Index of /SISTA/deschutter/alma_mater

Max-plus-algebraïsche systeemtheorie voor

discrete-gebeurtenis-systemen

Bart De Schutter

Wij beschrijven hoe het gedrag van systemen zoals telecommunicatienetwerken, flexibele productiesystemen, spoorwegnetwerken en parallel-processor-systemen gemodelleerd kan worden met behulp van de zogenaamde max-plus-algebra, die het maximum en de optelling als basisbewerkingen heeft. Vervolgens leggen we uit hoe we vertrekkende van een max-plus-algebraïsche beschrijving van een dergelijk systeem een aantal interessante eigenschappen van het systeem kunnen bepalen. We geven ook een kort overzicht van het werk dat wij zelf op dit gebied verricht hebben (De Schutter, 1996) en dat bekroond is geworden met de Robert-Stock-prijs voor Exacte Wetenschappen 1999 van de Vlaamse Leergangen. Tenslotte bespreken we nog even de belangrijkste open problemen en de grote uitdagingen op dit gebied voor de nabije toekomst.

D

-

-

In de laatste decennia is er zowel in de industrie als in de academische wereld steeds meer interesse gegroeid in technieken voor het modelleren, analyseren en regelen van complexe systemen zoals flexibele productiesystemen, telecommunicatienetwerken, spoorwegnetwer-ken, parallel-processor-systemen, verkeersregelsystemen en logistieke systemen. Deze systemen zijn typische voorbeelden van discrete-gebeurtenis-systemen. Discrete-gebeurtenis-systemen kunnen in essentie beschouwd worden als door de mens geconstrueerde Discrete-gebeurtenis-systemen die bestaan uit een beperkt aantal "middelen" (b.v. machines, communicatiekanalen, processoren), die gedeeld worden door verscheidene "gebruikers" (b.v. producttypes, infor-matiepakketten, rekenjobs). De gebruikers leveren elk hun bijdrage aan de voltooiing van een gemeenschappelijk doel (b.v. het assembleren van producten, de transmissie van beginpunt naar eindpunt van een verzameling informatiepakketjes, een parallel-berekening).

Als we een systeem willen ontwerpen, als we willen nagaan hoe een systeem zich in bepaalde omstandigheden gedraagt, als we het effect van wijzigingen in parameters van het systeem willen voorspellen, of als we een regelaar willen ontwerpen die ervoor zorgt dat het gedrag van het systeem aan bepaalde eisen voldoet, kunnen we proberen om onze kennis over de structuur, de eigenschappen en het gedrag van het systeem voor te stellen met behulp van een (wiskundig) model van het systeem. Dat model kan dan gebruikt worden om het systeem te analyseren en om te voorspellen hoe het systeem in een gegeven situatie zal evolueren. Het opstellen van modellen van systemen en het gebruik van deze modellen om het gedrag van systemen te analyseren, is het onderwerp van de zogenaamde systeemtheorie.

In de conventionele systeemtheorie gaat de aandacht vooral uit naar continue-variabele-systemen. Dit zijn systemen waarvan de toestand continu verandert in de tijd (b.v. de snelheid van een auto of de temperatuur in een chemische reactor) of waarvan de toestand op regelmatige discrete tijdstippen verandert of gemeten wordt (b.v. de uitgang van een stuur-computer of het jaarlijks omzetcijfer van een bedrijf). In het algemeen kan het gedrag van een continue-variabele-systeem beschreven worden door een stelsel differentie- of differentiaal-vergelijkingen.

Bij een discrete-gebeurtenis-systeem daarentegen verandert de toestand (b.v. het aantal onderdelen in een buffer of het aantal klanten in een wachtrij) onder de invloed van

gebeurtenissen. Een gebeurtenis komt overeen met het begin of het einde van een activiteit. Enkele voorbeelden van gebeurtenissen die optreden in een productieproces zijn dan het voltooien van een onderdeel op een machine, een machine die stukgaat of een buffer die leegloopt. De dynamica van een discrete-gebeurtenis-systeem wordt dus gestuurd door het optreden van gebeurtenissen i.p.v. door het verloop van de tijd zoals bij continue-variabele-systemen. De tijdstippen waarop de gebeurtenissen optreden vallen niet noodzakelijk samen met de vaste tikken van een klok. Het tijdsinterval tussen twee opeenvolgende gebeurtenissen is dus kan dus variëren.

Omdat de dynamica van discrete-gebeurtenis-systemen zo verschilt van de dynamica van continue-variabele-systemen, volstaan differentie- of differentiaalvergelijkingen niet meer om het gedrag van een discrete-gebeurtenis-systeem te beschrijven en moeten we dus een beroep doen op andere formalismen. Er is reeds een breed scala van modellen en modelleringstechnieken voor discrete-gebeurtenis-systemen beschikbaar, zoals b.v. Petrinetten, wachtrijen, eindige-toestandsmachines, formele talen, automaten, veralgemeende semi-Markovprocessen, max-plus-algebra, perturbatie-analyse, computersimulatie, enz. Elk van deze methodologieën heeft zo zijn voor- en nadelen en het antwoord op de vraag welke methode het meest geschikt is, hangt af van het te modelleren systeem en van wat we nadien met het resulterende model willen uitrichten. Eén van de belangrijkste overwegingen die hierbij in beschouwing moeten genomen worden, is modelleerkracht tegenover analyseerbaarheid: het blijkt immers dat hoe nauwkeuriger een bepaald model het gedrag van het gegeven systeem beschrijft, hoe moeilijker het is om analytisch uitspraken te doen over de eigenschappen van dat model. In dit artikel gebruiken wij max-plus-algebraïsche modellen om het gedrag van discrete-gebeurtenis-systemen te beschrijven. Alhoewel we op deze manier slechts een beperkte klasse discrete-gebeurtenis-systemen kunnen beschrijven, laten deze modellen ons wel toe om een groot aantal eigenschappen van het gegeven systeem analytisch te bepalen. Voor meer informatie over de andere methoden voor het modelleren en analyseren van discrete-gebeurtenis-systemen verwijzen we naar (Cassandras et al., 1995; Ho, 1989; Ho, 1992).

Laat ons nu even nader ingaan op de klasse van discrete-gebeurtenis-systemen die met behulp van de max-plus-algebra kunnen beschreven worden. In het algemeen wordt de dynamica van discrete-gebeurtenis-systemen gekenmerkt door synchronisatie en keuze-vrijheid. Synchronisatie betekent dat verscheidene middelen op het zelfde tijdstip aanwezig moeten zijn: b.v. vooraleer we een product op een machine kunnen assembleren, is het nodig dat alle onderdelen aanwezig zijn en dat de machine vrij is. Of als we een berekeningen willen uitvoeren in een parallel-processor-systeem, dan moeten alle nodige gegevens aanwezig zijn en moet er een processor vrij zijn. Keuzevrijheid treedt op wanneer op een bepaald moment een gebruiker kan kiezen uit verschillende middelen (b.v. in een productie-systeem kan een onderdeel op één machine uit een reeks machines met dezelfde functionaliteit bewerkt worden, in een parallel-processor-systeem kan een berekening uitgevoerd worden op één van de processoren die op dat moment beschikbaar zijn). Voor discrete-gebeurtenis-systemen die alleen gekenmerkt worden door synchronisatie en geen keuzevrijheid – wat dus inhoudt dat de volgorde van de bewerkingen of gebeurtenissen volledig vastligt – kunnen we een max-plus-algebraïsch model opstellen.

In de volgende secties zullen we eerst de max-plus-algebra beschrijven en dan aan de hand van een voorbeeld aantonen hoe het gedrag van discrete-gebeurtenis-systemen waar alleen synchronisatie optreedt en geen keuzevrijheid, door een max-plus-algebraïsch model kan beschreven worden.

M

-

-

De elementen van de max-plus-algebra zijn de reële getallen en . De basisbewerkingen van de max-plus-algebra zijn het maximum (voorgesteld door ) en de optelling (voorgesteld door ):

a b = max(a,b) a  b = a+b .

Het blijkt dat er een merkwaardige analogie bestaat tussen de basisbewerkingen van de max-plus-algebra aan de ene kant en de basisbewerkingen uit de conventionele algebra – de optelling en de vermenigvuldiging – aan de andere kant. Heel wat eigenschappen en stellingen uit de conventionele (lineaire) algebra zijn na het vervangen van + door  en van  door  immers ook geldig in de max-plus-algebra (Baccelli et al., 1992; Cuninghame-Green, 1979). Op die manier kunnen we b.v. de algebraïsche matrixsom en het max-plus-algebraïsche matrixproduct als volgt definiëren(1)_:

(A  B)ij = aij  bij

(A  B)ij =



k aik  bkj .

Deze definities zijn dus hetzelfde als die van de matrixoptelling en de matrixvermenig-vuldiging in de gewone lineaire algebra, maar met + vervangen door  en  door . Een andere overeenkomst tussen de conventionele algebra en de max-plus-algebra zullen we tegenkomen in de volgende sectie wanneer we max-plus-lineaire modellen voor discrete-gebeurtenis-systemen bespreken: als we  vervangen door + en  door , komen deze modellen immers overeen met de lineaire modellen die in de conventionele systeemtheorie worden gebruikt. Deze analogie is de hoofdreden waarom de symbolen  en  gekozen werden om de basisbewerkingen van de max-plus-algebra voor te stellen(2)_.

Tenslotte kunnen we ook nog de max-plus-algebraïsche machtsverheffing definiëren, die overeenkomt met de conventionele vermenigvuldiging: xr _{= r  x. Voor matrices geldt:}

Ak _{= A  A    A (k factoren).}

M

-

-

-

-

Alhoewel discrete-gebeurtenis-systemen in het algemeen leiden tot niet-lineaire beschrij-vingen, bestaat er een deelklasse van gebeurtenis-systemen – namelijk discrete-gebeurtenis-systemen met synchronisatie en zonder keuzevrijheid – waarvoor het model "lineair" is als we het beschouwen in de max-plus-algebra. Laten we eerst eens kijken hoe de bewerkingen max en + kunnen optreden bij de beschrijving van een discrete-gebeurtenis-systeem. Dit doen we aan de hand van de beschrijving van een spoorwegnetwerk (figuur 1). Stel dat we de treinreizigers die vanuit Antwerpen naar Brussel reizen aansluiting willen aanbieden op de IC-trein die van Oostende via Brussel naar Luik rijdt. De vertrektijd van de trein Oostende-Luik in Brussel moet dan gelijk zijn aan het maximum van de aankomsttijd van die trein in Brussel en de aankomsttijd van de trein Antwerpen-Brussel plus aan bepaalde overstaptijd. De aankomsttijden van de treinen kunnen berekend worden door bij de vertrektijd de duur van de rit op te tellen. Een ander voorbeeld kunnen we vinden bij productiesystemen zoals b.v. een staalgieterij (figuur 2). De starttijd van een nieuwe lichting op een bepaalde productie-eenheid is gelijk aan het maximum van het tijdstip waarop de vorige lichting de productie-eenheid in kwestie verlaat en de aankomsttijd van de nieuwe lichting bij de eenheid. De eindtijd voor een bepaalde lichting op de productie-eenheid is gelijk aan de begintijd plus de verwerkingstijd.

Dit werken we nu meer gedetailleerd uit aan de hand van een eenvoudig productie-systeem.

Beschouw een productiesysteem dat bestaat uit drie productie-eenheden: P1, P2 en P3 (figuur 3). Grondstoffen gaan naar P1 en P2 en worden daar verwerkt. De afgewerkte tussenproducten gaan vervolgens naar P3 waar ze geassembleerd worden tot het eindproduct. De bewerkings-tijden op P1, P2 en P3 zijn respectievelijk d1=15, d2=16 en d3=13 minuten. Het transport van de afgewerkte tussenproducten van P1 naar productie-eenheid P3 neemt t13=2 minuten in beslag.

We veronderstellen dat de overige transporttijden en omsteltijden verwaarloosbaar klein zijn. Aan de ingang van het systeem en tussen de productie-eenheden bevinden zich buffers. De capaciteit van de buffers is groot genoeg, zodat er geen bufferoverloop zal optreden. We veronderstellen verder dat elke productie-eenheid aan een nieuwe bewerkingscyclus begint zodra alle grondstoffen of onderdelen aanwezig zijn en zodra de productie-eenheid zelf het vorige onderdeel heeft afgewerkt. Nu definiëren we de volgende grootheden:

 u(k): het tijdstip waarop de (k+1)-de lichting grondstoffen aan het systeem wordt gevoed,

 xi(k): het tijdstip waarop productie-eenheid Pi aan het k-de product begint te werken,

 y(k): het tijdstip waarop het k-de afgewerkte product het systeem verlaat.

Nu bepalen we het tijdstip waarop productie-eenheid P1 begint aan het (k+1)-de tussen-product. Als we de (k+1)-de lichting grondstoffen aan het systeem voeden, dan zijn die grond-stoffen beschikbaar aan de ingang van productie-eenheid P1 op tijdstip u(k)+0, aangezien de transporttijd van de ingang van het systeem naar de ingang van P1 verwaarloosbaar klein werd verondersteld. Het werk aan het (k+1)-de tussenproduct op P1 kan slechts beginnen als het vorige – dus het k-de – tussenproduct verwerkt is. De verwerkingstijd op P1 is d1=15 minuten. Dit betekent dat het k-de tussenproduct P1 verlaat op tijdstip x1(k)+15. Aangezien P1 begint aan het (k+1)-de tussenproduct zodra de grondstoffen daarvoor aanwezig zijn en zodra het k-de tussenproduct op P1 is afgewerkt, geldt:

x1(k+1) = max(x1(k)+15, u(k)+0) . (1)

Als we een gelijkaardige redenering volgen, vinden we de volgende uitdrukkingen voor de tijdstippen waarop P2 en P3 aan hun (k+1)-de product beginnen te werken:

x2(k+1) = max(x2(k)+16, u(k)+0) (2)

x3(k+1) = max(x1(k+1)+15+1, x2(k+1)+16+0, x3(k)+13) . (3)

Als we in het rechterlid van vergelijking (3) de termen x1(k+1) en x2(k+1) vervangen door de uitdrukkingen (1) en (2), vinden we

x3(k+1) = max(x1(k)+32, x2(k)+32, x3(k)+13, u(k)+17) . (4) Het tijdstip waarop het afgewerkte eindproduct het systeem verlaat, wordt gegeven door

y(k) = x3(k)+13+0 . (5)

In een volgende stap herschrijven we vergelijking (1) met behulp van de symbolen  (i.p.v. max) en  (i.p.v. +). De term x1(k)+15 kan geschreven worden als x1(k)  15 of equivalent(3) 15  x1(k). De term u(k)+0 is te schrijven als 0  u(k). Deze twee termen moeten we nu combineren met behulp van de maximum-bewerking, die wordt voorgesteld door . Dit resulteert uiteindelijk in

x1(k+1) = 5  x1(k)  0  u(k) . (6)

Op een analoge manier geven de vergelijkingen (2), (4) en (5) aanleiding tot x2(k+1) = 16  x2(k)  0  u(k)

x3(k+1) = 32  x1(k)  32  x2(k)  13  x3(k)  17  u(k) y(k) = 13  x3(k) .

Als we tot slot deze vergelijkingen in max-plus-algebraïsche matrix-notatie herschrijven(4)_, verkrijgen we ) ( 17 0 0 ) ( 13 32 32 16 15 ) 1 (k x k u k x                                (7)





Voor andere uitgewerkte voorbeelden van het opstellen van max-plus-algebraïsche vergelijkingen voor discrete-gebeurtenis-systemen zoals b.v. een spoorwegnetwerk (figuur 1) of een staalgietproces (figuur 2) verwijzen we naar (Baccelli et al., 1992; Braker, 1991; De Schutter, 1999).

Het model (7)(8) kan in het algemeen geschreven worden als

x(k+1) = A  x(k)  B  u(k) (9)

y(k) = C  x(k) . (10)

Zoals reeds eerder aangegeven kan de afleiding die werd uitgevoerd in het voorbeeld, veralgemeend worden: voor tijdsinvariante discrete-gebeurtenis-systemen met synchronisatie en zonder keuzevrijheid – die ook kunnen omschreven worden als deterministische discrete-gebeurtenis-systemen waarin de volgorde van de gebeurtenissen en de lengte van de activiteiten vaststaan of op voorhand bepaald kunnen worden – kunnen we een beschrijving van de vorm (9)(10) opstellen (Cuninghame-Green, 1979; Cohen et al., 1985; Baccelli et al., 1992). Hierbij stelt de vector x de toestand van het systeem voor; de componenten van x(k) geven de tijdstippen aan waarop de verschillende gebeurtenissen voor de k-de keer plaatsvinden. De vector u bevat de ingangstijden en de vector y bevat de uitgangstijden. Voor een productiesysteem komen de componenten van x(k) b.v. overeen met de tijdstippen waarop de verschillende machines aan de k-de lichting producten beginnen te werken; de componenten van u(k) geven aan wanneer de grondstoffen voor de (k+1)-de lichting producten in het systeem worden gebracht; de componenten van y(k) geven aan wanneer de k-de lichting afgewerkte producten het systeem verlaat. Een mok-del van k-de vorm (9)(10) wordt een toestandsruimtemodel genoemd. De matrices A, B, C zijn de systeemmatrices van het model.

Als we in het model (9)(10) de bewerkingen  en  vervangen door + en  dan verkrijgen we een lineair model. Daarom zeggen we dat het model (9)(10) "lineair" is in de max-plus-algebra, of kortweg max-plus-lineair. Discrete-gebeurtenis-systemen die met een model van de vorm (9)(10) kunnen beschreven worden, worden daarom max-plus-lineaire discrete-gebeurtenis-systemen genoemd.

M

-

-

In deze sectie zullen we voor de eenvoud alleen max-plus-lineaire discrete-gebeurtenis-systemen met één ingang en één uitgang beschouwen. Verder zullen we veronderstellen dat de begintoestand gegeven wordt door x(0) = [     ]T_{; voor een productiesysteem}

komt dit overeen met de situatie waarbij initieel alle machines vrij zijn en alle buffers leeg. De resultaten die we in deze sectie zullen voorstellen, zijn echter zeer gemakkelijk

uitbreidbaar tot het meer algemene geval met verscheidene in en uitgangen of met een wille -keurige begintoestand.

Als we een model van de vorm (9)(10) van een discrete-gebeurtenis-systeem hebben, kunnen we het gedrag van het systeem voorspellen: voor een gegeven ingangssequentie u(0), u(1), , u(N-1) kunnen we de overeenkomstige uitgangssequentie y(1), y(2), , y(N) berekenen. Dit kan gebeuren door de begintoestand en de ingangen in te vullen in de beschrijving (9)(10) en zo achtereenvolgens x(1), x(2),  en y(1), y(2),  te berekenen. Een alternatieve procedure bestaat erin om eerst de toestanden x(k) uit (9)(10) te elimineren, wat aanleiding geeft tot

y(k) =



Als we nu de vectoren y* _{= [ y(1) y(2)  y(N) ]}T _{en u}* _{= [ u(0) u(1)  u(N-1) ]}T _definiëren,

dan kan aangetoond worden dat (11) aanleiding geeft tot

y* _{= H  u}* ₍₁₂₎

voor een bepaalde matrix H. Dit laat ons toe om uit de ingangssequentie direct de overeenkomstige uitgangssequentie te bepalen. Omgekeerd kunnen we dan ook voor een gewenste uitgangssequentie de gepaste ingangssequentie berekenen door voor een gegeven y* vergelijking (12) op te lossen naar u*_{. Hiervoor bestaan analytische uitdrukkingen.}

De uitgangssequentie die overeenkomt met de impuls-ingangssequentie 0, , ,  krijgt bijzondere aandacht in de systeemtheorie: ze wordt de impulsresponsie van het systeem genoemd. Voor een productiesysteem ontstaat de impulsresponsie door het systeem op een zodanig ritme met grondstoffen te voeden dat de buffers aan de ingang van het systeem nooit leeg geraken en dat de machines aan nooit verstoken blijven van verse grondstoffen(5)_{. De} termen van de impulsresponsie worden gegeven door

Gi = C  Ai  B .

Merk op dat (11) nu kan geschreven worden als

y(k) =



Dit verklaart ook het belang van de impulsresponsie: als we de impulsresponsie van het systeem kennen kunnen we met behulp van (13) de uitgangstijden bepalen voor elke wille-keurige sequentie ingangstijden.

De systeemmatrices van een max-plus-lineair toestandsmodel zijn niet uniek: voor een gegeven max-plus-lineair discrete-gebeurtenis-systeem bestaan er verschillende drietallen van systeemmatrices A, B, C die allemaal het gegeven systeem beschrijven. Een toestandsruimte-model met systeemmatrices A, B, C en een toestandsruimtetoestandsruimte-model met systeemmatrices

C B

A~, ~, ~ worden equivalent genoemd als ze hetzelfde ingangs-uitgangsgedrag vertonen, m.a.w. als Gi Gi

~

 voor alle i.

Voor een fysisch systeem kan aangetoond worden dat het uiteindelijke gedrag van het systeem periodiek is: Gi+p = p  Gi waarbij p de periode van het systeem is, en  de

cycluslengte. Voor een productiesysteem zullen de afgewerkte producten het systeem verlaten met een gemiddeld ritme van 1/ onderdelen per tijdseenheid. Om nu de periode p en de cycluslengte  van het systeem te kennen, is het niet nodig om de termen van de

impulsresponsie uit te rekenen tot het periodieke gedrag optreedt aangezien  gelijk is aan de max-plus-algebraïsche eigenwaarde van de systeemmatrix A. Dit betekent dat er een vector v bestaat zodat A  v =   v. De periode p kan eveneens uit A bepaald worden. Daarnaast geeft A ook nog aan waar de traagste componenten van het systeem – de zogenaamde "bottlenecks" – te vinden zijn. Er bestaan verscheidene efficiënte algoritmen om de max-plus-algebraïsche eigenwaarde, de periode en de traagste componenten van een matrix te berekenen.

Voor het productiesysteem uit Voorbeeld 1 wordt de impulsresponsie gegeven door 30, 45, 61, 77, 93, 109, 125,  De max-plus-algebraïsche eigenwaarde van A is gelijk aan 16. Dit komt overeen met de cycluslengte 16 van het uiteindelijke gedrag van de impulsresponsie. Merk ook op dat de bewerkingstijd op productie-eenheid P2 eveneens 16 is. Dit geeft aan dat productie-eenheid P2 de "bottleneck" van het systeem is.

Voor een uitgebreidere inleiding tot de max-plus-algebraïsche systeemtheorie verwijzen we de geïnteresseerde lezer verder naar (Baccelli et al., 1992; Cuninghame-Green, 1979) en de referenties daarin.

E

-

-

In deze sectie bespreken we meer uitgebreid het onderzoek dat wij zelf hebben verricht op het gebied van max-plus-lineaire systemen.

Het feit dat bepaalde klassen discrete-gebeurtenis-systemen aanleiding geven tot een max-plus-lineair model werd reeds in de jaren 60 ontdekt door onderzoekers zoals Cuninghame-Green en Giffler (Cuninghame-Green, 1962; Giffler, 1963). Daarna verzwakte de aandacht van de wetenschappelijke wereld voor de algebra en voor max-plus-lineaire discrete-gebeurtenis-systemen, maar op het einde van de jaren 80 kreeg dit domein een nieuwe impuls door het onderzoek van o.a. Cohen, Dubois, Moller, Quadrat, Viot en Olsder (Cohen et al., 1985; Cohen et al., 1989; Olsder & Roos, 1988; Olsder et al., 1990; Baccelli et al., 1992). Ons onderzoek sluit direct aan op het werk van deze onderzoekers.

Het eerste doel van ons onderzoek was om, uitgaande van de analogie tussen de max-plus-algebra en de conventionele lineaire algebra en van de analogie tussen de beschrijving (9)(10) en de toestandsruimtebeschrijving voor conventionele lineaire systemen, te onderzoeken welke concepten, technieken en algoritmen uit de lineaire systeemtheorie kunnen overgedragen worden naar de max-plus-algebraïsche systeemtheorie voor discrete-gebeurtenis-systemen. Ondanks de sterke gelijkenissen bestaan er echter ook grote verschillen tussen de max-plus-algebra en de conventionele algebra. Daardoor kunnen we de eigen-schappen en de methodes van de lineaire systeemtheorie niet zo maar mechanisch overnemen. Dit heeft tot gevolg dat de max-plus-algebraïsche systeemtheorie helemaal nog niet zo sterk is ontwikkeld als de lineaire systeemtheorie. In ons onderzoek hebben wij dan ook getracht een bijdrage te leveren tot de verdere uitbouw van de max-plus-algebraïsche systeemtheorie door methodes en technieken te ontwikkelen voor het oplossen van enkele fundamentele problemen uit de max-plus-algebraïsche systeemtheorie voor discrete-gebeurtenis-systemen.

Eén van de open problemen in de max-plus-algebraïsche systeemtheorie die we in dit kader bestudeerd hebben, is het minimale-realisatieprobleem voor max-plus-lineaire discrete-gebeurtenis-systemen, dat als volgt kan omschreven worden:

Gegeven de impulsresponsie van een systeem van de vorm (9)(10) met onbekende systeemmatrices, bepaal een max-plus-lineair toestandsmodel met systeemmatrices A, B, C dat de gegeven impulsresponsie als impulsresponsie heeft en waarbij de dimensie van A zo klein mogelijk is.

Het minimale-realisatieprobleem kan beschouwd worden als één van de centrale problemen in ons onderzoek. In het kader van dit onderzoek wij ook de volgende max-plus-algebraïsche

problemen bestudeerd, die allemaal op de ene of de andere manier verband houden met het minimale-realisatieprobleem:

 het berekenen van max-plus-algebraïsche matrixfactorisaties:

Voor een gegeven matrix A zoeken we matrices X en Y zodat X  Y = A. Bovendien kunnen we een bepaalde structuur aan X en Y opleggen (b.v. bovendriehoeks, diagonaal, enz.). De factorisatie kan ook uitgebreid worden tot drie of meer factoren.  het berekenen van toestandsruimtetransformaties voor max-plus-lineaire

discrete-gebeurtenis-systemen:

Stel dat we voor een gegeven max-plus-lineair discrete-gebeurtenis-systeem systeemmatrices A, B, C ter beschikking hebben die overeenkomen met een model van de vorm (9)(10). Nu willen we een equivalent model bepalen met systeemmatrices

. ~ , ~ , ~ C B

A Eventueel kunnen we hierbij extra voorwaarden opleggen aan A~, B~ en .

~

C Deze procedure kan gebruikt worden om voor het gegeven

discrete-gebeurtenis-systeem een model met een eenvoudigere structuur of een model dat gemakkelijker te analyseren is, te verkrijgen. Als de dimensie van A~ kleiner is dan de dimensie van A,

dan spreken we in dit verband over modelreductie.

 het berekenen van matrices met een gegeven max-plus-algebraïsche karakteristieke veelterm:

In de conventionele lineaire algebra komen de eigenwaarden van een matrix overeen met de nulpunten van de karakteristieke veelterm van de matrix. De algebraïsche karakteristieke veelterm van een matrix in de uitgebreide max-plus-algebra(6) _{kan op een analoge manier gedefinieerd worden als in de conventionele} lineaire algebra. De omgekeerde operatie, namelijk voor een gegeven max-plus-algebraïsche veelterm een matrix bepalen die deze veelterm als karakteristieke veelterm heeft, kan o.a. gebruikt worden bij het bepalen van (minimale) realisaties en van de minimale systeemorde uitgaande van de impulsresponsie van het systeem.

 het berekenen van de algebraïsche QR-ontbinding of de max-plus-algebraïsche singuliere-waardenontbinding van een matrix:

De QR-ontbinding en de singuliere-waardenontbinding(7) _{uit de gewone lineaire algebra} spelen een belangrijke rol in een aantal identificatie-algoritmen en minimale-realisatie-algoritmen voor conventionele lineaire systemen. Op een analoge manier kunnen deze ontbindingen ook gedefinieerd worden in de uitgebreide max-plus-algebra.

Bij dit onderzoek viel ons op dat deze max-plus-algebraïsche problemen beschouwd kunnen worden als speciale gevallen van een stelsel max-plus-algebraïsche veeltermvergelijkingen:

k kij c j j ki i

b

x

a









b

x

a









waarbij de xj's de onbekenden zijn, de aki's en de bk's de coëfficiënten, en de ckij's de

exponenten. Het oplossen van een stelsel max-plus-algebraïsche veeltermvergelijkingen kan op zijn beurt geherformuleerd worden als een wiskundige-programmatieprobleem dat wij het Uitgebreide Lineaire Complementariteitsprobleem (ULCP) genoemd hebben. Dit probleem komt neer op het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen en ongelijkheden waarin een aantal groepen ongelijkheden voorkomen waarbij er in elke groep tenminste één ongelijkheid voldaan moet zijn met gelijkheid. Dit zullen we illustreren aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld 2: Beschouw het volgende stelsel max-plus-algebraïsche veeltermvergelijkingen:

6  x1  x23  x2  x3  x5-2 = 5 (16) 2  x2  x42  x2  x35 = 9 . (17) Beschouw nu de eerste term in het linkerlid van de eerste vergelijking: 6  x1  x23. In conventionele notatie wordt deze term 6+x1+3x2. De tweede term kan herschreven worden als x2+x3+(2)x5. Beide termen worden gecombineerd met behulp van de -operatie, die overeenkomt met het maximum. Dit betekent dat vergelijking (16) equivalent is met

max(6+x1+3x2, x2+x32x5) = 5 .

Aangezien het maximum van de twee termen in het linkerlid gelijk moet zijn aan 5, is deze vergelijking is equivalent met het volgende stelsel ongelijkheden

6+x1+3x2  5 x2+x32x5  5

met als extra voorwaarde voor de oplossing dat voor tenminste één van de twee ongelijkheden het linkerlid gelijk is aan het rechterlid. In dat geval is het maximum van de linkerleden van het stelsel immers inderdaad gelijk is aan 5.

Op analoge wijze kan aangetoond worden dat vergelijking (17) equivalent is met het volgende stelsel ongelijkheden

2+x2+2x4  9 x2+5x3  9

met als extra voorwaarde dat voor tenminste één van de twee ongelijkheden het linkerlid gelijk is aan het rechterlid.

Dit betekent dus dat het stelsel (16) (17) equivalent is met het volgende stelsel van vier lineaire ongelijkheden: 2 groep 9 5 9 2 2 1 groep 5 2 5 3 6 3 2 4 2 5 3 2 2 1                  x x x x x x x x x

waarbij we twee groepen ongelijkheden kunnen onderscheiden (één groep voor elk vergelijking in (16) (17)) en waarbij er in elke groep tenminste één ongelijkheid voldaan

moet zijn met gelijkheid. 

Wij hebben aangetoond dat het probleem van het oplossen van een stelsel max-plus-algebraïsche veeltermvergelijkingen en veeltermongelijkheden geherformuleerd kan worden als een ULCP en omgekeerd. Daarnaast hebben we ook een algoritme ontwikkeld om alle oplossingen van een ULCP te berekenen (De Schutter & De Moor, 1995a). Dit stelt ons dus in staat om de bovengenoemde max-plus-algebraïsche problemen op te lossen. Meer informatie hierover kan gevonden worden in (De Schutter & De Moor, 1995b; De Schutter & De Moor, 1996; De Schutter & De Moor 1998). Hierbij willen we ook opmerken dat – alhoewel de equivalenten van deze problemen in de conventionele lineaire algebra en systeemtheorie zeer efficiënt kunnen opgelost worden – de ULCP-aanpak voor de max-plus-algebraïsche versie van deze problemen op dit moment de enige bekende aanpak is(8)_.

B

In dit artikel hebben we geïllustreerd hoe het gedrag van discrete-gebeurtenis-systemen met synchronisatie en zonder keuzevrijheid kan beschreven worden met behulp van max-plus-lineaire modellen. We hebben ook een beknopte inleiding tot de max-plus-algebraïsche systeemtheorie gegeven en ook kort het onderzoek besproken dat wij verricht hebben i.v.m. enkele fundamentele problemen uit de max-plus-algebra en de max-plus-algebraïsche systeemtheorie. Deze problemen zijn allemaal verbonden met het max-plus-algebraïsche minimale-realisatieprobleem en kunnen geherformuleerd worden als een wiskundige-programmatieprobleem: het Uitgebreide Lineaire Complementariteitsprobleem (ULCP).

Alhoewel de problemen uit de lineaire algebra en de lineaire systeemtheorie die met de bestudeerde max-plus-algebraïsche problemen overeenkomen vaak zeer gemakkelijk op te lossen zijn, is dit niet het geval voor de max-plus-algebraïsche problemen. Voor bijna al de bovenvermelde max-plus-algebraïsche problemen is de ULCP-benadering op dit moment de enige manier om het probleem op te lossen. Deze aanpak is echter zeer algemeen en dus vaak niet de meest efficiënte. Daarom loont het zeker de moeite om na te gaan of er voor de verschillende individuele problemen efficiëntere oplossingsmethoden kunnen ontwikkeld worden. Verder willen we ook vermelden dat de complexiteit van deze problemen (m.a.w. is het eigenlijk wel mogelijk om een efficiënt algoritme voor het probleem te ontwerpen?) ook nog een open probleem is.

Daarnaast zijn er ook nog heel wat vragen in de max-plus-algebraïsche systeemtheorie die nog open zijn, terwijl hun equivalenten in de lineaire systeemtheorie al wel oplosbaar zijn. Zo weten we b.v. niet of er toestandsruimtetransformaties bestaan die een willekeurige (minimale) toestandsruimterealisatie omzetten in een andere willekeurige (minimale) toestandsruimterealisatie. Een andere vraag is hoeveel termen van de impulsresponsie men nodig heeft om daaruit een minimale realisatie van de volledige impulsresponsie te bepalen.

Daarom is één van de belangrijkste opdrachten voor verder onderzoek het uitbreiden van de max-plus-algebraïsche systeemtheorie voor discrete-gebeurtenis-systemen zodat uiteindelijk een systeemtheorie voor max-plus-lineaire discrete-gebeurtenis-systemen ontstaat die even omvangrijk en toepasbaar is als de huidige systeemtheorie voor conventionele lineaire systemen.

(1)_{Een uitgewerkt voorbeeld van een max-plus-algebraïsche matrixsom en van een max-plus-algebraïsch} matrixproduct wordt gegeven door: _ _ _ _{ } __  __{ }

      3 1 ) 3 , 2 ( max ) 1 , 1 ( max 3 2 1 1 3 1 2 1 en             3 1 4 2 0 1 . 1 3 ) 3 4 ), 1 ( 2 ( max ) 3 0 ), 1 ( 1 ( max ) 3 4 ( ) 1 2 ( ) 3 0 ( ) 1 1 (

























(2)_{Het verband tussen + en × enerzijds en  en anderzijds komt ook tot uiting bij de zogenaamde exponentiële} transformatie: voor grote waarden van x geldt dat eax_+ebx _{ e}max(a,b)x _{= e}(ab)x _{en e}a x_×eb x _{= e}(a+b)x _{= e}(a b) x_.

(3)_{We verwisselen de volgorde omdat de matrixuitdrukkingen (7)(8) dan eleganter afgeleid kunnen worden.} (4)_{Merk op dat ontbrekende termen aanleiding geven tot het optreden van 's als elementen van de} systeemmatrices. Dit is als volgt te verklaren. Beschouw b.v. de eerste rij van vergelijking (7). Uitgeschreven geeft dit: x1(k+1) =   x1(k)    x2(k)  16  x2(k)  0  u(k). Aangezien in het algemeen geldt dat   x = +x =  en   x = max(,x) = x voor elk reëel getal x, vinden we dus uiteindelijk x1(k+1) = 16  x2(k)  0  u(k), wat overeenkomt met vergelijking (6).

(5)_{Een impuls-ingangssequentie is eigenlijk niet fysisch realiseerbaar aangezien ze niet stijgend is: normaal} gezien wordt de k-de lichting grondstoffen immers vóór de (k+1)-de lichting aan het systeem gevoed, wat betekent dat u(k)  u(k+1). Voor een fysisch systeem geldt echter dat de uitgang ten gevolge van de impulssequentie 0, , ,  wiskundig gezien identiek is aan de uitgang ten gevolge van de fysisch realiseerbare sequentie 0, 0, 0,  (6)_{De uitgebreide max-plus-algebra wordt afgeleid uit de gewone max-plus-algebra door de invoeren van een} operatie die kan beschouwd worden als een max-plus-algebraïsch equivalent van de -operatie uit de lineaire

algebra. Dit gaat echter gepaard met een aantal problemen die buiten het bestek van dit artikel vallen. Meer informatie is te vinden in (Baccelli et al., 1992).

(7)_{Voor een gegeven matrix A wordt de QR-ontbinding uit de conventionele lineaire algebra gedefinieerd door A} = QR met QQT _{= Q}T_{Q = I en R een bovendriehoeksmatrix; de singuliere-waardenontbinding wordt gedefinieerd} door A = UVT _{met UU}T _{= U}T_{U = I, VV}T _{= V}T_{V = I en  een diagonaalmatrix met niet-negatieve} diagionaal-elementen.

(8)_{Voor beperkte klassen speciale gevallen van sommige van deze problemen waarbij er extra voorwaarden} opgelegd worden aan de gegevens van het probleem, bestaan er wel alternatieve efficiënte oplossingmethoden.

Literatuur

Baccelli, F., G. Cohen, G.J. Olsder & J.P. Quadrat (1992). Synchronization and Linearity. New York: John Wiley & Sons, 489 p.

Braker, J. (1991). Max-algebra modelling and analysis of time-table dependent transportation networks. Proceedings of the 1st European Control Conference, Grenoble, France, p. 1831-1836. Cassandras, C., S. Lafortune & G.J. Olsder (1995). Introduction to the modelling, control and optimization of discrete event systems. In A. Isidori (ed.) Trends in Control: A European Perspective, Berlijn: Springer-Verlag, p. 217-291.

Cohen, G., D. Dubois, J.P. Quadrat & M. Viot (1985). A linear-system-theoretic view of discrete-event processes and its use for performance evaluation in manufacturing. IEEE Transactions on Automatic

Control, 30 (3), p. 210-220.

Cohen, G., P. Moller, J.P. Quadrat & M. Viot (1989). Algebraic tools for the performance evaluation of discrete event systems. Proceedings of the IEEE, 77 (1), p. 39-58.

Cuninghame-Green, R. (1962). Describing industrial processes with interference and approximating their steady-state behaviour. Operational Research Quarterly, 13 (1), p. 95-100.

Cuninghame-Green, R. (1979). Minimax Algebra, Berlijn: Springer-Verlag, 258 p.

De Schutter, B. (1996). Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Doctoraatsthesis, Fac. Toegepaste Wetenschappen, K.U.Leuven, 331 p.

De Schutter, B. (1999). Designing optimal timing and sequencing strategies for a continuous steel foundry. In Proceedings of the European Control Conference 1999 (ECC'99), Karlsruhe, Germany, paper 160/BP-2.6.

De Schutter, B. & B. De Moor (1995a). The extended linear complementarity problem. Mathematical

Programming, 71 (3), p. 289-325.

De Schutter, B. & B. De Moor (1995b). Minimal realization in the max algebra is an extended linear complementarity problem. Systems & Control Letters, 25 (2), p. 103-111.

De Schutter, B. & B. De Moor (1996). A method to find all solutions of a system of multivariate polynomial equalities and inequalities in the max algebra. Discrete Event Dynamic Systems: Theory

and Applications, 6 (2), p. 115-138.

De Schutter, B. & B. De Moor (1998). The QR decomposition and the singular value decomposition in the symmetrized max-plus algebra. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19 (2), p. 378-406.

Giffler, B. (1963). Scheduling general production systems using schedule algebra. Naval Research

Logistics Quarterly, 10 (3), p. 237-255.

Ho, Y. (ed.) (1989). Proceedings of the IEEE (Special Issue on Dynamics of Discrete Event Systems),

Ho, Y. (ed.) (1992). Discrete Event Dynamic Systems: Analyzing Complexity and Performance in the

Modern World. Piscataway: IEEE Press, 291 p.

Murata, T. (1989). Petri nets: Properties, analysis and applications. Proceedings of the IEEE, 77 (4), p. 541-580.

Olsder, G.J., J. Resing, R. de Vries, M. Keane & G. Hooghiemstra (1990). Discrete event systems with stochastic processing times. IEEE Transactions on Automatic Control, 35 (3), p. 299-302.

Olsder, G.J. & C. Roos (1988). Cramer and Cayley-Hamilton in the max algebra. Linear Algebra and

Title: fig_1.eps Creator:

fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1 Preview:

This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment:

This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers.

Figuur 1: Voorstelling van het Belgische spoorwegnetwerk. De relaties tussen de vertrek- en aankomsttijden van de treinen in een spoorwegnetwerk kunnen met behulp van de max-plus-algebra beschreven worden.

Title: fig_2.eps Creator:

fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1 Preview:

This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment:

This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers.

Figuur 2: Een staalproductieproces waarin de volgorde van de verschillende opeenvolgende bewerkingen vastligt, is een typisch voorbeeld van een discrete-gebeurtenis-systeem dat met behulp van de max-plus-algebra gemodelleerd kan worden.

Title: fig_3.eps Creator:

fig2dev Version 3.2 Patchlevel 1 Preview:

This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment:

This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers.

Samenvatting

Wij beschrijven hoe het gedrag van zogenaamde discrete-gebeurtenis-systemen kan beschreven worden m.b.v. van de max-plus-algebra, die het maximum en de optelling als basisbewerkingen heeft. We geven ook een overzicht van het werk dat wij zelf op dit gebied verricht hebben.

Biografische schets

Bart De Schutter was van 1991 tot 1999 verbonden aan de afdeling ESAT/SISTA van de K.U.Leuven, eerst als doctoraatsstudent en later als post-doctoraal onderzoeker. Momenteel is hij werkzaam bij de vakgroep Regeltechniek van de faculteit ITS van de TU Delft.