Een tweedegraadsformule voor de groeiwet voor beperkende factoren

NN31545.0101

NTSTITUUT VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING Nota n r . 101 d . d . 6 m e i 1963

Een t w e e d e g r a a d s formule voor de groeiwet voor b e p e r k e n d e factoren

i r . W . C . V i s s e r

De formule van M i t s c h e r i i c h kan het p a t r o o n voor de groeiwet voor b e -p e r k e n d e factoren niet geven. Deze formule kan namelijk het n a a r r e c h t s v e r s c h u i v e n van de o n d e r g r e n s van het optimale gebied niet w e e r g e v e n . De groeiwet v e r g t de aanwezigheid van twee a s y m p t o t e n , een hellende en een h o r i z o n t a l e , plus een z e k e r e v a r i a t i e ten aanzien van de m a t e , w a a r i n de curve in de hoek bij S indringt of d a a r v a n v e r w i j d e r d blijft, (fig. 1)

y

Â

/ /

f\(*n-S

f ^—~ — —» / ^ ^ ^ " / ' ' ' / ' ' r/ y / — Y**" '-\~

1

IR

i i t F i g . 1 ax

De v e e l gebruikte formule van het type y = —-r- kan aan deze w e n s e n n i e t voldoen. De formuie heeft de volgende eigenschappen:

a) De uitvaarthoek: £ = —J-T- . Voor x en y gelijk 0 i s -X - ^ a

y = —tr i s y = a X

b) Voor x = o o

c) Voor x = 0 y = 0

De v o r m van de curve volgt uit de schrijfwijze

.os

X

O)^o^

xy + by - ax = 0 xy + by - ax - ab = -ab (x + b)(y - a) = -ab X Y = -ab m e t X - x = b Y - y = -a CENTRALE LANDBOUWCATALOGUS nnnn n ß 7 Q y i i K Q

De curve XY = -ab i s een rechthoekige h y p e r b o o l , w a a r v a n het a s s e n s t e l s e l o v e r afstanden -a en b i s v e r s c h o v e n . De u i t v a a r t h o e k r- i s een w i l l e k e u r i g punt op de hyperbool en dus geen asymptoot . Schrijft m e n de vergelijking (— + -){r- - tr) = - ! • dan i s T- of — constant

en gelijk aan de uitvaarthoek of zijn i n v e r s e w a a r d e . Wil m e n deze hoek constant houden, dan kan m e n een van de a s s e n een w i l l e k e u r i g e

schaal a geven en de a n d e r e een d a a r m e d e samenhangende schaal b zonder dat *- d a a r d o o r v e r a n d e r t . De curve kan door de keuze van a en b v l a k k e r of s t e i l e r worden gemaakt bij een zelfde u i t v a a r t s h o e k . Rekent m e n de formule e c h t e r w e e r om op de zelfde w a a r d e van de m a x i m u m o p b r e n g s t A = a, dan krijgt m e n s t e e d s dezelfde f o r m u l e . Staat de u i t v a a r t h o e k v a s t en de w a a r d e A = a, dan s t a a t de formule geheel v a s t .

V a s t s t e l l e n van de constanten

ax De formule kan worden b e w e r k t door te bedenken, dat a l s y = —,- ook geldt — = — -f- — of — = 1 + —. Stelt men — = u en — = v , dan is au = 1 + bv ° y a ax y x x ^ 1 1

of au - bv = 1. Dit i s een r e c h t e lijn, die de a s s e n op — en »- snijdt en een helling heeft gelijk T- .

V e r d e r kan m e n gebruik m a k e n van de omstandigheid, dat

log(x + b) + log(y - a) = log a b . Men kan de x en y p r o b e r e n d e r w i j z e m e t w a a r d e n v e r m e e r d e r e n en zien wanneer de lijn r e c h t wordt, en deze a en b m e t log ab v e r g e l i j k e n , dan wel uit de i n v e r s e n grafiek de a en b halen en in de log schaal t o e t s e n .

De formule xy + by - ax = 0 l e v e r t de formule x(y - a) = -by, x = — - .

a-y

Samenhang m e t de formule van Mits che r l i c h

De formule xy + by ax ab = ab of (x + b)(y a) = ab kan men s c h r i j -,„~,, a- y b f a-y -In 4-(x+b) ven —'— - —-—- of —— = e x ' a x+b a Hieruit volgt: y = a ( l - e"l n^ (x + b) ) /, -ln(x+b) + l n . b . y = a ( l - e v ' )

Indien men stelt ln(x+b) = eu en ln.b. = cB, dan geldt:

Uit deze formule volgt:

d log x = c( a - y)

°<S

cfcï)

a x

H i e r u i t blijkt hoe de formule y = —-T-T- een bijzonder geval is van de formule van M i t s c h e r l i c h m e t a l s werkelijke g r o e i f a c t o r de log van de w a a r g e n o m e n g r o e i f a c t o r .

De scheefhoekige hyperbool

Wanneer m e n de opgaande curve a l s asymptoot wenst uit te v o e r e n , dan kan m e n o v e r g a a n op een scheefhoekige hyperbool m e t een asymptoot h o r i z o n t a a l g e d r a a i d en de hoek t u s s e n de asymptoten zo g r o o t , dat na d r a a i i n g van de ene asymptoot tot de h o r i z o n t a l e stand de a n d e r e de goede u i t v a a r t h o e k k r i j g t .

Zoals uit de formule zal blijken, i s deze scheefhoekige hyperbool een

-c 1 rechthoekige hyperbool X = -y- , die bij een r e c h t e lijn X = —y— wordt

1 c

opgeteld, dus X = — « - ~ . Deze curve i s e c h t e r opgegeven vanuit een coördinaat nulpunt, dat t e r p l a a t s e van punt S in figuur 1 ligt.

x - X = B -Y

+

y=fl

' y-d

F i g . 3

In figuur 3 staat dit nog e e n s aangegeven. In fig. a vindt m e n de asymptoot y = aX m e t positief teken wegens het d e r d e k w a d r a n t ten o p -zichte van S. In fig. b vindt m e n de rechthoekige hyperbool XY = -c m e t een h o r i z o n t a l e en een v e r t i k a l e a s y m p t o o t . Negatief teken wegens v i e r d e k w a d r a n t . Telt men op, dan k o m e n de v e r t i k a l e - (fig. c) en de scheve (fig. a) asymptoot tegen e l k a a r aan te liggen. Dit blijft, a l s som van twee a s y m p t o t e n , zelf ook een a s y m p t o o t . In fig. c ziet m e n het r e s u l t a a t van de o p t e l -ling van de X. Voor een negatieve Y krijgt men een negatieve X uit

1 -c X = — Y en een p o s i t i e v e X uit X = -«- , zodat de x na optelling het v e r s c h i l van de twee X - w a a r d e n w o r d t .

Gaat m e n in fig. c over op het a s s e n s t e l s e l xy m e t de o o r s p r o n g 0, dan wordt de X - c o ö r d i n a a t m e t een waarde B v e r g r o o t of x =X + B , X = x - B . De som van -Y + y = A of Y = y - A.

Voegt men dat in in de formule

- Y " = X _{a Y}

dan ontstaat na vermenigvuldigen met a:

<y-

A

> - w^i

= a ( x

-

B )

(y-A)2 - a(x-B)(y-A) - ac = 0

2 2

y - 2Ay + A - axy + aAx + aBy - aAB - ac = 0

2 2 y - axy + aAx - (2A-aB)y + (A - a c - a A B ) = 0

In de f o r m u l e s i s a l s constante nog opgenomen de B, die geen biologische b e t e k e n i s heeft en wiskundig niet onafhankelijk i s . Het i s de x - w a a r d e v o o r y •= 0, die e c h t e r ook 0 gesteld dient te worden. Uit de formule volgt:

A - ac - aAB = 0 2

_ _ A -ac _ A c

Definitieve f o r m u l e s zijn d u s :

fr-

A

> - $h -

a

<

x +

A - ir>

=

°

of

(

y

-

A)2

-

a

<

x+

x - ^y-

A

^ -

a c =

°

y - axy - (2A + -x- - A)y + aAx + (A + ac - A - ac) = 0

y - axy - (A + -£-)y + aAx = 0 2

y - o i x y - A y + , j r x = 0 m e t o< = a

ir- aA

In deze f o r m u l e s zijn de constanten afhankelijk van de s c h a l e n , die m e n voor x en y k i e s t . Men zou nu e r n a a r kunnen s t r e v e n de s c h a a l c o n s t a n t e n s t e e d s te b e r e k e n e n voor A = 1 en a = 1, dus voor de m a x i m u m o p b r e n g s t en de uitvaarthoek constant en gelijk 1. Men krijgt dit r e s u l t a a t door v o o r y een s c h a a l in te v o e r e n gelijk -r , terwijl voor x een schaal wordt i n g e v o e r d

"4-- 5

De formule wordt nu:

(Y\Z x uy a cuy

2

; - (i + a c

A** A" A"

X-2 . ^ . ( l + f ^ ) y + x = 0 of 2 2

y - xy - acy = (y-x)A

Afleiding uit de formule voor de hyperbool

2 2 De hyperbool heeft a l s eenvoudigste formule —^ - -^r - + 1.

a b

F i g . 4

Voor het negatieve teken van de + geldt x = 0 y = b y = 0 x = i m a g i n a i r tg o( = + - = asymptoot v o o r x en y g r o o t t e g e n o v e r de - 1 . V e r d e r i s sin <* = b _ . a

l/a

7

^

7 en cos c< = y

V

^7

^ /

y

7y

J/B

'

// // //

"A

\ A

w. F i g . 5 Nu d r a a i t m e n het a s s e n s t e l s e l x , y . 20, dat een s t e l s e l x y o n t s t a a t , dat v o o r de x - a s s a m e n v a l t m e t de asymptoot m e t helling — . Wat i s nu de formule voor de o n d e r s t e tak van de hyperbool? Dit volgt uit het volgende:

"1 = -1 G e d r a a i d e coördinaten: 1 of x = X cos «/. + Y sin << y' = Y coSoC «• X sin«< x = (aX+bY)/|/a2+b2 L y = ( a Y - b X ) / ^ a2+ b2 (aX+bY) 2 — a (aY-bX)' _{+ a} 2 + b2 = 0

a2X2+ 2 a b X Y + b2Y2 a2Y2- 2 a b X Y + b2X2 L 2 , . 2 n

_ _ + a + b = 0

( b4- a4) Y2 + 2ab(b2+a2)XY + a2b2( b2+ a2) = 0

( b2- a2) Y2 + 2abXY + a2b2 = 0

Uit deze formule kunnen enkele v o r m e n worden ontleend b . v .

-X = (b -a )Y + a b o f _x _ b - a y + ab

2ab 2ab 2Y

of bij v e r s c h u i v e n van het a s s e n s t e l s e l n a a r een nieuwe o o r s p r o n g

_(x_B) = ^ ( y - A ) + f * 1 2ab 2 (y-A) <*-B> - 1 (y-A) - * ^ 2 / . , abm \ , A n mb y - mxy - (A + *-. ) + mAx = 0 a = TÄ~ 2 b2m2 y - mxy - (A + • )y + mAx = 0

VJZ.i

V^Ti

2 A ( / m * + 1 -1) -2ab

Voor de invoeging van m = -^—r- geldt de volgende v e r a n t w o o r d i n g .

b "a b

De helling van de asymptoot tg ot = wordt door de d r a a i i n g van het a s s e n -s t e l -s e l over een hoek o< gelijk n u l . De helling - van de a n d e r e a-symptoot wordt dan e c h t e r v e r d u b b e l d . H i e r v o o r geldt:

*„ •> -v 2tê<* 2 b / a 2 a b . -2ab

7

-Het vinden van de constanten

Om de constanten te vinden, staan er verschillende mogelijkheden open. De waarde voor A zal veelal met niet te veel moeite te benaderen zijn, al bestaat er een grote kans, dat men de schatting wat te laag maakt. Hetzelfde geldt voor de hellingstangens m, ook wat de kans op onderschatting betreft.

Trekt men de hellende asymptoot, dan moet bedacht worden dat beide asymptoten op gelijke afstand van het snijpunt S tot op gelijke afstand bena-derd worden door de kromme. De wigvormige ruimten tussen de asymptoot en de kromme zijn gelijkvormig, maar eikaars spiegelbeeld. Heeft men beide asymptoten getrokken en is de spiegelbeeldrelatie daarbij tot stand ge-komen, dan blijft de mogelijkheid dat de asymptoten nog evenwijdig verscho-ven moeten worden om de juiste kwadratische samenhang op te leveren. Zou men de goede plaats van de asymptoten hebben gevonden, dan zou de kortste afstand van het punt S (fig. 4) tot de curve een afstand b opleveren, terwijl de helling van de schuine asymptoot tg 2*1 geeft met tgo< = b/a.

Een andere mogelijkheid wordt gevormd door het uitmeten van de afstand van de punten in horizontale en vertikale richting tot de beide asymptoten. Deze afstanden u en v verhouden zich tot elkaar als u = c/v. Door de u en v logarithmisch tegen elkaar uit te zetten, vindt men c = b/2. Ook deze methode hangt wat de uitkomst betreft eveneens sterk af van de juistheid van het

trekken van de asymptoten.

Een methode, die van de formule zelf uitgaat, bedient zich van een nomo-gram, dat de formule exact weergeeft. Men gaat uit van de formule

oi - m 7 7 2 n A , b m y - o C x y = A y - ^ x /3 = A + • • ^

A(lAn +1 - 1)

iT = raA 2

In deze formule zijn x en y bekend en dus ook xy en y . De <^ ,A en ar zijn de onbekenden. Men kan nu echter de y in procenten of in delen van A uit-drukken, waardoor A = 1 wordt en de formule overgaat in:

- 8 mxy = (1 K_{b m} 2 2 / m + T - 1 )y m x of y + m x ( l - y ) = (1 + m b

V.

m+1 - 1 )y y + <xx(l-y) = S y 2

Ook h i e r kan m e n w e e r y , x ( l - y ) en y bepalen en m e t deze d r i e bekende r e e k s e n de onbekenden u i e n o uit een n o m o g r a m b e r e k e n e n . Dit n o m o g r a m krijgt op twee m a n i e r e n een eenvoudige v o r m , indien de formule als volgt wordt o m g e w e r k t :

o^x(l-y) = $y - y

<* - y / O - y )

ó' -y x

logoC - log( £ -y) = log ^ _ - log x

De l o g a r i t h m i s c h e w a a r d e n voor y / ( l - y ) en x worden op de v e r t i k a l e a s s e n u i t g e zet en de punten worden voor elk s a m e n -horend stel verbonden.

Nu wordt op de o n d e r s t e a s een punt g e -zocht van waaruit op al deze lijnen een loodrechte lijn getrokken kan w o r d e n . De bovenste schaal wordt dan gesneden op een punt S -y, w a a r m e n de bijbehorende w a a r d e voor y bij optelt om o te k r i j g e n , die voor alle p a r e n x en y zo goed m o g e -lijk op een constant b e d r a g moet uitkomen Men kan de gemiddelde waarde voor o nog e e n s gebruiken om de w a a r d e van J- b e t e r v a s t te s t e l l e n . Dezelfde bewerking i s ook m e t m e t r i s c h e w a a r d e n mogelijk. L = y / O - y ) kan m e n -y x op de o n d e r s t e h o r i z o n t a l e s c h a a l de x uitzetten en op de l i n k e r v e r t i k a l e s c h a a l y / ( l - y ) . Deze punten w o r d e n v o o r a l l e bijeenbehorende stellen x en y v e r b o n d e n . Op de h o r i z o n t a l e a s wordt t e v e n s , m a a r in tegengestelde richting van de x - s c h a a l , de <k uitgezet en op de r e c h t e r as de waar-Uitgaande van -£

9

-de voor (T - y . Het b e s t e kan -deze schaal v e r s c h u i f b a a r wor-den g e m a a k t , w a a r b i j m e n y uitzet en de schaal over de afstand o v e r s c h u i f t .

Nu m o e t e n op de vele verbindingslijnen x x / ( l y ) l o o d r e c h t e lijnen w o r -den getrokken, die de punten y van de S -y schaal bij de j u i s t e v e r s c h u i v i n g verbinden m e t een enkel punt op de oC-schaal. Men m o e t m e t de w a a r d e n v a n

À wat p r o b e r e n , totdat men een constante w a a r d e op de U. - s c h a a l k r i j g t .

De l o g a r i t h m i s c h e bepaling van at en S heeft het v o o r d e e l , dat de ongunstige fouteninvloed van 1y wat m i n d e r grote moeilijkheden zal bieden. D a a r -voor i s de bepaling van cT o n d e r de l o g a r i t h m e m i n d e r handig. De m e t r i s c h e

schaal laat de o gemakkelijk bepalen door een v e r s c h u i v e n d e y - s c h a a l . De y / ( l - y ) kan e c h t e r z e e r onhandig groot w o r d e n .

Wil m e n de mogelijke fout van het o m r e k e n e n van y in % van A in deze oplossing duidelijker n a a r v o r e n laten komen, dan kan dit plaatsvinden d o o r alleen y / l - y te v e r v a n g e n d o o r y / A - y . De invloed van de fout van A kan m e n overzichtelijk m a k e n d o o r een n o m o g r a m te maken m e t A, y en y / A - y m e t de A langs de h o r i z o n t a l e a s , y / A - y langs de v e r t i k a l e , en lijnen voor y. Men kan dan nagaan welke w a a r d e n y(Ay) door v e r a n d e r i n g van A weinig v e r p l a a t -sen en een goede schatting van <k en o t o e l a t e n , en welke w a a r d e n gevoelig zijn. Men kan dan ook nagaan welke c o r r e c t i e <A en o zullen krijgen of in welke richting de c o r r e c t i e z a l gaan.

De o p b r e n g s t a a n g r o e i

De a a n g r o e i van de opbrengst wordt v e e l a l gezien a l s een eenvoudiger functie dan de g r o e i c u r v e en m e n e i s t , dat de a a n g r o e i een begrijpelijke wet volgt en i s b e r e i d te a a n v a a r d e n dat de groeiwet zelf, a l s i n t e g r a a l van de m e e r o p b r e n g s t , een niet m e e r gemakkelijk te begrijpen formulering k r i j g t . Voor de k w a d r a t i s c h e g r o e i w e t kan men e v e n e e n s de m e e r o p b r e n g s t w e t v a s t -s t e l l e n .

Men schrijft d a a r t o e de formule het b e s t e :

2 A c F = axy - y - aAx + a( _ ) y = 0

dy _ d F / d x _ a(A-y) A-y A-y

10

-dy A - y __ A - y

d x " ( x - £ + £ ) + |(A-y) "(x-B) + |(A-y)

Men ziet, dat de o p b r e n g s t a a n w a s evenredig i s m e t het o p b r e n g s t d e f i c i e t , een f o r m u l e r i n g , die bij opbrengstwetten vrijwel altijd als j u i s t wordt a a n v a a r d . M a a r bovendien is de aanwas nog o m g e k e e r d evenredig m e t het o p -b r e n g s t d e f i c i e t en de g r o e i f a c t o r min een c o n s t a n t e . In deze constante h e r k e n t men de B. De w a a r d e x - B geeft aan hoe de groei wordt b e h e e r s t door de

hoeveelheid g r o e i f a c t o r , die te k o r t schiet of in e x c e s i s ten opzichte van de hoeveelheid, d i e , indien b = 0 zou zijn en e r dus geen afwijking van de s c h e v e asymptoot w a s , de opbrengst tot de bovengrens van de stijgende asymptoot kan b r e n g e n , dus het punt S in fig. 5.

Men kan het dus zo f o r m u l e r e n , dat de m e e r o p b r e n g s t r e c h t evenredig i s m e t het opbrengstdeficiet en o m g e k e e r d m e t de gewogen som van het o p b r e n g s t en het voedingsdeficiet. De weging heeft d a a r b i j tot taak het opbrengstdeficiet om te zetten in een v i r t u e l e t o e n a m e van het voedingsdeficiet. De o p b r e n g s t toename i s dus r e c h t evenredig m e t het opbrengstdeficiet en o m g e k e e r d e v e n -redig m e t het voedingsdeficiet of - e x c e s .

Een rekenvoorbeeld

Wil men m e t de formule een geval d o o r r e k e n e n , dan heeft m e n d r i e g e g e -v e n s nodig en wel de m a x i m a a l te b e r e i k e n o p b r e n g s t A, de h e l l i n g s t a n g e n s m van de stijgende a s y m p t o o t , die aangeeft hoe de opbrengst op de g r o e i f a c t o r r e a g e e r t en de w a a r d e b voor de k r o m m i n g van de c u r v e , die aangeeft hoe groot de afstand i s t u s s e n de c u r v e en het snijpunt van de a s y m p t o t e n .

Als formule kan m e n het b e s t e een v o r m k i e z e n , welke wordt afgeleid uit de f o r m u l e , die alleen de d r i e genoemde grootheden bevat.

2 </b2 m2

y - mxy + mAx - (A + )y = 0 m e t o(. = ,. » ,. v

A 2 / i n +1 - 1

Hieruit kan m e n afleiden:

- 11

Voor dit r e k e n v o o r b e e l d k i e z e n wij nu A = 10, 15, 20 b = 3 m = l °£ = 1, 179. T e r v e r e e n v o u d i g i n g van de b e r e k e n i n g w o r d e n de w a a r d e n y zo g e -kozen, dat in de d r i e r e e k s e n m e t opklimmende A dezelfde w a a r d e v o o r y / A - y o n t s t a a t . 10 2 4 6 7 8 9 9.5 A 15 y 3 6 9 10.5 12 13.5 14.25 20 4 8 12 14 16 18 19 y/A-y 0.250 0.667 1.500 2.333 4.000 9.000 19.000 1.061 0.265 0.707 1.591 2.652 4.244 9.549 20.157 -cbZ/A 0.707 0. 176 0.472 1.061 1.768 2.828 6.363 13.433 0.530 0. 132 0.353 0.795 1.326 2. 122 4.774 10.078 y 10 2.265 4.707 7.591 9.652 12.244 18.549 29.657 15 3. 176 6.472 10.061 12.268 14.828 19.863 27.683 20 4. 132 8. 353 12.795 15.326 18.122 22.774 29.078