Zuiverheid)van)de)voorspeller)in)een)log1lineair)model)met)
autoregressieve)storingstermen.)
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Jozef!Battjes! 10003337! ! 27!Juni!2014! Bachelor!scriptie!Econometrie! ! Faculteit!Economie!en!Bedrijfskunde! Universiteit!van!Amsterdam!)
Begeleider:!K.J.!van!Garderen)
Inhoud! ! ! 1!Inleiding!...!1! ! 2!Theoretisch!kader!...!2! ! 2.1!Exponentieel!model!zonder!autoregressieve!storingstermen!...!2! 2.1!Exponentieel!model!met!autoregressieve!storingstermen!...!4! 2.3!De!NeweyNWest!Standard!Errors!!...!6! ! 3!Resultaten!en!analyse!!...!7! ! 3.1!Simulatie:!Theorie!...!7! 3.2!Simulatie:!Het!programma!!...!8! 3.3!Simulatie:!Resultaten!!...!9! 3.4!Simulatie:!Analyse!resultaten!!...!10! ! ! 4!Conclusie!...!12! ! 5!Bibliografie!...!13! ) 6!Bijlage! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !1)Inleiding) ! In!de!econometrie!wordt!veel!gebruik!gemaakt!van!loglineaire!modellen.!Dit!zijn! exponentiele!modellen!waarin!er!na!een!logNtransformatie!een!lineair!model! resulteert!in!de!onafhankelijke!variabelen.!Vervolgens!kan!de!voorspeller!van!het! logaritme!van!de!afhankelijke!variabele!,Y,!gevonden!worden.!Dit!wordt!gedaan! door!de!afhankelijke!variabele!te!regresseren!op!de!afhankelijke!variabelen.! Hieruit!volgen!de!schatters!voor!de!Beta!coëfficiënten.!Deze!methode!heet! ordinary!least!squares!(OLS).!Met!de!geschatte!Beta!coëfficiënten!uit!deze!OLS! regressie!kan!de!afhankelijke!variabele!uitgedrukt!in!logaritme!berekent! worden.!Een!voor!de!hand!liggende!optie!lijkt!om!de!exponentiële!macht!te! nemen!van!de!voorspeller!met!logaritme!om!de!voorspeller!zonder!logaritme!te! vinden.!Echter!is!de!verwachting!van!deze!voorspeller!zonder!logaritme!ongelijk! aan!de!verwachting!van!de!afhankelijke!variabele.!Dus!deze!methode!resulteert! in!een!onzuivere!voorspeller!van!de!afhankelijke!variabele.! Van!Garderen!(2001)!heeft!een!nieuwe!zuivere!en!consistente!voorspeller! gevonden!voor!de!afhankelijke!variabele!in!exponentiële!families.!! Deze!voorspeller!is!gelijk!aan:!!! ! !!!!!!!!!!!!! = exp !!!! ∗ !!! !(!; !!!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1.1)! !!!!!!!!!!!!!! Hierin!is!!!= (!!)(1 − !!)!en!!! = ! !!!(!!!)!!! !!!en!m!=!(TNK)/2!en! !!! !!de! confluente!hypergeometrische!functie.! Deze!voorspeller!is!beter!dan!de!deterministische!voorspeller!en!de!closed! form!voorspeller.!De!deterministische!voorspeller!is!gelijk!aan:!! ! !!!!!!!!!!!!= !exp!{!!!!}!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1.2)!!!! ! De!closed!form!voorspeller!is!gelijk!aan:! ! !!!!!!!!!!!!= ! exp!{!!!! + (! !)!!}!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1.3)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!! De!deterministische!voorspeller!is!namelijk!onzuiver!en!niet!consistent.!De! closed!form!voorspeller!is!ook!onzuiver!maar!daarentegen!wel!consistent.! ! In!deze!scriptie!wordt!de!nieuwe!voorspeller!onderzocht!in!het!geval!dat! er!sprake!is!van!onbekende!autocorrelatie!(seriële!correlatie).!In!dit!geval!kan!de! variantie!van!geschatte!Beta!coëfficiënt!namelijk!niet!meer!correct!worden! berekent.!Dit!is!omdat!deze!variantie!nu!afhangt!van!de!onbekende!correlatie! coëfficiënt!tussen!de!storingen!die!gelijk!is!aan!!,!met!−1 ≤ ! ≤ 1.!Hierdoor! ontstaat!er!een!error!covariantie!matrix!die!afhangt!van!deze!correlatie! coëfficiënt.!Deze!error!covariantie!matrix!is!nodig!om!de!variantie!van!Beta!te! bereken.!Dit!geeft!de!consequentie!dat!OLS!niet!meer!de!best!lineair!unbiased! estimators!(BLUE)!schatters!geeft!voor!de!Beta!coëfficiënten.!OLS!geeft!wel!nog! steeds!zuivere!schatters!voor!de!Beta!coëfficiënten.!Deze!onbekende!error! covariantie!matrix,!voor!de!berekening!van!de!variantie!van!de!geschatte!Beta! coëfficiënten,!kan!worden!geschat!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard! errors.!NeweyNWest!standard!errors,!zijn!zogenaamde!HAC!(heteroskedasticity! and!autocorrelation!consistent)!schatter.!
In!deze!scriptie!wordt!onderzocht!of!de!nieuwe!voorspeller!van!Y!bij! benadering!zuiver!is!onder!autocorrelatie!van!de!storingstermen.!Dit!zal! onderzocht!worden!aan!de!hand!van!MonteNCarlosimulatie.!In!deze!MonteN Carlosimulatie!zullen!waarden!van!Y!worden!gegenereerd!en!waarde!voor!de! voorspelde!waarde!van!Y.!Dit!proces!zal!vervolgens!een!R!aantal!replicaties! worden!herhaald.!Als!het!verschil!tussen!het!gemiddelde!van!de!voorspelde!van! Y!en!het!gemiddelde!van!Y!naar!0!gaat!voor!het!aantal!replicaties!gaat!naar!een! groot!aantal,!betekent!dit!dat!binnen!de!grenzen!van!de!simulatie!de!voorspeller! van!Van!Garderen!bij!benadering!zuiver!is.!Er!zal!voor!de!simulatie!gebruik! worden!gemaakt!van!de!Newey!West!standard!errors.! In!Paragraaf!2!wordt!het!theoretische!deel!besproken.!In!Paragraaf!3! worden!de!resultaten!en!analyse!besproken.!In!Paragraaf!4!wordt!de!conclusie! besproken.!Aan!het!eind!van!de!scriptie!zal!een!bibliografie!en!een!bijlage! worden!toegevoegd.! !
)2)Theoretisch)kader)
! In!deze!paragraaf!wordt!het!theoretische!kader!van!deze!scriptie!besproken.!Ten! eerste!wordt!het!model!zonder!autocorrelatie!besproken!en!de!nieuwe! voorspeller!van!Van!Garderen.!Vervolgens!wordt!in!het!tweede!deel!het!model! met!autocorrelatie!besproken.!Hierin!worden!ook!de!Newey!West!standard! errors!besproken.!Als!laatst!zal!worden!besproken!hoe!deze!Newey!West! standard!errors!worden!gebruikt!om!de!nieuwe!voorspeller!van!Y!te!berekenen.! ! 2.1)Exponentieel)model)zonder)autoregressieve)storingstermen.) ! In!dit!eerste!deel!van!de!paragraaf!wordt!het!exponentiële!regressiemodel! besproken!zonder!seriële!correlatie.!Dit!model!ziet!er!als!volgt!uit:! ! !!!!!!!!!!!= exp !!!! exp ! ! ,!!!met!!! ∼ !!"(0, !!),!!!!!!t!=!1,!.!.!.!.!.!,!T!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.1)!!!!! ! Van!dit!model!kan!een!logNtransformatie!genomen!worden!waardoor!het!model! lineair!wordt!in!de!afhankelijke!variabelen.!Nu!het!model!lineair!is!geworden!kan! OLS!worden!gebruikt!om!de!Beta!coëfficiënten!te!schatten!door!log(Y)!te! regresseren!op!X.!Vervolgens!kan!de!voorspelde!waarde!van!de!afhankelijke! variabele!worden!berekent!uitgedrukt!in!logaritme.!Dit!wordt!gedaan!door!de!X! waarden!te!vermenigvuldigen!met!de!geschatte!Beta!coëfficiënten.!Een!oplossing! om!de!voorspeller!van!Y!te!vinden!lijkt!om!de!eNmacht!te!nemen!van!log ! .!! Dit!zou!de!volgende!voorspeller!geven:!!! = !exp!{!!!!}.!!Echter!is!deze!voorspeller!niet!zuiver.!Voor!zuiverheid!van!de!voorspeller!moet!namelijk!het! volgende!het!volgende!gelden:!! ! !!!!!!!!!!Ε[!]!=!Ε ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.2)! ! Wat!inhoudt!dat!de!verwachting!van!het!model!van!Y!gelijk!moet!zijn!aan!de! verwachting!van!de!gevonden!voorspeller!van!Y.!!!!!!! De!verwachting!van!Y!wordt!berekent!met!behulp!van!de!moment!genererende! functie!van!de!normale!verdeling.!Voor!de!normale!verdeling!met!parameters!!! en!!!is!deze!moment!genererende!functie!gelijk!aan:!!!!!!!
! !!!!!!!!!!!! ! = !! !!!! = ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.3)! ! dit!geldt!voor!!!!~!!(!, Σ).!Oftewel!X!is!normaal!verdeel!met!verwachting!!!en! variantie!!!.!!Deze!formule!(2.3)!wordt!gebruikt!om!de!verwachting!van!de! voorspeller!van!Y!en!de!verwachting!van!Y!te!berekenen.! Dan!is!de!verwachting!van!Y!gelijk!aan:! ! Ε !! = ! !!!!!!!!! = ! !!!!!! !! = ! !!!!!!!!! = ! !!!!!!( ! !)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.4)!!!! !
Dit!volgt!omdat!de!storing!!!normaal!verdeel!is:!!!~!! 0, !! .!Hierin!is!!!!gelijk!
aan!!"#(!).!De!voorspeller!van!Y!heeft!de!volgende!verwachting,!met!behulp!van! formule!(2.3):! ! Ε !! = ! !!!!! = ! !!!!!!!! !!! !!! !!! !!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.5)! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Dit!volgt!omdat!de!OLS!schatter!van!Beta!normaal!verdeeld!is:! !!"#!~!! !, !"#(!) ,!met!!"# ! = ! !!(!!!)!!.!In!de!formule!(2.5)!is! !!! !!! !!! !!! !! !gelijk!aan!!"#(!!!!).!!De!verwachting!van!deze!voorspeller!van!
Y!heeft!dus!een!term!!"#(!!!!)!teveel!en!een!term!!"# ! !te!weinig.!Hierdoor!is!
deze!voorspeller!geen!zuivere!voorspeller.! Van!Garderen!(2001)!heeft!een!nieuwe!voorspeller!gevonden!voor!de! afhankelijke!variabele!Y!in!het!geval!het!model!exponentieel!is.!Deze!voorspeller! is!zuiver!en!consistent.!Deze!voorspeller!is!gelijk!aan:!! ! !!∗= exp ! !!! ∗ !!! !(!; !!!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.6)!!!! Hierin!is! !!! !!de!confluente!hypergeometrische!functie.!Verder!is:!! !! = (!!)(1 − !!),!!! = ! !!!(!!!)!!!!!!en!m!=(TNK)/2.! Voor!zuiverheid!van!deze!voorspeller!moet!de!verwachting!van!deze! nieuwe!voorspeller!gelijk!zijn!aan!de!verwachting!van!Y.!Er!moet!dus!gelden:!! Ε[!]=!Ε[!].!Gebruik!hiervoor!de!verwachting!van!Y!zoals!berekent!in!formule! (2.4).!Voor!de!berekening!van!de!verwachting!van!de!voorspeller!van!Y!is! gebruik!gemaakt!van!de!moment!genererende!functie!zoals!gegeven!in!(2.3)!en! het!feit!dat:!!!"#!~!!(!, !! !!! !!).!Hierin!is!dus!de!variantie!van!! !"#!weer!
gelijk!aan!!! !!! !!!.!Verder!kan!!!!kan!geschat!worden!met!behulp!van:!
!! = !!! !!!,!waarin!de!termen!e!gelijk!zijn!aan!de!OLS!residuen.!De!OLS!residuen! worden!berekent!door:!! = !! − !′!.! ! ! !
Deze!twee!verwachtingen!zijn!aan!elkaar!gelijk!als:! Ε !!∗ = ! !!!!!∗ ! !(!; !!!!!) !! = ! !!! !!!! ! !!! !!! !!! !! !!! ! ! ! !! = !!!!!!!(!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.7)! ! Dit!geldt!als!![ !!! !]= ! !!!!!!met!! != !! (1 − !!)!!!en!!! = ! !!!(!!!)!!!!.! !!!~!!(!, !! !!! !!).! ! De!nieuwe!voorspeller!heeft!de!volgende!variantie:!!
!"# !!∗ = exp 2!!!! ∗ exp 1 + !! !! ∗ !!! ! !; !!!!! − exp !! !!!!!!!!!!!!!(2.8)!!!
Verder!kan!worden!aangetoond!dat!de!nieuwe!voorspeller!beter!is!dan!de! oudere!twee!voorspellers.!Hiervoor!worden!de!mean!squared!prediction!errors! (MSPE)’s!van!de!nieuwe!voorspeller,!de!closed!form!voorspeller!en!de! deterministische!voorspeller!berekent!en!met!elkaar!vergeleken[1]1.!De!mean! squared!prediction!error!is!gelijk!aan:!!"#$ !! = !!"# !! +!!"#$! ! ! + !!"#(!!).!Hieruit!blijkt!dat!de!nieuwe!voorspeller!altijd!beter!is!dan!de!closed! form!voorspeller.!Dit!geldt!voor!alle!waarde!van!de!variantie!en!voor!alle! steekproefgroottes.!Als!deze!nieuwe!voorspeller!wordt!vergeleken!met!de! deterministische!voorspeller,!dan!volgt!dat!alleen!voor!kleine!steekproefgroottes! en!grootte!variantie,!de!deterministische!voorspeller!het!beter!doet!maar!voor! grotere!steekproef!omvang!doet!de!nieuwe!voorspeller!het!altijd!beter!dan!de! deterministische!voorspeller.!Concluderend!is!de!nieuwe!voorspeller!een!zuivere! en!consistente!voorspeller!die!een!verbetering!is!ten!opzichte!van!de!closed!form! voorspeller!en!de!deterministische!voorspeller.! 2.2)Exponentieel)model)met)autoregressieve)storingstermen) ! In!het!geval!dat!er!sprake!is!van!autocorrelatie!in!de!storingstermen!heeft!dit! effect!op!de!variantie!van!de!geschatte!Beta!coëfficiënt.!We!weten!dat:!! ! !!"#~!!(!, !"# ! )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.9)! ! Onder!autocorrelatie!van!de!storingstermen.!De!verwachting!van!!!"#!verandert!! niet!onder!autocorrelatie!van!de!storingstermen!en!!!"#!is!dus!een!zuivere! schatter!van!!.!Echter!de!variantie!van!!!"#!is!nu!niet!meer!gelijk!aan!!!(!!!)!!.! De!nieuwe!variantie!van!!!"#!onder!autoregressieve!storingstermen!wordt!als! volgt!berekent:! ! !"# !!"# = !! !!! !!X!ε!!X X!X = !!! !!!!! !!! !(!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.10)! ! hierin!is!! !!! !gelijk!aan!de!error!covariantie!matrix.!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1!K.J.!van!Garderen!(2001),!Optimal!prediction!in!loglinear!models,!Oxford:!Journal!of! econometrics!104,!page!119N140.!
Omdat!de!storingstermen!nu!zijn!gecorreleerd!met!de!onbekende! correlatie!coëfficiënt,!!,!is!deze!error!covariantie!matrix!onbekend!en!geeft!OLS! niet!meer!de!BLUE!estimators!voor!de!Beta!coëfficiënten.!In!het!algemene!geval! is!deze!error!covariantie!matrix!gelijk!aan:! ! ! ! !!! = !"# !! !"#(!!, !!) !… ! !"#(!!, !!) ! !"#(!!) ! ! ! ⋮!! ! ⋱ ! ⋮! ! ! ! !"#(!!!!) !"#(!!!!, !!) !"#(!!, !!) ! !⋯ !"#(!!, !!!!)! !"#(!!) ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.11)! ! ! In!deze!scriptie!zal!deze!variantie!van!de!geschatte!waarde!van!de!Beta! coëfficiënten!worden!geschat!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard!errors.! Een!gedetailleerde!berekening!van!de!NeweyNWest!standard!errors!is!gegeven!in! de!volgende!paragraaf.!! ! We!kunnen!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard!errors!de!!!! coëfficiënt!van!de!voorspeller!van!Y!berekenen!onder!autocorrealtie!van!de! standard!errors.!Hiervoor!wordt!eerst!de!variantie!van!de!geschatte!Beta! coëfficiënt!omgeschreven,!namelijk:! ! !!"# !!"# = !! !!! !!X!ε!!X X!X = !! !!! !!!!Ω!(!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.12)! ! hierin!is!de!matrix!Ω!onbekend!als!gevolg!van!de!onbekende!correlatie!in!de! storingen.!Dit!heeft!als!gevolg!dat!de!verwachting!van!de!nieuwe!voorspeller!er! anders!uitziet!dan!in!het!gevolg!zonder!autocorrealtie!in!de!storingen.!Dit!geeft! dus!een!andere!!!!coëfficiënt!dan!in!paragraaf!(2.1).!Er!volgt!namelijk!dat!(met! behulp!van!de!moment!genererende!functie!zoals!gegeven!in!formule!(2.3)):! ! ! ! !!!!! = ! !!!!!!!!!!!!!(!!!)!!!!!!(!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.13)! ! ! Verder!is!de!verwachting!van!Y,!nog!steeds!gelijk!aan!Ε !! = ! !!!!!!(!!)!!,!is! hetzelfde!als!zonder!autocorrelatie.!Omdat!voor!zuiverheid!van!de!voorspeller! moet!gelden:!Ε[!]!=!Ε[!],!wordt!![ !!! !]= ! !!!!! = ! !(!!)(!!!!)!!.!Deze!term!kan!in! 2!delen!worden!gesplitst,!namelijk!:!(1)!!(!!)!!!en!(2)!!!( ! !)!!!!.!De!2de!term!kan! berekent!worden!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard!errors.!Hiervoor! wordt!de!variantie!van!!!!!!berekent.!Deze!is!onder!autocorrealtie!van!de! storingstermen!nu!gelijk!aan:! ! !"# !!!! = ! ! !!(!! !!! !!!!Ω!(!!!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.14)!
! Deze!variantie!wordt!vervolgens!geschat!met!behulp!van!de!NeweyNWest! standard!errors,!er!wordt!geschat:! ! !"# !!!! =!! !!( !!! !!(!!Ω!)!"(!!!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.15)! ! Alleen!!!Ω!!hoeft!geschat!te!worden.!Dit!is!omdat!dat!de!waarden!in!de!XNmatrix! bekend!zijn,!kunnen!(!!!)!!!en!! !!meteen!worden!berekent.!Hieruit!wordt!dus! een!schatting!berekent!voor!de!variantie!van!!"# !!!! .!Vervolgens!wordt! !"# !!!! !gelijk!gekozen!aan!! !!!en!daarmee!kan!de!2de!term!berekent!worden! van!de!verwaching!van!de!hypergeometrischefunctie.!Nu!moet!de!eerste!term! worden!berekent.!Deze!is!gelijk!aan:!!(!!)!!en!hangt!af!van!de!onzekerheid!in!de! storingstermen.!Als!schatting!van!deze!!!!!gebruik!ik:!!! = ! !!! !!!!.!Vervolgens!kan! de!term!!! = (! !)(1 − !!)! !!worden!berekent.!Hiermee!kan!de!input!variabele! van!de!hypergeometrische!functie!worden!berekent!namelijk:! !!! !(!;! !!)!en! daarmee!kan!de!voorspeller!van!Y!worden!berekent:! ! !!!∗= ! !!!!!∗ ! !(!; !! !!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.17)! ! ! Er!is!dus!door!middel!van!een!schatting!van!de!variantie!van!de!geschatte! waarde!van!Beta!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard!errors!een!schatting! gemaakt!van!de!voorspeller!van!Y!onder!onbekende!autocorrelatie!van!de! storingstermen.!! ! 2.3)De)Newey1West)Serial)Correlation)Consistent)Standard)Errors) ! In!de!deze!subparagraaf!zal!dieper!worden!ingegaan!op!de!exacte!berekening! van!de!NeweyNWest!standard!errors.!De!NeweyNWest!standard!errors!worden! gebruikt!om!een!schatting!van!de!variantie!te!maken!van!de!geschatte!waarde! van!de!Beta!coëfficiënten.!Een!voordeel!van!deze!error!termen!is!dat!ze!rekening! houden!met!het!!feit!dat!een!bepaald!effect!op!de!storingen,!wat!de!seriële! correlatie!in!de!storingen!veroorzaakt,!op!een!gegeven!moment!kleiner!wordt!en! uiteindelijk!zelfs!verdwijnt.!De!NeweyNWest!standard!errors!houden!hier! rekening!mee!door!een!bepaalde!grenswaarde!te!bereken!voor!dit!tijdsinterval,! die!gelijk!is!aan!de!waarden!B.!Deze!wordt!berekent!met!behulp!van!de!volgende! formule:! ! ! = 4 ∗ (!""! )(!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.18)! ! waarin!n!gelijk!is!aan!het!aantal!observaties.! ! Als!er!sprake!is!van!autocorrelatie!is!de!matrix!Ω!ongelijk!aan!!!!! !.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Deze!matrix!zal!worden!geschat!met!behulp!van!de!NeweyNWest!standard!Errors.! Deze!omschrijving!zal!gaan!aan!de!hand!van!een!aantal!stappen.!Ten!eerste!zal! de!term!!!ΩX!worden!omgeschreven!tot! ! !"!!!!! ! !!!!! ! !!! !.!Dit!is!vervolgens!
gelijk!is!aan!! !!!! !!!!!!!!+ !!!! !!!!!!!!"!!!!!.!Hierin!is!!!"!het!element!in!matrix!
Ω!het!element!op!de!!!"kolom!en!de!!!"!rij.!Echter!de!waardes!van!! !"!zijn! onbekend.!Newey!en!west!hebben!gebruiken!de!volgende!schatting!van! (!!ΩX) !"!,!namelijk:! ! (!!ΩX) !"=! !!!!!!!!!!! +! !!!! !!!!!! !!!!!!(!!!!! + !!!!),!met!!! = 1 − ℎ/!!voor!
0<h<B!en!!! = 0, !""#!ℎ ≥ !.!Deze!keuze!voor!!!!staat!ook!wel!bekend!als!de! Bartlett!weights.!Vervolgens!kan!men!de!varianties!van!de!geschatte!waarde!van! de!Beta!coëfficiënten!bereken!met!behulp!van!de!volgende!formule:!! !"#(!) = !!! !!(!!ΩX) !"! X!X !!!=! !!! !! ! !!!!!!+! !!!! !!!!!! !!!!!!(!!!!!+ !!!!) ! !!! ! X!X !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2.19)!!!!!!!!!!!!! ! ! ! 3)Resultaten)en)analyse)
)
In!deze!paragraaf!zal!ik!de!simulatie!van!mij!scriptie!beschrijven.!Ik!zal!eerst!de! achterliggende!theorie!beschrijven.!Vervolgens!zal!de!simulatie!beschrijven!en! als!laatst!zal!ik!de!resultaten!uit!mijn!simulatie!beschrijven.! ! 3.1)Simulatie:)theorie) ! Ik!heb!de!nieuwe!voorspeller!van!Van!Garderen!onderzocht!onder!het! geval!van!autocorrelatie!van!de!storingen.!Ik!heb!dit!gedaan!door!middel!van! MonteNCarlosimulatie!in!het!programma!Octave.!Het!doel!van!deze!simulatie!is! om!te!laten!zien!dat!het!verschil!van!het!gemiddelde!van!de!voorspelde!waarde! van!Y!en!het!gemiddelde!van!Y,!als!het!aantal!replicaties!van!de!simulatie!steeds! groter!wordt,!naar!0!gaat.!Dan!volgt!door!middel!van!de!zwakke!wet!van!de!grote! aantallen!dat!dit!verschil!uiteindelijk!richting!nul!zal!gaan.!Als!dit!het!geval!is,!is! de!voorspeller!van!Y!bij!benaderring!zuiver!onder!autocorrelatie.!Deze!wet!zegt! in!het!algemene!geval!dat:! ! lim!→!!!(|! − !![!!]| ! ≥ !!"#$%&') = 0,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(3.1)! ! voor!!!,!!!.!!!.!!.!!, !!,!identiek!en!onafhankelijke!verdeelde!Random!variabelen.!En! deze!wet!zegt!dus!dat!het!gemiddelde!van!de!X’en!convergeert!naar!zijn! gemiddelde.!Ik!zal!in!mijn!simulatie!een!soortgelijke!berekening!uitvoeren.!Ik! bekijk!of!het!verschil!tussen!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y!en!het! gemiddelde!van!Y,!naar!0!gaat,!als!ik!r!gelijk!kies!aan!R=10,000.!Het!proces!wordt! dus!10.000!keer!uitgevoerd,!onder!een!vaste!waarde!van!n.!Deze!n!heb!ik!in!mijn! onderzoek!gelijk!gekozen!aan!100.!Er!zullen!dus!100!observaties!van!Y!worden! gegenereerd!per!replicatie.! Als!het!verschil!tussen!het!gemiddelde!van!de!voorspelde!waarde!van!Y!en!Y! naar!0!gaat,!betekent!dit!dat!de!nieuwe!voorspeller!van!Van!Garderen!bij! benadering!zuiver!is!onder!autoregressieve!storingstermen.!Met!replicaties! bedoel!ik!hoe!vaak!het!nNaantal!observaties!van!Y!worden!gegenereerd,!onder! nieuwe!standaard!errors.!Ik!zal!hier!later!nog!uitgebreid!op!terugkomen.!!Ik!gebruik!simulatie!dus!om!met!behulp!van!een!eindig!aantal!replicaties! aan!te!tonen!dat!de!voorspeller!van!Y!zuiver!is!onder!autocorrelatie!van!de! storingstermen.!Ik!bekijk!deze!zuiverheid!van!de!voorspeller!van!Y!als!ik!het! aantal!replicaties!heel!groot!kies.!Ik!maak!hierbij!gebruik!van!de!zwakke!wet!van! de!grote!aantallen!en!ik!gebruik!de!NeweyNWest!standard!errors!een!schatting!te! maken!van!de!onbekende!variantie!matrix!van!de!Beta!coëfficiënten.! ! ! 3.2)Simulatie:)het)programma)
!
In!deze!paragraaf!zal!ik!bespreken!hoe!ik!de!simulatie!heb!uitgevoerd.! Ik!ben!de!simulatie!begonnen!met!het!random!genereren!van!een!X!matrix.! Deze!X!matrix!ziet!er!als!volgt!uit:!!X!=! 1 !⋮ !"⋮ ⋯ !⋱ !!⋮ 1 !!! ⋯ !!" .!In!deze!matrix!k! gelijk!aan!het!aantal!kolommen!en!n!gelijk!aan!het!aantal!rijen.! In!deze!matrix!zal!de!waarde!van!k,!altijd!de!waarde!van!5!hebben.!Dit!is!omdat! ik!ervoor!gekozen!heb!om!in!mijn!experiment!altijd!vijf!Beta!coëfficiënten!te! gebruiken.!Ik!zal!deze!X!matrix!1!enkele!keer!genereren!voor!mijn!experiment.! Dus!ik!zal!de!X!matrix!maar!1!keer!genereren!voor!al!mijn!replicaties.!De!eerste! kolom!van!deze!matrix!X!bestaat!uit!allemaal!1’en!wat!betekent!dat!ik!werk!met! een!constante!term!in!mijn!model.!Verder!vermenigvuldig!ik!kolom!1!tot!en!met! 4!voor!met!de!waarde!0.1!om!met!kleinere!waardes!te!werken.!Vervolgens!zal!ik! random!error!termen!generen.!Ook!deze!gevonden!error!termen!zal!ik! vermenigvuldigen!met!de!waarde!0.1!om!mijn!experiment!sneller!te!kunnen! laten!verlopen.!Vervolgens!genereer!ik!waardes!van!Y!met!behulp!van!deze!X! matrix!vermenigvuldigd!met!de!Beta!waarden!van!1!en!daarbij!opgeteld!deze! gegenereerde!error!termen.!Ik!maak!vervolgens!het!model!lineair!door!een! logaritme!van!Y!te!nemen.!In!de!lineaire!model!zal!ik!vervolgens!een!OLS! regressie!uitvoeren!door!log(Y)!te!regresseren!op!X!om!de!waardes!van!de!Beta! coëfficiënten!te!schatten.!Ik!zal!hieruit!de!voorspelde!waarde!van!log(Y)! berekenen!door!deze!geschatte!Beta!coëfficiënten!te!vermenigvuldigen!met!de!X! matrix.!!Met!deze!voorspelde!waarde!van!log(Y),!ook!wel!log!(!),!bereken!ik!de! OLS!residuen!door!deze!voorspelde!log(Y)!waarde!te!verminderen!met!de! oorspronkelijke!waardes!van!log(Y).!Vervolgens!schat!ik!met!behulp!van!deze! OLS!residuen!de!variantie!van!deze!voorspeller.!Om!vervolgens!de!nieuwe! voorspeller!te!bereken!zijn!een!aantal!stappen!nodig.!Omdat!de!variantie!van!de! geschatte!Beta!coëfficiënten!nu!onbekend!is,!zal!de!variantie!van!de!geschatte! Beta!coëfficiënten,!moeten!worden!geschat!met!behulp!van!NeweyNWest! standard!errors.!Dit!wordt!als!volgt!gedaan:!Met!de!berekende!OLS!residuen!en! de!XNmatrix!worden!met!behulp!van!de!functie!NeweyWest,!deze!geschatte!error! termen!berekent.!Om!vervolgens!de!input!variabelen!voor!de!hypergeometrische! functie!te!berekenen!voer!ik!de!volgende!stappen!uit.!Ik!bereken!de!!!!!!! coëfficiënt!met!behulp!van!de!!"#(!!!).!Daaruit!bereken!ik!! !!!!voor!de! coëfficiënt!!! = (! !)(1 − !!)! !.!Verder!bereken!ik!!!!met!behulp!van!!! = ! !!! !!!.! Dan!bereken!ik!de!input!variabele!door:!!!!,!met!m!=!(aantal!observaties!–! aantal!variabelen)/2.!Hieruit!bereken!ik!de!voorspeller!van!de!nieuwe!Y! voorspeller,!!∗.!Ik!doe!dit!met!behulp!van!de!functie:!Hypergeo.!Ik!herhaal!dit!proces!n!keer!(n!is!aantal!observaties).!Ik!onthoud!steeds!de!som!van!de! voorspeller!van!Y!en!de!som!van!de!gegenereerde!Y!waarden.!Als!dit!proces!is! doorlopen,!genereer!ik!nieuwe!error!termen!en!creëer!ik!dus!een!nieuwe! puntenwolk!met!n!aantal!observaties!van!Y.!Ik!gebruik!hiervoor!wel!steeds! dezelfde!X!matrix.!Vervolgens!doorloop!ik!ditzelfde!proces!weer!en!bereken!ik!de! waarde!van!de!voorspelde!waarde!van!de!nieuwe!voorspeler!van!Y!opnieuw.!Ik! onthoud!elke!keer!(elke!replicatie)!de!som!van!de!gegenereerde!waarde!van!Y!en! de!voorspelde!waarde!van!Y.!Dit!hele!proces!voer!ik!dan!een!R!aantal!replicaties! uit,!en!ik!zal!dus!telkens!de!sommen!van!deze!voorspellers!van!Y!bij!elkaar! optellen,!uit!elke!losse!replicatie.!Ditzelfde!doe!ik!voor!de!waardes!van!Y.!Dit! proces!R!aantal!replicaties!is!doorlopen,!zal!ik!de!totaal!som!van!de!voorspeller! van!Y!en!van!Y!berekenen.!Dit!is!dus!gelijk!aan! ! !!! !!! ! !!! !voor!Y!en!gelijk!aan! !!! ! !!! ! !!! !voor!de!voorspeller!van!Y.!Ik!sommeer!dus!over!alle!observaties!n! en!over!alle!replicaties!r.!Vervolgens!bereken!ik!de!gemiddelden!van!deze!2! sommen!door!beide!sommen!te!delen!door!het!aantal!replicaties.!Als!laatste!stap! neem!ik!het!verschil!van!deze!twee!sommen.!Daarna!zal!ik!kijken!of!deze!twee! gemiddelden!dicht!bij!elkaar!in!de!buurt!liggen,!wat!zou!betekenen!dat!deze! nieuwe!voorspeller!bij!benadering!zuiver!is!onder!autoregressieve!error!termen.! In!de!bijlage!staat!het!programma!en!de!functies!te!zoals!ik!die!heb! gebruikt!in!mijn!simulatie!in!Octave.!Deze!zijn!voorzien!van!een!uitleg.! ) 3.3)Simulatie:)resultaten)) )) De!input!variabelen!zijn!als!volgt!gedefinieerd:! • Nobs!=!n,!het!aantal!observaties!van!!!! • Nvar!=!5,!het!aantal!variabelen!van!de!coëfficiënten!Beta.! • Nreps!=!R,!het!aantal!replicaties.!De!puntenwolk!van!de!X!waarden!en!de! Y!waarden!wordt!dus!R!maal!gegenereerd.! • Rho!=!de!correlatie!coëfficiënt!tussen!twee!opeenvolgende!storingen.!! • MeanYpred!=!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y,!deze!wordt! berekent!door!alle!voorspelde!waarden!van!!!!te!sommeren!over!nN observaties.!Vervolgens!worden!al!deze!sommen!gesommeerd!over!het! aantal!replicaties.!Deze!totaalsom!wordt!vervolgens!gedeeld!op!het!aantal! uitgevoerde!replicaties!om!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y!te! vinden.! • MeanY!=!het!gemiddelde!van!alle!gegenereerde!waarden!van!!!.!Deze! wordt!berekent!door!alle!waarde!van!!!!te!sommeren!over!nNobservaties,! en!vervolgens!deze!sommen!te!sommeren!over!het!aantal!replicaties.!Als! laatste!wordt!er!gedeeld!door!het!aantal!uitgevoerde!replicaties!om!het! gemiddelde!te!vinden.! • Difference!=!het!verschil!tussen!MeanYpred!en!MeanY.! ! ! ! ! ! ! ! !
! ! De!resultaten!uit!de!simulatie:! ! Nobs!=!100! Nvar!=!5! Nreps!=!10.000! !
Restrictie! MeanYpred! MeanY! Difference!
Met!HAC! 291,00! 291,26! 0,26387! Zonder!HAC! 298,92! 298,92! 0,00049! Tabel!1!uitkomsten!van!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y,!het!gemiddelde! van!Y!en!verschil!tussen!deze!twee!gemiddelden,!met!HAC!en!zonder!HAC!schatter.! !
)
! ! ! ! ! ! 3.4)simulatie:)analyse)resultaten) ) ) Uit!tabel!1!volgen!de!waarde!van!MeanYpred!en!Mean!Y,!met!en!zonder!gebruik! gemaakt!te!hebben!van!de!HAC!schatter.!In!het!geval!er!gebruik!gemaakt!is!van! de!Hac!schatter,!geldt!de!volgende!uitleg.!MeanYpred!is!gelijk!aan!het!gemiddelde! van!de!voorspelde!waarde!van!Y!onder!autoregressieve!error!termen.!De!eerste! som!wordt!berekent!door!de!som!over!alle!waarde!van!de!voorspeller!van!Y!te! sommeren!over!1!enkele!replicatie.!Om!vervolgens!de!totaalsom!te!krijgen! worden!al!deze!sommen!gesommeerd!over!alle!replicaties!om!het!gemiddelde! van!de!voorspeller!van!Y!te!vinden.!Uit!tabel!1!volgt!dat!MeanYpred!gelijk!is!aan:! 291,00.!Ook!volgt!uit!deze!tabel!dat!MeanY!gelijk!is!aan!291,26.!Ook!deze!som!is! berekent!door!over!alle!waarde!van!Y!de!som!te!nemen!en!vervolgens!de!som!te! nemen!over!alle!replicaties!en!dit!totaal!vervolgens!te!delen!op!het!aantal! replicaties!om!het!gemiddelde!van!Y!te!vinden.!Het!verschil!wordt!als!volgt! berekent:!|!"#$%&'"( − !"#$%|.!Dit!is!dus!gelijk!aan!de!absolute!waarde!van! het!verschil!tussen!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y!en!het!gemiddelde! van!Y.!Dit!verschil!in!absolute!waarde!is!gelijk!aan:!|291,00N291,26|!=!0,26387.! Hieruit!kan!geconcludeerd!worden!dat!het!verschil!tussen!deze!twee!gemiddelde! voor!het!aantal!replicaties!heel!groot!gekozen,!hier!gelijk!aan!R=10.000,!bijna!0! wordt!maar!ongelijk!blijft!aan!0.!Er!kan!dus!worden!geconcludeerd!dat!de! nieuwe!voorspeller!zuiver!is!bij!benadering!binnen!de!grenzen!van!de!simulatie.! Dit!wordt!geconcludeerd!met!behulp!van!de!zwakke!wet!van!de!grote!aantallen.! Die!zegt!dat!voor!een!bepaalde!epsilon!(in!dit!geval!is!die!epsilon,!dus!groter!dan! 0,26387),!de!twee!gemiddelden!voor!een!groot!aantal!replicaties!naar!0!moet! gaan,!wat!hier!het!geval!lijkt!te!zijn.! ! Verder!zijn!in!tabel!1!ook!de!uitkomsten!gegeven!voor!het!geval!de!HAC! schatter!niet!is!gebruikt.!Er!is!hier!gebruik!gemaakt!van!de!zp!coëfficiënt!die! gelijk!is!aan!(1/2)(1Nap),!als!input!variabele!voor!de!hypergeometrische!functie.!!Met!deze!ap!coëfficiënt!gelijk!aan:!!"# ! = !!(!!!)!!!en!!!!is!geschat!met! behulp!van!!! = !!!! !!!.!Er!volgt!uit!deze!simulatie!dat!MeanYpred!gelijk!is!aan! 298,92!en!MeanY!gelijk!is!aan!298,92!(afgerond!op!2!decimalen),!met!een! verschil!van!0,00049.!Dit!verschil!tussen!het!gemiddelde!van!de!voorspeller!van! Y!en!Y,!zonder!gebruik!te!hebben!gemaakt!van!de!HAC!schatter,!is!dus!kleiner! dan!dit!verschil!met!de!HAC!schatter.!Dit!komt!omdat!de!HAC!schatter!een! schatting!geeft!van!de!variantie!van!de!geschatte!waarde!van!de!Beta!coëfficiënt! als!er!sprake!is!van!autoregressieve!error!termen.!Deze!schatting!maakt!gebruik! van!de!zogenaamde!BartlettNweights!die!dit!effect!afkappen!in!de!correlatie! tussen!de!storingen!na!een!bepaalde!grenswaarde.!Omdat!deze!methode!een! schatting!geeft!van!deze!variantie,!veroorzaakt!dit!waarschijnlijk!ook!het!grotere! verschil!tussen!dit!gemiddelde!van!de!voorspeller!van!Y!en!Y.!Echter!is!het! natuurlijk!zo!dat!als!er!sprake!is!van!autocorrelatie,!er!wel!gebruik!gemaakt!moet! worden!van!de!HAC!schatters,!aangezien!de!variantieNcovariantie!matrix!nu! onbekend!is.!Met!andere!woorden!als!er!sprake!is!van!autoregressieve!error! termen!zegt!het!resultaat!zonder!de!HAC!schatter!vrij!weinig!en!moet!er!naar!het! resultaat!met!HAC!schatter!worden!gekeken.!Aangezien!er!sprake!kan!zijn!van! onbekende!autocorrelatie!moet!naar!het!resultaat!met!HAC!schatter!worden! gekeken.! ) ) ) ) ) ) )
4)Conclusie)
)
In!deze!scriptie!is!onderzocht!of!de!nieuwe!voorspeller!van!Van!Garderen!bij! benadering!zuiver!is!onder!autoregressieve!storingstermen.!Dit!is!onderzocht! met!behulp!van!simulatie.!In!de!simulatie!werden!de!gemiddelde!waarde!van!de! voorspeller!van!Y!vergeleken!met!de!gemiddelde!waarde!van!Y.!Uit!de!simulatie! is!gebleken!dat!het!gemiddelde!van!de!voorspelde!waarde!van!Y,!voor!R=10.000! replicaties,!dicht!in!de!buurt!ligt!van!het!gemiddelde!van!Y.!Het!verschil!tussen! het!gemiddelde!van!Y!en!de!voorspelde!waarde!van!Y!is!namelijk!gelijk!aan:!0,26.! Hieruit!kan!ik!concluderen,!omdat!0,26!dichtbij!0!ligt,!dat!de!nieuwe!voorspeller! bij!benadering!zuiver!is!onder!autoregressieve!storingstermen,!binnen!de! grenzen!van!de!simulatie.!Dit!wordt!geconcludeerd!met!behulp!van!de!zwakke! wet!van!de!grote!aantallen.!!! Ik!heb!voor!de!schatting!van!de!variantie!van!de!storingsterm,!in!de! berekening!van!de!!!!coëfficiënt!voor!de!hypergeometrische!functie,!gebruik! gemaakt!van!S! = ! !"! !!!.!De!NeweyNWest!standard!errors!geven!namelijk!een! schatting!van!de!variantie!van!de!geschatte!Beta!coëfficiënten!en!geen!schatting! van!de!variantie!van!de!storings!term!(!!),!dus!de!NeweyNWest!standard!errors! geven!helaas!geen!schatting!van!deze!variantie!van!de!storingen.!Dit!is!dus!een! punt!waarop!de!theorie!nog!kan!worden!verbeterd.!De!schatting!van!de!variantie! van!de!storingsterm!kan!dus!nog!worden!verbeterd!in!het!speciale!geval!als! gebruik!wordt!gemaakt!van!de!NeweyNWest!standard!errors!voor!de!berekening! van!variantie!van!de!geschatte!Beta!coëfficiënten!onder!autoregressieve! storingstermen.! Een!ander!punt!ter!discussie!is!dat!ik!de!random!gegenereerde!X!matrix! en!de!random!gegenereerde!error!termen!in!mijnsimulatie!voor!heb! vermenigvuldigd!met!de!constante!waarde:!0.1.!Ik!heb!dit!gedaan!om!te! voorkomen!dat!een!paar!enkele!grote!afwijkende!waarde!een!groot!effect! hebben!op!de!berekening.!Namelijk!na!een!aantal!simulaties!te!hebben!gedaan!is! uit!elke!simulatie!gebleken!dat!er!tenminste!1!!extreem!grote!afwijkende!waarde! tussen!de!resultaten!zat.!In!het!geval!er!niet!werd!voor!vermenigvuldigd!met! deze!waarde!van!0.1!bleken!de!gemiddelden!van!de!voorspeller!van!Y!en!het! gemiddelde!van!Y,!wel!ongeveer!dezelfde!waarde!te!krijgen!maar,!echter!het! verschil!was!steeds!in!ieder!geval!groter!dan!1.!Concluderend!zijn!de!waarden! van!X!en!de!waarde!van!de!storing,!!,!dus!niet!compleet!random!gegenereerd,! maar!voor!vermenigvuldigd!met!0,1,!om!ervoor!te!zorgen!dat!het!niet!mogelijk!is! dat!1!enkele!grote!afwijkende!waarde!een!grote!impact!heeft!op!de!resultaten.! !! 5)Bibliografie) ! Heij,!P.!De!Boer,!P.!H.!Franses,!T.!Kloek,!H.K.!van!Dijk.!Econometric!Methods!with!! ! Applications!in!Business!and!Economics.!Oxford:!Oxford!University!Press,! 2004.! ! K.J.!van!Garderen,!2001.!Optimal!prediction!in!loglinear!models.!Journal!of!! ! econometrics!104,!119N140.!!
)
Internetpagina’s! ! E.C.!Anderson,!Lecture!notes!for!stat!!578C!statistical!genetics.! http://ib.berkeley.edu/labs/slatkin/eriq/classes/guest_lect/mc_lecture_notes.p df!,!20!October!1999!)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Bijlage!
)
Hoofd)programma)in)Octave) ! hoofdscript! ! tic!!%!start!tijd!!! ! nobs!=!100;!nvar!=!5;!nreps!=!20000;!!%input!variabelen!!!!! ! b!=!ones(nvar,1);!!%echte!Beta!waarden!!! ! x!=![ones(nobs,1)!0.25*randn(nobs,nvarN1)];!%gegenereerde!X!matrix,!ligt!vast! voor!alle!replicaties!!! ! bout!=!zeros(nvar,nreps);!!%opslag!ruimte!voor!Beta!coëfficiënten!!! ! ypred!=!zeros(nobs,1);!%opslag!ruimte!voor!voorspellers!van!Y! ! y!=!zeros(nobs,1);!!%opslag!ruimte!voor!oorspronkelijke!Y!!! ! mse!=!zeros(nreps,1);!%opslag!ruimte!voor!mean!squared!error!!!!! ! m!=!(nobs!N!nvar)/2;!%aantal!vrijheids!graden!gedeeld!door!2!voor!de! hypergeometrische!functie!!!! ! sumy!=!0;!%zet!waarde!som!y!op!0!!! sumypred!=!0;!%zet!waarde!van!voorspeller!y!op!0!!!! sumypred1!=!0;!%zet!waarde!van!totaal!som!van!voorspeller!Y!op!0!!!! ! for!i!=!1:nreps!! ! sumypred!=!0;!%zet!waarde!van!de!som!van!Ypred!steeds!op!0!voor!elke! replicatie!!! ! e!=!0.1*rand(nobs,1);!%genereert!waardes!van!de!storing!! ! y!=!exp(x*b!+!e);!%genereert!waardes!van!Y!m.b.v.!de!storingen!! ! logy!=!log(y);!%neemt!het!logaritme!van!het!exponentiele!model!! ! bout(:,i)!=!ols(logy,x);!%schat!de!Beta!coëfficiënten!!!! et!=!(logyNx*bout(:,i));!%berekent!de!OLS!residuen!! ! f!=!NeweyWest(et,x);!%berekent!de!NeweyNWest!standard!errors!! ! sigma2!=!(transpose(et)*et)/(nobsNnvar);!%berekent!de!gemiddelde!variantie!!!! ! z!=!0.25*(sigma2Nf);!%berekent!de!zp!coëfficiënt!!!! hulphyp!=!m*z;!%berekent!de!input!variabele!voor!de!hypergeometrische!functie!!!!!!!!!! ! for!j!=!1:nobs!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ypred!=!exp(x(j,:)*bout(:,i))*hypergeo(m,hulphyp(j));!%berekent!de!voorspeller! van!Y!voor!1!replicatie!!!!!!!!!!! ! sumypred!=!sumypred!+!ypred;!%berekent!de!som!van!de!voorspellers!van!Y!!!!! endfor!!!!!!!!! ! sumypred1!=!sumypred+sumypred1;!!%berekent!de!totaalsom!van!de! voorspellers!van!Y!!! ! sumy!=!sum(y)+sumy;!!%berekent!de!totaalsom!van!de!Y!waarden! ! meanypred!=!sumypred1/nreps!%berekent!het!gemiddelde!van!de!voorspellers! van!Y!!! ! meany!=!sumy/nreps!%berekent!het!gemiddelde!van!de!Y!waarden!!! ! vers!=!transpose(meanypred!N!meany);!%berekent!het!verschil!tussen!de! gemiddelden!!! ! meanb!=!mean(transpose(bout));!%berekent!de!gemiddelde!waarde!van!de!Beta! coëfficiënten.!!! ! toc! ! fucntie1!voor!de!hypergeometrische!functie! ! function![f]!=!hypergeo(b,x)!%berent!hypergeometrische!functie! ! tol=1eN10;!%zet!tolerantie!level!op!1!*!10^(N10)!! ! term!=!x*(1/b);!%berekent!term! ! f!=!1!+!term;!! n!=!1;!! bn!=!b;!! nmin!=!10;!! while(n!<!nmin)||max(abs(term)!>!tol)!%blijft!termen!toevoegen!totdat!term! groter!is!dan!tolerantie.! ! n!=!n!+!1;!!!! ! bn!=!bn!+!1;!!!! ! term!=!x*term*(1/bn)*(1/n);!!!!
! f!=!f!+!term;!%output!is!f,!is!de!waarde!van!de!hypergeometrische!functie! ! end!! ! fucntie2!voor!de!NeweyGWest!standard!errors! ! function!nwst!=!NeweyWest(e,x)!%berekent!de!NeweyNWest!standard!errors!!!! ! [n,k]!=!size(x);!%zet!aantal!kolommen!en!rijen!van!X!matrix!in!n!en!k!!! ! B!=!ceil(4*(n/100)^(2/9));!%kiest!grenswaarde!voor!seriële!correlatie!!! ! xt!=!x';!! ! x!=!x;!!! ! xmatnew!=!zeros(k,k);!%berekent!(X'X)!! ! for!i!=!1:k!! for!j!=!1:k!! xmatnew(i,j)!=!xt(i,:)*x(:,j);!!!! endfor!! endfor!!!! ! xmatrixinv!=!inv(xmatnew);!%berekent!inverse!(X'X)!!! ! residux!!=!repmat(e,1,size(x,2)).*x;!!! ! estimate1!=!(residux'*residux);!!! ! for!h!=!1:BN1;!%berekent!Bartlett!weights!!!! ! w!=!1N(h/B);!!!!!!!!!! ! term=!residux(1+h:n,:)'*residux(1:nNh,:);!!!! ! estimate1!=!estimate1+w*(term+term');!!!! ! end;!!! ! newey!=!xmatrixinv*estimate1*xmatrixinv;!! ! newey2!=!x*newey*transpose(x);!%berekent!Var(x'Beta(OLS))!! ! nwst!=!sqrt(diag(newey2));!!%berekent!NeweyNWest!errors!vermenigvuldigd! voor!met!x!en!na!met!transpose(x)!!!!!
