Examenvragen Warmte- en Massaoverdracht
1. Bepaal de oplossing voor 2-dimensionele stationaire geleiding in een rechthoekig lichaam, met als randvoorwaarden: 3 zijden op een zelfde temperatuur, de 4de zijde op een andere. Schets ook de
fluxlijnen en de isothermen. Oplossing met de methode der scheiding der veranderlijken. Bespreek de uitbreiding voor andere randvoorwaarden: wanden op verschillende temperatuur, geïsoleerde
wanden, generatieterm.
We schrijven eerste de energiebalans uit voor een volume-element:
(hoeveelheid warmtegeleiding aan het randoppervlak) + (hoeveelheid gegeneerde warmte in het volume) = (energie-inhoudverandering in het volume-element)
p T k T g C t
We bekijken het stationaire geval T 0 t
en in eerste instantie het geval zonder generatieterm (Laplace):
we moeten dus volgende vergelijking oplossen: T 2T2 2T2 22T 0
x y z
Beschouw rechthoekig lichaam waarbij de warmtegeleiding significante componenten heeft in de x- en y-richting.
2 2 2 2 T T 0 x y
0 0 x 0 x L T T y 0 y H: T T f x
2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T Tals T een oplossing is, geldt : 0
T T T T
x y
T T is ook oplossing: 0
x y
T T
als T een oplossing is, geldt: 0
x y
We lossen dit probleem op door de volgende 2 situaties te superponeren:
1) 0 0 x 0 x L T T oplossing: T T x,y y 0 y H 2)
x 0 x L T 0 oplossing: T T' y 0 y H: T f x (Beide optellen geeft de gezochte oplossing => we moeten 2) volledig oplossen) Dus het probleem is herleid naar het volgende:
y x L H T=T0 0 T=T0 T=T0 T=T0+f(x)
2 2 2 2 T T 0 x y
met als randvoorwaarden:
0 x 0 x L T T y 0 y H: T f x We proberen als oplossing: T X x Y y
Invullen in de differentiaalvergelijking geeft: X''Y XY'' 0 X'' Y'' a of +b2 2
X Y
(We zullen verder werken met –a² omdat je er niet komt met een positieve constante, zoals later zal blijken)
(1) is de vergelijking van een harmonische oscillator, met als oplossing: X C sin ax 1
C cos ax2
(2) is de vergelijking van een gemodelleerde harmonische oscillator, met als oplossing:
ay ay
3 4 3 4
Y C' e C' e C sh ay C ch ay
=> T XY C sin ax1
C cos ax2
C sh ay3
C ch ay4
Constanten bepalen via randvoorwaarden, MAAR er zijn 5 constanten en maar 4 randvoorwaarden!
2 1 3 4 x 0 : T 0 C 0 T C C sin ax sh ay y 0 : T 0 C 0 Stel C=C1C3 => 2 onbekenden en 2 randvoorwaarden
x L : T 0 Csin aL sh ay 0 y
sin aL
0 (want C=0 is triviaal: overal = 0)aL n a n
L
Als we nu met +b² hadden gewerkt, bekwamen we: sh(aL)=0, maar dit kan enkel als L=0 (behalve in de complexe analyse) en dus voldoen we dan niet aan de randvoorwaarden. (Omdat sh geen periodieke functie is in IR)
n n n T C sin x sh y voor n 1,2,... L L
Een willekeurige oplossing is dan: n n 1 n n T C sin x sh y L L
We leggen nu op de 4de zijde een constante op:
1 0 y H, x : T T T T n n 1 n n H T C sin x sh x L L
Beide leden vermenigvuldigen met sin m x L en integreren: L L n n 1 0 0 m x n x m x n H
Tsin dx C sin sin sh dx
L L L L
Hierin geldt: L L 0 0 L L 0 0 x x cos n m cos n m n x m x L L sin sin dx dx L L 2 1 L x 1 L xsin n m sin n m 0 als n m
2 n m L 2 n m L
=> de enige term die overblijft in het rechterlid is de term waar n=m
L L 2 m 0 0 m x m x m H Tsin dx C sin sh dx L L L
2 2 2 2 2 2 X'' a X'' a X 0 1 X'' b X 0 X ofY'' a Y'' a Y 0 2 Y'' b Y 0
Y
y x L H T1- T0 0 0 0 T1- T0 = y x L H 0 0 0 0 T1- T0 + y x L H T1- T0 0 0 0 0 x L H T1 0 T0 T0 T1 y x L H T0 0 geïsoleerd T0 T0 waarin:
L L 0 0 L L 2 0 0 0 als m even is m x L m x Lsin dx cos 1 cos m 2L
L m L m als m oneven is
m 2m x
1 cos
m x L L L L
sin dx dx sin 2m sin 0
L 2 2 2 2m 2
m m L m H 0 C sh als m even is 2 L 2L L m H T C sh als m oneven is m 2 L m 4 T C m oneven m H m sh L
0 2n 1 sh y 4 T 1 2n 1 L T x,y sin x 2n 1 2n 1 L sh H L
Andere randvoorwaarden: Wanden op verschillende temperatuur: superpositie van vorige oplossing, samen met een rotatie/inversie en translatie oorsprong.
bv.
Geïsoleerde wanden: de randvoorwaarde wordt dan:
b T 0 n T-profiel: Generatieterm?
De vergelijking die we nu moeten oplossen is deze: k T g 0 2T2 2T2 g k x y
we lossen dus eerst de homogene op (dezelfde oplossing als hierboven) nadien zoeken we een particuliere oplossing
lineaire combinatie van beide geeft ons de oplossing
De oplossing van dit probleem levert ook de oplossing voor een parallellogram: we moeten enkel een assentransformatie doorvoeren, nl. het draaien van de y-as.
2. Bepaal de oplossing voor niet stationaire warmteoverdracht in een vlakke structuur met breedte 2L met een plotse verandering van de temperatuur aan de kanten. Schets tevens de isothermen. Geef het verband met de Heisslergrafieken. Bespreek de uitbreiding naar meer dimensies:
productmethode.
Beschouw een vlakke plaat of muur met dikte 2L, waarvan de randtemperatuur plots springt van Ti naar T0 (op het tijdstip t=0). Er is dan warmte overdracht door convectie, met een uniforme en constante warmteoverdrachtscoëfficiënt h.
Op t=0 is de hele plaat op zijn initiële temperatuur Ti. De temperatuur zal eerst veranderen aan de buitenzijden en zal trager variëren in de meer naar binnen gelegen lagen. Men krijgt een
temperatuursgradiënt. De warmte overdracht gaat verder tot een thermisch evenwicht is ingesteld. We moeten voldoen aan volgende vergelijking:
2 p 2 T T 1 T k T C t x
met α = thermische diffusiviteit We werken verder met de dimensieloze temperatuur 0
i 0 T T T T .
Dan krijgen we: 22 1 t x
met als randvoorwaarden:
i 0 t 0 x : T T of 1 t 0 x 0 T T of 0 t 0 x 2L
Methode van scheiding der veranderlijken:
x,t X x T t
De vergelijking waaraan we moeten voldoen, wordt dan:2 2 d X 1 T T X t dx
2 2 t 2 2 2 1 2 2 2 t 2 C e 1 dt d X 1 1 T dT T X T t T dx dt C e 2 (1): t : T 0 klopt (2): t : T verwerpen 2 2 2 d X X 0 dx : oplossing = harmonische oscillator: X C' cos 1
x C' sin x2
en dT 2T 0 dt : oplossing: 2 t T e => de algemene oplossing:
2 t 1 2 C' cos x C' sin x e met randvoorwaarden: t 0 x 1 t 0 x 0 0 x 2L 2 t 1 0 C' e voor t < 0 => C’1=0
2 t
2 2 n 0 C' sin 2 L e (C' 0 is triviaal) sin 2 L 0 2 L n2L => de oplossing wordt: 2 n t 2L n n 1 n x C e sin 2L
We vinden Cn door de voorwaarde t=0 => θ=1: n n 1 n x 1 C sin 2L
Vermenigvuldigen met sin m x 2L en integreren: 2L 2L n n 1 0 0 = 0 als n m m x n x m x
sin dx C sin sin dx
2L 2L 2L
2L Ti T0 x t↑
2L 2L m m m 0 0 m x cos 2L m x 1 L 2L 1 cos C dx 1 cos m C L C 0 m 2L 2 2 m 2
m m C 0 als m even is 2 C 2 als m oneven is m
2 2 2 2 2n 1 t t 2n 1 2L 4L 2 n 0 n 0 2n 1 x 4 1 4 1 tsin e sin 2n 1 x * e met Fo
2n 1 2L 2n 1 4L
In heel korte tijd beperken tot eerste termen; de andere worden al snel te klein. Verband met de Heisslergrafieken:
x*,Fo,Bi
1ste: stelt de oplossing voor van de vergelijking: 2nFo
n i n 1 C e cos x *
T in het midden van de plaat (x*=0) 2de term = 0 zeer snel enkel 1ste term!
Deze grafiek wordt gebruikt om de temperatuur in het centrum van het lichaam te vinden; ze zet 0 0 i T T T T tov 2 t Fo L
uit voor verschillende waarden van 1
Bi. De grafieken zijn lineair; de knik is een gevolg van een schaalverandering.
2de: als je T(θ) in het midden kent voor een bepaalde Fo kan je T aflezen voor elke andere x. Deze grafiek zet i T T T T
uit tov Bi1 voor verschillende waarden van Lx. 3de: warmteflux bepalen:
x* L k d L dx *
Voor vlakke plaat met Bi :
2 2Fo 0 Q Fo 8 1 e Q Voor Fo voldoende groot: beperken tot 1 term, voor Fo zeer klein: meerdere termen mogelijk Productmethode:
(Om de oplossing te vinden voor een oneindige cilinder of een sfeer stellen we dat s s 1 T T r r r r en T 1 T t . (met s=1 voor vlakke coördinaten, s=2 voor cilindercoördinaten en s=3 voor bolcoördinaten)
Door een superpositiemethode toe te passen, nl de productmethode, kunnen we deze oplossing uitbreiden naar bv een korte cilinder of een lange rechthoekige staaf, onder de voorwaarde dat alle oppervlakken aan dezelfde temperatuur T0 worden onderworpen.
bv. eindige cilinder: dit is de doorsnede van een oneindig lange cilinder met dezelfde straal en een vlakke plaat met als dikte de hoogte van de korte cilinder:
2 2 1 1 r r r r x t
met als randvoorwaarden:
t 0 r,x : 1 t 0 x L : 0 r R : 0
Scheiding der veranderlijken: P x,t C r,t
2 2 2 2 1 C P 1 C P 1 1 C 1 C 1 P 1 P P r C P C r 0 r r r x t C r r r t P x t
=> 2 samengestelde problemen: een oneindige cilinder en een oneindige plaat Analoog voor een rechthoekige staaf: rechth staaf plaat
x,t plaat
y,tALGEMEEN: De oplossing voor een probleem in meerdere dimensies kan bekomen worden als het product van de oplossingen voor de 1D geometrieën waarvan de doorsnede overeenkomt met het meerdimensionaal lichaam.
3. Niet stationaire geleiding in een oneindig diep medium met plotse temperatuurssprong aan de rand. Oplossing door gelijkvormigheidstransformatie of Laplacetransformatie. Beide methodes dienen gekend te zijn.
Vb. waterleiding: Als het ’s nachts vriest, gaat het ook vriezen aan het oppervlak van de aarde, maar diep in de grond verandert de temperatuur niet, het vriest daar niet (= altijd ongeveer 10°C, want de gemiddelde T in België is 10°C)
=> een waterleiding moet in België wettelijk gezien om 80 cm diep liggen, vaak liggen ze zelfs op 1m diep.
De temperatuur in de kernregio blijft onveranderd. Meestal kunnen lichamen slechts voor een korte periode in de tijd gezien worden als een oneindig half open lichaam.
Het probleem: 2T2 1 T t x
oplossen met als randvoorwaarden:
i 0 i t 0 x : T T t 0 x 0 : T T x : T T
We kunnen niet scheiding der veranderlijken toepassen, zoals bij het eindig probleem omdat we dan sin 0 zouden moeten oplossen, wat onbepaald is.
Stel 2 0 2 i 0 T T 1 T T x t
met als randvoorwaarden:
t 0 x : 0 t 0 x 0 : 1 t 0 x : 0 1) Gelijkvormigheidsmethode: Stel xn t C
, zodat θ(x,t) een functie wordt van η en t. We proberen η zodanig te kiezen dat θ enkel functie wordt van η.
n 1 2 2 2 n 2 n 2n 2 Cxn t t C C C x x t x x t
=> de op te lossen vergelijking wordt:
2 2 2n 2 n 1 n C 1 Cxn Cx n t t t Kiezen we hierin nu n 1 2 , krijgen we: C2 t 2 2 1 2 t
t valt weg uit de vergelijking Kies nu C2 1
2
, dan krijgen we: 2
2
constante valt weg (meestal wordt 2 1 C 4 genomen) 2 2 d d 2 d d
want θ is nu enkel afhankelijk van η, waarin x
2 t
Dit is nu een gewone differentiaal vergelijking (2 RVW nodig), wat veel makkelijker op te lossen is dan een partiële differentiaal vergelijking (3 RVW nodig) (zoals in het originele probleem)
De randvoorwaarden worden: t 0 x : 0 t 0 x 0 : 1 0 t 0 x : 0
=> 2 van de 3 RVW komen op hetzelfde neer => we hebben nog 2 RVW ipv 3! (Als we dit in het eindige geval zouden doen, blijven er 3 RVW, die niet alle 3 tegelijk te vervullen zijn) Analytisch integreren: Stel u d d =>
2 2 1 1 du du d 2 u 0 2 d ln u ln C u C e d u d 2 1 0 2 onoplosbaar: gecummuleerde transfunctieC
e
d
C
met als randvoorwaarden:2 2 1 1 0 (in poolcoördinaten 2
krijgt men een dubbele symmetrische integraal 0 : 1 C 1 2 : 0 1 C e d 0 C
2 z 0 2 1 e dz 1 erf erfc
(erf = errorfunctie = niet analytisch berekenbaar, staatgetabelleerd, erfc = gemodifieerde errorfunctie) 2) Laplacetransformatie
st
0 ft e ft dt
=> Laplacetransformatie is lineair (integraal)
s
t
RVW: t 0 x : 0 t 0 x 0 : 1 t 0 x : 0 Dus wordt nu:
2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 s t 0 t x x x
s s x x 1 2 C e C e x,s RVW: sx
1
2 1 x : 0 C 0 C e x,t tabel 4. Leid de massa-, impuls- en energievergelijkingen af voor gedwongen laminaire stroming over een vlakke plaat, waarbij het fluïdum een lagere temperatuur heeft als het oppervlak. Bespreek de oplossingsmethode. Schets temperatuurs- en snelheidsveld. Bespreek hoe turbulente stroming kan beschreven worden door middel van de laminaire vergelijkingen. Verklaar de begrippen
wervelviscositeit en werveldiffusiviteit. Bespreek in het kort de Reynoldsanalogie. Gedwongen convectie warmteoverdrachtscoëfficiënt h zoeken:
n m m 1 3hD
Nu f Re,Pr CRe Pr met
n 1 2 voor laminaire stroming over vlakke plaat k
= semianalytisch
oplosbaar (enkel coëfficiënt C moet numeriek teruggevonden worden) Warmteoverdracht gebeurt door convectie en conductie.
Men stelt vast dat grenslaagdikte x
en x u x Re .Vanaf een kritisch Reynolds getal krijgen we een turbulente grenslaag maar dicht bij het oppervlak is u=0 => laminaire sublaag
Als Pr=1: thermische en hydrodynamische grenslaag gelijk Bij vlakke plaat: langer laminair omdat je de stroming niet verstoord.
In de grenslaag vertraagt de vloeistof, maar ten gevolge van het behoud van massa (en de constante ρ) moet de vloeistof in de grenslaag omhoog bewegen => secundaire
snelheidscomponent. Veronderstel: onsamendrukbaar: ρ=cst stationair: 0 t constante materiaaleigenschappen: , ,k,Cpcst geen invloed van de druk: p=cst
1) Massabehoud: (MB)
Veronderstel een klein volume-elementje:
IN = UIT udy vdx u udx dy x v v u v dy dx 0 y x y dimensieloos maken: u v u* v* u v x y x* y* L L (opgelegde snelheid) y x
:u 0,99 u
dx dy v u v v dy y u u dx x u* v * 0 x * y * 2) Impulsbehoud: (IB) impuls=mv
Impuls vooral in de x-richting, te verwaarlozen in de y-richting (omdat v << u)
Impulsoverdracht gebeurt dmv 2 fenomenen: convectiestroming + schuifspanning (wrijving) IN: waarde debiet
impuls u udy uvdx UIT:
2 2 u v 2 u uvu dy u dxdy uvdx u dydx u dy dxdy uvdx dydx
x y x y Schuifspanning onder: udx y boven: 2 2 u u dy dx y y 2 u dy uvdx udx y 2 u dy
2 u dxdy uvdx x
uv
u dydx dx y y
2 2 2 2 2 2 2 u dydx y u uv u u v u u 2u u v x y y x y y y Uit massabehoud ( u v 0 x y ): 2 2 u u u Du u v u x y y Dt = Navier-StokesNu zullen we op basis van beide vergelijkingen (behoud van massa en behoud van energie) het snelheidsprofiel bepalen:
snelheid dimensieloos maken naar
u
afstand dimensieloos maken naar karakteristieke lengte (hier = de dikte van de grenslaag δ) probeer PDV te herleiden naar een gewone DV
u v 0
x y
wegwerken
stromingsfunctie invoeren
minimale voorwaarden: p is constant en stroming is enkel 2D (beide voldaan) Gebruik gelijkvormigheidstransformatie! u v x y u* v* x* y* u u L L 2 2 2 2 2 2 2 u u* u u* u u* u* u* u* u* v * u* v * L x * L y * L y * x * y * Lu y * Randvoorwaarden: u u u* 1
x 0 y 1 vw in de x-richting (1ste orde)
v 0 v* 0
u 0 u* 0
y 0 x
v 0 v* 0
2 vwn in de y-richting (2de orde)
u u u* 1 y x v 0 v* 0
We willen nu alles herschrijven naar een nieuwe onbekende, zodat u en v enkel afhankelijk zijn van η: n
y C
x
. We nemen, analoog met de vorige keer, y x u . Om u v 0 x y
op te lossen maken we gebruik van een stroomfunctie:
2 u v
x y x y
.
3 u u y x 1 y 1 v x 2 x u 2 x u
=> nieuwe mogelijkheid nodig: er staan nog x’en in, behoud van massa komt niet uit! Mogelijkheid 2: D f
x met hierbij: Dm u en m 12 u u x f' u f' y y u u 1 f 1 y 1 y 1 v u f u x f' f' u x f'u f x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x x u Massabehoud: u v u f'' f'u x y 2x 2x yu f'' u 1 u u f' 2x x 2 x x 0 => OK! Impulsbehoud: 2 2 u f'' u u u u u 1 y 1 u v u f' f'u f u f'' x y y 2x 2 x 2 x x u u f''' 2 2 2 x u u ff'' u f'f'' f''' x 2x 2x u2 f'f'' 2x
f''' 1ff'' 0 (Dit is een 3de orde DV, de Blasius vergelijking) 2 De randvoorwaarden worden: y 0 0 : u 0 f' 0 v 0 f 0 y : u u f' 1 f 0 x 0 : f' 1 f 0
De Blasius vergelijking wordt numeriek geïntegreerd dmv de shooting method. Men schat f’’(0)=0,332.
3) Energiebehoud: (EB)
Benadering: - T-profiel heeft geen groot effect op stroming: in eerste benadering beschouwen we dat T-profielen geen invloed hebben op de stroming
- Verwaarlozen geleiding in de x-richting
COMPENSATIE: meer convectie dan geleiding door opleggen van de grote snelheid
! In de y-richting: ook geleiding + convectie (deze is hier ontstaan en overweegt niet tov geleiding)
- zie grenslaag benadering: T T
x y
in gen uit opg
q q q q Conductie, massadebiet dx dy p C uTdy T k dy x T k dx y C vTdxp y dy T k dx y p v T C v dy T dy dx y y x dx T k dy x p u T C u dx T dx dy x x
T k dx y C T vdxp
udy
y dy T y T k y p T dy y y dx C u u dx T x p T dx dy C v x v dy T y T dy dx y T 0 k dydx y y p u C T dxdy x p T C u dxdy x 2 p T u C dx dy x x p v C T dydx y p T C v dydx y 2 p T v C dy dx y y We kunnen de 2degraads afgeleiden verwaarlozen tov de rest.2 2 p p 2 2 0 (MB) u v T T T T T T C T C u v k u v x y x y y x y y
We maken deze vergelijking dimensieloos en kijken naar de opvallende analogie tussen IB en EB:
2 2 2 2 1 1 1 Pe RePr Re u* u* u* u* v * u* v * x * y * u L y * x * y * Lu y *
Het getal van Prandtl = Pr Cp Cp
k k
is een maat voor de relatie tussen het snelheids- en temperatuursprofiel. Het getal van Péclet = Pe u L u L Cp
RePr k is de verhouding van de
warmte overdracht door convectie op deze door geleiding.
Als we nu dezelfde gelijkvormigheidsveranderlijke η invoeren als bij de hydrodynamische grenslaag, vinden we als energievergelijking:d22 1Pr fd 0 2 d d . Want:uu f ' u*f 'en 1 u 1 v f' f v* f' f 2 x 2 Rex . 1 Pr fd 2 1 Pr fd d d 1 d Stel Pr f 0 Ce Ce 2 d d d 2 d
. We weten dat voor 0,6<Pr<15 geldt: 1 3 0 d 0,332Pr d .
Turbulente stroming beschreven dmv laminaire vergelijkingen
In de praktijk is de meeste stroming turbulent. In een buis gaat de stroming van laminair naar turbulent voor Re=2300; in een bol ligt dit veel lager: Re 10 (door de hobbeligheid).
Turbulente problemen zijn niet analytisch oplosbaar, zijn intrinsiek 3D, maar we stellen ze 2D om toch een vergelijking te kunnen geven:
MB: u v 0 x y IB:
M
u v 1 P u u v x y x y y EB:
H
T T T u v x y y y Wervelviscositeit, werveldiffusiviteitIn vorige vergelijkingen is εM de wervelviscositeit, hiervoor geldt: εM>>ν (behalve aan de wand). Als εM = 0, dan vinden we de IB voor laminaire stroming terug. (M=momentum)
εH is de wervelthermische diffusiviteit, hiervoor geldt: εH>>α behalve aan de wand. Als εH = 0, dan vinden we de EB voor laminaire stroming terug. (H=heat)
Bij turbulentie ligt het stromingsveld ook rond soort gemiddelde waarde. We kunnen zeggen dat het turbulente stromingsveld volledig bepaald worden door 2 parameters: wervelviscositeit en
Reynoldsanalogie
Er is een analogie tussen impuls en warmte overdracht: Prandtl; we zullen deze verder doordrijven. We weten dat voor de frictiefactor Cfx geldt:
1 fx 2 x C 0.332Re 2
We definiëren een nieuw dimensieloos getal: getal van Stanton (beschrijft de warmteoverdracht)
2 1 x x x 3 2 x p p x h h x k Nu St 0.332Pr Re C u k u x C Re Pr => 2 fx 3 x C St Pr 2 .
Indien de materiaaleigenschap Pr en de frictiefactor Cfx gekend zijn, kan men op deze manier h bepalen.
Reynolds analogie: de warmteoverdracht kan dus voorspeld worden uit de impulsoverdracht. Dit kan met succes veralgemeend worden naar andere gevallen, waaronder ook turbulente grenslagen (men heeft experimenteel vastgesteld dat de turbulente overdracht van impuls en warmte gelijkaardig verloopt: εM = εH).
Fysische betekenis van de dimensieloze getallen:
impulsoverdracht convectieoverdracht conve ctieoverdracht
Pr Nu St
energieoverdracht geleidingsoverdracht voelbare warmte transport
St is dus een gereduceerde warmteoverdrachtscoëfficiënt en Nu geeft de verbetering ten opzichte van geleiding door een bepaalde laag.
5. Toon aan dat voor laminaire stroming in een cilinder, waarbij aan de rand een vaste warmteflux wordt opgelegd, dat Nu een constante is. Wat is de waarde van deze constante?
Cilinderprobleem = vergelijkbaar met 2 vlakke platen
In een leiding zal na zekere tijd de grenslaag zo dik worden dat ze de hele pijp vult, en dan krijgt men een volledig ontwikkelde stroming. (Intreegebied is ±10-12 cm, daarna volledig ontwikkeld gebied.)
In laminaire stroming doorheen een cilindrische buis is het snelheidsprofiel in volledig ontwikkeld regime:
2 max 0 r u u 1 r .
De gemiddelde snelheid vgem wordt gegeven door: gem max
2 r 1 dP 0 v u 2 dx 8
. Verder geldt er nog voor de schuifspanning:
w u y en w f 2 D 2 16 C Re v en voor de drukval: 2 f L 1 p 4 v C D 2 . μ = viscositeit debiet: 2 2 o D v' u u r 4
In de x-richting: enkel convectie (horizontale geleiding is te verwaarlozen)
In de r-richting: geen convectie, enkel geleiding
snelheid u is niet afhankelijk van x, enkel van r (u=cte)
Energiebehoud: 2C uTrdrp T 2 kr dx r 2 C urdr Tp T T dx kdx 2 r x r T 2 r dr r r 0 2 C urp Tdrdx x T k 2 r r r drdx p p T T T k T T C ur k r u r r x r r x C r r r r r r
Met hierin u=u(r)=
2 max o r u 1 r
We leggen nu een vaste warmteflux aan op de wand:q cst (door de warmtestroom goed te controleren, door elektriciteit op te wekken en warmtedraad rond de buis te wikkelen totale spanning gedissipeerd over de totale lengte van de buis (opp is gekend) => vermogen en dus qis gekend
mCp is constant en T neemt lineair toe => T dT cst x dx 2 max o r T T u 1 r r x r r r p 2C uTrdr dx T 2 kr dx r dr T T kdx 2 r 2 r dr r r r p T 2 C urdr T dx x
met als randvoorwaarden: o o w r r dT r r : k q dr dT r 0 : 0 dr 2 2 max max 2 o o 2 4 3 max max 2 2 o o u r T T T r dT ru 1 r r 1 dr d r r x r r x r dr u T r r dT u T r r C dT C r x 2 4r dr x 2 4r r dr
RVW: 3 max 2 o u T 0 0 C r 0 : 0 C 0 x 2 4r 0 o w o r r 3 T 2 4 max max w 2 2 o o r T r 2 4 2 2 4 2 4 max o o max o w 2 2 2 o o o u T r r u T r r dr dT T T x 2 4r x 4 16r u T r r r r u T r r 3r T T x 4 16r 4 16r x 4 16r 16
en umax2ugem 2 4 2 gem o w 4 2 o o u r T r 4r T T 3 8 x r r Nu zullen we de gemiddelde Tm bepalen:
o o o r r 2 o gem m w m w 0 0 r m w m w m w 0Massadebiet : m r u dm 2rudr T T dm T T 2rudr
1 1 T T T T 2rudr T T m
2
m w
o gem T T r u o 2 r max o 0 max gem m w 2 o r 2ru 1 dr r u 2 2 u T T 2 r
max u 2 gem o u r 4 2 max 4 2 o o T r 4r 3 r u 8 x r r o o o 2 r o 0 r 4 2 3 r 5 3 7 5 3 gem gem m w 4 2 2 m w 4 2 6 4 2 o o o o o o o o 0 0 6 4 2 8 6 gem m w 4 2 6 o o o o r 1 dr r u T r 4r r u T r 4r r 4r r T T 4 3 r dr T T 4 3r 3 dr 8 x r r r 8 x r r r r r u T r r r r 2r T T 4 3 8 x 6r r 2 8r 3r
o r 2 2 2 2 2 4 gem o 2 o o o o m w o 4 2 o 0 2 gem o 2 gem m w o u r r r 2r r r T 3 T T r 3 3 2 x 6 2 8 3 4 4r u T11r 11 u T T T r 2 x 24 48 x en er geldt ook: o w o r r T 1 k dT 1 k q k Vr r 2 dx 2 Vro
m w
48 T T 11 V 2 o r w w m q 48 k hD 48 en h Nu 4,36 T T 11 D k 11 6. Leid de massa-, impuls- en energievergelijkingen af voor natuurlijke convectie naast een verticale wand, waarbij het fluïdum een lagere temperatuur heeft als het oppervlak. Bespreek de
oplossingsmethode. Schets temperatuurs- en snelheidsveld. Natuurlijke convectie = veel complexer dan gedwongen convectie!
Plaat op hogere T dan omgeving => T-profiel Door warmte weg te nemen, ontstaan
densiteitsverschillen => Archimedeskracht! => snelheidsprofiel:
u=0 op de plaat door anti-slipwerking
u=0 ver van de plaat, omdat de vloeistof dan in rust is
ergens daartussen ligt een maximum! Vloeistof komt aan op plaat: x=0
Vloeistof stijgt doordat de plaat warmer is => een verschil in densiteit => Archimedes kracht => vloeistof krijgt snelheid Vloeistof warmt ook op door warme plaat en stijgt verder => steeds meer vloeistof komt van buitenaf de grenslaag aanvullen
=> snelheid en dikte van de grenslaag nemen toe naarmate de vloeistof stijgt
=> op bepaald moment: overgang naar turbulente grenslaag! We nemen een klein volume-element.
Massabehoud: udy vdx u udx dy v x v u v dy dx 0 y x y ρ varieert nu! Impulsbehoud:
Cfr horizontale plaat, gedwongen convectie: impuls overgedragen door convectie en weggenomen door wrijving: 2 termen MAAR de druk veranderde niet
Verticale plaat, natuurlijke convectie: wel verschillende druk door zwaartekracht en hydrostatische druk (traagheidskracht) extra term!
dx dy v u v v dy y u u dx x dy dx vdx Pdxdy udy
P dP dxdy
u u dx dy x v v dy dx y dy dx y dx WConvectie/massaflux:
2 2 u uv udy u vdx u dy u dx dx uv dy x y Wrijving: 2 2 u u u dx dy dx y y y Druk: Pdxdy P P dxdy IN x
Zwaartekracht: W gdxdy UIT udy u vdx u udx y Pdxdy P 2 P dxdy dy u x 2 u dx dx uv x uv u dy y y 2 2 u dy dx gdxdy y P dxdy x dy 2 u dx x dx uv dy y 2 2 u dydx y g dxdy 2 2 2 2 2 2 P u v u u u v 2u u v g en MB: 0 x x y y y x y P u u u u u P u u v g u v g x x y y x y x y
Deze laatste vergelijking is de stromingsvergelijking die de laminaire grenslaag beschrijft. We zoeken nu de drukgradiënt in de x-richting:
Ver weg van de wand is u=v=0, er is geen drukkracht en geen zwaartekracht
P P 0 g g x x
22 u u u u v g x y y We hebben nu 2 vgl, maar 3 onbekenden (u,v,ρ) (want ρ is afh van p en T en dus niet constant!) ( is de densiteit van een stilstaand gas)
=> 3e vergelijking nodig!
Energiebehoud: (identiek aan gedwongen, horizontale plaat)
Verticaal: convectie, door grote snelheidscomponent conductie is verwaarloosbaar Horizontaal: conductie + convectie ( er ontstaat een horizontale snelheidscomp)
in gen
q q quitqopg Conductie, massadebiet
T k dx y T k dy x C T vdxp
udy
x dx T x T k x y dy T T dx x x y T dy k y p Tdy y y dx C u u dx T x p T dx dy C v x v dy T y T dy dx y dy dx p C vTdx T k dx y T k dy x C uTdyp x dx T k dy x p u T C u dx T dx dy x x y dy T k dx y p v T C v dy T dy dx y y T 0 k dxdy x x p T T u k dydx C dy u dx T dx y y x x 2 T u dx x x p 0 T v C dx v dy T dy y y 2 0 v T dy y y 2 2 T T u v waarin en x y x y T 0 k dxdy y p T C u dxdy x p T C v dxdy y 2 p 2 T T T C u v k x y y
Nu hebben we 3 vgln maar we hebben ook nog een extra onbekende: T. We weten weliswaar dat ρ een functie is van p en T, dus moeten we het verband zoeken tussen ρ en T:
Thermische uitzettingscoëfficiënt p 1 v 1 T T T v v v v . Er geldt ook: 1 v en
U P 1 T T v .
U P P 1 1 1 T T T v v
1 T T T T T T v v vWe vullen dit in in IB:
2 2 2 2u
u
u
u
u
u
u
v
T T g
u
v
g
T T
x
y
y
x
y
y
We hebben nu 3 vergelijkingen en 3 onbekenden: u, v, T
Verschil met gedwongen convectie: nu hebben we EB nodig om de snelheid te bepalen, IB en EB moeten samen opgelost worden omdat ook IB nu afhangt van T.
Om tot de eigenlijke oplossing te komen maken we volgende onderstelling: ρ=constant, dit is in realiteit niet zo, want het zijn juist die verschillen die voor beweging zorgen, maar de verschillen zijn zo klein dat we in de berekeningen een goede benadering hebben als ρ constant wordt verondersteld! Dus .
We maken de vergelijkingen dimensieloos: o
o o
w
u v
u* v* met u = gekozen referentiesnelheid g edwongen convectie (opgelegde snelheid u )
u u
x y
x* y* met L = referentielengte (er bestaat geen karakteristieke lengte)
L L T T T T
2 2 2 2 w o o o w 2 2 2 2 o o 2 2 o o 2 2 2 o u* v * 0 x * y * g L T T u u* u u* u u* u* u* 1 u* u* v * g T T u* v * L x * L y * L y * x * y * u Lu y * u u u* v * u* v * L x * L y * L y * x * y * Lu y * Aangezien we uo vrij mogen kiezen kunnen we stellen dat
w
2 o 2 o g T T L u g TL 1 u IB (Het omgekeerde van het getal onder de
vierkantswortel vervult een beetje de rol van Reynolds: Grashoff) 2 2 2 2 3 2 o u* u* 1 u* u* u* v * x * y * Lu y * g TL y *
2 2 2 2 p k u* v * x * y * L g TL y * C L g TL y *
Hierin geldt: Grashoff: Gr g 2TL3 g TL Gr L 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 p p p k k k u* v * x * y * C L Gr y * C Gr y * C Gr y * L
Hierin geldt: Prandtl: Pr Cp k 2 2 1 u* v * x * y * Pr Gr y * 3 3 w w 2 L g T T L g T T Pr Gr Ra
= equivalent van Péclet
Voorwaarden voor de 3 vgln: y* 0 u* 0 u*: y* u* 0 x* 0 u* 0 v*: x* 0 v* 0 y* 0 1 : y* 0 x* 0 0
In de gedwongen convectie komt Pr apart voor, itt de natuurlijke convectie. Dit komt omdat bij gedwongen convectie
hydrodynamische en thermische grenslaag enkel gelijk zijn als Pr=1, bij natuurlijke convectie zijn de grenslagen intrinsiek gelijk, altijd!
We hebben nu het probleem dat de impuls- en energievergelijking gekoppeld zijn. We proberen nu een stroomfunctie te vinden:
m n C'X f v * x * Cy u* y * x Voor natuurlijke convectie vinden we n=1/4.
Verklaring: 2 gekoppelde vergelijkingen, beide 2de orde afgeleide in y dus moeten we om de temperatuur eruit te halen 4 keer afleiden.
Men vindt uiteindelijk: 34
1 4 Cy 4 Cx f met en x .
7. Bespreek nucleate boiling en gedwongen convectie boiling. Stel de vergelijking voor verticale filmcondensatie op. Bepaal het Nusseltgetal.
grafiek deltaT tov log q
Als q verhoogt => T stijgt om die hogere q te kunnen afvoeren! Zolang q stijgt, blijft T stijgen tot qmax bereikt is! Hysteresis:
qmax kan overschreden worden, maar dan moet een andere weg gevolgd worden, als qmax overschreden is springt T ineens naar 1000° C (punt E) => elektrisch element brandt door
omgekeerd: als we vertrekken vanaf punt E en q laten dalen beneden een minimum: sprong naar linkerkant van de grafiek (rond A)
DUS werken in bepaald gebied (van B tot C) en zorgen dat er geen oververhitting plaatsvindt! Algemeen: Koken is de overgang van vloeistof naar gas, net als verdampen.
- verdamping: gebeurt aan het vloeistof-damp oppervlak, wanneer dampdruk < saturatiedruk
- koken: gebeurt op een vaste stof-vloeistof oppervlak, wanneer de vloeistof in contact wordt gebracht met een vast lichaam dat op een vaste temperatuur Ts wordt gehouden die boven de saturatietemperatuur ligt.
Men krijgt dampbellen; in het begin is de vloeistof nog koud dampbellen stijgen T daalt de dampbellen koelen af en verdwijnen (imploderen) => men heeft wel verdamping, maar geen koken.
Verschillende soorten boiling:
Natural convection boiling (103° C): bij oververhitting van 3° C, beneden is de vloeistof warm deze stijgt natuurlijke convectie MAAR de dampbellen imploderen => gaat niet zo goed!
Nucleate boiling (110° C): bij oververhitting van 10° C meest efficiënte vorm: hoge snelheden aan het oppervlak (dichtklappen en/of loslaten van bellen) en contact met vloeistof van sterk verschillende temperatuur
(eerst: dambellen ontsnappen maar verdwijnen in de vloeistof; op een bepaald moment is T voldoende hoog de bellen bereiken het oppervlak op een zeker moment bezetten de bellen het volledige bovenoppervlak)
Transition boiling (180° C): bij oververhitting van 80° C op oppervlak wordt een kookbel gevormd die moet groeien, maar door de warmte is er zoveel damp aanwezig dat een deel van het beloppervlak niet bedekt is met water, maar damp. Aangezien de geleidingscoëfficiënt van damp kleiner is dan die van water vermindert de warmteoverdracht. De
warmteoverdracht is minimaal wanneer de plaat volledig bedekt is door damp.
Film boiling: bij oververhitting van 100-120° C isolerende film van damp en af en toe rukken zich bellen los => zeer inefficiënt. Door het stijgen van het temperatuursverschil, stijgt de overdracht terug
Nucleatiekoken:
vaste sites voor belvorming (= nucleatie sites): bellen treden op aan gaatjes, krassen, scheuren van oppervlakken bij lage oververhitting.
aantal sites stijgt met ΔT
een bel groeit uit een klein beetje ingesloten damp en/of gas (lucht) in een caviteit een bel blijft bestaan zolang haar interne druk groter is dan de omgevende druk
Met het oppervlak is ook energie verbonden: dG dS G S met σ de oppervlaktespanning De energie van het volume is: G PV dG PdV
We benaderen de bel als een bol: S 4 R 2 dG dS 8 Rdr en V 4 R3 dG PdV 4 P R dr2 3 2 R P 2 P R
In water zijn er geen bellen want σwater is zeer groot; zeep verlaagt σ => we kunnen bellen blazen. Proef in roterend kwikbad:
Kritisch punt, waar vl=damp: hierboven heb je altijd en overal damp. Voor kwik is dit 373 K.
Je zou een grotere T kunnen krijgen dan 373 K en toch in de vloeistoffase blijven als het perfect vlak (bobbels verlagen de T!) is => tot 80% oververhitting van het kritisch punt.
Bijkomend: bellen groeien uit caviteiten als er voldoende verdamping optreedt. Hiervoor moet de temperatuur van de omringende vloeistof en wand hoger liggen dan de
verzadigingstemperatuur van de bel. Mogelijk mechanisme voor koken:
- elke bel sleurt bij het losrukken een hoeveelheid vloeistof mee gelijk aan 2 maal de beldiameter. - tussen de bellen in gebeurt de warmteoverdracht door natuurlijke convectie
- als de bel loslaat, sleurt ze de warme vloeistof rond zich mee en komt koude vloeistof in de plaats => roert vloeistof hevig!
Gedwongen convectie koken: warmteflux is veel hoger
ontstaan van bellen en nucleatiekoken wordt verschoven naar hogere ΔT als v stijgt. De vloeistof wordt intern verwarmd en uitgeblazen door gedwongen convectie op x=0
- bubbly flow: hier en daar een belletje
- slug flow: wand is volledig bedekt door belletjes => h is veel lager vloeistof zit in het midden, te veel damp => moet weg!
- annular flow: na een tijd zal deze damp zich concentreren in het midden, water wordt grotendeels afgevoerd en er blijft vooral damp over (=fase-inversie)
- transition flow: een gedeelte van de wand is al zuivere damp en de bellen komen veel sneller los => warmteoverdracht niet meer door geleiding, maar door turbulentie
- mist flow: volledig zuivere damp => h ± zelfde, maar zakt toch een beetje doordat de warmteoverdracht minder goed verloopt in damp dan in vloeistof.
Invloed van parameters: druk, oppervlakteruwheid (hoe ruwer, hoe lager T), gassen, grootte en oriëntatie van het oppervlak (weinig effect), onderkoeling, bevochtiging (niet bevochtigd oppervlak: zeer grote bellen, nodige ΔT voor koken stijgt)
Verticale filmcondensatie:
Beschouw een verticale, vlakke plaat waarop een damp condenseert. Als de vloeistof de wand bevochtigt: een film van vloeistof wordt gevormd en stroomt naar beneden. Als de vloeistof de wand niet bevochtigt: druppels ontstaan en die stromen op willekeurige wijze naar beneden. (=drop wise condensation)
Filmcondensatieproces: vallende film groeit aan
δ is hier geen grenslaag, aangezien men hier te maken heeft met een andere fase!
Beschouw de temperatuur aan de rand van de film bij verzadiging Tg=Ts. De viskeuze schuifspanning op de filmrand door het gas verwaarlozen we.
=> de krachtenbalans in laminair regime is:
v
du
g y
dy
(We beschouwen geen wrijving langs de rechter kant omdat langs de dampkant er vrijwel geen wrijving is en dus is er ook geen wrijving langs de vloeistofkant.
v
g 1 2 u y y C 2 met als RVW: y=0 => u=0 => C=0
v
g 1 2 u y y 2 De massaflux:
3 v 2 v 0 0 g 1 m udy g y y dy 2 3
massaflux ~ filmdikte!Door aangroei van de laag (δ stijgt) wordt warmte afgegeven aan het vloeistoflaagje en uiteindelijk aan de plaat!
De warmteoverdracht door geleiding in de film, onderstel lineair profiel:
s w x s w y 0 T T T q k k h T T y Warmte afvoeren: komt door verdamping/condensatie (rekening houden met verdampings/condensatiewaarde voor water ΔHV): H dm dqV
3 2 x v s w v s w V v 3 V V s w 0 0 4 v s w V 4 s w V v g T T g T T H g H d d k H d k dx d dx 3 k T T g 4x k T T Hx filmdikte (gaat volgens lengte x)
k T T 4 H g
Nu zullen we h bepalen:
V
v
3 s w 4 s w s w H k g T T k k h T T h 4x T T Maar we zijn enkel geïnteresseerd in de gemiddelde h over afstand L:
3 3 3 3 L L V v 1 4 V v V v 4 4 4 x L s w s w s w 0 0 H k g H k gL H k g 1 1 4 4 4 h h(x)dx x dx h L L 4 T T 3L 4 T T 3 4 T T L 3
Nusselt bepalen:
3 V v 4 s w H L g hL Nu 0,943 k 4 T T k We weten dat de warmte eigenlijk niet enkel wordt afgevoerd door condensatie, maar ook door
afkoeling => bijkomende term:
3 V p v 4 s w H 0,68C T k g h 0,943 T T L dy dx zwaartekracht : g y dx
Archimedeskracht : g y dx v y y wrijving : u dx y W y 8. Bespreek bij straling het gebruik van zichtfactoren (viewfactors). Leg basisverbanden uit (sommatieregels, reciprociteitregels). Bepaal de zichtfactoren voor concentrische, oneindig lange cilinders of in balkvormige oneindig lange structuren.
Straling warmteoverdracht tussen 2 oppervlakken hangt af van de oriëntatie van de oppervlakken tov elkaar, hun stralingeigenschappen en hun temperaturen. Om de effecten van de oriëntatie bij straling en warmteoverdracht in rekening te kunnen brengen, definiëren we een nieuwe parameter: de zichtfactor. De zichtfactor is puur geometrisch en is onafhankelijk van de oppervlakte-eigenschappen en temperatuur. (Synoniemen in het Engels: view factor, shape factor, configuration factor, angle factor.) De zichtfactor gebaseerd op de veronderstelling dat oppervlakken zowel diffuus emitteren als reflecteren noemen we de diffuse zichtfactor. De zichtfactor gebaseerd op de veronderstelling dat oppervlakken diffuus emitteren maar spiegelend reflecteren is de spiegelende zichtfactor (specular view factor). In dit geval bekijken we enkel straling tussen oppervlakken beschouwen, zijn alle zichtfactoren diffuse
zichtfactoren. De zichtfactor van een oppervlak i naar een oppervlak j wordt als volgt genoteerd: i j ij
F F= de fractie van de aan het oppervlak i verlaten straling die rechtstreeks op het oppervlak j valt. (De straling die op een oppervlak valt moet niet noodzakelijk geabsorbeerd worden!)
We zoeken nu een algemene uitdrukking voor de zichtfactor:
Beschouw 2 elementaire oppervlakken dA1 en dA2 van 2 georiënteerde oppervlakken A1 en A2. De afstand tussen dA1 en dA2 noemen we r; de hoeken tussen de normalen en de verbindingslijn noemen we respectievelijk θ1 en θ2. Oppervlak 1 reflecteert en zendt straling uit in alle richtingen met een constante intensiteit van I1 en de ruimtehoek die wordt
ingenomen door dA2 wanneer het de straling van A1 ziet is dω21. De hoeveelheid straling dat dA1 verlaat in de richting van θ1 is
1 1 1
I cos dA . De hoeveelheid die hiervan dA2 raakt is (met
2 2 21 2 dA cos d r ): 1 2 2 2 dA dA 1 1 1 21 1 1 1 2 dA cos Q I cos dA d I cos dA r .
De totale hoeveelheid straling dat dA1 verlaat is: QdA1 J dA1 1 I dA1 1.
Dan is de differentiaal van de zichtfactor: 1 2
1 2 1 dA dA 1 2 dA dA 2 2 dA Q cos cos dF dA Q r . 1 2 2 1 2 dA dA A 2 2 cos cos F dA r
De totale hoeveelheid straling die het volledige oppervlak A1 verlaat in alle richtingen is:
1
A 1 1 1 1
Q J A I A . Het deel dat van deze straling het oppervlakje dA2 raakt, wordt gegeven door
volgende integraal: 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 A dA A dA dA A 2 1 I cos cos dA Q Q dA r
.=> de straling die het oppervlak A2 raakt is dan:
1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 A A A A dA A A 2 1 2 I cos cos Q Q dA dA r
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 A A 1 2 12 A A A A 2 1 2 A 1 1 12 2 21 A A 1 2 21 A A A A 2 1 2 A 2 Q 1 cos cos F F dA dA Q A r A F A F Q 1 cos cos F F dA dA Q A r
= reciprociteitregelDe view factor van een vlak lichaam naar zichzelf is 0; voor een concaaf lichaam is hij verschillend van 0.
Wanneer een stralingsprobleem bekeken wordt, vormen we een ingesloten samenstelling van de oppervlakken die interageren met elkaar. Het principe van behoud van energie vereist dat alle straling uitgezonden door een oppervlak in de ingesloten samenstelling opgenomen wordt door oppervlakken die ook deel uitmaken van die ingesloten samenstelling. Dus: de som van de view factors ve
oppervlak i naar alle oppervlakken in de ingesloten samenstelling (inclusief oppervlak i) moet 1 zijn. Dit is de sommatieregel: N ij j 1 F 1
. (N = aantal oppervlakken in de ingesloten samenstelling) Soms is een view factor, geassocieerd aan een gegeven geometrie, niet te vinden in standaard tabellen en grafieken. Dan kan men proberen die geometrie op te splitsen in geometrieën die wel in de tabellen en grafieken staan en ze op te tellen met volgende superpositie regel: de view factor van een oppervlak i naar een oppervlak j is gelijk aan de som van de view factoren van oppervlak i naar de delen van oppervlak j. (Enkel in deze richting niet opgekeerd!!!)Identieke oppervlakken die georiënteerd zijn op een identieke manier, rekening houdend met een ander oppervlak, zullen identieke waarden van uitgestraalde straling hebben. Dus is de symmetrie
regel: 2 of meer oppervlakken j, k die symmetrisch zijn tov een derde oppervlak i zal identieke view
factors hebben vanaf dat oppervlak (FijFi k ). concentrische, oneindig lange cilinders
balkvormige oneindig lange structuren bol
De view factor van een bol is vanzelfsprekend 1. 1,1 1,2 2,1 1,2 F 0 F 1 0 F 1 0 F 1 vlakke plaat 1 2
9. Bepaal de waarde van de natte boltemperatuur als functie van de vochtigheidsgraad van de omliggende lucht. Gebruik hiervoor de equivalentie tussen massa- en warmteoverdracht. Toon het verband aan tussen enerzijds Re, Pr, Nu en anderzijds Re, Sc, Sh. Wat is de fysische betekenis van het Lewisgetal?
Dry bulk temperature = droge boltemperatuur: een gewone thermometer met bv kwik in: geeft de echte T! Natte boltemperatuur:
Als we rond het bolletje van de thermometer vochtige kleenex wikkelen, zal niet de echte temperatuur worden aangegeven, maar een lagere omdat de vloeistof (water) verdampt.
=> natte boltemp < droge boltemp TENZIJ de lucht verzadigd is: in dat geval zijn beide temperaturen gelijk => makkelijker 60-70° te verdragen in de woestijn(=droog=verdamping mog) dan 40° in het tropisch regenwoud
H2O wordt afgevoerd door combinatie van convectie en geleiding
Lvap=verdampingswarmte (J/kg)
Toevoer van warmte = hoeveelheid verdampte warmte
w
H O vap2 hA TT m L met
2 w H O m w T droge boltemp T nate boltemp m h A h A
TTw
h Am
w vap m vap w w w P L en RT h L P P h T T R T T De natte boltemp is gelijk aan de omgevingstemperatuur (T) als w
Aan het contactoppervlak geldt een dampdruk-evenwicht: w sat (De dampdruk van een stof hangt enkel af van de temperatuur!)
w
m vap
sat
sat
w
m vap h 1 h T T h L T T h L Humidity (%): sat sat P P
indien 100%: partiële druk = dampdruk We bepalen nu hm h : n m n m m m m m m m hD Nu CRe Pr k Reynoldsanalogie h D Sh CRe Sc ID h k h Sh Sc ID 1 Le Le en m en Le Nu hID Pr h k 3 k ID p p 1 2 2 3 3 m m m 3 p p p p k ID C ID C h ID k h k 1 1 h 1 Le h k ID C h ID C C h C
2 p 3 sat vap C Le L
TTw
waarin: - we geïnteresseerd zijn in .- Cpvan lucht moeten nemen, niet van water (want convectie en warmte overdracht in de lucht!) - Le=1 in de lucht
Extra (inleiding eig): Massaoverdracht:
diffusie (= equivalent van conductie): A
diffAB dC m D A dX convectie: mconvhmassA C
sC
diffusieflux: ji D x
= Wet van Fick (analogie met de wet van Fourier!)
i i i i i i j v v massaflux J* c v v * molaire flux Drijvende kracht voor convectie (stroming) is het drukverschil, voor diffusie is dit concentratieverschil.
Flux door diffusie: A A
A j D D x x
In vaste coördinaten is de flux: A
A A A A A A B B N D met w w x v v v v v (w=massafractie)
A A A A A B B B B B A A B B N w D x N w D x v v v vCombinatie diffusie en convectie:
Continuïteitsvergelijking (massabehoud): u v 0 x y Bewegingsvergelijking (impulsbehoud): u u v u 2u2 x y y
Behoud van component A: A uC dy vC dxA D CAdx y uCA A uC dx x dy vCA A vC dy y dx A C D y 2 A 2 C D dy y dx 2 A A A 2 uC vC C D x y y
Ook deze vergelijking komt volledig overeen met deze voor warmteoverdracht. We vervangen enkel de thermische diffusiviteit α door de diffusiecoëfficiënt => de oplossing voor deze vgl is dezelfde. Men kan nu 3 grenslagen beschouwen: thermische, viskeuze en concentratie.
Karakteristieke dimensieloze getallen u L
Re
In plaats van Nusselt en Prandtl vinden we:
n m h LD n mhL
Nu f RePr CRe Pr Sh Sherwood CRe Sc
k D impulsoverdrachti mpulsoverdracht Pr Sc Schmidt warmteoverdracht D massadiffusie Sc warmteconductie Le Pr D massadiffusie
