De effici entie van zuivere schadevrije

(1)

De effici¨

entie van zuivere schadevrije

jaren

—

Gijs Hoedemaker

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics Auteur: Gijs Hoedemaker Studentnr: 5984262

Email: f.g.hoedemaker@student.uva.nl Datum: 18 december 2013

(2)

(3)

De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren — Gijs Hoedemaker iii

Samenvatting

Deze scriptie onderzoekt het nieuwe bonus-malussysteem zoals voorgesteld in het rap-port van het Actuarieel Genootschap met de titel: Zuivere schadevrije jaren (Rispens et al., 2013). Dit nieuwe systeem, waarin de Bonus-Malus-trede wordt aangeduid door de nieuwe term zuivere schadevrije jaren, is onderzocht op effectiviteit. Hiervoor is onderzocht in hoeverre het aantal schadevrije jaren een goede voorspeller is voor de claimfrequentie en daarnaast is gekeken naar de Loimaranta efficiëntie van het systeem. Om dit te onderzoeken zijn data gesimuleerd om de claimhistorie van een fictieve por-tefeuille van 200000 automobilisten te verkrijgen. Vervolgens is gebruik gemaakt van Generalized Linear Models om tot de geschatte claimfrequenties te komen behorende bij het aantal schadevrije jaren in het nieuwe systeem. Deze procedure is herhaald voor het oude bonus-malussysteem en de geschatte claimfrequenties van beide systemen zijn vervolgens vergeleken met de achterliggende werkelijke claimfrequenties van de fictieve polishouders. Uit deze vergelijking kwam naar voren dat het aantal schadevrije jaren in nieuwe systeem geen betere voorspeller is voor de werkelijke claimfrequentie dan de overeenkomstige klasse in het oude bonus-malussysteem. De Loimaranta efficiëntie be-horende bij meerdere claimfrequenties is berekend voor het nieuwe en het oude systeem in Nederland en tevens voor twee landen met vergelijkbare bonus-malussystemen. Op basis van dit onderzoek is geconcludeerd dat het nieuwe systeem van schadevrije jaren, in verhouding tot de andere systemen, een hogere efficiëntie kent voor de overwegend lage claimfrequenties. Dit houdt in dat er voor de lagere claimfrequenties geldt dat er minder subsidie is van goede naar slechte rijders.

Keywords Bonus-Malus, Terugvaltabel, Zuivere Schadevrije Jaren, GLM, Loimaranta, Simu-latie, Elasticiteit

(4)

Inhoudsopgave

Voorwoord v 1 Introductie 1 1.1 Context en relevantie . . . 1 1.2 Aanleiding. . . 1 1.3 Onderzoeksvraag . . . 2 1.4 Literatuuroverzicht . . . 2

2 Opzet van het onderzoek 3 2.1 Poisson regressie . . . 3

2.2 Loimaranta effici¨entie . . . 5

3 Resultaten en analyse 6 3.1 Simulatie . . . 6

3.2 Schadevrije jaren . . . 7

3.3 Bonus-malussysteem . . . 12

3.4 Vergelijking systemen . . . 14

3.5 Loimaranta effici¨entie . . . 16

4 Conclusie 19 Appendix A: Diversen 21 Bibliografie . . . 24

(5)

Voorwoord

Graag wil ik hier als eerste mijn begeleider Rob Kaas bedanken. Zijn wetenschappelijke inzichten waren bij tijd en wijle essentieel voor de voortgang van deze scriptie. Daar-naast hebben zijn algehele begeleiding, enthousiasme en humor er voor gezorgd dat het nooit moeilijk was motivatie te vinden om te werken aan deze scriptie. Mijn dank gaat ook uit naar Rob van Hemert, wiens colleges een uitstekende basis gaven om vanuit verder te werken en tevens de scriptie op een juiste koers te houden. Tot slot bedank ik vrienden, familie en medestudenten voor hun steun en bereidwilligheid om als klankbord op te treden. Zonder jullie was deze scriptie nooit geworden wat zij nu is.

(6)

(7)

Hoofdstuk 1

Introductie

1.1 Context en relevantie

In de meeste ontwikkelde landen is op het gebied van autoverzekeringen tegenwoordig een tariefsysteem in gebruik waarbij een premie in rekening wordt gebracht die voor een groot deel afhankelijk is van het aantal claims dat de polishouder in het verleden heeft ingediend (Lemaire, 1995). Verzekerden die gedurende één jaar schadevrij zijn, stijgen een trede in het systeem en verzekerden die niet schadevrij blijven dalen meer-dere treden (Kaas et al., 2008). Lemaire (1995) stelt verder dat hoewel dit zogeheten bonus-malussysteem werkt als een stimulans voor polishouders om voorzichtiger te rij-den, het in de eerste plaats in het leven is geroepen om beter individuele risico’s in te kunnen schatten. Denuit en Dhaene (2001) stellen in hun onderzoek dat a posteriori tariefbepaling een efficiënte methode is om polishouders te kwalificeren op grond van hun risico. Verzekeraars gebruiken de claimhistorie om iedere polishouder op de lange termijn een premie te laten betalen die correspondeert met zijn of haar claimfrequentie.

Kaas et al. (2008) benadrukken hiervan het belang als zij stellen dat het ontbreken van een risicogerichte premieverdeling tot gevolg heeft dat de ‘goede risico’s’ de verzekeraar zullen verlaten. Hierdoor is de verzekeraar gedwongen zijn premies over de hele linie te verhogen waardoor uiteindelijk de allerslechtste risico’s overblijven. Kaas et al. (2008) melden dat het systeem dat tegenwoordig door de meeste verzekeringsmaatschappijen in Nederland gehanteerd wordt, gebaseerd is op een standaard bonus-malussysteem dat de uitkomst was van een grootschalig actuarieel onderzoek uit 1982 (ASTIN Groep Ne-derland,1982). In de loop der jaren zijn verzekeraars steeds meer gaan afwijken van het standaardmodel. Verzekeraars verschillen bijvoorbeeld door meer treden aan te bieden, door een andere definitie te hanteren voor een schade die leidt tot terugval in schadevrije jaren of door een terugval van een groter aantal schadevrije jaren te hanteren bij een dergelijke schade (Rispens et al.,2013).

1.2 Aanleiding

Het Actuarieel Genootschap (AG) stelt in een recent onderzoek Rispens et al. (2013) dat het begrip schadevrije jaren een bron van verwarring is in de huidige markt voor motorrijtuigverzekeringen. Het begrip is binnen de verzekeringsmarkt niet eenduidig gedefinieerd, consumenten met een identiek schadeverleden kunnen zodoende bij ver-schillende verzekeringsmaatschappijen een verschillend aantal schadevrije jaren opbou-wen. Zij concluderen dat de verwarring omtrent het begrip schadevrije jaren ´e´en van de grootste klachtenbronnen is onder consumenten. Het doel van het AG-rapport is een eenduidige definitie van zuivere schadevrije jaren te geven en daarmee een uniforme terugvaltabel te introduceren. Deze terugvaltabel moet actuarieel onderbouwd en ver-antwoord zijn, goed uitlegbaar aan klanten en praktisch uitvoerbaar.

(8)

2 Gijs Hoedemaker — De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren

1.3 Onderzoeksvraag

In deze scriptie wordt beoordeeld in hoeverre het nieuwe systeem, zoals voorgesteld door het AG, effici¨ent is. Om dit te beoordelen worden twee graadmeters gebruikt. De eerste is effectiviteit van de de karakteristiek schadevrije jaren als verklarende variabele voor de claimfrequentie en de tweede is de Loimaranta effici¨entie.

1.4 Literatuuroverzicht

Als eerste wordt gekeken naar de effectiviteit van de karakteristiek schadevrije jaren als verklarende variabele voor de claimfrequentie. Dit wordt onderzocht door gebruik te maken van Generalized Linear Models (GLM).

Beirlant et al. (1992) maken in hun paper een statistische analyse van de relevante factoren die het risico op een claim be¨ınvloeden. Ze gebruiken hiervoor een logistisch regressiemodel. Dit model wordt gebruikt om de uitkomst van een categorische endogene variabele te schatten. Dit past voor hun onderzoek aangezien zij per polis slechts data tot hun beschikking hadden over het wel of niet plaatsvinden van één of meer claims per jaar, gedurende een claimhistorie van bijvoorbeeld dertig jaar. Om deze reden maakten ze een analyse van de kans op ten minste één claim van een bepaalde polishouder. Tevens stellen zij dat logistische regressie geschikt is wanneer er sprake is van discrete exogene variabelen. Voor het onderzoek maken Beirlant et al. (1992) gebruik van datasets uit 1989 van twee grote Belgische autoverzekeringsmaatschappijen. Uit het onderzoek komt naar voren dat er statistisch bewijs is dat de bonus-malusklasse van een polishouder positief samenhangt met de kans dat hij een of meer claims veroorzaakt.

Als tweede graadmeter voor de efficiëntie van het nieuwe bonus-malussysteem wordt de elasticiteit van het systeem onderzocht. Dit is de verhouding van een procentuele verandering van de premie, de afhankelijke variabele, en de procentuele verandering van claimfrequentie, de onafhankelijke variabele. Dit wordt onderzocht door de Loimaranta efficiëntie te berekenen en te vergelijken met de efficiëntie van andere systemen. Le-maire en Zi (1994) simuleren in hun onderzoek dertig bonus-malussystemen afkomstig uit tweeëntwintig landen. Vervolgens vergelijken zij deze systemen door onder meer de elasticiteit ten opzichte van de claimfrequentie per systeem te berekenen.Lemaire en Zi

(1994) berekenen de elasticiteit voor meerdere claimfrequenties om de systemen beter te kunnen vergelijken.

Deze studie is gebaseerd op het onderzoek van Beirlant et al. (1992) en Lemaire en Zi(1994). De voorspellende waarde van het nieuwe begrip zuivere schadevrije jaren, zoals voorgesteld door het AG, wordt onderzocht door middel van GLM. In tegenstelling tot het onderzoek vanBeirlant et al. (1992) wordt in deze studie gebruik gemaakt van gesimuleerde data. Daarnaast wordt de efficiëntie van het nieuw voorgestelde bonus-malussysteem beoordeeld door de elasticiteit te onderzoeken. De Loimaranta efficiëntie wordt berekend en vergeleken met de efficiëntie van de systemen uit het onderzoek van

Lemaire en Zi(1994). Voor de berekeningen wordt het computerprogramma R gebruikt (R Development Core Team,2012).

In het volgende hoofdstuk wordt de opzet van het onderzoek beschreven: hoe de data gesimuleerd zijn, alsmede de gebruikte modellen en de motivatie voor deze modellen. Hoofdstuk 3 bevat de resultaten en analyse. Daarna volgt de conclusie in hoofdstuk 4, met tot slot in de appendix R-scripts als bijlagen.

(9)

Hoofdstuk 2

Opzet van het onderzoek

Eerst wordt het nieuwe bonus-malussysteem zoals voorgesteld in het rapport van het AG (Rispens et al.,2013) beschreven, daarna volgt een beschrijving van de toegepaste modellen tezamen met een beschrijving van de gebruikte data.

Het AG heeft een terugvaltabel ontwikkeld die zich kenmerkt door eenvoud: voor elke schuldschade die in een jaar ontstaat, daalt het aantal schadevrije jaren met 5 jaar. Bij geen schade stijgt het aantal schadevrije jaren met 1 jaar. Het minimaal aantal schadevrije jaren bedraagt −5 en er bestaat geen maximaal aantal schadevrije jaren, echter na een schade valt het aantal schadevrije jaren altijd minstens terug tot 10. Automobilisten kunnen dus meer dan 15 schadevrije jaren opbouwen, hetgeen echter niet relevant is voor de eventuele korting of verzwaring van hun premie. Gezien de regel dat het aantal schadevrije jaren na een schade nooit meer kan zijn dan 10, is het voor deze scriptie niet relevant of een automobilist 15 schadevrije jaren heeft of meer. In tabel 2.1 is de terugvaltabel uit het AG-rapport weergegeven. Hierin is ook het percentage korting of boete opgenomen dat bij elk aantal zuivere schadevrije jaren betaald dient te worden.

2.1 Poisson regressie

Dit stuk onderzoekt de effectiviteit van de karakteristiek schadevrije jaren als verkla-rende variabele voor de claimfrequentie door gebruik te maken van Generalized Linear Models (GLM).Kaas et al.(2008) noemen in hun boek drie redenen om GLM voor actu-ari¨ele toepassingen te prefereren boven lineaire regressie. Als eerste voordeel noemen zij dat GLM een afhankelijke variabele toestaat met een andere verdeling dan de normale. Bij het onderzoeken van het aantal claims is dit van belang aangezien deze veelal ten naaste bij een Poisson verdeling volgen (Denuit et al.,2007). Door de Poisson verdeling van het aantal claims is er sprake van een variantie afhankelijk van het gemiddelde, deze heteroskedasticiteit kan worden opgelost door GLM te gebruiken. Het derde voordeel is dat bij GLM de verwachting van de te verklaren variabele geen lineaire functie van de verklarende variabelen hoeft te zijn, maar dat deze relatie ook lineair mag zijn op een andere schaal. Bij onderzoeken naar claimfrequentie past een logaritmische schaal, die het model multiplicatief maakt. Dit is intu¨ıtief logisch aangezien verwacht wordt dat de claims van een verzekerde naarmate hij in een lagere bonus-malustrede komt niet met een absoluut aantal maar waarschijnlijk steeds met een percentage afnemen (Denuit et al.,2007).

In het onderzoek van Beirlant is de te verklaren variabele de gebeurtenis van ´e´en of meer claims in een jaar (Beirlant et al.,1992). Daarentegen is de te verklaren variabele in deze scriptie de claimfrequentie, Poisson verdeeld verondersteld. De verklarende va-riabele is het aantal zuivere schadevrije jaren. Daarom wordt in dit onderzoek gebruik

(10)

Tabel 2.1 : Terugvaltabel zoals voorgesteld door het AG

Schadevrije jaren in het volgende verzekeringsjaar Zuivere schadevrije jaren in het huidige verzeke-ringsjaar percentage korting of toeslag op premie zonder schade met ´e´en schade met twee schaden met drie schaden met vier of meer schaden 15 30 15 10 5 0 -5 14 30 15 9 4 -1 -5 13 30 14 8 3 -2 -5 12 30 13 7 2 -3 -5 11 30 12 6 1 -4 -5 10 30 11 5 0 -5 -5 9 30 10 4 -1 -5 -5 8 30 9 3 -2 -5 -5 7 32.5 8 2 -3 -5 -5 6 35 7 1 -4 -5 -5 5 37.5 6 0 -5 -5 -5 4 40 5 -1 -5 -5 -5 3 45 4 -2 -5 -5 -5 2 50 3 -3 -5 -5 -5 1 55 2 -4 -5 -5 -5 0 60 1 -5 -5 -5 -5 -1 70 0 -5 -5 -5 -5 -2 80 -1 -5 -5 -5 -5 -3 90 -2 -5 -5 -5 -5 -4 100 -3 -5 -5 -5 -5 -5 120 -4 -5 -5 -5 -5

gemaakt van het volgende loglineair Poisson regressie model: Ti = exp(βref) ×

Y

j|xij=1

exp(βj), (2.1)

waar exp(βref) de jaarlijkse claimfrequentie is die correspondeert met de referentieklasse

van 0 schadevrije jaren en exp(βj) de impact modelleert van de je verklarende

vari-abele, het hebben van j zuivere schadevrije jaren. Tevens geldt i ∈ {1, ..., 200000}, j ∈ {−5, ..., 15} en j 6= 0. De verklarende variabelen xij zijn gecodeerd als binaire

varia-belen en geven aan of de iepolishouder j zuivere schadevrije jaren heeft of niet. Op deze wijze wordt iedere polishouder gerepresenteerd door een vector van nullen met ´e´en 1. Als βj > 0 dan verhoogt het hebben van j zuivere schadevrije jaren de jaarlijkse

claim-frequentie ten opzichte van de referentieklasse. Andersom is het zo dat βj < 0 betekent

dat het hebben van j schadevrije jaren de claimfrequentie verlaagt ten opzichte van de referentieklasse.

Om dit model te schatten zijn data gebruikt over een portefeuille van polishouders met per polishouder, de claimhistorie gedurende 30 jaar en het aantal zuivere schadevrije jaren waarin dit resulteert. Overwogen is om deze data uit de praktijk te verkrijgen, echter dit zou onevenredig veel moeite kosten in verhouding tot het doel van dit onder-zoek. Om deze reden worden de gebruikte data in dit onderzoek gesimuleerd. In R wordt voor een portefeuille van 200000 polishouders een claimhistorie gegenereerd met een ho-rizon van 30 jaar. Dit gebeurt door voor iedere polishouder 30 trekkingen te doen uit

(11)

De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren — Gijs Hoedemaker 5

een Poisson verdeling. De portefeuille wordt onderverdeeld in drie groepen en bestaat voor 1/7 uit goede, 2/7 uit gemiddelde en 4/7 uit slechte rijders. De claimfrequenties van de drie groepen worden bepaald door het eerste, tweede en derde kwartiel van een Gamma(1,10) verdeling te nemen. Dit resulteert in een portefeuille gemiddelde van 0.103 claims per jaar met een variantie van 0.012. Uit de gegenereerde claimhistories wordt vervolgens door middel van een model in R berekend hoeveel zuivere schadevrije jaren een polishouder heeft opgebouwd met zijn claimhistorie. Tevens wordt de gemiddelde waargenomen jaarlijkse claimfrequentie bepaald. De claimfrequenties blijven hetzelfde gedurende de 30 jaren.

2.2 Loimaranta effici¨

entie

De tweede graadmeter voor de efficiëntie van het nieuwe bonus-malussysteem is de elas-ticiteit van dit systeem. Kaas et al. (2008) leggen uit dat het ultieme doel van een bonus-malussysteem is om iedere polishouder een premie te laten betalen die overeen-komt met de verwachte waarde van zijn jaarlijkse claims. Om te onderzoeken in hoeverre een bonus-malussysteem hierin slaagt wordt de Loimaranta efficiëntie gebruikt, deze be-oordeelt de invloed van de claimfrequentie λ op de premie. De Loimaranta efficiëntie is als volgt gedefinieerd:

e(λ)def= λ b(λ) d b(λ) dλ = d log b(λ) d log λ . (2.2)

Het representeert de elasticiteit van de steady state premie, b(λ), ten opzichte van de claimfrequentie λ. Volgens Kaas et al. (2008), opmerking 6.3.3, houdt e(λ) < 1, ∀λ in dat de slechte rijders gesubsidieerd worden. Idealiter geldt e(λ) ≈ 1, maar geen enkel bonus-malussysteem bereikt dit voor alle λ (Kaas et al.,2008).

Voor het berekenen van de Loimaranta efficiëntie zijn geen data uit de praktijk nodig. Deze is inherent aan het systeem. Wel wordt de efficiëntie voor meerdere claimfrequenties berekend om het bonus-malussysteem beter te kunnen beoordelen ten opzichte van systemen in andere landen. Dit is dezelfde methode alsLemaire en Zi(1994) toepassen in hun onderzoek. Om de efficiëntie te berekenen is wel het percentage van korting of boete op de premie nodig dat in iedere bonus-malusklasse betaald dient te worden. Hiervoor worden de percentages uit tabel 2.1 gebruikt, die zijn gebaseerd op het onderzoek uit 1982 (ASTIN Groep Nederland,1982).

(12)

Hoofdstuk 3

Resultaten en analyse

In dit hoofdstuk wordt bij beide gedeeltes van het onderzoek de beschrijvende statistiek behandeld, een presentatie van de resultaten gegeven en tot slot een analyse.

3.1 Simulatie

Als eerste volgt een beschrijving van de gesimuleerde groep automobilisten die voor dit onderzoek gebruikt worden. Zoals in het vorige hoofdstuk al beschreven is bestaat deze groep uit 200000 automobilisten die onder te verdelen zijn in goede, gemiddelde en slechte rijders. De claimfrequentie binnen elk van deze groepen is gelijk en wordt bepaald door het eerste, tweede en derde kwartiel van een Gamma(1,10) verdeling. Gekozen is voor de Gamma(1,10) verdeling omdat deze een goede representatie geeft van de claimfrequentieverdeling onder Nederlandse automobilisten. De hockeystick grafiek die bij deze verdeling hoort is in figuur 3.1 weergegeven, het gemiddelde is 1/10 = 0.10 wat neerkomt op gemiddeld eens in de tien jaar een claim en de variantie is gelijk aan 1/102 = 0.01. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8 10

Figuur 3.1: Gamma(1,10) verdeling

De claimfrequenties van de drie te simuleren groepen zijn dan gelijk aan respectievelijk 0.029, 0.069 en 0.139. De omvang van de groepen verhoudt zich als 4:2:1. Dit levert een gemiddelde claimfrequentie van 0.103 op voor de gehele portefeuille en een variantie van 0.012 zodat de verdeling van claimfrequenties in de portefeuille de Gamma(1,10) verdeling benadert. De portefeuille heeft per polishouder gemiddeld ´e´en schade iedere 1/0.103 = 9.71 jaar.

(13)

Van deze drie groepen zal vervolgens gedurende een periode van 30 jaar gekeken worden hoeveel schaden zij veroorzaken. Gekozen is voor 30 jaar aangezien dit lang genoeg is om de effecten van het bonus-malussysteem te meten en tegelijk niet zo lang dat het niet meer relevant is voor praktische doeleinden. Een claimhistorie langer dan 20 jaar is nodig aangezien het bonus-malussysteem dat onderzocht wordt 21 treden heeft. De simulatie gebeurt door middel van een R-script. Ten behoeve van de duidelijkheid wordt een selectie uit het R-script hieronder weergegeven:

labs <- qgamma(1:3/4,1,10) ## quantielen p <- c(1/7,2/7,4/7) ## verhoudingen

rijders <- sample(labs, 200000, replace = T, prob = p) matrix.claims <- matrix(0,200000,30)

for (i in 1:200000) matrix.claims[i,] <- rpois(30,rijders[i])

Een statistisch overzicht van de gesimuleerde claimhistories is weergegeven in figuur 3.2 en tabel 3.1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figuur 3.2: Totaal Aantal Claims

Aantal Claims Frequentie 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Tabel 3.1 Gemiddelde: 3.09 S.D.: 2.17 Minimum: 0 Maximum: 15

3.2 Schadevrije jaren

Na het vorige R-script wordt vervolgens berekend hoeveel schadevrije jaren iedere per-soon heeft opgebouwd volgens de regels van het nieuwe systeem. Voor tweederde van de automobilisten wordt een startklasse van 0 schadevrije jaren genomen, de overige beginnen gelijk verdeeld met −5 of 5 schadevrije jaren. De beginverdeling wordt enigs-zins gespreid om het onderscheidend vermogen van het systeem beter waar te kunnen nemen. Wederom een selectie uit het R-script:

svj <- function(claims) { ## bepaalt het aantal svj voor een claimhistorie bmclass <- 6 + 5 * floor(runif(1,-.25,1.25)) ## spreiding beginverdeling Next <- rbind( ## overgangsmatrix

c(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 21), c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6)) for (i in 1:30) bmclass <- Next[min(claims[i]+1,4),bmclass]

(14)

In tabel 3.2 is de statistische informatie gegeven behorende bij figuur 3.3 over de verde-ling van opbouw in schadevrije jaren na 30 jaar rijden.

−5 −3 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Figuur 3.3: Schadevrije Jaren

Aantal Schadevrije Jaren

Frequentie 0 20000 40000 60000 80000 Tabel 3.2 Gemiddelde: 9.50 S.D.: 6.06 Minimum: −5 Maximum: 15

Wat opvalt is dat de meeste mensen 15 schadevrije jaren hebben opgebouwd, dit zijn de automobilisten die in 30 jaar tijd 0 claims hebben ingediend en de meeste van de mensen met 1 of 2 schaden. Er zijn verder nog kleine pieken te zien bij 12, 6 en 0 schadevrije jaren. De mensen die 3 claims maken hebben 27 jaren kunnen bouwen, mi-nus de boete van 15 geeft dit 12 schadevrije jaren. Zodoende hebben de meeste mensen met 3 claims 12 schadevrije jaren. De redenatie achter de pieken bij 6 en 0 is analoog. In tabel 3.3 is weergegeven hoe de aantallen claims verdeeld zijn over de verschillende categorie¨en schadevrije jaren.

Tabel 3.3 : Kruistabel schadevrije jaren en totaal aantal schaden.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -5 0 0 0 0 1 174 997 1069 659 378 199 84 34 10 2 0 1 -4 0 0 0 0 7 241 1147 1044 605 353 147 54 20 8 3 4 0 -3 0 0 0 0 31 311 1183 969 563 283 110 41 17 3 2 1 0 -2 0 0 0 0 40 362 1253 853 485 223 111 25 8 2 1 0 0 -1 0 0 0 0 50 492 1817 757 361 180 66 22 10 2 0 0 0 0 0 0 0 21 124 4596 1579 661 293 128 36 16 6 3 0 0 0 1 0 0 0 44 1125 2746 1121 564 264 109 32 9 4 3 0 0 0 2 0 0 0 75 673 1546 958 518 198 84 27 10 2 1 0 0 0 3 0 0 0 110 678 1512 856 384 144 46 17 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 156 808 1392 690 307 112 35 5 1 1 0 0 0 0 5 0 0 120 420 1256 2832 513 215 80 16 7 6 0 0 0 0 0 6 0 0 198 628 10580 1495 446 132 61 10 4 3 0 0 0 0 0 7 0 0 275 2847 2931 853 374 113 27 17 4 0 0 0 0 0 0 8 0 0 304 1438 1543 719 260 79 20 5 1 0 0 0 0 0 0 9 0 0 422 1366 1482 536 173 49 12 3 1 0 0 0 0 0 0 10 0 1141 2311 3105 1578 400 133 21 4 1 2 0 0 0 0 0 0 11 0 1052 2250 2836 2989 260 63 22 10 2 0 0 0 0 0 0 0 12 0 1071 2175 12893 914 183 59 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 13 0 1094 4503 1993 431 120 27 7 4 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 1071 2005 1137 271 83 19 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 15 20874 27277 20920 4447 507 102 24 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(15)

De gegevens over het totale aantal claims in 30 jaar en het corresponderende aantal schadevrije jaren worden gebruikt om te beoordelen in hoeverre het aantal schade-vrije jaren de claimfrequentie weergeeft. Verschillende modellen worden in R getest om dit verband te onderzoeken, hierna wordt door middel van een analysis of deviance (ANOVA) gekeken welk model het beste past. In het R-script worden de modellen als volgt geschat:

SVJ.nofactor <- apply(matrix.claims, 1, svj) ## aantal svj per rijder

SVJ.factor <- relevel(as.factor(SVJ.nofactor),6) ## gefactoriseerd met 0 als referentieklasse SVJis15 <- as.numeric(SVJ.nofactor==15)

## vector van nullen met een 1 voor 15 svj g1 <- glm(Total ~ SVJ.nofactor+SVJis15, fam=poisson) g2 <- glm(Total ~ SVJ.factor, fam=poisson)

g3 <- glm(Total ~ SVJ.nofactor+SVJis15+SVJ.factor,fam=poisson)

Het eerste model schat één geometrische stijging voor ieder extra schadevrij jaar waarbij een aparte coëfficiënt wordt geschat voor wanneer een persoon 15 schadevrije jaren heeft opgebouwd:

Ti ≈ exp(βref) × exp(βsvj)svj× exp(β15svj)SVJis15, (3.1)

waar Ti het totale aantal claims in 30 jaar is, de verwachting waarvan wordt bepaald

door exp(βref), exp(βsvj), exp(β15svj) en het aantal schadevrije jaren, ‘svj’. De co¨effici¨ent

voor het aantal schadevrije jaren is dan βsvj. En β15svj is dan de co¨effici¨ent bij de binaire

variabele ‘SVJis15’ die aangeeft of een persoon 15 schadevrije jaren heeft of niet. Verder is exp(βref) gelijk aan het aantal claims van een persoon die 0 schadevrije jaren heeft en

dus niet 15 schadevrije jaren heeft. De in R geschatte co¨effici¨enten van model 1 zijn in tabel 3.4 weergegeven.

Tabel 3.4 : Geschatte co¨effici¨enten bij model 1. Estimate Std. Error exp(Estimate)

βref 1.70 0.01 5.45

βsvj −0.08 0.00 0.93

β15svj −0.96 0.01 0.38

Aangezien de logaritmische linkfunctie wordt gebruikt en het dus een multiplicatief model betreft zijn de co¨effici¨enten βref, βsvj en β15svj beter te interpreteren als gekeken

wordt naar de exponent van de coëfficiënten. De coëfficiënten moeten dan als volgt worden ge¨ınterpreteerd. Een persoon met 0 schadevrije jaren zit in de referentieklasse en maakt gemiddeld exp(1.70)×exp(−0.08)0×exp(−0.96)0 _{= exp(1.70) ≈ 5.47 claims in 30}

jaar tijd. Voor ieder schadevrij jaar dat deze persoon dan verder opbouwt vermindert zijn verwachte aantal claims met een factor exp(−0.08) ≈ 0.92. Dit houdt in dat iemand met 10 schadevrije jaren in 30 jaar tijd gemiddeld exp(1.70) × exp(−0.08)10× exp(−0.96)0 ₌

2.46 claims indient. Het verwachte aantal claims van een bestuurder met 15 schadevrije jaren wordt apart berekend, het is gelijk aan exp(1.70)1× exp(−0.08)15_{× exp(−0.96)}1 ₌

0.63. Dit houdt in dat een persoon met 15 schadevrije jaren naar verwachting 0.63 claims maakt in de komende dertig jaar. De standaardfouten zijn klein, de absolute waarden van de overeenkomstige z waarden overschrijden ruimschoots 2.5. De co¨effici¨enten zijn dientengevolge significant, hetgeen wordt verwacht bij een dermate grote steekproef en

(16)

Het tweede model dat wordt onderzocht schat een aparte parameter voor ieder aantal schadevrije jaren in plaats van alleen voor 15:

Ti ≈ exp(βref) ×

Y

j|xij=1

exp(βj), (3.2)

waar βj de co¨effici¨ent is bij een binaire variabele voor j schadevrije jaren, met j ∈

{−5, ..., 15} en j 6= 0. Het aantal claims van een persoon die 0 schadevrije jaren heeft op-gebouwd is gelijk aan exp(βref), dit is de referentieklasse. De in R geschatte co¨effici¨enten

zijn weergegeven in tabel 3.5.

βref 1.63 0.02 5.12 β−5 0.22 0.04 1.25 β−4 0.19 0.04 1.21 β−3 0.14 0.04 1.15 β−2 0.16 0.04 1.17 β−1 0.13 0.04 1.14 β1 −0.07 0.03 0.93 β2 −0.08 0.03 0.93 β3 −0.11 0.03 0.90 β4 −0.13 0.03 0.88 β5 −0.23 0.02 0.80 β6 −0.28 0.02 0.76 β7 −0.44 0.02 0.64 β8 −0.46 0.02 0.63 β9 −0.50 0.02 0.61 β10 −0.87 0.02 0.42 β11 −0.85 0.02 0.43 β12 −0.73 0.02 0.48 β13 −0.99 0.02 0.37 β14 −1.07 0.02 0.34 β15 −2.04 0.02 0.13

Weer wordt gekeken naar de exp(βj) in plaats van βj. Een bestuurder met 0 schadevrije

jaren zit in de referentieklasse en heeft gemiddeld exp(1.70) ≈ 5.47 claims in 30 jaar tijd. Iemand met weer 10 schadevrije jaren dient gedurende 30 jaar gemiddeld exp(1.70) × exp(−0.87) = 2.29 claims in. Het valt op dat een bestuurder met 15 schadevrije jaren gemiddeld exp(1.70) × exp(−2.04) = 0.71 claims indient volgens het tweede model. De standaardfouten zijn klein, hetgeen weer duidt op significante co¨effici¨enten.

Het derde model dat wordt onderzocht bevat de parameters uit het eerste model met daaraan toegevoegd de parameters uit het tweede model. Het derde model lijkt dus nog meer vrij te kiezen parameters te hebben dan model 2. Dit betekent dat het tweede en automatisch ook het eerste model genest zijn in het derde. Het model ziet er dan als volgt uit:

Ti≈ exp(βref) × exp(βsvj)svj× exp(β15svj)SVJis15×

Y

j|xij=1

exp(βj), (3.3)

met j ∈ {−5, ..., 15} en j 6= 0. De coëfficiënten hebben dezelfde betekenis als eerder in de tekst aangegeven. De in R geschatte coëfficiënten zijn weergegeven in tabel 3.6.

(17)

βref 1.63 0.02 5.12 βsvj −0.08 0.00 0.93 βsvj15 −0.89 0.01 0.41 β−5 −0.16 0.05 0.85 β−4 −0.11 0.04 0.89 β−3 −0.09 0.04 0.92 β−2 0.00 0.04 1.00 β−1 0.06 0.04 1.06 β1 0.01 0.02 1.01 β2 0.08 0.03 1.08 β3 0.12 0.03 1.13 β4 0.18 0.03 1.20 β5 0.15 0.02 1.17 β6 0.18 0.01 1.20 β7 0.09 0.02 1.10 β8 0.15 0.02 1.17 β9 0.19 0.02 1.21 β10 −0.11 0.01 0.90 β11 −0.01 0.01 0.99 β12 0.19 0.01 1.21 β13 0.00 0.02 1.00 β14 NA NA NA β15 NA NA NA

De interpretatie van de coëfficiënten is analoog met die bij de vorige modellen. Een persoon met weer 10 schadevrije jaren dient volgens dit model gemiddeld exp(1.63) × exp(−0.08)10× exp(−0.11) = 2.05 claims in gedurende 30 jaar. Het derde model lijkt meer claims te voorspellen voor een polishouder met 10 schadevrije jaren dan het tweede. Als echter onafgeronde coëfficiënten gebruikt worden voor beide berekeningen dan blijkt dat beide modellen gemiddeld 2.06 claims voorspellen voor een dergelijke polishou-der. Model twee en drie schatten voor ieder aantal schadevrije jaren in feite dezelfde coëfficiënten, dit wordt nader onderzocht door middel van een analysis of deviance. Wat verder opvalt is dat β14 en β15 niet geschat zijn door het model, R geeft NA terug

voor deze parameters. Dit wordt veroorzaakt door multicollineariteit, de covariaten bij parameters 14 en 15 schadevrije jaren kunnen bepaald worden als de andere covariaten bekend zijn. Sommige van de co¨effici¨enten zijn niet significant bij een betrouwbaarheid van 95 procent.

Het eerste model is genest in het tweede model, want het eerste model is gelijk aan het tweede met restricties op de parameters. Het tweede model heeft 18 parameters meer. Daardoor is de residuele deviantie minder dan bij het eerste model. De significantie van dit feit wordt beoordeeld aan de hand van een analysis of deviance in R. De resultaten van deze analyse van de deviantie zijn weergegeven in tabel 3.7.

Tabel 3.7 : ANOVA model 2 ten opzichte van 1.

Model Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi)

1 149997 128218.16

2 149979 127046.68 18 1171.48 0.0000

3 149979 127046.68 0 0.00

Uit de resultaten blijkt dat het tweede model door de toevoeging van 18 extra parameters ten opzichte van het eerste model significant is bij een betrouwbaarheid van 95 procent,

(18)

daardoor verkrijgt over het eerste is dermate groot dat het tweede model significant beter fit. Het eerste model wordt door deze test verworpen. Het derde model schat geen extra parameters ten opzichte van het tweede. Dit vermoeden was er eerder al toen bleek dat beide modellen hetzelfde gemiddelde aantal claims schatten voor de verschillende aantallen schadevrije jaren. De residuele deviatie van het derde model is dan ook exact gelijk aan die van het tweede model.

Het Akaike Information Criterion (AIC) is bij het eerste model 638624 en bij het tweede 636272. Het derde model heeft ook een AIC van 636272, gelijk model twee. Op grond van deze statistiek is het tweede model te prefereren. Dit komt overeen met de uitkomst van de analyse van deviantie. Gesteund door deze resultaten wordt de keuze gemaakt voor het tweede model.

3.3 Bonus-malussysteem

Nu de keuze is gemaakt voor het tweede model wordt ditzelfde GLM model toegepast op het oude bonus-malussysteem. De term bonus-malusklasse wordt gebruikt als het oude systeem wordt bedoeld en schadevrije jaren bij het nieuwe systeem. In tabel 3.8 is de terugvaltabel weergegeven behorende bij het oude systeem.

Tabel 3.8 : Terugvaltabel behorende bij het oude systeem.

Bonus-malusklasse in het volgende verzekeringsjaar Bonus-malusklasse in het huidige verzekeringsjaar percentage korting of toeslag op premie zonder schade met ´e´en schade met twee schaden met drie of meer schaden 14 30 14 9 5 1 13 32.5 14 8 4 1 12 35 13 8 4 1 11 37.5 12 7 3 1 10 40 11 7 3 1 9 45 10 6 2 1 8 50 9 5 1 1 7 55 8 4 1 1 6 60 7 3 1 1 5 70 6 2 1 1 4 80 5 1 1 1 3 90 4 1 1 1 2 100 3 1 1 1 1 120 2 1 1 1

Nu wordt van de 200000 automobilisten die eerder zijn beschreven gekeken in welke bonus-malusklasse zij zullen zitten gegeven hun claimhistorie. De uitkomst hiervan is weergegeven in figuur 3.4 en tabel 3.9.

(19)

De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren — Gijs Hoedemaker 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Figuur 3.4: Bonus−malusklasse Bonus−malusklasse Frequentie 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Tabel 3.9 Gemiddelde: 13.3 S.D.: 1.70 Minimum: 1 Maximum: 14

Wat opvalt is dat er geen pieken te zien zijn maar dat er een breuk plaatsvind bij klasse 8. Dit wordt veroorzaakt door het andere terugvalsysteem dat in het oude systeem gehanteerd wordt. Het tweede model wordt toegepast op dit bonus-malussysteem:

Ti ≈ exp(βref) ×

Y

j|xij=1

exp(βj), (3.4)

met j ∈ {2, ..., 14}. De geschatte coëfficiënten worden weergegeven in tabel 3.10. Tabel 3.10 : Geschatte coëfficiënten bij model 2.

Estimate Std. Error exp(Estimate)

βref 1.79 0.07 5.97 β2 −0.05 0.09 0.95 β3 −0.15 0.08 0.86 β4 −0.15 0.08 0.86 β5 −0.32 0.07 0.72 β6 −0.41 0.07 0.66 β7 −0.48 0.07 0.62 β8 −0.52 0.07 0.59 β9 −0.88 0.07 0.41 β10 −0.92 0.07 0.40 β11 −0.95 0.07 0.39 β12 −0.97 0.07 0.38 β13 −0.99 0.07 0.37 β14 −1.93 0.07 0.14

De interpretatie van de co¨effici¨enten is analoog met die bij de vorige modellen. Een per-soon in bonus-malusklasse 10 dient volgens dit model gemiddeld exp(1.79)×exp(−0.92) = 2.39 claims in gedurende 30 jaar. Een bestuurder in bonus-manusklasse 1 zit in de refe-rentieklasse en heeft gemiddeld exp(1.79) ≈ 5.99 claims in 30 jaar tijd. Iemand met weer 10 schadevrije jaren dient in 30 jaar tijd gemiddeld exp(1.61) × exp(−.71) = 2.46 claims in. Het valt op dat een bestuurder in bonus-malusklasse 14 gemiddeld exp(1.61) × exp(−1.76) ≈ 0.86 claims indient volgens het tweede model toegepast op

(20)

3.4 Vergelijking systemen

Als eerste wordt voor beide systemen gekeken in hoeverre zij de drie groepen automobi-listen met iedere groep zijn eigen claimfrequentie onderverdelenverdelen over de klassen. Dit is weergegeven in figuur 3.5, figuur 3.6 en figuur 3.7.

−5 0 5 10 15

0

50000

100000

150000

Figuur 3.5: Verdeling goede rijders

schadevrije jaren frequentie schadevrije jaren bonus−malusklasse −5 0 5 10 15 0 50000 100000 150000

Figuur 3.6: Verdeling gemiddelde rijders

schadevrije jaren frequentie schadevrije jaren bonus−malusklasse −5 0 5 10 15 0 50000 100000 150000

Figuur 3.7: Verdeling slechte rijders

schadevrije jaren

frequentie

schadevrije jaren bonus−malusklasse

(21)

Om de systemen goed te vergelijken is het bonus-malussysteem opgeschoven zodat 15 de maximale klasse is in plaats van 14. Het valt op dat het nieuwe systeem van schadevrije jaren een duidelijk onderscheid maakt tussen de verdeling van de groepen goed, gemid-deld en slecht. Veel meer dan bij het oude bonus-malussysteem worden de slechte rijders in de lagere klassen onderverdeeld. Het nieuwe systeem van schadevrije jaren heeft ook minder slechte rijders in de hoogste klasse van het systeem. Verder is te zien dat in de catagorie 12 schadevrije jaren de gemiddelde rijder het best vertegenwoordigd is in het nieuwe systeem, voor het oude bonus-malussysteem is dit in geen enkele klasse het geval. Uit de grafieken is op te maken dat het nieuwe systeem van schadevrije jaren een duidelijker onderscheid maakt tussen goede, gemiddelde en slechte rijders. Dit wordt deels veroorzaakt door het strengere terugvalsysteem bij een schade.

De tweede methode waarmee de systemen worden vergeleken maakt gebruik van de coëfficiënten die door het model geschat zijn voor het aantal schadevrije jaren en de bonus-malusklasse. Deze coëfficiënten worden gebruikt om per systeem tot de claimfre-quentie te komen die behoort bij elk aantal schadevrije jaren, dan wel bij elke bonus-malusklasse. In het R-script worden deze claimfrequenties voor beide systemen als volgt bepaald:

f2 <- exp(coef(g2)) la2 <- rep(0,21)

for (i in 1:5) la2[i] <- f2[1]*f2[i+1] la2[6] <- f2[1]

for (i in 7:21) la2[i] <- f2[1]*f2[i] la2 <- la2/30

f4 <- exp(coef(g4)) la4 <- rep(0,14) la4[1] <- f4[1]

for (i in 2:14) la4[i] <- f4[1]*f4[i] la4 <- la4/30

De geschatte claimfrequenties voor beide systemen zijn weergegeven in tabel 3.11 en 3.12.

Tabel 3.11 : Geschatte claimfrequenties in percentages bij aantal schadevrije jaren. −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

24 24 23 23 22 19 18 19 18 17 16 14 13 13 12 09 10 09 08 07 04

Tabel 3.12 : Geschatte claimfrequenties in percentages bij de bonus-malusklassen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

26 25 23 22 21 19 18 17 13 13 12 12 11 06

Vervolgens wordt in het R-script voor iedere automobilist uit de gesimuleerde porte-feuille gekeken welke claimfrequentie de beide systemen voor hem schatten, dit is af-hankelijk van zijn aantal schadevrije jaren in het nieuwe systeem en bonus-malusklasse in het oude. Deze geschatte claimfrequenties worden vervolgens vergeleken met de echte claimfrequentie van de bepaalde automobilist. Deze claimfrequentie kan 0.029, 0.069 of 0.139 zijn voor respectievelijk een goede, gemiddelde of slechte automobilist. Het totale verschil tussen de echte en de geschatte claimfrequentie voor alle automobilisten wordt bepaald door de som te nemen over de kwadraten van het verschil tussen deze claimfre-quenties voor iedere automobilist. Dit wordt voor beide systemen berekend door middel van de volgende R code:

(22)

for (i in 1:200000) fitlab2[i] <- la2[SVJ.nofactor[i]+6] fitlab4 <- rep(0,200000)

for (i in 1:200000) fitlab4[i] <- la4[BMK.nofactor[i]]

data.frame(rijders,SVJ.nofactor,fitlab2,BMK.nofactor,fitlab4)[1:40,] sum((waarg.lab-fitlab2)^2)

sum((waarg.lab-fitlab4)^2)

Uit deze berekeningen komt dat het totale gekwadrateerde verschil tussen de werke-lijke en geschatte claimfrequenties voor het systeem van schadevrije jaren gelijk is aan 610.98 en voor het oude bonus-malussysteem is deze waarde gelijk aan 537.65. Hieruit blijkt dat de geschatte claimfrequenties van het oude bonus-malussysteem dichter in de buurt liggen van de werkelijke claimfrequenties.

3.5 Loimaranta effici¨

entie

Om de efficiëntie van het nieuwe bonus-malussysteem te meten wordt zoals in paragraaf 2.2 is uitgelegd, in dit onderzoek gebruik gemaakt van de Loimaranta efficiëntie. Deze efficiëntie wordt eerst vergeleken voor een claimfrequentie van 0.10. Hierna volgt een grafische vergelijking voor meerdere claimfrequenties tussen de 0 en de 0.5.

Lemaire en Zi(1994) stellen in hun paper een ranglijst op van efficiënte systemen. De efficiëntie berekenen ze voor een polishouder met een claimfrequentie van 0.10. Aange-zien ze aannemen dat in veel van de onderzochte landen de gemiddelde claimfrequentie rond de 0.10 is of minder, hanteren ze deze claimfrequentie als referentiepunt. Nederland staat vierde op de ranglijst, waar Zwitserland bovenaan staat en België elfde. Deze lan-den vergelijken ze speciaal aangezien de systemen van deze lanlan-den niet veel verschillen van dat in Nederland. In tabel 3.13 is weergegeven hoe het bonus-malussysteem voor de overige drie landen is ingericht.

Tabel 3.13 : BM systemen internationaal

Land Klassen Min premie Max premie Na schadevrij jaar Na ´e´en schade

Nederland 21 30 120 +1 −5

Zwitserland 22 45 270 +1 −4

Belgi¨e 23 54 200 +1 −5

De Loimaranta effici¨entie wordt in R als volgt berekend:

Next.bm <- rbind(c(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13, 14,14), c(1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9), c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5), c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)) BM.frac <- c(120,100,90,80,70,60,55,50,45,40,37.5,35,32.5,30)/100 FillP.bm <- function (p) { PP <- matrix(0,nrow=14,ncol=14) for (b in 1:14) for (k in 0:3) PP[b,Next.bm[k+1,b]] <- PP[b,Next.bm[k+1,b]] + p[k+1] return(PP) } Loimaranta.bm <- function(lambda) { b <- c(0,0); lbs <- c(lambda*(1-0.0001), lambda*(1+0.0001)) for (i in 1:2){

(23)

De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren — Gijs Hoedemaker 17 pp <- dpois(0:2, lbs[i]); P <- FillP.bm(c(pp[1],pp[2],pp[3],1-sum(pp))) for (k in 1:10){ P <- P%*%P } stst <- P[14,] b[i] <- sum(stst*BM.frac) } (log(b[2])-log(b[1])) / (log(lbs[2])-log(lbs[1])) }

Van belang voor de efficiëntie bij lage claimfrequenties is het premieniveau dat be-taald dient te worden bij de verschillende klassen. Zwitserland heeft bijvoorbeeld een heel zwaar boetesysteem dat oploopt tot wel 270 procent van de premie in de beginklasse. Mede hierdoor hebben ze het systeem met de hoogste efficiëntie bij een claimfrequentie van 0.10. Het bonus-malussysteem van Nederland deelt ter vergelijking slechts boetes uit tot 120 procent. De Loimaranta efficiëntie van het nieuwe Nederlandse systeem bij een claimfrequentie van 0.10 is 0.466. Met deze efficiëntie staat Nederland dan eerste op de ranglijst van Lemaire en Zi. De hogere efficiëntie bij een claimfrequentie van 0.10 wordt veroorzaakt door de strengere terugvalregels van het nieuwe systeem. Voor de la-gere claimfrequenties van onder de 0.20 geldt dat naarmate de terugvalregels bij schade strenger zijn, de efficintie toeneemt. Dit is terug te zien in figuur 3.8 waar de efficiëntie van het nieuwe systeem hoger is dan die van het oude systeem voor claimfrequenties onder de 0.20. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Figuur 3.8: Loimaranta efficiëntie NL oud en nieuw

Claimfrequenties

Efficiëntie

svj bm

(24)

18 Gijs Hoedemaker — De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Figuur 3.9: Loimaranta efficiëntie landenoverzicht

Claimfrequenties

Efficiëntie

NL svj ZWI BE

Uit figuur 3.9 blijkt dat het Nederlandse systeem van schadevrije jaren voor claim-frequenties lager dan ongeveer 0.1 de hoogste efficiëntie heeft. De top van het Zwitserse en Belgische systeem ligt hoger met respectievelijk een hoogste efficientië van ongeveer 1.0 en 1.5. De hogere efficiëntie van het nieuwe systeem betekent minder waardeover-dracht van goede naar slechte rijders. Er is op deze wijze door het AG gekozen voor een minder collectief systeem.

(25)

Hoofdstuk 4

Conclusie

In deze scriptie is onderzocht in hoeverre het nieuwe systeem van schadevrije jaren dat is voorgesteld door het AG efficiënt is. Om dit te beoordelen zijn twee graadmeters gebruikt. De eerste is de effectiviteit van de karakteristiek schadevrije jaren als verkla-rende waarde voor de claimfrequentie. Hiervoor is gebruikt gemaakt van Generalized Linear Models. De benodigde data zijn gesimuleerd en bestaan uit een portefeuille van 200000 fictieve automobilisten met karakteristieken die ongeveer overeenkomen met die van een Nederlands portefeuille. De tweede graadmeter is de Loimaranta efficiëntie. Deze efficiëntie is voor het nieuwe systeem berekend en vergeleken met het oude systeem en met systemen uit andere landen.

Beirlant et al. (1992) onderzochten in hun paper de relevante factoren die het risico op een claim be¨ınvloeden door te kijken naar datasets uit 1989 van twee grote Belgische autoverzekeringsmaatschappijen. Ze keken onder meer naar de voorspellende waarde van de bonus-malusklasse van een automobilist met betrekking tot de claimfrequentie. In het onderzoek wordt geconcludeerd dat de bonus-malusklasse van een polishouder duidelijk van invloed is op de kans dat hij een of meer claims veroorzaakt. Lemaire en Zi(1994) onderzochten in hun paper onder andere de Loimaranta effici¨entie van dertig bonus-malussystemen. Ze vergeleken de systemen uit verschillende landen voor meerdere claimfrequenties om de systemen beter ten opzichte van elkaar te kunnen beoordelen.

Als het voorgestelde systeem van schadevrije jaren vergeleken wordt met het oude bonus-malussysteem valt het op dat het nieuwe systeem een duidelijker onderscheid maakt tussen goede, gemiddelde en slechte rijders. Het nieuwe systeem verdeelt de slechte rijders meer over de lagere klassen en heeft dan ook minder slechte rijders in de hoogste klassen. Dit wordt ten dele veroorzaakt door de terugval in schadevrije jaren die in het nieuwe systeem groter is. Voor beide systemen is voor iedere klasse geschat wat de verklarende waarde is ten opzichte van de claimfrequentie. Uit deze co¨effici¨enten is per systeem voor iedere klasse de verwachte waarde van de claimfrequentie afgeleid. Vervolgens zijn deze gegevens gebruikt om voor iedere automobilist uit de gesimuleerde portefeuille te bepalen welke claimfrequentie beide modellen voor hem schatten. Deze twee geschatte claimfrequenties, behorend bij het aantal schadevrije jaren en de bonus-malusklasse van de polishouder, zijn vergeleken met zijn werkelijke claimfrequentie. Uit deze vergelijking kwam naar voren dat de geschatte claimfrequenties behorende bij het oude bonus-malussysteem gemiddeld dichter bij de werkelijke claimfrequentie zitten. Het aantal schadevrije jaren voorspelt dus niet beter dan de bonus-malustrede wat de werkelijke claimfrequentie van een bepaalde polishouder is.

De Loimaranta efficiëntie van het nieuwe systeem is berekend voor meerdere claim-frequenties en vergeleken met het zowel oude systeem als de systemen in Zwitserland en België. Uit deze vergelijking kwam naar voren dat het nieuwe systeem efficiënter is dan het oude voor claimfrequenties lager dan ongeveer 0.2 en dat de top voor beide systemen voor beide systemen ongeveer 0.8 is. Dit is terug te zien in figuur 3.4. In fi-guur 3.5 is het nieuwe systeem vergeleken met de systemen in Zwitserland en België.

(26)

Hieruit blijkt dat het Nederlandse systeem van schadevrije jaren voor claimfrequenties lager dan ongeveer 0.1 de hoogste efficiëntie heeft. De top van het Zwitserse en Belgische systeem ligt hoger met respectievelijk een hoogste efficientië van ongeveer 1.0 en 1.5. De hogere efficiëntie voor lage claimfrequenties betekent minder waardeoverdracht van goede naar slechte rijders. Er is op deze wijze door het AG gekozen voor een systeem dat claims in meer afdoende mate bestraft. Wellicht is met betrekking tot de keuze voor dit strengere systeem mede de toenemende individualisering van de Nederlandse samenleving overwogen.

Een aanbeveling voor verder onderzoek zou zijn om het nieuwe systeem van scha-devrije jaren door middel van andere graadmeters op zijn effectiviteit te beoordelen. Er kan bijvoorbeeld gekeken worden naar de optimale retentie, de relatieve stationaire gemiddelde premie of de variatieco¨effici¨ent. Verder is het interessant om het systeem te onderzoeken voor meerdere verschillende premietarieven afhankelijk van het aantal schadevrije jaren aangezien verzekeraars in principe zelf hun premietarieven mogen be-palen.

(27)

Appendix A: R-scripts met

betrekking tot de Loimaranta

effici¨

entie

## Schadevrije jaren

Next.svj <- rbind( ## overgangsmatrix

c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,21), ## 0 claims c(1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,10,10,10,10,10), ## 1 claim

c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10), ## 2 claims c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6)) ## 3+ claims SVJ.frac <- c(120,100,90,80,70,60,55,50,45,40,37.5,

35,32.5,30,30,30,30,30,30,30,30)/100 ## fractie van premie FillP.svj <- function (p) { ## overgangsmatrix met kansen

PP <- matrix(0,nrow=21,ncol=21) for (b in 1:21) for (k in 0:3) PP[b,Next.svj[k+1,b]] <- PP[b,Next.svj[k+1,b]] + p[k+1] return(PP) } Loimaranta.svj <- function(lambda) { b <- c(0,0); lbs <- c(lambda*(1-0.0001), lambda*(1+0.0001)) for (i in 1:2){ pp <- dpois(0:2, lbs[i]); P <- FillP.svj(c(pp[1],pp[2],pp[3],1-sum(pp))) for (k in 1:10){ P <- P%*%P } ## equivalent to P <- P^(2^10) stst <- P[21,] ## bottom row is approximately steady-state db b[i] <- sum(stst*SVJ.frac) ## b(lambda): steady-state premium }

(log(b[2])-log(b[1])) / (log(lbs[2])-log(lbs[1])) }

lambdas <- seq(0, 0.5, .002)

Loimaranta.svj(0.10); NL.new <- lapply(lambdas, Loimaranta.svj) ## Zwitserland Next.ZW <- rbind( c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,22), ## 0 claims c(1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18), ## 1 claim c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14), ## 2 claims c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), ## 3 claims

(28)

22 Gijs Hoedemaker — De effici¨entie van zuivere schadevrije jaren c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6)) ## 4+ claims ZW.frac <- c(270,250,230,215,200,185,170,155,140, 130,120,110,100,90,80,75,70,65,60,55,50,45)/100 FillP.ZW <- function (p) { PP <- matrix(0,nrow=22,ncol=22) for (b in 1:22) for (k in 0:4) PP[b,Next.ZW[k+1,b]] <- PP[b,Next.ZW[k+1,b]] + p[k+1] return(PP) } Loimaranta.ZW <- function(lambda) { b <- c(0,0); lbs <- c(lambda*(1-0.0001), lambda*(1+0.0001)) for (i in 1:2){ pp <- dpois(0:3, lbs[i]); P <- FillP.ZW(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10){ P <- P%*%P } stst <- P[22,] b[i] <- sum(stst*ZW.frac) } (log(b[2])-log(b[1])) / (log(lbs[2])-log(lbs[1])) }

Loimaranta.ZW(0.10); ZW <- lapply(lambdas, Loimaranta.ZW) ## Belgie Next.BE <- rbind( c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,23),## 0 claims c(1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19),## 1 claim c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),## 2 claims c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9),## 3 claims c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,4))## 4+ claims BE.frac <- c(200,160,140,130,123,117,111,105,100, 95,90,85,81,77,73,69,66,63,60,57,54,54,54)/100 FillP.BE <- function (p) { PP <- matrix(0,nrow=23,ncol=23) for (b in 1:23) for (k in 0:4) PP[b,Next.BE[k+1,b]] <- PP[b,Next.BE[k+1,b]] + p[k+1] return(PP) } Loimaranta.BE <- function(lambda) { b <- c(0,0); lbs <- c(lambda*(1-0.0001), lambda*(1+0.0001)) for (i in 1:2){ pp <- dpois(0:3, lbs[i]); P <- FillP.BE(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10){ P <- P%*%P } stst <- P[22,] b[i] <- sum(stst*BE.frac) } (log(b[2])-log(b[1])) / (log(lbs[2])-log(lbs[1]))

(29)

}

Loimaranta.BE(0.10); BE <- lapply(lambdas, Loimaranta.BE) ##plots

##figuur 3.4

plot(lambdas,NL.old,xlab="Claimfrequenties",ylab="Efficientie", main="Figuur 3.4: Loimaranta efficintie NL oud en nieuw",type=’n’) lines(lambdas,NL.old,lty=2,lwd=3)

legend("topleft", c("svj","bm"), lty=c(1,2),lwd=3) lines(lambdas,NL.new,lwd=3)

##figuur 3.5

plot(lambdas,NL.new, ylim=c(0,1.5), xlab="Claimfrequenties",ylab="Efficientie", main="Figuur 3.5: Loimaranta efficintie landenoverzicht",type=’n’)

lines(lambdas,NL.new,lwd=3)

legend("topleft", c("NL svj","ZWI","BE"), lty=c(1,2,3),lwd=3) lines(lambdas,ZW,lty=2,lwd=3)

(30)

Bibliografie

ASTIN Groep Nederland (1982), New Motor Rating Structure in the Netherlands: Ac-tuarial, Statistical and Market Aspects: Report of the Study.

Beirlant, J., V. Derveaux, A. De Meyer, M.J. Goovaerts, E. Labie, en B. Maenhoudt (1992), “Statistical risk evaluation applied to (Belgian) car insurance.” Insurance: Mathematics and Economics, 10, 289–302.

Denuit, M. en J. Dhaene (2001), “Bonus-malus scales using exponential loss functions.” Bl¨atter der DGVFM, 25, 13–27.

Denuit, M., X. Mar´echal, S. Pitrebois, en J. Walhin (2007), Actuarial modelling of claim counts: Risk classification, credibility and bonus-malus systems. Wiley.

Kaas, R., M.J. Goovaerts, J. Dhaene, en M. Denuit (2008), Modern Actuarial Risk Theory—Using R, second edition. Springer.

Lemaire, J. (1995), Bonus-malus systems in automobile insurance. Springer.

Lemaire, J. en H. Zi (1994), “A comparative analysis of 30 bonus-malus systems.” ASTIN Bulletin, 24, 287–309.

R Development Core Team (2012), R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, URL http:

//www.R-project.org/. ISBN 3-900051-07-0.

Rispens, H.P., B.M. Kling, X.P.M. Urlings, C. Slijkhuis, H.J. Van de Laar, E.T. Wierda, E.J. Steenbergen, en C.A.M. Van Iersel (2013), “Zuivere schadevrije jaren: een uni-forme terugvaltabel.”