1
Volatiliteit in de S&P 500
een analyse van tijdsafhankelijke parameters
28 september 2017 Groep 1 Drs. N. Bruin
Cees Diks 2017-2018 Afstudeerseminar econometrie Blok 1 en 2 Jurjen van Rees
2 Hierbij verklaar ik, Jurjen van Rees, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan.
Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd.
De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.
3
Inhoudsopgave
Samenvatting pag. 4
Inleiding pag. 5
Theoretisch Kader pag. 7
Onderzoeksopzet pag. 13
Resultaten pag. 15
Conclusie pag. 19
Bibliographie pag. 22
4
1. Samenvatting
Het onderwerp van deze scriptie is het voorspellen van de volatiliteit van de S&P 500 met behulp van simple rolling window model estimation en exponential rolling
window estimation. Modellen met tijdsafhankelijke parameters worden gebruikt, omdat de volatiliteit veel clustert in deze dataset. Het model dat wordt gebruikt is GARCH(1,1). De modellen worden vergeleken met hun score functie. Er wordt een speciale t-toets met HAC-schatter uitgevoerd op het verschil van de scores. Er is gebleken dat de score van het simple rolling window model significant verschilt van de score van het exponential rolling window model voor sommige gewichten. Maar dit verschil verdwijnt wanneer de parameters van het exponential rolling window model worden geoptimaliseerd. Er kan niet geconcludeerd worden dat het simple rolling window model beter voorspelt dan het exponential rolling window model of andersom.
5
2. Inleiding
Na de economische crisis van 2008 was er veel onzekerheid op de aandelenmarkt, met als gevolg dat de volatiliteit op de beurs toenam. Zo waren er de ene dag hoge stijgingen en waren er op het andere moment grote verliezen. De volatiliteit van financiële markten is de mate waarin de koers van een aandeel of een ander
financieel product beweegt. Het wordt gedefinieerd als de conditionele variantie van de opbrengst van een aandeel en is zelf niet direct observeerbaar. Volgens Wang, Ma, Wu, & Wei (2016) is het cruciaal voor banken, verzekeraars en
pensioenbeheerders om de volatiliteit zo goed mogelijk te voorspellen, omdat deze informatie gebruikt wordt bij vermogensbeheer en risicomanagement. Ook is de voorspelbaarheid van de volatiliteit belangrijk bij het risico en de opbrengst van een aandeel. Voor pensioenbeheerders bijvoorbeeld is het nodig om de variantie van de opbrengst te kunnen specificeren en voorspellen, omdat een grotere variantie leidt tot een grotere spreiding van de uiteindelijke portfoliowaarde.
Het voorspellen van de aandelenopbrengst kent een lange geschiedenis. Deze pogingen hebben geresulteerd in veel literatuur. Zo hebben Rounaghi en Zadeh (2016) gedocumenteerd dat de opbrengst te voorspellen is met een tal van
economische variabelen, zoals nominale rente en dividend-prijsratio’s. Een andere manier om de opbrengst te voorspellen is door middel van tijdreeksanalyses. Er wordt een aantal modellen gebruikt, zoals het AR process, het ARMA proces, GARCH-model en het HARRV-model. De volatiliteit van een aandelenreeks bevat een aantal specifieke eigenschappen. Zo heeft Mandelbrot (1963) aangetoond dat aandelenopbrengsten volatiliteitsclustering bezitten, wat inhoudt dat grote variantie in de tijdreeks gevolgd worden door meer grote variantie en kleine variantie juist weer door meer kleine variantie. Daarnaast is bij aandelenreeksen sprake van een hefboomeffect. Dat houdt volgens Black (1976) in dat wanneer de opbrengst daalt, de volatiliteit meer toeneemt dan wanneer de volatiliteit toeneemt door een
verhoging van de opbrengst. Omdat de variantie afhankelijk is van de tijd, moet deze geschat worden door een model met tijdsafhankelijke parameters. Manieren om tijdsafhankelijke parameters te verkrijgen zijn dynamic model averaging en rolling window estimation. De eigenschappen van de volatiliteit kunnen niet verklaard
6 worden met andere lineaire modellen, zoals de Random Walk en Ordinary Least Squares.
Een goede tijdreeks om tijdsafhankelijke parameterschatting op toe te passen is de Standard & Poor’s 500 (S&P 500), omdat daar veel data van beschikbaar is en deze tijdreeks volgens Najand en Yung (1994) heteroskedastisch is. Dit is een
aandelenindex van de 500 grootste Amerikaanse bedrijven. De methode waarmee GARCH(1,1) wordt opgesteld heeft grote invloed op de geschatte waarde van de volatiliteit. Dit is erg belangrijk voor de portfolio’s van banken en verzekeraars. In deze scriptie wordt onderzocht op welke manier GARCH(1,1) het meest correct de volatiliteit van de S&P 500 specificeert. De methodes die worden vergeleken zijn: een rolling window estimation met gelijke gewichten en een rolling window
estimation met exponentieel afnemende gewichten.
De centrale vraag van dit onderzoek luidt: welk van deze modellen voorspelt de volatiliteit van de S&P 500 het best? De nulhypothese is dat beide modellen de volatiliteit van de S&P 500 even goed voorspellen. De alternatieve hypothese is dat een van de modellen minder goed voorspelt dan de andere.
Dit onderzoek is als volgt opgebouwd. Het eerste hoofdstuk is de inleiding. In
hoofdstuk 2 wordt het theoretisch kader beschreven. In hoofdstuk 3 worden de opzet en de inhoud van onderzoek beschreven. In hoofdstuk 4 worden de resultaten
uiteengezet en geanalyseerd. Tot slot wordt er in hoofdstuk 5 een conclusie opgenomen.
7
3. Theoretisch kader
3.1 Inleiding
In dit hoofdstuk wordt het benodigde raamwerk gegeven voor het verdere verloop van het onderzoek. De deelvragen van dit hoofdstuk zijn de volgende. Wat is de S&P 500 en hoe wordt deze samengesteld? Wat is volatiliteit en wat voor
eigenschappen bezit het? Wat zijn tijdsafhankelijke modellen en welke zijn geschikt om volatiliteit de voorspellen? Deze deelvragen worden in dit hoofdstuk beantwoord.
3.2 S&P 500
De S&P 500 wordt gezien als de leidende indicator van de economie van de
Verenigde de staten en de algemene aandelenmarkt en is daarom een van de meest gevolgde aandelenindices. De S&P 500 verschilt van andere aandelen indices, zoals Dow Jones Industrial Average en de Nasdaq Composite Index, in zijn diverse
samenstelling en unieke weegmethode. De S&P 500 werd geïntroduceerd als de “Composite Index” en volgde toen een bescheiden aantal grote bedrijven. In 1957 groeide de index naar zijn huidige grootte van 500 bedrijven. Henry Poor had in 1860 Poor’s Publishing opgericht, een bedrijf gespecialiseerd in het publiek maken van financiële informatie en analyses. In 1940 fuseerde dit bedrijf met Standard Statistics tot Standard & Poor. Standard & Poor is een bedrijf in de Amerikaanse financiële-service-industrie.
De componenten van de S&P 500 worden bepaald door een commissie. De methode is vergelijkbaar met die van de DOW Jones Industrial Average, maar
verschilt van andere methodes, zoals die van de Russell 1000. Volgens de S&P U.S. Indices Methodology (2016) onderzoekt de commissie de sterkte van het bedrijf op acht primaire eigenschappen, als er wordt overwogen om een bedrijf toe te voegen. Die eigenschappen zijn: marktkapitalisatie, liquiditeit, de vestigingsplaats,
sectorclassificatie, financiële levensvatbaarheid, free float, de prijs van het aandeel en hoe lang het aandeel al publiek verhandeld wordt. Met free float wordt bedoeld hoeveel aandelen van een bedrijf vrij verhandelbaar zijn op de beurs. Dit aantal kan beperkt zijn, omdat de oprichter een groot aandeel in handen kan hebben of omdat een belegger een groot deel van het bedrijf gekocht kan hebben. Er is een aantal
8 specifieke selectiecriteria waaraan voldaan moet worden, voordat bedrijven tot de S&P 500 worden toegelaten. Zo moet de marktkapitalisatie groter zijn dan 6,1 miljard dollar. Ook moeten er per maand minimaal 250.000 aandelen verhandeld worden. Het moet een Amerikaans bedrijf zijn. De free float moet groter zijn dan 50 procent. De inkomsten moeten voor vier aaneensluitende kwartalen positief zijn. Ook moet de introductie van een bedrijf bijdragen aan de balans tussen de verschillende sectoren. Maar bedrijven kunnen ook uit de S&P 500 verdwijnen. De meeste bedrijven worden binnen 25 tot 30 jaar weer vervangen, meestal wordt dit veroorzaakt door fusies en overnames. Ook kunnen bedrijven failliet gaan of vindt de commissie dat het bedrijf niet meer in de index past. Een belangrijke component van het voorspellen of het bedrijf failliet gaat is de volatiliteit.
3.3 Volatiliteit
In deze scriptie wordt onderzoek gedaan naar de verwachte volatiliteit van de S&P 500. De volatiliteit is een maat van variantie van een aandelenprijs gemeten door de standaardafwijking van de logaritmische opbrengst. De rate of return wordt berekend door de prijs van het aandeel in jaar t gedeeld door de prijs in jaar t-1 en daar wordt de logaritme van genomen. De formule is:
.
De volatiliteit is gelijk aan de wortel van de de variantie van de logaritmische opbrengst. De volatiliteit wordt over het algemeen jaarlijks gemeten en wordt dan geschreven als :
.
De volatiliteit is afhankelijk van de tijdsperiode waarin gemeten wordt. De algemene volatiliteit voor tijdsperiode T in jaren wordt gegeven door:
9
3.4 Voordelen volatiliteit voor investeerders
De volatiliteit is voor investeerders interessant, want de volatiliteit van een aandeel bepaalt vaak de grootte van zijn positie in de aandelenportefolio. Aandelen met een hoge volatiliteit zijn risicovoller, omdat de waarde daarvan heviger fluctueert. Ook zorgt een grotere volatiliteit voor een wijdere distributie van de uiteindelijke uitkomst van de portefolio. Er is een verschil tussen de volatiliteit en de richting van de
prijsveranderingen. De volatiliteit zegt enkel wat over de grootte van de prijsveranderingen, maar niet of het een prijsafname of toename betreft.
3.5 Eigenschappen volatiliteit
Er is consensus over een aantal eigenschappen van de volatiliteit, op basis van een enorme hoeveelheid data over financiële tijdreeksen (Tseng & Li 2012 p. 1). Die eigenschappen zijn: dikstaartige verdeling, afwezigheid van autocorrelaties in returns, de clustering van volatiliteit en een asymmetrie in het stijgen en dalen van de koers. Een dikstaartige verdeling heeft als kenmerk dat waarnemingen verder af van het gemiddelde relatief vaker voorkomen dan bij een normale verdeling. Volgens Ding, Granger en Engle (1993) houdt clustering van volatiliteit in dat grote
prijsfluctuaties elkaar opvolgen en kleine prijsveranderingen juist door kleine prijsveranderingen gevolgd worden.
Voor het modelleren van financiële tijdreeksen is kennis over volatiliteitsclustering essentieel, omdat de markt anders niet goed beschreven wordt. Daarom stellen Tseng en Li (2012) een methode voor om meer inzicht te krijgen in
volatiliteitsclustering. Om dit gedrag op een kwantitatieve manier te beschrijven, introduceren zij een index, met het doel om verschillende tijdreeksen te vergelijken. Deze index wordt gebruikt om de asymmetrie tussen de clusters te onderzoeken. Er kan bijvoorbeeld onderzocht worden of er meer dagen zijn dat de returns positief zijn, dan dat ze negatief zijn. Chen, Hong en Stein (2001) stellen dat er hierop nog geen antwoord is in de literatuur. Omdat de volatiliteit zulke bijzondere
eigenschappen bezit, zijn er ook speciale modellen voor nodig om het te schatten, zoals modellen met tijdsafhankelijke parameters.
10
3.6 Tijdsafhankelijke parameters
Stock en Watson (1994) zijn tot de conclusie gekomen dat veel univariate en
bivariate modellen instabiel zijn, omdat ze nu niet meer correct voorspellen. Dit wordt veroorzaakt door langzaam variërende economische variabelen, zoals inflatie,
werkgelegenheid en beleid. Hoewel deze variabelen veranderen in de tijd blijven de parameters in de modellen constant. Dit leidt tot verkeerd gespecificeerde
parameters. Een oplossing voor dit probleem is om de de parameters van de
modellen te laten veranderen in de tijd. Twee methodes hiervoor zijn dynamic model averaging en de rolling window estimation. Ook is heteroskedasticiteit een probleem als er de assumptie wordt gemaakt dat de variantie stabiel is. Om te corrigeren voor heteroskedasticiteit wordt het GARCH-model gebruikt.
3.7 Rolling window estimators
Bij een rolling windows estimation worden parameters geschat met behulp van data uit een schattingsvenster. Dit schattingsvenster bestaat uit een bepaald aantal waarnemingen en schuift telkens op. Vervolgens wordt met deze informatie de out-of-sample punten geschat. Daarna wordt vergeleken of geschatte waarde
overeenkomen met de waarneming. Er zijn verschillende manieren om het venster op te stellen. Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat de eerste 50 waarnemingen gebruikt worden om een schatting te maken en daarna de tweede 50 enzovoorts. Maar deze vensters mogen elkaar ook overlappen. De waarnemingen in het venster kunnen ook verschillende gewichten bevatten. Een veelgebruikte methode is die van
exponentieel afnemende gewichten.Een voordeel van de rolling window estimation is dat de parameters van het model variëren in de tijd.
Volgens Inoue, Jin en Rossi (2017) bepaalt de manier waarop het venster gekozen is, hoe goed de voorspeller presteert. Zij ontwikkelen een nieuwe manier om de lengte van het venster te bepalen. In hun methode kiezen zij de optimale grootte van het venster door de conditional mean square forecast error (MSFE) te minimaliseren. Deze methode heeft twee voordelen ten opzichte van de al bestaande methodes. Ten eerste kan de methode van Jin en Rossi gebruikt worden in meer gevallen, omdat sommige assumpties die niet haalbaar bleken, niet gemaakt hoeven te worden. Zo moet voor de oudere methode van Pesaran en Timmerman (2007) de assumptie gedaan worden dat de innovaties en de regressors niet gecorreleerd zijn, terwijl dit in de praktijk vaak wel het geval is. Ook maakt het voor de methode van Jin
11 en Rossi niet uit of de regressors exogene variabelen bevatten. Ten tweede laat hun methode voorspellingen toe van meer dan een stap in de tijd, terwijl met de oude methodes er maar een stap in de tijd voorspeld kon worden.
3.8 Dynamic Model average
Volgens Banerjee en Urga (2005) ondergaat de volatiliteit vaak structurele breuken, door bijvoorbeeld conjunctuur, extreme gebeurtenissen en veranderingen in het economische beleid. Om dit te corrigeren moeten modellen met tijdsafhankelijke parameters geïntroduceerd worden. Wang, Ma, Wei en Wu (2016) hebben de volatiliteit van de S&P 500 voorspeld door middel van het heterogene
autoregressieve model. Hun modellen bevatten tijdsafhankelijke parameters. Zij gebruikten dynamic model averaging (DMA) om de verschillende voorspellingen van de individuele modellen samen te voegen. Volgens hun resultaten kan DMA
accuratere voorspellingen genereren dan een individueel model en dan modellen met constante parameters.
3.9 Formules DMA
Het GARCH-model kan op normale manier geschat worden, maar ook door dynamic model averaging. Dynamic model averaging is opgebouwd als
, .
waar yt een vector met de voorspellingen is. Zt is een 1 bij m vector met voorspellers
die ook gelagde variabelen van yt bevatten. is een m bij 1 vector met coëfficiënten
∼i.i.d. N (0, Ht) en ∼i.i.d. N (0, Qt). Om Zt tijdsafhankelijk te maken wordt dit
model verder aangepast. Koop en Korobilis (2011) stellen voor om K modellen te gebruiken met tijdsafhankelijke parameters. De volgende stap is
, .
12 Deze methode zorgt ervoor dat op elk punt in de tijd het beste model kan worden geselecteerd.
3.10 Conclusie
De S&P 500 is een aandelenindex van de 500 belangrijkste bedrijven van de Verenigde Staten. Deze wordt samengesteld op basis van verschillende factoren, zoals marktkapitalisatie, vestigingsplaats en sectorclassificatie. De volatiliteit wordt gemeten door de standaardafwijking van de logaritmische opbrengst en is een maat van variantie van een aandelenprijs. De belangrijkste eigenschap van deze tijdreeks is dat de volatiliteit clustert. Modellen zijn tijdsafhankelijk wanneer de parameters variëren in de tijd. Het meest gebruikte model om de volatiliteit te schatten is het GARCH(1,1)-model. Dit model kan samengesteld worden door dynamic model averaging of rolling window estimation. Tot slot is de hypothese opgesteld.
3.11 Hypothese
Het GARCH(1,1)-model kan op de normale manier geschat worden, maar ook met rolling window estimation en exponential rolling window estimation. Dit leidt tot twee verschillende modellen, omdat de parameters anders zijn, wanneer het model op een andere manier geschat wordt. Het is te verwachten dat beide modellen de volatiliteit ongeveer even goed voorspellen, omdat ze daarvoor ontworpen zijn. Daarom luidt de nulhypothese: elk van deze modellen voorspelt de volatiliteit van de S&P 500 even goed. De alternatieve hypothese is dat een van de modellen minder goed voorspelt dan de andere.
13
4. Onderzoeksopzet
4.1 Inleiding
Nu het theoretisch raamwerk gegeven is, moet de hypothese getest worden. In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe het onderzoek is opgezet. Het GARCH(1,1)-model wordt in detail uitgelegd. Daarna worden de formules van dynamic model averaging besproken. Verder worden de data en de methode van vergelijking behandeld.
4.2 GARCH(1,1)-model
De volatiliteit wordt in dit onderzoek geschat met een GARCH(1,1)-model, dat ontwikkeld is door Bollerslev (1986). Ik gebruik dit model, omdat het erg nauwkeurig is in het voorspellen van de volatiliteit van de S&P 500. Dit model heeft een aantal voordelen. Zo past het GARCH-model beter dan het ARCH-model en heeft het een beter leermechanisme (Kraft & Engle 1983 pp. 1-2). Het GARCH-model heeft een aantal belangrijke eigenschappen gemeen met het ARCH-model, omdat het een algemenisering van het ARCH-model is. Zo maakt Engle (1982) een expliciet onderscheid tussen de onconditionele en de conditionele variantie. En hij laat deze variantie variëren in de tijd als een functie van oudere error termen. Omdat de volatiliteit ook tijdsafhankelijk is en omdat er sprake is van clustering, is het GARCH-model uitermate geschikt om dit te voorspellen.
4.3 Formules GARCH(1,1)-model
Stel de uitkering van een aandeel is, waar ~ N(0,1) i.i.d. De residuele uitkering wordt gedefinieerd als .
Het GARCH(1,1)-model wordt dan gegeven als ,
en de assumptie wordt gemaakt dat .
4.4 Data
In deze scriptie gebruik ik dagelijkse prijzen van de S&P 500 vanaf 1 januari 2000 tot en met 31 oktober 2017 om de voorgaande modellen te schatten. Dit zijn 4486 observaties. De eerste 3000 observaties worden gebruikt om de modellen te
14 schatten. De overige observaties worden gebruikt om het geschatte model te
evalueren, door de geschatte waardes met de reële waardes te vergelijken.
4.5 Methode van vergelijking
Nadat deze modellen een schatting van de volatiliteit van de S&P 500 hebben gegenereerd, moeten ze nog onderling vergeleken worden. Dit wordt gedaan met behulp van de score functie. Met deze functie wordt de log-likelihood berekenend van y_t+1 gegeven y_t. De score wordt gegeven door:
.
Daarna worden de scores van de verschillende modellen afgetrokken:
,,
duidt op de score van het rolling window model met gelijke gewichten en hoort bij de functie van het rolling window model met exponentieel afnemende gewichten. Vervolgens wordt getest of de nulhypothese correct is. Dit wordt
berekend met behulp van de t-toets
,
is het gemiddelde en de HAC-schatter zoals beschreven door Diks, Panchenko en van Dijk (2011).
15
5. Resultaten en analyse
5.1 Inleiding
Het onderzoek is gedaan in het programma R en in dit hoofdstuk volgen de
resultaten. In de appendix staat de code, die gebruikt is om resultaten te verkrijgen. Eerst worden de resulaten van één specifieke vensterlengte en λ-waarde uitgebreid beschreven, om te onderzoeken hoe tijdsafhankelijke parameters zich in dit geval gedragen. Vervolgens worden de uitkomsten van deze score functies besproken. Daarna is de hypothese getoetst voor verschillende λ-waardes en vensterlengtes.
5.2 Tijdsafhankelijke Parameterwaardes
Er zijn 1000 voorspellingen gedaan, in dit geval is de lengte van het venster 100 en de λ-waarde 0,005. De λ-waarde bepaalt hoe snel de gewichten afnemen bij
exponential rolling window estimation. In grafiek 1 wordt de geschatte variantie van het simple rolling window model op t+1 weergegeven tegenover de tijd. Omdat dit een tijdsafhankelijke parameter is, is de waarde variabel. Er kan worden gezien dat er volatiliteitsclustering plaatsvindt, omdat hoge waarnemingen elkaar opvolgen en kleine waarnemingen dat ook doen. Verder kan in grafiek 1 gezien worden dat de maximale waarneming 1 is en de minimale gelijk is aan 0. De variantie heeft een gemiddelde waarde van 0,078 en een mediaan van 7,3*10E-5. Het is interessant om grafiek 1 te vergelijken met grafiek 2. In grafiek 2 worden de ruwe data van de
returns geplot. De grootste variantie wordt waargenomen rond t=600. Omdat de dataset in 2006 begint is dit op het moment van de economische crisis van 2008.
16 Grafiek 1: De variantie tegenover de tijd in het normale Rolling Window Model.
Grafiek 2: De waardes van de returns tegenover de tijd.
Ook de tijdsafhankelijke parameter van het exponential rolling window model is geplot. In grafiek 3 wordt gezien dat er veel minder volatiliteitsclustering plaatsvindt. Ook is de variantie kleiner dan bij de normale rolling window. De gemiddelde waarde is namelijk 0,00509 en de mediaan is 4,4*10E-5.
17 Grafiek 3: De variantie tegenover de tijd in het Exponential Rolling Window Model.
5.3 Scorefuncties
heeft met deze vensterlengte en λ-waarde een positieve waarde, het
gemiddelde is 0,699 en de mediaan is 2,785. Maar er zijn ook een aantal outliers, bijvoorbeeld de waarde -409,534 wordt bereikt. heeft een gemiddelde van 2,073 en een mediaan van 3,48. De maximale waarde is 5,004, maar er zijn veel
uitschieters naar beneden. De minimale waarde is -112,659.
5.4 Meerdere vensterlengtes en λ-waardes
De hypothese is , met . Omdat de voorgaande
resultaten alleen gelden voor een venster van 100 en een λ van 0,005, is de
hypothese getoetst voor meerdere vensterlengtes en λ-waardes, zoals hieronder in de tabellen beschreven. De modellen moeten namelijk voor verschillende
vensterlengtes en λ-waardes getest worden om een eerlijke vergelijking te kunnen maken. Ik heb er voor gekozen om de beste scorewaardes van het exponential rolling window model te vergelijken met de beste scorewaardes van het simple rolling window model. Omdat er veel resulaten zijn, worden alleen de p-waardes en t-toetsen besproken. In de eerste tabel is de waarde van de t-toets gegeven en in de tweede tabel staat de p-waarde.
18
t-toets λ=0,005 λ =0,01 λ =0,10 λ =0,25
Venster=50 1,036 1,44 0,99 3,15
Venster=100 2,61 3,36 0,058 -0,05
Venster=200 -0,17 2,97 -0,72 -0,72
Tabel 1: Resultaten t-toets voor verschillende vensterlengtes en λ-waardes
p-waardes λ =0,005 λ =0,01 λ =0,10 λ =0,25
Venster=50 0,30 0,15 0,32 0,001681
Venster=100 0,00912 0,00869 0,95 0,95
Venster=200 0,86 0,003 0,47 0,47
Tabel 2: P-waardes voor verschillende vensterlengtes en λ-waardes
In vier gevallen verschilt de score van is het simple rolling window model significant van de score van het exponential rolling window model. En in de overige acht gevallen is het verschil tussen de scores niet significant.P=0,00912 voor een λ van 0,005 en een vensterlengte van 100. Als het venster gelijk is aan 100 en λ aan 0,01 is de p-waarde 0,00869. P=0,003 voor een venstergrootte van 200 en een λ-waarde van 0,01. Bij λ=0,25 en venstergrootte van 50 is de p-waarde gelijk aan 0,001681. Voor λ=0,10 voorspelt het exponential rolling window model het beste, omdat de t-waardes dan gemiddeld het laagst zijn voor de verschillende vensterlengtes. Omdat het beste exponential rolling window model met het beste simple rolling window model vergeleken moet worden, is deze kolom doorslaggevend. Voor deze λ zijn de p-waardes niet significant. Voor een lengte van 50 is de p-waarde gelijk aan 0,32 en voor een lengte van 100 is de p-waarde gelijk aan 0,95. P=0,47 voor een
vensterlengte van 200. De nulhypothese, die stelt dat de verwachting van
de verschillen gelijk aan nul is,kan dus niet verworpen worden. Er kan daarom niet gesteld worden dat het ene model beter voorspelt dan het andere.
19
6. Conclusie en Discussie
In dit hoofdstuk worden eerst de aanleiding, het onderwerp en de centrale vraag beschreven. Daarna wordt er een conclusie gegeven van het theoretisch kader, onderzoeksopzet en de resultaten en analyse. Hierna volgt de discussie. Als laatste wordt de maatschappelijke relevantie en de richting van vervolgonderzoek
beschreven.
De aanleiding voor deze scriptie vomrden de grote verschillen in de variantie van de S&P 500 in de afgelopen jaren. De crisis van 2008 speelde een grote rol. Voor financiële instellingen is het cruciaal om de volatiliteit van de aandelenmarkt correct te kunnen voorspellen. De methode heeft grote invloed op de uiteindelijke
parameterwaardes. Het onderwerp was de volatiliteit van de S&P 500 te voorspellen met behulp van tijdsafhankelijke modellen, zoals rolling window model estimation en exponential rolling window estimation. Zowel de normale als de exponentiële rolling window estimation werd berekend met behulp van het GARCH(1,1)-model. De centrale vraag van dit onderzoek was: welke van deze modellen voorspelt de volatiliteit van de S&P 500 het best? De nulhypothese was dat de voorspellingen even correct of incorrect waren.
In het theoretisch kader werd geconcludeerd dat S&P 500 een aandelenindex is van de belangrijkste bedrijven in de Verenigde Staten. Deze is opgesteld op basis van verschillende factoren zoals, sectorclassificatie, grootte en marktkapitalisatie. De volatiliteit werd gedefinieerd als de standaardafwijking van de logaritmische opbrengst. Ook werd gevonden dat de volatiliteit vaak clustert. Tijdsafhankelijke modellen zijn daarom uitermate geschikt om de volatiliteit te beschrijven. Het model dat het meest gebruikt werd om de volatiliteit te schatten is het GARCH(1,1) model.
In de onderzoeksopzet werd bepaald, op welke manier GARCH(1,1) opgesteld moest worden. Dat kon op de normale manier, met rolling window estimation en met exponential rolling window estimation. Ook werd in dit hoofdstuk de data
geselecteerd. Tot slot volgde de methode om de modellen met elkaar te vergelijken. Dit werd gedaan door eerst de score functies te berekenen. Vervolgens werd
20 uitgelegd dat de verschillende score functies van elkaar moeten worden
afgetrokken. Op deze verschil variabele kan een t-test worden uitgevoerd. Dit is een speciale variant van de t-test, omdat de HAC-schatter moet worden meegenomen.
Uit de resulaten is gebleken dat de score functie van het simple rolling window model voor sommige λ-waardes significant verschilt van de score functie van het exponential rolling window model. Maar in het meerendeel van de gevallen is er geen verschil. Er kan ook worden geconcludeerd dat als de λ van het exponential rolling window model geoptimaliseerd is, beide modellen even goede voorspellingen doen. De nulhypothese kan dus niet verworpen worden, omdat de resultaten niet significant zijn wanneer de parameters van het exponential rolling window
geoptimaliseerd zijn.
Discussie
Volgens Hansen en Lunde (2001) doen simpele GARCH(1,1) modellen betere voorspellingen dan complexe modellen. Maar in mijn onderzoek voorspellen beide modellen even goed. Hansen en Lunde hebben een andere vergelijkingsmethode gebruikt dan ik, wat deze contradictie veroorzaakt zou kunnen hebben. Dit
onderzoek is beperkt, omdat maar twee modellen worden behandeld. De vergelijking tussen de twee modellen, zegt nog niet veel over hoe goed dit model in het
algemeen voorspelt. Ook zijn de modellen slechts getest op een enkele dataset: de S&P 500. De studie behandelt daarnaast een simpel GARCH(1,1) model, terwijl dit ook uitgebreid zou kunnen worden.
Vervolgonderzoek
Vervolgonderzoeken kunnen daarom gericht zijn op een GARCH-model met meer parameters. Daarnaast is het interessant om verder dan één stap te voorspellen, omdat voor financiële instellingen een langere voorspelhorizon relevant is. Dit kan weer nieuwe complicaties en inzichten opleveren. Ook is verder onderzoek naar andere markten nodig, om te bestuderen of de modellen in andere situaties even goed voorspellen.
21
Maatschappelijke relevantie
Uit de resultaten is gebleken dat het simple rolling window model en het exponential rolling window model even goed voorspellen. Voor verzekeraars, banken en andere financiële instellingen is dit waardevol. Zij kunnen beide methodes gebruiken voor tijdreeksen die veranderende variantie hebben. Door betere modelspecificatie kunnen deze instellingen meer winst maken en stabielere portfolio's aanhouden.
22
7. Bibliografie
Banerjee, A., & Urga, G. (2005). Modelling structural breaks, long memory and stock market volatility: an overview. Journal of Econometrics, 129(1), 1-34.
Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 meetings of the business and economics statistics section, American Statistical Association 177-181.
Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of econometrics, 31(3), 307-327.
Chen, J., Hong, H., & Stein, J. C. (2001). Forecasting crashes: Trading volume, past returns, and conditional skewness in stock prices. Journal of Financial Economics, 61(3), 345-381.
Diks, C., Panchenko, V., & Van Dijk, D. (2011). Likelihood-based scoring rules for comparing density forecasts in tails. Journal of Econometrics, 163(2), 215-230.
Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 987-1007.
Hansen, P. R., & Lunde, A. (2001). A comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH (1, 1). Unpublished manuscript. Department of Economics, Brown University.
Inoue, A., Jin, L., & Rossi, B. (2017). Rolling window selection for out-of-sample forecasting with time-varying parameters. Journal of Econometrics, 196(1), 55-67.
Koop, G., & Korobilis, D. (2013). Large time-varying parameter VARs. Journal of Econometrics, 177(2), 185-198
23 Kraft, D. F., & Engle, R. F. (1983). Autoregressive conditional heteroscedasticity in multiple time series models. Econometrica, 50, 987-1008.
LLC, S. P. D. J. I. (2012). S&P Dow Jones Indices: S&P US Indices Methodology.
Mandelbrot, B. (1963). The variation of certain speculative prices. The journal of business, 36(4), 394-419.
Najand, M., & Yung, K. (1994). Conditional heteroskedasticity and the weekend effect in S&P 500 index futures. Journal of Business Finance & Accounting, 21(4), 603-612.
Stock, J. H., & Watson, M. W. (1999). Business cycle fluctuations in US macroeconomic time series. Handbook of macroeconomics, 1, 3-64.
Tseng, J. J., & Li, S. P. (2012). Quantifying volatility clustering in financial time series. International Review of Financial Analysis, 23, 11-19
Wang, Y., Ma, F., Wei, Y., & Wu, C. (2016). Forecasting realized volatility in a changing world: A dynamic model averaging approach. Journal of Banking & Finance, 64, 136-149.
24
8. Appendix
25 Afbeelding 2: R code deel 2
26 Grafiek 2: De variantie tegenover de tijd in het Exponential Rolling Window Model.
