Het samensmelten van capillariteitsformules

Het s a m e n s t e l l e n van c a p i l l a r i t e i t s f o r m u l e s W. C. V i s s e r

Doelstelling

De c a p i l l a r i t e i t s f o r m u l e s hebben over het algemeen een zodanige v o r m d a t het moeilijk is e r v e r d e r e berekeningen op te b a s e r e n . Het gebruik van deze f o r m u l e s zal d a a r o m o v e r het algemeen nomografisch moeten zijn. Het lijkt d a a r o m niet noodzakelijk wegen te zoeken om moeilijke i n t e g r a t i e s uit te kunnen v o e r e n . Men zal zich b e t e r d i r e c t op n u m e r i s c h e oplossingen kunnen r i c h t e n . Beschrijving van de mogelijke berekeningen

1) De formule voor de p F c u r v e geeft aan hoe de c a p i l l a i r e spanning ly s a m e n -hangt m e t het vochtgehalte v. De capillaire spanning wordt geleverd door de

c a p i l l a i r e k r a c h t e n , die in de bodemporié'n optreden en die g r o t e r zijn n a a r -m a t e de poriéTn k l e i n e r zijn.

2) De p F - c u r v e n kunnen op grond van de r e l a t i e t u s s e n spanning en d i a m e t e r wor-den omgezet in een curve voor de poriéfngrootteverdeling.

3) De grootte van de p o r i e i s een m a a t voor het s t r o m i n g s d e b i e t door de p o r i e . Deze samenhang wordt gegeven door de formule van P o i s e u i l l e .

4) Uit de som van de debieten in alle c a p i l l a i r e n t e z a m e n zal m e n de d o o r l a t e n d heid van de grond kunnen b e r e k e n e n bij opklimmende g r a a d van v o c h t v e r z a d i -ging.

5) De c a p i l l a i r e s t r o o m s n e l h e i d i s gelijk aan de doorlatendheid, vermenigvuldigd met het spanning s v e r v a l a *Miz. In geval de s t r o o m in de richting van de z w a a r -t e k r a c h -t o p -t r e e d -t , moe-t h i e r de. invloed van de z w a a r -t e k r a c h -t nog bij w o r d e n opgeteld. I n t e g r e e r t m e n , dan krijgt men het spanningsprofiel a l s r e l a t i e t u s -sen de c a p i l l a i r e spanning y en de hoogte z.

6) De y/ kan uit deze formule g e ë l i m i n e e r d worden door gebruik te maken van de formule voor de p F - c u r v e . Het spanningsprofiel - de w-x r e l a t i e - wordt dan omgezet in een vochtgehalteprofiel - de v-z r e l a t i e .

0000 0672 4070

7) Onder 6) i s een r e l a t i e t u s s e n vochtgehalte en de p l a a t s in het profiel v e r k r e -gen, waarbij de c a p i l l a i r e stroomsnelheid v a l s beschrijvende p a r a m e t e r optreedt.

Door de totale vochtinhoud van dit vochtprofiel te bepalen t u s s e n z = 0 en z = z i s het mogelijk van het laagsgewijze b e r e k e n d e vochtgehalte op de b e -schikbare v o o r r a a d in het profiel over te gaan. De invloed van het aanvoeren of opstijgen van het w a t e r op de ligging van de g r o n d w a t e r s p i e g e l kan d o o r de j u i s t e keuze van de i n t e g r a t i e g r e n z e n z worden v e r a n t w o o r d . H i e r worden ook v e r a n d e r i n g e n in z = 0 door stromingen in het grondwater o n d e r g e b r a c h t . 8) Een nog w e e r v e r d e r g a a n d e stap is die, waarbij de c a p i l l a i r e s t r o o m s n e l h e i d

a l s een t o e - of afname van de vochtinhoud p e r eenheid van tijd wordt opgevat, dus als een w a a r d e d l / d t . Door uit de formule, die de vochtinhoud van het profiel beschrijft a l s functie van de c a p i l l a i r e s t r o o m s n e l h e i d v = d l / d t k a n men de snelheid van c a p i l l a i r e vochtonttrekking of van de vochtaanvoer v a s t -stellen.

De formules

Dezelfde beschouwing kan met formules nog eens worden w e e r g e g e v e n . 1) De p F - c u r v e luidt n _ Dpi = i-ofr v ^ m e t p F = log w

2) De samenhang t u s s e n y en de c a p i l l a i r e d i a m e t e r d i s volgens de formule v o o r

L i

SU

de c a p i l l a i r e zuigkracht d = - ~ . Dit in de p F - formule geeft

d.sa... v .

3) De formule van Poiseuille geeft aan, dat de d o o r s t r o m e n d e hoeveelheid q i n een c a p i l l a i r volgens de formule q = v F =^3T' voor een v e r v a l j j ~ = 1 w o r d t weergegeven door Q*TfU t<-r Jloi m e t 7) = v i s c o s i t e i t

f- c = bochtigheidscoe'fficie"nt Dit in de formule uit 2) geeft

4) De d o o r l a a t f a c t o r v o o r de g r o n d i s g e l i j k a a n de s o m v a n a l l e d e b i e t e n q v o o r d e g e z a m e n l i j k e c a p i l l a i r e n bij e e n s p a n n i n g s v e r v a l d 4/ / d z = 1. W a n n e e r m e n i n t e g r e e r t v a n v = 0 t o t v v i n d t m e n d e c a p i l l a i r e d o o r l a t e n d -h e i d k , d i e bij -h e t v o c -h t g e -h a l t e v -h o o r t . I n t e g r e e r t m e n v a n v = 0 t o t v = P d a n v i n d t m e n k v o o r de v e r z a d i g d e g r o n d . B e r e k e n d m o e t w o r d e n : Geef d e t e r m v o o r h e t i n t e g r a a l t e k e n - w a a r i n c s t a a t v o o r d e f a c t o r v o o r de k r o n k e l i n g e n v a n de c a p i l l a i r e n - , de v a r i a t i e i n d i a m e t e r a l s m e d e e e n t o e v a l s f a c t o r , o m d a t de poriê"n v e r t a k k e n en de r e e k s v a n g r o f s t e p o r i ë n t e l t w e e r d o o r A . V e r d e r n e m e m e n t e r v e r e e n v o u d i g i n g ^ * x , ^-.rm.^^M-^rr\,. De i n t e g r a t i e v a n e e n v o r m

it, ni

3

—f-»2=_

V t i s e x a c t op t e l o s s e n d o o r e e n n i e u w e v a r i a b e l e in t e v o e r e n , b e s t a a n d e uit x , v e r h e v e n t o t e e n m a c h t , d i e de g r o o t s t e g e m e n e d e l e r v a n m e n n i s , ofwel v a n p e n 1-p, o m d a t 4 / b h i e r b i j r e e d s d i r e c t a l s d e l e r o p t r e e d t . Dit i s n o g a l e e n h e e l r e k e n w e r k , o m d a t e r eer: r u i m a a n t a l i n t e g r a t i e t e r m e n o n t s t a a t , d i e a l l e s t u k v o o r s t u k m o e t e n w o r d e n b e r e k e n d . N u m e r i s c h u i t -w e r k e n v o o r e n k e l e -w a a r d e n v a n p e n b z o u m o g e l i j k m i n d e r -w e r k z i j n . 5) De c a p i l l a i r e s t r o o m s n e l h e i d v w o r d t b e h e e r s t d o o r d e f o r m u l e : De e e n h e i d geeft d e i n v l o e d v a n d e z w a a r t e k r a c h t w e e r m e t e e n p o s i t i e v e w a a r d e v o o r n a a r b e n e d e n g e r i c h t e s t r o m i n g en e e n n e g a t i e f t e k e n b i j n a a r b o v e n g e r i c h t e c a p i l l a i r e o p s t i j g i n g . Men k a n o m v o r m e n t o t X = VC , o p s t i j g i n g w-x- \ ^ inzxjging In d e z e b e i d e f o r m u l e s k a n m e n h e t r e s u l t a a t v a n de i n t e g r a t i e v o o r k u i t 4) i n v o e g e n n a in de g e v o n d e n i n t e g r a a l v t e h e b b e n o m g e r e k e n d i n (ƒ/ ofwel in d e z e b e w e r k i n g d y te h e b b e n o m g e z e t in d v . Dit l a a t s t e i s m i s s c h i e n h e t e e n v o u d i g s t e , g e z i e n de s a m e n h a n g

JL<Lt -&+(,+)JLL . . J P - J P , , - P ) ,

De t e i n t e g r e r e n f o r m u l e w o r d t nu:

ß

X :

îJS—iil^L^ ©

N e e m t m e n a l s e e n v o u d i g g e v a l p = j , b = 2 , w a t v o o r b e e n v e e l te h o g e w a a r d e i s , d a n v i n d t m e n v o o r k c De w a a r d e n v o o r p en v in de f o r m u l e v o o r ~~^~ geeft: . cLï b

di

=

l£ + / 6) Dit s o o r t v e r g e l i j k i n g e n z a l v e r m o e d e l i j k n i e t , of a l l e e n m e t v e e l m o e i t e , e x a c t op t e l o s s e n z i j n . Ben n u m e r i s c h e o p l o s s i n g , z o w e l v a n d e r e l a t i e t u s s e n z e n v a l s t u s s e n z e n y m e t v e r s c h i l l e n d e c o m b i n a t i e s p e n b z a l d a a r o m n a g e s t r e e f t m o e t e n w o r d e n . 7) De v o o r g a a n d e b e s c h o u w i n g l e v e r t e e n r e l a t i e VÎ. Cv %) • Nu i s de v o c h t i n -h o u d v a n -h e t p r o f i e l o v e r e e n -h o o g t e dz g e l i j k a a n v d z . De v o c -h t i n -h o u d o v e r h e t g e h e l e p r o f i e l i s d e i n t e g r a a l

l*[vdix.*J'f,(v

t

i)cLt ©

D e z e i n t e g r a t i e i s e x a c t n i e t m e e r uit t e v o e r e n , o m d a t de v n i e t o p g e l o s t z a l k u n n e n w o r d e n u i t de i n t e g r a t i e van de f o r m u l e o n d e r 5 ) , w a n n e e r m e n a l in s t a a t z o u z i j n d e i n t e g r a t i e t o t e e n g o e d e i n d t e b r e n g e n . H i e r z a l n u m e -r i s c h g e ï n t e g -r e e -r d m o e t e n w o -r d e n . 8) Uit 7) v o l g t e e n r e l a t i e t u s s e n I, z en v . Nu i s v d e h o e v e e l h e i d v o c h t , d i e p e r t i j d s e e n h e i d uit h e t p r o f i e l v e r d w i j n t of b i n n e n s t r o o m t . In d e r e l a t i e ^c - L (il ) h e e f t v de b e t e k e n i s \£ = ± dj /oit z o d a t H e t + t e k e n g e e f t a a n , d a t I m e t t t o e n e e m t e n d u s h e t g e v a l w o r d t b e s c h r e v e n w a a r r e g e n d e g r o n d i n d r i n g t . H e t - t e k e n g e l d t v o o r d e c a p i l l a i r e o p s t i j g i n g en d a a r o p v o l g e n d e v e r d a m p i n g .

Het nagestreefde gebruik

Het doel van deze berekeningen i s v e l e r l e i . De oplossingen gaan alle uit v a n de v r i j goed v a s t s t a a n d e formule voor de p F - c u r v e , waaruit formule 1 volgt. De constanten zijn a, b , p , P e n e ' , waarbij in c' de .- opgenomen dient t e

worden. Ook a kan overigens in c' worden opgenomen. Uit deze 4 constanten volgt nu de samenhang t u s s e n :

F o r m u l e 2

4/en k of v en k . Hieruit kan bij bekende verzadigde doorlatendheid de c a p i l -l a i r e door-latendheid, die zich nog zo moei-lijk -laat bepa-len, b e r e k e n d w o r d e n . De aandacht verdient de samenhang, omdat in de i n t e g r a a l voor k s t e e d s een -ln(P-v) voorkomt, die voor v = P gelijk oneindig w o r d t . De asymptoot, die bij de p F - c u r v e wordt bepaald, is dus geen maat voor het poriënvolume en zal a l s (P + â P v) moeten worden g e s c h r e v e n . De waarde A P heeft tot taak een m a x i -male p o r i e d i a m e t e r van eindige grootte in te v o e r e n .

F o r m u l e 3

z, v en v of z,y/ en v . Dit l e v e r t de gebruikelijke r e l a t i e van de c a p i l l a i r e o p -stijging of inzijging, w a a r v o o r Wind en Wesseling e m p i r i s c h e r e l a t i e s vonden. Door deze samenhang op de p F c u r v e te b a s e r e n kan worden nagegaan of de e m -p i r i s c h e curven voldoende overeenkomen met de curven, waarvan het e m -p i r i s m e een differentieniveau d i e p e r ligt en de hoeveelheid w a a r n e m i n g e n , die b e s c h i k -b a a r i s , veel g r o t e r i s . Vooral de exponent in de Wind-Wesseling formule i s e e n belangrijke p a r a m e t e r , w a a r o v e r niet al te veel bekend i s .

F o r m u l e 4

I, z en v . Deze samenhang l e v e r t de r e l a t i e t u s s e n de v o c h t v o o r r a a d , de g r o n d -w a t e r d i e p t e en de vochtopname of het v e r d a m p i n g s v e r l i e s . De vochtinhoud van het p r o f i e l , de grondwater diepte en, uit 2 vochtbemonsteringen, de v e r d a m p i n g zijn in het veld met goede nauwkeurigheid te bepalen. Hieruit moet de b o c h t i g h e i d s factor c te bepalen zijn. Zowel voor de l y s i m e t e r o n d e r z o e k i n g e n a l s voor v e r -damping s schattingen te velde lijkt dit een belangrijke bron van inzicht.

F o r m u l e 5

I, z en t. Uit deze formule zijn alle capillaire grootheden verdwenen. Me- vindt, uit te velde b e p a a l b a r e gegevens de snelheid, w a a r m e d e de vochtvoorraad va?, een profiel wordt v e r b r u i k t . Dit zou voor aride gebieden en voor tegen regen b e

De r e s u l t a t e n van de f o r m u l e s 3, 4 en 5 kan men onderling v e r g e l i j k e n , zodat m e n voor elke w a a r d e van een van de v a r i a b e l e n de samenhorende g e -tallen voor z,y , v, v , I en t kan vinden. In deze combinatie van 6 grootheden moeten v e l e r l e i mogelijkheden te vinden zijn om uit een aantal te velde v e r zamelde getalwaarden zich een oordeel te v o r m e n of de vochthuishouding v o l -doende b e h e e r s t wordt door 1) een homogeen profiel, 2) een beperkte dikte van de zone, w a a r het w a t e r het systeem binnentreedt of e r uit verdwijnt,

3) een bochtigheidsfactor, die voor alle c a p i l l a i r e d i a m e t e r s constant i s . Indien aan deze eisen voldoende voldaan wordt, zal uit de combinatie van gegevens een indruk o m t r e n t de waarden van de v i e r u i t g a n g s p a r a m e t e r s b , p , P en c te v e r k r i j g e n zijn.