Vergelijkingen voor de niet-stationaire afvoer

2. Bij tot nu toe uitgevoerde bewerkingen van

grondwaterstands-gegevens door ir.Visser en zijn medewerkers werden geen gevallen aangetroffen, waarbij de waarde ß nul of zeer klein was, en dus de afstroming door de bovengrond' zou mogen worden verwaarloosd« Hiernaast werden wel een aantal gevallen gevonden waarin ai zeer klein was, zodat de bovenbeschreven lijnen vrijwel door de oor-sprong gingen. Dit betekent, dat in deze gevallen de stroming door de ondergrond mag worden verwaarloosd.

Bij de afleiding van de gewenste niet-stationaire vergelij-kingen wordt uitgegaan van de veronderstelling dat de afvoer van een drainage of stroomgebied evenredig is met de zich in de grond bevindende hoeveelheid water. Bij de door de Afdeling Cultuur-techniek afgeleide vergelijking werd de stroming door de boven-grond dus de term ß in verge(la)verwaarloosd. In deze nota zal nu worden nagegaan, welke vorm de afvoervergelijking krijgt wanneer de stroming door de boven- of ondergrond wel en niet wordt verwaarloosd.

2. Verwaarlozing van de stroming door de bovengrond

De verhoging van de drukhoogte van het water in de grond hangt af van de toegevoerde hoeveelheid en het bergend vermogen van de grond volgens

/team

«(Si- s) dfc (3),

waarin

jU. = het bsrgend vermogen van de grond ^n.= de drukhoogte

5,; = infiltratiesnelheid (neerslag minus verdamping) S = afvoer

t = tijd

Verwaarlozing van de stroming door de bovengrond komt neer op de verwaarlozing van de laatste term in de teller van verg. (la) dus

S = * ïru (/O

V

of

d-j = <x è _rru

_0**0

Invullen van (4a) in (3) geeft nu

Of

fO

Wordt nu de neerslag verdeeld in zodanige perioden t , dat de infiltratiesnelheid constant is, dan geldt volgens (5)

of

4

H,

"t'H-l

* st - bL

waaruit volgt dat

fl

•

it

M-

_(G)

Deze vergelijking wordt door De Zeeuw en Heilinga (Landb, Tijdschrift 1958» p.402) voorgesteld voor de karakterisering vaîi de niet-stationaire afvoer. De faktor oL volgt uit verg.(l) en kan worden bepaald uit

a) Ä - lijnen van drainage objecten (volgens verg.l)

TV*.

b) Uit het afvoerverloop van drsinreeksen, polder- of stroom-gebieden (volgens verg.6)

c) Uit hydrologische constanten en drainafstanden (volgens verg.l)

*

d) Uit «raarnemingen van grondwaterstandsbuizen.

» ; 204/IO59/5Ö/3

3. Verwaarlozing, van de- stroming- door de ondergrond

In gebieden f waar het watervoerend pakket tot op-slechts

geringe diepte beneden het ontwateringsniveau reikt, kan zich

de situatie voordoen, dat de stroming door de ondergrond van

slechts geringe betekenis is. Dit komt neer c»p het

verwaar-lozen van de eerste term in de teller van (la) dus

S-=/3'>YV" Cf)

Invullen van dit verband in (3) geeft dan

/-n cirrs. - (5L -fi ->n-2) d t

of

o

On

dt

(«)

't' o>i.

-ß

I n t e g r a t i e van deze v e r g e l i j k i n g v e r g t , dat de noemer in

f a k t c r e n wordt ontbonden dus

l m r V | " - - V |

à

vn - - d t

(&a)

De constanten A en D dienen nu t e worden bepaald. Uit

(8) en 8a) volgt &

u

dat

A (

w

- \ / | ) , B(m* Vfi) .

f1

zodat de voorwaarden waaraan A en B moeten voldoen zijn

A + B

= 0

waaruit volgt dat

A ' - i V f

4- s y j . - I

&

s

i.

\/5i

£

zodat (8a) kan worden geschreven als

ä.±\n£\ ^

/i

5- V *t

ótn.

_{= - dt}

m

-n *<v*

c-Integratie en instellen van de randvoorwaarden vergt nu:

t s O Th ="»106

t s 't H s

'm,,

en

of

1

1H

tvu

1YU

Tn.

+

^1

TU..

'm.,.

- t

A

m

à

W

^*VF

ïV

^

^

-.-vi

= - t

P

ty

waaruit volgt dat

'm,

M

_IL.

^

•V£

^ V i ™°-Vi

_I*

(.o)

Om *de waarden van m . uit deze uitdrukking te vervangen dopr de bijbehorende*afvoer kan verg.(7) wederom ingevoerd worden in (lO). Dit geeft

U

VST - r e VX + V5. e " ^ ^

00

6.

Deze vorm kan als volgt worden omgewerkt.

-£ty*

-£tf*

ai

r

v^:

^(VT^-W* . j i ^ ^ l ^ M

Daar echter geldt dat

+ e " ^

' 4 - 6 /t»r .,. e- j .

kan ook worden geschreven

it

I - e

4\f^

-j\^.

i

T

e

zodat verg.(12) overgaat in

hk^)

V^; tyifiy*)

+

V^= VPI - V^lfiVpo

y^^VsA'

of algemeen geschreven

VS

=

J L S Ü

— _ _ = — —

+

v^T^^V^)

^

' 204/IO59/5C/6

'y^v*v -ï v - o —-•—> v r - — •

0%

f

A

* * ^

Ü

\tf-t. "•Vi. ^iSnlf\ L<y

.1 _{-s_^-'_^V " ''.i-'V} * "

Deze vergelijking heeft een iets ingewikkelder vorm dan verg. (6) doch bij bekende A en s-L kan het af voerverloop nog

wel zonder veel moeite worden nagegaan«

Bij gebruik van verg.(l3) zou deze beter in de vorm

V.

Ju __ V ^V Si ~

^i(£\lfiïï

0^)

kunnen worden geschreven. Hierbij zijn de afvoeren als verhou-dingen geschreven, welke verhouverhou-dingen eveneenB gelden voor de drukhoogten. Men heeft dan het voordeel dat de bewerking ook op grondwaterstanden kan worden toegepast.

In beide gevallen heeft men het grote voordeel dat de waarden voor de tangenshyperbolieus in getabelleerde vorm ge-geven zijn in o.a. Keiïchi Hayashij Fünfstellige Tafeln für

Kreis und Hyperbelfunktionen (Walter de Gruyter à Co.Berlin 1955)• 4. Algemene afvoervergelijking

Behalve de beide b© Tonomschreven vergelijkingen zullen vele gevallen voorkomen,, waarin geen van de beide componenten van de stroming mag worden verwaarloosd. Een vergelijking voor het afvoerverloop kon dan worden verkregen door verg.(la) in zijn geheel in te vullen in (3)« We krijgen dan

of _>

•

/ " ^

- - Jt

OH)

Een oplossing van deze vergelijking kan als volgt worden verkregen.

8.

We s c h r i j v e n voor (14)

4

Ad

vn. Bei *TU

(lru - -ol •h]/o('-^(a

•)

< W - _{1(3 J}

r_ dt

((O

S t e l l e n we nu

f *

- ol +

\l af+lfflS,

^

l

S

^

dan moet v e r v o l g e n s (15). w a a r u i t v o l g t d a t

B ^ o

/4c£

h B p ^ -H i e r u i t v a l t v o o r / ! en ß a f t e l e i d e n :

A =

ß

\[<

r

Ti^T

i

Voor verg»15 valt dan te schrijven

A

cJm d-m.

V«*

1

* * ƒ £

nm

-f3 V L - Q V -

=

- J - t

ft

f-3

2 0 4 / 1 0 5 9 / 5 0 / 8

Integreren en invoeren van de randvoorwaarden

t.-o

t.-fc

•m. =. W L „ fn. * '»•v. geeft dan

A

_,>«.

k.

•nv _t

t

9.

of

jx p î(*>*n<

l

T *L- \/0<

l

+yis

L

i ^ ^ ^ ^ v ^ t y ^

o < + M S ,

_ys

_t

_{. ^ ^ W f | / V}

₊

_{^ . 26/m,}

₀

_+oC-Vol

₁

_+<,(&,

-t 06)

Om in (l6) weer '>% en T ^ te kunnen vervangen dóór de bijbe-horende afvoeren, beschouwen we verg.(la), waaruit volgt dat

£ - c< mn ~ fi rm. - o

of

nn =

y<£lr lf Sf>

r*

0})

Aangezien e c h t e r cC^O en ß ) u i s de vorm onder h e t wortelteken

p o s i t i e f . Daar ook tn\o hoeven we in 17 a l l e e n het min-teken

t e gebruiken a l s mogelijke o p l o s s i n g . Voor 17 v a l t dus t e

s c h r i j v e n

^ • m . +o( = Vo(2+ZjAS

M

— B i j "het i n v u l l e n van U 8 ) en (16) gaan we gemakshalve s c h r i j v e n

l / c C ^ t , ^ , - c sip***,**

03)

204/1059/ *&/9

10. Men kan desgewenst de formule in afvoeren of drukhoogten

uitdrukken door resp. de linker of rechter uitdrukking voor A , B en C in te vullen. Bij invullen van de linkeruitdrukking krijgen we

Vc

I-

VÂ. Vô - VÂ"

Een vergelijking die vrijwel dezelfde, uitkomst geeft werd door Visser (Landb.Tijdschr.65(1953) 66-81) afgeleid. Boor het voigen van een andere weg bij de verdere uitwerking werd echter een resultaat gekregen dat veel bewerkelijker is.

Verg.(20)is analoog aan (il) zodat direct valt te schrijven

Vö^yr — - 7 , "_ ^ • AO

VBhkft^} + VA

il

V

of na invullen van de betreffende waarden de algemene verge-lijking

V**

+

Y=s

t

- V - A ^ '—

l

VtK^YK.. ^ ( &

ü 'U/U-V

^ ^ J

+ V 5 Ï

^ 7 ^

(iz)

De berekening volgens deze v e r g e l i j k i n g z a l dezelfde bezwaren opleveren a l s die voor v e r g . ( l 3 ) . W a a r s c h i j n l i j k kunnen de berekeningen nog wel v r i j ver vereenvoudigd worden met behulp van nomogrammen

Evenals b i j verg.(-13) g e l d t h i e r , dat een b e t e r e vorm voor de bewerking zal z i j n

Vo<Ws

u V ' ^ ^ f i S t n . / - (UOl 7' 204/1059/5cAo X > 0 ( • ' t 't - ' ** • ./ -« ;..•*. •. . .-i " - - ^ f

1 1 .

Hieraan zal e c h t e r nog de nodige aandacht moeten worden

b e s t e e d .

5« Samenvatting

Uitgaande van de d r a i n a g e v e r g e l i j k i n g van Hooghoudt z i j n

d r i e formules afgeleid voor de n i e t - s t a t i o n a i r e afvoer waar- '

b i j bepaalde delen van de stroming z i j n verwaarloosd. Het r e

-s u l t a a t kan a l -s volgt wo'rden weergegeven-s

a) Uitgangsformulec

S a •'•*• VK- •+ fi yrh (10.)

waarin de e e r s t e term de afvoer door de ondergrond, de tweede

term de afvoer door de bovengrond g e e f t .

b) Betekenis symbolen.

n ß 1

<*• - „v uit drainagevergelijking van Hooghoudt.

I

P - -

H

?- (idem)

\-s. = infiltratiesnelheid (neerslag minus verdamping) s, = afvoer op tijdstip t

n

tu = bergend vermogen van de grond

c) Verwaarlozing van de afvoer door de bovengrond.

12. d) Verwaarlozing van de afvoer door de ondergrond.

n. e) Algemene vergelijking-.

v ^ t , ^ . Ms* wh

K

"—„ , *—r, e-H)

1

V ^ ^ U . bjA.f Jfc\^^^0

VV^TI^.-Wageningen oktober 1959 Dr.J.Vesseling