···· ...} R.S.G.W 1 R.A.M.S. 1 R.A.E.S. 1 -·--···-···-·-·-···-···-···1... ... " ... " .. "-""""".--.. ·-···--·--····---···-·-·-·1 j xCO) =

-5.372~

Cmm)

I

<0.1 Cµm)

l

<0.1 Cµm) !···-···"···-··· ···-"-··· ... ". · ··· ... ""_,_ · ... "... ·· ···· " ... r · ··· · ··· ··- ···· ... " -·"·-· -""._ ".""."."" ... "" ... ï ... ".""""."."""""."."" ""·-···-····-·-···- ···-·-···""" ..

j

1 yCOl - ~~.9691 Cmml 1 <0.1 Cµml l. <0.1 Cµm) 1 1 ... ,._,_"."." .... "-."."".""." .... " ... """ ... "." .. """." ... " ... -... - .... ""--~·-····"---·-···-··"···-···-···-···-···-···"··· " .... " .. " ... , .. , ... " .... " ... _."""." .. ,., __ ,"_, .. -.. " .... "" .... "."."." ... l 1 WK = 36 .

79~0

C c) l

!

< 0 . 1 C "l ! +O . 36 C " ) j

t-~:c~~i::~~~~~~~~2~---;~:t:

_{_::-}

~~~~i~~::~~~~-~~:~:::t_:-::_~::::~:~~T:::~~~~-:::

j

1 wl =

17.~~89

(c,) <0.1 (")

j

<0.1 (") 1

l···-"···-···"'•""'·'-···"·--···-··""" .. -.""""." .. __ "," __ """., __ ,"." ..

,,,.t····-···---·-·-··--···-·-····-··-··---"···--·--·--··-···"-·"···" " .. "-" .... " ... " .. ,.,_. __ "" ... ""-"".""" ... -."" ... "_ ... ""-."·-··---"···--l w2 = 28.0606 ( c )

i

<0.1 (") 1 <0.1 (") l

1

.. "

.... "."" ... " ... "" ... "."-·-·--···" .... " ... """ .... "".""-." .... ". ___ ,_ .. "

...

T--···-···---···""---···-·-···-··--···--···-···-···..J. ... " ... " ... "_, ... " ...

~

c: - 0 . 0535 C mm)

l

< 0 . 1 C ;;1m) Il +2 .

~

C ;-im) 1 L. ... " ... "."."" .... -... " .. " ... " ... " ... " .. -·-·--···-··-·-·-···· -···-·"--··-·-··-·-·-·-"-·-·-·-·-··"····-·-·"-···-··-·-···"···"··· "" ... "" ... " .... "." ... " .... " ... " ... ""-···-·--··-···-···-····..]

Bijlage 3

Afleiding impliciete vergelijking van een cylinder

Een lijn in de ruimte wordt voorgesteld door de vectorvoorstelling:

-:r ···-'I·

waarbij vector b de positievector en vector

a

de

richtingsvector voorstelt.

-4· ... :,.

Stel dat de componenten van de vectoren

a

en b ten opzichte van

een orthogonale basis respectievelijk Ca1 ,a2 ,a3 ) en Cb1 ,b2 b3 )

zijn, dan is de afstand, stel R , van een punt Cx,y,z) tot een

punt van bovenstaande lijn in het kwadraat:

De loodrechte afstand kan bepaald worden door deze afstand te

minimaliseren. Dit is die waarde Ä bepalen zodanig dat de afstand

minimaal is. Partieel differentieren naar \, dus en

gelijkstellen aan nul, levert na enig rekenwerk voor \:

:.\. == " ... " .. " ... " ... """.""" ... " ... " .. 2···2···"-··-···2·--····-·-·-··-·-···-··-·--···--···-·-Cx-b1J·a1+Cy-b2J·a2+Cz-b3J·a3

a 1 +a₂ +a₃

Dit ingevuld in vergelijking Cl) levert de vergelijking voor de cylinder.

De impliciete vergelijkingen van de cylinder in hoofdstuk 3.8 zijn een gewijzigde vorm van bovenstaande vergelijking:

De hele vergelijking wordt met a 1

2 +a2 2 +a3 2 vermenigvuldigd 2 2 2 2

R wordt gelijk gesteld aan 1/Ca1 +a2 +a3 )

···}

positievector b krijgt 1 vrijheidsgraad minder de vergelijking wordt impliciet geschreven.

Bijlage Y:

Hetzelfde als in bijlage 3 geldt vooL de loodLechte afstand van punt tot lijn, stel R, in het kwadLaat:

Cl) R2=Cb1+\·a1-xJ2+Cb2+\·a2-yJ

2

+Cb3+\·a3-zJ

2 waaLbij

Stel dat punt Cb1,b2 ,b3 ) het toppunt van de kegel vooLstelt. Dan

is de afstand, stel U, in het kwadLaat van toppunt tot het punt op de haLtlijn, waaLbij de de loodLechte afstand tot meetwaaLde{ minimaal is, gelijk aan:

Il u2

De R in veLgelijking Cl) moet gelijk zijn aan U·tanCaJ, waaLbij a de halve tophoek van de kegel vooLstelt. Dus:

2 2 2

R - U ·tanCo:)

Dit ingevuld in bovenstaande veLgelijking Cl) leveLt de veLgelijking van de kegel:

waaLbij

Cx-b1l·a1+Cy-b2l·a2+Cz-bal·aa

--··-···-·-··-···-····--·-···-··2··-··-··-····-2···""--·2·--··-··---··-·--·-·---·-·-·-·-··-a 1 +a :ï: +a 3

---De impliciete veLgelijkingen van de kegel in hoofdstuk 3.9 zijn een gewijzigde voLm van bovenstaande veLgelijking:

De hele veLgelijking WOLdt met a 1

2 +a2 2 +a3 2 veLmenigvuldigd

tanCo:J woLdt gelijk gesteld aan l/Ca1 2 +a2 2 +a3 2 )

De veLgelijking WOLdt impliciet geschLeven.

;