Nu wij dualiteitsstellingen voor gewone grafen hebben behandeld, is het natuurlijk om ons af te vragen of deze dualiteitsstellingen zijn te veralgemeniseren naar een ruimere klasse van objecten. In deze paragraaf zullen wij kijken naar k-uniforme hypergrafen, welke een veralgemenisering vormen van gewone grafen, omdat lijnen in hypergraaf niet per se exact twee punten hoeven te verbinden. Het blijkt dat we de veralgemenisering van de stelling van Godsil naar het bivariate matchingpolynoom en algemene graafcomplementen uit paragraaf 4.2 (Stelling 4.2.6) verder kunnen uitbreiden naar k-uniforme hypergrafen met behulp van de algebra R[V ] die wij in paragraaf 3.3 hebben ontwikkeld. Ook vinden we een veralgemenisering van Stelling 4.2.11 naar k-uniforme hypergrafen. Omdat de bewijzen veelal analoog verlopen, zullen er in deze paragraaf minder details worden gegeven dan in vorige paragraaf.
Definitie 4.3.1. Een hypergraaf H is een tupel H = (V, E), waar V , de puntenverzameling van H, uit n = n(H) := |V | ∈ N0 punten bestaat, en waar E ⊂ P(V ) − {∅}, de hyperlijnen-
verzameling van G is. Een hyperlijn kan dus een willekeurig aantal (> 1) punten verbinden. We noemen voor k ∈ N een hypergraaf H k-uniform indien elke hyperlijn precies k punten verbindt, dus als E ⊂ Vk. Wij defini¨eren een r-hypermatching in een k-uniforme hypergraaf als een verzameling van r puntsonafhankelijke hyperlijnen.
Opmerking 4.3.2. Indien k > n, hebben we E = ∅.
Opmerking 4.3.3. Een 2-uniforme hypergraaf is een gewone graaf, dus hypergrafen zijn in- derdaad een veralgemenisering van gewone grafen.
In alles wat volgt zullen we enkel kijken naar k-uniforme hypergrafen. Om dualiteitsstellingen in deze setting te formuleren, hebben we eerst een definitie van een graafcomplement nodig. Definitie 4.3.4. We defini¨eren het complement H van een k-uniforme hypergraaf H als H =
(V, E) waar E = Vk − E. Meer algemeen, veronderstel dat H een opspannende deel-k-
hypergraaf van J = (V, E0) is (dus E ⊂ E0 ⊂ Vk). Dan defini¨eren we het complement van H in J door HJ = (V, EJ), met EJ = E0− E.
Opmerking 4.3.5. Wij kunnen bovenstaande definitie ook gebruiken indien H geen opspan- nende deel-k-hypergraaf van J is: indien V (H) ( V (J) voegen we eerst de punten V (J) − V (H) toe aan V (H), waarna wij bovenstaande definitie kunnen toepassen.
Voorbeeld 4.3.6. Zij H = Kn(k)1,...,nk de compleet k-partiete k-uniforme hypergraaf: de graaf
met V = V (Kn1,...,nk) =
Sk
i=1Vi, met de Vi’s disjunct, |Vi| = ni en e ∈ E als en slechts als
e precies ´e´en punt in elke Vi heeft. Dan geldt dat H = Ski=1K (k) ni , waar K (k) ni = (Vi, Vi k) de
complete k-uniforme hypergraaf op ni punten is, en waar de vereniging wederom disjunct is.
Daarentegen geldt dat HH = (V, ∅) = K (k) n1+···+nk.
Definitie 4.3.7. Zij gegeven een k-uniforme hypergraaf H = (V, E); schrijf n = n(H) := |V |. Wij noteren p(H, r) voor het aantal hypermatchings die r hyperlijnen bevatten, waarbij we afspreken dat p(H, 0) := 1. Het is evident dat p(H, r) = 0 voor r > bnkc. Dan defini¨eren we het bivariate hypermatchingpolynoom µ door
µ(H; x, y) :=X r>0 p(H, r)xn−kryr = bn/kc X r=0 p(H, r)xn−kryr. (4.8)
Voor de gevallen y = −1 en y = 1 spreken wij van het hypermatchingpolynoom en het tekenloze hypermatchingpolynoom, respectievelijk.
Voorbeeld 4.3.8. Analoog aan Voorbeeld 2.2.8 berekenen we het hypermatchingpolynoom voor de complete k-uniforme hypergraaf Kn(k). Merk op dat een r-hypermatching in Kn(k) over-
eenkomt met het selecteren van kr uit n punten, waarna we een perfecte matching in Kkr(k) nemen. Zo een perfecte matching correspondeert met een permutatie van de labels uit [kr], waarna {{j + 1, . . . , j + k} : 0 6 j < r} de matching vormt. Elke permutatie tussen ´en binnen de r-blokken geeft aanleiding tot dezelfde hypermatching, zodat we (k!)(kr)!rr! perfecte matchings
in Kkr(k) vinden, en dus krn(k!)(kr)!rr! = (k!)r(n−kr)!r!n! r-matchings in K
(k)
n . Dit betekent dat
µ(Kn(k), x) = bn/kc X r=0 (−1)r n! (k!)r(n − kr)!r!x n−kr. (4.9)
Voor het hypermatchingpolynoom geldt de volgende generalisatie van Stelling 2.2.14. Het bewijs verloopt geheel analoog en laten we achterwege. Onderdeel (a) van deze stelling wordt al gegeven in [6, Propositie 2.2] (voor niet per se uniforme hypergrafen), terwijl ik de overige onderdelen niet in de literatuur heb kunnen vinden.
Stelling 4.3.9. Zij H, J k-uniforme hypergrafen. Dan gelden de volgende identiteiten: (a) µ(H ∪ J, x) = µ(H, x)µ(J, x), (b) µ(H, x) = µ(H − e, x) − µ(H − {v1, . . . , vk}, x), waar e = v1. . . vk ∈ E(H), (c) µ(H, x) = xµ(H − v1, x) − X v1...vk∈E(H) µ(H − {v1, . . . , vk}, x), waar v1∈ V (G), (d) d dxµ(G, x) = X v∈V (H) µ(H − v, x).
Nadat we in paragraaf 2.4 hebben gevonden dat de matchingpolynomen van een aantal be- langrijke klassen van grafen overeenkomen met bekende families van orthogonale polynomen, is het natuurlijk om ons af te vragen of we zoiets dergelijks ook kunnen laten zien voor complete k-uniforme hypergrafen. Een plan van aanpak is te proberen een tweede-orde recursie voor (µ(Kn(k), x))n>0 te vinden met behulp van Stelling 4.3.9, waaruit zou volgen dat deze rij een fa-
milie van orthogonale polynomen vormt t.o.v. een zekere positieve maat µ op R; zie Opmerking 2.4.7 en [10, Stelling 7.3.1].
Voorbeeld 4.3.10. Enkel (c) en (d) van Stelling 4.3.9 geven ons relaties die binnen de familie (µ(Kn(k), x))n>0 blijven, waarmee we de recursie µ(K
(k)
n+1, x) = xµ(K (k)
n , x) − k−1n µ(Kn+1−k(k) , x)
en de vergelijking dxd µ(Kn(k), x) = nµ(Kn−1(k) , x) vinden, respectievelijk. Voor k > 2 verschaft
dit ons geen antwoord op de vraag of (µ(Kn(k), x))n>0 een familie van orthogonale polynomen
vormt, omdat we een k-de orde recursie verkrijgen. Wel zien we uit de tweede relatie dat (µ(Kn(k), x))n>0 een Appellrij vormt.
Op dezelfde manier als we in paragraaf 3.3 voor gewone grafen hebben gedaan, werken we nu uit hoe we hypergrafen en hypermatchingpolynomen kunnen opvatten als objecten in R[V ]. Definitie 4.3.11. Gegeven een k-uniforme hypergraaf H = (V, E) defini¨eren we V, E ∈ R[V ]
door V :=P
v∈V ν
{v} en E :=P
v1···vk∈Eν
{v1,...,vk}.
Stelling 4.3.12. Zij H = (V, E) een k-uniforme hypergraaf. Veronderstel dat H een opspan- nende deel-k-hypergraaf van J = (V, E0) is. Dan gelden in R[V ] de identiteiten E + E = Vk/k! en E + EJ = E0.
Bewijs. Merk, analoog als in het bewijs van Stelling 3.3.13, op dat {V0 ⊂ V : |V0| = k} de disjuncte vereniging is van E en E, en correspondeert met Vk/k! (Stelling 3.3.9). De tweede identiteit is triviaal.
Stelling 4.3.13. Zij H = (V, E) een k-uniforme hypergraaf. In R[V ] geldt X
V0⊂V
µ(H[V0]; x, y)νV0 = exp(xV + yE),
terwijl we voor y = −1, 1 analoge identiteiten voor het (tekenloze) hypermatchingpolynoom ver- krijgen.
Bewijs. Analoog aan de bewijzen van Stellingen 3.3.20 en 3.3.26. Merk op dat we in het hypermatchingpolynoom inderdaad op de factor xn−kr uitkomen, omdat
exp(xV + yE) = X m>0 m X r=0 Er r! Vm−r (m − r)!x m−ryr,
en omdat een r-hypermatching samen met m − r onverzadigde punten nu een k-uniforme hy- pergraaf H[V0] op n := |V0| = m − r + kr punten induceert, zodat m − r = n − kr. Hieruit zien we dat de co¨effici¨ent van νV0 inderdaad gelijk is aan µ(H[V0]; x, y).
Voorbeeld 4.3.14. Door Stelling 4.3.13 te specificeren naar K∞(k)(zie Definitie 3.3.7) en y = −1
zien we via de inbedding uit Gevolg 3.3.10 in dat
exp(xV − Vk/k!) = X V0⊂V µ(K|V(k)0|, x)νV 0 =X n>0 µ(Kn(k), x)V n n!. (4.10)
Deze gelijkheid spreekt uit dat de exponenti¨ele genererende functie van de polynomen uit Voor- beeld 4.3.8 gelijk is aan gk(t, x) = ext−t
k/k!
; voor k = 2 vinden we de exponenti¨ele genererende functie van de Hermitepolynomen. De polynomen µ(Kn(k), x) uit (4.9) tellen partities van [n] in
blokken van 1 en k, en deze structuur zien we terug in gk(t, x).
We hebben nu alle ingredi¨enten dualiteitsstellingen uit paragraaf 4.2 te veralgemeniseren. De volgende stelling veralgemeniseert Stelling 4.2.6 naar k-uniforme hypergrafen, en is dan ook de meest algemene versie van de dualiteitsstelling van Godsil die wij geven voor hypergrafen. Stelling 4.3.15. Zij H = (V, E) een opspannende deel-k-hypergraaf van een k-uniforme hy- pergraaf J = (V, E0); noteer n = n(H). Noteer p(H) := p(H, n/k) voor het aantal perfecte matchings in H. Dan geldt
µ(HJ; x, y) =
X
V0⊂V
(−y)|V0|/kp(H[V0])µ(J [V − V0]; x, y).
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Stelling 4.2.6, alleen nu bestaat een perfecte matching in H[V0] uit |V0|/k hyperlijnen.
Specificatie naar J = Kn(k)en y = −1 geeft de stelling van Godsil voor k-uniforme hypergrafen.
Gevolg 4.3.16. Zij H = (V, E) een k-uniforme hypergraaf; noteer n = n(H). Dan geldt
µ(H; x, y) =
bn/kc
X
r=0
(−y)rp(H, r)µ(Kn−kr(k) ; x, y).
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Gevolg 4.2.7: neem J = Kn(k)in Stelling 4.3.15 en merk op
dat elke ge¨ınduceerde deel-k-hypergraaf van Kn(k) opnieuw een complete k-uniforme hypergraaf
is.
Specificeren we nu Stelling 4.3.15 naar het geval dat J een compleet k-partiete k-uniforme hypergraaf is, dan vinden we een veralgemenisering van Gevolg 4.2.9.
Gevolg 4.3.17. Zij H een k-partiete k-uniforme hypergraaf, waar de k-partiete verzamelingen worden gegeven door Vi, 1 6 i 6 k, met |Vi| = ni; zij J = Kn(k)1,...,nk de compleet k-partiete
k-uniforme hypergraaf op dezelfde k-partiete verzamelingen Vi, zodat H een opspannende deel-
k-hypergraaf van J is. Noteer HJ = Hn1,...nk en n := min16i6k{ni}. Dan geldt
µ(Hn1,...,nk; x, y) =
n
X
r=0
(−y)rp(H, r)µ(Kn(k)1−r,...,nk−r; x, y).
Bewijs. Analoog aan het bewijs van Gevolgen 4.2.9 en 4.3.16, waar we opmerken dat een hyper- matching in een k-partiete k-uniforme hypergraaf precies ´e´en punt in elk van de k-partiete ver- zamelingen heeft, zodat als wij in Stelling 4.3.15 de punten verzadigd door een r-hypermatching verwijderen, we uit elke k-partiete verzameling precies r punten verwijderen. Merk verder op dat elke ge¨ınduceerde deel-k-hypergraaf van een compleet k-partiete k-uniforme hypergraaf opnieuw compleet k-partiet en k-uniform is.
Wij besluiten deze paragraaf met een veralgemenisering van Stelling 4.2.11 naar k-uniforme hypergrafen.
Stelling 4.3.18. Zij H = (V, E) een k-uniforme hypergraaf. Gebruikmakend van de differenti- aaloperator expdxdkk
=P
n>0 n!1 dkn
dxkn gelden de volgende identiteiten:
(a) µ(H; x, y) = exp y k! dk dxk µ(H; x, −y), (b) µ(H, x) = exp d k dxk k! µ(H, x), (c) µ(H, x) = exp − d k dxk k! µ(H, x).
Bewijs. Verloopt analoog aan het bewijs van Stelling 4.2.11, alleen nu gebruiken we de identiteit E + E = Vk/k!.
Het is niet gelukt om Stellingen 4.2.12 en 4.2.14 te veralgemeniseren naar k-uniforme hyper- grafen, omdat we in de bewijzen van die stellingen na gebruik van de identiteit E +E = V2/2 op een bepaald punt kwadraten willen uitwerken of afsplitsen, en dit in het algemene geval k > 2 geen mooie uitdrukking geeft.