Hoofdstuk 6 Afgeleide functies

Hoofdstuk 6:

Afgeleide functies

V-1.

a. Formule B beschrijft een kwadratisch verband en formule C een exponentieel verband.

b.

c. De groei bij B wordt steeds groter, en de bij C is er een afnemende daling.

V-2.

a.

b. Als t met 1 toeneemt, neemt A met 42 toe. c. 210

42 5: het verschil tussen de waarden van t is 5. V-3. a. -b. 12 9 3 8 4 4 a     c. 3 4 : 2 m y  x 3 4 3 4 3 4 9 4 3 6 6 y x b b b b y x           V-4. a. y 2(0,6x3) 1,2 x6 l: y 1,2x12 b. y  0,4x b 14 0,4 22 8,8 22,8 0,4 22,8 b b b y x            V-5. a. l: y 4x c. 4 5 5 2 3 a       d. 3 0 1 3 12 5 a     b. 2 3 y   x b y  3x b 1 5 y  x b 2 3 2 3 7 6 4 3 : 3 b b b m y x              5 3 2 6 11 : 3 11 b b b n y x            3 5 2 5 1 2 5 5 3 2 : 2 b b k y x      V-6. 1 2 ( ) 1 8 f x   x 3 5 ( ) 2 g x  x h x( ) 3x100 2 5 ( ) 2 28 k x  x V-7. a. OA: 41 1 1  4 AB: 1 4 1 ₃ 2 1 4    BC: 1 4 2 1 ₁ 3 2 14    CD: 1 4 4 2 ₃ 4 3 14   

b. Als de x 1 groter wordt, wordt de richtingscoëfficiënt steeds groter. c. OD: 4

4 1: het gemiddelde van de vier hellingen van a.

t A B C 0 9 8 16 10 44 31 12,0 20 79 100 9,07 30 114 215 6.83 t A 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

1.

a. Tussen de 5e _{en 20}e _{minuut legt Jurjen ongeveer 7 km af en tussen de 30}e _{en 40}e minuut ongeveer 8 km. De gemiddelde snelheid tussen de 30e _{en 40}e _{minuut is dus} groter.

b. Dan is de grafiek een rechte lijn.

c. In die 15 minuten legt Jurjen ongeveer s(30)s(15) 14,58 3,95 10,63   km af. Hij reed gemiddeld 10,63

15 60 42,5 km/u.

2.

a.

b. 2 9 2 1 4 

c. De gemiddelde toename is: 4 1 9 1 2 De helling door A en B is: 6 2 4 1

9 1 8 2

a 



  

De hellingen zijn gelijk.

3. a.





13,67 15 (45) (30) 30 , 45 0,91 45 30 s s s t        km/min

b. De 10e _{minuut is van t 9 tot t 10:}



_{9 , 10}



(10) (9) _0,34 10 9 s s s t  _  _   km/min 4. a.



1, 4



(4) (1) 1,75 4 1 f f f x  _  _{ }   b.





(10) (2) 2 , 10 0 10 2 f f f x  _  _  

c. De gemiddelde toename is 0 als de functiewaarden even groot zijn. Bijvoorbeeld op de intervallen



0 , 12



en



4 ,16



. 5. a.



1, 5



(5) (1) 4 5 1 f f f x      

b. De gemiddelde toename over het interval



3 ;1,5



is ook 4.

c. De functie is lineair: de grafiek is een rechte lijn met hellingsgetal 4. De gemiddelde toename op elk interval is dus ook 4.

6.

a. Beide fietsers leggen het traject van 45 km af in 3 uur. De gemiddelde snelheid van de fietsers is dus 45

3 15 km/u.

b. De gemiddelde snelheid van fietser A is op elk interval 15 km/u. Fietser A legt de 45 km af met een constante snelheid van 15 km/u.

Voor fietser B geldt: B



1, 2



15

t  _ 



1, 1.5



16,5 B t  _ 



1, 1.1



17,7 B t  _  en



1, 1.01



17,97 B t   

c. Fietser A fietst met constante snelheid: de grafiek is een rechte lijn.

d. Hoe kleiner het interval, hoe nauwkeuriger de benadering van de snelheid. e. De snelheid op tijdstip t 1 zal 18 km/u zijn.

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1

7. a.



2 , 2.001



(2,001) (2) 0,75 0,001 f f f x  _  _  b.



1, 0.999



( 0,999) ( 1) 1,5 0,001 f f f x          c.



7 , 7.001



(7,001) (7) 0,5 0,001 f f f x  _  _  8. a. f(3) 9 en _{f(3Vx) (3 Vx)}2 _{(3Vx)(3Vx) 9 6  Vx(Vx)}2 b./c.





2 2 (3 ) (3) 9 6 ( ) 9 6 ( ) 3 , 3 3 3 y f x f x x x x x x x x x  _{ }   _    _  _    V V V V V V V V V 2 6 ( ) 6 x x x x x  V  V  V V V

d. Als Vx heel klein wordt, komt y

x



 in de buurt van 6. De helling van de grafiek van f in (3, 9) is 6. 9. a. f(3) 8 en f(3  x) 5(3   x) 7 15 5     x 7 8 5 x b. y 8 5 x 8 5 x 5 x x x            c. De helling in x3 is 5. 10.



4 , 4



(4 ) (4) 3(4 )2 48 3(16 8 ( ) ) 482 4 4 y f x f x x x x x x x x                         2 24 3( ) 24 3 x x x x        

Als x naar 0 nadert , gaat het differentiequotiënt naar 24: dy 24

dx  . 11. Voer in: y₁3 x2 en 0 ( , , )1 ( ) |1 x x d y nDeriv y x x y dx   

nDeriv staat bij math optie 8 en benadert de hellingen van de functie y1.

In de tabel vind je de hellingen van de f(x).

12. a.



1, 1.001



(1,001) (1) 3 0,001 f f f x  _  _{ }  : de helling van g in (1, -2) is -3 b. Voer in: y1x33x2 en 0 ( ) |1 X x d y y dx   en kijk in de tabel. In (-4, -112) en (6, 108) is de helling gelijk aan 72

c. In (0, 0) en (2, -4) is de helling 0. d. De grafiek heeft in die punten een top.

13. a. _{f(1) 3 1  }2 _{12 9 en y   6 1 15 9} b. f



1, 1.001



6,003 x  _  . De helling in (1, -9) is 6. c. f



1, 0.999



6,003 x       6 y   x b gaat door (-1, -9) 9 6 1 6 15 6 15 b b b y x             

Controle: plot de grafiek van f x( ) 3 x212. Dan 2nd _{PRGM optie 5 (tangent): x} ₁ 14. a. f(2) 46 en y  15 2 16   46



2 , 2.001



15,99 f x   

 : de helling in (2, -46) is -16. Dus de grafiek van f heeft dezelfde helling als de lijn in punt (2, -46): ze raken elkaar.

b. f



3 , 3.001



0,009

x

 _

 : de helling in (3, -54) is 0. c. als de helling 0 is loopt de raaklijn horizontaal. d. voer in: 3 1 27 y x  x maximum: (-3, 54) e. f



1,1.001



24 x  _{ }  24 2 y   x 15.

a. voer in: y1x2 en y0 nDeriv y x x( , , )1 en kijk in de tabel. b. De hellingen zijn steeds 2 groter: helling 2x

16. a. _{f a( Vx) ( aVx)}2 _a2_{2a xV (Vx)}2 b./c. y



a a, x



a2 2a x ( x)2 a2 2a x ( x)2 2a x x x x  _{ }     _   _{ }  V V V V V V V V

d. Als Vx nadert tot 0, dan nadert het differentiequotiënt naar 2a en is de helling van de grafiek van f in het punt _{P a a( ,} 2_{) gelijk aan 2a.}

17.

a. f x'( ) 2 x en de helling in het punt ( 3, 3) is f'( 3) 2 3 b. dy(3) 6

dx 

18. De grafiek van f is een rechte lijn met hellingsgetal 2. In elk punt van de lijn is de helling 2: f x'( ) 2

x f(x) hellin_g

0 0 0

1 1 2

2 4 4

19. a./b. c. _{f x'( ) 3 x}2 d. f'(10) 300 e. f x'( ) 75 2 2 3 75 25 5 5 x x x x       In (-5, -125) en (5, 125) is de helling 75. 20. a. klopt b. _{g x'( ) 10 x}9 21. a. _{f x'( ) 5 x}4 _{en g x'( ) 6 x}5_. b. f'(1) 5 en g'(1) 6 c. f x'( ) 80 d. f x'( )g x'( ) 4 4 5 80 16 2 2 ( 2, 32) (2, 32) x x x x en         4 5 4 5 4 4 5 6 5 6 5 6 (5 6 ) 0 0 6 5 0 x x x x x x x x x x            22. _{f x'( ) 7 x}6 6 6 7 0 0 0 x x x    1 6 6 6 2 7 2 7 7 2 ( ) 0,81 x x x     23.

a. Door de verschuiving verandert de helling van de grafiek niet.

b. Door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as toe te passen met factor 3. De hellingen worden ook met 3 vermenigvuldigd.

c./d. h x'( ) 3 '( ) 3 2 f x   x 6x 24. a. s'( 2) 8  en s'(1) 5 d. s x'( )f x'( )g x'( ) 2 x6 b. f'( 2) g'( 2)   4 12 8 e. v x'( )f x'( )g x'( ) 2 x6 c. f'(1) j'(1) 2 3 5   25. a. 2 1 2 '( ) 3 2 g x  x  e. 5 3 '( ) f x  b. _{k p'( ) 2,5 4 p}3 _{ 10p}3 _{f. g x'( ) 0} c. _{m t( ) ( t 5)(t5)t}2_{25 m t'( ) 2 t g. h x'( ) 2} d. _{s t( ) (10 ) t} 4 _10000t4 _{s t'( ) 40000 t}3 _{h. m x'( )    7 3 10} x f(x) f'(x) g(x) -3 -27 27 9 -2 -8 12 4 -1 -1 3 1 0 0 0 0 1 1 3 1 2 8 12 4 3 27 27 9

26.

a. De afgeleide van _{y x}5 _{en y  x}2_{4x is respectievelijk 5x}4 _{en 2x4.} b. zijn afgeleide is niet juist

c. _{k x( )x x}5₍ 2_{4 )x x}7 _4x6 _{k x'( ) 7 x}6_24x5 27. a. f x'( ) 12x5 f'(1) 7 b. _{g x'( ) 15x}4_{16x g'(1) 31} c. _{h x( ) (2 x6)(5x 1) 10x}2_{28x6 h x'( ) 20 x28 h'(1) 8} d. _{k x( )x}2_(5x3_{) 5 x}2_x5 _{k x'( ) 10 x5x}4 _{k'(1) 5} e. _{l x( ) (7 x2)}2 _{(7x2)(7x2) 49 x}2_{28x4 l x'( ) 98 x28 l'(1) 70} f. _{m x( ) ( x}2_{1)(5x8) 5 x}3 _8x2_{5x8 m x'( ) 15 x}2_{16x5 m'(1) 4} 28. a. f x'( ) 2 x6 en f'(0) 6 b. f x( ) 0 c. f x'( ) 10 2 _{6 5 ( 5)( 1) 0} 5 1 '( 5) 4 '( 1) 4 x x x x x x f en f                 2 6 10 2 4 2 x x x     in (2, 21) d. In de top van de grafiek is de helling 0.

e. f x'( ) 0 2 6 0 2 6 3 x x x    

  De coördinaten van de top zijn: (-3, -4)

29. f x'( ) 6x18 '( ) 0 6 18 3 f x x x   

De top van de grafiek van f is (3, 7).

30. a. _0,5x4_{ 3 6,75x} Voer in: 4 1 0,5 3 y  x  en y2 6,75x intersect: x 0,45  x2,21 b. f x'( ) 6,75 c. f x'( ) 16 3 3 2 6,75 3,375 1,5 x x x    3 3 2 16 8 2 x x x      

De coördinaten van P zijn: (1.5, 5.53) Raakpunt: (-2, 11)

16 21 y   x 31. a. _{f x'( ) 4 x}3_4x 3 2 4 4 4 ( 1) 0 0 1 1 x x x x x x x          

b. De raaklijn loopt horizontaal.

c. 1 1

2 2

'( ) 1

f   : de grafiek daalt.

d. f x'( ) 0 voor x   , 1 0 ,1 : de grafiek van f is hier dalend. e. De grafiek van f stijgt op 1, 0 en 1, : de afgeleide is positief.

32.

a. De grafiek heeft een horizontale raaklijn in de toppen: x 3, x1 en x 5. b. _{f x'( )x}3_3x2 _{13x15 f'( 3) f'(1)f'(5) 0 , klopt.} c. f x'( ) 0 op de intervallen 3 ,1 en 5 , 33. a. _{g x'( ) 48 x}2_12x4 2 4 2 2 48 12 12 (4 ) 0 0 2 2 x x x x x x x          

b. Alleen bij x 2 en x 2 heeft de grafiek van f een top. c. Nee, voor x 2,77 zijn de functiewaarden hoger dan de top.

34. a. _{f x'( ) 2 x}2_{4x16 0 c. h x'( ) 8 x}3_{ 8 0 d. j x'( ) 8 x}3 _{16x 0} 2 2( 2 8) 0 2( 4)( 2) 0 4 2 x x x x x x           3 ₁ 1 6 x x y     2 8 ( 2) 0 0, 2, 2 0, 8 x x x x x y y          min: 1 3 53  en max: 2 3

18 minimum is -6 max: 0 en minima: -8

beide lokaal alle lokaal.

b. g x( ) 6 x7 is een lineaire functie: geen uiterste waarden.

35. Ruben: _{y x}3 _Maaike: 2 1 y x  36. 1 2 2 '( ) 2 0 f x  x   2 ₄ 2 2 x x x     

De toppen van de grafiek van f zijn: 2 3 ( 2, 4 ) en 2 3 (2, ). 2 2 3 3 4 ₁ 2 2 13 a _{ }   en 2 1 3 3 4 2 1 2 b    : dus 1 3 : 1 2 l y   x 37. 2 2 1 3 '( ) 3 0 c f x x c x c     

a. Deze vergelijking heeft geen oplossing als c0 b. … twee oplossingen als c0

38. a. f x'( ) 2 x3 en f'(2) 1 b. y  x b 2 1 2 2 4 b b b         c. y  x 4 39. a. _{f x'( ) 2 x}3 _{b. f'( 1)  2} '(1) 2 2 2,5 2 1 2 4,5 2 4,5 f y x b b b b y x              2 2,5 2 1 2 4,5 2 4,5 y x b b b b y x                 c. _0,5x4_{ 3 5 f'( 2)}  _{16 f'(2) 16} 4 4 0,5 8 16 2 2 x x x x       5 16 2 27 16 27 b b y x           5 16 2 27 16 27 b b y x        40. a. b. _{f x'( ) 3 x}2_{12x15 0} 2 3( 4 5) 3( 5)( 1) 0 1 5 x x x x x x           c. Dit is in de top: y 8 d. f x'( ) 15 2 2 3 12 15 15 3 12 3 ( 4) 0 0 4 (0, 0) (4, 92) x x x x x x x x en             41. a.

b./c. f is stijgend op het interval 3 , ; de afgeleide is op dit interval positief. En dalend op het interval

, 3

 .

d. Als de afgeleide f’ negatief/positief is

daalt/stijgt de grafiek van f.

e. Waar de grafiek van de afgeleide functie de x-as snijdt, heeft de grafiek een top.

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12

42. a. b. c. d. 43.

a. De grafiek van f x( ) 7 3  x is een rechte lijn met

helling -3. De hellinggrafiek is de horizontale lijn y  3. b. g x( ) 2 x b

44. De hellinggrafiek van de linker figuur wordt een horizontale lijn boven de x-as.

De hellinggrafiek van de rechter figuur wordt een dalende rechte lijn door (4, 0).

45.

a.

Een dalparabool met top bij x5 Een derdegraads functie met toppen bij x 1,2 en x6,8. 46. a. f x'( )g x'( ) 2 2 2 3 2 3 3 2 (3 2) 0 0 x x x x x x x x         b. Voer in: 1 2 x y  , y0 nDeriv y x x( , , )1 en y3 2x. Intersect: x0,485  x 3,212 47. a. L t'( ) 0,027t en B t'( ) 0,05

De plaat krimpt in de breedte op elk tijdstip met 0,05 cm/maand. Op tijdstip t 1 krimpt de plaat in de lengte met 0,027 cm/maand (L'(1) 0,027). Dat is minder snel dan in de breedte.

b. L t'( )B t'( ) 0,027 0,05 1,85 t t   

 Na ongeveer 56 dagen krimpt het met dezelfde snelheid. x y 5 10 x y 2 4 6 8 10 12 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 x y 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 -1

48. a. b. _{f x'( ) 8x}3_{8 c. f x'( ) 0} '(0) 8 8 7 f y x    3 ₁ 1 x x  

f heeft een uiterste waarde van -1. 49.

a. De grafiek heeft bij x4 een top; in dit geval een maximale waarde. b. Een bergparabool met top (4, …)

c. 1 2

2

( ) 1 12

f x   x  x b

Omdat f(0) 4 moet b4, dus 1 2 2 ( ) 1 12 4 f x   x  x 50. _{f x'( )cx x( 1)(x 1) cx x(} 2_{ 1) cx}3_cx 4 2 1 1 4 2 ( ) f x  cx  cx k 51. a. f a( x) f a( ) a1x a1 a a( a x) a a(a xx) a a( xx) x x x x           _{  }  V V V V V V V V V V

b. Je mag teller en noemer door Vx delen.

c. Dan nadert het differentiequotiënt naar 2

1 1 ( 0) f x a a a  _  _{ }   d. f x'( ) 1₂ x   e. _{f x( )} 1 _x 1 x    2 2 1 '( ) 1 f x x x       f. f x'( ) 4 2 1 4 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , 2) ( , 2) x x x en       

T-1. a.



1, 5



(5) (1) 18 5 1 f f f x  _  _   b.





(2) ( 3) 3 , 2 21 2 3 f f f x  _{ }   _{ }   

c. Op



0 , 0.59



en



0.79 , 1.54



is de gemiddelde toename ongeveer gelijk aan 0.

T-2.

a. s



10 ,10.0001



5,6

t

 _

 . Dit is een benadering van de snelheid na 10 seconden. c. s



60 , 60.0001



6,6 t    m/s (24 km/u) en



100 , 100.0001



6,64 s t    m/s (ook ongeveer 24 km/u).

De snelheid verandert op een gegeven moment niet veel meer. Jos rijdt dan met een constante snelheid.

T-3. a. f x'( ) 2x en f'(2) 4 b. f'( 1) 2  c. f x'( ) 6 d. f'(4) 8 2 6 3 ( 3, 6) x x       8 13 8 4 32 19 y x b b b b            

Nee, de lijn y  8x19 raakt de grafiek in (4,-13)

T-4. a. _{p x'( ) 4x}7 b. _{d p( ) (3 ) p} 5 _35_p5 _243p5 _{d p'( ) 1215 p}4 c. _{f x'( ) 0,2 2  x}19 d. _{s t( ) (4 t4)}2_{ 4 16t}2_{32t16 4 16  t}2_{32t12 s t'( ) 32 t32} e. 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 7 3 9 7 21 9 ( ) (2 ) 4 1 4 1 h t   t  t   t t  t   t t 2 1 9 21 '( ) 1 h t  t f. _{N t( ) (3 t5)(3t5) 9 t}2_{25 N t'( ) 18} _t g. A u'( ) 1 h. h r'( ) 2 r T-5. a. _{f x'( )x}3_4x2_4x0 2 2 ( 4 4) ( 2) 0 0 2 x x x x x x x         In (0, 0) en (2, 1 3 1 ) loopt de raaklijn horizontaal.

b. de uiterste waarde is 0 (niet lokaal).

T-6. a./b. c. _{f x'( ) 5 5  x}4 d. Ja! x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 f(x) f’(x)

e. f'(2) 75 en f(2) 22 22 75 2 150 128 75 128 b b b y x             T-7. a. h0 2 2 2 45 4,9 0 4,9 45 9,18 3,03 t t t t     

De gemiddelde valsnelheid is ongeveer 45

3,03 14,8 m/s b. h t'( ) 9,8t en h'(3,03) 29,7 m/s c. h t'( ) 14,8 9,8 14,8 1,5 t t     T-8.

a. Er zijn twee raaklijnen aan de grafiek door (0, 0).

b. a f x '( ) x 2 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 x ax x x x x a x a            c. 1 3 6 ( ) 4 g x  x  x c

Extra oefening Basis

B-1. a. f



1, 1.001



2,61 x  _{ }  b.



3 , 3.001



1,55 f x  _ 

c. De gemiddelde toename op het interval



a b,



is 0 als geldt: f a( )f b( ) Hier dus bijvoorbeeld op de intervallen



0.31, 4



of



0 , 4.13



.

B-2. a. f



1, 1.001



1,5015 x  _  b. 1 3 1 1 2 2 2 (2) 2 4 8 f     en 1 1 2 2 6 2 3 8

y     : ze gaan beide door het punt



2 , 2.001



6,003

f x

 _

 : de hellingen zijn gelijk.

B-3. a. f x'( ) 7 b. g x( ) 6 x(3x) 6 x  3 x 7x3 g x'( ) 7 c. _{h x'( ) 6x5x}3 _3000x4 d. 2 6 7 '( ) 7 7 k x  x  x e. _{f t( ) (4 t3)(2t6) 8 t}2_{18t18 f t'( ) 16 t18} f. _{g t( ) (5 t9)}2 _{(5t9)(5t 9) 25 t}2_{90t81 g t'( ) 50 t 90} g. 1 2 1 3 1 5 3 2 2 2 4 ( ) ( 8)( 10) 4 5 80 h t  t  t   t  t  t  1 4 2 4 '( ) 1 12 10 h t  t  t  t h. 3 2 3 3 6 3 1 1 1 1 10 10 5 10 ( 1) ( ) ( 1)( 1) 10 t k t    t  t   t  t  3 5 3 2 5 5 '( ) k t  t  t B-4. _{f x'( ) 3 x}2 _12 2 ₄ 2 2 x x x     

In (-2, -14) en (2, 2) is de helling gelijk aan 12.

B-5. _{f x'( ) 3 x}2_{6x 0 g x( ) (1 2 )  x} 2_{  2 1 4x4x}2_{ 2 4x}2_4x1 3 ( 2) 0 0 2 x x x x      1 2 '( ) 8 4 0 g x x x     

De grafiek van f heeft een lokaal maximum 0 en een lokaal minimum -4. De grafiek van g heeft een minimum -2.

B-6. a./b. c. f x( ) 0 2 1 2 '( ) 1 8 f x  x  3 2 1 1 2 2 2 8 ( 16) 0 0 16 0 4 4 x x x x x x x x x              (0, 0) : '(0)f  8 ( 4, 0) : '( 4) 16 f   (4, 0) : '(4) 16f  f'(x) f(x)

d. f'(1) 62 en f(1) 72 1 1 1 2 2 2 1 2 7 6 1 6 1 6 1 b b b y x             

Extra oefeningen Gemengd

G-1.

a. f(3) 18 en y 14 3 24 18   : ze gaan beide door (3, 18)



3 , 3.001



14,006

f x

 _

 : de hellingen zijn ook gelijk. b. _{f x'( ) 3 x}2_6x5 '(0) 5 (0) 3 5 3 f en f y x    

c. het minimum van de helling: f x"( ) 6 x 6 0. Dit is als x 1. In (1, 6) is de helling minimaal. G-2. a. Opp_bodem (90 20)(50 20) 2100   cm2 2100 10 21000 doosje I    _cm3 b. _{A x( ) (90 2 )(50 2 ) 4  x  x  x}2_{280x4500} c. _{I x( )   l b h (90 2 )(50 2 ) x  x x4x}3_280x2_4500x

d. domein: 0 x 25: de hoogte en de breedte moet groter zijn dan 0. e. _{I x'( ) 12 x}2_{560x4500} Voer in: 2 1 12 560 4500 y  x  x zero: x 10,32 De maximale inhoud is 21015,75 cm3_. G-3. a. f



1, 1.1



3,07 x  _ 



1, 1.01



3,007 f x  _ 



1, 1.001



3,0007 f x  _ 



1, 1.0001



3,000075 f x  _ 

b. Dit komt erg dicht in de buurt van 3.

c. Voer in: y₁2x x, plot de grafiek en 2nd _{tracé (calc) optie 6 (dy/dx), x 1} d. Voer in: y0 nDeriv y x x( , , )1

e. Dit is lastig te achterhalen: f x'( ) 3 x.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

hellin

a. 1 15 2 ( )

f x  x c, waarbij c een willekeurige constante is. b. g a( )h a( )b en g a'( )h a'( )

Uitdagende opdrachten

U-1.

a. f(0) 2 en f(1) 1

b. _{f x'( ) 5 x}4_3x2 _{1. De afgeleide is voor alle waarden van x groter dan 0. De} grafiek is dus stijgend.

U-2. f x'( ) x 3

'( 1) 2

f  

De richtingscoëfficiënt van m is 1 2

 , vanwege de loodrechte stand op l. 1 2 3 1 2 8 3 1 1 1 8 2 2 8 1 1 2 8 '( ) 3 3 5 5 3 7 : 7 f x x x en y b m y x                  U-3. a. _{f x'( )x}2_{6x  1 4} 2 _{6 5 ( 1)( 5) 0} 1 5 x x x x x x            In 1 3 ( 1, 2 )  en 1 3

( 5, 24 ) is de helling gelijk aan -4.

1 1 3 3 2 4 1 6 c        en 1 1 3 3 24 4 5 4 c      b. f x"( ) 2 x 6 0 3 x 

In (-3, 11)daalt de grafiek het snelst.

U-4. 1 1 2 1 3 2 2 ( 8 2 ) 16 OAB Opp    a a  a   a a 2 3 16 3 16 2 3 ' 2 0 ( 2) 0 0 10 Opp a a a a a a           U-5. a. 1 2 '( ) f x  x '(4) 2 4 2 4 4 2 4 f b y x         De richtingscoëfficiënt van FV is 1 1 1 4 0 2  

   en staat dus loodrecht op de raaklijn. Het midden van FV is (2, 0) en dat punt ligt op de raaklijn.

b. 1 2 '( ) f a  a 2 2 1 1 1 4 2 4 2 1 1 2 4 b a a a a y a x a         F(0, 1) en V(a, -1)

Het hellingsgetal van FV is 1 1 2 0

a a

 

   en staat loodrecht op de raaklijn. Het midden van FV is 1

2