Over de grondslagen van de relativiteitstheorie

Over de grondslagen van de relativiteitstheorie

Citation for published version (APA):

Alexandrov, A. D., & Vroegindewey, P. G. (1980). Over de grondslagen van de relativiteitstheorie. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 8003). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

--*

TECHNISCHE HOGESChOl)L EINDHOVEN

Ondera.fdeling de~ I'lisku:-J.de

Memorand~m !920-03 januari 1':j80

Over de grondslagen van de re 1 aLi.. vi tel tsthecrle

door

A. D. Alexandrov

*

Ui t net Russisch vertaald ,joor

vestnik Leninqrad Univ. 1976, nc.19 (Mat.Meh.Astron No.4) biz. 5 - 28.

J. de Graa::

A.D. Alexandrov.

S.W. Wallander.

Over de grondslagen va~ de relativiteitstheorie.

Toen ik mij in de 50-er jaren met de grondslagen van derelativiteit.stheorie bezig hield, heb ik meer dan eens de opkomende vragen en conclusies met Serge WasiljeVlitsj Wallander besproken.

Omdat wij elkaar toen regelmatig ontmoetten was daar veel ge~egenheid toe. In het voorjaar van 1952 werd ik namelijk benoemd tot rector van de Universiteit van Len~ngrad en nocigde ik Serge Wasiljewitsj uit om conrector voor weten-schapsbeleid te worden. Tussen de overstelpende stroom werkzaamheden door, die verband hielden met deze activiteiten, vonden we adempauzes in wetenschappe-lijke gesprekken.

Serge Wasiljewitsj was een mens Met een scherpe denkwijze, in staat om tot de diepe essentie van de proble~en door te dringen. Daar hij bovendien eerder geneiqd was tot kritiseren dan tot loven was de omgang met hem des te interes-santer, wdnt ee,1 cri ticlls die diep doordringt is de beste vriend van de aute'lr.

Zo h=bDen we o.a. twee van mijn werken [2,3J besproken. Hier zal het gaan over [3J.

Nag in 1949, (zie [lJ ), was door mij een afleiding verkregen van de Lorentz transformaties '.lit een van de wetten over het constant zijn van de lichtsnel-heid (zonder enige veronderstelling over continuiteit enz.) of, wat hetzelfde is, uitde voor;.;aard€ van de invariantie van het systeem lichti<.egels. Dit re-sultaat is door mij essentieel uitgebreid in [3J, waarin de Lorentz transfor-maties e,"eneens werden afgeleid ui t de voorwaarde var, de invariantie van het systeem van lichtkegeis met hun inwendige in de 4-dimensionale ruimte - tijd: anders gezegd dat in de ruimte van gebeurtenissen de kegel K "m"et top a worde

a

gevormd door "p1mten-gebeurtenissen" beinvloedbaar door a. "Beinvloeding" mag worden opgevat als overdracht van impuls-energie. Invariantie van het systeem van de aangeduide kegels betekent invariantie van de beinvloedingsrelatie m.a.w. van de causaliteitsrelatie zodat we kunnen zeggen cat de Lorentz trans-formaties afgeleid werden uit de invariantie van de causaliteitsrelatie. Zowel in het geval van de causaliteitskegels als van de lichtkegels wera ver-o:1dersteld jat e:c sprake was van 1-1-duidige afbeeldinge:1 van de ':gehele) 4-di.nensicna;"e n.imte - tijd op zichzelf waa:::-bij het systeem van de beschouwde kegels cehcuden blij=t (kegels Norden afgebeeld op kegels van dezelfde soort).

Deze veronderstelling dat er afbeeldingen ·"an de gehele ruimte cp zichzelf beschouwd werden, vond Serge I-Jasiljewitsj een tekortkoming van mijn

resulta-ten, waarmee hij het belang onderstr~ep':? van het beschouwen van afbeeldingen niet van de hele ruimte, maar van een begrensd gebied. De grond vaor zo'n opvattLng bestaat o.a. hierin, dat door afbeeldingen van de hele ruimte te beschouwen we daarmede de wereld in zijn geheel beschouwen en dat is dubieus,

zowel uit empirisch als uit filosofisch oogpunt.

Zodoende kwam uit de discussies met Serge Wasiljewitsj het volgende vraag-stuk naar ',loren: vast te stellen wat de 1-1-duidige afbeeldingen zijn van een gebied in de R4 (algemeen in JRn) waarbij cirkelkegels afgebeeld worden op cid:.elkegels van dezelfde soort. Het is duidelijk dat niet hele kegels bedoeld worden, maar die delen ervan die in het gegeven gebied liggen en evenzo in het deel v~~ de kegel waarop wordt afgebeeld. Een exacte formulering van het ' pro-bleem en de oplossing volgen verderop.

Er gingen meer dan 20 jaar voorbij, maar de vraag bleer cnbeantwoord. En nu wr=rd ik aangespoord door het 'lerzoek am een artik21 te s:::hrijven It-oar het ge-Ge:1J<-.bo€k ':8r nagedach tenis aan Ser<;e IV.J.silj ewi t.S j en heb ik de over.-wegingen die Vl·:'E·ger bij :nij leefden, afgerond, viaardoo:r' ik eer. volledig antwoord op de vraag heb gevonden. Het uiteenzet,ten van dit antwoord vormt de inhoud van dit ""er~.

Overi?er.s is het resultaat var, mijn werk [1,3J later door andere auteurs,die het niet opgemerkt hadden, herhaald [5,6J . In ~6J (1972) hebben de auteurs, die onder de indruk /Jaren van het verkregen resultaat, "dat de Lorentz groep volgt uit alleen maar het constant zijn van de lichtsnelheid" dat zelfs cur-sief gedrukt en 'an een ~itroepteken voorzien.

Ondertussen ".as dit resultaat 22 jaar eerder door mij verkregen en gepubliceerd [ 1

J .

noewel wij in dit artikel in de eerste plaats ee~ lokaal resultaat verkrijgen -voor een begrensd gebiec - wordt daar qesalnietteminverder een gevolg met, glo-baal karakter uit afgeleid, verband houdende met mogeli.jke cosoologische model-len.

§ 1 Formulerir,g van de resul t3.ten.

1.1 We beschonwen de Minko'dskiruimte - eer. pseudo-euclidische ruimte R

-waarva:1 in de metrische vorm een kwadraat een te\en heeft en alle andere

het cegengestelde.

Er wordt verondersteld dat dim R ~ 3, het geval dim R

=

00 daarbij niet uitgezonde~c .. Op grond van de veronderste:i.ling dat dim R = 00 is toegelaten

geven we een definitie van de ruimte R. Deze veronderstelling maakt ecnter de bewijzen niet ingewikkelder.

Een affiene ruimte A(dim A

=

00 toegelaten) is niets anders dan een lineaire ruimte over het lichaam der reele getallen JR, onder voorwasrde dat daarin translaties x -+ x + a zijn inqevoerd. Evenzo verstaan we onder dim A de grootste macntigheid van de verzameling onafhankelijke vectoren. Daaromkrij-gen we door een willek£urig punt 0 to: A als oorsp~ong te nemen (Le. daar de nulvector door vast te :'...eggen) een aroeelding -.ran A op een linea ire r\.limte

(aan de punten x f. A worden de vectoreZ1 0 toegevoegd). Verder wordt

veron-x

dersteld dat de oorsprong 0 vast is en dat x, y, a enz., zowel punten ui~ A

zullen voorstellen als vectoren Ox, Oy enz.

In A ",ordt ee;). convexe topologie ve:condersteld. 3reng ;).u deor 0 een recr,te

1 aan en een vlak Evan codimensie 1 waar deze rechte niet in ligt. Iedere vector kan e~nduidig ontbonden worden :..n compo:1enten lar.gs Q. en langs E:

x=x + ' { 1 • E

Zij in E een inwendig product xEY

E gedefinieerd. Voer in 1 een affiene coordi-_{') 2}

naat XI) in; zo kur.nen we het kwadraat voor een vector x ui trekenen: x~ = Xo • Lefinieer het pseudo-kwadraa~ van een willekeurige vector x

=

xl + x

E: 2

x

Analoog 'loor het pseudo-inproduct

Dit geeft ons de pseudo-euc~idische ruimte R.

Dezelfde ruimte krijgen we ais x2 met een

con~tante

factor

A

f 0 verandert,

A < 0 niet uitgezonderd. l'ie nebbe:1 tet teken ZQ gEcko.ze:1 dat een kwadraat positief is en zo zullen !,ve het houdsn.

1.2 We beschouwen zes relaties tussen punten x, y E R : drie symmetrische 2 2 2

(I) (x - y) = 0, (II) (x - y) ~ 0, (III) (x - y) > 0 en drie antisymmetrische (1+) - (111+) die uit (I) - (lID ontstaan door toevoeging van de voorwaarde

+

Xo

~ YO· Met name betekent (I) dat de vector xy isotroop is en (I ) dat bovendien zijn component langs de xO-as niet-negatief is.

De vraag die in dit artikel wordt beantwoord, bestaat uit het onderzoeken van afbeeldingen, die de aangegeven relaties samen met hun ontkenningen

2 2

invariant laten dus bijvoorbeeld de relaties (x-y) = 0 en (x-y) ~ O. Er kunnen vier typen elementaire trans forma ties onderscheiden worden die deze eigenschap hebben.

1) Homothetieen H

x, =;\x + a,;\ ~ 0 (dus ook translaties,;\ 1)

2) Lorentztransformaties L

i.e. 1-1-duidige lineaire afbeeldingen die x2 invariant laten en

Xo

> 0

invariant laten voor x met x2 > 0 (tijdsinvariant).

3) Inversies I

Een inversie met centrum a is een transformatie

x'

=

I (x)

=

a

x-a

2 + a (x-a)

4) Bijzondere tweevoudige inversies ,J (kortweg BT inversies)

x'

,

J (x) . ca 2 (x-a) + c (x-a) 1+2c (x-a) + a waarin de vector c

~

0 isotroop is (c2

keurig.

0) en a (net als in 3)

wille-De naam van de transformatie 4) houdt verband met het feit dat hij zich slechts onderscheidt van het product van twee inversies met middelpunten a en a - c door een translatie (zie 2.2).

In tegenstelling tot de transformaties 1); 2) die in de hele ruimte ZlJn ge-2 definieerd, is de inversie I niet gedefinieerd op de kegel C : (x - a) = 0

a a

en de BT inversie J niet op het"vlak" P

Indien dim R < 00 dan beelden de Lorentz-transformaties R Cop zich ze~f af,

maar bij dim R 00 kunnen ze R afbeelden op een lineaire deelruimte.

De door ons benodigde eigenschappen van de transformaties 1) - 4) zullen in § 2 besproken worden. Hier vermelden we:

Propositie 1

Een willekeurige afbeelding f die een combinatie is van de transformaties

1) - 4) laat betrekking (I) en zijn o:ltkenning invariant voor all.e paren X,Y

waarvoor f(x) en f(y) gedefinieerd zijn en laat de betrekkingen (II), (III) met hun ontkenningen invariant indien x en y tot een samenhangende component behoren van de verzameling waarop f is gedefinieerd.

De betrekkingen (1+) - (111+) daarentegen blijven met hun ont~enningen in-variant onder de laatste voorwaarde indien de sam van het aantal in f optre-dende inversies en homothetieen met coefficient A < 0 even is.

1.3 Het blijkt dat het omgekeerde van de zo juist geformuleerde proposit~e

j".list is. Er geldt nl.

Stelling 1

Indien de 1-1-duidige afbeelding f : G + R van het gebied G c R een van de zes betrekkingen (I) - (111+) samen met zijn ont2<ennir,g invariant laat, da,1 is f een combinatie van de transforma~ies 1) - 4). Met name is f dan wei een L met H, dan wel een L met 11 f.1et toevoe~iing van I of J.

Anders gezegd, f wordt teruggebracht tot een van de dr~e gedaan~en HL, HLI,

HLJ, waarbij hij in de laatste twee gevallen eveneens tot de gedaante IHL resp. JHL teruggebracht kan worden (met andere H,I,J behalve i:l het. ;eval dat de transformatie HL i.dentiek is i we kunnen r.og opmerken dat HL

=

LH) • De betrekkingen (1+) - (III+) blijven invariant indien in HL en in HL,J de homothetieccefficient A > 0 is, in he~ geval HLI daarentegen als A < 0 is. De voorstelling van f in de gedaante HL en ook in de gedaante HLI (of IHL)

is eenduidig, maar de voorstelling HLJ (evenals JHL) is niet eendu:'dig: in plaats van

eer,

voorstelling HLJ is een andere H'L'J' mogel.l.::;;~, waarbij J'

hetzelfde bijzcndere vlak P heeft, :11:

P. is 1 + 2c (x - a)

o

zodat c'

=

AC, 1 - ~c'a' ~ A(l - 2ca).

... +

Merk voorts 09 dat onze stelling voor de relaties (I ') - (III ) een direct gevclg is van die voor (I) - (III).

Inderdaad, voar een willekeur~g paar punten x,Y is dan wei Xo 5 YO' dan wei YO 5 XO·

Derhalv8 indien b.v. de beLrekkingen (x - y)2

=

0 en(x - yf

~

0 samen met de ongelijkheid

X

o

5 YO in',,-arian~ blijven dan blijven deze oak invariant

onaf-har~elijk daarva~. Bet is nl. voldoende indien b.v. geldt YO 5 x

o'

om x en y

te verwisselen om te bewerkstelligen dat YO ~ yO.

Op grond van deze opmerkl.ng hadde!l we de gevallen (I ) -+ (III ) buiten + beschouwing kunnen laten, maar zij hebben fysische betekenis (zie § 1.6). In dit artikel bewijzen we stelling 1 slechts voor (I) (in § 3) eG voor (II)

(in § 1.5). net bewijs voor (III) vermelden we niet wegens plaatsgebrek.

1.4 Heet.1(undige formulerir.g van stelling 1

Eet vastleggen van betrekkingen tussen punten x,y is gelijkwaardig met het toekennen van de verza~eli~~ v&n 311e y aan alle x binnen de gegeven relatie. Met de betrekkingen (I) - (III, ~orresponderen de kegels:

II) _{, M} 'I I ) \ 1'1 (III ) M :I

C Y (x

-

yl- (isotrope kegel met top x) x

K { _Y (x:

-

V,.I 2 ~

O

J

X

Q

= {

y : (x - y)2 > O}<J{x} . dit is een open kegel; door zijn x

top cp te ne~~n heboen we III aangevuld met y = x. De verzamelingen c+

x

+ + .

K , Q d~e overeenkom~n met de

x x betrekkingen (1+)

worden verk::::egen door toevoeging van de voorwaarde Xo 5 YO' zodat (1+ M):

T + + + +

c

{y: V E e en YO ~ x

O} ; analoog worden (II ) K en(III ) Q bepaald.

x - x M x M x

Deze verzaruelingen zijn e?eneens kegels maar enkelvoudig in tegenstelling tot de th'eevoudigen C , K en Q • We zegge~ dac ze helften voorstelle!l van deze

x x x

kegels, die helfteG waarop geldt YO ~ xO.

+ +

In t.ermen van ~e kege.is (I ) - (III) wordt st.elling 1 als volgt geformuleerd:

M . M

§~211in9 2

Z.'Ll c ee:l 1-1-duidige aibeelcing van het gebi",d G, z·::) dat voor eE:e kegel M

x va,l een v~n de zes 1:.ypen (I~) - (III:) vocr all,e x E G geldt dat

f 1,:"1 _x ~) '1

;l t,;

=

[f (x) n f (G) (A)

Stelling 2 is gelijkwaardig met stelling 1 op grond van de voigende opmerking. Als R een van de oeschouwde bet!:"ekkingen is en M

x kent invariantie van R onder f dat

{y : R(x,yl} , dan

bete-f (M

x n G) C Mf (x) II f (G). Het beho;.rd 1 '10m de ontkennir.g van R bete.'<.er.t het -zelfde voor de inverse afbeelding f-~, i.e. Mf(x) n f (G) c f(M

x II G) .

Zodoende is (A) equivalent met het behoud van R en z'n ontkenning en daarmee is stelling 2 equivalent met stelling 1.

1 .5 Stelling voor de conforme :::-11imte.

De ruimte kan aangevuld wo!:"den met een oneindig verre Kegel waarop bij wille-keurige inversie de singuliere kegel wor'dt afgebeeld (zie b.v. [7] ); da.ar geldt dim R < 00 maar als dim R

=

00 wordt de aangeqeven uitb:::-eLiing net eenc.er gede finieerd.

Als resultaat krijgen we een ruLnte C waarin de t.!:ansfsrmaties 1) - 4) OV8r-gaan in 1-1-duidige afbeeldingen (continu bl.j ESe I:' g-,:bruikelij;':e topologie

voor C). De ruimte C heet conform omdat conforme a::beeldinge:1 var. de gebieden in R - dat zijn de transformaties 1) - 4) en r,;.rn cO!T'.l:-.Lnati!::s - dezelfd.a :rr., :rr.I, HLJ zijn, zodat uitbreiding van R tot C de cor.forme afbeeldi.:",ge.n als 'clet ,yare regulariseert. Eet fei t dat

,r;:.,

HLI, HLJ net de c0!1for!f!e afbeeldingen zijn, is goed bekend voor dim R <. on (zie weer b.v. [iJ). Stelling 2 geeft de mogelijkheid dit oak te be"ri]zen voor dim R = 00 en z€lfs een "og st.er:<::er re-sultaat'te verkrijgen indien de eis over confornuteit: gewijzigd wordt in een essentieel zwakker,= eis, maar di t val.t niet b:Cnr,en net kader van di t artikel. Bij het uitbreiden van R tot C worden oak de kegels C ,K uitgebreid, zodat

x x

we in C voor deze '-1itbreidingen kegels hebben. Elke isotrope rechte ",orat ui tgebreid met een onei:1dig ver punt. en _vordt zodoende gesloten. De ruimte

C wordt bi] ui.tslui ting van deze 00 ve!:"re plmte:1 van een willekeurige }.-.egei

C over~evoerd in R.

x

De afbeelding die in R een spiegeling in een viak is, blijkt in C een .inversie te zijn.

Het ui tzonderen van de BT-inversie J heeft geE,r. zin daar irNersie: in C gE:en 3ingulariteiten hebben

*.

Het J.igt d'la::-om ,-cor 6.e ha:1d om ir. C slechts 3

soorten afbeeldingen te be;<::ij'<::en,met name 1)

transformaties LC (zonder spiegelingen ~) 3)

h'.Jmot:-letieen fj'- , 2)

Lorentz-(;

Il1Ver3ies I i.e. zodanige ( :.ome-ornorfe) afbeeldingen van C op zichzelf dat bij ui tslt..:i ting ui t C van de ge-schikte keqel overqaan in de gencemde afbeeldi:1qer! .

... Het apart beschou'Nen var.. BT-ir'_ve!:"sies J i.n R .. gebeurde ::.mdat ze gedefinieerd zi]r.. op halfruimtes, terwijl inversi,=s I gedefini~erd zijn op gebicden waarin de ruimte door de kegels vlordt opged"'f=ld.

(Bij dim C < 00 is dit een afbeelding van C op zichzelf). Er geldt de volgende:

Stelling 3

De afbeelding f : G + C van het gebied G c C die aan dezelfde voorwaarden voldoet als in stelling 2, is dan wel HCLc dan wel HCLc met toevoeging van een of twee inversies Ie.

In het eindig-dimensionale geval wordt de afbeelding f voorgesteld als product van een eindig aantal inversies (niet meer dan n + 2 als dim C

=

n). Stelling 3 kan eenvcudig uit stelling 2 afgeleid worden. Op zijn beurt is stelling 2 een direct gevolg van stelling 3. Het is voldoende om de gegeven R in stelling 2 uit ~e breiden tot C en vervolgens stelling 3 toe te passen. Bij stelling 3 is de volgende opmerking van belang.Uit het feit dat isotrope rechten in C gesloten zijn volgt dat het alleen maar mogelijk is om de

helf-+ + +

ten C , K , Q van de kegels C , K , Q lokaal te separeren. Eveneens is de

x x x x x x

conditie (A) van stelling 2 voor hun slechts lokaal toe te passen. Overigens

~s het, zoals reeds opgemerkt, in onze stellingen niet essentieel om deze helften te bekijken. Sovendien valt op te merken dat voorwaarde (A) in de

+

betrekking C gelijkwaarcig i:3 met zijn equivalent voor C met de eis van

x x

behoud van orientatie of rondgang, die op de een of andere isotrope rechte gegeven wordt en vervolgens op de andere isotrope rechten, die de kegels C x op grond van nun contin~iteit vormen, wordt overgedragen. Analoog kunnen de

+ +

voorwaarden voor de kegels K , Q geherformuleerd worden als we op de kegels x x

K ,Q een lokale onderneming invceren x x

lanqs de beschrijvenden van C .

die overeenkomt met de orientatie

. - x

*

De ruimte C is homeomorf met het product van een bol en een ci:!::kel .

Daarom bestaat er een overdekkende ruimte C die homeomorf is met het product van een bol en een rechte. Hierin wordt op natuurlijke wijze een geometrie geinduceerd die lok~al samenvalt met de geometrie in C. Isotrope rechten in C

.. . . + + +

z1Jn a~ n1et meer gesloten, zodat we de helften C , K , Q kunnen separeren.

x x x

-Op C beschouwen we de afbeeldinqen He, LC, IC en uit stelling 3 voigt dan:

Als dim R

=

ro kunnen we denken aan een bol die uit het vlak E wordt verkregen (vgl. § 1.1) door het toevoegen van een 00 ver punt; de topologie wordt ne~ eender gedefinieerd als voor dim R < 00, daar

x~

gegeven is.

Stelling 4

Het in stelling 3 gestelde is overeenkomstig toepasoaar op de ruimtc C.

Hier-bij heeft de conditie voor de helften van de kegels niet slechts lokaal, r.laar ook globaal zin.

1.6 Fysische interpretatie

Bij een fysische uitleg van de bet!:"ekkingen (I) - (III+) e,,_ van de stellingen

1 - 3 beschouwen we de r'J.imte van gebeurtenissen, of, wat hetzelfde is, de

ruimte-tijd, waarvan elk pl_tn!:. samenhangt met een of andere gebeurtenis; x en y

zijn punt-gebeurtenissen enxO is de tijd in een zeker ccordinatenstelsel.

De betrekkingen (r+) - (I!IT) !:::etekenen dat x inwerkt op, of, in principe kan

inwerken, op y, i.e. van x naar y gaat (kan gaan) via ir.lpuls-e:1ergie.

+

Met name (I ) betekent beinvloeding doer direct licht (dus niet verstrooid) ,

+ +

( I I ) een willekeurige inwerkir.g e:1 (III ) een r.lechaniscr.e beinvloeding:

het doorgeven van impu1s-energie door deeltjes met res~massa f 0 o~ door

ver-strooid licht.

Evenzo zijn de kegels _ex+ _' K, +

x

vanuit x, de overee~~oI:lstige

willekeurig, mecnanisch.

Q + verzarnelingen van die gebeur';:enissen waar,

x

im-:erking komt (kar: komen) !:"esp. d.I:l.v. licht,

De symrnetrische betrekki:1gen (I) - (III) geven het verband tussen x en y aan (of

hun mogelijke verband) d_m.v. doorgifte van impu1s-energie, onverschillig of

dit van'x naar y ef andersom is: (I) via direct licht, (II) willekeurig en

(III) weer mechanis~h.

Onze stellingen betekener. dat het behoud 'Ian een van c.e zes bel:.rekkingen samen met zijn ontkenning zonder enigerlei verdere voorwaaz'de &.1 het bepaalde karak-ter vastlegt van de mogelijke transformaties van ruimte-tijd.

Onder de evidente eLs dat deze transfromaties een grcep vormeD, is het 'niet

noodzakelijk am naast de gegeven betrekking ook behe-ud van zijn ontkennina te

eisen, daar hij vco!:" behoud van de bel:.rekking zorgt bij de inverse

transfor--matie. Het ligt eci1.ter voor de hand om ons ui tslui tend te b8per~<en tot

onbe-grensde transfor;naties; dan valle!1 I en J in de Hi;;KO'NSki-!."1,:":"n1Ce af en blijven

slechts L en HOver.

Maar voor C en C Zi.jD '..;illeke~l2:"ige lokaal toegelaten transformaties onbeg-rensd

uitbreidbaar en dienovereeru<;cmstig werken in deze ruimtes de g!:cegen van aile

De eis dat de transformaties een groep vormen levert hetzelide res~ltaat op als de eis van hun voortzetbaarheid. Tussen haakjes: dit laatste hetekent geen beschouYling van de wereld in zijn geheel, zoals voortzetbaarheid van de rij van natuurlijke getallen niet betekent dat we hem altijd noodzakelijk als oneindig beschouwen. Als we, overeenkomstig de bekende algemene kijk op de meetkunde, er van uitgaan dat de meetkunde van de ruim~e-tijd bepaald wordt door een transformatiegroep, dan concluderen we uit onze stellingen dat elk van de zes relaties (I) - (111+) in deze zin een geometrie van ruimte-tijd bepaalt. Bet belangrijkst is (II). Deze toont aan dat de rueest algemene cau-sale relatie van doorgifte van impuls-energie al een geomet~ie van ruimte-tijd bepaalt.

Naast de Minkowski-ruimte R hebben we twee modellen C, C voor de ruimte-ti]d waarin de symmetrie bepaald wordt door deze ene algemene relatie. Deze model-len zijn door Segal in [8J besproken in het Kader van de cosmclogie.

+ +

In de ruimte C kunnen de betrekkingen(I ) - (III) slecht.s lokaal

worden gedefinieerd, zodat daarin het gewone georientee~de causale verband slechts lokale betekenis heeft. In de overdekking C daarentegen heeft hij oak globale betekenis:

uitbreiding van lokale oorzakelijke invloed leidt niet tot gesloten oorzaak-ketens zoals in C.

Men vindt dat de aanwezigheid van zulke ketens ongecorloo£d (oTh~ogelijk) is, daar dat in t.egenspraak is met het begrip causaliteit. Deze overweging is echter ongegrond o;ndat het ongegrond is te denken dat de natuur in overeen-stemming zou moeten zijn met onze begrippen.

Bet begrip causaliteit beantwoordt aan de lokale structuur van de natuur, daar is het uitge;'1aald, maar dat betekent niet dat in andere kad'=l-s dit be-grip geen wijzigingen vereist.

1. 7 Ui tbreiding Er geldt de volgende

Stelling 5

Zij f : G + R een zodanige l-1-cuidige afbeelding van het gebied G c R dat 1) f (G) is een open verzameling

2) V~~r de Kegel M var. een van de zes typen ( I - (III lis er + x

voor elke x E G een zodanig punt y € f(G) te vinden dat

f (M () G)

=

M () f (G) ,

dan is f net zo als in stelling 1.

1ndien we overeenkomstige eisen stellen vaar het gebied Gee af Gee dan zal f net za zijn als in stelling 3,4.

Het.zelfde geldt voar de kegels M zander top i.e. vaar de verzamelingen

x

M \{ x } of, wat gelijkwaardig is, vaar de extra kegels N

=

(R \ M ) u { x }.

x x x

1ndien we, net als in (A) van stelling 2, eisen dat y

=

nx), i.e. tap -+ tap,

dan geven de gevallen M en M (x) hetzelfde, maar hier zijn ze verschillend,

x x

daar a priari y ~ f(x) is taegestaan. Daarom wardt oak de.vaorwaarde gesteld

dat f(G) open i3, haewel deze vaorwaarde mogelijk averbadig is.

Stelling 5 zul~en we hier, wegens plaatsgebrek, niet bewijzen. Voor G

=

R

valgt er uit dat f een L met His. Dit resultaat is vastgesteld in [4J en

vaar de gevallen (I), (1+), (11+) al in [3J dat we met S.W. Wallander

bedis-cussieerd hebben . Daaram heb ik hier oak stelling 5 aangehaald, als uitbrei-ding van dat oude resultaat.

§ 2 Over Inversies en Lorentz-transformaties

We zullen verder uitgaan 'Ian de definities en voorwaarden, zoals ingevoerd

in 1.1 en 1.2.

2.1 Laten we propositie 1 (zie 1.2) bewijzen. We kunnen het middelpunt van een inversie, net als het punt a bij de BT-inversie alsoorsprong nemen en dan, indien nodig, x vervangen door x - a .

2.1.1 (1)

(2 )

Elementaire afledingen leiden tot: (I O (x) - I 0(y)) 2

=

(x _ y) 2 22 x Y 2 (x - y) (1+2cx) (1+2cy)

Uit (1) voigt ten eerste dat inversie de be trekking (I) (x - '1)2

=

0 met z'n ontkenning overal invariant laat waar hij gedefinieerd is. Ten tweede, op de samenhangende verzameling, waarop de inversie qedefinieerd is, wardt x2 niet nul en dus verandert hij niet van teken. :la3.l:"om geldt op zo' r, verzamelir.g

2 2 '"l

X 'I > 0 en dus laat inversie het teken van (x - '1)"- invariant. Uit (2) voigt het overeenkomsti,~e vaor BT-inversies. Ui t deze opmerkingen voigt samen met net feit dat hO!llOthetieen en Lorentz-transformaties overed het teken van

2

(x - 'I) inv~riant laten, het eerste deel van propcsitie 1.

2.1.2 Het tweecie deeJ. van proposi tie 1 heeft betrekkin'J op invariantie van de be-cyekkingen (I +) - (III +) i.e. ir.v:iriantie van het teken van (x _ y; 2

samen met de voo~waarde

Xc

$ YO' Dit is gelijkwaardi~ met: hel{ten van elke

2

Kegel Kx (x - 'I) ~ 0, waarin

Xo

$ YO en

Xo

~ YO ga.an over in net zulke helften. Anders zal de Kegel "omdraaien".

Bij inversie J:

O

I

treedt op de

Xo

-as de transforI!ld.tie

Xc ....

x" op zodat elke halfas

:{o

;.

0,

Xo

< 0 "omdraai t" .

Elke Kegel met top in het gebied x > 0, x .... >

w

v

J (of x( < 0 3nijdt de halfas

u

Xo

> 0 (resp.

Xo

< 0) met ~wee van z'n helfte~ en ~aaraill draait hij daarmee

om. In het gebied waarin x2 < 0 keert inver.sie 10 de

rich~ir.g

van de vectoren

x om, waaruit evident voigt dat hij kegels met top in ait gebied, omdraait. Bij BT-inversies draaien kegels niet om, daar dat, zeals we direct zullen aan-tonen, tot op een translatie na het product is van twee inversies.

Van de andere transformaties H, L draait aileen de homothetie H met coefficient A < 0, kegels om.

Uit deze opmerkingen voigt kennelijk het tweede deel van propositie 1.

2.2 BT - inversies

2

Zij de vector c f

°

z6dat c 0. Dan geldt:

x 2 + C x x 2

(2"

+ c) x - c 2 x + cx = 1 + 2cx - c Jco(x) - c .

Door Y. te vervangen door x - a en daarmee c,O door a - c, a, krijgen we

(3) I I (x) J (x) - c

ca a-c a

-1

Merk op dat J

ca J -c,a , zoals niet moeilijk aan te tonen is.

Precies met dezelfde elementaire afleidingen wordt aangetocnd dat twee

BT-inversies met een gemeenschappelijk bijzonder vl~k zich van elkaar

onderschei-den door een HL-transformatie. Het is voldoende ~a te gaan dat indien

1 + 2c(x - a)

=

(1 + 2 c

1x) dat dan Jca J_c

°

HL.

1

2.3 Propositie 2

Het product van de transformaties 1) - 4) woret in een willekeurige combinatie

herleid tot een van de erie gedaanten HL, HLI, HLJ, (in de laatste twee ge-vallen tevens IHL, JHL). Hierbij zijn de voorstellinger. HL, HLI 1-duidig en

HLJ

=

HLJ' waarin J' een willekeurige BT-inversie met hetzelfde"vlak" als J'.

Het eerste deel van deze propositie zullen we hier niet bewijzen in z'n

vol-ledigheid daar dit '.lit de stelling voigt die in § 3 bewezen zal worden.

Hier-bij zullen we slechts de volgende Hier-bijzondere g-evallen nodig hebben van pro-positie 2 :

2.3.1 Lemma

Het produc~ van afbeeldingen ~~J die niet meer dan twee inversies bevatten

*

Bewijs: Met behulp van elementaire afleidingen kunnen we de volgende formules

afleiden voor willekeurige H,L en I (waarbij we o.a. gebruik maken van het

2 2

feit oat L(x - a) (x - a)

(4)

Verder wordt op elementaire manier afgeleid dat

(5 ) I HL

Ib (a) H' L I I (b) a

2 .

onder de voorwaarde dat (a - b)

i'

0 zo·dat de punten Ib(a) en Ia(b) bepaald

.. *

z1Jn . 2 Indien eehter (a - b) (6 ) H"J ea

o

dan voigt uit (3)

waarbij e

=

a - b en H" een tra:1s1atie over -e is. Er wordt verondersteld dat

a - b F ,), anders hebben ,ve I I , de identieke afbeelding.

a a

D.aar een wil:'ekeurig product van afbeeldingen H en L gelijk is aan HL is het

mogelijk ~et behulp van de formules (4) - (6) afbeeldingen met niet meer dan

twee inversies terug te brengen tot een van de typen HL, HLI, HLJ of IHL, JHL.

2.3.2 Het tweede deel van proposi tie 2 voigt ui t de volgende opmerking. De

voorstelling van afbeeldingen in de gedaante HL is kenr.elijk 1-duidig

(aan-gezien bij L uitgesloten is het optreden van de ongelijkheid

Xo

> 0 bij

2

x > 0 en daarmee uitgesloten is de homothetie A = -1) .

De voorstelling HLI is

a 1-duidig, daar deze aroeelding niet bepaald is cp de

bijzondere kegel C

a

dere kagel 1-duidig

-1 -1

bij b

=

L H (a).

van de inversie I en een inversie met een gegeven

bijzon-a

is (de afbeelding IaHL heeft eer. bijzondere kegel C

b

waar-Een afbeelding die voorgesteld kan worden in de gedaante HLJ is niet bepaald QP het bijzondere vlak van een BT-inversie J. Daarom kan zij een voorstalling

H'L'J' toestc~an aIleen en uitsluitend met het;~elfde bijzondere vial<. er, daar

dc.!1getocnd is in 2.2 voor een willekeurige BT-inversie J' met hetzelfde

Merk op

da~ al~

we a - b = e steller. dat dan in (5) L,x) = x - 2 c(ex) een

2 2 2

bijzondere vlal< dat J = H"L"J' volgt hieruit dat HLJ = H'L'J'. Het quanti-tatieve, met name topolcgische, vers;::hil tussen de afbeeldingen Hl.,HLI,HLJ bestaat in de eerste plaats daaruit c1at zij gedefinieerd zijn op verschillende

verzamelingen; HL op de hele ruiffite R, HLI op 3 gebieden die joor de

inversie-kegel afgesneden worden en HLJ op twee halfruimtes.

2.4 In § 3 zullen we het volgende lemma nodig hebben.

Lemma Bij een inversie met centrum a geldt tot op verzame-iingen die in haar

uitzonderingskegel zitten, nauwkeurig het volgende:

1) elk vial< dat door a gaat wordt op zichzelf a£gebeeld en gebieden waarin

de kegel C de ruimte opdeelt worden ook op zic~zeif afgebeeld.

a

2) elke kegel C

b met b c Ca wo~dt afgebeeld op een vla~ waarbij de kegels

met toppen op een beschrijvende var. een keg.;l C op evenwijdige vlakken worden

a

afgebeeld.

3) Elke hyperboloide die a bevat met isot~ope beschrtjvenaen wordt a£gebeeld

op een vlal< dat tweedimens::'onaal is, een "t\'l2evla~".

Door a·als oorsprong te nemen, vinden we de inversie x + -x

2 x

2.4.1 De bewering is t:ri viaal, aangezien de inversie x .... ::7 x elke door 0

x

gaande rechte op zicnzelf afbeeldt (met uitzondering van 0 zelf) .

2.4.2 Bewering 2 bewijzen we als volgt: De kegel

2

x - 2bx

. b2 2

C

b met b E CO' ~.e_ = 0, heeft als vergelijking (x - b) =

= O. Bij een inversie geeft dit het "vlak" 2bx = 1. Indien b en b 1 op een beschrijvende liggen, geldt b

1 = ~.b en ae vlakken 2bx=.1 en 2b1 x = 1

zijn 1\ •

2.4.3 Bew::'js van bewering 3:

Stel de ~yperboloide H met isotrope beschrijvenden gaat door O. Zijn

asymp-totische kegel bestaat uit i30trope recnten die door het centrum evan dA

hyperboloide q gaar. en die in dezelfde d:::-ie-C'.imensionale :;::ui.mte liggen; (vl.~k)

T dat in H bevat is. Daarom kunnen we zijn vergelijking schrijven als

(

_{x - c}

)21

₌ 0 _waar b· _~J. ( _{x - C} ,I 2· ' I de !:un;::t~e ~ . ( x - c )2 00 net , v a T 1 k voorste .... ' t.

T . T

-Cvereenkomstig zal de vergelijking van c.e hyp"~rboloide H worden :

2

Derhalve is H de doorsnede van het oppervlak

s:

(x - c) = p met het vlak T.

Daar H door 0 gaat, geldt 0 E S. Daarom zal de vergelijking van het

opper-2

vlak S geen "vrij lid" bevatten en het ziet er derhalve uit als x - 2cx

=

O.

Onder inversie geeft dat het vlak W met vergelijking 2 ex = 1. Hierbij '-lordl:.

het vlak T op zichzelf afgebeeld, aangezien 0 E H c T. Daarom wordt H = S n T

afgebeeld op W n T dus op het vlak q.e.d.

2.5 Een affiene afbeelding is hetzelfde als een l:-l-auidige lineaire

afbeel-ding met een mogelijke toevoeging van een translatie.

Lemma Als de affiene afbeelding (x _ y)2

o

invariant laat, dan is dat een

HL-a::Deelding.

V~~r het bewijs merken we eerst het volgende op:

2.5.1 Indien voor een kwadratische vorm Q(x) geldt dat Q(x)

=

0 voor x2

=

0

2

dan is Q(x)

=

ax met a constant (per definitie geldt dat Q(x)

=

r(x,x)

waar-bij r(x,y) bilineair en symmetrisch is.

Bewijs: Door x te ontbinden in componenten langs de rechte t en het vlak E,

2

zoals we bij de definitie van x gedaan hebben, vinden we x xn + X ,

" E 2 2 2 x

=

Xo -

x E' Q(x)

=

Als 2 aXE 2

Q(x)

=

0 voor x

=

0, dus voor

~

2

/~

~

(x

E) + k(xE)

=

0

, dan betekent dit

Aan deze vergelijking meet voldaan worden voor aile x

E omdat vaor elke xE

2 2

de volgende geiijkheid mogelijk is : x

E

=

Xo .

Daarom geldt voor aile xE dat 2 n I,X ) = 0 , ax " E ·E oerhalve is Q (x) + kx E 2 axO

-o

2 ax E 2 ax

2.5.2 Laten 'tie nu lemma 2.5 zelf bewijzen:

2

Een translatie verandert de grootheid (x - y) niet en daarom kan het lemma

worden herleid tot het volgende:

Zij de lineaire afbeelding 9 z6 dat uit x2

o

volg~ dat g(x) 2

=

0, dan geldt

9 = HL.

2

AC'.ngezien g(x) een kwadratische vorm is, krijgen we door het toepassen van

2.5.1. dat g(x)2 = ax2. Hierbij is a > 0 (omdat het een vlak is waarop xL < 0

2

maar geen vlak waar x > 0 en volgens de lineariteit van 9 moet hetzelfde

2 1

gelden voor g(x) . Door nu 9

=

--~- 9 te nemen, dus door aan 9 een homothetie

1

ra.

contractiefactor

toe te voegen met een

2

afbeelding dat gl (x) x . 2

Het is dus of L, of, als hij van teken verandert bij

Xo

voor x2 > 0, dan voegen we een homothetie x + -x toe en dan i3 het glL.

§ 3 Het bewijs van stelling 1 voor het geval (I)

Zij voldaan aan de voorwaarden van stelling 1 voor het geval (I) , d'lS zij gegeven ee~ gebied G c R en een l-1-afbeelding f : G ~ R waarbij de bctrek-king invar~ant bIijft :

(I) (x - y) 2

=

0 , ( I) (x - y) 2

F

0 .

We zullen veronderstellen dat G convex is (indien we de stelling onder deze voorwaarde bewijzen, hebben we daarmee tevens bewezen dat het waar is voor een convexe omgeving van een w.illekeurig pant ui teen wiIIekeurig gebied en dan is de verkregen voorstelling van de afbeelding f uit te breiden veor het. hele gebied op grond van het sa.mengesteld zijn) .

3.1 Lat.en we aantcnen dat f een iso~roFe rec.te doet overgaan in een isotrope rechte, dus als £ een isotrope rechte is, 0'3.,·. :'5 er een zodanige isotrope rechte £', dat

f(Q. n G) Q,' n f(G)

Dit voIgt op elementaire wijze uit de 7olgen~c? ~ewering:

3 punten x, 'i, z liggen op een rechte dan e:~ =~echts dan als

( 1 ) (x - y) 2 (y - z) 2

=

(z - xl 2

=

0

Be·tlijs: Ais x, y, z colline-J.ir zijn, dan is kennelijk aan (1) 'lcldaan. Zij nu voldaan aan (1). Als in dat geval x, y, z niet op een lijn zouoen liggen dan zouden we in het door hun opgespannen vlak 3 onafhankelijke vectoren xy, yz,xz hebhen ~alle drie isotroop) . Echter i~ ~~n tweevlak kunnen hoog-stens t .. ,ee onaL'lankclijke isotrope red:ten liggen. Dus liggen x, y, z op ~en

lijn.

3.2 Zij Peen tweevlak dat 2 snijdende siotrope rechten be'Jat lll.a.w. z6 oat net een of andere Kegel C

a mel. a E P volgens t.wee beschrij"enden snijdt. De be\verir,g is nu dat de verzar,leling f (P (' G) dan wei in het t.wee-v'lak ligt, dan wel op een hyperboloide ligt.

Bewijs: Kegel C .

x

Voor aile x E P is P n C samengesteld ui t 2 beschrijvenden van je

x

Zodoende is P bedekt door 2 stelsels // besci:.rijvenden van de kegels C dus door isot.rope rechten.

Zoals bewezen beeldt f (op het gebied G) zulke rechten af op dezelfde soort

rechten. Daarom is de verzameling pI

=

f(P n G) bevat in het gelinearizeerde

vlak met 2 stelsels rechte beschrijvenden en dit kan, zoals bekend, alleen een oppervlak zijn van het volgende type :

1) een plat vlak; 2) een hyperboloide; 3) een hyperbolische parabol.:lide.

Op soort 3 zijn alle beschrijvenden van een stelsel #aan €~n tweevlak.

In ons geval zijn het de beschrijvenden van de kegels

e ;

op pI zijn dat

x

delen van de beschrijvenden die bevat zijn in f(G), maar elke kegel heeft

slechts twee beschrijvenden die

1/

met een tweevlak zijn en deze beschrijvenden

zijn bij verschillende kegels paarsgewijs evenwijdig, dus zijn er in totaal

twee richtingen van beschrijvenden die # zijn aan een tweevlak. Daarom kan

pI geen deel zijn van een paraboloide en dus is pI bevat dan wel ~n een vlak

dan wel in een hyperboloide q.e.d.

3.3 Zij a een willekeurig punt uit G. Beschouw de afbeelding g die verkregen

wordt uit de gegeven f door toevoeging van de inversie ~et centrum a en f(a) :

Ne zul1en bewijzen dat voor elk weevlak P, dat door a gaat en dat de kegel

e

a

snijdt volgens twee beschrijvenden, de afbeelding g affien is op het gebied:

v I (U) a U + P

n

G

n

Q a +

waarbij Q de helft is van het inwendige van de kegel

e ;

(Natuurlijk geldt

a a

hetzelfde indien we de andere helft van het inwendige ne~en) .

3.3.1 Fixeer het punt a en het vlak P zoals a gegeven is. Voer een inversie

I uit, dan zal, daar a E P, P afgebeeld worden op zichzelf en daar

e

U niet

a a

snijdt, is de inversie I overal op' U bepaald.

a

Daarom krijgen we het gebied

V I (U) C P

3.

Overeer~ornstig lew~a 2.4 (bewering (2)) worden de kegels

e

b met b E Ca bij

invers~e Ia afgebeeld op het vlak. I (e

b). Derhalve wordt Cb r: U afgebeeld

op rechten. :L.aten we deze recht.en Q, noemen. Indien het punt b langs een

oe-schrijvende van de kegel C

a beweegt, zal Cb n U

vallen?) en overeenkomstig lemma 2.3 zal het vlak

U "doorstrepen (weg laten

I (e ) II verschoven worden,

zodat de rechte t ~ verplaatst wordt en het gebied V doorstreept.

Zodoende is het gebied V bedekt met een continue verzameling van ~telsels) ~ rechten t : de rechten uit een stelsel worden verkregen door b langs een be-schrijvende van C te laten bewegen.

a

Hetzelfde stelsel kan verkregen worden bij bewegen van het punt b langs een andere beschrijvende.

Er is echter een continue verzameling verschillende stelsels, i.e. een inter-val van richtingen Va.'1 rechten L Inderdaad, als we het punt a als oorsprong nemen, zien we uit 2.4.2 dat het vlak I(C

b) de vergelijking 2bx

=

1 heeft. De vectoren b vullen de Kegel C

a op. De rechten t zijn P n I(Cb). Daarom ver-anderen hun richtingen in een zeker interval.

3.3.2 Laten we deze conclusie in iets meer detail uitwerken. Door middel van een Lorentz-transformatie kunnen we de as Xo overbrengen naar het vlak P en

2 2 2 te'lens kunnen we daarop de as xl zo nemen dat voor x E P geldt x = Xo - xl

'1' k ' 2 2 2 2 2

en voor een w~ Le eur~ge vector :

X

=

Xo -

x

E ~

Xo -

xl De Vergel~jking van de rechte t zal dan zijn : 2(bOxO - b

1x1)

=

1. Daar b E Ca, zal b

=

0 d b 2 > ,2 H' " ,

en us 0 -

°

1 , ~eru~t ~s te z~en :

10 ) dat de richtingen van de rechte Q. niet zijn maar met

hoekcoef-ficient die in modulus gelijk is aan 20 ) kunnen we zien dat door elk punt (x

O,x1) van het gebied

+

P n Q een rechte a b

£ gaat met van te voren gegeven richting b

O/b1 onder de voorwaarde

I

_[~

01

_:0:1

+ 2 2 2

In.de~daad geldt in het gege'J"er. gebied Q2, dat x > 0 zodat

Xo

> xl en

Xo

> O. Neem een willekeurige vecter dEC: zodat dO > 0 en [d

l [

~

dO' Dan zal voor

+

elk punt (cote

l) ~ P n Qa gelden dat dOCO - d1C1 > O. Zodoende krijgen we door te stellen:

b,

~

d,

~

i 1,2

dat de ~echte l = P n I(C

b) dus de ve~gelijking 2 (bOxO - b1x1)

door (cO~l) gaat.

heeft, die

3.4 Als we nu het bewijs 'Ian bewering 3.3 weer opvatten gaan we nt! de

3.4.1 Op grond van 3.2 ligt f(P n G) dan wei in een vlak dan wei op een hyper-boloide.

Ook geldt f(a) E f(P n G).

Daarom geldt het volgende~ indien f(P

n

G) in een vlak ligt, dan gaat dit vlak door het middelpunt van de inversie If (a) en gaat daarom over in zichzelf zo-dat If(a) f(P n G) in het vlak ligt.

Stel nu dat f(P n G) op een hyperboloide ligt. Zijn beschrijvenden zijn isotrope rechten; daarom geldt op grond van lemma 2.4 bij inversie met centrum in e~n daarin liggend punt f(a) dat deze hyperboloide overgaat in een vlak. Daarmee ligt de verzameling If(a) (P

n

G) weer in een vlak. Zodoende wordt het gebied

+

U

=

P n G n Q

a afgebeeld in een vlak . Stel T -f(a) feU)

=

V' (daar U n C a en f(C

a

n

G) = Cf(a)

n

f(G) geldt tevens dat feU)

n

Cf(a) =

0.

Zodoende is de inversie If (a)overal op feU) gedefinieerd.

3.4.2 De eerder ingevoerde inversie I beeldt U af op een gel:ied V c P. a

Daarom kunnen we, rekening houdend met het feit da':. inversle zelfornkeerbaar is, het volgende afbeeldingsschema schetsen:

f U + U' I .j..

t

If(a) a

+

V + V' g _If(a)

_-

I a De kegelsC

b met*top oj? Ca gaan bij een afbeelding f over ir, kegels Cf(a) met toppen op Cf(a) . Haar deze kegels gaan onder inversie If(a) o.v~r in e.en vlak net zeals kegel C

b bij inversie la' Daarom krijgen we voor gebieden V'

=

If_,a) ' , feU) hetzelfde beeld als hierboven geschetst is in 3.3.1 voor een ge-bied V

=

I (U). Het gebied V' is bedekt met een stelsel prechten .1'.'. De in

a

V' liggende deelverzamelinge~ van deze rechten zijn originelen van de overeen-komstige deelverzamelingen 'Ian rec~ten .Q. : .\'.' n If'

=

g(Q. n V)

=

If(a) f !a (Q. n V).

Dus f(C_b n G)

=

Cf(b; n f (G) en als b c C

a can i2 f eb) E we maken hier gebruik V::ln voor-",aarde (A) 11i.:::' 1.4.

Onder de afbeelding f gaan de beschrijvenden van C over in beschrijvenden

x

En kegels met top op een van de beschrijvenden can C

a (of Cf(a)) geven rechten

II

9-(resp. 9-'). Daarom komt een rechte

II

9- overeen met een rechte

II

9-I

3.4.3 Dus nu zijn we in de v~lgende situatie aangekomen:

In het vlak P is een gebied V en een continue verzameling F van stelsels ff

rechten 9-, die elk V overdekken; er is ook een afbeelding g, die V in het vlak afbeeldt zodanig dat 9- n V wordt a.fgebeeld op een rechte, waarbij een verzameling die bevat wordt door

II

rechten overgaat in

II

rechten..

We bewijzen bewering 3.3, dat de afbeelding 9 affien is. Aangezien g(V), zoals bekend, niet bevat kan zijn in een rechte (alleen al omdat verschillende gene-ratoren van een kegel overgaan in verschillende genegene-ratoren), is het affien zijn van 9 een gevolg van het volgende algemene lemma (dat op geen enkele manier verband houdt met kegels) .

3.5 Lemma Als voor een vlak gebied V, voor de verz -:nEOlingen F en voor de af-beelding 9 het bovenstaande geldt en als g(V) niet. be-;at is in een rechte, dan is de afbeelding 9 affien. (Hierbij mag 9 nie~-~ijectief verondersteld worden; echter als we V i-i-duidig op een rechte afceclden, dan is aan alle voorwaarden voldaan, ook dat 9 (V) niet in een rechte b·o;vat is, zodat deze conditie noodzakelijk is) .

3.5.1 Sewijs. Merk eerst op:"rechte delen", d.w.z. het in V bevatte deel van de rechte.n, '..lit verschillende verzamelingen F kunnen niet worden afgebeeld op II reehten. Laten we in feite,aannemen dat de beelde~ van rechten uit

Fi en F2

II

zijn. Men kan dan

x-i' Q·l £ Fi en x-2 E: F2 nemen zo dat x-2' 9-1 en 9-1

snijdt. Aangezien de beelden van aile drie de"rechten" parallel zijf.l, liggen ze ep een rechte. Daaruit is eenvoudig in te zien dat alle rechten uit F, en

L

F 2 worden afgebeeld op een rechte en samen met die_ rechten ook het hele ge-bied V. Maar dit is in strijd met de voorwaarde.

3.5.2 Voer in V affiene coordinaten U en V in, zo dat de rechten U = const., V = const., rechten zijn van twee stelsels F en (0,0) in V ligt. Betalve dat ze parallel zijn, worden de rechten van de stelsels F voorgesteld deer de vergelijkingen:

(3) V eu + d

Omdat de stelsels F een continue verzameling vormen, kan e hierin een wille-keurige waarde op de halfreehten [0,00) of ( -oo,OJ aannemen.

We kunne"n tenslotte c ~ 0 nemen. Aangezien ieder van de stelsels F, V over-dekt, kan d verder willekeurige waarden ui teen zeker interval (d

1,d2)

aan-nemen. Er kan gegarandeerd worden dat bij willekeurige d E (d

1,d2) u en v

willekeurige waarden kunnen aannemen uit een zeker interval rand O. In het vlak P' waarnaartoe het vlak V wordt afgebeeld, kiezen we affiene coordinaten

u' en v' zo dat 0' het beeld is van de oorsprong 0 in het u,v-stelsel en de

lijnen u

=

canst., v

=

canst. de overeenkomstige lijnen u

=

canst., v is

canst. bevatten.

Dit kan gedaan wordden z6 "dat deze lijnen behoren tot twee stelsels F en

daar-am worden a£gebeeld op corresponderende

II

rechten.

Bij het aldus ingevoerde coordinatensysteem kan de afbeelding 9 : V + p' worden

voorgesteld door de formule u'

=

p(u) v' = q(v) en het affien zijn is

ge-lijkwaardig met het lineair zijn van de functies p en q.

3.5.3 De rechten u canst. worden door de keuze van het coordinatenstelsel

u',

v' afgebeeld op de rechte u'

=

canst.

En vanwege het bewezene kunnen de rechten van geen enkel ander stelsel nag op

de rechte u' canst. worden afgebeeld. Op dezelfde manier wordt iedere

"rechte" (3) afgebeeld op de rechte

(5) v' c'u' + d'

En aangezien de rechten van een stelsel, d.w.z. met een waarde van de

coeffi-cient c, worden afgebeeld op

II

rechten, hebben we

(6) c' r (c)

Met gebruikmaking van (6) ,(4) ,(3) krijgen we uit (5)

q(cu + d) = r(c) p(u) + d'

Een aangezien p(O)

=

0, krijgen we door u

o

te stellen d' q (d)

Daarom

( 7) _{q(cu + d)}

₌

_{r(c) p(u) + q(d)}

Aangezien q(O) = 0, krijgen we, door d

o

te stellen

(8) r(c) p(u)

=

q(cu)

We kunnen tenslotte c ~ 0 nemen. Aangezien ieder van de stelsels F, V over-dekt, kan d verder willekeurige waarden ui teen zeker interval (d

1,d2)

aan-nemen. Er kan gegarandeerd worden dat bij willekeurige d E (d

1,d2) u en v

willekeurige waarden kunnen aannemen uit een zeker interval rond O. In het

vlak P' waarnaartoe het vlak V wordt afgebeeld, kiezen we affiene coordinaten

u' en v' zo dat 0' het beeld is van'de oorsprong 0 in het u,v-stelsel en de

lijnen u = const., v = const. de overeenkomstige lijnen u = const., v is

const. bevatten.

Dit kan gedaan wordden zo "dat deze lijnen behoren tot twee stelsels F en

daar-om worden afgebeeld op corresponderende

II

rechten.

Bij het aldus ingevoerde coordinatensysteem kan de afbeelding g : V + p' worden

voorgesteld door de formule u'

=

p(u) v' = q(v) en het affien zijn is

ge-lijkwaardig met het lineair zijn van de functies p en q.

3.5.3 De rechten u const. worden door de keuze van het coordinatenstelsel

u', v' afgebeeld op de rechte u'

=

const.

En vanwege het bewezene kunnen de rechten van geen enkel ander stelsel nog op

de rechte u' const. worden afgebeeld. Op dezelfde manier wordt iedere

"rechte" (3) afgebeeld op de rechte

(5 )

_v'

c'u' + d'

En aangezien de rechten van een steisel, d.w.z. met een waarde van de

coeffi-cient c, worden afgebeeld op

II

rechten, hebben we

(6) c' r (c)

Met gebruikmaking van (6) ,(4) ,(3) krijgen we uit (5)

q(cu

+

d) = r(c) p(u) + d'

Een aangezien p(O) 0, krijgen we door u

o

te stellen d' = q(d)

Daarom

(7) q (cu + d) r(c) p(u) + q(d)

Aangezien q(O) 0, krijgen we, door d

o

te stellen

(8) r(c) p(u)

=

q(cu)

(9 ) q (z + d) q(z) + q(d)

Maar het lineair zijn van de functie q volgt hier nog niet uit, daar over haar karakter tot hier toe niets Vlerd verondersteld.

3.5.4 Nemen we nu een getal a

O f 0 zo dat r (aO)' p(aO) gedefinieerd zijnj behalve dat worden de Vlaarden die u aan kan nemen tot een zodanig interval om 0 beperkt dat r(u), p(u), q(aOu) gedefinieerd zijn.

In dat geval geldt overeenkomstig (8) dat

(10 )

waaruit:

r (u) k P (u) k

Daarom krijgen we, als Vie in (7) u

=

c w stellen

q(w2 + d)

=

k p(w2) + q(d) Daarom voo~ z > 0

q(d + z)

=

q(d) + k

p(~)2

zodat q monotoon is. En met deze voorwa.arde volgt ui t. (9) dat q lineair is:

Hleruit en uit (10) volgt de lineariteit van f (u)

3.5.5 Op deze rr~nier wordt het affien zijn van de afbeelding 9 vastgesteld op minstens die omgeving van de oorsprong (0,0) waarvoor de afleidingen echt zijn ui tgevoerd.

~aar omdat men voor de oorsprong :en willekeurig punt in het gebied kan nemen,

volgt dat q affien is op r:.eel '1 q.e.d.

3 _{. 0} r.- _{~us we hebben lemma 3.5 bewezen en tegelijkertijd bewe~ing 3.3. Daaruit}

concluderen we onmiddellijk dat de t~ansfor:natie

W I ( G n Q + )

a a

Volgens 3.3 is g affien op ieaer vlak van het gebied V = W n P, waarin Peen t'.veevlak is dat de waarde a aanneemt en dwars op de kegel C door twee

be-a schrijvenden (een hyperbelisch vlak dus?)

Zij 1 een beschrijvende vanuit a door een willekeurig punt uit W en zij 1 x

een beschrijvende ~ 1 vanuit een willekeurig punt x E W. Door deze

beschrij-venden gaat het vlak P ; hierop is g affien en daarom worden de beschrijven-den g(£), g(l ) op ~ beschrijvenden afgebeeld en hierop is.g affien. Daarom

x

gaan twee willekeurige beschrijvenden 1 , 1 ,

II

1, ook over in

II

beschrijven-x y

den en daarop is g affien.

Nemen we nu een willekeurig eindig dimensionaal vlak T, dat het gebied W doorsnijdt en zij S het vlak, Qpgespannen door T en het punt a. Laten we in S affiene coordinaten invoeren met oorsprong in a, de assen gericht in het

in-+

wendige van Q . Lacer zullen we de oorsprong overvoeren naar een willekeurig a

punt b E W :l S. Uit het; bewezene ever beschrijvenden is duidelijk dat onder de afbeelding g het coordiantenstelsel affien wordt afgebeeld. Aldus redeneren-de is g affien op W n S. En aangezien Seen willekeurig gegeven eindig

dimen-sionale deelruimte T bEvat, is g affien op W.

I

3.7 Nu bewiJzen we de bewering van stell.ing lover de afbeelding f, dat zij of HL, of ELI of HLJ is.

Eerst merken we over de afbeelding g

=

I~( ) f(I ) op dat zij de kegels C

:!: a a x

(in limietpunten van het gebied W, waar g geciefini(';erd is) overvoert in de-zelfde kegels omdat dit juist is voor haar samenstellende componenten. Zodat voor iedere x.o: W

g ~ C n 1'1) = C ( ) n g (W)

x g x

Een aangezien we bewezen hebben dat g affien is, is dan volgens lemma 2.5, +

g

=

HL. Dus voor de afbeelding f op G n Q hebben we a

f HLI

a

Dus, met venvijzins ~laar cit.:: aL,eidinger:. in 2.3 kunrlen ',.;e scnrijven

f

Dus als we f(a) 6f JH"L".

I ( , 9 a)

H'Lt

+ .

Dit hebben we voor f op het gebied G

n

Q afgele1d. Maar omdat het punt a E G a

willekeurig gekozen kan worden, is het ook geldig voor ean willekeurig gebied

+

G n Q , x E G.

x

Hieruit, verwijzend naar de convexiteit van het gebied G, besluiten we dat de voorstelling van f in de gedaante HL, of IHL of JHL geldig is op heel G.

Dus V.le hebben stelling 1 bewezen voor de relatie (I) in de veronderstelling dat

het gebied G convex is. Maar het bewezene toepassende op convexe omgevingen harer punten van een willekeurig gebied, en gebruik makende van de samenhang van het gebied, verkrijgen we de conclusie van stelling 1 ook voo~ het gegeven gebied.

De verdere beweringen van stelling lover de uniciteit van de voorstelling HL en dergelijke is bevat in propositie 2 (§ 2).

§ 4 Het bewijs van stelling 1 voor de relat~e , (II). +

In plaats van stelling 1 voor relatie (II) zullen we de ermee equivalente stelling 2 bewijzen voor kegels K . Hierbij zullen we het eerst bewijzen

x +

voor gewone kegels K en later in § 5 kegels K beschouwen.

x x

Tussen haakjes: gezien de fysische interpretatie (§ 1.5) heeft het geval

+

van de kegels K op zichzelf staande betekenis. Evenals in § 3 zullen we x

onderstellen dat G convex is.

4.1 Welnu; zij f : G ~ R een zodanige bijectie van het convexe gebied G C R, dat voor iedere x E G.

(1) f (K + n G)

x

+

Kf(x) n f(G)

Samen met kegels K+ be schouwen

x we kegels c+ en x + Qx' + tot Q x +

wendige van K (Hierbij wordt de top x

x niet

We zullen bewijzen dat voor iedere x _ G

(2) . f I ,C + n G) x

+

Cf(x) n f(G)

zijnde de rand en het in-gerekend) .

d.w.z. de condities van stelling 2 zijn vervuld voor de kegels

c:.

En in dat geval is de stelling bewezen, aangezien zij, zoals bewezen in § 1.5,

voert naar het geval van kegels C en dit geval is equivalent met stelling 1

x

voor (I) (bewezen in § 3).

4.2 Definieren we in de ruimte R een partiele ordening door te stellen

+ ' . +

y ~ x dan en slechts dan als y E K . De kegel, s~~etrisch t.o.v. K met

x x

betrekking tot het punt x is de "andere helft" van de dubbele kegel K , x zij K

=

{y : y ~ x} • Voerwaarde (1) (in termen van de ingevoerde ordening)

x -1

betekent dat de afbeelding f en de inverse f de ordening beheuden: veer aile X,Y E G: x S Y ~ f(x) :;:; f(y). In het vervolg zullen we schrijven

+ +

-;-K,C,Q i.p.v. K

,e

,Q .

4.2.1 Ret se~~ent [ab] in de gegeven crdening is per definitie de ver-zameling

[ab] {x a :;:; x :,; b} K

a

Het volgende is onmiddellijk duidelijk: als b E C dan is het segment a

Cab] een interval ab van een beschrijvende van C e~ is lineair geordend, a

als echter b E: Q dan is het segment [ab] l".iet lineair gecrdend, d. v,". z.

a

er zijn zodanige u,v E Cab] dat noch u :::; v, noei-, v :::; u. Uit de gemaakte

opmerking over segmenten en orde-invariantie onder afbeeldirgen f volgt:

4.2.2 Het inwendige Q van de kegels K wordt afgebeeld in het inwendige

x x

van

(3a)

lnderdaad, als voor Y E Q

x zou gelden fey) E Cf(x) dan zou het segment [f(x)f(y)] lineair geordend zijn, ondanks het feit dat dit segment het beeld is van een niet-geordend segement [xy] .

4.2.3 Nu is het voldoende aan te tonen dat

(3b) f (C_x n G) C C f (x)

Dan volgt (2) uit (1), (3a) en uit K

x Q u e x x

4.3 We hebben het volgende lemma nodig (hierin hecben we een topologie in R op ' t oog \vaarin een basis van omgevingen qevormd ""orot door het inwendige van segmenten, d. w. z. verzamelingE:r: Q (; Q • In verzamelingen

x y

MeR besc~om'len we een topologie, geinduce8rd door de gegeven topoloqie).

Lemma. Een monotone transformatie van een lineair geordende verzameling is overal continu met uitzondering van een hoogstens aftelbare verzameling punten.

4.3.1 Bewijs: Zij M een lineair geordende verzameling en g haar monotone transformatie. Zij p de projectie cp de

Xo

-as door: de vlakken ;/ vlak E

(zie definitie van x2 in § 1.1). Vanwege de lineariteit van de ordening van M le'lert de projectie peen l-1-duidig verband tussen 1-'1 en het beeld op de xO-as op. Dan i3 de inverse afbeelding gedefinieerd

-1

We definieren op p(M) de functie h

=

pgp Omdat g monotoon is, is deze het oak en dus continu op p(M) m.u.v. een hoogstens aftelbaar aantal punten. Hieruit laten we zien dat de afbeelding g continu is in ieder punt x E M als h continu is in het corresponderende punt p(x). Hiermee is ons lemma bewezen.

4.3.2 Zij p(a) een continuiteitspunt van de functie h, a E M. Nemen we een willekeurig segment u dat het punt b

=

g(a) in zijn inwendige-bevat. Brengen we door been rechte aan #xO-as en nemen we daarop punten c,d ~ U, c < d, zo dat b het interval cd in tweeen deelt. Dan bestaat het segment [cd]

=

K u K uit twee kegels met tappen c,d en gemeenschappelijke basis in het

c c

vlak E

b. (We gebruiken de notatie: E x is het vlak #E en gaande door x). Dit grondvlak van de genoemde kegels is blijkbaar een bol S

=

Kc n Eb met het punt Pals middelpunt. Zij het punt y zodat b » y en het vlak E niet

y

minder dan twee maal zo dicht bij Eb dan het vlak E ,dany E K . Inderdaad,

c c

door b ~ Y en daarom b E k , bevat de bol S = K E Eb het punt b. En omdat

y y y

het vlak Ey minstens twee keer zo dicht bij Eb ligt als Ec' is de diameter van deze bol Sy minstens 2 maal kleiner dan de diameter van de bol S

=

Kc nEb'

-

_{wegens y ~ b}

Daarom S ~ S en dus K ~ K zodat y E K

.

Sovendien is y E _Kd

Y c _Y c

en b ~ d dus

-

_[cd]

y E K n _Kd

c

We moeten ons er oak van overtuigen dat als y ~ b en het vlak E niet minder y

dan tweemaal zo dicht bij Eb ligt als het vlak Ed' dan y E [~d] . Aangezien de verzameling M lineair geordend is en de afbeelding g monotoon is, geldt voor iedere x E M of Y

=

f(x) ~ b

=

f(a) of y ~ b. Daarom voigt uit het voor-afgaande dat als het punt y E f(M) zodanig is dat het vlak E niet minder

y

dan tweemaal dichterbij Eb ligt dan de vlakken Ec en Ed' da~ dan y E [cdJ.

4.3.3 Als p(a) een continuiteitspunt is van de functie h en p(x.) ~ pea) ~

dan hp(x.) ~ hp(a), dat is pg(x.) ~ pg(a). Of, daar g(a)

=

b en stelle~d

~ ~

dat g(x.) = y., p(v) ~ p(b).

~ 1 -~

Maar als p(y.) ~ p(b) dan bevinden zich bij voldoend grate i,

1

minder dan tweemaal zo dicht bij Eb als Ec en Ed'

de vlakken E

Daarom blijkt voor zulke i

y. E [c,d] c U

~

Hiermee is de continuiteit van de afbeelding g in het punt a bewezen. En samen hiermee is ook ons lemma bewezen.

4.4 Laten we nu (3b) bewijzen, dat is dat voor aile x E G geldt f(C x n G) C Cf(x).

Veronderstel het tegendeel, nl. dat er punten a E G en b E C n G zijn a

zo dat feb)

i

Cf(a). Aangezien f(K

a) C Kf(a) betekent dit dat f(a) binnen Kf(a) iigt:

(4) _{feb) E Qf(a)}

32vat zijade in G, vormen de intervallen van de rechte Cab] zelf een lineair geordende verzameiing. Hun transformatie g, die een restrictie is

v~n de transformatie f, is monotoon.

Daarom bestaat er krachtens lemma 4.3 een punt c ~ a (in zo'n interval) waarop g continu is. Bet punt c ligt op de voortzetting van de voortbrenger ab van de kegel C . Dus b E C . Daar c ~ a, is f(c) ~ f(a) en daarom voigt

a c

uit (4; dat feb) E Qf(c). Aldus

(5) b E C ,

C feb) E Qf(c)

Aangezien b E C , is het segment c

[cb] Kc n ~

=

cb

d.w.z. het is een segment (interval) cb.

Zoals voIgt ui.t de orde-invariantie en (1) voor iedere x E K n G, dat is c

x ~ C, X E G

(6) f([cx] n G) = [f(c) f(x)

J

n f (G)