Ekonometriese modelle in finansiële risiko

Ekonometriese modelle in finansiële risiko

Econometric models in financial risk

PJ DE JONGH

Sentrum vir Bedryfswiskunde en Informatika® Noordwes-Universiteit

Riaan.deJongh@nwu.ac.za

Riaan de Jongh

ABSTRACT

Econometric models in financial risk

This paper provides an overview of the contributions by prof JH Venter to financial risk and volatility modelling, estimation and forecasting. Venter’s research is based on the classical GARCH model which he refines in various ways. In the classical GARCH model the innovation distribution is assumed to be standard normal but recent research emphasized the need for more general distributions allowing both asymmetry (skewness) and kurtosis in the innovation distribution to obtain better fitting models. This can be achieved by variance mixtures of normal distributions. If the mixing variable is taken as unit inverse Gaussian distributed the resulting innovation distribution has the NIG-distribution whose density can be computed analytically, easing likelihood calculations. In essence this is the NIG-GARCH model for daily returns. Venter interprets the mixing variable as a latent factor due to news noise impacts that adjust the traditional GARCH volatilities to account for events occurring after market closure on the previous day. This GARCH model with NIG-distributed innovations leads to more accurate parameter estimates than the normal GARCH model. Venter concludes that it is the mixing concept and not the particular distribution choice that leads to better

PROF RIAANDE JONGH is direkteur van die Sentrum vir Bedryfswiskunde en Informatika® aan die Noordwes Universiteit (NWU). Riaan is in besit van ’n BComm en Hons BComm (Universiteit van Stellenbosch), MSc (Universiteit van Suid Afrika) en PhD (Universiteit van Kaapstad). Na voltooiing van sy PhD het hy een jaar as post doktorale navorser aan die Universiteit van Noord Carolina te Chapel Hill deurgebring. Hy is ’n voormalige president van die Suid Afrikaanse Statistiese Vereniging en is tans die SA streeksdirekteur van GARP (Global Association of Risk Professionals). Sy navorsings belangstellings fokus op toegepaste statistiek en risiko analise. Voordat hy die pos by die NWU aanvaar het, was hy verbonde aan die Instituut vir Maritieme Tegnologie (Simonstad) en Deloittes (Pretoria).

PROF RIAANDE JONGH is the director of the Centre for Business Mathematics and Informatics® at North West University (NWU). Riaan holds a BCom and Hons BCom (University of Stellenbosch), MSc (University of South Africa) and PhD (University of Cape Town), After completing his PhD he spent a year as post doctoral researcher at the University of North Carolina at Chapel Hill. He is a past president of the South African Statistical Association and is currently serving as SA regional director of the Global Association of Risk Professionals. His research interests are applied statistics and risk analysis. Before accepting the position at the NWU he was employed at the Institute for Maritime Technology (Smons Town) and Deloittes Consulting (Pretoria).

fitting models. This is encouraging in the sense that it is the underlying phenomenon that one is trying to model that is important, more so than the specific mathematical forms that one uses in the process, and the results should be stable when these forms are varied over reasonably possible alternatives. These models are fitted to an empirical data set and in the process of doing so, Venter finds empirical support for Merton’s ICAPM. In order to obtain even more accurate parameter estimates, and since Venter expected an information gain if more data is used, he extends the above-mentioned model to cater for high, low and close data, as well as full intraday data, instead of only daily returns. This is achieved by introducing the Brownian inverse Gaussian (BIG) process, which follows naturally from the unit inverse Gaussian distribution and standard Brownian motion. This model postulates that over each trading day anew the intra-day return process follows a Brownian motion with drift and volatility that are inherited from the previous day in typical GARCH fashion but are also subject to random Inverse Gaussian (IG) distributed news noise impacts that arrive after market closure on the previous day. He calls it the BIG-GARCH model and derives the likelihood function needed to fit the model; this uses the daily returns and realized volatilities as sufficient statistics. Venter then introduces a number of new distributions related to the Inverse Gaussian-distribution and also derives diagnostics that may be used to check the quality of fit. The new model produces two volatility measures, called the expected volatility and the actual volatility. Venter shows that the latter is close to the realized volatility. Fitting these models to empirical data, he finds that the accuracy of the model fit increases as one moves from the models assuming normally distributed innovations and allowing for only daily data to those assuming underlying BIG processes and allowing for full intraday data. However, Venter encounters one problematic result, namely that there is empirical evidence of time dependence in the random impact factors. This means that the news noise processes, which is assumed to be independent over time, are indeed time dependent, as can actually be expected. In order to cater for this time dependence, Venter extends the model still further by allowing for autocorrelation in the random impact factors. The increased complexity that this extension introduces means that one can no longer rely on standard Maximum Likelihood methods, but have to turn to Simulated Maximum Likelihood methods, in conjunction with Efficient Importance Sampling and the Control Variate variance reduction technique, in order to obtain an approximation to the likelihood function and the parameter estimates. He finds that this time dependent model assuming an underlying BIG process and catering for full intraday data fits generated data and empirical data very well, as long as enough intraday data are available. Several ideas for future research are given, especially the need to explore the application of this approach to other important areas of statistical finance, such as volatility forecasting and pricing of derivatives.

JEL classification: C13; C22; C51

KEY WORDS: GARCH models, Inverse Gaussian, Normal Inverse Gaussian, volatility, intra-day returns, realized volatility.

TREFWOORDE: GARCH-modelle, Inverse-Gaussiese-verdeling, Normaal-Inverse-Gaussiese-verdeling, volatiliteit, intradag-opbrengste, gerealiseerde volatiliteit. OPSOMMING

In hierdie artikel word ’n oorsig gegee van die bydrae wat prof JH Venter gemaak het tot finansiële risiko en volatiliteits-modellering, -beraming en -vooruitskatting. Venter gebruik die klassieke GARCH-model as basis vir sy navorsing en konsentreer veral daarop om beter GARCH-modelle as die normaal verdeling te vind vir die innovasie verdeling. In die verband stel hy ’n raamwerk voor waarbinne die klas van

gemiddelde-normaal-mengselverdelings bespreek en evalueer word. Hy vind dat die klas van verdelings onderling min verskil ten opsigte van die akkuraatheid van modelpassing en volatiliteitsberaming, maar heelwat verbeter op die klassieke model. Wanneer intradag-data beskikbaar is, kan gerealiseerde volatiliteit gebruik word om volatiliteit te beraam. In hierdie konteks formuleer Venter ’n nuwe model wat ’n hibriede samestelling van die tradisionele GARCH-model en ’n stogastiese volatiliteitsmodel is. Hy verwys hierna as die BIG-GARCH- model en lei die aanneemlikheidsfunksie af wat nodig is vir die modelpassing. Twee volatiliteitsmaatstawwe spruit voort uit die nuwe model, naamlik verwagte volatiliteit en werklike volatiliteit. Venter wys dat laasgenoemde maatstaf baie nou verwant aan gerealiseerde volatiliteit is.

JEL klassifikasie: C13; C22; C51 1. INLEIDING

Prof JH Venter is in die jaar 2000 by die Sentrum vir Bedryfswiskunde en Informatika® (Sentrum vir BWI) aangestel met die opdrag om ’n navorsingsvermoë in die betreklik nuwe veld van finansiële risiko-analise te vestig. Die Sentrum vir BWI is kort tevore, in 1998, met die ondersteuning van Absa by die destydse Potchefstroomse Universiteit vir CHO gestig om kundigheid in die veld van finansiële risikobestuur op te bou sodat studente met kundigheid in die veld opgelei kon word, veral vir die finansiële sektor.

Dit is bekend dat die vestiging van navorsingsvermoë baie tyd in beslag neem. Prof Bert Kersten, van die Vrije Universiteit in Amsterdam, wat by die vestiging van die Sentrum vir BWI betrokke was, was van mening dat die eerste artikel in die nuwe veld eers na 5 tot 7 jaar te wagte kon wees. Die eerste artikel het egter reeds na 3 jaar verskyn, wat toegeskryf kan word aan twee redes: eerstens die besondere navorsingvermoëns van Venter, en tweedens die kennis wat Venter oor ’n breë front in navorsing rondom die metodologie en toepassings van die vak Statistiek opgedoen het. Die vak staan sentraal in risiko-analise. In die res van hierdie artikel word ’n oorsig gegee oor Venter se bydraes op die gebied van ekonometriese tydreeksmodelle, met die fokus veral op die modellering van volatiliteitsrisiko.

Die artikel se uitleg is soos volg. In die volgende afdeling verskyn ’n kort oorsig oor die belangrikheid van finansiële en volatiliteitsrisiko vir die finansiële bedryf. Daarna, in Afdeling 3, volg ’n beskrywing van die klassieke GARCH-model wat tans baie gewild is vir die modellering van finansiële opbrengsreekse en vir die modellering van volatiliteitsrisiko. Aan die einde van die Afdeling 3 word melding gemaak van Venter se eerste bydrae tot die verbetering van die klassieke model (betreffende die modellering van volatiliteitsrisiko) deur gebruik te maak van die NIG-verdeling. In Afdeling 4 word die NIG-verdeling bespreek en die verdeling se eienskappe toegelig. Die veralgemeende GARCH-model, en meer spesifiek die NIG-GARCH-model, word in Afdeling 5 bespreek, sowel as studies van Venter waar hy die model met ander modelle (bv die t-GARCH) vergelyk met betrekking tot volatiliteitsmodellering. Venter se mengsel van verdelingbenadering tot die modellering van innovasierisiko word in Afdeling 6 bespreek. Tot en met Afdeling 6 is alle modelle gebaseer op die modellering van daaglikse (of maandelikse) opbrengsreekse. In Afdeling 7 word Venter se bydraes ten opsigte van intradag-GARCH-tipe modelle bespreek en toegelig met die verband tussen die beramings van volatiliteit met hierdie modelle verkry teenoor gerealiseerde volatiliteitsberamings. Die artikel word afgesluit met enkele opmerkings oor Venter se vernaamste idees betreffende toekomstige navorsing op die gebied.

2. FINANSIËLE RISIKO EN VOLATILITEITSRISIKO

Gedurende die afgelope 15 jaar het daar ’n fundamentele verandering plaasgevind ten opsigte van die wyse waarop maatskappye hul finansiële risiko bestuur. Vantevore was risikobestuur ’n onbelangrike funksie met min tegniese inhoud. Twee parallelle ontwikkelinge het die status quo egter totaal verander. Sedert die hoogs invloedryke bydrae van Robert Engle (1982), toe hy die ARCH-model voorgestel het vir die modellering van volatiliteitsgroeperings (meer hieroor later), het die ontwikkeling en uitbreiding van kwantitatiewe metodes vir risiko-ontleding van krag tot krag gegaan. Die ARCH-model en die ontwikkelinge wat daarop gevolg het, vorm vandag die hoeksteen van die meeste kwantitatiewe risikobestuursmodelle wat in die praktyk gebruik word. Venter se bydraes bou voort op hierdie werk en verskaf veral insig in die modellering van volatiliteit wanneer hoëfrekwensie-data beskikbaar is.

Die Basel II-verdrag het verdere impetus verleen aan die ontwikkeling van kwantitatiewe metodes vir risikobestuur. Ingevolge hierdie verdrag verplig reguleerders finansiële instellings wêreldwyd om ’n kapitaalbedrag in reserwe te hou as buffer vir moontlike afwaartse markrisiko. Finansiële instellings (veral banke) moet bewys kan lewer dat hul kwantitatiewe risikomodelle in plek het om die risiko te kan beraam en te bestuur. ’n Belangrike beginsel vervat in Basel II is dat finansiële instellings hul risiko’s moet meet deur interne modelle te ontwikkel wat aan die vereistes en riglyne van die reguleerders of toesighoudingsfunksie voldoen. In Suid-Afrika word hierdie funksie natuurlik deur die Reserwe Bank vervul.

Die woord “risiko” het baie betekenisse en word wyd gebruik deur professionele handelaars, risikobestuurders en die publiek. Onder die sambreel van finansiële risiko het verskeie ander benaminge vir risiko die lig gesien, soos markrisiko, kredietrisiko, operasionele risiko, likiditeitsrisiko, volatiliteitsrisiko, en nog vele meer. In hierdie artikel val die fokus op markrisiko en meer spesifiek op volatiliteitsrisiko.

Markrisiko is die risiko dat veranderinge in markpryse en koerse die waarde van maatskappye se posisies of beleggings in markinstrumente kan verminder. Een faset van markrisiko is sogenaamde volatiliteitsrisiko. Aandeelprysvolatiliteit beskryf die onsekerheid en toevallige beweging van aandelepryse. Dit is dus die risiko geassosieer met die prysbeweging van die aandeel. Meting van die volatiliteitsrisiko is belangrik. Met die prysing van opsies is die volatiliteit van die onderliggende aandeel byvoorbeeld die belangrikste faktor om ’n redelike waarde vir die opsie te bepaal. Die geleentheid vir wins of verlies wanneer daar in opsies belê word, spruit dus direk uit die aandeelprys se volatiliteit voort.

’n Maatstaf van die historiese volatiliteit van ’n sekere aandeel (of portefeulje) se prysbeweging kan verkry word deur die standaardafwyking van die aandeel se daaglikse historiese sluitingspryse te bereken. Hierdie beramer staan bekend as die klassieke historiese volatiliteitsberamer. Verskeie alternatiewe en meer doeltreffende beramers bestaan, waaronder beramers wat gebaseer is op sluitingspryse, maar ook op die hoogste, laagste en openingspryse (sien byvoorbeeld Franses en MacAleer 2002 en Pagel 2006). Hierdie beramers is egter gebaseer op die aanname dat die volatiliteit van die aandeel se pryse oor die periode van belang konstant bly.

Daar is egter ’n oorvloed van empiriese bewyse dat die volatiliteit van aandeelopbrengste nie oor tyd konstant is nie. Dit het gelei tot verskeie modelle om die verskynsel te modelleer. Tans is daar twee hoofstrome in die modellering van sodanige tydreekse, naamlik stogastiese volatiliteitsmodelle en veralgemeende outoregressiewe voorwaardelike heteroskedastiese (GARCH)-modelle. Stogastiese volatiliteitsmodelle (sien byvoorbeeld Andersson 2002, asook Liesenfeld en Richard 2003) is kontinue tyddiffusieprosesse wat deur stogastiese differensiaalvergelykings gespesifiseer word. Modelpassing van hierdie tipe modelle is moeilik en is tans ’n area van deurlopende navorsing.

’n Spesifieke probleem is dat verskille tussen tydspesifikasies van die modelle en die werklike waarnemings kan lei tot inkonsekwente beramers (sien byvoorbeeld Andersen et al. 1999). Aan die ander kant is GARCH-modelle (sien byvoorbeeld Engle 2002) gebaseer op die diskrete struktuur van die waargenome finansiële tydreekse en word daar aangeneem dat volatiliteit slegs van histories waargenome data afhanklik is. Dit maak dit moontlik om die metode van maksimum aanneemlikheid en die inferensieprosedures, wat op die metode gebaseer is, te gebruik.

Wanneer tydreekse geanaliseer word, is dit belangrik dat die tydreekse stasionêr is, wat die analise vergemaklik omdat baie standaardtegnieke beskikbaar is. ’n Tydreeks is stasionêr as die onderliggende proses wat dit genereer oor tyd dieselfde bly. Tipies is prysreekse nie-stasionêr, soos gesien kan word in Figuur 1.

Die grafiek toon die sluitingspryse van IBM vir 1 000 verhandelingsdae vanaf 18 Februarie 2000 tot 12 Februarie 2004. Wanneer die periode Februarie 2000 tot Februarie 2002 met die periode November 2002 tot Februarie 2004 vergelyk word, is dit duidelik dat IBM-pryse verskillende tendense volg vir aaneenlopende periodes oor tyd. Die standaardtegniek om ’n tydreeks te transformeer tot een wat stasionêr oor tyd is, is om eerste verskille te neem. In finansiële tydreekse is dit algemeen om met die logaritme-getransformeerde pryse (pryse) te werk en dan die verskille van die log-pryse te neem. Dit word dan die log-opbrengste genoem, wat dan in stede van die log-log-pryse geanaliseer word. Die log-transformasie word gewoonlik gemotiveer deur die aanname dat prysreekse as geometriese Brownse beweging gemodelleer kan word, maar ook omdat die transformasie wiskundige manipulasie vereenvoudig. In die res van die artikel sal ons hierdie praktyk volg.

Dit is duidelik dat wanneer die log-opbrengsreeks met die prysreeks (in Figuur 1) vergelyk word, dit baie meer stasionêr vertoon. Modelle sal nou gebruik word om die log-opbrengste en die volatiliteit van die log-opbrengste te modelleer. Van die bekendste empiriese feite wat opbrengsreekse kenmerk, is die nie-normaliteit van die verdeling van die opbrengste, asook die saamgroepering van volatiliteit in periodes van groter of kleiner volatiliteit. Verskeie navorsers (sien byvoorbeeld Barndorff-Nielsen en Prause 2001 en Engle 2004) het waargeneem dat aandeelopbrengste se empiriese verdelings tipies swaarder sterte het (groter waarskynlikheid as die normaalverdeling om opbrengste ver van die verwagte of gemiddelde opbrengs te verkry).

Figuur 1: Volatiliteit van daaglikse IBM-opbrengste. [grafiek: price = prys, date = datum, May = Mei, return = opbrengs]

Wat die saamgroepering van periodes van groter of kleiner volatiliteit betref, het verskeie studies getoon dat periodes van klein prysveranderinge gewoonlik gevolg word deur periodes van groot prysveranderinge en weer deur periodes van klein prysveranderinge. Die verskynsel staan bekend as volatiliteitsgroepering. Figuur 1 toon dat periodes van groot volatiliteit plaasgevind het tussen Oktober 2000 en April 2001, en weer van April 2002 tot Oktober 2002. Die sukses van veral GARCH-modelle om die saamgroepering van volatiliteit te GARCH-modelleer, het aanleiding gegee tot ’n massiewe groei in die literatuur. Oorsigartikels is gepubliseer deur Bollerslev, Chou en Kroner (1992), Ghysels, Harvey en Renault (1996), Li, Ling en McAleer (2002) en Engle (2002, 2004). ’n Hele aantal boeke het ook die lig gesien, naamlik boeke deur Gouriéroux (1997) asook McNeil, Frey en Embrechts (2005). Die belangrikheid van GARCH-modellering is verder onderstreep met die toekenning van die Nobel-prys vir Ekonomie in 2003 aan Robert F. Engle en Clive W.J. Granger vir hul navorsing oor die modellering van metodes om ekonomiese tydreekse met variërende volatiliteit te beskryf. Dit is interessant om daarop te let dat ’n studie van Berkowitz en O’Brien (2002) bevind dat eenvoudige GARCH-modelle vergelykende risikodekking wat minder reguleringskapitaal vereis, as komplekse strukturele waarde-op-risiko- (VaR-) modelle gee wat intern in baie banke gebruik word. 3. DIE KLASSIEKE GARCH-MODEL

Gestel die daaglikse sluitingsprys van ’n finansiële instrument word gegee deur p p1, 2,, en die daaglikse log-opbrengs op dagn isYn=log

(

p pn n−1

)

. Deur gebruik te maak van ’n klassieke GARCH-model, kan die opbrengsreeks beskryf word deur:

(1) In die model stelµn die verwagte of strukturele komponent voor, hn stel die volatiliteit voor, enZn

is die innovasie op tydstip n. Daar word aangeneem datµn enhn hoogstens afhanklik is van die

historiese inligtingsversameling)n−1 (die σ -veld genereer deurY Y1, , ,2 Yn−1 of ’n groter dataversameling beskikbaar op tyd n₋1_{). Die innovasies}Z_n is onafhanklik van)n−1 en ook onafhanklik en identies verdeel (oiv) met gemeenskaplike innovasieverdeling

ϕ

, die standaardnormaalverdeling (N(0,1)-verdeling). Die aanname datEZ_n=0 _en Var Z( ) 1_{n = , is om te}

verseker datµn enhn identifiseerbaar is sodatµn=E Y[ n)n−1] en hn=Var Y[ n)n−1]. Gewilde keuses virµn enhn isµ ν φn= + Yn−1 en hn=α α0+ 1(Yn−1−µn−1)2+β1hn−1, wat die AR(1)-GARCH(1,1)-model lewer (sien byvoorbeeld Hansen en Lunde 2001) .

3.1 Pseudo-maksimumaanneemlikheidsberaming

Sodra die model gespesifiseer is, kan die model op die waargenome opbrengsreeksY Y1, , ,2  YN

gepas word deur van die metode van maksimum aanneemlikheid gebruik te maak. Die versameling van die modelparameters wat beraam moet word, word voorgestel as die vektor .

Die logaritme van die aanneemlikheidsfunksie kan nou neergeskryf word as

(2)

Σ

{

waar _{ϕ( ) exp(z = −z}2 _{2) 2π . Die maksimumaanneemlikheidsberaming van kan verkry deur (2)} oor te maksimeer. Omdat daar geen sekerheid is dat die werklike innovasiedigtheid normaal is nie, kan die beraming van die parameters van die GARCH-model deur die maksimering van vanl_ϕ

( )

_nie beskryf word as werklike maksimum aanneemlikheid nie, vandaar die gebruik van die term “pseudo-”maksimumaanneemlikheidsberaming (MAB).

Ter illustrasie, gestel ’n AR(1)-GARCH(1,1)-model word op die opbrengsreeks gepas, sodat

en (3)

met{ , }_{ν φ die AR(1) outoregressiewe parameters en}{ , , }_{α α β0 1 1 die GARCH(1,1)-parameters. Dus, in}

hierdie geval is ′ =( , ,ν φ α α β0, , )1 1 . Met hierdie keuse vanµn enhn kan (2) gemaksimeer word, wat

dan die maksimumaanneemlikheidsberamings van die modelparametersˆ′ =( , ,ν φ α α βˆ ˆ ˆ ˆ0, , )1 ˆ1 lewer. Hieruit volg die residue as Z Zˆ ˆ1, 2,,ZˆN, waar Zˆn=(Yn−µˆn) hˆn ,

µ ν φ

ˆ

n

= +

ˆ

ˆ

Y

n−1 en

2

0 1 1 1 1 1

ˆ _{ˆ ˆ ( ˆ )} ˆ ˆ

n n n n

h =α α+ Y− −µ − +βh −.

3.2 Diagnostiese pasgehalte toetse

Indien bostaande model op finansiële opbrengsreekse gepas word en die ooreenstemmende residu’s bereken word, is ’n goeie diagnostiese toets vir akkuraatheid van modelpassing om die residu’s deur middel van ’n kwantielstipping (Q-Q stipping) of verdelingstransformasiestipping (PIT-stipping) teen die teoretiese standaardnormaaldigtheidsfunksie te stip. In baie praktiese toepassings toon bostaande grafieke dikwels dat innovasieverdelings met swaarder sterte nodig is (sien byvoorbeeld Forsberg 2002 en McNeil en Frey 2000). Dit is veral die geval indien met hoëfrekwensiedata gewerk word, soos daaglikse of intradag-opbrengsreekse.

3.3 Beraming en voorspelling van daaglikse volatiliteit

Gegee ’n waargenome daaglikse opbrengsreeks Y Y1, , ,2  YN , kan die verwagte strukturele

komponentµN+1 en die volatiliteithN+1 van die volgende (toekomstige) opbrengs voorspel word, maar die innovasiekomponentZN+1 is onseker. Hierdie risiko is die voorwaardelike risiko toeskryfbaar aan die innovasies, en ons noem dit kortweg die innovasierisiko. Laasgenoemde veroorsaak moontlike afwaartse risiko in die volgende toekomstige opbrengs YN+1=µN+1+ hN+1ZN+1. Maatstawwe van innovasierisiko is byvoorbeeld die bekende waarde-op-risiko- (VaR-) maatstaf, of die verwagte-tekort-(Esf-) maatstaf (sien byvoorbeeld Artzner et al. 2000). Die innovasie-waarde-op-risiko by waarskynlikheidsvlakα is_{VaR Z( )} 1_{( )}

α = Φ− α en die ooreenstemmende verwagte tekort is

( )

( ) 1 ( ) VaR Z Esf Z_{α α}− α x_ϕ x dx −∞ =

_∫

. Indien α=0.05, is_Φ−1_{(0.05)≈ −1.64 en} 0.05( ) 2.07 Esf Z _{≈ − .}

As die maatstawwe met die beraamde volatiliteit hˆN+1 hiermee vermenigvuldig word, word onderskeidelik hˆN+1VaR Zα( ) en verkry, wat beramings van die voorwaardelike risiko vir

Y

N+1 is, soos

gebaseer op innovasie- en volatiliteitsrisiko. Verder geeYˆN+1+ hˆN+1VaR Zα( ) enYˆN+1+ hˆN+1Esf Zα( )

3.4 Twee-stap GARCH-passings

Venter se eerste bydrae was gebaseer op ’n voor die hand liggende uitbreiding van die hoofgedagte in ’n artikel van McNeil en Frey (2000). Laasgenoemde se artikel het van ’n tweestap-metode gebruik gemaak om opbrengsrisiko te beraam en te voorspel. In die eerste stap word ’n GARCH-model gepas deur normaal-MAB te gebruik, en die residu’s voortspruitend uit die passing word dan gebruik om VaR en Esf deur middel van ekstreme waardemetodes (EVT) te beraam, eerder as deur middel van die standaardnormaalverdeling. Dit behels basies die passing van ’n Pareto-verdeling op ’n ad hoc-keuse van die onderste stert van die empiriese verdeling van die beraamde innovasies of residu’s.

Venter se gedagte was om eerder ’n normaal-inverse-Gaussiese (NIG-) verdeling op die empiriese verdeling van die beraamde innovasies te pas omdat die passing al die beskikbare data gebruik en omdat die NIG-verdeling ’n buigbare verdeling is in die sin dat dit vir moontlike skeefheid sowel as spitsheid en swaar sterte voorsiening maak (sien byvoorbeeld Lillestol 2000 en Rydberg 1997). Die ad hoc-keuse van waar die stert van ’n verdeling in ’n EVT-passing begin, kom ook nie ter sprake nie.

Die hoofbevinding van die studie (sien Venter en De Jongh 2002) was dat die NIG-gebaseerde benadering in steekproewe van grootte tot en met 250 opbrengstes gewoonlik beter beramings gee as die EVT-metodes. In groter steekproewe doen die NIG-benadering ook besonder goed indien die NIG-verdeling goed op die data pas, sodat die EVT-metode net aanbeveel word as die NIG-verdeling nie goed pas nie. Bostaande gevolgtrekking was gebaseer op die analise van verskeie empiriese datastelle, asook ’n Monte Carlo-studie.

In hierdie stadium van sy navorsing was Venter oortuig dat die NIG-verdeling ’n baie goeie alternatief bied vir die normaalverdeling as ’n innovasieverdeling. Intussen het verskeie studies die lig gesien wat ook die waarde van die NIG-verdeling in finansiële toepassings onderstreep (sien byvoorbeeld Barndorff-Nielsen en Prause 2001, Forsberg 2002, Forsberg en Bollerslev 2002).

4. DIE NORMAAL-INVERSE-GAUSSIESE VERDELING

’n Onlangse oorsig oor die NIG-verdeling en sy eienskappe van ’n risiko-analise perspektief kan gevind word in Lillestol (2000), en ander toepaslike verwysings is Rydberg (1997), asook Barndorff-Nielsen en Prause (2001). Die oorspronklike definisie van die NIG-verdeling (Barndorff-Barndorff-Nielsen 1985) het vier parameters, wat dit moontlik maak om simmetriese en asimmetriese verdelings met lang sterte in beide rigtings te modelleer. Die stertgedrag van die verdeling is “semi-swaar”, sodat dit voldoende mag wees om selfs gevalle van swaarder sterte soos dié van Pareto-verdelings te hanteer.

Behalwe bostaande eienskappe het die NIG-verdeling ook ander eienskappe wat dit ’n baie aantreklike verdeling in stogastiese modellering maak. So byvoorbeeld is ’n som van onafhanklik NIG-verdeelde veranderlikes met parameters van dieselfde vorm weer NIG-verdeel, wat baie handig is in die tydskalering van risiko’s (byvoorbeeld die afleiding van 10-dag-risiko’s van daaglikse risiko’s – sien Barndorff-Nielsen en Prause 2001, asook Rydberg 1997: bl. 240/1). In portefeuljetoepassings is dit ook nodig om met lineêre kombinasies van NIG-verdeelde veranderlikes te werk, en Lillestol (2000) argumenteer dat hierdie verdelings baie goed deur NIG-verdelings benader kan word. Barndorff-Nielsen et al. (1985) definieer die NIG( , , , )ξ χ κ κ0 1 -verdeling metξ die stert-swaarheid- (of spitsheid-) parameter,χ die assimmetrieparameter,κ0 die gemiddelde en

κ

₁ die variansie van die verdeling. Die spitsheid en asimmetrieparameters gee die sogenaamde NIG-vorm driehoek 0_{≤ χ ξ< <}1_{. Die keuseχ=}0 _{lei tot simmetriese verdelings, en hoe naderξ neig}

na 1, hoe swaarder is die sterte van die verdeling. In die limiet word die Cauchy-verdeling verkry. Aan die ander kant word die normaalverdeling verkry as die limiet wanneer _ξ →0.

...

Barndorff-Nielsen en Prause (2001:108) vind dat die beraamde ξ-waardes van baie finansiële daaglikse opbrengsreekse tussen 0.6 en 0.9 val. Dit is heelwat verskillend van nul, wat aandui dat die data duidelik nie normaal verdeel is nie. Maandelikse opbrengsreekse kan beskou word as gesommeerde daaglikse opbrengsreekse, sodat die sentrale limieteffek in werking kom, en daar verwag kan word om ξ-waardes nader aan nul te verkry. Venter se navorsing ondersteun hierdie bevinding.

Dit is insiggewend dat die NIG-verdeling, asook baie ander verdelings in ’n wye klas (insluitend die t-verdeling), interessante eienskappe het in die gestandaardiseerde vorm. Deur gebruik te maak van die kenmerkende funksie van die gestandaardiseerde NIG( , ,0,1)_{ξ χ -verdeling bewys Venter}

(sien Venter en de Jongh 2004) dat indien _ξ→1_{, sal die} NIG( , ,0,1)_{ξ χ -verdeling in die limiet ’n}

ontaarde verdeling gekonsentreer op 0 wees. Dit dui daarop dat die medium-swaar sterte van laasgenoemde verdeling verdwyn wanneer _ξ→1.

In hierdie artikel sal ons meestal aanneem dat die veranderlikeX volgens die standaard-NIG-verdelingSNIG( , )_{β ψ met parametersβ (enige reële getal) en enψ >}0 _{verdeel is. Die}

digtheidsfunksie van die SNIG( , )_{β ψ -verdeling word gegee deur (A6) in Aanhangsel A. Let op}

datEX_{=β en} 2 2

2

( ) 1

Var X _η β

ψ

= = + . Die volle volle 4-parameter-NIG( , , , )ξ χ κ κ0 1 -verdeling kan uit hierdie tweeparameter-spesifikasie verkry word, waar _{ξ= +}

(

_{1 ψ}2

)

−1/ 2_{, χ βξ= / β ψ}2₊ 2_,

0 κ =β en 2 1 1 2 β κ ψ

= + _{. In die geval waarβ=}0 _{is en} Var X( ) 1_{= , en dan is die verwysing na die verdeling}

vanX as die “standaard”-NIG-verdeling toepaslik. In die geval waar_β≠0_{, kan dit meer toepaslik}

wees om die naam eerder te reserveer vir die verdeling van X X β

η − =

 _{. Ons sal verwys na die}

verdeling vanX _{as die standaard “eenheid” normaal inverse Gaussiese verdeling} SUNIG( , )_{β ψ ,}

en die digtheidsfunksie word gedefinieer in (A7).

5. DIE ALGEMENE GARCH-MODEL

Na die uitvoering van die tweestap-GARCH-passing was Venter oortuig dat die NIG-verdeling in ’n eenstap-GARCH-passing beter resultate behoort te lewer. In Venter en De Jongh (2004) word die NIG-verdeling vergelyk met ander swaarstert- en skewe verdelings soos die t-verdeling (sien byvoorbeeld Jones en Faddy 2003) in ’n eenstap-MAB. Die hoofgevolgtrekkings van die studie was weer eens dat die NIG die beter en meer buigsame alternatief is. Dit vaar baie goed wat die beraming van die modelparameters betref en redelik wat die risikoparameters betref (beide die NIG en t het egter gesukkel om ekstreme scenario’s te hanteer).

Wat die beraming van volatiliteit betref, het die NIG oorwegend beter gevaar as die t-verdeling. Venter se gedagte dat die eenstap-passing beter as ’n tweestap-passing is, is ook bevestig in die studie wat die analise van verskeie datastelle en ook ’n deeglike Monte Carlo-studie behels het. In die artikel is die volgende, meer algemene vorm van die GARCH-model, in oënskou geneem, waar die opbrengsreeks beskryf is deur

(4) metµn en hn soos tevore, enXn die innovasie op tydstip n, weer eens onafhanklik van )n−1, maar nou onafhanklik identies verdeel met gemeenskaplike innovasieverdeling g_{. Soos tevore, om te verseker}

dat enhn identifiseerbaar is, word aangeneem datEXn=0 enVar X( n) 1= datµn=E Y[ n)n−1] en 1

[ ]

n n n

h ₌Var Y _{) − , dus is die ‘innovasie’digtheidsfunksie}g _{’n eenheidsdigtheidsfunksie in die sin dat} dit ’n verwagte waarde 0 en variansie 1 het.

5.1 Pseudo-maksimumaanneemlikheidsberaming

Indien die model soos in (4) geld, is die log-aanneemlikheidsfunksie nou

(5) en die maksimumaanneemlikheidsberaming van kan verkry word deur (5) oor te maksimeer. Om dit te doen, moet ’n eksplisiete keuse vir die innovasiedigtheid

g

gemaak word. Let op dat die parameterversameling nou uit sowel model- as verdelingsparameters bestaan.

Ter illustrasie, neem aan datX_n SUNIG( , )_{β ψ en ’n AR(1)-GARCH(1,1) struktuur soos}

voorheen. In die vorige notasie is ′ =( , ,ν φ α α β β ψ0, , , , )1 1 en die log-aanneemlikheidsfunksie word

nou, met 2

0 1( 1 1) 1 1

n n n n

h =_{α α}+ Y₋ −_{µ −} +_βh₋ , gegee deur

(6) Passing van hierdie NIG-GARCH-model lewer maksimumaanneemlikheidsberamings van die model- en verdelingsparametersˆ′ =( , ,ν φ α α β β ψˆ ˆ ˆ ˆ0, , , , )1 ˆ ˆ1 ˆ en residu’s X Xˆ1, ˆ2,,XˆN, waar

ˆ

ˆ _{( ˆ )}

n n n n

X ₌ Y _−µ h ,µ ν φˆn= +ˆ ˆYn−1 en hˆn=α αˆ0+ ˆ1(Yn−1−µˆn−1)2+βˆ1hˆn−1.

5.2 Diagnostiese pasgehalte toetse

Indien bostaande model op finansiële opbrengsreekse gepas word en die ooreenstemmende residu’s bereken word, is ’n goeie diagnostiese toets vir modelakkuraatheid om die residu’s

ˆ

ˆ _{( ˆ )}

n n n n

X = Y −µ h se empiriese verdeling deur middel van ’n kwantielstipping (Q-Q-stipping) of verdelingstransformasiestipping (PIT-stipping) teen dieˆg digtheidsfunksie (in bostaande voorbeeld die SUNIG( , )_{β ψ}ˆ ˆ -verdeling) te toets.

5.3Beraming en voorspelling van daaglikse volatiliteit

Die innovasierisiko kan weer eens gemeet word deur waarde-op-risiko (VaR) en/of verwagte tekort (Esf), en beide maatstawwe hang af van die innovasieverdelingsfunksie G _{. Gestel ons neem aan dat} die innovasieverdeling goed deur die SUNIG( , )_{β ψ} -verdeling gemodelleer kan word. Die innovasiewaarde-op-risiko by waarskynlikheidsvlakα is VaR Xˆ ( )_α , soos verkry deur die oplossing van die vergelyking ˆ ( ) _{( , )}ˆ

( )

VaR X SUNIG

f x dx

α

β ψ

α=

_∫

_−∞ , met ooreenstemmende verwagte tekort

( )

ˆ ( ) 1 ˆ ( , ) ˆ ( ) VaR X SUNIG Esf X_{α α}− α x f _{β ψ} x dx −∞

=

_∫

. Soos tevore, deur bostaande maatstawwe met die

beraamde volatiliteit hˆN+1 te vermenigvuldig, word hˆN+1VaR Xˆ ( )α en hˆN+1Esf Xˆ ( )α verkry as

beramings van die voorwaardelike risiko vir YN+1, soos gebaseer op innovasie- en volatiliteitsrisiko. Verder gee YˆN+1+ hˆN+1VaR Xˆ ( )α en YˆN+1+ hˆN+1Esf Xˆα( ) dus beramings van die risiko geassosieer

met die volgende daaglikse opbrengs.

6. INNOVASIEVERDELING GEBASEER OP DIE MENGSEL VAN VERDELING-HIPOTESE

Van die kritiek wat dikwels teen GARCH-modelle uitgespreek word, is die aanname dat volatiliteit net van histories waargenome data afhanklik is. Dus die beraming van vandag se volatiliteit hang net af van gister se waargenome opbrengsdata. Met hierdie kritiek in gedagte het Venter ’n nuwe interpretasie van die GARCH-model voorgestel vir die modellering van daaglikse opbrengsreekse. Die model maak gebruik van die mengsel van verdelings-hipotese van Clark (1973), waarvolgens ’n toepaslike variansiemengsel van normaalverdelings as ’n realistiese innovasieverdeling gebruik kan word. LaatW W1, 2, onafhanklik en identiese positiewemengsel stogastiese veranderlikes wees, onafhanklik van Z Z1, 2,. Stel nou die n-de innovasie Xn= W Zn n. Dan is die algemene

innovasiedigtheidsfunksie van die Xn’s die normaalvariansiemengsel-vorm

(7) waarϕ die N(0,1)_{-digtheidsfunksie en}

_H

_{die verdelingsfunksie van die} W_{n’s. Afhangende van die} keuse vanH kanf swaarder sterte asϕ hê. Ook isEXn=E W EZn n=0

en _{( ) (} 2_{) ( ) (} 2₎

n n n n n n

Var X =E W Z =E W E Z =EW sodat die nul verwagte waarde en

eenheidsvariansievereiste op die innovasies die aanname datEW_n=1 forseer.

6.1 Interpretasie van die NIG-GARCH-model in die mengselverdeling-raamwerk

GestelW W1, 2, is onafhanklik en identies verdeel volgens die eenheidsinverse-Gaussiese verdeling (UIG( )_{ψ soos gedefinieer in A3), onafhanklik van} Z Z₁, ₂,, waar Z Z1, 2,onafhanklik en identies standaard normaal verdeel is. Dan, met Xn= W Zn n, kan (4) geskryf word as

(8) Die tweede uitdrukking wys dat die model ’n normaalinnovasietermZn met ’n aangepaste

volatiliteit h Wn n het. Ons weet ook van (A6) dat W Zn n’n SNIG(0, )ψ -verdeling het. Dus verskil die

eerste uitdrukking van die model (1) deurdat die N(0,1)-verdeelde innovasie vervang word deur ’n

(0, )

SNIG ψ -innovasie. (Let op dat SNIG(0, )ψ ≡SUNIG(0, )ψ , want SNIG(0, )ψ het verwagte waarde 0 en variansie 1.) Die tweede uitdrukking in (8) wys egter daarop dat die model geïnterpreteer kan word dat die N(0,1)_{-innovasie behou word, maar dat die gekwadreerde volatiliteit (soos geërf uit die}

verlede) aangepas word met die stogastiese faktor Wn, vanhn naW hn n .

Omdat EW_n=1, is daar nie ’n gemiddelde aanpassing nie, maar op ’n spesifieke dag kan die aanpassing op of af wees, soos weerspieël deur die waarde van Wn. Die gekwadreerde volatiliteithn

kan op die meeste volatiliteit bevat veroorsaak deur faktore wat “in die data” is tot op dag n−1. Die volatiliteit op dagn_{mag egter beïnvloed word deur faktore soos nuusgebeure wat plaasvind na} marksluiting op dag n−1. Daarom is die werklike volatiliteit soos ervaar op dagn verskillend van hn,

en magWn geïnterpreteer word as nodig om die werklike volatiliteit op dag

n

te modelleer.

Dit is presies wat bostaande model poog om te doen. Let op datE Y( n F ,n−1Wn)=µn en dat

1

( _nF ,_{n n}) _{n n}

Var Y ₋ W ₌h W _{. Dan het ons dat} E h W( _{n n)n−1})₌h_{n, sodat}h_n die verwagte volatiliteit voorstel (gebaseer op data beskikbaar tot en met dag n−1) enh Wn n die werklike volatiliteit soos ervaar op

dag n_{. Die model (8) kan op twee maniere geïnterpreteer word: aan die een kant as ’n GARCH-model} met NIG-verdeelde innovasies, en aan die ander kant as ’n hibriede GARCH stogastiese volatiliteitstipe model met ’n normaal-verdeelde innovasie, maar met ’n stogastiese aanpassing van die GARCH-volatiliteit om dit op datum te bring. Hierdie twee sienings is ekwivalent, soos (8) toon. Venter vind

die tweede siening nuttig wanneer modelle geformuleer en bedink word, en die eerste wanneer die nodige verdelingsteorie uitgesorteer moet word.

Meer algemeen, neemXn=βWn+ W Zn n sodat (8) veralgemeen na

(9) wat ook voorsiening maak vir ’n moontlike skuifaanpassing van die impakfaktor op die strukturele deel van die model. Vanaf (A5) en (A6) is Xn, dus SNIG( , )β ψ -verdeel. Die model (9) is vergelykbaar

met ’n GARCH-in-gemiddelde model (sien byvoorbeeld Elder 2003), waar die termβ hn vervang

word met die term β h Wn n. Weer eens omdat EWn=1, is die terme gemiddeld dieselfde, maar daar

kan geargumenteer word dat as volatiliteit ook die strukturele gedeelte van die model affekteer, die toevallige impakWn ook geïnkorporeer moet word. Dan is (9) ’n meer realistiese formulering wat

beskryf kan word as ’n stogastiese GARCH-in-gemiddelde model. Uit die formulering van bostaande model is E Y( nF ,n−1Wn)=µn+βW hn n , Var Y( n F ,n−1Wn)=h Wn n,E Y( n F )n−1 =µn+β hn en 2 1 ( _n F )_{n n} Var Y _{− =η} h _waar 2 2 2 ( _n) 1 Var X _η β ψ = = + _.

Indien die gestandaardiseerde vorm vanXn=βWn+ W Zn n dit is n n n n n n n W W Z X EX X VarX β β η + − − = =  _{gebruik word in (9), is} 1 ( 1) ( _n F ,_{n n}) _n Wn hn E Y W µ β η − = + − , 1 2 ( F , ) n n n n n h W Var Y W η

− = ,E Y( nF )n−1 =µn en Var Y( nF )n−1 =hn, en vanaf (A7) isXn dus SUNIG( , )β ψ

verdeel. In die gestandaardiseerde vorm is die model dus ekwivalent aan die model soos in (6) beskryf.

6.2 Beraming van die latente veranderlikes

Die volatiliteit-aangepaste latente veranderlikesWn kan ook beraam word deur die voorwaardelike

verdeling van W _gegeeX ₌x _{te bepaal. Venter verkry dit as die}GIG( 1, ( ), )_{− δ} x _{γ (die} veralgemeende-inverse-Gaussiese verdeling soos gegee in A1) met_{δ( )x = x}2_+ψ2 _{en γ = β ψ}2₊ 2_{. Dus is die} beste beramer van W _{gebaseer op}X

(10) waarK_{λ ’n gemodifiseerde Bessel-funksie van die derde orde met indeksλ is. Die beraming is dus}

met , en (11)

Die beraamde gekwadreerde volatiliteitˆ

n

h kan nou aangepas word na _{h W}ˆ ˆ_{n n, wat ’n beter beraming}

van die werklike volatiliteit ervaar op die bepaalde dag lewer. Op dieselfde wyse kan beramings vanˆ

n

Z van die innovasie-latente veranderlikeZn verkry word deur die voorwaardelike verdeling van

Z, gegee X₌x, te bereken en ’n uitdrukking virZˆ= E Z X_ _ te kry.

Soos voorheen kan die metode van maksimum aanneemlikheid gebruik word vir modelpassing en kan diagnostiese pasgehalte toetse soortgelyk aan dié wat in paragraaf 5.2 beskryf word, uitgevoer word en volatiliteits- en innovasierisikoberamings en -voorspellings soortgelyk aan dié in paragraaf 5.3 gedoen word. ’n Verdere diagnostiese toets vir modelpassing is om die beraamde ˆ

n

W ’s en ˆ

n

Z ’s met hulle onderskeie verdelingsUIG( )_ψˆ enN(0,1) te vergelyk.

0 1 ˆ _(ˆˆ ₎ ˆ ˆ ˆ (ˆ ) n n n n K W K δ γδ γ γδ =

6.3Ander verdelings vir die stogastiese impakfaktor

’n Logiese vraag is: Wat van ander verdelings vir die Wn’s as die UIG( )ψ -verdeling? Venter doen ’n

uitgebreide studie waar hy verskeie alternatiewe verdelings met mekaar vergelyk. Venter formuleer ’n algemene familie van normaal-gemiddelde variansiemengsel, of kortweg NMVM-verdelings (sien Venter en de Jongh 2007). GARCH-modelle waar die innovasieterm ’n gestandaardiseerde vorm Xn

van die normaalmengselveranderlike Xn=βWn+ W Zn n is (met die Zn’s en Wn’s soos tevore), word

beskou. Ses spesiale keuses van die mengselverdeling vir die Wn’s word ondersoek, naamlik die

Inverse-Gaussiese, Inverse-gamma, gamma, log-normaal, diskrete mengsels en oneindige konvolusies van eksponensiële verdelings. Die mengselverdelings en die ooreenstemmende NMVM-verdelings word vergelyk en die uitsluitsel van die studie is dat die verskillende NMVM-verdelings mekaar baie goed kan benader. Venter gebruik die relatiewe entropiemaatstaf (sien byvoorbeeld Soofi en Retzer 2002) ∞log{ ( ) ( )} ( )f x g x f x dx

−∞

∫

as maatstaf van die afstand tussen twee digtheidsfunksies f en g_. Die slotsom is dat die spesifieke keuse van die mengselverdeling in die praktyk nie van veel belang is nie. Wat egter van belang is, is die konsep van vermenging, wat beter modelle tot gevolg het.

In die studie vind Venter ook empiriese steun vir die intertemporale kapitaal-bate-prysingsmodel (ICAPM) van Merton (1973). Dit is een van die min praktiese studies wat die model steun. Die normaal-lognormaal-verdeling kom hier as ’n baie goeie alternatief vir die NIG-verdeling na vore omdat dit die kompleksiteit van berekeninge in ’n meerveranderlike konteks baie vergemaklik. Venter het uit empiriese studies gesien dat, wanneer daar met daaglikse data gewerk word, die beraming van W nie goed is nie. Die logiese veronderstelling is dat meer data nodig is om die W’s te beraam, en dus dat bostaande modelle na intradag-opbrengsreekse uitgebrei behoort te word.

7. GARCH-MODELLE GEBASEER OP INTRADAGDATA

Tot dusver het ons slegs gekyk na die “daagliksedata-geval”, met ander woorde waar ons slegs daaglikse sluitingspryse en opbrengste beskikbaar het, en word daaglikse volatiliteit slegs in hierdie konteks beskou. Dit is egter so dat intradaggebeurtenisse ’n baie belangrike invloed op daaglikse volatiliteit het. Gestel byvoorbeeld dat ’n aandeel se prys die oggend met R100 open en teen die middag na R90 val, dan herstel en teen die einde van die dag op R99 sluit. ’n Oningeligte waarnemer sal die opeenvolgende sluitingspryse interpreteer as ’n normaalverhandelingsdag, terwyl die aktiewe verhandelaar egter groot volatiliteit deur die dag ervaar het. Hierdie intradagvolatiliteit sal nie deur ’n tradisionele daaglikse GARCH-model opgetel word nie, en die onrealisme verg dus ’n nuwe benadering. Venter het hier twee benaderings gevolg. Eerstens om die hoogste en laagste pryse per dag, saam met die openingsprys en sluitingsprys te gebruik (sien Venter en de Jongh 2005), asook om al die intradagdata te gebruik (sien Venter et al. 2006). Soos verwag, bevind hy dan ook dat hoe meer intradagdata gebruik word, hoe beter die gepaste modelle en hoe beter en meer realisties is die vooruitberamings van volatiliteit.

Die beskikbaarheid en betroubaarheid van finansiële data het in die laaste paar dekades dramaties verbeter. In die verlede het die data hoofsaaklik bestaan uit daaglikse waarnemings wat af en toe van ekstreme waarnemings (laag en hoog) vergesel was. Die oorgrote meerderheid van modelle wat in daardie tye ontwikkel is, het om voor die hand liggende redes net die beskikbaarheid van daaglikse data aangeneem.

Die wydverspreide vermeerdering in die beskikbaarheid van hoërfrekwensiedata het in die laaste paar jaar ’n groot invloed op navorsing, en veral so op die modellering van daaglikse en intradagvolatiliteit uitgeoefen. Vandag bestaan ’n historiese intradag-prysdatabasis by die Sentrum vir BWI, wat data vanaf Augustus 2004 tot op hede bevat. Die databasis staan bekend as die

BWI-, ( ) ,

i n n n n n n i n

A = ∆ µ +β h W + h W∆Z Z_{i n,} =(Z_i∆,n−Z_{( 1) ,i− ∆n}) ∆.

intradagdatabasis (IDDB). In wat volg sal ons slegs die modelformulering gebaseer op alle beskikbare intradag-prysdata bespreek.

7.1 Die BIG-GARCH-Model

Neem aan dat intradagpryse beskikbaar is, en laat pt n, die prys op tydstip t op dag n voorstel. Hier meet ons tyd in ’n fraksie van ’n verhandelingsdag (dus 0_{≤ ≤}t 1 _{en stem} t₌0 _{ooreen met opening}

van verhandeling en t=1 met sluiting van verhandeling). Laat Yt n, =log(pt n, p0,n) die log-opbrengs

op tydstip t _{op dag} n _{wees. Verdeel nou die verhandelingsdag in} I periodes van gelyke duur

1 I

∆ = elk, en neem aan dat pryse ten minste op tye _∆i i, ₌0,1, 2, ,_ I _{waargeneem word (byvoorbeeld} in 5-minuut- of 30-minuut-periodes).

Laat

(12) die opbrengs oor die

i

-te periode aandui, i₌1, 2, ,_ I_{. Dan is die totale opbrengs op die} n-de dag

,

1, ₁ i n

I n n _i

Y _≡Y ₌

∑

₌ A _{en die ooreenstemmende gerealiseerde volatiliteit (RV), gedefinieer deur}

,

2 1 i n

I n _i

R ₌

∑

₌ A _{. RV is onlangs intensief bestudeer, beide empiries en analities (sien byvoorbeeld} Andersen et al. 2000-2003, Barndorff-Nielsen en Shephard 2002, en Pagel et al. 2007).

Venter stel ’n model vir die intradag-opbrengsproses Yt n, ,0≤ ≤t 1 voor wat op sy vorige modelle in die daaglikse konteks gebaseer is. Laat Wn soos voorheen gedefinieer wees en neem aan dat Zt n, standaard Brownse beweging in t is, onafhanklik oor

n

en ook onafhanklik van die Wn’s. In

ooreenstemming met (9) definieer Venter die “Brownse-inverse-Gaussiese” (BIG) proses

, ,

t n n n t n

X _=βtW ₊ W Z _, 0_{≤ ≤}t 1 as die innovasieproses sodat die intradag-opbrengste gemodelleer

word deur

(13) Soos tevore is µn en hn hoogstens afhanklik van die historiese inligtingsversameling )n−1 (nou ’n

σ

-veld gegenereer deur Yt m, ,0≤ ≤t 1,m n< ). Indien Wn ’n konstante met waarde 1 is, dan

voorwaardelik gegee die inligting voor dag n, sal die opbrengsproses binne dag n_{’n Brownse} proses volg met dryfkoers µn+β hn en volatiliteit hn, soos geërf uit die verlede. Omdat Wn egter

stogasties is, is laasgenoemde die verwagte dryfkoers en verwagte volatiliteit, terwyl die werklike dryfkoers en werklike volatiliteit aangepas word deur stogasties faktor Wn, wat die opbrengsproses

beïnvloed na sluiting van verhandeling op die vorige dag. Natuurlik moet µn en hn soos tevore

gespesifiseer word.

7.2 Maksimumaanneemlikheidspassing van die BIG-GARCH-model

Die intradag-opbrengsteAi n, ,i=1, 2, , I is die waargenome data. Deur van (12) en (13) gebruik te maak, is

n n n n IS W C h = 2 , 1( ) I n _i i n n C =

∑

₌ Z −Z . n n n n n n Y W W Z h µ _β − _{= +} Z_n= I Z_{n 1} , I n _i i n Z =

∑

₌ Z I,

Hier isZi n, ,i=1, 2, , I onafhanklik identies N(0,1)-verdeel. Die gesamentlike verdeling van , , 1, 2, ,

i n

A i=  I, gegee)n−1 en Wn, kan nou neergeskryf word, en dan kanWn uit geïntegreer word

sodat die gesamentlike verdeling van Ai n, ,i=1, 2, , I, gegee )n−1, verkry word. As dit oorn vermenigvuldig word, kry jy die aanneemlikheidsfunksie.

Venter (Venter et al. 2006) bewys dat laasgenoemde slegs afhang van die totale daaglikse opbrengsteYn en die RV’sRn (met ander woorde in die konteks is dit genoegsame statistieke). Daarom

kan ons net sowel die gesamentlike verdelings van hierdie statistieke verkry en ons inferensie daarop baseer.

Venter verkies om eerder met die daaglikse som van gekwadreerde afwykings (SSD’s) as met die RV’s te werk omdat dit tegnies meer effektief is. Die SSD vir die n_{-de dag is}

2 2 1 1 , 1( ) I n i i n I n n I n S =

∑

₌ A − Y =R − Y . Van ₁ i n, I n _i Y A =

=

∑

en (13) volg dit dat

met en (15)

en van die definisie van Sn, (13) en (14) kry Venter dat

met (16)

Daaruit volg datZn= I Zn N(0,1)-verdeel is,Cn is χI2−1-verdeel en onafhanklik. Venter lei dan die gesamentlike verdeling van die paar ((Y_n−µn) h IS h_n, _{n n})_{, gegee )n−1, af as}SNCIG( , ,β ψ I−1)

(sien aanhangsel A en vergelyking A5), sodat die log-aanneemlikheidsfunksie van die( , )Y S_{n n data} geskryf kan word as

(17) Soos tevore wordµn enhn gespesifiseer as byvoorbeeldµ ν φn= + Yn−1 (die AR(1)-model)

en 2

0 1( 1 1) 1 1

n n n n

h _{=α α+} Y_{− −µ − +β}h₋ (die GARCH(1,1)-model). Met die eerste oogopslag mag dit lyk soos die standaard GARCH(1,1)-spesifikasie, maar binne die konteks van model (13) is die keuse vanhn ’n verfyning van die nie-lineêre asimmetriese GARCH- (NAGARCH(1,1)-) spesifikasie van

Engle en Ng (1993). Sien Venter et al. (2006) vir meer detail in die verband.

7.3Diagnostiese pasgehalte toetse vir die BIG-GARCH-model

Ongeag die spesifikasie vanµn enhn word bostaande die BIG-GARCH-model genoem. Die

log-aanneemlikheidsfunksie word gegee deur (17) en maksimumaanneemlikheidsinferensie word moontlik gemaak. Sodanige program is met behulp van Proc NLP van SAS ontwikkel om MAB-beramers te bereken en om die ooreenstemmende asimptotiese standaardfoute te verkry.

Sodra beramings _βˆ_{, ψˆ,µ}ˆ_{n en}hˆ_n beskikbaar is, kan diagnostiese passingstoetse uitgevoer word. Eerstens weet onsX_n≡(Y_n−_µn) h_n is SNIG( , )_{β ψ -verdeel, en daarom behoort}Xˆ_n=(Y_n−_µˆ_n) hˆ_n ongeveer SNIG( , )_{β ψ}ˆ ˆ -verdeel te wees. Tweedens isVn≡IS hn n SCIG( ,ψ I−1)-verdeel, en daarom

behoortˆ ˆ

n n n

V ₌IS h ongeveer SCIG( ,_ψˆ I₋1)-verdeel te wees (digtheidsfunksie in A8). Verdere diagnostiese toetse kan gebaseer word op die beramings van die latente veranderlikes in die model.

7.4 Beraming van latente impakfaktor

Vanaf (A9) kanWn deurWˆn beraam word, waar 2

2 2 ( ) ˆ _, ( ) l l K W E W X V K δ γδ γ + γδ = _  =_

(_{δ δ= ( , )X V = X}2_{+ +V ψ}2 _{enγ = β}2_+ψ2 _{). In bostaande uitdrukking word}β ψ, , X _{en V} vervang met met die beramings ˆ_{, ,ˆ} ˆ

n

X

β ψ en ˆ

n

V , en dan kan die ˆ

n

W ’s deur middel van QQ- of PIT-stippings teenoor die model geïmpliseerde verdeling vergelyk word. Soos tevore kan volatiliteits- en innovasierisiko beraam en voorspel word deur die model (9) as basis te gebruik. Let egter op dat die beramings van die parameters van die NIG-verdeling met ’n ander metode verkry is.

7.5 Die verband tussen gerealiseerde volatiliteit en daaglikse volatiliteit soos beraam met die BIG-GARCH-model

Venter se werk het die verband tussen daaglikse GARCH volatiliteitsberamings en gerealiseerde volatiliteit duidelik gemaak. Hierdie insig kan opgesom word deur die benaderde verwantskap

n n n

R ≈h W , wat aandui dat gerealiseerde volatiliteit benaderd GARCH-volatiliteit volg, nadat ’n aanpassing gemaak is deur dit met die daaglikse stogastiese impakfaktor Wnte vermenigvuldig.

Hierdie Wn’s is latente (onwaarneembare) veranderlikes, maar kan in die intradag-geval beraam word,

wat dit dus moontlik maak om die verband tussen gerealiseerde en GARCH-volatiliteite te bestudeer. Hierdie werk van Venter werp lig op die bevinding van Forsberg en Bollerslev (2002). Omdat

n n n

R _≈h W _{, het ons dat} R h_{n n≈}W_{n, en verder omdat}W_{n volgens aanname inverse-Gaussies (IG)} verdeel is, is dit dieselfde as Forsberg en Bollerslev (2002) se bevinding dat gerealiseerde volatiliteit gestandaardiseerd met GARCH-volatiliteit IG-verdeel is. In Figuur 2 hieronder verskyn ’n puntstipping wat die sterk verband tussenh Wˆ ˆn n enRˆn illustreer. Die beramings is gekry deur middel van ’n

BIG-GARCH-passing op die IBM 5-minuut-intradag-opbrengsreeks.

7.6 GARCH-modelle met afhanklike latente impakfaktore

In die meeste GARCH-modelle word aangeneem dat die innovasiesXn onafhanklik oorn is.

WanneerXn in die vorm W Zn n geskryf word, of in die meer algemene geval wanneer daar met die

Figuur 2: Puntstipping vanˆ ˆ n n

h W teenoor ˆ n

R , soos verkry deur ’n BIG-GARCH-passing op die IBM-data met 5-minuutperiodes

innovasieprosesseXt n, = W Zn t n, gewerk word, word aangeneem dat beideZn (of Zt n, ) en Wˆnonafhanklik

oorn is.

Die impakfaktore Wn kan geïntepreteer word dat hul vorm aanneem voordat die verhandelingsdag

begin, maar dan ’n effek gedurende die dag uitoefen sonder verder evolusie van die impakfaktore self, vandaar die onafhanklikheidsaanname. Dit kan onrealisties wees omdat nuusgebeure met groot effekte ook gedurende die dag kan voorkom en langer as een dag volatiliteit kan affekteer. Natuurlik kan nuusgebeure met kleiner effekte opgeneem word in die normaalinnovasies Zt n, .

Venter toets egter die onafhanklikheidsaanname vir die Wn’s deur gebruik te maak van intradag

empiriese data, en vind dat dit nie geldig is nie. Dit versterk egter sy interpretasie dat die Wn’s

impakfaktore voorstel wat voortspruit uit nuusgebeure, en dat groot nuusgebeurtenisse geneig sal wees om langer blywende effekte op volatiliteit te hê as net een dag. Ongelukkig bring sulke afhanklikhede ernstige tegniese gevolge vir modelpassing mee, want die berekening van die aanneemlikheidsfunksie word baie meer kompleks. Venter neem, na empiriese ondersoek, ’n AR(1)-struktuur vir die Wn’s aan en benader die log-aanneemlikheidsfunksie deur van doeltreffende

belangrikheidsteekproefneming gebruik te maak.

Die kontrole veranderlike tegniek word ook gebruik om die variansie van die aanneem-likheidsfunksie benadering te verminder. Venter vind dat die parameterberamings verskil van die standaard-BIG-GARCH-model, en dat die modelpassing op intradagdata verbeter. Die model word die TD-BIG-GARCH-model genoem, waar TD dui op die afhanklikheid in die Wn’s. Die teoretiese

ontwikkelinge word in die tesis van Griebenow (2006) uiteengesit.

In Figuur 3 hieronder verskyn ’n puntstipping van die beramings vanhn enh Wn n teenoor die

gerealiseerde volatiliteitRn vir ’n 5-minute gesimuleerde intradag-datastel. Die beramings is verkry

deur ’n TD-BIG-GARCH-modelpassing. Sien Griebenow (2006) vir meer detail.

Dit is duidelik dat die TD-BIG-GARCH-model daaglikse volatiliteitsberamings lewer wat baie naby aan dié van gerealiseerde volatiliteit is. Venter bevind ook dat, gegee die onderhawige modelle, die TD-BIG-GARCH-model beter as die BIG-GARCH-model vaar met die beraming van volatiliteitsrisiko. Dit het natuurlik ’n voordeel bo dié van gerealiseerde volatiliteit, naamlik dat voorspelling binne die gespesifiseerde model moontlik is.

Figuur 3: Puntstippings van ˆ n

8. TOEKOMSTIGE NAVORSING

Venter se idees oor verdere werk op die gebied van volatiliteitsmodellering konsentreer tans rondom die normaal-log-normaal-verdeling as innovasieverdeling vanweë die feit dat die verdeling in ’n meerveranderlike konteks teoreties makliker hanteerbaar is as die NIG-verdeling. Dit sal veral nuttig wees wanneer ander en meer komplekse afhanklikheidsmodelle vir die Wn’s beskou word.

Intradag-GARCH-modelle gebaseer op die normaal-lognormaal-verdeling kan dan met die TD-BIG-GARCH-model vergelyk word.

’n Studie waarin die voorspelling van daaglikse volatiliteit, verkry deur die intradag-GARCH-modelle, met modelle gebaseer op gerealiseerde volatiliteit vergelyk word, is ook nodig. Sodanige studie sal binne die NMVM-verdelingraamwerk uitgevoer word. Ander idees van Venter is om verhandelingsvolumes as verklarende veranderlikes in ’n GARCH-konteks te gebruik en om ander spesifikasies van µn en hn te oorweeg.

BIBLIOGRAFIE

Andersson, J. (2001). On the normal inverse Gaussian stochastic volatility model. Journal of Business and Economic Statistics, 19, 44 54.

Andersen, T.G., Chung, H. & Sørensen, B.E. (1999). Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: a Monte Carlo study. Journal of Econometrics, 91, 61 87.

Andersen, T.G., Bollerslev, T., Diebold, F.X. & Labys, H. (2000). Exchange rate returns standardized by realized volatility are (nearly) Gaussian. Multinational Finance Journal, 4, 159 179.

Andersen, T.G., Bollerslev, T., Diebold, F.X. & Ebens, H. (2001). The distribution of stock return volatility. Journal of Financial Economics, 61, 43 76.

Andersen, T.G., Bollerslev, T., Diebold, F.X. & Labys, H. (2001). The distribution of realized exchange rate volatility. Journal of the American Statistical Association, 96, 42 55.

Andersen, T.G., Bollerslev, T., Diebold, F.X. & Labys, P. (2003). Modeling and Forecasting Realized Volatility. Econometrica, 71, 579 625.

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. & Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9(3), 203 228.

Barndorff Nielsen, O.E. , Blaesid, P., Jensen, J.L. & Sorensen, M. (1985). The fascination of sand, in A.C. Atkinson & S.E. Feinberg, eds A celebration of Statistics, Springer Verlag, New York, 57 87.

Barndorff Nielsen, O.E., & Prause, K. (2001). Apparent Scaling. Finance and Stochastics, 5, 103 113. Barndorff Nielsen, O.E. & Shephard, N. (2002). Econometric analysis of realized volatility and its use in

estimating volatility models. Journal of the Royal Statistical Society, Ser B, 63, 167 241.

Berkowitz, J. & O’Brien, J. (2002). How accurate are Value at Risk models at commercial banks? The Journal of Finance, LVII, 1093 1111.

Bollerslev, T., Chou, R.Y., & Kroner, K.F. (1992). ARCH modelling in finance: a review of the theory and empirical evidence. Journal of Econometrics, 39, 5 59.

Clark, P.K. (1973). A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices. Econometrica, 41, 135 155.

Elder, J. (2003). An impulse response function for a vector autoregression with multivariate GARCH in mean. Economics Letters, 79(1), 21 26.

Engle, R.F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50, 987 1008.

Engle, R.F. (2002). New Frontiers for ARCH. Journal of Applied Econometrics, 17, 425 446.

Engle, R.F. (2004). Risk and Volatility: Econometric models and financial practice. American Economic Review, 94 (3): 405 420.

Engle, R.F. & Ng, V.K. (1993). Measuring and testing the impact of news on volatility. Journal of Finance, 48(5), 1749 1778.

Forsberg, L. (2002). On the Normal Inverse Gaussian Distribution in modeling volatility in the Financial Markets. Doctoral thesis, Studia Statistica Upsaliensia 5, Christofferson, A. & Joreskog, K.G. eds Uppsala University Library.

Forsberg, L. & Bollerslev, T. (2002). Bridging the gap between the distribution of realized (Ecu) volatility and ARCH modelling (of the Euro): The GARCH NIG Model. Journal of Applied Econometrics, 17: 535 548. Franses, P.H. & MacAleer, M. (2002). Financial Volatility: An Introduction. Journal of Applied Econometrics,

17: 419 424.

Griebenow, G. (2006). GARCH models based on Brownian inverse Gaussian innovation processes. Ph.D. thesis. North West University, Potchefstroom, South Africa.

Gouriéroux, C. (1997). ARCH models and financial applications. Springer, New york.

Ghysels, E., Harvey, A.C., & Renault, E. (1996). Stochastic Volatility. In: Handbook of Statistics, Vol. 14, Maddala, G.S. & Rao, C.R. eds Elsevier Science B.V., Amsterdam

Hansen, P.R. & Lunde, A. (2001). A comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH(1,1)? Working Paper Series No. 84, CAF, University of Aarhus.

Jones, M.C. & Faddy, M.J. (2003). A skew extension of the t distribution, with applications. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 65, 159 74.

Li, W.K., Ling, S. & McAleer, M. (2002). Recent theoretical results for time series models with GARCH errors. Journal of Economics Surveys, 16: 245 269.

Liesenfeld, R. & Richard, J.F. (2003). Univariate and multivariate stochastic volatility models: Estimation and diagnostics. Journal of Empirical Finance, 10: 505 531.

Lillestol, J. (2000). Risk analysis and the NIG distribution. The Journal of Risk, 2(4): 41 56.

McNeil, A.J. & Frey, R. (2000). Estimation of tail related risk measures for heteroskedastic financial time series: an extreme value approach . Journal of Empirical Finance, 7: 271 300.

McNeil, A.J., Frey, R. & Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Princeton University Press, New Jersey.

Merton, R.C. (1973). An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica, 41, 867 887.

Pagel I.M. (2006). The estimation of daily volatility using high frequency data in the South African equity market. M.Sc. thesis, North West University, South Africa.

Pagel, I.M.; De Jongh, P.J. & Venter J.H. (2007) “An introduction to realized volatility”, Investment Analysts Journal, 65, 47 57.

Rydberg, T.H. (1997). Realistic Statistical Modelling of Financial Data. International Statistical Review, 68: 233 258.

Soofi, E.S. & Retzer, J.J. (2002). Information indices: Unification and applications, Journal of Econometrics, 107: 17 40.

Venter, J.H., & De Jongh, P.J. (2002). Risk estimation using the normal Inverse Gaussian distribution. The Journal of Risk, 4(2): 1 23.

Venter, J.H. & De Jongh, P.J. (2004). Selecting an innovation distribution for GARCH models to improve efficiency of risk and volatility estimation. The Journal of Risk, 6(3): 27 53.

Venter, J.H., De Jongh, P.J. & Griebenow, G. (2005). NIG GARCH models based on open, close, high and low prices. South African Statistical Journal, 39: 173 195.

Venter, J.H., De Jongh, P.J. & Griebenow, G. (2006). GARCH type volatility models based on Brownian inverse Gaussian intra day return processes. The Journal of Risk, 8(4):97 116.

Aanhangsel A

Digtheidsfunksies van belang by die modellering van GARCH-modelle A1. Die veralgemeende-inverse-Gaussiese verdeling

Die

GIG

( , , )

_{λ δ γ}

-verdeling het digtheidsfunksie

vir w>0, waar (A1)

enK_{λ is die gemodifiseerde Bessel-funksie van derde orde en indeks λ. Indien}W

( , , )

GIG _{λ δ γ -verdeel is, dan is}

(A2)

A2. Die inverse-Gaussiese verdeling

Indien 1

2

λ= − in (A1) word die inverse-Gaussiese verdelingIG( , )δ γ verkry.

A3. Die eenheids-inverse-Gaussiese verdeling

Neem nou_{δ γ ψ}= = >0 in (A1). Dan word die eenheid-inverse-Gaussiese-dightheidsfunksie (aangedui as UIG( )_ψ ) verkry as

(A3)

IndienW UIG( )_ψ -verdeel is, dan is 2 2

1 2( ) 1 2( ) k k EW ₌K _{− ψ} K _{ψ en dus} 1 EW₌ en _{Var W( ) 1= ψ}2_{. (A4)}

Die feit dat EW=1, ongeag die waarde van _{ψ >}0_{, is die rede waarom die verdeling die}

“eenheid”-IG–verdeling genoem word. Dit volg maklik dat indienW UIG( )_{ψ -verdeel is, dan}

is_δW _γ IG( , )_{δ γ -verdeel vir enige δ γ}, >0, onderhewig aan δγ ψ= .

A4. Die standaard-normaal-Chi-kwadraat-inverse-Gaussiese verdeling

GestelZ is N(0,1)-verdeel,C is χl2-verdeel enW is UIG( )ψ -verdeel, almal onafhanklik van

mekaar. Laat X _=βW₊ W Z, wat dan die standaard-normaal-inverse-Gausiese verdeling het (afgekort as SNIG( , )_{β ψ ). Die gesamentlike verdeling van die paar} ( , )X V _{, gegee} V WC= , is die standaard-normaal-chi-kwadraat-inverse-Gaussiese verdeling met parametersβ (enige reële getal),_ψ>0 en l>0, afgekort asSNCIG( , , )_{β ψ} l met digtheidsfunksie