Matchingpolynomen en Dualiteit
Justin Baars
5 juni 2020
Bachelorscriptie Wiskunde
Begeleiding: dr. Guus Regts, Maurizio Moreschi MSc.
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In dit verslag bekijken we dualiteitsrelaties tussen het matchingpolynoom µ(G, x) van een graaf G en die van zijn complement G, waar µ(G, x) = Pbn/2c
r=0 (−1)rp(G, r)xn−2r, met p(G, r) het
aantal r-matchings in G. We bewijzen deze dualiteitsrelaties eerst met behulp van klassieke theorie over matchingpolynomen, waarbij we onder meer zullen zien dat matchingpolynomen van paden, cykels, complete grafen en compleet bipartiete grafen overeenkomen met zekere families van orthogonale polynomen.
Hierna beschrijven we een algebra van genererende functies R[V ] ontwikkeld door Bodo Lass, die ervoor zorgt dat bewijzen van dualiteitsstellingen kunnen worden teruggevoerd op bereke-ningen in R[V ]. Met behulp van deze algebra bewijzen we dualiteitsstellingen uit [11], die we tevens veralgemeniseren naar een bivariate uitbreiding van het matchingpolynoom. Daarnaast geven we met de algebra van Lass een nieuw bewijs van een veralgemenisering van de dualiteits-stelling van Godsil naar algemene graafcomplementen. Een aantal van deze dualiteitsdualiteits-stellingen veralgemeniseren we nog verder naar k-uniforme hypergrafen. Deze veralgemeniseringen naar het bivariate matchingpolynoom en naar k-uniforme hypergrafen komen niet in de literatuur voor. Ook geven we enkele recursies voor matchingpolynomen van hypergrafen die niet in de literatuur voorkomen. Als laatste zullen we een veralgemenisering van de Mehlerformule voor Hermitepolynomen bewijzen. Deze veralgemenisering heeft onder meer als gevolg dat alle nulpunten van µ(G, x) re¨eel zijn, een resultaat dat in toepassingen belangrijk is.
Titel: Matchingpolynomen en Dualiteit
Auteur: Justin Baars, justinbaars@live.nl, 10772278 Begeleiding: dr. Guus Regts, Maurizio Moreschi MSc., Einddatum: 5 juni 2020
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4
2 Matchingpolynomen: definitie, voorbeelden en basisresultaten 5
2.1 Introductie . . . 5
2.2 Definitie, voorbeelden en recursieve eigenschappen . . . 5
2.3 Dualiteit en matchingpolynomen . . . 11
2.4 Orthogonale polynomen en matchingpolynomen . . . 13
3 Algebra’s van genererende functies 22 3.1 Introductie . . . 22
3.2 Formele machtreeksen en genererende functies . . . 22
3.3 Algebra van genererende functies van Lass . . . 25
4 Dualiteits- en nulpuntsstellingen 31 4.1 Introductie . . . 31
4.2 Dualiteitsstellingen voor grafen . . . 31
4.3 Dualiteitsstellingen voor k-uniforme hypergrafen . . . 38
4.4 Mehlerformule en nulpuntsstelling voor matchingpolynomen . . . 42
5 Conclusie 49
Bibliografie 50
1 Inleiding
Binnen de combinatoriek, en de grafentheorie in het bijzonder, is matchingtheorie een belangrijk deelgebied. Gegeven een graaf G = (V, E) is een matching een verzameling lijnen uit E zodanig dat er geen paar lijnen in de matching bestaat dat een punt uit V gemeenschappelijk heeft. In dit verslag zullen we het matchingpolynoom µ onderzoeken, welke is gedefinieerd als µ(G, x) = P
r>0(−1)rp(G, r)xn−2r, waar p(G, r) het aantal matchings in G is bestaande uit exact r lijnen.
Laten wij de factor (−1)r weg, dan spreken wij van het tekenloze matchingpolynoom µ.
Dit matchingpolynoom kent zijn oorsprong niet binnen de wiskunde, maar binnen de schei-kunde en de statistische fysica. Een klassiek artikel is van Heilmann en Lieb [8], waarin een monomeer-dimeer model wordt bekeken bestaand uit een rooster met punten (monomeren) die al dan niet verbonden zijn (dimeren). In deze setting is het evident dat een punt met hoogstens ´
e´en ander punt verbonden is, zodat een monomeer-dimeerconfiguratie op dit rooster, beschouwd als graaf, in ´e´en-op-´e´en verband staat met een matching. In deze setting laten Heilmann en Lieb zien dat een nulpunt van µ overeenkomt met een faseovergang. In dit verslag gaan we niet in op deze scheikundige theorie, maar het is aardig om deze toepassing in ons achterhoofd te houden, met name wanneer we bewijzen dat alle nulpunten van µ re¨eel zijn, en equivalent daaraan, dat alle nulpunten van µ op de imaginaire as liggen. Voor het monomeer-dimeer model betekent dit dat er geen faseovergangen mogelijk zijn, op een gedegenereerd geval na.
We zullen in dit verslag de wiskundige theorie van het matchingpolynoom uiteenzetten. Hier-bij volgen wij eerst de klassieke theorie over matchingpolynomen, waar we matchingpolynomen van bekende klassen grafen zullen uitrekenen en waar we aan zullen geven hoe matchingpolyno-men recursief kunnen worden berekend. Tevens zullen we enkele dualiteitsstellingen benoematchingpolyno-men en bewijzen. Hier doelen wij met dualiteit op relaties tussen de (al dan niet tekenloze) mat-chingpolynomen van een graaf en zijn complement. Verder zullen wij connecties leggen tussen families van matchingpolynomen en bekende families van orthogonale polynomen.
Deze klassieke theorie van het matchingpolynoom zal dienen als context voor het artikel Matching Polynomials and Duality van Lass [11], waaraan ik de rest van deze scriptie zal wijden. In dit artikel introduceert Lass een fundamenteel andere aanpak dan de klassieke theorie. Het gaat er hier om dat het matchingpolynoom, als polynoom, een algebra¨ısch object is. Lass introduceert een algebra van genererende functies, R[V ], waarin objecten liggen die met matchingpolynomen kunnen worden ge¨ıdentificeerd. Vervolgens kunnen we stellingen over matchingpolynomen bewijzen door te rekenen binnen deze algebra.
De stellingen die wij bewijzen zijn met name dualiteitsstellingen. Hierbij zullen we ook kij-ken naar het bivariate matchingpolynoom, gedefinieerd door µ(G; x, y) =P
r>0p(G, r)xn−2ryr.
Met y = −1 krijgen wij het ‘gewone’ matchingpolynoom; met y = 1 het tekenloze matching-polynoom. De stellingen die Lass geeft in [11, §3], geven we hier ook voor het bivariate mat-chingpolynoom. Tevens geven we in deze scriptie een nieuw bewijs van een veralgemenisering van de dualiteitsstelling van Godsil naar algemene graafcomplementen. Verder veralgemenise-ren we een aantal dualiteitsstellingen uit [11] naar k-uniforme hypergrafen. Als laatst, na het geven van deze dualiteitsstellingen, zullen we een veralgemenisering van de Mehlerformule be-wijzen, die de reeds benoemde nulpuntsstelling voor matchingpolynomen als gevolg heeft. Deze veralgemenisering komt al voor in [11].
2 Matchingpolynomen: definitie,
voorbeelden en basisresultaten
2.1 Introductie
We beginnen met een inleidend hoofdstuk waarin we matchingpolynomen defini¨eren, en vervol-gens expliciet berekenen voor lege grafen, paden, cykels, complete grafen en compleet bipartiete grafen. Verder zullen er enkele basisresultaten en recursies over matchingpolynomen worden benoemd en bewezen. We sluiten dit hoofdstuk af met paragrafen over dualiteit en over het verband tussen zekere families van orthogonale polynomen en matchingpolynomen. Dit hoofd-stuk vormt de basistheorie van matchingpolynomen, waarna we in het volgende hoofdhoofd-stuk een alternatieve, algebra¨ısche aanpak ontwikkelen om resultaten over matchingpolynomen te formu-leren en te bewijzen. Tevens zullen resultaten uit dit hoofdstuk later worden veralgemeniseerd. In dit verslag zullen we de notatie uit [15, H3] volgen. We werken telkens met een eindige, ongerichte graaf G = (V, E). We noemen V (G) de verzameling punten van G, en E(G) de verzameling lijnen van G. We zullen, voor u, v ∈ V (G), een lijn noteren als uv; merk op dat dit dezelfde lijn is als vu aangezien we werken met ongerichte grafen. We zullen ook telkens veronderstellen dat G een simpele graaf is: dat wil zeggen dat er geen dubbele lijnen noch loops toegestaan zijn. Dus schrijven we ook wel E(G) ⊂ V2
:= {{u, v} : u, v ∈ V }. We zullen n(G) := |V (G)| en e(G) := |E(G)| noteren voor het aantal punten en lijnen, respectievelijk, van G. Het complement G van een graaf G = (V, E) is gedefinieerd als G = (V, E), met E = V2 −E: dus uv ∈ E(G) als en slechts als uv /∈ E(G).
2.2 Definitie, voorbeelden en recursieve eigenschappen
Definitie 2.2.1 (Matching). Zij G een simpele graaf. Een matching M ⊂ E is een verzameling paarsgewijs puntonafhankelijke lijnen. Dat wil zeggen: er zijn geen twee verschillende e, e0 ∈ M die een eindpunt gemeenschappelijk hebben. Indien v ∈ V een eindpunt is van een lijn uit een matching M , dan zeggen we dat v verzadigd is door M . Indien M alle punten van G verzadigd, dan noemen we M perfect ; het is duidelijk dat dit enkel mogelijk is als n(G) even is. Indien n(G) oneven is, is het meeste wat we kunnen verwachten dat alle punten op ´e´en na M -verzadigd zijn, in welk geval we M quasi-perfect noemen.
Er bestaat een rijke theorie over matchings; zie [15, H3] voor een inleiding. In dit verslag onderzoeken we matchingpolynomen: de co¨effici¨enten van een matchingpolynoom bevatten in-formatie over het aantal matchings van een graaf. Een polynoom kun je opvatten als een afbeelding C → C, maar dit is in de eerste instantie niet wat wij voor ogen hebben: we in-troduceren het matchingpolynoom om in ´e´en wiskundig object alle informatie over het aantal matchings van een graaf weer te geven. Stelling over deze polynomen geven ons dan nieuwe inzichten over de structuur van een graaf.
Definitie 2.2.2 (Matchingpolynomen). Zij gegeven een graaf G = (V, E). Een r-matching in G is een matching M bestaande uit r lijnen. We schrijven p(G, r) voor het aantal r-matchings
in G; hierbij spreken we af dat p(G, 0) := 1 en p(G, r) = 0 voor r /∈ N0. Schrijf n = n(G). We
defini¨eren het matchingpolynoom µ en het tekenloze matchingpolynoom µ door
µ(G, x) :=X r>0 (−1)rp(G, r)xn−2r= bn/2c X r=0 (−1)rp(G, r)xn−2r, (2.1) µ(G, x) :=X r>0 p(G, r)xn−2r= bn/2c X r=0 p(G, r)xn−2r. (2.2)
Tevens defini¨eren we het bivariate matchingpolynoom door µ(G; x, y) :=X r>0 p(G, r)xn−2ryr= bn/2c X r=0 p(G, r)xn−2ryr. (2.3)
De tweede gelijkheden in (2.1)-(2.3) volgen omdat p(G, r) = 0 voor r > bn/2c; immers, n(G) > 2|M | voor elke matching M in G, aangezien de lijnen uit M paarsgewijs puntonafhan-kelijk zijn. Omdat voor 0 6 r 6 bn/2c geldt dat n − 2r > 0, zien we dat µ en µ inderdaad polynomen zijn. Omdat p(G, 0) := 1, zien we tevens dat µ en µ monisch en van graad n zijn.
Wij zullen pas in volgende hoofdstukken het bivariate matchingpolynoom bekijken. Uit de context zal steeds duidelijk zijn welk matchingpolynoom ‘µ’ aanduidt (uni- of bivariaat). Opmerking 2.2.3. Ten eerste is het evident dat zowel µ als µ dezelfde informatie bevatten: bij beiden kunnen we als co¨effici¨ent van xn−2r het aantal r-matchings aflezen. Dit volgt tevens uit
(−i)nµ(G, ix) = bn/2c X r=0 p(G, r)(−i)nin−2rxn−2r= bn/2c X r=0 p(G, r)(−1)ni2(n−r)xn−2r = bn/2c X r=0 p(G, r)(−1)2n−rxn−2r= µ(G, x).
Evenzo zien we voor y ∈ C − (−∞, 0] in dat µ(G; x, y) = yn/2i−nµ(G, ix/√y), waar we de hoofdwaarde van de complexe wortel gebruiken. Deze uitdrukking is ook geldig voor y ∈ (−∞, 0). Merk ten tweede op dat µ(G, 0) het aantal perfecte matchings van G telt, terwijl µ(G, 1) het aantal matchings (van willekeurige grootte) telt, waarbij we afspreken dat er ´e´en 0-matching is. Verder is het aardig om op te merken dat we uit µ(G, x) meer over G kunnen afleiden dan slechts het aantal r-matchings voor alle r > 0, zoals het volgende voorbeeld laat zien.
Voorbeeld 2.2.4. Zij G een graaf met matchingpolynoom µ. We gebruiken µ om te bepalen of G regulier is. Uit de co¨effici¨enten van xn(G)−2 en xn(G)−4 lezen we p(G, 1) en p(G, 2) af, respectievelijk. Merk op dat p(G, 1) het aantal lijnen in G geeft, zodat 2p(G, 1) = 2e(G) = P
v∈V (G)d(v). Merk verder op dat p(G, 2) het aantal 2-matchings in G telt, terwijl we dit
aantal ook kunnen tellen door het totaal aantal paren lijnen in G te nemen, en daar de paren vanaf te halen die geen 2-matching vormen. Indien we een paar lijnen geen matching vormt, dan hebben de twee lijnen een buur gemeenschappelijk. Voor een vaste v ∈ V (G) zijn er d(v)2 paren lijnen die v als gemeenschappelijke buur hebben, zodat er P
v∈V (G) d(v)
2 paren lijnen in
G zijn die geen 2-matching vormen. Dit leidt tot de identiteit p(G, 2) = e2 − Pv∈V (G) d(v)2 . Combineren we de uitdrukkingen voor p(G, 1) en p(G, 2), dan vinden we
e 2 − p(G, 2) = X v∈V (G) d(v) 2 = 1 2 X v∈V (G) d(v)2− X v∈V (G) d(v) = 1 2 X v∈V (G) d(v)2− p(G, 1).
Omdat e(G) = p(G, 1), n(G) = deg(µ), en omdat we P
v∈V (G)d(v)2 uit kunnen rekenen uit
bovenstaande identiteit, kunnen we controleren of G regulier is door te kijken of p(G, 1)(p(G, 1) + 1) − 2p(G, 2) = X v∈V (G) d(v)2 (∗)= n(G) 2e(G) n(G) 2 = 4p(G, 1) 2 n(G) .
Immers, G is regulier als en slechts als de graad van ieder punt gelijk is aan de gemiddelde graad, in welk gevalP
v∈V (G)d(v)2 een uniek minimum aanneemt, aangezien we een minimum zoeken
onder de conditie datP
v∈V (G)d(v) = 2e(G). De rechtvaardiging hiervoor ligt in de ongelijkheid
van Cauchy-Schwarz: noteer n := n(G), V (G) = {v1, . . . , vn}, dan geldt voor x, y ∈ Rn dat
(Pn i=1xiyi) 2 6 Pn i=1x2i Pn
i=1y2i, met gelijkheid als en slechts als x, y lineair afhankelijk
zijn. Pas dit toe op x = (d(v1), . . . , d(vn)) en y = (1, . . . , 1), dan zien we dat er gelijkheid is in
(∗) als en slechts als d(vi) = n−1Pnj=1d(vj) voor alle 1 6 i 6 n.
We bekijken nu hoe we matchingpolynomen expliciet uit kunnen rekenen. In praktijk komt dit neer op het terugvoeren van een graaf G op lege grafen, paden, cykels, complete grafen, compleet bipartiete grafen en acyclische grafen, gebruikmakend van onderstaande voorbeelden 2.2.5-2.2.9, stelling 2.2.13 en stelling 2.2.14. Dit is makkelijker gezegd dan gedaan: voor grote grafen zal dit erg lang duren, zoals wellicht ook intu¨ıtief duidelijk is. Meer precies: beschouwd als probleem met data een graaf G en geheel getal r, is het bepalen van het aantal r-matchings in G (en daarmee het bepalen van µ(G, x)) een #P-compleet probleem; zie [9] voor meer details. De uitwerking van de voorbeelden en stellingen in dit hoofdstuk is ge¨ınspireerd door [3, H1-2]. Voorbeeld 2.2.5. Zij n > 0, en zij Kn= ([n], ∅) de lege graaf op n punten. Omdat E(Kn) = ∅,
is de lege verzameling de enige matching in Kn. Dus p(Kn, r) = 0 voor alle r > 1, zodat
µ(Kn, x) = µ(Kn, x) = xn. (2.4)
Voorbeeld 2.2.6. Zij Pn het pad op n punten: Pnis de graaf met V (Pn) = [n] en i ↔ j als en
slechts als |i−j| = 1. We kunnen ons Pnvoorstellen als een horizontale lijn met daarop n punten.
Gegeven een r-matching in deze graaf, kunnen wij de lijnen uit deze matching samentrekken, wat een graaf met r punten minder levert. Van de overgebleven n − r punten markeren we de r punten die onstaan zijn door lijnen uit de matching samen te trekken. Andersom kunnen we, gegeven Pn−r met r gemarkeerde punten (voor r 6 bn/2c) een r-matching in Pn cre¨eren
door de gemarkeerde punten te vervangen door lijnen. De resulterende r lijnen vormen dan de r-matching. Dit laat zien dat we de r-matchings kunnen tellen als het aantal manieren om r punten uit n − r punten te kiezen, dus p(Pn, r) = n−rr . Daarmee volgt
µ(Pn, x) = bn/2c X r=0 (−1)rn − r r xn−2r. (2.5)
Voorbeeld 2.2.7. Zij Cn de cykel op n punten: Cn is de graaf met V (Cn) = [n] en i ↔ j als
en slechts als |i − j| ≡ 1 mod n. We stellen ons Cn voor als een cirkel met n punten. Voor
n = 2 maken we eenmalig uitzondering op de regel dat wij werken met simpele grafen: om de voorstelling van de cirkel te bewaren, spreken wij af dat er twee lijnen tussen 1 en 2 zijn. Op analoge wijze als in Voorbeeld 2.2.6 kunnen we, gegeven een r-matching (r > 1) in Cn, de r
lijnen uit deze matching samentrekken om Cn−r te verkrijgen met hierin r gemarkeerde punten
die resulteren uit de contractie. Echter, dit keer is er geen unieke graaf die leidt tot de Cn−r
een vaste Cn−r met r gemarkeerde punten. Uit Cn−r met r gemarkeerde punten construeren
we een r-matchings in Cn en houden we bij hoeveel mogelijkheden we hebben. Merk op dat er n−1−r
r−1 manieren zijn om r punten over Cn−r te verdelen, gegeven dat het ‘eerste’ punt uit de
Cn−r tot de r gemarkeerde punten behoort. Gegeven een dergelijke verdeling van r punten over
Cn−r zijn er n labels die we aan het ‘eerste’ punt kunnen geven, waarna het uiteentrekken van
de geselecteerde punten op unieke wijze een r-matching in Cn levert. Echter, we tellen nu een
aantal keer dubbel, aangezien er r manieren waren om dit ‘eerste’ punt te selecteren. In totaal geeft dit nr n−1−rr−1 r-matchings in Cn. Voor 1 6 r 6 bn2c zien we dat
p(Cn, r) = n r n − 1 − r r − 1 = n r (n − 1 − r)! (r − 1)!(n − 2r)! = n (n − 1 − r)! r!(n − 2r)! = n n − r n − r r ; aangezien deze uitdrukking ook correct is voor r = 0, volgt
µ(Cn, x) = bn/2c X r=0 (−1)r n n − r n − r r xn−2r. (2.6)
Voorbeeld 2.2.8. Zij Kn de complete graaf op n punten: hier geldt dat ij ∈ E(Kn) voor
alle 1 6 i < j 6 n. Merk op dat een r-matching M in Kn is op te vatten als een perfecte
matching in een door de M -verzadigde punten ge¨ınduceerde deelgraaf K2r van Kn. Omdat er n
2r manieren zijn om deze 2r punten te selecteren, volgt dat p(Kn, r) = n
2rp(K2r, r). We
tellen dus het aantal perfecte matchings in K2r. Zo een matching wordt verkregen door de 2r
punten te ordenen en het 2j − 1’de met het 2j’de punt te matchen voor 1 6 j 6 r. Omdat zowel de volgorde van de r koppels als de volgorde binnen de koppels niet uitmaakt, wordt elke matching gegenereerd door 2rr! ordeningen, waaruit volgt dat p(K
2r, r) = (2r)!2rr!, zodat p(Kn, r) = n 2r p(K2r, r) = n 2r (2r)! 2rr! = n! 2r(n − 2r)!r!.
Dit invullen in de definitie van µ geeft µ(Kn, x) = bn/2c X r=0 (−1)r n! 2r(n − 2r)!r!x n−2r. (2.7)
Voorbeeld 2.2.9. Zij Kn,n = (X ∪ Y, E) de compleet bipartiete graaf waarvan beide
kleur-klassen X en Y n punten bevatten: dus xy ∈ E(Kn,n) voor alle x ∈ X, y ∈ Y . Dan kan elke
r-matching in Kn,n worden gecre¨eerd door r punten uit beide kleurklassen te selecteren,
waar-voor nr2 mogelijkheden zijn, en voor de r geselecteerde punten uit X te specificeren met welk punt uit Y deze wordt gekoppeld, wat nog eens r! mogelijkheden geeft. Deze procedure geeft aanleiding tot een unieke matching. Dus p(Kn,n, r) = nr
2
r!, waarmee we zien dat µ(Kn,n, x) = n X r=0 (−1)rn r 2 r!x2n−2r. (2.8)
Voor acyclische grafen kunnen we µ ook op een andere manier berekenen: het matchingpoly-noom van een acyclische graaf G is namelijk gelijk aan haar karakteristieke polymatchingpoly-noom.
Definitie 2.2.10. Herlabel V (G) voor een gegeven graaf G tot V (G) = [n]. Dan defini¨eren we de verbindingsmatrix A(G) ∈ {0, 1}n×n door
(A(G))ij = (
1 als ij ∈ E(G); 0 als ij 6∈ E(G).
Opmerking 2.2.11. Merk op dat A(G) niet uniek is bepaald voor klassen van isomorfe grafen, maar wel na eventuele permutatie van de punten (dezelfde permutatie als die ge¨ınduceerd door de isomorfie). Meer precies, als G ∼= G0, dan met P de permutatiematrix ge¨ınduceerd door de isomorfie (als i ∈ V (G) op j ∈ V (G0) wordt afgebeeld, dan Pij = 1), P A(G0)PT = A(G).
Aangezien het karakteristiek polynoom van een matrix invariant is onder gelijkvormigheidstrans-formaties, is de onderstaande definitie een goede definitie.
Definitie 2.2.12 (Karakteristieke polynomen). Het karakteristieke polynoom φ van een graaf G is gedefinieerd als het karakteristieke polynoom van zijn verbindingsmatrix:
φ(G, x) := det(xI − A(G)). (2.9)
Voor een bewijs van de volgende stelling verwijzen we naar [5]. Stelling 2.2.13. Indien G acyclisch is, geldt dat φ(G, x) = µ(G, x).
We bewijzen nu een stelling waarmee het matchingpolynoom van een graaf uitgedrukt kan worden in die van kleinere grafen. Door terug te werken tot we in een klasse van grafen zitten waarvoor we het matchingpolynoom reeds berekend hebben, kan het matchingpolynoom van een willekeurige graaf recursief berekend worden.
We defini¨eren de disjuncte vereniging van G en H als G ∪ H := (V (G) ∪ V (H), E(G) ∪ E(H)), waar we veronderstellen dat V (G) ∩ V (H) = ∅ (herlabel indien niet aan deze eis is voldaan). Stelling 2.2.14. Zij G, H grafen. Dan gelden de volgende identiteiten:
(a) µ(G ∪ H, x) = µ(G, x)µ(H, x),
(b) µ(G, x) = µ(G − e, x) − µ(G − {u, v}, x), waar e = uv ∈ E(G), (c) µ(G, x) = xµ(G − u, x) −X v↔u µ(G − {u, v}, x), waar u ∈ V (G), (d) d dxµ(G, x) = X v∈V (G) µ(G − v, x). Bewijs.
(a) Noteer n = n(G), m = n(H). Aangezien V (G), V (H) onafhankelijke verzamelingen in G ∪ H zijn, bestaat elke r-matching in G ∪ H uit een k-matching in G een (r − k)-matching in H voor een 0 6 k 6 r. Dit betekent dat p(G ∪ H, r) = Pr
k=0p(G, k)p(H, r − k). Dit invullen in µ(G ∪ H, x) levert µ(G ∪ H, x) = bn+m 2 c X r=0 (−1)rp(G ∪ H, r)xn+m−2r = bn+m 2 c X r=0 (−1)r r X k=0 p(G, k)p(H, r − k)xn+m−2r = bn+m 2 c X r=0 r X k=0 (−1)kp(G, k)xn−2k(−1)r−kp(H, r − k)xm−2(r−k) = bn/2c X r=0 (−1)rp(G, r)xn−2r bm/2c X r=0 (−1)rp(H, r)xm−2r = µ(G, x)µ(H, x).
(b) Om een r-matching in G te krijgen, kunnen we e gebruiken, ´of we kunnen e ontwijken. In het eerste geval induceert onze r-matching een (r − 1)-matching in G − {u, v}, terwijl in het tweede geval onze r-matching een r-matching in G − e induceert. Dit levert p(G, r) = p(G − {u, v}, r − 1) + p(G − e, r) voor alle r > 0 (p(G, r) = 0 voor r /∈ N0). Dit geeft
µ(G, x) = bn/2c X r=0 (−1)rp(G, r)xn−2r = bn/2c X r=0 (−1)rp(G − {u, v}, r − 1) + p(G − e, r)xn−2r = bn/2c X r=1 (−1)rp(G − {u, v}, r − 1)xn−2r+ bn/2c X r=0 (−1)rp(G − e, r)xn−2r (∗) = bn−2 2 c X r=0 (−1)r+1p(G − {u, v}, r)xn−2−2r+ bn/2c X r=0 (−1)rp(G − e, r)xn−2r = µ(G − e, x) − µ(G − {u, v}, x),
waar we in (∗) in de eerste sommatie de substitutie r 7→ r + 1 toepassen.
(c) Opnieuw zijn er twee manieren om een r-matching te cre¨eren: we kunnen u ∈ V (G) gebruiken, in welk geval we een lijn uv meenemen in onze matching, en onze matching in ´e´en-op-´e´en verband staat met een (r − 1)-matching in G − {u, v}; of we kunnen u ontwijken, in welk geval onze matching in een ´e´en-op-´e´en verband staat met een r-matching in G − u. Sommeren we over alle mogelijke lijnen die u kunnen verzadigen, dan vinden we p(G, r) = p(G − u, r) +P
v↔up(G − {u, v}, r − 1). Dit geeft
µ(G, x) = bn/2c X r=0 (−1)rp(G, r)xn−2r = bn/2c X r=0 (−1)rp(G − u, r) +X v↔u p(G − {u, v}, r − 1)xn−2r = bn/2c X r=0 (−1)rp(G − u, r)xn−2r+X v↔u bn/2c X r=1 (−1)rp(G − {u, v}, r − 1)xn−2r (∗) = bn−1 2 c X r=0 (−1)rp(G − u, r)x · xn−1−2r+X v↔u bn−2 2 c X r=0 (−1)r+1p(G − {u, v}, r)xn−2−2r = xµ(G − u, x) − X v↔u µ(G − {u, v}, x),
waar gelijkheid tussen de eerste termen in (∗) volgt omdat voor n even er geen perfecte matching in G − u bestaat, en tussen de tweede door de substitutie r 7→ r + 1.
(d) We berekenen d dxµ(G, x) = bn−1 2 c X r=0 (−1)rp(G, r)(n − 2r)xn−1−2r, (2.10)
en bekijken de co¨effici¨ent (−1)rp(G, r)(n − 2r) van xn−1−2r. Merk op dat p(G, r)(n − 2r) gelijk is aan het aantal manieren om eerst een r-matching (p(G, r) mogelijkheden), en vervolgens een punt onverzadigd door deze r-matching (n − 2r mogelijkheden) te kiezen. Draaien we de keuzevolgorde om, dan is dit hetzelfde als het aantal manieren tellen om een v ∈ V (G) te verwijderen, om vervolgens een r-matching in G − v te kiezen, zodat p(G, r)(n − 2r) =P
v∈V (G)p(G − v, r). Dit invullen in (2.10) geeft dan
d dxµ(G, x) = X v∈V (G) bn−1 2 c X r=0 (−1)rp(G − v, r)xn−1−2r = X v∈V (G) µ(G − v, x).
Voor bepaalde klassen van grafen kunnen we Stelling 2.2.14 zo gebruiken dat we bij het terug-voeren naar kleinere grafen binnen de klasse van grafen blijven, zoals onderstaand voorbeeld, en in het bijzonder in Paragraaf 2.4, laat zien.
Voorbeeld 2.2.15. We bepalen een recursieve relatie voor algemene compleet bipartiete grafen Kn,m, waarbij dus niet noodzakelijk geldt dat n = m, zoals in Voorbeeld 2.2.9. Bekijk nu Kn,m,
met kleurklassen X en Y van grootte n en m, respectievelijk. Verwijderen we een punt uit X, dan vinden we met behulp van Stelling 2.2.14(c) dat
µ(Kn,m, x) = xµ(Kn−1,m, x) − mµ(Kn−1,m−1, x). (2.11)
We krijgen een analoog resultaat door een punt uit Y te verwijderen. De recursie (2.11) kan worden gebruikt om µ(Kn,m, x) te berekenen voor willekeurige n, m > 1, omdat we hebben
afgesproken dat µ(K1,0, x) = µ(K0,1, x) = x en µ(K0,0, x) = 1.
2.3 Dualiteit en matchingpolynomen
In deze paragraaf defini¨eren we dualiteit, waarna we het klassieke bewijs geven van de duali-teitsstelling van Godsil. We bewijzen deze stelling, inclusief een aantal veralgemeniseringen, in Hoofdstuk 4 opnieuw via een heel andere methode.
Definitie 2.3.1. Wij zullen met het begrip dualiteit verwijzen naar relaties tussen de (tekenloze) matchingpolynomen van een graaf G en die van haar complement G.
Laten wij noteren pm(G) := p(G, n(G)/2) voor het aantal perfecte matchings in G. Als opstap naar dualiteitsrelaties bekijken we relaties tussen het aantal perfecte matchings van een graaf en haar complement. Aangezien pm(G) gelijk is aan de constante co¨effici¨ent in µ(G, x), kunnen wij dergelijke relaties zien als dualiteitsrelaties van een co¨effici¨ent van het matchingpolynoom. Lemma 2.3.2. Zij G een graaf met complement G. Veronderstel dat e = uv ∈ E(G). Dan geldt
pm(G) = pm(G − e) − pm(G − {u, v}).
Bewijs. Merk op dat e ∈ E(G − e). Een perfecte matching in G − e bevat ´of e wel, in welk geval de perfecte matching in ´e´en-op-´e´en verband staat met een perfecte matching in G − {u, v}; ´of bevat e niet, in welk geval de perfecte matching in ´e´en-op-´e´en verband staat met een perfecte matching in G. Hieruit volgt pm(G − e) = pm(G) + pm(G − {u, v}).
Lemma 2.3.3. Er geldt pm(Kn) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ xne−x2/2 dx =: In.
Bewijs. Uit Voorbeeld 2.2.8 weten we dat pm(K2r) = p(K2r, r) = (2r)!2rr! = (2r − 1)(2r − 3) · · · 1,
terwijl duidelijk is dat pm(K2r+1) = 0. Parti¨ele integratie met u0 = xn en v = e−x
2/2 geeft 1 √ 2π Z ∞ −∞ xne−x2/2 dx = 1 √ 2π 1 n + 1x n+1e−x2/2∞ −∞ + 1 n + 1 1 √ 2π Z ∞ −∞ xn+2e−x2/2 dx. De eerste term is gelijk aan 0, zodat In = In+2/(n + 1). Het is duidelijk dat I0 = 1, I1 = 0,
zodat voor alle r > 0, I2r+1= 0 = pm(K2r+1) en I2r = (2r − 1)(2r − 3) · · · 1 = pm(K2r).
We komen nu aan bij onze eerste belangrijke dualiteitsrelatie, zie [4]. Stelling 2.3.4. Zij G een graaf. Dan geldt
µ(G, 0) = pm(G) = √1 2π
Z ∞
−∞
e−x2/2µ(G, x) dx.
Bewijs. Het bewijs gaat per inductie op e(G). Wanneer e(G) = 0 geldt G = ([n], ∅) voor zekere n ∈ N, zodat G = Kn en µ(G, x) = xn: de basisstap volgt uit Lemma 2.3.3. Veronderstel nu
dat de stelling correct is voor elke 0 6 l 6 k voor een 0 6 k, en dat e(G) = k + 1. Schrijf I(G) voor de integraaluitdrukking in de stelling. Aangezien e(G) = k + 1 > 1, bestaat er een lijn e = uv ∈ E(G). Uit Stelling 2.2.14(b) weten we dat µ(G, x) = µ(G − e, x) − µ(G − {u, v}, x), zodat uit lineariteit van de integraal volgt dat I(G) = I(G−e)−I(G−{u, v}). Omdat zowel G−e als G − {u, v} hoogstens k lijnen bevatten, geeft de inductiehypothese dat pm(G − e) = I(G − e) en pm(G − {u, v}) = I(G − {u, v}). Omdat G − {u, v} = G − {u, v} volgt nu uit Lemma 2.3.2 dat
I(G) = I(G − e) − I(G − {u, v}) = pm(G − e) − pm(G − {u, v}) = pm(G). We zijn nu in de positie om een dualiteitsrelatie van Godsil te bewijzen.
Stelling 2.3.5 (Godsil). Zij G een graaf. Noteer n := n(G). Dan geldt
µ(G, x) = n X r=0 p G,n − r 2 µ(Kr, x) = bn/2c X r=0 p(G, r)µ(Kn−2r, x),
waarbij we afspreken dat p(G, k) := 0 indien k /∈ N0.
Bewijs. Aangezien een matchingpolynoom van een graaf op n punten monisch en van graad n is, volgt Pn = span{µ(Kj, x) : 0 6 j 6 n}. Expansie van µ(G, x) t.o.v. deze basis geeft voor
zekere co¨effici¨enten cr
µ(G, x) = n X r=0 crµ(Kr, x). (2.12) Definieer nu op P = S
n∈N0Pn het inproduct hu, viw =
R∞
−∞u(x)v(x)w(x) dx, met w de
standaard normale dichtheid. We willen de co¨ordinaten cr in de expansie 2.12 bepalen; hiertoe
leiden we eerst een bepaalde orthogonaliteitsrelatie m.b.t. h·, ·iw af. Welnu, omdat een
r-matching in een bipartiete graaf G0 precies r punten uit beide kleurklassen verzadigd, kan er enkel een perfecte matching in G0 bestaan indien G0 = Kn,n, zodat pm(Kn,n) = n! en
pm(Kn,m) = 0 voor n 6= m; zie ook Voorbeeld 2.2.9. Merk verder op dat Kn∪ Km = Kn,m.
Combineren we dit met Stellingen 2.2.14(a) en 2.3.4, dan zien we dat 1 √ 2π Z ∞ −∞ e−x2/2µ(Kn, x)µ(Km, x) dx = pm(Kn,m) = ( n! als n = m; 0 anders. (2.13)
Met behulp van (2.12) en (2.13) zien we dat
hµ(G, x), µ(Kr, x)iw = crr!. (2.14)
Uit Stellingen 2.2.14(a) en 2.3.4 volgt tevens dat
hµ(G, x), µ(Kr, x)iw= pm(G ∪ Kr). (2.15)
Merk nu op dat een perfecte matching in G ∪ Kr verkregen kan worden door de r punten van
Kr te koppelen met r punten uit V (G), plus nog een n(G)−r2 -matching in G. Zodra wij een n(G)−r
2 -matching in G gekozen hebben, ligt de matching in G ∪ Krvast op ordening van punten
uit V (Kr) na. Dus
pm(G ∪ Kr) = p G,n − r 2 r!. (2.16)
Uit vergelijkingen (2.14)-(2.16) volgt nu dat cr= p G,n−r2 . Dit invullen in (2.12) geeft dan
de eerste gelijkheid uit de stelling. De tweede gelijkheid volgt door de substitutie r 7→ n−2r. Opmerking 2.3.6. Door in de relatie uit Stelling 2.3.5 in plaats van G juist G in te vullen, verkrijgen we, gebruikmakend van G = G, de equivalente dualiteitsrelatie
µ(G, x) =
bn/2c
X
r=0
p(G, m)µ(Kn−2r, x). (2.17)
2.4 Orthogonale polynomen en matchingpolynomen
In deze paragraaf gaan we matchingpolynomen van paden, cykels, complete grafen en compleet bipartiete grafen nader bekijken, waarbij we zullen zien dat zij bekende families van orthogonale polynomen vormen. Voor de definities van deze families orthogonale polynomen volgen we [10]. Definitie 2.4.1. Zij gegeven een inproduct op de ruimte van polynomen P := S
n∈N0Pn van de vorm hp, qiw := Z R pq dµ = Z ∞ −∞ w(x)p(x)q(x) dx, (2.18)
waar µ = wλ voor een niet-negatieve functie w met xnw ∈ L(λ) en hxn, xniw 6= 0 voor alle
n ∈ N0, met λ de Lebesguemaat op R. Dan noemen we een rij (pn)n∈N0 ⊂ P gedefinieerd door
de relatie deg pn = n en hpn, pmiw = 0 voor n 6= m een familie van orthogonale polynomen
m.b.t. w. In (2.18) volgt de tweede gelijkheid enkel indien de Riemannintegraal bestaat, dus zeker indien w eindig veel discontinu¨ıteiten heeft.
Opmerking 2.4.2. Definitie 2.4.1 is ook van toepassing wanneer we over een meetbare ∅ 6= A ∈ B(R) willen integreren: neem w = 1Aw met supp( ˆˆ w) ⊃ A en xnw ∈ L(λ).ˆ
Opmerking 2.4.3. Een familie (pn)n∈N0 van orthogonale polynomen m.b.t. w is slechts uniek
bepaald op scalaire vermeningvuldiging van pn na. Wij kunnen een unieke rij verkrijgen door
bijvoorbeeld te vereisen dat de polynomen monisch zijn, norm 1 hebben, of verkregen zijn door toepassing van Gram-Schmidt op de standaardbasis {xn: n ∈ N0} van P.
Allereerst is het interessant om op te merken dat alle nulpunten van een stelsel orthogonale polynomen enkelvoudig en re¨eel zijn, indien de gewichtsfunctie van de vorm w = 1(a,b)w is,ˆ a < b, a, b ∈ R ∪ {±∞}, met ˆw continu; zie de volgende stelling. Wij zullen in dit hoofdstuk zien dat de matchingpolynomen van paden, cykels, complete grafen en compleet bipartiete grafen orthogonale polynomen m.b.t. een inproduct van deze vorm zijn, zodat hun nulpunten enkelvoudig en re¨eel zijn. In Hoofdstuk 4 zullen wij zien dat voor elk matchingpolynoom de nulpunten re¨eel zijn. Het bewijs van de volgende stelling is ge¨ınspireerd door [12, Stelling 9.4]. Propositie 2.4.4. Zij (pn)n∈N0 een familie van orthogonale polynomen m.b.t. een
gewichts-functie van de vorm w = 1(a,b)w, met ˆˆ w continu, waarbij mogelijk a = −∞, b = ∞. Dan heeft
pn exact n enkelvoudige nulpunten op (a, b).
Bewijs. Zij {ξi : 1 6 i 6 k} ⊂ (a, b) de verzameling punten waar pnvan teken wisselt. Aangezien
deg pn= n, volgt uit orthogonaliteit hpn, p0iw = hpn, 1iw = 0 dat
Z b
a
w(x)pn(x) dx = 0,
zodat uit (1) continu¨ıteit van w op (a, b), en (2) λ{w 6= 0} > 0, volgt dat pn minstens eenmaal
van teken wisselt op (a, b). Definieer nu π(x) :=Qk
i=1(x − ξi); wij zien dat pn(x)π(x) niet van
teken wisselt op (a, b), zodat
Z b
a
w(x)pn(x)π(x) dx 6= 0.
Omdat pn ⊥ span{p0, . . . , pn−1} = Pn−1, volgt k = deg π > deg pn = n. Omdat een polynoom
van graad n hoogstens n verschillende nulpunten heeft, zien we k 6 n. Dus, k = n.
Als eerst zullen wij kijken naar de familie van Hermitepolynomen, welke verband houden met matchingpolynomen van complete grafen Kn.
Definitie 2.4.5. Wij defini¨eren Hermitepolynomen als een familie van orthogonale polynomen m.b.t. de standaard normale dichtheid w(x) = √1
2πe −x2/2
.
Tabel 2.1: De Hermitepolynomen voor 0 6 n 6 5
n Hn 0 1 1 x 2 x2− 1 3 x3− 3x 4 x4− 6x2+ 3 5 x5− 10x3+ 15x
Ter illustratie zijn de eerste 6 (dus voor 0 6 n 6 5) Hermitepolynomen gegeven in Tabel 2.1 en Figuur 2.1.
Propositie 2.4.6. De familie (Hn)n∈N0 gegeven door
Hn(x) := (−1)nex
2/2 dn
dxne −x2/2
(2.19) vormt een familie van Hermitepolynomen met hHn(x), Hn(x)iw = n!. Zij voldoen aan
Hn+1(x) = xHn(x) − nHn−1(x). (2.20)
Bewijs. Zij m < n. We controleren de eerste bewering door n keer parti¨eel te integreren: hHm, Hniw= 1 √ 2π Z ∞ −∞ Hm(x)Hn(x)e−x 2/2 dx = (−1)n√1 2π Z ∞ −∞ Hm(x) dn dxn h e−x2/2 i ex2/2e−x2/2 dx = (−1)m+n√1 2π Z ∞ −∞ dn dxn[Hm(x)] e −x2/2 dx(∗)= 0,
waar we gebruiken voor q ∈ P geldt h
q(x)e−x2/2 i∞
−∞. Verder volgt (∗) omdat deg Hm = m en
n > m. Een analoge berekening laat zien dat hHn, Hniw = n!, omdat d
n
dxnHn(x) = cn!, met c de
kopco¨effici¨ent van Hn. We zien eenvoudig in dat c = 1, omdat we in d
n
dxne−x 2/2
enkel op een n’de graads polynomiale factor uitkomen door n maal de exponenti¨ele factor af te leiden wanneer wij de productregel toepassen. Omdat de polynomen (−1)nex2/2 ddxnne−x
2/2
orthogonaal zijn en norm (n!)1/26= 0 hebben, vormen zij een familie van Hermitepolynomen.
Voor het tweede deel van de stelling berekenen we Hn0(x) = (−1)nxex2/2 d n dxne −x2/2 + (−1)nex2/2 d n+1 dxn+1e −x2/2 = xHn(x) − Hn+1(x) = (−1)nxex2/2 d n dxne −x2/2 + (−1)nex2/2 d n dxn h −xe−x2/2i = (−1)nxex2/2 d n dxne −x2/2 + (−1)nex2/2 n X k=0 n k dk dxk(−x) dn−k dxn−ke −x2/2
= (−1)nxex2/2 d n dxne −x2/2 + (−1)nex2/2· −x d n dxne −x2/2 + n(−1)n+1ex2/2 d n−1 dxn−1e −x2/2 (dxdkkx = 0 voor k > 2) = nHn−1(x).
Opmerking 2.4.7. Voor alle families van orthogonale polynomen kunnen we een tweede-orde recursieve relatie vinden als in (2.20). Meer precies, we kunnen voor elke familie van orthogonale polynomen (pn)n∈N0 een recursieve relatie vinden met xpn(x) = anpn+1(x)+bnpn(x)+cnpn−1(x)
voor n ∈ N, met randvoorwaarde xp0(x) = a0p1(x) + b0p0(x). Voor een bewijs, zie [10, Stelling
7.3.1]. Vergelijken we een dergelijke recursie met de recursie die wij uit Stelling 2.2.14(c) kunnen verkrijgen, dan zien wij dat het redelijk is om onder speciale klassen van grafen een verband te verwachten tussen de relevante matchingpolynomen en families van orthogonale polynomen. Stelling 2.4.8. Voor alle n ∈ N0 geldt µ(Kn, x) = Hn(x) = (−1)nex
2/2 dn
dxne−x 2/2
.
Bewijs. Wij hebben in (2.13) gezien dat (µ(Kn, x))n∈N0 een familie orthogonale polynomen
m.b.t. w(x) = √1 2πe
x2/2 vormt, zodat (µ(K
n, x)) ∝ Hn(x), voor alle n ∈ N0. Omdat tevens
hµ(Kn, x), µ(Kn, x)iw = n! = hHn(x), Hn(x)iw, volgt zelfs µ(Kn, x) = (−1)nex
2/2 dn
dxne−x 2/2
. Combineren wij voorgaande stelling met Voorbeeld 2.2.8, dan verkijgen we de volgende uit-drukking voor de Hermitepolynomen Hn:
Hn(x) = bn/2c X r=0 (−1)r n! 2r(n − 2r)!r!x n−2r. (2.21)
Wij zullen nu twee types Chebyshev-polynomen bekijken, welke verband houden met de matchingpolynomen van cykels Cn(eerste type) en paden Pn (tweede type).
Definitie 2.4.9. Wij defini¨eren Chebyshev-polynomen van het eerste type als een familie van or-thogonale polynomen m.b.t. de gewichtsfunctie w(x) = 1(−1,1)(x)√ 1
1−x2. Wij schrijven (Tn)n∈N0
voor het stelsel van polynomen op (−1, 1) gedefini¨eerd door Tn(x) = cos(n cos−1(x)).
Tabel 2.2: De Chebyshev-polynomen van beide types voor 0 6 n 6 5
n Tn Un 0 1 1 1 x 2x 2 2x2− 1 4x2− 1 3 4x3− 3x 8x3− 4x 4 8x4− 8x2+ 1 16x4− 12x2+ 1 5 16x5− 20x3+ 5x 32x5− 32x3+ 6x
Ter illustratie zijn de eerste 6 Chebyshev-polynomen van het eerste type gegeven in Tabel 2.2 en Figuur 2.2.
Propositie 2.4.10. Voor de familie (Tn)n∈N0 geldt het volgende:
(a) Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x) voor n ∈ N, met T0 ≡ 1, T1(x) = x;
(b) (Tn)n∈N0 vormt een familie van orthogonale polynomen m.b.t. w(x) = 1(−1,1)(x)
1 √
1−x2.
Bewijs. We volgen het idee uit [12, pp. 241-242, 263-264].
(a) De uitdrukkingen voor T0en T1volgen direct uit de definitie. Voor de recursie substitueren
we θ = cos−1(x), x ∈ (−1, 1) in de volgende variant van de optelformule voor de cosinus: 2 cos(θ) cos(nθ) = cos((n + 1)θ) + cos((n − 1)θ).
(b) Orthogonaliteit van de functies Tncontroleren we door middel van de volgende berekening
hTn, Tmiw = Z 1 −1 1 √ 1 − x2cos(m cos −1x) cos(n cos−1x) dx = Z 0 π
− cos(nt) cos(mt) dt (t = cos−1(x), dt = √−dx
1−x2) = 1 2 Z π 0 [cos((n + m)t) + cos((n − m)t)] dt = ( π 2 als n = m; 0 als n 6= m.
Omdat T0(x) ≡ 1 en T1(x) = x, volgt uit de recursie uit (a) dat Tn een polynoom van
graad n is voor alle n ∈ N0, met kopco¨effici¨ent 2n−1, voor n > 1.
Stelling 2.4.11. Er geldt dat µ(Cn, 2x) = 2Tn(x) voor alle n ∈ N.
Bewijs. Zij n > 1, en bekijk Pn+1. Neem een blad v in Pn+1. Dan geeft Stelling 2.2.14(c) dat
Passen wij nu voor n > 3 Stelling 2.2.14(b) toe op Cn, dan zien wij tevens dat
µ(Cn, x) = µ(Pn, x) − µ(Pn−2, x). (2.23)
Veronderstel dat n > 3. We vinden een recursie voor µ(Cn, x) middels de volgende berekening
µ(Cn+1, x) (2.23) = µ(Pn+1, x) − µ(Pn−1, x) (2.22) = xµ(Pn, x) − µ(Pn−1, x) − xµ(Pn−2, x) + µ(Pn−3, x) (2.23) = xµ(Cn, x) − µ(Cn−1, x). (2.24)
Uit Voorbeeld 2.2.7 zien we dat de recursie ook correct is voor n = 2; herinner dat we in Voorbeeld 2.2.7 hebben afgesproken dat C2 twee lijnen heeft. Door in (2.24) 2x te substitueren,
krijgen we precies de recursie uit Propositie 2.4.10, voor n > 2. Omdat de stelling tevens geldt in de randvoorwaarden n = 1 en n = 2 (namelijk µ(C1, 2x) = 2x = 2T1(x), µ(C2, 2x) = 4x2− 2 =
2T2(x)), volgt dat de stelling correct is voor alle n ∈ N.
Combineren wij voorgaande stelling met Voorbeeld 2.2.7, dan verkijgen we de volgende uit-drukking, geldig voor n ∈ N, voor de Chebyshev-polynomen van het eerste type Tn:
Tn(x) = bn/2c X r=0 (−1)r2n−2r−1 n n − r n − r r xn−2r. (2.25)
Definitie 2.4.12. Wij defini¨eren Chebyshev-polynomen van het tweede type als een familie van orthogonale polynomen m.b.t. de gewichtsfunctie w(x) = 1(−1,1)(x)√1 − x2. Wij schrijven
(Un)n∈N0 voor het stelsel van polynomen op (−1, 1) gedefini¨eerd voor n ∈ N0 door
Un(x) =
sin((n + 1) cos−1(x)) sin(cos−1(x)) .
Ter illustratie zijn de eerste 6 Chebyshev-polynomen van het tweede type gegeven in Tabel 2.2 en Figuur 2.3.
Propositie 2.4.13. Voor familie (Un)n∈N0 geldt het volgende:
(a) Un+1(x) = 2xUn(x) − Un−1(x) voor n ∈ N, met U0≡ 1, U1(x) = 2x;
(b) (Un)n∈N0 vormt een familie van orthogonale polynomen m.b.t. w(x) = 1(−1,1)(x)
√ 1 − x2.
Bewijs. Het bewijs verloopt analoog als die van Propositie 2.4.10 voor Chebyshev-polynomen van het eerste type.
(a) De uitdrukkingen voor U0 en U1 volgen direct uit de definitie, waarbij we voor U1 de
ver-dubbelingsformule sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) gebruiken. Door substitutie van θ = cos−1(x), x ∈ (−1, 1), in de identiteiten sin((n + 2)θ) = sin((n + 1)θ) cos(θ) + sin(θ) cos((n + 1)θ) en 2 sin(θ) cos((n + 1)θ) = sin((n + 2)θ) − sin((n)θ) verkrijgen we, respectievelijk,
Un+1(x) = xUn(x) + Tn+1(x),
2Tn+1(x) = Un+1(x) − Un−1(x).
We substitueren de tweede relatie in de eerste, en verkrijgen (a).
(b) Orthogonaliteit van de functies Un controleren we door middel van de berekening
hUn, Umiw = Z 1 −1 p 1 − x2sin((n + 1) cos −1(x)) sin(cos−1(x)) sin((m + 1) cos−1(x)) sin(cos−1(x)) dx = Z 0 π −sin 2(t)
sin2(t)sin((n + 1)t) sin((m + 1)t) dt (t = cos
−1(x), dt = √−dx 1−x2) = 1 2 Z π 0 [cos((n − m)t) − cos((n + m + 2)t)] dt = ( π 2 als n = m; 0 als n 6= m.
Omdat U0(x) ≡ 1 en U1(x) = 2x, volgt uit de recursie uit (a) dat Un een polynoom van
graad n is met kopco¨effici¨ent 2n voor alle n ∈ N0.
Stelling 2.4.14. Er geldt dat µ(Pn, 2x) = Un(x) voor alle n ∈ N.
Bewijs. We zien uit (2.22) en Stelling 2.4.13(a) dat µ(Pn, 2x) en Un(x) aan dezelfde recursie
voldoen; gelijkheid in de randvoorwaarden n = 0 en n = 1 geeft de stelling voor alle n ∈ N0.
Combineren wij voorgaande stelling met Voorbeeld 2.2.6, dan verkijgen we de volgende uit-drukking voor de Chebyshev-polynomen van het tweede type Un:
Un(x) = bn/2c X r=0 (−1)r2n−2rn − r r xn−2r. (2.26)
Als laatst zullen wij nu de Laguerrepolynomen bekijken, welke verband houden met de mat-chingpolynomen van compleet bipartiete grafen Kn,n.
Definitie 2.4.15. Wij defini¨eren Laguerrepolynomen als een familie van orthogonale polynomen m.b.t. de gewichtsfunctie w(x) = 1(0,∞)(x)e−x. Wij schrijven (Ln)n∈N0 voor de
Laguerrepoly-nomen gegeven door L0(x) = 1, L1(x) = 1 − x en voor n ∈ N
(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1 − x)Ln(x) − nLn−1(x). (2.27)
Opmerking 2.4.16. De familie (Ln)n∈N0 vormt inderdaaad een stelsel van Laguerrepolynomen;
de hier gegeven definitie is ´e´en van de klassieke definities, zie bijvoorbeeld [14].
Ter illustratie zijn de eerste 6 Laguerrepolynomen gegeven in Tabel 2.3 (samen met die van het eerste type) en Figuur 2.4.
Figuur 2.4: De grafiek van de eerste 6 Laguerrepolynomen
Tabel 2.3: De Laguerrepolynomen voor 0 6 n 6 5
n Ln 0 1 1 −x + 1 2 12(x2− 4x + 2) 3 16(−x3+ 9x2− 18x + 6) 4 241(x4− 16x3+ 72x2− 96x + 24) 5 1201 (−x5+ 25x4− 200x3+ 600x2− 600x + 120)
Stelling 2.4.17. Voor alle n ∈ N0 geldt µ(Kn,n, x) = (−1)nn!Ln(x2).
Bewijs. Omdat µ(Kn,n, x) een even polynoom van graad 2n is, kunnen we schrijven µ(Kn,n, x) =
Omdat voor n = 0 en n = 1 µ(Kn,n, x) en (−1)nn!Ln(x2) overeenkomen, zien we Pi = Li
voor i = 0, 1. We gaan een recursie zoeken voor µ(Kn,n, x) = (−1)nn!Pn(x2), en laten zien
dat Pn(x2) en Ln(x2) aan dezelfde tweede-orde recursieve relatie voldoen; uit gelijkheid in de
randvoorwaarden n = 0, 1 volgt dan dat Pn(x2) = Ln(x2) voor alle n ∈ N0.
Met Voorbeeld 2.2.15 zien we dat
µ(Kn+1,n+1, x) = xµ(Kn+1,n, x) − (n + 1)µ(Kn,n, x). (2.28)
Op dezelfde manier als in Voorbeeld 2.2.15 passen we Stelling 2.2.14(c) toe, waaruit we de volgende gelijkheden verkrijgen:
µ(Kn+1,n, x) = xµ(Kn,n, x) − nµ(Kn,n−1, x)
µ(Kn,n, x) = xµ(Kn,n−1, x) − nµ(Kn−1,n−1, x)
µ(Kn,n−1, x) =
1
x[µ(Kn,n, x) + nµ(Kn−1,n−1, x)] (schrijf voorgaande regel om) µ(Kn+1,n, x) = x −n x µ(Kn,n, x) − n2
x µ(Kn−1,n−1, x) (vul derde in eerste regel in) µ(Kn+1,n+1, x) = (x2− 2n − 1)µ(Kn,n, x) − n2µ(Kn−1,n−1, x), (2.29)
waar we (2.29) verkrijgen door de vierde regel in (2.28) in te vullen. Vul nu in (2.29) µ(Kn,n, x) =
(−1)nn!Pn(x2) in, deel door (−1)n+1n!, en we krijgen (2.27) met daarin x2 ingevuld.
Combineren wij voorgaande stelling met Voorbeeld 2.2.9, dan verkijgen we, na de substitutie r 7→ n − r, de volgende uitdrukking voor de Laguerrepolynomen Ln:
Ln(x2) = n X r=0 (−1)rn r 1 r!x 2r. (2.30)
Door√x in te vullen, en op te merken dat (2.30) geldig is op de gehele positieve re¨ele as, volgt
Ln(x) = n X r=0 (−1)rn r 1 r!x r. (2.31)
Opmerking 2.4.18. Op vergelijkbare wijze als voor de grafen Kn,n kunnen we voor de algemene
compleet bipartiete grafen Kn,m laten zien dat
µ(Kn,m, x) ∝ xn−mL(n−m)m (x2),
waar L(α)n het gegeneraliseerde Laguerrepolynoom is; zie bijvoorbeeld [7].
Opmerking 2.4.19. Niet elke familie van matchingpolynomen correspondeert met een familie van orthogonale polynomen. De eerste familie van matchingpolynomen die wij bekeken hebben, was de familie van lege grafen (Kn)n∈N0, met µ(Kn, x) = x
n. Deze familie van
matchingpoly-nomen correspondeert met de standaardbasis van P, maar het is evident dat deze familie geen familie van orthogonale polynomen vormt. Immers, dan zou voor de corresponderende gewichts-functie w en elke n ∈ N0 moeten gelden dat 0 = hxn, xn+2iw= hxn+1, xn+1iw, zodat xn+1 norm
3 Algebra’s van genererende functies
3.1 Introductie
In dit hoofdstuk slaan we een andere, minder directe weg in dan in vorig hoofdstuk. Waar wij in vorig hoofdstuk eigenschappen van matchingpolynomen veelal hebben bewezen door directe telargumenten en door argumenten berustend op het verwijderen van een punt of lijn uit de graaf (zie Stelling 2.2.14), zullen wij nu een algebra¨ısche aanpak ontwikkelen.
Herinner dat alle informatie over het aantal matchings van een graaf G bevat is in de co¨effici¨enten van µ(G, x). Zoals wij reeds in het voorgaande hoofdstuk benoemd hebben, is het in de eerste instantie niet de bedoeling om µ(G, x) te beschouwen als een afbeelding C → C, maar juist als een algebra¨ısch object. Dit inzicht leidt tot het idee om de structuur van de ruimte waar µ(G, x) in ligt verder te onderzoeken. Deze ruimte is de ruimte van formele machtreeksen. Meer precies zullen wij de ruimte van genererende functies van functies P(V ) → R bekijken, met V = V (G) en R een commutatieve ring, en op deze ruimte rekenregels defini¨eren die zo zijn gekozen dat matchingpolynomen met eenvoudige genererende functies in R[V ] corresponderen. Het doel is om dualiteitsrelaties te zoeken door te rekenen binnen R[V ]. Deze aanpak blijkt bijzonder vruchtbaar te zijn: in het volgende hoofdstuk zullen we met behulp van R[V ] nieuwe bewijzen voor bestaande stellingen vinden en zullen we een aantal nieuwe dualiteitsstellingen bewijzen.
In Paragraaf 3.2 zullen wij de de ringen C[[z]] en C![[z]] defini¨eren. Deze dienen als opstapje naar de algebra die in Paragraaf 3.3 wordt gedefinieerd.
3.2 Formele machtreeksen en genererende functies
Voor de definities en basisresultaten over formele machtreeksen en genererende functies zoals gegeven in deze paragraaf volgen we [1, H2-3]. In de analyse worden machtreeksen bestudeerd, welke gezien kunnen worden als functies A : C → C welke zijn te schrijven als A(z) =P
n>0anzn
voor een rij co¨effici¨enten (an)n∈N0 ⊂ C. Indien an = 0 voor alle behalve eindig veel n, dan
noemen we A(z) ook wel een polynoom. Aangezien wij in de analyse A beschouwen als een functie, is het daar van belang dat deze oneindige reeks een eindige waarde aanneemt. Daarom is het van belang dat wij een convergentieradius specificeren: de grootste r zodat A(z) eindig is voor alle z ∈ B(0, r).
Wij zullen nu deze definitie veralgemeniseren naar een algebra¨ısch object, die wij niet be-schouwen als functie C → C. In veel gevallen kunnen wij dit algebra¨ısche object later alsnog beschouwen als een functie, maar dat is in de eerste instantie niet ons doel. Wij hoeven ons dan ook niet druk te maken over convergentie.
Definitie 3.2.1. Zij (an)n∈N0 ⊂ C. We noemen een uitdrukking van de vorm A(z) =
P
n>0anzn
een formele machtreeks met co¨effici¨enten an. Indien we in een uitdrukking co¨effici¨enten met een
negatieve index vinden, dan zal altijd bedoeld worden dat an = 0 voor n < 0. We schrijven
van alle formele reeksen over C. Indien an= 0 voor alle behalve eindig veel n, dan noemen we
A ook wel een polynoom. Hiermee vinden we een inbedding van de polynoomring C[z] in C[[z]]. Opmerking 3.2.2. Bovenstaande definitie en de resultaten die zullen volgen zijn geldig voor een willekeurig ander lichaam K. Meer algemeen kunnen wij zelfs werken met een commutatieve ring R, maar dan moeten wij voorzichtig zijn met het bestaan van inverses.
Definitie 3.2.3. Zij gegeven A(z) = P
n>0anzn, B(z) = Pn>0bnzn ∈ C[[z]], c ∈ C. Wij
defini¨eren scalaire vermenigvuldiging op C[[z]] door cA(z) := P
n>0canzn. Tevens defini¨eren
we optelling + en het Cauchyproduct · op C[[z]] door de gelijkheden
A(z) + B(z) :=X n>0 (an+ bn)zn, (3.1) A(z) · B(z) :=X n>0 n X k=0 akbn−k ! zn. (3.2)
Opmerking 3.2.4. Met scalaire vermenigvuldiging en optelling vormt C[[z]] een vectorruimte, terwijl met optelling en Cauchyproduct C[[z]] een domein vormt, met eenheid de machtreeks 1. Wij defini¨eren de reeksen exp en log naar analogie met de reeksontwikkelingen van de expo-nenti¨ele en de logaritmische functie die wij kennen uit de analyse.
Definitie 3.2.5. In C[[z]] defini¨eren we exp(z) :=X n>0 zn n!, (3.3) log(1 + z) :=X n>0 (−1)n−1z n n. (3.4)
Wij zullen nu in C[[z]] enkele identiteiten afleiden die bekend zijn uit de analyse. Hier wer-ken we met inverses: als A(z) · B(z) = 1, dan schrijven we B−1(z) := A(z) = B(z)1 . Te-vens zullen wij werken met samenstellingen van machtreeksen, gedefinieerd door A(B(z)) := P
n>0an(B(z))n. Hieronder zullen we werken met gegeneraliseerde binomiaalco¨effici¨enten,
ge-definieerd door nr := r(r−1)···(r−n+1)n! .
Stelling 3.2.6. In C[[z]] hebben wij de volgende identiteiten:
(a) X n>0 zn= 1 1 − z, (b) X n>0 (−1)nzn= 1 1 + z, (c) X n>0 r n zn= (1 + z)r voor r ∈ Z, (d) exp(log(z + 1)) − 1 = z. Bewijs.
(a) De gelijkheid volgt direct door het Cauchyproduct (1 − z)P
(b) Vul −z in in (a).
(c) Voor r > 0 is dit simpelweg het binomium van Newton, welke op volledig analoge wijze per inductie wordt bewezen als bij ‘gewone’ machtreeksen. Voor r < 0 merken wij op dat (1 + z)−m per definitie de inverse van (1 + z)m is; het komt er dus op aan ook de aan de linkerzijde van de vergelijking te laten zien datP
n>0 r nznde inverse is van P n>0 −r nzn
voor r < 0. Hiertoe berekenen we, met δij de Kronecker delta,
X n>0 r n zn ! X n>0 −r n zn ! =X n>0 n X k=0 r k −r n − k ! zn (∗)= X n>0 0 n zn=X n>0 δ0nzn,
waar we in (∗) de identiteit van Vandermonde toepassen.
(d) Het bewijs voor deze identiteit kost meer voorbereidend werk dan we hier willen tonen. Zie [1, §3.3] voor de details.
Definitie 3.2.7. Zij gegeven een rij f = (f (n))n∈N0 ⊂ C. We defini¨eren de genererende functie
F en de genererende functie van exponenti¨eel type ˆF van f als de formele machtreeksen
F (z) =X n>0 f (n)zn, (3.5) ˆ F (z) =X n>0 f (n)z n n!. (3.6)
We schrijven C[[z]] voor de ring van genererende functies, en C![[z]] voor de ring van genererende functies van exponenti¨eel type.
Opmerking 3.2.8. Van zowel F als ˆF uit bovenstaande definitie is de n’de co¨effici¨ent gelijk aan f (n). Merk in het bijzonder op dat de n! die voorkomt in de definitie van ˆF niet hoort bij de n’de co¨effici¨ent; de n’de co¨effici¨ent noemen we hier dan ook ‘de co¨effici¨ent van zn/n!’.
Als laatste geven we de definitie van afgeleides en integralen van formele machtreeksen. Er valt hier veel over te zeggen, maar we zullen enkel benoemen wat we zullen gebruiken.
Definitie 3.2.9. Gegeven een formele machtreeks F (z) =P
n>0anzn defini¨eren we de formele
afgeleide en de formele onbepaalde integraal van deze reeks door de machtreeksen F0(z) :=X n>1 nanzn−1, (3.7) Z X n>0 anzn dz := X n>0 an zn+1 n + 1 + C, (3.8)
waar C ∈ C. Merk op dat de formele onbepaalde integraal niet uniek bepaald is. Wij kunnen in deze context een variant van de stelling van Taylor bewijzen. Stelling 3.2.10. Gegeven variabelen z, a en een formele machtreeks F (z) =P
n>0bnzn, geldt de gelijkheid F (z + a) = exp d dza F (z), waar exp dzda de differentiaaloperator is gedefinieerd door Pn>0an
n! dn
Bewijs. We schrijven uit F (z + a) =X n>0 bn(z + a)n= X n>0 bn n X k=0 n k zn−kak !
(Binomium van Newton)
=X k>0 ak k! X n>k n! (n − k)!bnz n−k = X k>0 ak k!F (k)(z) = exp d dza F (z).
3.3 Algebra van genererende functies van Lass
We zijn nu klaar om de algebra van genererende functies van Lass te gaan bekijken, zie [11, §2]. Deze algebra is speciaal ontwikkeld om toe te passen op matchingpolynomen. Wij houden dus in ons achterhoofd dat G = (V, E) een graaf aangeeft.
Wij zullen in deze paragraaf de meeste definities en basisresultaten geven die wij in volgend hoofdstuk nodig zullen hebben wanneer wij gaan rekenen met deze algebra.
Definitie 3.3.1. Zij V een eindige verzameling, R een commutatieve ring, en zij f : P(V ) → R gegeven. We defini¨eren de genererende functie van Ff door
Ff(ν) :=
X
V0⊂V
f (V0)νV0, (3.9)
met de volgende regels:
ν∅ := 1, (3.10) νV0 · νV00 := νV0+V00, waarbij (3.11) V0+ V00:= ( V0∪ V00 als V0∩ V00= ∅, † als V0∩ V006= ∅, (3.12) † + V0 := † + † =: †, (3.13) ν†:= 0. (3.14)
Hierbij spreken we af dat optelling en het Cauchyproduct van genererende functies gaan als in C[[z]], waar we voor functies f, g : P (V ) → R hun product voor V0 ⊂ V defini¨eren door
(f g)(V0) := X
V00⊂V0
f (V00)f (V0− V00). (3.15)
Voor de resulterende algebra van genererende functies noteren we R[V ].
Stelling 3.3.2. Met de notatie als in Definitie 3.3.1 geldt dat R[V ] een commutatieve ring is. Tevens geldt, met V = {v1, . . . , vn} en R[v1, . . . , vn] de polynoomring in v1, . . . , vn, dat
R[V ] ∼= R[v1, . . . , vn]/(v12, . . . , vn2).
Bewijs. Uit het gegeven dat R een commutatieve ring is, volgt dat R[V ] dat ook is. Omdat uit Definitie 3.3.1 volgt dat νV0+V00 = 0 indien V0∩V006= ∅, zien wij dat alle termen met v2
i wegvallen.
Wij verkrijgen een isomorfisme φ : R[V ] → R[v1, . . . , vn]/(v21, . . . , v2n) door
P V0⊂V f (V0)νV 0 af te beelden op X {vi1,...,vil}⊂V f ({vi1, . . . , vil})vi1· · · vil mod (v 2 1, . . . , v2n).
Stelling 3.3.3. In R[V ] geldt de identiteit Ff g(ν) = Ff(ν)Fg(ν).
Bewijs. Met behulp van het Cauchyproduct rekenen we uit
Ff(ν)Fg(ν) = X V0⊂V X V00⊂V0 f (V00)g(V0− V00) ! νV0 (3.15)= Ff g(ν).
Naast het gebruikelijke Cauchyproduct zullen wij nog een ander type product op R[V ] nodig hebben.
Definitie 3.3.4. Wij defini¨eren het Hadamardproduct ∗ voor functies f, g : P(V ) → R door voor V0 ⊂ V te nemen
(f ∗ g)(V0) := f (V0)g(V0). (3.16)
Vervolgens defini¨eren we op R[V ]
Ff(ν) ∗ Fg(ν) := Ff ∗g(ν) =
X
V0⊂V
f (V0)g(V0)νV0. (3.17)
Wij zullen soms ge¨ınteresseerd zijn in wat er gebeurt als wij bijvoorbeeld −ν of 0 invullen in Ff. Hiervoor defini¨eren wij de substitutie tν in Ff.
Definitie 3.3.5. Zij gegeven t ∈ R, Ff ∈ R[V ], V0 ⊂ V . Dan defini¨eren we (tν)V
0
:= t|V0|νV0. Dit invullen in Ff levert vervolgens
Ff(tν) =
X
V0⊂V
f (V0)t|V0|νV0. (3.18)
We willen nu Definitie 3.3.1 generaliseren naar oneindige verzamelingen. Hiervoor hebben wij een bepaalde abstracte limietoperatie nodig.
Definitie 3.3.6. Zij gegeven een partieel geordende verzameling (I, 6), een familie (Ai)i∈I van
ringen, en een familie van homomorfismen (fij)i6j,i,j∈I met fij : Aj → Ai die de eigenschappen
fii= idAi en fik = fij ◦ fjk (i 6 j 6 k) hebben. Dan defini¨eren we de inverse limiet A van het
systeem ((Ai)i∈I, (fij)i6j∈I) door
A = lim←− i∈I Ai := ( (ai)i∈I ∈ Y i∈I Ai : ai = fij(aj) voor alle i 6 j ∈ I ) .
Definitie 3.3.7. Veronderstel nu dat V aftelbaar oneindig is. Laten wij noteren F (V ) := {V0 ∈ P(V ) : |V0| ∈ N0} met parti¨ele ordening ⊂. Dan voldoen voor V00⊂ V0 de canonieke projecties
pV00,V0 : R[V0] → R[V00] (waarbij in een pV00,V0(Ff(V0)) overal de doorsnede met V00 genomen
wordt) aan de eigenschappen uit Definitie 3.3.6. Dan defini¨eren we R[V ] := lim←−
V0∈F (V )
R[V0].
Met deze definitie wordt de uitdrukking Ff(ν) =PV0∈F (V )f (V0)νV 0
voor V aftelbaar oneindig zinvol. Deze uitdrukking is ook geldig indien V eindig is.
Definitie 3.3.8. Naast dat V de grondverzameling is waarmee wij werken, zullen wij tevens
noteren V :=P
Stelling 3.3.9. Zij V ∈ R[V ] als in Definitie 3.3.8. Dan geldt dat Vn n! = X V0⊂V |V0|=n νV0.
Bewijs. In het product Vn ∈ R[V ] komt voor elke geordende n-tupel (vi1, . . . , vin) ∈
Qn
k=1V
(hier V als verzameling, niet als object in R[V ]) de term ν{vi1,...,vin}exact eenmaal voor; wegens
(3.11) komen er geen andere termen voor. Dus voor {vi1, . . . , vin} ongeordend komt ν
{vi1,...,vin}
precies n! voor. Wegens (3.12)-(3.14) vallen alle termen weg waar een punt uit V (als grond-verzameling) dubbel in voorkomt, zodat enkel verzamelingen van de vorm V0 ⊂ V, |V0| = n
overblijven.
Gevolg 3.3.10. Zij f : N0 → R gegeven. Dan vinden we de inbedding R![[V ]] ,→ R[V ]
ge¨ımpliceerd door de identiteit
X n>0 f (n)V n n! = X n>0 f (n) X V0⊂V |V0|=n νV0 = X V0⊂V |V0|∈N 0 f (|V0|)νV0.
Opmerking 3.3.11. Aan de rechterkant van de identiteit uit Gevolg 3.3.10 noemen wij de conditie |V0| ∈ N0 expliciet. Om de notatie te vereenvoudigen, zullen wij deze conditie in het
vervolg niet expliciet benoemen in de stellingen. Voor eindige grafen hoeft dit ook niet, maar voor oneindige grafen (zie Definitie 3.3.7) dienen we steeds enkel over eindige V0⊂ V te sommeren. Definitie 3.3.12. Zij G = (V, E) een simpele graaf; noteer G = (V, E) voor het complement van G. Op dezelfde manier als Definitie 3.3.8 kunnen we E ∈ R[V ] defini¨eren als
E := X
e=uv∈E(G)
ν{u,v}; E := X
e=uv /∈E(G)
ν{u,v}.
Stelling 3.3.13. In R[V ] geldt de identiteit E + E = V2/2. Bewijs. Stelling 3.3.9 impliceert dan dat R[V ] 3 V2/2 = F
f(ν) met f (V0) = 1|V0|=2. Merk nu
op dat {V0 ⊂ V : |V0| = 2} de disjuncte vereniging is van E en E.
Net als in C[[z]] defini¨eren we de functies exp en log. Vooral de eerste zal in volgend hoofdstuk belangrijk zijn. Ook hier geldt dat deze functies elkaars compositionele inverse zijn.
Definitie 3.3.14. Gegeven een Ff ∈ R[V ] defini¨eren we
exp(Ff(ν)) := X n>0 Ff(ν)n n! , (3.19) log(1 + Ff(ν)) := X n>1 (−1)n−1Ff(ν) n n . (3.20)
Voorbeeld 3.3.15. Met de identiteit uit Gevolg 3.3.10 zien we dat exp(V ) ∈ R[V ] correspon-deert met de functie f : F (V ) → R : V0 7→ 1, zodat we exp(V ) ∈ R[V ] identificeren met F (V ) (zie Definitie 3.3.7). Dus voor eindige grafen correspondeert exp(V ) met P(V ).
Het bewijs van de volgende stelling loopt analoog aan het bewijs van exey = ex+y in R, maar omdat deze stelling in het volgende hoofdstuk van cruciaal belang zal zijn, geven we toch een bewijs.
Stelling 3.3.16. Voor Ff, Fg ∈ R[V ] geldt dat exp(Ff + Fg) = exp(Ff) exp(Fg).
Bewijs. We berekenen exp(Ff(ν) + Fg(ν)) = X n>0 (Ff(ν) + Fg(ν))n n! =X n>0 1 n! n X k=0 n k
Ff(ν)kFg(ν)n−k (Binomium van Newton)
=X n>0 n X k=0 Ff(ν)k k! Fg(ν)n−k (n − k)! =X n>0 Ff(ν)n n! X n>0 Fg(ν)n n! (Cauchyproduct) = exp(Ff(ν)) exp(Fg(ν)).
We kunnen hier het Binomium van Newton toepassen omdat deze geldig is in elke commutatieve ring; uit Stelling 3.3.2 weten we dat R[V ] een commutatieve ring is.
Definitie 3.3.17. Zij G = (V, E) een graaf. Wij zullen ρ(G) noteren voor het aantal perfecte matchings indien n(G) even is, en het aantal quasi-perfecte matchings indien n(G) oneven is. Ook zullen wij c(G) schrijven voor het totaal aantal matchings (van willekeurige grootte) in G. Stelling 3.3.18. In R[V ] hebben wij de volgende identiteiten:
(a) X V0⊂V ρ(G[V0])νV0 = (1 + V ) exp(E), (b) X V0⊂V c(G[V0])νV0 = exp(V + E). Bewijs.
(a) Merk ten eerste op dat Em correspondeert met de indicatorfunctie voor puntverzamelin-gen ge¨ınduceerd door m (niet per se disjuncte) lijnen. Echter, wepuntverzamelin-gens (3.11)-(3.14) zien we dat alle termen met niet-disjuncte lijnen wegvallen: precies de m-matchings blijven over. Omdat elke m-matching op m! manieren kan worden geordend, volgt dat Em/m! correspondeert met de indicatorfunctie van de (puntenverzamelingen ge¨ınduceerd door
de) m-matchings. Maar dan correspondeert P
m>0Em/m! = exp(E) met de functie die
het aantal perfecte matchings in G[V0] telt, voor n(V0) even. Vervolgens zien we door uitwerking van het Cauchyproduct dat V exp(E) correspondeert met de functie die quasi-perfecte matchings telt in G[V0+ v0] voor v0∈ V/ 0 en n(V0) even.
(b) Met het Binomium van Newton zien we dat
exp(V + E) = X m>0 (V + E)m m! = X m>0 m X k=0 Vk k! Em−k (m − k)!.
Uit Stelling 3.3.9 volgt dat de factor Vk!k correspondeert met de indicatorfunctie voor deelverzamelingen V0 ⊂ V van grootte k. Als in deel (a) van dit bewijs correspondeert de factor (m−k)!Em−k met de indicatorfunctie van de (puntenverzamelingen ge¨ınduceerd door de) m − k-matchings. Vervolgens vallen, wegens (3.11)-(3.14), in het product van deze twee factoren de termen weg waar minstens een van de geselecteerde lijnen minstens een van de geselecteerde punten verzadigd. Dit correspondeert dan weer met de indicatorfunctie voor matchings aangevuld tot een V0 ⊂ V . Voor vaste V0 ⊂ V is het aantal indicatorfuncties dat we dan tellen, en dus de co¨effici¨ent van νV0, precies gelijk aan c(G[V0]), het aantal matchings in G[V0]. De sommatie over m > 0 zorgt ervoor dat we over alle ge¨ınduceerde subgrafen sommeren.
Opmerking 3.3.19. Aangezien het matchingpolynoom gezien kan worden als een object in Z[x], R[x] of C[x], lezen we Stelling 3.3.20 met in ons achterhoofd dat R een van deze ringen is. Stelling 3.3.20. In R[V ] hebben wij de volgende identiteiten:
(a) X V0⊂V µ(G[V0], x)νV0 = exp(xV − E), (b) X V0⊂V µ(G[V0], x)νV0 = exp(xV + E).
Bewijs. We geven het bewijs voor (a); het bewijs voor (b) verloopt analoog. Als in het bewijs van Stelling 3.3.18 berekenen we
exp(xV − E) = X m>0 (xV − E)m m! = X m>0 m X r=0 (−1)rE r r! Vm−r (m − r)!x m−r.
Net als in het bewijs van Stelling 3.3.18 correspondeert (−1)r Er!r(m−r)!Vm−r hier met (−1)r maal de indicatorfunctie van r-matchings aangevuld met m − r punten. Deze m − r punten en r lijnen induceren een graaf G[V0] op n(G[V0]) =: n = m − r + 2r = m + r punten, zodat m − r = n − 2r. Voor vaste V0 ⊂ V is het aantal indicatorfuncties van deze vorm dat we uiteindelijk overhouden dan gelijk aan het aantal r-matchings in G[V0]: dus gelijk aan p(G[V0], r). Door te sommeren over alle termen die horen bij een vaste V0 ⊂ V zien we dat de co¨effici¨ent van νV0 gelijk is aan
P
r>0(−1)rp(G[V
0], r)xn−2r.
Opmerking 3.3.21. De identiteiten uit Stellingen 3.3.18 en 3.3.20 worden in [11] genoteerd
door 1 +P
∅(V0⊂V p(G[V0])νV 0
(en analoge verschillen voor de andere identiteiten). Echter, aangezien we in Definitie 2.2.2 hebben afgesproken dat p(K0, 0) := 1, noteren we dergelijke
identiteiten in dit verslag compacter.
Stelling 3.3.20 is van fundamenteel belang, omdat het ons de mogelijkheid geeft het matching-polynoom te identificeren met een object uit R[V ]. Immers, gegeven een graaf G = (V, E), geldt dat de uitdrukkingP
V0⊂V µ(G[V0], x)νV 0
eenduidig bepaald is, en gegeven een uitdrukking van
de vorm P
V0⊂V µ(G[V0], x)νV 0
vinden we het matchingpolynoom µ simpelweg door naar de co¨effici¨ent van νV te kijken. Analoge opmerkingen gelden voor µ. Dit geeft aanleiding tot de volgende opmerking.
Opmerking 3.3.22. Zij G = (V, E) een simpele graaf met matchingpolynoom µ. Dan identifi-ceren we R[V ] 3P
V0⊂V µ(G[V0], x)νV
0 3.3.20(a)
= exp(xV − E) met het matchingpolynoom µ. Net
zo identificeren we R[V ] 3P
V0⊂V µ(G[V0], x)νV 0
∈ R[V ]3.3.20(b)= exp(xV + E) met het tekenloze matchingpolynoom µ.
Opmerking 3.3.23. Opmerking 3.3.22 is ook zinvol voor oneindige grafen, waarbij wij het matchingpolynoom dienen te vervangen door een ‘matchingmachtreeks’.
Wij zullen in volgend hoofdstuk ook kijken naar de volgende bivariate uitbreiding van het matchingpolynoom. Wij hebben deze al benoemd in Definitie 2.2.2.
Definitie 3.3.24. Zij G = (V, E) een eindige, ongerichte graaf op n := n(G) punten. Dan defini¨eren we het bivariate matchingpolynoom van G door
µ(G; x, y) :=X r>0 p(G, r)xn−2ryr= bn/2c X r=0 p(G, r)xn−2ryr. (3.21)
Opmerking 3.3.25. Ook al schrijven we µ voor zowel het gewone als het bivariate matching-polynoom, we kunnen simpelweg naar het aantal variabelen kijken om te zien welk matchingpo-lynoom wordt bedoeld. Merk verder op dat het bivariate matchingpomatchingpo-lynoom een generalisering vormt van zowel het gewone (y = −1) als het tekenloze matchingpolynoom (y = 1).
Stelling 3.3.26. In R[V ] geldt P
V0⊂V µ(G[V0]; x, y)νV 0
= exp(xV + yE).
Bewijs. Het bewijs loopt analoog aan dat van Stelling 3.3.20, alleen nu vinden we
exp(xV + yE) = X m>0 m X k=0 Ek k! Vm−k (m − k)!x m−kyk,
zodat de co¨effici¨ent van νV0 in deze uitdrukking gelijk is aanP
r>0p(G[V0], r)xn−2ryr.
Als laatste kijken we nog hoe afgeleides eruit zien in de setting van deze paragraaf.
Voorbeeld 3.3.27. Veronderstel dat we werken met exp(xV ) ∈ (C[x])[V ] = (C[V ])[x]. Dan geldt dat, gebruikmakend van de afgeleide als in Definitie 3.2.9,
d dxexp(xV ) = d dx X n>0 xnVn n! =X n>1 xn−1Vn (n − 1)! = V X n>0 xnVn n! = V exp(xV ).
Wij kunnen hier Definitie 3.2.9 toepassen via de inbedding uit Gevolg 3.3.10.
Voorbeeld 3.3.28. Wij gaan de identiteit log(1 − V2) = log(1 + V ) + log(1 − V ) bewijzen met behulp van formele afgeleiden: wij kunnen nu direct Definitie 3.2.9 toepassen waarin we V voor z substitueren; op dezelfde manier kunnen we ook Stelling 3.2.6 toepassen. We berekenen
d dV log(1 − V 2) = − d dV X n>1 V2n n = − X n>1 2V V2(n−1) 3.2.6(a)= −2V 1 − V2 = 2V V2− 1; d dV log(1 − V ) = − d dV X n>1 Vn n = − X n>0 Vn 3.2.6(a)= − 1 1 − V; d dV log(1 + V ) = d dV X n>1 (−1)n−1V n n = X n>0 (−V )n 3.2.6(a)= 1 1 + V .
Hieruit volgt dat log(1 + V ) + log(1 − V ) − log(1 − V2) formele afgeleide nul heeft, en dus enkel uit een constante co¨effici¨ent bestaat. Omdat de formele machtreeks log een constante co¨effici¨ent van 0 heeft, volgt de identiteit log(1 − V2) = log(1 + V ) + log(1 − V ).
4 Dualiteits- en nulpuntsstellingen
4.1 Introductie
In voorgaand hoofdstuk hebben wij de algebra van genererende functies van Lass gedefinieerd, en in deze algebra een aantal identiteiten geformuleerd en bewezen. Wij hebben daar de in-gredi¨enten verzameld die in dit hoofdstuk nodig zijn om dualiteitsstellingen te bewijzen.
Wij zullen in Paragraaf 4.2 [11] volgen om een alternatief bewijs geven voor een aantal re-sulten die wij reeds gezien hebben, namelijk de dualiteitsstelling van Godsil, Stelling 2.3.5, en impliciet zullen wij de uitdrukking (2.19) voor de Hermitepolynomen terugvinden en zien dat de Hermitepolynomen overeenstemmen met de matchingpolynomen van complete grafen, zoals wij in Stelling 2.4.8 hebben gezien. Hierbij volgen we [11], en veralgemeniseren we veel van de stellingen uit dat artikel naar algemene graafcomplementen en het bivariate matchingpolynoom; dit levert een nieuw bewijs van de dualiteitsstelling van Godsil voor algemene graafcomplemen-ten en levert tevens nieuwe dualiteitsstellingen voor het bivariate matchingpolynoom die niet in de literatuur voorkomen. In Paragraaf 4.3 zullen we vervolgens kijken welk deel van deze the-orie is te veralgemeniseren naar hypergrafen. Ook deze veralgemeniseringen naar hypergrafen komen niet in de literatuur voor. We sluiten het hoofdstuk af met Paragraaf 4.4, waarin we onze algebra uit Hoofdstuk 3 gebruiken om te bewijzen dat alle nulpunten van matchingpolynomen re¨eel zijn.
Bij deze bewijzen zal het idee telkens zijn om matchingpolynomen eerst te identificeren met objecten uit R[V ] door middel van Opmerking 3.3.22, om daarna resultaten als Stellingen 3.3.13 en 3.3.16 toe te passen om objecten uit R[V ] om te schrijven tot iets waar wij weer een mat-chingpolynoom in herkennen met behulp van Opmerking 3.3.22.
4.2 Dualiteitsstellingen voor grafen
Als inkomer bekijken wij een dualiteitsstelling die niet over matchingpolynomen gaat, maar over de pariteit van het aantal matchings (van willekeurige grootte) en het aantal (quasi-)perfecte matchings.
Propositie 4.2.1. Met notatie uit Definitie 3.3.17 geldt dat c(G) ≡ ρ(G) mod 2. Bewijs. Merk als eerste op dat we voor Ff ∈ R[V ] kunnen schrijven
log(1 + Ff(ν)) := X n>1 (−1)n−1Ff(ν) n n = X n>1 (−1)n−1(n − 1)!Ff(ν) n n! ,
zodat in R![[V ]] geldt dat de co¨effici¨ent van Vn/n! in log(1 + V ) gelijk is aan (−1)n−1(n − 1)!; zie Opmerking 3.2.8. Dus geldt in R![[V ]] dat log(1 + V ) ≡ V + V2/2 mod 2. Merk nu op dat wij met exp(V ) kunnen rekenen als in R![[V ]], via de inbedding uit Gevolg 3.3.10.
