Hoofdstuk 6 : Machtsverbanden

PARAGRAAF 6.1 : KWADRATISCHE FORMULES

VOORBEELD 1

Gegeven is de formule W(x) = – x2 _{+ 8x met W de winst in euro’s per uur en x het aantal} producten dat per uur gemaakt wordt.

a. Teken de grafiek

b. Bereken het maximaal aantal klanten.

c. Bereken bij welke uurproductie er meer dan 12 euro winst gemaakt werd.

OPLOSSING 1

a. Om de grafiek netjes te tekenen maak je eerst een tabel.

Deze begint bij nul (omdat je geen negatieve productie kunt hebben). Dit kun je doen m.b.v. de GR :

(1) Formule intikken y1=– x2 + 8x (2) Tableset Tblstart = 0 en ΔTbl = 1 (3) Table geeft De grafiek : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 7 12 16 16 15 12 7 0

b. Je wil iets gaan berekenen (calc) dus volg je het stappenplan :

(1) Formule intikken y1=– x2 + 8x

(2) Venster [ 0 , 10 ] x [ 0 , 50 ] (3) Schets / Plot

(4) Toets / Knop calc maximum (5) Oplossing y = 16

Dus er zijn maximaal 16 klanten in de winkel.

c. Je wil iets gaan berekenen (calc) dus volg je het stappenplan : (1) Formule intikken y1=– x2 + 8x en y2 = 12 (2) Venster [ 0 , 10 ] x [ 0 , 50 ] (3) Schets / Plot

(4) Toets / Knop calc intersect (5) Oplossing x = 2 v x = 6

VOORBEELD 2

Gegeven is een rechthoekig stuk grond met lengte x en breedte y.

y

x

De omtrek van dit stuk grond is gelijk aan 156 meter. a. Toon aan dat geldt x + y = 78

b. Toon aan dat de oppervlakte gelijk is aan 𝑂𝑂(𝑥𝑥) = 78𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

c. Bereken de afmetingen van het stuk land waarvoor de oppervlakte maximaal is.

OPLOSSING 2

a. Omtrek rechthoek = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 156

2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 156

Hieruit volgt 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 78

b. De oppervlakte is gelijk aan 𝑂𝑂(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 De y moet weg uit deze formule.

We weten dat 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 78 , dus 𝑦𝑦 = 78 – 𝑥𝑥.

Invullen in de eerste formule geeft 𝑂𝑂(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ∙ (78 − 𝑥𝑥) = 78𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

(1) Formule intikken 𝑦𝑦1 =– 𝑥𝑥2 _{+ 8𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦2 = 12}

(2) Venster [ 0 , 10 ] 𝑥𝑥 [ 0 , 50 ] (3) Schets / Plot …

(4) Toets / Knop calc intersect (5) Oplossing 𝑥𝑥 = 39

PARAGRAAF 6.2 GRAFIEKEN VERANDEREN

LES 1 : TRANSFORMATIES VAN MACHTSFUNCTIES

DEFINITIES MACHTSFUNCTIES

Er zijn twee soorten grafieken voor de formules 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 _:

(1) n is even

• _{Er zijn twee snijpunten met de} positieve y-as.

• Er zijn geen snijpunten met de negatieve y-as.

• _{Bij de formule 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)}𝑛𝑛_{+ 𝑞𝑞}

ligt de top bij (p,q).

• _{Als 𝑎𝑎 < 0 → 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑏𝑏 → 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} Als 𝑎𝑎 > 0 → 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

(2) n is oneven

• _{Er is één snijpunt met de positieve} y-as.

• Er is één snijpunt met de negatieve y-as.

• _{Bij de formule 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)}𝑛𝑛_{+ 𝑞𝑞}

ligt de top bij (p,q).

TOP OF SYMMETRIEPUNT ?

DEFINITIES TRANSLATIES

• T(p,q) = { Translatie / verschuiving van de grafiek p naar rechts en q omhoog } • Vx-as, c = { Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor c }

REGELS BIJ TRANSLATIES

(1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑇𝑇(𝑎𝑎,𝑏𝑏)�⎯⎯⎯� 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 𝑏𝑏 (2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑉𝑉𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑐𝑐

�⎯⎯⎯� 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

VOORBEELD 1

Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4_.

a. Bepaal de formule die ontstaat als 𝑓𝑓 eerst 5 naar rechts en 2 omlaag verschoven wordt en vervolgens vermenigvuldigd wordt met 3 t.o.v. de x-as.

b. Schets de nieuwe grafiek. c. Geef de coördinaten van de top. d. Beantwoord de vragen a t/m c nu als

OPLOSSING 1 a. 𝑥𝑥4 𝑇𝑇(5,2)_{�⎯⎯� (𝑥𝑥 − 5)}4_{+ 2} 𝑉𝑉𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑎𝑎,3 �⎯⎯⎯� 3 ∙ ((𝑥𝑥 − 5)4_{+ 2) = 3 ∙ (𝑥𝑥 − 5)}4_{+ 6} b. c. Top is (5,6) d. _𝑥𝑥4 𝑉𝑉𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑎𝑎,−2 �⎯⎯⎯⎯� − 2 ∙ 𝑥𝑥4 𝑇𝑇(−3,0)_{�⎯⎯⎯⎯� − 2(𝑥𝑥 − −3)}4_{= −2(𝑥𝑥 + 3)}4 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝 = (3,0)

PARAGRAAF 6.3 REKENEN MET MACHTEN EN WORTELS

LES 1 : MACHTSVERGELIJKINGEN OPLOSSEN

HERHALEN

(1) n is even

• _{Er zijn twee snijpunten (oplossingen) met de positieve y-as.} • _{Er zijn geen snijpunten (oplossingen) met de negatieve y-as.}

(2) n is oneven

• _{Er is één snijpunt (oplossing) met de positieve y-as.} • Er is één snijpunt (oplossing) met de negatieve y-as.

VOORBEELD 1

Los algebraïsch op. Geef de antwoorden in 2 decimalen nauwkeurig. a. 3𝑥𝑥7_{= 36}

b. 2𝑥𝑥4_{− 10 = 360}

OPLOSSING 1 a. 3𝑥𝑥7_{= 36} 𝑥𝑥7 _{= 12} 𝑥𝑥 = √127 = 1,43 (en NIET -1,43 !!!) b. 2𝑥𝑥4_{− 10 = 360} 2𝑥𝑥4_{= 370} 𝑥𝑥4 _{= 185}

𝑥𝑥 = √1854 _{= 3,69 𝑣𝑣 𝑥𝑥 = −3,69 (Nu wel, waarom ???)}

c. 3𝑥𝑥3,7_{= 60}

𝑥𝑥3,7_{= 20}

𝑥𝑥 = √203,7

LES 2 : WORTELVERGELIJKINGEN EN VARIABELEN VRIJMAKEN

VOORBEELD 1

a. Los algebraïsch op : 2 − √𝑥𝑥 + 4 = −1

b. Schrijf x als functie van y bij de formule 𝑦𝑦 = 2 − √𝑥𝑥 + 4

OPLOSSING 1 a. 2 − √𝑥𝑥 + 4 = −1

√𝑥𝑥 + 4 = 3 { Nu is de wortel los, dus nu kwadrateren } 𝑥𝑥 + 4 = 9

𝑥𝑥 = 5

b. 𝑦𝑦 = 2 − √𝑥𝑥 + 4 𝑦𝑦 − 2 = −√𝑥𝑥 + 4

−𝑦𝑦 + 2 = √𝑥𝑥 + 4 { Nu is de wortel los, dus nu kwadrateren } (2 − 𝑦𝑦)2_{= 𝑥𝑥 + 4}

𝑦𝑦2_{− 4𝑦𝑦 + 4 = 𝑥𝑥 + 4}

VOORBEELD 2

a. Maak p vrij bij de formule 𝑄𝑄 = 3 ∙ (𝑝𝑝 − 5)4_{+ 6}

b. Schrijf 𝑄𝑄 = 3 ∙ (2𝑝𝑝)5 _{in de vorm 𝑄𝑄 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑝𝑝}𝑐𝑐 OPLOSSING 2 A. 𝑄𝑄 = 3 ∙ (𝑝𝑝 − 5)4_{+ 6} 𝑄𝑄 − 6 = 3 ∙ (𝑝𝑝 − 5)4 1 3𝑄𝑄 − 2 = (𝑝𝑝 − 5)4 𝑝𝑝 − 5 = �4 1₃𝑄𝑄 − 2 𝑝𝑝 = �4 1₃𝑄𝑄 − 2+ 5 B. 𝑄𝑄 = 3 ∙ (2𝑝𝑝)5 𝑄𝑄 = 3 ∙ 25_{∙ 𝑝𝑝}5_{= 96 ∙ 𝑝𝑝}5 _{(das a = 96 en c = 5)}

PARAGRAAF 6.4 GEBROKEN FORMULES

LES 1 : GEBROKEN VERGELIJKINGEN OPLOSSEN

VOORBEELD 1 Los algebraïsch op a. _𝑥𝑥+34 =_𝑥𝑥+12 b. _𝑥𝑥+12 = 5 OPLOSSING 1 a. _𝑥𝑥+34 =_𝑥𝑥+12 (Kruiselings Vermenigvuldigen) 2(𝑥𝑥 + 3) = 4(𝑥𝑥 + 1) 2𝑥𝑥 + 6 = 4𝑥𝑥 + 4 −2𝑥𝑥 = −2 𝑥𝑥 = 1 b. _𝑥𝑥+12 =5₁ (KV) 5(𝑥𝑥 + 1) = 2 ∙ 1 5𝑥𝑥 + 5 = 2 5𝑥𝑥 = −3 𝑥𝑥 = −3₅

LES 2 : HERLEIDEN VAN BREUKEN

VOORBEELD 1

a.

Herleid tot één breuk : 5𝑎𝑎 +_𝑎𝑎2=

b.

Herleid

𝑥𝑥 𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+4

=

c.

Toon aan dat 4_𝑏𝑏∙_𝑏𝑏−13 ∙ 7𝑏𝑏 te schrijven is als _𝑏𝑏−184

OPLOSSING 1 a. 5𝑎𝑎 +_𝑎𝑎2=5𝑎𝑎₁ +2_𝑎𝑎=5𝑎𝑎_𝑎𝑎2+2_𝑎𝑎= 5𝑎𝑎_𝑎𝑎2+2 b. 𝑥𝑥−1𝑥𝑥 𝑥𝑥+4× 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥−1= 𝑥𝑥 𝑥𝑥2_{+3𝑥𝑥−4} c. 4_𝑏𝑏∙_𝑏𝑏−13 ∙ 7𝑏𝑏 =_𝑏𝑏4∙_𝑏𝑏−13 ∙7𝑏𝑏₁ =_{𝑏𝑏(𝑏𝑏−1)}84𝑏𝑏 =_𝑏𝑏−184 VOORBEELD 2

a.

Gegeven is de formule 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥(3 + 10𝑥𝑥 𝑥𝑥+1)

Herleid deze tot de vorm 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 +_𝑥𝑥2𝑏𝑏_+𝑥𝑥 met a en b getallen.

b.

Gegeven is de formule 𝑦𝑦 =₃₊6𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥−1

OPLOSSING 2

a.

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 �3 + 10 𝑥𝑥2 𝑥𝑥+1� = 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 1∙ 10 𝑥𝑥2 𝑥𝑥+1 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 +𝑥𝑥∙10𝑥𝑥2 𝑥𝑥+1= 3𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 𝑥𝑥2 𝑥𝑥+1 = 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 1 = 3𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 ∙ 1 𝑥𝑥+1= 3𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥2_+𝑥𝑥

b.

𝑦𝑦 =₃₊6𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥−1= 6𝑥𝑥 3+_𝑥𝑥−1𝑥𝑥 × 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥−1 𝑦𝑦 =_{3(𝑥𝑥−1)+𝑥𝑥}𝑥𝑥2+𝑥𝑥 =_{3𝑥𝑥−3+𝑥𝑥}𝑥𝑥2+𝑥𝑥 =𝑥𝑥_{4𝑥𝑥−3}2+𝑥𝑥 VOORBEELD 3 a. Schrijf 𝑎𝑎_𝑏𝑏 =_𝑏𝑏−13 als 𝑏𝑏 = ..

b. Maak x vrij bij de formule 𝑦𝑦 =_𝑥𝑥+2𝑥𝑥

OPLOSSING 3 a. _𝑏𝑏−1𝑎𝑎 =3_𝑏𝑏 (Kruiselings Vermenigvuldigen) 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 3(𝑏𝑏 − 1) 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 3𝑏𝑏 − 3 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 3𝑏𝑏 = −3 𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 1) = −3 𝑏𝑏 =_{𝑎𝑎 − 1}−3 b. 𝑦𝑦₁=_𝑥𝑥+2𝑥𝑥 → 𝑦𝑦(𝑥𝑥 + 2) = 1𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 1𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = −2𝑦𝑦 𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 1) = −2𝑦𝑦 𝑥𝑥 = −_{(𝑦𝑦−1)}2𝑦𝑦

PARAGRAAF 6.5 FORMULES MET MACHTEN

VOORBEELD 1

Sjors had op 5 juli om 0.00u precies 800 vlinders. Dat is tijdstip d = 4. Het verband tussen het aantal vlinders (V) en het aantal dagen wordt weergegeven door de

formule 𝑉𝑉 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑4_.

a. Bereken a.

b. Bereken op welke dag Sjors voor het eerst meer dan 1 miljoen vlinders heeft.

OPLOSSING 1 a. 𝑉𝑉 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑4 Punt (4, 800) invullen : 800 = 𝑎𝑎 ∙ 44 _{→ 𝑎𝑎 =}800 44 = 3,125 Dus 𝑉𝑉 = 3,125𝑑𝑑4 b. 1000000 = 3,125𝑑𝑑4 𝑑𝑑4_{= 32000}