Hoofdstuk 2:
Periodieke bewegingen.
V_1. a. A(, 0) 1 2 ( , 2) B 1 2 ( , 2) C en D( , 0) b. 2sinx1 1 2 1 1 1 6 6 6 sin 1 x x x periode is 2 : 5 1 1 6 , 6 16 x x en x c. g x( ) 2sin(x2)d. naar rechts of naar links. V_2. a. Bf : 1,3
b. periode: 2 1 2 en amplitude: 2 c. g t( ) 1 2cos( t 3) 1 2cos(t3) d. 2 1 2 b 4 b V_3. a. b. c. V_4. a. De evenwichtsstand is 3 5 2 1 d , de amplitude is 3 5 2 4 a en de periode is 6.b. Voor x 2 ligt de grafiek op de evenwichtsstand. De standaardgrafiek is dus 2 naar links verschoven. Dus c 2.
c. 2
6
( ) 1 4sin ( 2)
f x x
d. Amplitude, evenwichtsstand en periode blijven gelijk. Voor de horizontale verschuiving moet ju nu kijken naar het maximum. Van evenwichtstand naar het maximum is een kwart periode. Dus is de standaardgrafiek 1
2 naar links verschoven: g x( ) 1 4cos26(x12)
V_5.
a. De periode van f is 2 1
4 2 en de periode van g is 23 23
b. De gemeenschappelijke periode van f en g is 2 .
c. f t( )g t( )
Voer in: y1 3sin 4x en y2 2sin 3x. Intersect: x 0 x0,61 x1, 41
2, 27 4, 01 4,87 5,67 2
x x x x x x
d. Op een interval van lengte 2 heeft de vergelijking f t( )g t( ) 9 oplossingen. Dus op het interval
4 ,80
heeft de vergelijking 842 8 1 337 oplossingen. x y 0,5 1,5 2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3
periode amplitude evenwichtsstand bereik
1 4 ( ) 3sin f t t 8 3 y0
3,3
( ) 5 12 cos 20 g t t 1 10 12 y5
7 ,17
1 1 2 3 ( ) 2 sin ( 1) h t t 6 1 2 y 2
2 , 112 12
e. De periode van h is 1 3 2 6 en die van k is 1 5 2 10
. De gemeenschappelijke periode van h en
k is 30. Op het interval
0,30
zijn er 6 oplossingen. Op het interval
45,1500
zijn er dus1545 30 6 309 oplossingen. V_6. a. 1 1 1 2 2 2 '( ) 2 cos cos f t t t b. g t'( ) 2 1 3sin 2( t 1) 6sin 2(t1) c. h t'( ) 1 sintsint d. k t'( ) 2 cos(1 2 ) t 2 cos(1 2 ) t e. l t'( ) 2 3cos 2t sint 6sin cost 2t
f. p t'( ) 1 cos t t sint cost t sint V_7. a.
1 2 1 2 1 2 0 02sinx dx 2cosx 2cos 2cos 0 1
b.
1 2 1 2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 0sin 2x dx cos 2x cos cos0 1
c. 1
1
1 1 2 2 2 2( 1 cos x dx) x 2sin x ( 2sin ) ( 2sin( )) 2 4
1.
a. P0(2, 0)
b. mode rij 4 par enter y=
2
1T 2 2
x t t en 3
1T 4
y t t (tx) En nu 2nd trace (calc) value:
1(1, 3) P , P2(2, 0) en 3(5,15) P c. d. y0 3 2 0 2 2 4 0 ( 4) 0 0 2 2 (2, 0) (10, 0) (2, 0) t t t t t t t P P P 2. a. b. y0 3 2 0 0 1 4 4 0 4 (1 ) 0 0 1 1 (2,0) (0,0) (0, 0) t t t t t t t P P P 3.
a. x(t) is een dalparabool met top (0, 1): x 1 en y(t) is een bergparabool met top (1,5; 6,25): 1
4
6
y
b. zie de grafiek van K hiernaast.
c. x is minimaal –1 als t0 : (0) 4y P0( 1, 4) d. y is maximaal 1 4 6 als 1 1 1 2 2 4 1 : (1 ) 1 t x 1 2 1 1 4 4 1 (1 , 6 ) P e. t2 3t 4 t2 1 f. 2t2 3t 5 0 1 2 1 2 1 1 1 2 4 4 1 2 (0, 0) (5 , 5 ) ABC formule t t P en P 4. a.
b. x(t) is een dalparabool met top (1, -1). De kleinste waarde die x kan aannemen is –1.
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 t -2 -1 0 1 2 3 x -6 0 2 0 -6 -16 y 24 0 0 0 -24 -96 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -4
c. '( ) t t t(1 ) y t e te e t 1 1 '( ) 0 0 1 1 t e y t e t y e d. x3 2 2 3 1 2 3 2 3 ( 3)( 1) 0 3 1 (3) 3 ( 1) e t t t t t t t t y e y
e. Als t grote negatieve waarden aanneemt wordt de y-coördinaat vrijwel gelijk 0 en de x-coördinaat groot positief. Het punt ligt dan rechts, net onder de x-as.
5. a. x t( ) 0 ln 0 0 ln 0 1 (1) 0 t t t t t y b. x t'( ) t 1 lnt 1 lnt t y t'( ) ( 1)t 1 lnt t 1 '( ) 0 ln 1 x t t t e '( ) 0 1 y t t x(t) is minimaal 1 e y(t) is minimaal 0. c. 1 2 y x 1 2 1 2 1 2 2 0 ( 1)ln ln ( 1) ln 0 1 ln 0 2 1 (2ln 2, ln 2) (0, 0) t t t t t t t t t t P en P
d. Ja de krommen zijn gelijk, de kromme M wordt 2x zo snel doorlopen. 6. a./b. y0 c. x0 0 3sin 0 sin 0 0 (2, 0) (0,0) t t t t P en P 1 cos 0 cos 1 (0,0) t t P x y 1 2 3 4 -1 2 4 6 8 -2
7. a. A(6,5) : De helling van OA is 5 6. b. B1,5(1 , 2) :78 De helling van OB is 7 8 2 1 15 1 1 .
c. K1,01(0, 020301; 0,0302) :De helling van OK is ongeveer 1,49.
d. K1,001(0,002; 0,003) :De helling van OK is ongeveer 1,5.
8. a. b./c. dx sint dt en dy t dt 2 sin 2 (2) 2, 20 dy dx 4 sin 4 (4) 5, 29 dy dx d. x1 cos 1 0 t t (periode 2 ) (0) (0) 0 dx dy dt dt
De helling in het punt P is niet te berekenen, omdat voor die waarden van t dy 0 dt en 0 dy dt . 9. a. dx 2t dt en 1 2 1 2 1 2 t t (2 ) t dy t e t e t t e dt b./c. dx 0 dt 0 dy dt 2 0 0 t t (0) 0 (0) 0 x en y Keerpunt: (0, 0) d. 0,0054 0,002 (0,001) 2,71 dy dx 10.
a. dx sint 2sin cost t
dt en
2 2
cos (1 cos ) sin sin cos cos sin dy
t t t t t t t
dt
b. Horizontale raaklijn: Verticale raaklijn:
2 3 1 3 2 2 1 2 1 3 3 0 1 0
: cos cos sin
: 0 1 (0, 0), ( 0,75;1,30) ( 0,75; 1,30) dy dt Voer in y x x x zero x x x P P en P 1 3 2 3 1 1 2 3 3 0 1 0
: sin 2sin cos
: 0 1 (0, 0), (0, 25; 0, 43), ( 2, 0) (0, 25; 0, 43) dx dt Voer in y x x x zero x x x x P P P en P c. dx(0) dy(0) 0 dt dt (0,001) 0,002 dy dx x y 1 2 -1 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 t=0
11.
a. 0 x 2 en 1 y 3
b. zoom optie 5 (ZSquare): cirkel c. 2 x 4 en 4 y 6
d. periode 2 .
12.
a. periode x: 2
2 periode y: 21 2 De periode van K is 2 .
b. Met de x-as: met de y-as:
1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 1 2 0 1 2cos 0 2cos 1 cos 1 (1 3, 0) (1 3, 0) y t t t t t P en P 3 3 4 4 1 2 3 4 1 0 1 sin 2 0 sin 2 1 2 1 : (0,1 2) (0,1 2) x t t t t periode P en P c. Vermoedelijk in (1, 1): 1 2 1 1 sin 2 1 sin 2 0 2 0 2 0 ( : ) x t t t t t t periode 1 1 2 2 1 1 2cos 1 2cos 0 cos 0 1 ( : 2 ) y t t t t t periode Op de tijdstippen 1 2 t en 1 2 1
t snijdt de kromme zichzelf in (1, 1).
13. a. y2x1 b. y t( ) 1 2cos 2 t 1 2 ( )x t 1 x 1 en 1 y 3 c. y t( ) sin 2t(sin )t 2 ( ( ))x t 2 d. 1 x 1 Df : 1,1
14. a. x0 c. y0 1 2 1 2 0 3sin 2 0 sin 2 0 2 0 2 0 ( : ) (0, 2), (0, 2), (0, 2), t t t t t t periode P P P 1 1 5 6 2 6 1 1 2 2 1 1 2 6 2 3 1 1 2 2 2cos3 0 cos3 0 3 3 1 ( : ) (1 3, 0), (0, 0), ( 1 3, 0) t t t t t t periode P P P 1 2 1 (0, 0),... P 1 1 6 2 1 2 1 (1 3, 0), 1 (0, 0) P P b. periode x: 2 2 periode y: 2 2 2 3 De periode van K is 2 . x y 1 2 3 4 -1 1 2 315. a. periode x: 2 1 2 periode y: 2 2 De periode van K is 2 . b. dy 4cos 2t 0 dt 5sin 0 dx t dt 1 1 2 2 3 1 4 4 cos 2 0 2 2 1 ( : ) t t t t t periode sin 0 0 ( : 2 ) t t t periode Horizontale raaklijn: dy 0 dx 0 dt dt In de punten: 1 3 1 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( 2 2, 2) (2 2, 2) (2 2, 2) ( 2 2, 2) P P P P Verticale raaklijn: dx 0 dy 0 : dt dt P0( 5, 0) en P(5, 0) c. x0 1 1 2 2 1 4 1 4 2 5 2 5 5cos 0 cos 0 1 ( ) (1 ) t t t t dy dy en dx dx De raaklijnen zijn: 4 4 5 5 y x en y x
d. De figuur wordt een kwart slag gedraaid. 16.
a. periode x: 2
1 2 periode y: 22 De periode van K is 2 .
b. Voor de top geldt: dy 0 dx 0 dt dt 2sin 2 0 2 0 2 t t t sin 0 0 ( : 2 ) t t t periode 1 1 2 2 1 2 1 0 ( : ) (1, 2) (1, 2) t t periode P en P
c. Voor de keerpunten moet gelden: dy 0 dx 0
dt dt : P0(2, 0) en P(0, 0) d. dy(0,001) 4 en dy( 0,001) 4 dx dx 17. a. periode x: 1 4 2 8 periode y: 2 1 2 De periode van K is 8 . b. 1 1 4cos4 dx t dt en 2sin dy t dt : 1 8 0 2 ( ) 0 dy dx c. dy 0 dx 0 dt dt x y 1 2 3 1 2 3 -1
1 1 0 2 5 2 2sin 0 sin 0 0 ( : 2 ) (0, 2), ( 2, 2), ( 2, 2) t t t t periode P P P 1 4 1 1 1 1 4 2 4 2 cos 0 1 2 6 t t t t t
d. De coördinaten van de keerpunten zijn: P2(1, 2) en P6( 1, 2)
18.
a. Met de x-as: y0 Met de y-as: x0
1 1 2 2 3 1 1 12 12 3 2cos 6 0 cos 6 0 6 6 1 ( : ) t t t t t t periode 0 3sin 0 sin 0 0 ( : 2 ) (0, 2) t t t t periode P 1 3 5 12 12 12 1 3 5 12 12 12 1 2 1 2 1 1 1 (0,78;0), (1 2;0), (2,90;0) ( 0,78;0), ( 1 2;0), ( 2,90;0) P P P P P P b. dx 3cost 0 dt 12sin 6 0 dy t dt 1 1 2 2 cos 0 1 ( : 2 ) t t t periode 1 1 6 3 6 0 6 0 ( : ) t t t t periode Keerpunten als 1 1 2 12 0 0 : (3, 2) ( 3, 2) dy dx P en P dt dt
c. De periode van x is voor alle krommen 2 .
De periode van y1 is 21 2: De periode van K1 is 2 .
De periode van y2 is 22 : De periode van K2 is 2 .
De periode van y3 is 23 23 : De periode van K3 is 2 .
d. De krommen met een even parameter hebben keerpunten, en die met een oneven parameter niet.
e. 6 bij 4. 19.
a. periode x: 2
2 periode y: 23 32 De periode van K0 is 2 .
b. Het startpunt ligt ergens anders. c. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as. d. Niet echt duidelijk te zien.
20. a. periode x: 1 3 2 6 periode y: 2 2 3 3 De periode van K3 is 6 .
b. Op het interval van
2 30, is de y-coördinaat één keer maximaal. In de periode van K3
passen 2 3
6 9
intervallen. Dus 9 raakpunten met de lijn y2.
Als b2 zijn er slechts 3 raakpunten met de lijn y2. De kromme heeft in dat geval twee keerpunten.
c. De linker kromme heeft geen keerpunten, dus is b oneven. Verder zijn er 15 raakpunten met de lijn y2. Voor de periode van y (p ) moet gelden: 6 2
5
15
p p . Hieruit volgt dat 5
b .
De kromme in het rechter plaatje heeft twee keerpunten; b is even. Er zijn 7 raakpunten, maar die worden twee keer doorlopen (op de keerpunten na), dus ‘eigenlijk’ 12 raakpunten. De periode van y is dan 6 1
12 2. Dus b4. 21. a. periode x: 2 1 2 periode y: 1 2 2 4 De periode van K is 4 .
b. Vermoedelijke snijpunt ligt op de x-as:
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 0 cos 0 1 3 ( : 4 ) ( 0,84; 0) ( 0,84; 0) y t t t t t periode P en P c. Vermoedelijke keerpunten (1, 1) en (1, -1). 1 2 1 2 1 2 1 cos 1 0 0 ( : 4 ) (0) sin 1 ( : 2 ) y t t t periode x a a periode 1 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 ( : 4 ) (2 ) sin(2 ) 1 2 y t t t periode x a a 1 2 1 ( : 2 ) a periode 22.
a. De kromme snijdt zichzelf waarschijnlijk in (0, 1).
1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 0 1 0 (1 2cos )sin 0 cos sin 0 1 0 (0,1), (0,1), (0, 3), (0,1) x t t t t t t t t P P P P
b. dx (2 2cos ) cost t 2sin sint t
dt 2 3 ( ) 0 dx dt (2 2cos ) sin 2sin cos
dy t t t t dt 2 3 ( ) 0 dy dt Voor 2 3
t heeft de kromme een keerpunt: 2 3
( 0,001) 3 dy
dx
c. Voor grote waarden van a is x t( )asint en y t( )acost.
2 2 2sin2 2cos2 2(sin2 cos )2 2
x y a t a t a t t a : Een cirkel met straal a.
x y 1 2 -1 -2 1 2 3
23.
a. Als n even is is zowel de x-coördinaat als de y-coördinaat positief. De kromme ligt alleen in het eerste kwadrant. Als n oneven is ligt de kromme rond de oorsprong.
b. De krommen komen steeds dichter bij de oorsprong te liggen.
Zowel 1 cost1 als 1 sint1. Dan geldt er ook 1 cosnt1 en 1 sinnt1. En
deze laatste worden steeds kleiner naarmate n groter wordt. 24. a. dx 0 dt 1 1 2 2 2cos 0 1 ( : 2 ) t t t periode
De kromme heeft daar vermoedelijk een verticale raaklijn. (mits dy 0 dt ) b. dy 0 dt 1 2 3 3 3sin 3 0 3 0 3 0 ( : ) t t t t t periode
c. Pas in de driehoek de stelling van pythagoras toe.
d. 1 2 2
3
( ) 1 0 1
v
e. Omdat in een keerpunt geldt: dy 0 dx 0 dt dt 25. a. dx( ) 3cos 3 dt en ( ) 2sin 2sin 2 0 dy dt b. 1 12 2 1 3 2 2 v( ) 1 0 1 26. a. dx 0 dt 0 dy dt
2 cost2 cos 2t0 2sint2sin 2t 0
Voer in: y12 cosx2 cos 2x Voer in: y1 2sinx2sin 2x
Zero: 1 2 3 13 x x x Zero: 1 2 3 3 0 1 2 x x x x x 1 3 (2,60;1,5) P b. 2 3 1 (0; 3) ( 2, 60;1,5) P en P c. 1 2 3 3 ( 0,001) 0,58 (1 0,001) 0,58 dy dy en dx dx d. 1 2 2 2 ( ) ( 2) ( 2) 2 2 v x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
27. a. x-as: y0 y-as: x0 3 3 4 4 1 4 1 1 1 1 4 2 4 2 3 3 4 4 1 1 2 1 2 2cos( ) 0 1 1 (1 2, 0) ( 1 2, 0) t t t t t P en P 0 3sin 0 sin 0 0 (0, 2) (0, 2) t t t t P en P b. dx 3cost 0 dt 1 4 2sin( ) 0 dy t dt 1 1 2 2 cos 0 1 t t t 1 1 4 4 1 1 4 4 0 1 t t t t Horizontale raaklijn in 1 1 4 4 1 1 2 1 2 (1 2, 2) ( 1 2, 2) P en P Verticale raaklijn in 1 1 2 (3, 2) 12 ( 3, 2) P en P c. x3sin( )t en 1 4 2 cos( ) y t d. V(2) ( 1, 25) 2 ( 1,87)2 2, 25 28.
a. 4 punten met een horizontale raaklijn en 2 punten met een verticale raaklijn. b. dy sin (2cost t 1) (cost 1) sint 4sin cost t sint 0
dt 1 4 1 1 0 1,32 8 4,97 8 sin (1 4cos ) 0 sin 0 cos 0 1,32 2 1,32 4,97 (0, 0), (0, 2), (2,90; 1 ), ( 2,90; 1 ) t t t t t t t t P P P P c. dx 3cost 0 dt 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 (1 ) (1 ) 1 t t dy dy v en v dt dt d. y0 1 2 2 1 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 (cos 1)(2cos 1) 0 cos 1 cos 0 1 (0) 3 0 3, ( ) ( 1,5) (1 3) 3 (1 ) ( 1,5) ( 1 3) 3 t t t t t t t v v en v 29. a. 2 x 2 en 1 y 1 b. periode x: 2
1 2 periode y: 22 De periode van K is 2 .
c. dx 2sint 0
dt 2cos 2 0
dy
t
0 t t 1 1 2 2 3 1 4 4 2 2 1 ( : ) t t t t periode Horizontale raaklijn: 1 3 1 3 4 ( 2,1), 4 ( 2, 1), 14 ( 2,1) 14 ( 2, 1) P P P en P Verticale raaklijn: P0(2, 0) en P( 2, 0) d. x0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2cos 0 1 ( ) 1: (1 ) 1: t t t dy dy y x en y x dx dx
e. In de keerpunten heeft x een uiterste waarde en y een minimale waarde: (-2, -1) en (2, -1) 30. a. x0 b. y0 1 1 6 6 1 3 1 1 1 1 3 2 3 2 1 1 6 6 1 1 2 1 2 2cos( ) 0 1 1 (0, 3) (0, 3) t t t t t P en P 1 1 2 2 1 2 0 1 sin 2 0 2 0 2 0 ( : ) (1, 0), ( 3, 0), ( 1, 0), ( 3, 0) t t t t t periode P P P P c. 1 3 2sin( ) dx t dt en 2cos 2 dy t dt 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( 1) ( 2) 5 dx dy en dt dt v 31.
a. Teken x als functie van t en y als functie van t:
straal van cirkel 1 is 10: A10 Middelpunt (0, 14): Dx 0 en Dy 14
Periode is 2 : B1 Als C0 is het beginpunt (8, 14). Nu is dat (-8, 8); dat is
1 8 1
2 6
2 ( tan ) 3,785 .
b. B draait twee keer zo snel als A en gaat rechtsom. c. x t( ) 5cos(2 t0,644) 12 ( ) 5sin(2 0,644) 5 y t t d. y0 1 2 5sin(2 0,644) 5 0 sin(2 0,644) 1 2 0,644 2 2, 214 1,107 (1,107) 10 t t t t t dx dt e. v10 x y 1 2 -1 -2 1 2 -1 -2 x y 0,5 1,5 2 5 10 -5 -10 -15 -20 y(t) x(t)
T_1. a. y0 b. x0 3 2 0 2 2 4 ( 4) 0 0 2 2 ( 5, 0), (7, 0), ( 9, 0) t t t t t t t P P P 2 1 5 4 5 ( 5)( 1) 0 1 5 (0, 3), (0,105) t t t t t t P P c. dx 2t 4 0 dt 2 t
x kan alle waarden aannemen groter of gelijk aan -9. d. y(t) is een derdegraads functie. Het bereik van een
derdegraads functie is . e. T_2. a. De keerpunten zijn (8, 5) en (8, -5) 1 1 2 2 1 2 0 1 8 cos 4 1 4 0 0 ( : ) (8, 0), (8, 5), (8, 0), (8, 5) x t t t periode P P P P
b. Alleen als voor die t-waarden geldt: dx 0 dt . c. 15cos3 32sin 4 dy t dx t en 1 2 (1 0,001) 0,35 dy dx T_3. a. sintsin 2t1
Voer in: y1sinxsin 2x en y2 1 intersect: x 12 x2,79 1
2
( ) 1
y : op tijdstip 1 2
t gaat de kromme door het punt (1, 1).
1 2 1 1 2 1 2 2 sin 2sin ( ) cos 2cos dy dx b. x0 zero: 1 2 3 3 0 1 t t t t 1 2 3 3 0(0, 0), (0,1), (0, 2) 1 (0,1) P P P en P
c. Voor de snijpunten met de y-as: zie opgave b. Snijpunten met de x-as: y0
Voer in: y1cosxcos 2x zero: x 0 x 32 x131
2 1 3 3 0(0, 0), ( 3, 0) 1 ( 3, 0) P P en P d. dx cost 2cos 2t dt en sin 2sin 2 dy t t dt e. 1 2 2 2 (1 ) 2 1 5 v x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 -8 -10 20 40 60 80 100 -20
T_4.
a. y x b. y x c. 1 1
2 : cos( 2 ) sin
a t t
T_5.
a. 4 x 4 en 2 y 2. De afmetingen van de rechthoek is 8 bij 4.
b. dx 0 dt (0) 6cos3(0 ) 0 dy a dt en ( ) 6cos3( ) 0 dy a dt 4sin 0 0 t t t 1 1 2 2 1 1 2 6 2 3 cos( 3 ) 0 3 3 1 ( : ) a a a a a per 1 1 2 2 1 1 2 2 5 1 2 6 2 3 3( ) 3( ) 1 3 2 3 1 ( : ) a a a a a a per Voor 1 1 5 6 , 2 6
a a en a heeft de kromme twee keerpunten. c. dx(5) 3,84 dt en (5) 5,67 dy dt 2 2 (5) (3,84) (5, 67) 6,84 v d. dy(0,001) 4,5 dx en ( 0,001) 4,5 dy dx T_6.
a. met de x-as: y0 met de y-as: x0
3 2
2 1
4
1 1
2 2
4sin sin sin (4sin 1) 0 sin 0 sin 0 sin sin t t t t t t t t t t 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2cos 0 1 (0, 3) (0, 3) t t t P en P 1 5 1 5 6 6 6 6 1 1 t t t t 1 5 6 6 0(2, 0), ( 3, 0), ( 3, 0), ( 2, 0),... P P P P b. x1 1 3 ( ) 0 y 1 2 1 2 3 3 2cos 1 cos 1 t t t t 3 1 1 3 3 1 1 2 2 4sin ( ) sin( ) 0 1 3 3 0 3 a a a
c. De kromme snijdt de y-as als 1 1
2 12 t t 1 2 ( ) 4 0 4 y a a 1 2 (1 ) 4 0 4 y a a d. y0 3 2 2 1 4 2 1 4
4sin sin sin (4sin ) 0 sin 0 sin 0 sin t a t t t a t t a t t t a
Er zijn 2 oplossingen als 2 1 4
sin t a geen oplossingen heeft (a0 of a4) of precies de twee oplossingen t 0 en t (a0). Er zijn 3 oplossingen als a4. In alle andere gevallen zijn er 4 oplossingen.
x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 -1 -2 -3
