Bij het college lineaire algebra 1, 23 november, 2011
Als V een vectorruimte over een lichaam F is met basis B = (v1, . . . , vn), dan defini¨eren we de
afbeelding
ϕB: Fn → V, (a1, . . . , an) 7→ a1v1+ . . . + anvn.
Omdat B een basis is, is ϕB een isomorfisme. De inverse ϕ−1B : V → Fn stuurt een element v naar
het unieke rijtje van co¨effici¨enten (a1, . . . , an) met v = a1v1+ . . . + anvn. We schrijven ook wel
vB = ϕ−1B (v)
en zeggen dat vB het rijtje co¨effici¨enten van v ten opzichte van B is.
Zij nu V en W vectorruimtes over F met respectievelijk basis B = (v1, . . . , vn) en C =
(w1, . . . , wm). Voor een vector v ∈ V schrijven we dus vB voor het rijtje co¨effici¨enten van v
ten opzichte van B. Zo schrijven we voor w ∈ W ook wC voor het rijtje co¨effici¨enten van w ten
opzichte van C.
Zij T : V → W een lineaire afbeelding. Dan is
ϕ−1C ◦ T ◦ ϕB: Fn→ Fm
een lineaire afbeelding, die dus gegeven wordt door een matrix, die we schrijven als [T ]B C. Voor
deze matrix M = [T ]B
C, geassocieerd aan de lineaire afbeelding T ten opzichte van B en C, geldt
M · vB = T (v)C
voor alle v ∈ V . Met andere woorden, als x = vB = (λ1, . . . , λn) ∈ Fn de co¨effici¨enten zijn van
de vector v ten opzichte van B (dus v = λ1v1+ . . . + λnvn), dan is M x = M vB de vector van
co¨effici¨enten van T (v) ten opzichte van C.
Door te kijken naar de basis elementen vj van B, waarvoor geldt (vj)B = ej, met ej de j-de
standaardbasisvector van Fn, vinden we dat de j-de kolom van M gelijk is aan T (v j)
C, dus aan
de rij van co¨effici¨enten van T (vj) ten opzichte van C.
Stel dat B0 en C0 ook bases zijn voor respectievelijk V en W . Uit het diagram
V Id // T (( V T // W Id // W Fn [T ]B0 C0 << [Id]B0B // ϕB0 OO Fn [T ]BC // ϕB OO Fm [Id]CC0 // ϕC OO Fm ϕC0 OO
volgt dat er geldt
[T ]BC00 = [Id]CC0· [T ]BC· [Id]B 0 B = [Id] C0 C −1 · [T ]B C· [Id] B0 B. 1
2
Opgaven lineaire algebra, vrijdag 25 november, 2011
(1) Zij T : V → W een lineaire afbeelding van vectorruimtes over F en zij B = (v1, . . . , vn) en
C = (w1, . . . , wm) bases van respectievelijk V en W . Maak de volgende zin af.
De matrix [T ]B
C van T ten opzichte van B en C is de
. . . × . . .-matrix waarvan de j-de kolom gelijk is aan . . . Opmerking: De volgende uitspraak geldt ook.
De matrix M = [T ]B
C van T ten opzichte van B en C is de
m × n-matrix waarvoor geldt dat als x ∈ Fn het rijtje
co¨effici¨enten is van een vector v ten opzichte van B, en y = M x, dan is y het rijtje co¨effici¨enten van de vector T (v) ten opzichte van C.
Met andere woorden:
Als M = [T ]BC de matrix van T ten opzichte van B en C is en voor v = x1v1+ . . . + xnvn geldt T (v) = y1w1+ . . . + ynwm, dan zijn
x = (x1, . . . , xn) en y = (y1, . . . , ym) gerelateerd door y = M x.
(2) Zij Pn(R) de vectorruimte van polynomen in x over R van graad ten hoogste n. Zij
T : P4(R) → P4(R) de afbeelding gegeven door T (f ) = 3f + (x − 2)f00. Geef de matrix
[T ]B
B van T ten opzichte van basis B = (1, x, x2, x3, x4).
(3) Zij B = (v1, v2, v3, v4) een basis voor de vectorruimte V over R. Laat zien dat B0 =
(v10, v02, v30, v04) met
v10 = v1,
v20 = v1+ 2v2,
v30 = v1+ 2v2+ 3v3,
v40 = v1+ 2v2+ 3v3+ 4v4
ook een basis is voor V .
(a) Geef de matrices M = [Id]B0
B en N = [Id]BB0. (Welke is makkelijker te vinden?)
(b) Leg uit dat voor x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4, de vector M x gelijk is aan de rij van
co¨effici¨enten ten opzichte van B van de vector v = x1v01+ x2v20+ x3v30+ x4v40, waarvan
x de rij van co¨effici¨enten ten opzichte van B0 is.
(c) Leg uit dat voor x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4, de vector N x gelijk is aan de rij van
co¨effici¨enten ten opzichte van B0 van de vector v = x
1v1+x2v2+x3v3+x4v4, waarvan
x de rij van co¨effici¨enten ten opzichte van B is.
Opmerking: wegens (b) wordt M in de literatuur vaak de overgangsmatrix van B0 naar B genoemd. Door er op een andere manier tegenaan te kijken wordt het (bijvoorbeeld in 14.3 van het dictaat) ook wel de basisveranderingsmatrix geassocieerd aan de verandering van B naar B0genoemd, precies andersom dus. Om deze verwarring te voorkomen onthouden wij gewoon wat de matrix doet, namelijk wat er bij (b) staat.
(4) Zij B = (e1, e2, e3) standaardbasis voor R3en zij B0= (v01, v02, v30) de basis met
v10 = (−1, −2, 0), v20 = (−2, 1, 3), v30 = (1, −1, −2). Geef de matrices [Id]B0
3
(5) Zij E = (e1, e2, e3) standaardbasis voor R3en zij B = (v1, v2, v3) de basis met
v1= (−1, −2, 0), v2= (−2, 1, 3), v3= (1, −1, −2).
Geef de matrices [Id]B
E en [Id]EB. (Let op het verschil met de vorige opgave; het enige doel
van deze opgave je in te laten zien dat je niet de notatie B en B0 moet onthouden, maar de rol die ze spelen.)
(6) Zij T : V → W een lineaire afbeelding van vectorruimtes over F en zij B = (v1, . . . , vn) en
C = (w1, . . . , wm) bases van respectievelijk V en W . Uit het diagram
V Id // T (( V T // W Id // W Fn [T ]B0 C0 << [Id]B0 B // ϕB0 OO Fn [T ]B C // ϕB OO Fm [Id]C C0 // ϕC OO Fm ϕC0 OO
volgt dat er geldt
[T ]BC00 = [Id]CC0 · [T ]BC· [Id]B 0
B .
Overtuig jezelf ervan dat dit ook volgt uit de beschrijving van [T ]BC in de opmerking van opgave 1.
(7) Zij E2 en E3 de standaardbases van R2 en R3. Zij T : R2 → R3 de afbeelding gegeven
door
T (x, y) 7→ (3x + 2y, x − y, −x + 2y). (a) Geef de matrix [T ]E2
E3.
(b) Geef de matrix [T ]B
C voor de basis B = (1, 2), (−1, 1)
van R2 en de basis C =
(v1, v2, v3) van R3 met v1, v2, v3 als in opgave 5. (hint: gebruik de vorige opgave)
(8) Zij V ⊂ R3 de deelruimte opgespannen door v1en v3als in opgave 5. Dan is B = (v1, v3)
een basis voor V . Zij T : V → R3
de inclusie. Zij E de standaardbasis voor R3. Zij C de
basis voor R3 als in opgave 7.
(a) Bepaal de matrices [T ]B E en [T ]
B C direct.
(b) Verifieer de gelijkheid die moet gelden tussen een van de matrices [T ]BE en [T ]BC en-erzijds en het product van de ander met de matrix [Id]CE anderzijds.
(9) Zij B = 1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2+ x3 een basis van P
3(R). Zij T : P3(R) → P3(R)
de lineaire afbeelding gegeven door T (f ) = f0. Bereken de matrix [T ]BB op twee manieren: (1) direct, en (2) door eerst de matrix ten opzichte van de basis (1, x, x2, x3) te bepalen en daarna een overgangsmatrix te gebruiken.
(10) Zij V ⊂ R3 het vlak gegeven door x + 3y − 2z = 0. Zij π : R3 → R3 de orthogonale
projectie van R3 op V . Zij B de standaardbasis voor R3. Bepaal [π]BB op twee manieren: direct en via [π]CC, waarbij C = (v1, v2, v3) een basis is die bestaat uit een basis (v1, v2)
4
(11) Zij B en C de standaardbases van R2
en R3
. Zij T : R2
→ R3de afbeelding gegeven door
T (x, y) 7→ (2x − 3y, x + y, 3x + y). (a) Geef de matrix [T ]B
C.
(b) Geef de matrix [T ]B0
C0 voor de basis B0 = (3, 4), (1, −2) van R2 en de basis C0 =
(v1, v2, v3) van R3 met
v1= (1, 1, 1), v2= (1, 2, 3), v3= (1, 4, 9).
(c) Laat zien dat voor de vector v ∈ R2 met v
B0 = (1, 1) (dus v = ϕB0((1, 1))) inderdaad
geldt
[T ]BC00· vB0 = T (v)
C0.
(d) Herhaal die verificatie voor nog een aantal vB0, zoals onder andere (1, 0) en (0, 1).
(12) Zij V1de vectorruimte van 2 × 2 matrices over R en V2de vectorruimte van 3 × 2 matrices
over R met bases respectievelijk B =1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 en C = 1 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 1 . Zij T : V1→ V2de lineaire afbeelding gegeven door
T (x) = 1 2 3 4 5 6 · x. Bepaal [T ]BC. (13) Zij L ⊂ R2
de lijn gegeven door y = 2x. Zij T : R2→ R2
de orthogonale projectie van R2
op L.
(a) Bepaal [T ]BB, waarbij B de standaardbasis is.
(b) Bepaal v1 en v2 zodanig dat (v1) een basis is voor L en (v2) een basis voor L⊥. Zij
C = (v1, v2). Bepaal [T ]CC.
(c) Bepaal [T ]B
B nogmaals, dit keer met behulp van [T ]CC en een basisverandering.
Opmerking: Soms is het dus makkelijker om een lineaire afbeelding te beschrijven ten opzichte van een andere basis dan de standaardbasis. Met behulp van een basisverandering kun je het dan ook ten opzichte van de standaardbasis beschrijven.
(14) Bepaal het spoor van de volgende drie matrices.
M1= 1 2 2 1 4 −3 5 2 −2 1 5 11 3 2 7 −13 M2= 1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64 −1 1 2 2 1 4 −3 5 2 −2 1 5 11 3 2 7 −13 1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64 M3= 1 1 1 1 5 7 1 25 49 −1 1 5 6 0 2 7 0 0 3 1 2 2 4 −3 5 −2 1 5 1 5 6 0 2 7 0 0 3 −1 1 1 1 1 5 7 1 25 49
