Oplossen differentiaalvergelijkingen

(1)

Oplossen van differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking (DV) is een vergelijking waarin een (mogelijk hogere) afgeleide van een onbekende functie en ook mogelijk die functie zelf voorkomt. In zo’n vergelijking kunnen ook meerdere afgeleiden (van verschillende orde) voorkomen.

De onbekende functie kunnen we bijvoorbeeld noteren als f , f (x) , y of y (x) . We geven een aantal voorbeelden van differentiaalvergelijkingen (DV - en).

(1): f'₍_{x )+3∙ f ( x )=2} (2): y''+4 ∙ y '−2 y=0 (3): u' '₍_{t )=−4 ∙u (t)} (4): g' (x )−x ∙ g ( x )=2 x+ 1 (5): y'' ' (x )−2 x ∙

(

y'( x )

)

2=ln ( x ) (6): x∙ y'' +5 ∙ y'+

√

1+ y2=x2 (7): y∙ y' '' −x2∙ y'∙ y' '=x

Als de hoogste afgeleide van de onbekende functie die voorkomt in de DV de ne _{afgeleide is, dan} zeggen we dat de DV van orde n is. De ordes van de DV - en van de bovenstaande voorbeelden zijn achtereenvolgens 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3. In de eerste drie DV - en zijn de coëfficiënten van de afgeleiden en de functie zelf constanten. We spreken dan van een DV met constante coëfficiënten.

Een DV met de volgende twee eigenschappen heet een lineaire DV:

a) de optredende afgeleiden en eventueel de functie zelf komen slechts tot de eerste graad voor; b) de coëfficiënten van de optredende afgeleiden en eventueel de functie zelf zijn constanten of functies van de onafhankelijke variabele.

De eerste vier DV - en van de bovenstaande voorbeelden zijn lineaire DV - en.

Differentiaalvergelijkingen komen voor in de wiskunde en natuurkunde vaak voor. Een DV proberen we op te lossen, d.w.z. we proberen de functie te vinden die aan die vergelijking voldoet. In veel gevallen is het algebraïsch oplossen van een DV onmogelijk.

Je kunt dan hoogstens een oplossing benaderen met numerieke methoden. Deze methoden komen hier niet aan bod.

We beschouwen eerst een speciaal type DV waarvan de oplossing algebraïsch te bepalen is.

A) Lineaire DV van orde 1 met scheidbare variabelen

(2)

Deze vergelijking is te herschrijven als p( x) r (x ) +s ( y) q( y) ∙ dy dx ¿0 . (2)

We proberen voor y een functie f (x) te vinden zodanig dat aan (2) is voldaan, dus ook aan s(f (x )) q(f (x)) ∙ f ' (x)=−p(x ) r (x)

.

(3)

Dit moet geldenvoor alle x _{uit een zeker interval.}

De primitieven van de functies in het linkerlid en het rechterlid van (3) moeten dan ook aan elkaar gelijk zijn, dus

∫

_{q(f (x ))}s (f ( x))∙ f'

( x ) dx=−

∫

p (x) r (x )dx .

Substitueren we y=f (x) in de linkerintegraal, dan krijgen we (substitutieregel):

∫

_{q( y)}s ( y) dy=−

_∫

p(x ) r (x)dx . (4)

Als G( y ) een primitieve is van s( y)

q( y ) en H (x) een primitieve is van p( x)

r (x )

,

dan volgt uit (4) dat

G(y)=−H(x)+C , waarbij C een willekeurige constante is.

(5)

In bepaalde gevallen kan in (5) de variabele y vrijgemaakt worden en uitgedrukt worden in x . We eindigen dan met een betrekking van de vorm y=f (x) en dit is dan een expliciete oplossing van de DV (1).

Opmerkingen

a) Soms is het niet mogelijk om de primitieven van de uitdrukkingen binnen de integralen in (4) te bepalen. In dit geval ziet men de betrekking in (4) als de oplossing in integraalvorm van DV (1). b) Het is niet altijd mogelijk om in (5) de variabele y op te lossen. We zien dan de betrekking in (5) als een relatie tussen x en y . Dit stelt dan een of andere kromme voor in het platte vlak en wordt dan een oplossingskromme genoemd.

c) We kunnen (4) sneller verkrijgen uit (2). Daartoe vatten we in (2) de term dy_dx

niet alleen op als een symbool voor de afgeleide van y naar x , maar ook als een gewone breuk gevormd door de differentialen dx en dy . Men kan dx opvatten als een oneindig kleine ∆ x is en dy als de bijbehorende oneindig kleine ∆ y . Dit is gebaseerd op de definitie van de afgeleide:

f' ( x )= lim ∆ x → 0∆ y ∆ x = lim ∆ x → 0f (x+∆ x)−f (x ) ∆ x .

(3)

Het werken met differentialen passen we ook toe bij het impliciet differentiëren van een kromme. Als we op deze manier dy

dx interpreteren dan is (2) te herschrijven tot s( y) q( y )dy =

−p(x )

r (x) dx . Door beide leden te integreren komen we tot (4).

Dit is een soort symbolisch rekenen dat snel tot de correcte oplossing van de DV voert.

d) In (4) komt in het linkerlid alleen de variabele y en in het rechterlid alleen de variabele x voor.

We hebben hiermee de variabelen y en x gescheiden van elkaar. e) In plaats van (4) kunnen we natuurlijk ook nemen

_∫

s ( y)

q( y) dy +

∫

p (x)

r (x )dx =0 . f) In de oplossing van de DV komt een integratieconstante C voor.

Door te eisen dat deze oplossing door een bepaald punt gaat kunnen we C berekenen.

Voorbeeld 1 x2_{∙ y+} ¿ _{x ∙ y}1 ∙ y'=0 . x3 + 1 y2∙ dy dx=0 , 1 y2dy=−x 3 dx ,

∫

1 y2dy=−

∫

x 3 dx , −1 y ¿−14 x 4 +C , y=¿ 1 1 4 x 4 −C ¿ 4 x4 +D

( D=−4 C¿ . Voorbeeld 2 x ∙

(

y2 +1

)

+

√

x2+4 ∙ 2 y ∙ y'=0 . x

√

x2₊₄+ 2 y y2+1∙ dy dx=0 , 2 y y2+1dy= −x

√

x2 +4dx ,

∫

2 y y2+1dy=−

∫

x

√

x2 +4dx , ln

(

y2+1

)

=−

√

x2+4 +C , y2+1=e−√x2+4+ C=D ∙e−√x2+4 ( D=eC¿ ,

y=±

_√

D∙ e−√x2 +4_{−1 .} Voorbeeld 3 1 y −2+ 1 x +3 ∙ y'=0 .

(x+3)dx+(y −2)dy=0 ,

_∫

( x +3) dx +

_∫

( y−2) dy=0 , 1 2(x +3) 2 +1 2(y−2) 2 =C , (x+3)2+(y−2)2=D ( D=2 C¿ .

De integraalkrommen (met D>0 ) stellen concentrische cirkels voor met middelpunt (−3, 2).

(4)

4 y−x ( y−3)∙ y'=0 . 4 x – y−3 y ∙ dy dx ¿0 , 4 xdx−

(

1− 3 y

)

dy=0 ,

∫

4 xdx=

∫

(

1− 3 y

)

dy , 4 ∙ ln|x|=y−3 ∙ ln|y|+C , ln

₍

_|x|4|y|3

)

=y+C , x4|y|3=ey +C=eC∙ ey , x4y3=± eC∙ ey , x4y3=D ∙ey ( D=± eC¿ .

B) Lineaire homogene DV van orde 1

Dit is een DV van de vorm: y'

=p(x )∙ y . Deze is te herschrijven als dy

dx ¿p(x)∙ y , 1

ydy= p(x )dx en laat zich eenvoudig oplossen:

∫

1_ydy=

_∫

p ( x ) dx , ln|y|=P( x )+C ( P(x) is een primitieve van p(x) ), |y|=eP(x)+C , y=± eC∙ eP(x) _{, y=D ∙ e}P(x) _{. Hierbij is D=± e}C _{. Het getal e}C _{kan elke positieve waarde} aannemen als C alle mogelijke constante waarden doorloopt, dus D=± eC _{kan dan elke reële} waarde ongelijk aan nul aannemen. Echter D=0 is ook toegestaan, want dan krijg je y=0 : de functie die voor elke waarde van x gelijk is aan nul en deze functie voldoet aan de DV

y'

=p ( x) ∙ y . Een speciaal geval krijg je als p (x ) een constante functie is. Je hebt dan de DV y'

=a ∙ y , waarbij a een constante is. De oplossing van de DV is in dit geval y=D ∙ eax _.

Voorbeeld 5 y'=2 x ∙ y . y=C ∙ e∫2 xdx=C ∙ ex2 . Voorbeeld 6 y'=−3 ∙ y . y=C ∙ e∫−3 dx=C ∙ e−3 x .

C) Lineaire inhomogene DV van orde 1

Dit is een DV van de vorm: y'

=p ( x) ∙ y+q ( x ) met q(x) niet constant gelijk aan nul. (6) We zullen een methode aangeven om een dergelijke DV op te lossen.

We weten reeds dat de oplossing van de homogene DV y'

=p ( x) ∙ y is:

y=C ∙ eP(x) _{, waarbij C een constante is en} _P₍_x₎ _{een primitieve is van} _p₍_x₎ _. Van de DV in (6) proberen we een oplossing te vinden van de vorm

y=C(x)∙ eP ( x) _{, waarbij C ( x) een nader te bepalen functie van} _x _is. y'=C'(x)∙ eP ( x)+C(x)∙eP (x )∙ P'(x)=C'(x)∙ eP ( x )+C(x)∙ eP ( x)∙ p(x) .

(5)

Er moet dus gelden dat C'(x)∙ eP ( x)+C(x)∙ eP (x )∙ p(x)=p(x)∙ C(x)∙eP (x )+q(x) , oftewel C'(x)∙ eP ( x)=q(x) , C'(x)=e−P (x )∙ q(x) . Hieruit volgt door integratie

C ( x )=

_∫

e−P(x)_{∙ q ( x ) dx} _{. We hebben hiermee gevonden:} De algemene oplossing van de DV y'

=p ( x) ∙ y+q ( x ) is y=eP(x)_∙

∫

e−P(x)_{∙ q ( x )dx} _{, waarbij} _P_(x

) een primitieve is van p(x) . (7)

Opmerkingen

a) Voor P (x) nemen we een van de primitieven van p (x) ; de integratieconstante hoeven we niet op te schrijven.

b) Als we

_∫

e−P(x)_{∙ q ( x ) dx} _{bepalen, dan moeten we ook de integratieconstante opschrijven.} c) Soms verlangen we een oplossing y van de DV in (6) die voldoet aan een zekere

beginvoorwaarde y

(

x0

)

=y0 . Aan deze beginvoorwaarde kan vaak voldaan worden door voor de

integratieconstante een geschikte waarde te nemen.

d) De primitieve van e−P(x)_{∙ q ( x ) is lang niet altijd te bepalen. We zien dan (7) als een oplossing van} de DV in integraalvorm.

e) Als p (x ) een constante functie is, d.w.z. als de DV van de vorm y'

=a ∙ y+ q ( x ) is, waarbij a een getal is, dan is vaak een eenvoudiger aanpak mogelijk, die we onder D) zullen beschrijven.

Voorbeeld 7 x y'=−y−x3−3 x2+2 x=0 ( x>0¿ . De DV is te herschrijven als y'=1 x∙ y +x 2 +3 x −2 ( x>0¿ _. Dit is van het type in (6) met p (x)=1_x en q ( x )=x2

+3 x−2 .

Een primitieve van p(x) is P (x)=

∫

1_xdx=ln ( x) (want x>0 ). De oplossing van de DV is dus

y=eln(x)_∙

∫

e−ln(x)_∙

₍

_x2 +3 x−2

)

dx=x ∙

_∫

1 x∙

(

x 2 +3 x−2

)

dx=x ∙

_∫

(

x+3−2 x

)

dx x ∙

(

1 2x 2 +3 x−2∙ ln ( x )+C

)

=1 2x 3 +3 x2−2 x ln ( x )+Cx . Voorbeeld 8 y'_{=2 x ∙ y+4 x .}

Dit is van het type∈(6)met p(x)=2 x en q(x)=4 x .

Een primitieve van p (x) is P (x)=x2 _{. De oplossing van de DV is}

y=ex2∙

_∫

e−x2

∙ 4 x dx=ex2∙

(

−2 e−x2

+C

)

=−2+C ∙ ex 2

(6)

Voorbeeld 9

y'=−2 ∙ y +sin (3 x ) met y (0 )=1. Volgens (7) is de oplossing van de DV:

y=e∫−2 dx

∙

_∫

e−_∫−2 dx

∙ sin(3 x ) dx=e−2 x_{∙ A , waarbij A=}

∫

e2 x∙ sin (3 x ) dx . Tweevoudige partiële integratie geeft:

A=1 2e 2 x ∙sin (3 x )−

_∫

1 2e 2 x ∙3 cos (3 x ) dx=1 2e 2 x ∙ sin (3 x )−3 4e 2 x ∙ cos(3 x)−9₄ A .

Hieruit volgt dat A= 4 13e 2 x

(

12sin (3 x )− 3 4cos (3 x )

)

+C , dus y=e−2 x∙ A=¿ (3 x )−¿ 3 13cos (3 x )+C ∙ e −2 x 2 13sin¿ . y(0)=1 geeft −3 13 +C=1 , dus C=1 3 13

en (3 x )−¿ 3 13cos (3 x )+1 3 13∙ e −2 x y= 2 13sin¿ . Voorbeeld 10 y'=4 ∙ y +(5 x −2)∙ e3 x .

Volgens (7) is de oplossing van de DV: y=e∫4 dx∙

_∫

e−_∫4 dx

∙ (5 x−2) ∙ e3 xdx=e4 x∙

_∫

(5 x−2)∙ e−xdx

¿(parti ë≤integratie)e4 x∙

(

(5 x−2)∙−e−x−

∫

5 ∙−e−xdx

)

=e4 x∙

(

(5 x−2)∙−e−x−5 e−x+C

)

¿(−5 x−3) ∙ e3 x+C . e4 x .

D) Lineaire inhomogene DV van orde 1 met een constante coëfficiënt van de term y .

Hiermee bedoelen we een DV van de vorm y'

=a ∙ y+q ( x ) . (8)

waarbij a een constante is. Deze kan met de algemene methode van C) worden aangepakt, maar we zullen nu een andere oplossingsmethode aangeven .

De DV y'=a ∙ y is de bijbehorende homogene DV van (8). De algemene oplossing hiervan is

yh(x )=A ∙ e

ax _{(zie zo nodig B) ).}

Een functie die aan (8) voldoet heet een particuliere oplossing en we zullen die noteren als yp(x) .

Beschouw nu een functie y van de vorm y= y_h+y_p _{. Deze voldoet aan de DV in (8), want}

y'

=yh'+yp'=a ∙ yh+a ∙ yp+q (x )=a ∙

(

yh+yp

)

+q ( x )=a∙ y +q ( x ) .

(7)

(

y− yp

)

'

=y'−y_p'=a ∙ y +q ( x )−

(

a ∙ y_p+q (x )

)

=a ∙

₍

y− y_p

₎

, dus y− yp is een oplossing van de bijbehorende homogene DV. Er volgt dat y− y_p=y_h , dus y= y_h+y_p voor een zekere oplossing

y_h van de homogene DV.

Dit alles leert dat de algemene oplossing van (8) gegeven wordt door y= A ∙ eax

+yp , waarbij yp een particuliere oplossing is en A een constante.

We zullen nu aangeven hoe we voor een aantal situaties een particuliere oplossing kunnen vinden van de DV y'

=a ∙ y+ q ( x ) . Zie de volgende tabel (vanaf de 2e regel zijn alle letters ≠ x constanten). q(x) yp(x) b B bx +c Bx +C b x2 +cx+d B x2+Cx+D p0+p1x + p2x2+⋯+ pnxn P0+P1x +P2x2+⋯+Pnxn b ∙ sin ( px )+c ∙cos ( px ) B ∙ sin ( px)+C ∙ cos ( px )

b ∙ erx (r ≠ a) B ∙ erx (bx +c )∙ erx (r ≠ a) (Bx +C )∙ erx

(

b x2+cx +d

)

∙ erx (r ≠ a)

(

B x2+Cx+D

)

∙ erx

(

p0+p1x+ p2x 2 +⋯+ p_nxn

₎

∙erx (r ≠ a)

₍

P0+P1x+P2x 2 +⋯+P_nxn

₎

∙ erx erx∙

{

b ∙sin ( px )+c ∙ cos ( px )

}

(r ≠ a) erx∙

{

B ∙ sin ( px )+C ∙ cos ( px )

}

eax∙ f (x ) e

ax

∙ F (x ) ( F(x ) is een primitieve van f (x) )

De resultaten uit deze tabel zijn m.b.v. de formule in (7) te motiveren. We illustreren dit voor de laatste regel in de tabel. We hebben dus een DV van de vorm y'

=ay +eax∙ f (x) . Toepassen van (7) geeft: y=eax_∙

∫

e−ax_{∙ e}ax_{∙ f ( x )dx =e}ax_∙

∫

f (x ) dx=eax_{∙ F (x)} _.

De tabel leert bijvoorbeeld dat als q ( x)=b ∙ sin ( px)+c∙ cos ⁡( px) , er een particuliere oplossing van de vorm B ∙ sin ( px)+C ∙ cos ⁡( px) is. De waarden van B en C kunnen bepaald worden door deze oplossing in de DV te substitueren en daarna de coëfficiënten van gelijksoortige termen aan elkaar gelijk te stellen. We zullen voor een aantal gevallen uit de tabel een voorbeeld geven.

Voorbeeld 11

y'=3 ∙ y +5. (9)

(8)

B een constante is. Invullen in de DV geeft. 0=3∙ B+5 , dus B=−5₃ . De algemene oplossing van de homogene DV y'_{=3 ∙ y} _is _y

h(x)=C ∙ e

3 x _{, dus de algemene oplossing van (9) is}

y= A ∙ e3 x−5 3 .

Voorbeeld 12

y'

=−y +2 x−7 . (10)

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x )=Bx +C . Invullen in (10) geeft: B=−Bx−C+2 x−7=(2−B)x−C−7 . Hieruit volgt: 2−B=0∧ B=−C−7 ,

dus B=2 en C=−9 . De algemene oplossing van (10) is daarom y= A ∙ e−x_{+2 x−9} _.

Voorbeeld 13

y'_{=−3 y +x}2

+4 x +1 met y(1)=2 (11)

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x )=B x

2

+Cx+D . Invullen in (11) geeft: 2 Bx+C=−3 B x2−3 Cx−3 D+x2+4 x+1 , dus

(3 B−1) x2

+(2 B+3C−4 ) x +(C+3 D−1)=0 .

Dit moet geldig zijn voor alle waarden van x en dat kan alleen het geval zijn als de coëfficiënten van de machten van x allemaal gelijk zijn aan nul, d.w.z.

3 B−1=0∧ 2 B+3 C−4=0 ∧C +3 D−1=0 . We vinden hieruit direct dat B=1

3 , C=1 1

9

en D= −1

27 . De algemene oplossing van (11) is daarom y= A ∙ e−3 x +1 3 x 2 +11 9x− 1 27 . y (1 )=2 geeft A ∙ e−3=2−111 27= 16 27

,

dus A= 16 27∙ e 3

. Dit geeft de oplossing y=16 27∙ e 3 e−3 x+1 3x 2 +11 9x− 1 27= 16 27∙ e 3−3 x +1 3 x 2 +11 9x− 1 27 . Voorbeeld 14 y'_{=2 y+4 ∙ sin (3 x) .} ₍₁₂₎

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x )=B ∙ sin (3 x )+C ∙ cos (3 x ) . Invullen in (12) geeft:

3 B ∙ cos(3 x)−3 C ∙ sin(3 x)=2 B ∙sin(3 x)+2C ∙cos(3 x)+4 ∙sin(3 x) . Er volgt dat 3 B=2 C ∧−3 C=2 B+4 . Oplossen leidt tot B=−8

13 en C= −12

13 . De algemene oplossing van (12) is dus y= A ∙ e2 x− 8

13∙ sin (3 x )− 12

(9)

Voorbeeld 15

y'_{=4 y−3 ∙ e}2 x _. ₍₁₃₎

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x)=B ∙ e2 x . Invullen in (13) geeft:

2 B ∙ e2 x=4 B ∙ e2 x−3 ∙e2 x en dit impliceert dat 2 B=4 B−3 , dus B=11₂ .

De algemene oplossing van (13) is y= A ∙ e4 x+11 2∙ e

2 x

.

Voorbeeld 16

y'=3 y +5 ∙e3 x . (14)

De factor 3 in de term 3 y is gelijk aan de factor 3 in de exponent 3 x van de term e3 x . Toepassen van de laatste regel in de tabel op pag. 6 geeft als algemene oplossing van (14):

y=e3 x∙( A+5 x) .

Opmerkingen

a) Als we in (14) een particuliere oplossing van de vorm yp(x)=B ∙ e

3 x _{zouden proberen, dan}

geeft dit na invullen in de DV: 3 B ∙ e3 x=3 B ∙ e3 x+5 ∙ e3 x , maar hieraan kan duidelijk door geen

enkele B worden voldaan.

b) De algemene oplossing van de DV y'

=ay +b ∙ eax is y=(A +bx )∙ eax .

Dit blijkt op een analoge manier als in de oplossing van de DV in (14).

Voorbeeld 17

y'=−5 y +(3 x−2)∙ e2 x. (15)

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x)=(Bx +C)∙ e2 x . Invullen in (15) geeft: B ∙ e2 x+2( Bx+C ) ∙ e2 x=−5 (Bx+ C) ∙ e2 x+(3 x−2) ∙ e2 x . Er moet gelden dat

B+2C=−5 C−2∧2 B=−5 B+3 . Oplossen geeft B=3₇ en C=−17₄₉ .

De algemene oplossing van (15) is y= A ∙ e−5 x+

(

3 7x− 17 49

)

∙ e 2 x . Voorbeeld 18 y'_{=−2 y +(4 x−7 )∙ e}−2 x _{met y (3)=6e}−4_. ₍₁₆₎

De factor −2 in de term −2 y is gelijk aan de factor −2 in de exponent −2 x van de term e−2 x .

Toepassen van de laatste regel in de tabel op pag. 6 geeft als algemene oplossing van (16): y=

(

2 x2_{−7 x+ A}

₎

_{∙ e}−2 x _.

(10)

y (3 )=6 e−4 geeft A−3 ¿ ) ∙ e −6_{=6 e}−4 _{, dus} _{A=3+6 e}2 _. De oplossing van (16) is y=

(

2 x2−7 x+3+6 e2

)

∙ e−2 x . Voorbeeld 19 y'=−y +

(

3 x2−2 x−4

)

∙ e−3 x . (17)

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x)=

(

B x2+Cx+ D

)

∙ e−3 x . Invullen in (17) geeft:

y=(2 Bx +C )∙ e−3 x₋₃

₍

_{B x}2

+Cx +D

)

∙ e−3 x=−

(

B x2+Cx+ D

)

∙ e−3 x+

(

3 x2−2 x−4

)

∙ e−3 x en hieruit volgt: −3 B=−B+3 ∧2 B−3 C=−C−2∧ C−3 D=−D−4 .

Dit levert B=−11₂ , C=−1₂ en D=13₄ .

De algemene oplossing van (17) is y= A ∙ e−x

+

(

−11 2x 2 −1 2x +1 3 4

)

∙ e −3 x . Voorbeeld 20 y'=4 y+

(

−9 x2+6 x +5

)

∙ e4 x . (18)

De factor 4 in de term 4 y is gelijk aan de factor 4 in de exponent 4 x van de term e4 x _.

Toepassen van de laatste regel in de tabel op pag. 6 geeft als algemene oplossing van (16): y=

(

−3 x3+3 x2+5 x + A

)

∙ e4 x .

Voorbeeld 21

y'=−4 y +e2 x∙

{

3 sin (3 x)+4 cos (3 x )

}

. (19)

We zoeken een particuliere oplossing van de vorm yp(x)¿e

2 x

∙

{

B ∙sin(3 x)+C ∙ cos(3 x)

}

. Invullen in (19) geeft (na deling door e2 x ) :

2∙

{

B ∙sin (3 x )+C ∙ cos (3 x )

}

+3 B ∙ cos (3 x )−3 C ∙ sin(3 x )

¿−4

{

B ∙ sin (3 x )+C ∙ cos (3 x )

}

+3 sin (3 x )+4 cos (3 x ) en dit impliceert dat 2 B−3 C=−4 B+3∧2 C+3 B=−4 C +4 , oftewel C=2 B−1∧ 6 C+2 B=4 . Hieruit vinden we eenvoudig dat B=2

3 en C= 1

3 . De oplossing van (19) is daarom: y=e−4 x+1

3∙ e

2 x

∙

{

2∙ sin (3 x )+cos (3 x )

}

.

E) DV van het type y'

=a y2+by +c ( a , b en c zijn constanten, D=b2−4 ac ≥ 0 en a ≠ 0 ).

We onderscheiden twee gevallen. E1) D>0 en E2) D=0 .

(11)

E1): D>¿ 0 . Dan heeft de vergelijking _{a y}2₊_{by +c=0} twee verschillende reële wortels y₁ en y2 , dus a y2+by +c=a

(

y− y1

)

(y − y2) .

De DV is te herschrijven als dy_dx ¿a

₍

y− y₁

₎

(y− y₂) , 1

(

y− y1

)

(y − y2) dy=a dx , 1 ∆ ∙

{

1 y− y1 − 1 y− y2

}

dy=a dx ( ∆= y₁−y₂¿ ,

{

1 y− y1 − 1 y− y2

}

dy=a ∆ dx . We bepalen de oplossing:

{

y− y1 ₁− 1 y− y₂

}

dy =¿

∫

a ∆ dx

∫

¿ , ln

|

(

y − y1

)

|

−ln

|

(

y− y2

)

|

=a ∆ ∙ x+C , ln

|

(

y − y1

)

|

(

y − y2

)

|

=a ∆ ∙ x+C , ln

|

y− y1 y− y₂

|

=a ∆ ∙ x +C ,

|

y− y₁ y− y₂

|

=e a ∆∙ x+C , y − y₁ y − y2 ¿± e C_{∙ e}a ∆ ∙ x

=E∙ ea ∆ ∙ x ( E=±eC is een willekeurige constante ≠ 0¿ , y− y1=

(

y− y2

)

∙ E ∙ ea ∆ ∙ x , y ∙

(

1− E∙ ea ∆ ∙ x

)

=y1−y2∙ E ∙ea ∆ ∙ x ,

y=¿ y1−y2∙ E ∙e

a ∆ ∙ x

1 – E ∙ ea ∆ ∙ x . (20)

In (19) staat de algemene oplossing van de DV dy_dx ¿a

₍

y− y₁

₎

(y− y₂) _. ₍₂₁₎

Uit de afleiding is gebleken dat E een willekeurige constante ≠ 0 voorstelt.

Nu is echter duidelijk dat E=0 ook toegestaan is, want dan volgt uit (20) dat y= y₁ (constante functie) en deze functie voldoet ook aan de DV in (21).

Uit (20) blijkt tevens dat de grafiek van elke oplossing van DV waarvoor E ≠ 0 twee horizontale asymptoten heeft. Er zijn twee situaties mogelijk:

a) a ∆>0 . y1−y2∙ E ∙e a ∆ ∙ x 1 – E ∙ ea ∆ ∙ x

→

{

y₁ y₂ als als x x → → −∞ ∞ ,

dus y= y1 is een H.A. links en y= y2 is een H.A. rechts.

b) a ∆<0 . y1−y2∙ E ∙ea ∆ ∙ x 1 – E ∙ ea ∆ ∙ x

→

{

y₂ y₁ als als x x → → −∞ ∞ ,

dus y= y2 is een H.A. links en y= y1 is een H.A. rechts.

(12)

a y2+by +c=a

₍

y− y₁

₎

2 .

De DV is te herschrijven als dy_dx ¿a

₍

y− y₁

₎

2 , 1

(

y− y1

)

2 dy=a dx . We bepalen de oplossing:

∫

1

(

y− y1

)

2dy=

∫

a dx , −1 y − y₁ ¿ax +C , y= y₁−¿ 1 ax+C .

De grafiek van de oplossing van de DV heeft duidelijk de lijn y= y1 als H.A.

Voorbeeld 22

y'=2 y2+5 y −3 . (22)

We zullen niet rechtstreeks (20) toepassen om dat deze nogal lastig te memoriseren is. Bovendien is het leerzamer om zelf ‘handmatig’ de DV op te lossen.

Voor de kwadratische uitdrukking 2 y2+5 y−3 geldt dat D=52−4 ∙ 2 ∙(−3 )=49>0 .

De oplossingen van de vergelijking 2 y2+5 y−3=0 zijn y=¿ −5 ± 7₄ , dus y=1₂∨ y =−3

. De DV is te herschrijven als dy dx=2

(

y− 1 2

)

( y +3) . Er volgt dat 1

(

y−1 2

)

( y +3) dy=2 dx , ₇2 ∙

{

1 y−1 2 − 1 y +3

}

dy=2dx ,

{

1 y−1 2 − 1 y +3

}

dy=7 dx

{

y−11 2 − 1 y +3

}

dy=¿

∫

7 dx

∫

¿ , ln

|

(

y−1 2

)

|

−ln

|

( y +3)

|

=7 x+C , ln

|

(

y− 1 2

)

|

(y +3)

|

=7 x +C , ln

|

y−1 2 y +3

|

=7 x +C ,

|

y−1 2 y +3

|

=e 7 x+C , y − 1 2 y +3 =± e C ∙ e7 x , y −1 2 y +3

¿E ∙ e7 x ( E=±eC is een willekeurige constante ≠ 0 ) , y−1₂=( y +3) ∙ E ∙ e7 x ,

y ∙

(

1− E∙ e7 x

)

=1 2+3 E ∙e 7 x , y=¿ 1 2+3 E ∙ e 7 x 1−E ∙ e7 x ,

y=¿ 1+3 F ∙ e 7 x 2−F ∙ e7 x

( F=2 E ≠ 0¿.

(13)

Ook F=0 voldoet, want dan krijgen we de constante oplossing y=1₂ .

De algemene oplossing van (22) is y=¿ 1+3 F ∙ e

7 x

2 – F ∙ e7 x , waarbij F een willekeurige constante

is. Voorbeeld 23 y' =y2−4 y +4 met y(0)=1 . De DV is te herschrijven als dy dx ¿( y−2) 2 _, 1 ( y −2)2 dy=1 dx . We bepalen de oplossing:

∫

1 ( y−2)2dy =

∫

1 dx , −1 y −2 ¿x+C , y=2−¿ 1 x +C . Bij de beginvoorwaarde y(0)=1 vinden we dat C=1 , dus y=2−¿ 1

x +1 .

F) DV van het type y'

=a y2+by ( a enb zijn constanten en a , b ≠ 0 ).

Dit is een speciaal geval van E) en kan met een andere techniek worden opgelost. We voeren een nieuwe variabele in. Stel daartoe y=u−1

. Dan y'=−u−2∙ u' (kettingregel). De DV gaat over in: −u−2

∙u'=a ∙u−2+b ∙u−1 . Vermenigvuldig beide leden met −u2 :

u'=−bu−a . Dit is een inhomogene lineaire DV van orde 1 met constante coëfficiënten (zie D) ). Een particuliere oplossing is up=

−a

b en de algemene oplossing van de homogene DV u'=−bu is uh=C ∙e

−bt _{, dus de algemene oplossing van de DV} u'

=−bu−a is u=C ∙e−bt−a_b .

De oplossing van de gegeven DV y'

=a y2+by is daarom: y=

(

C ∙ e−bt −a b

)

−1 =¿ b D ∙ e−bt −a ( D=bC¿. Opmerkingen

a) De bovenstaande DV kan natuurlijk ook met de techniek beschreven in E) opgelost worden. b) In E) met c ≠ 0 leidt het stellen van y=u−1 _{niet tot een eenvoudiger DV. Er geldt dan:}

−u−2∙u'=a ∙u−2+b ∙u−1+c en na vermenigvuldigen met −u2 krijgen we: u'=−c u2−bu−a ; deze DV is van hetzelfde type als y'=a y2+by +c .

c) y=0 (constante functie) voldoet aan de DV maar kan niet weergegeven worden door een formule van de vorm y= b

D∙ e−bt

(14)

Voorbeeld 24

y'=−y2+4 y . (23)

We zullen deze DV op twee manieren oplossen.

Methode 1 (zie E) ) y' =y (4− y ) , _{y ( 4 – y )}1 dy=¿ 1 dx ,

∫

1 y ( 4 – y )dy=

∫

1 dx ,

∫

1₄

{

1_y+ 1 4− y

}

dy=

∫

1 dx , 1 4

{

ln|y|−ln|4− y|

}

=x+C , ln

|

y 4− y

|

=4 x +D ( D=4 C¿ ,

|

4− yy

|

=e 4 x+ D , y 4− y=± e D_{∙ e}4 x

=E ∙ e4 x ( _E=±eD ) , y=(4− y )E ∙ e4 x , y

₍

_{1+E ∙ e}4 x

₎

₌_{4 E ∙e}4 x

y=¿ 4 E ∙ e 4 x 1+E ∙ e4 x ¿ 4 F ∙e−4 x+1

( F=E −1 ¿ . Methode 2 (zie F) )

Stel y=u−1 _{, dan krijgen we}

−u−2∙u'=−u−2+4 ∙u−1 , dus (na vermenigvuldigen met – u2 ):

u'

=−4 u+1 . Hiervan is een particuliere oplossing up=

1

4

en de algemene oplossing van de homogene DV u'=−4 u is uh=C ∙e−4 x . De algemene oplossing van u'=−4 u+1 is daarom

u=C ∙e−4 x+1

4 . De oplossing van (23) is derhalve: y=

(

C ∙ e−4 x+1

4

)

−1

=¿ 4

D ∙ e−4 x₊₁ ( D=4 C¿.

G) Homogene lineaire DV van orde 2 met constante coëfficiënten.

Dit is een DV van de vorm y''

+a y'+by=0 . (24)

Hierbij zijn a en b constanten.

We proberen een oplossing van de vorm y=eλx _{te vinden, waarbij} _λ _{een nader te bepalen} constante is. Invullen in (24) geeft: λ2

∙ eλx+aλ ∙ eλx+b ∙ eλx=0 , dus (na deling door eλx ):

λ2+aλ +b=0 . (25)

Deze kwadratische vergelijking heet de karakteristieke vergelijking van de DV in (24).

Het type oplossing van de DV hangt af van de discriminant D=a2_{−4 b} _{van de karakteristieke}

vergelijking. We onderscheiden drie gevallen

a) D>0 b) D=0 c) D<0 .

(15)

Vergelijking (25) heeft dan twee verschillende reële oplossingen λ₁ en λ₂ . We hebben hiermee twee functies gevonden die aan de DV voldoen, namelijk

y1=e

λ1x en y 2=e

λ2x . Neem nu willekeurige constanten C

1 en C2 en vorm de functie

y=C₁∙ y₁+C₂∙ y₂ . Dan voldoet ook deze functie aan de DV, immers

y''

+a y'+by=

₍

C₁∙ y₁+C₂∙ y₂

₎

''+a

₍

C₁∙ y₁+C₂∙ y₂

₎

'+b

₍

C₁∙ y₁+C₂∙ y₂

₎

¿C1∙ y1' '+C2∙ y2' '+a

(

C1∙ y1'+C2∙ y1'

)

+b

(

C1∙ y1+C2∙ y2

)

¿C₁∙

(

y₁''+a y₁'+b y₁

)

+C₂∙

(

y₂''+a y₂'+b y₂

)

=C₁∙ 0+C₂∙ 0=0 .

De theorie (waarop we hier niet verder ingaan) leert dat de algemene oplossing van de DV van de vorm is: y=C₁∙ eλ1x

+C₂∙ eλ2x . Als y (0) en y'

(0 ) gegeven zijn (de beginvoorwaarden) , dan kunnen C1 en C2 bepaald

worden.

b) D=0 .

Vergelijking (25) heeft dan een dubbele reële oplossing λ1 . Merk op dat λ1=

−1 2 a . De functie y₁=eλ1x voldoet derhalve aan de DV. Beschouw nu de functie y

2=x ∙ e

λ1x

=x ∙ y₁ . Dan voldoet ook y₂ aan de DV, want

y₂''+a y₂'+b y₂=

₍

x ∙ y₁

₎

' '+a

₍

x ∙ y₁

₎

'+b

₍

x ∙ y₁

₎

=

(

x ∙ y₁'+y₁

)

'+a

(

x ∙ y₁'+y₁

)

+bx ∙ y₁

¿x ∙ y₁''+2 y₁'+ax ∙ y₁'+(a+bx)∙ y1=x ∙ λ1 2

∙ y1+2 λ1∙ y1+ax ∙ λ1∙ y1+(a+bx)∙ y1

¿

{

(

λ₁2+a λ₁+b

)

x+

₍

2 λ₁+a

₎

}

∙ y₁=0

(immers λ12+a λ1+b=0 omdat λ1 een oplossing is van (25) en 2 λ1+a=0 .

Analoog als bij geval a) blijkt dan dat voor willekeurige constanten C1 en C2 de functie

y=C₁∙ y₁+C₂∙ y₂ voldoet aan de DV en de theorie leert tevens dat dit de algemene oplossing van

de DV is. We hebben derhalve als algemene oplossing van de DV gevonden: y=

(

C₁+C₂x

)

∙ eλ1x .

c) D<¿ 0 .

Vergelijking (25) heeft dan twee complexe (niet-reële) oplossingen λ₁ en λ₂ die elkaars

complex geconjugeerde zijn. Stel λ1=p+q i , dan λ2=p−q i , waarbij p en q reële getallen

zijn met q ≠ 0. Omdat λ1 een wortel is van (25), geldt er dat (p+q i)2+a(p+q i)+b=0 ,

p2

−q2+ap+b+(2 pq+aq) i=0 , dus p2−q2+ap+b=0∧2 pq+aq=0 . (26) Voor willekeurige constanten C₁ en C₂ vormen we de functie y=epx

∙

{

C1cos ( qx)+C2sin ( qx)

}

.

We zullen aantonen dat deze functie voldoet aan de DV.

y'=p ∙epx∙

{

C1cos(qx)+C2sin(qx)

}

+epx∙

{

−qC1sin(qx)+qC2cos(qx)

}

¿epx∙

{

(

pC1+qC2

)

cos (qx )+

(

p C2−qC1

)

sin (qx )

}

(16)

+epx∙

_{

−q

(

p C1+qC2

)

sin (qx )+q

(

p C2−qC1

)

cos (qx )

}

¿epx∙

{

(

p2C₁+2 pq C₂−q2C₁

)

cos (qx )+

(

p2C₂−2 pq C₁−q2C₂

)

sin (qx )

}

. Er volgt dat

y''

+a y'+by=epx∙

{

(

p2C₁+2 pq C₂−q2C₁

)

cos (qx )+

(

p2C₂−2 pq C₁−q2C₂

)

sin (qx )

}

. +epx∙

{

(

ap C1+a qC2

)

cos (qx )+

(

ap C2−aqC1

)

sin (qx )

}

+e

px

∙

{

b C1cos (qx )+bC2sin (qx )

}

¿epx∙

{

A ∙ cos (qx )+B ∙sin (qx )

}

, waarbij A= p2C1+2 pq C2−q 2 C1+ap C1+a qC2+bC1=

(

p 2 −q2+ap+b

)

C₁+ (2 pq+aq) C₂=0 en B= p2C2−2 pq C1−q 2 C2+ap C2−aqC1+bC2=−(2 pq+aq) C1+

(

p 2 −q2+ap+b

)

C₂=0 . Hierbij is (26) gebruikt. De functie y=epx_∙

{

C1cos(qx)+C2sin(qx)

}

voldoet dus inderdaad aan de DV.

De theorie leert dat een willekeurige oplossing y van de DV de volgende vorm heeft: y=epx∙

{

C1cos ( qx)+C2sin ( qx)

}

.

Opmerking

Voor de DV (24) en willekeurige constanten r en s geldt dat er precies één functie y is die een oplossing is van de DV en voldoet aan de beginvoorwaarden y(0)=r en y'(0)=s .

Je kunt deze functie vinden door eerst de algemene oplossing van de DV te bepalen waarin de constanten C₁ en C₂ _{voorkomen. De beginvoorwaarden y (0)=r en y}'

(0)=s leiden tot twee vergelijkingen met de twee onbekenden C1 en C2 . Hieruit kunnen C1 en C2

opgelost worden.

Voorbeeld 25

Bepaal de oplossing van y''

+2 y'−15 y=0 waarvoor y (0)=1 en y'(0)=11 . De karakteristieke vergelijking is λ2_{+2 λ−15=0} _{, dus (}_{λ−3) (}_λ+5)₌₀ _.

De oplossingen hiervan zijn λ1=3 en λ2=−5 . De algemene oplossing van de DV is:

y=C1∙ e3 x+C2∙ e−5 x. y (0)=1⟶C1+C2=1 ; y'(0)=11⟶ 3C1−5 C2=11 .

Uit deze twee vergelijkingen volgt dat C1=2 en C2=−1 . De gezochte functie is

y=2 ∙ e3 x−e−5 x .

Voorbeeld 26

Bepaal de oplossing van y''−4 y'+4 y=0 waarvoor y(0)=3 en y'(0)=10 .

De karakteristieke vergelijking is λ2−4 λ +4=0 , dus (λ−2)2=0 . Deze vergelijking heeft de

dubbele oplossing λ1=2. De algemene oplossing van de DV is: y=

(

C1+C2x

)

∙ e 2 x _.

Er geldt: y'

=C2∙ e2 x+

(

2C1+2C2x

)

∙ e2 x=

(

C2+2 C1+2 C2x

)

∙ e2 x

(17)

De gezochte functie is y=(3+4 x )∙ e2 x _.

Voorbeeld 27

Bepaal de oplossing van y''

−8 y'+25 y=0 waarvoor y (0)=5 en y'(0 )=−4 . De karakteristieke vergelijking is λ2

−8 λ+25=0 . Hiervan zijn de oplossingen (want D=−36 )

λ₁=4+3i en λ₂=4−3 i . De algemene oplossing van de DV is

y=e4 x∙

{

C1cos(3 x)+C2sin(3 x)

}

. Er geldt dat

y'_{=4 e}4 x_∙

{

}

+e4 x∙

{

−3 C1sin(3 x)+3C2cos(3 x)

}

.

y (0)=5⟶ C1=5 ; y'(0 )=−4⟶ 4 C1+3 C2=−4 . Dit geeft C1=5 en C2=−8 .

De gezochte functie is y=e4 x_∙

{

5 cos (3 x )−8 sin (3 x )

}

.

H) Inhomogene lineaire DV van orde 2 met constante coëfficiënten.

Dit is een DV van de vorm y''

+a y'+by=q ( x ) . (27)

Hierbij zijn a en b constanten.

De DV y''+a y'+by=0 is de bijbehorende homogene DV. (28)

De algemene oplossing van (28) wordt aangegeven met yh .

In G) is behandeld hoe y_h te bepalen is (m.b.v. de karakteristieke vergelijking). Een functie die aan (27) voldoet heet een particuliere oplossing, genoteerd als yp .

Analoog als in D) blijkt dat de algemene oplossing y van (27) de som is van een particuliere oplossing en de algemene oplossing van de homogene DV (28) : y= yh+yp .

In de volgende tabel staat hoe in een aantal gevallen een particuliere oplossing bepaald kan worden.

q(x) yp(x) b xs_{∙ B} bx +c xs_{∙ ( Bx+C )} b x2 +cx+d xs∙

(

B x2+Cx+ D

)

a0+a1x +a2x2+⋯+anxn xs∙

{

A0+A1x + A2x2+⋯+ Anxn

}

b ∙ sin ( px )+c ∙cos ( px ) xs_∙

{

B ∙cos ( px )+C ∙ sin ( px )

}

b ∙ erx xs∙ B∙ erx (bx +c )∙ erx xs∙ ( Bx+C )∙ erx

(

b x2+cx +d

)

∙ erx xs∙

(

B x2+Cx+ D

)

∙ erx

(

a0+a1x+ a2x 2 +⋯+anx n

)

∙erx xs∙

₍

A0+A1x + A2x 2 +⋯+ Anx n

)

∙ erx

(18)

erx∙

{

b ∙sin ( px )+c ∙ cos ( px )

}

xs∙ erx∙

{

B ∙ sin ( px )+C ∙ cos ( px )

}

In deze tabel is s het kleinste gehele niet-negatieve getal zodanig dat geen enkele term in y_p(x ) (na zo nodig het uitwerken van de haakjes) voorkomt in y_h(x ) .

Het getal s heeft hierbij de waarde 0, 1 of 2 .

Als s=0 , dan is xs _{op te vatten als 1, dus kan de factor x}s _{weggelaten worden.}

Voorbeeld 28

y''_{+2 y}'_{−3 y=6 .} ₍₂₉₎

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2_{+2 λ−3=0 met als oplossingen}

λ₁=1 en λ₂=−3 . De algemene oplossing van de homogene DV is yh=C1∙ ex+C2∙ e−3 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=B van (29) ( B is een constante) ; s=0 want in y_h komt geen constante term voor. Invullen in (29) geeft: 0+0−3 B=6 , dus B=−2 . De algemene oplossing van (29) is y=C1∙ ex+C2∙ e−3 x−2 .

Voorbeeld 29

y''

−2 y'=8 . (30)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2−2 λ=0 met als oplossingen

λ₁=0 en λ₂=2 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=C1+C2∙e2 x .

We zoeken een particuliere oplossing y_p=x ∙ B van (30) ( B is een constante) ;

s=1 want in yh komt de constante term C1 voor, maar geen term van de vorm C ∙ x .

Invullen in (30) geeft: 0−2 B=8 , dus B=−4 . De algemene oplossing van (30) is y=C1+C2∙ e

2 x

— 4 x .

Voorbeeld 30

y''=−6 . (31)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2

=0 met als oplossingen λ₁=0 en λ₂=0 _{. De algemene oplossing van de homogene DV is} y_h=C₁+C₂∙ x _.

We zoeken een particuliere oplossing yp=x

2

∙ B van (31) ( B is een constante) ;

s=2 want in yh komen de termen C1 en C2∙ x voor. Invullen in (31) geeft: 2 B=−6 ,

dus B=−3 .

De algemene oplossing van (31) is y=C1+C2∙ x−3 x2 .

Opmerking

Men kan de oplossing van (31) ook rechtstreeks vinden: uit y''=−6 volgt door integratie dat

(19)

Voorbeeld 31

y''

−2 y'+5 y=10 x+1 . (32)

−2 λ +5=0 met als oplossingen

λ₁=1+2i en λ₂=1−2 i . De algemene oplossing van de homogene DV is

yh=e x

∙

{

}

.

We zoeken een particuliere oplossing yp=Bx+C van (32) ( B en C zijn constanten) ; s=0 want in y_h komen geen constante termen of termen van de vorm Dx voor. Invullen in (32) geeft: −2B+5 Bx+5C=10 x+1 , dus B=2 en C=1 .

De algemene oplossing van (32) is y=ex∙

{

C1cos (2 x )+C2sin (2 x )

}

+2 x+1 .

Voorbeeld 32

y''−6 y'=24 x−10 met y(0)=3 en y'(0 )=−5 . (33)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2−6 λ=0 met als oplossingen

λ₁=0 en λ₂=6 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=C1+C2∙e6 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=x ∙( Bx+C ) van (33) ( B en C zijn constanten) ; s=1 want in y_h komt een constante term voor, maar geen term van de vorm D∙ x . Invullen in (33) geeft: 2 B−6(2 Bx+C)=24 x−10 , dus B=−2 en C=1 .

De algemene oplossing van (33) (zonder beginvoorwaarden) is y=C1+C2∙ e 6 x

−2 x2+x .

y'=6 C2∙ e6 x−4 x+1 , dus de beginvoorwaarden leiden tot

C₁+C₂=3 en 6 C₂+1=−5 . Hieruit vinden we C₁=4 en C₂=−1 . De oplossing van (33) is daarom: y=4−e6 x

−2 x2+x .

Voorbeeld 33

y''=6 x−2 . (34)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2=0 met als oplossingen

λ₁=0 en λ₂=0 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=C₁+C₂∙ x . We zoeken een particuliere oplossing yp=x2∙(Bx+C) van (34) ( B is een constante) ;

s=2 want in yh komen de termen C1 en C2∙ x voor.

Invullen in (34) geeft: 6 Bx +2 C=6 x−2 , dus B=1 en C=−1 . De algemene oplossing van (34 is y=C1+C2∙ x +x3−x2 .

Opmerking

(20)

Uit y''_{=6 x−2 volgt door integratie dat y}'₌

∫

(6 x−2) dx=3 x2−2 x+C₂ en nogmaals integreren geeft

(

3 x 2 −2 x+C2

)

dx=x 3 −x2+C₂∙ x +¿C₁ y=

_∫

¿ . Voorbeeld 34 y''+6 y'+10 y=−5 x2+4 x−15 . (35)

+6 λ+10=0 met als oplossingen

λ₁=−3+i en λ₂=−3−i . De algemene oplossing van de homogene DV is

yh=e−3 x∙

{

C1cos(x)+C2sin(x)

}

.

We zoeken een particuliere oplossing yp=B x2+Cx+ D van (35) ( B en C zijn constanten) ; s=0 want in y_h komen geen constante termen of termen van de vorm Ex of F x2 _voor.

Invullen in (35) geeft: 2 B+6 (2 Bx+C )+10

(

B x2

+Cx+D

)

=−5 x2+4 x−15 . Er volgt dat

10 B=−5∧12 B+10 C=4 ∧2 B+6 C+10 D=−15 , dus B=−1

2 , C=1 en D=−2 . De algemene oplossing van (35) is y=e−3 x

∙

_{

C₁cos ( x )+C₂sin ( x )

_}

−1 2x 2 +x−2 . Voorbeeld 35 y''+2 y'=12 x2+4 x+6 . (36)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2_{+2 λ=0} _{met als oplossingen}

λ₁=0 en λ₂=−2 . De algemene oplossing van de homogene DV is yh=C1+C2∙e−2 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=x ∙

(

B x2+Cx +D

)

van (36) ( B en C zijn constanten) ;

s=1 want in yh komt een constante term voor, maar geen term van de vorm E ∙ x . Invullen in (36) geeft: 6 Bx +2 C+2

(

3 B x2+2Cx +D

)

=−5 x2+4 x−15 , dus

6 B=12∧6 B+4 C=4 ∧2 C+2 D=6 , waaruit we vinden dat B=2 , C=−2 en D=5 . De algemene oplossing van (36) is y=C1+C2∙ e−2 x+2 x3−2 x2+5 x .

Voorbeeld 36

y''

=3 x2−6 x−5 . (37)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2

=0 met als oplossingen

λ₁=0 en λ₂=0 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=C₁+C₂∙ x .

We zoeken een particuliere oplossing y_p=x2∙

(

B x2+Cx+ D

)

van (37) ( B is een constante) ; s=2 want in y_h _{komen de termen} C₁ _en C₂∙ x _voor.

(21)

Invullen in (37) geeft: 12 B x2_{+6 Cx +2 D=3 x}2_{−6 x−5} _{, dus B=}1

4 , C=−1 en D=−2 1 2 . De algemene oplossing van (37) is y=C1+C2∙ x +1

4x 4 −x3−21 2x 2 . Opmerking

Men kan de oplossing van (31) ook rechtstreeks vinden: uit y''

=−6 volgt door integratie dat y'=

∫

(

3 x2−6 x−5

)

dx=x3−3 x2−5 x +C2 en nogmaals

integreren geeft y=

_∫

₍

x3−3 x2−5 x +C2

)

dx=1₄ x 4 −x3−21 2x 2 +C2∙ x+C1 . Voorbeeld 37 y''−2 y'+y=5 cos (2 x ) . (38)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2−2 λ +1=0 met als dubbele oplossing

λ₁=1 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=

(

C1+C2x

)

∙ ex .

We zoeken een particuliere oplossing yp=B ∙cos (2 x )+C ∙ sin (2 x ) van (38) ; s=0 want geen enkele term van yp komt voor in yh . Invullen in (38) geeft: −4 B ∙ cos (2 x )−4 C ∙ sin (2 x )−2∙

{

−2 B∙ sin (2 x )+2 C ∙ cos (2 x )

}

+

_{

B∙ cos (2 x )+C ∙ sin(2 x )

_}

¿4 cos(2 x) , dus −4 B−4 C +B=5 ∧−4 C+4 B+C=0 , zodat B=−3

5 en C= −4

5 . De algemene oplossing van (38) is y=

(

C1+C2x

)

∙ e

x −3

5∙ cos(2 x )− 4

5∙ sin (2 x ) .

In het vervolg gebruiken we een aantal malen een kleine uitbreiding van de product regel.

[

f ∙ g

]

'=f'∙ g+ f ∙ g'en

[

f ∙ g

]

' '=

[

f ∙ g

]

'

]

'=

[f

'∙ g+f ∙ g'

]

'=f' '∙ g+f'∙ g'+f'∙ g'+f ∙ g' '. We hebben dus gevonden:

[

f ∙ g

]

' '=f''∙ g+2 ∙ f'∙ g'+f ∙ g' '. Voorbeeld 38 y''_{+9 y =12sin (3 x ) met y}

(

12π

)

=1 en y '

(

12π

)

=−3 . (39)

+9=0 met als oplossingen λ₁=3i en λ₂=−3i . De algemene oplossing van de homogene DV is

(22)

We zoeken een particuliere oplossing y_p=x ∙

_{

B ∙ cos(3 x)+C ∙ sin(3 x)

}

van (39); s=1 want de term C ∙ sin(3 x) komt in yh voor.

yp'=B∙ cos(3 x)+C ∙ sin(3 x)+x ∙

{

−3 B ∙sin(3 x)+3 C ∙ cos(3 x)

}

. yp''=−6 B ∙ sin (3 x)+6 C ∙ cos (3 x )+x ∙

{

−9 B ∙cos (3 x )−9 C ∙sin (3 x )

}

. Invullen in (39) geeft:

−6 B ∙ sin (3 x )+6C ∙cos (3 x )+x ∙

{

−9 B ∙ cos (3 x)+9C ∙ sin (3 x )

_}

+9 x ∙

_{

B∙ cos (3 x )+C ∙ sin (3 x )

_}

¿12sin(3 x) en hieruit volgt dat −6 B=12 en 6 C=0 , dus B=−2 en C=0 .

De algemene oplossing van (39) (zonder beginvoorwaarden) is y=C₁cos (3 x )+C₂sin (3 x )−2 x ∙ cos(3 x ) .

y'=−3 C1sin(3 x)+3 C2cos(3 x)−2cos(3 x)+6 x ∙ sin(3 x) .

y

(

1

2π

)

=1⟶ C2=−1 ; y

'

(

12π

)

=−3⟶ 3 C1−3 π =−3 , dus C1=π −1 .

De oplossing van (39) is y=( π−1)cos (3 x )−sin (3 x)−2 x∙ cos(3 x) .

Voorbeeld 39

y''

−y'−6 y=4 e2 x .

(40)

−λ−6=0 met als oplossingen λ₁=3 en λ₂=−2 . De algemene oplossing van de homogene DV is _y_h=C1∙ e3 x+C2∙ e−2 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=B ∙ e2 x van (40) ( B is een constante) ; s=0 want in y_h _{komt geen term B ∙ e}2 x _{voor. Invullen in (40) geeft: 4 B e}2 x

−2 B e2 x−6 B e2 x=4 e2 x , dus B=−1 .

De algemene oplossing van (40) is y=C1∙ e3 x+C2∙ e−2 x−e2 x .

Voorbeeld 40

y''

−5 y'+4 y=6 e4 x . (41)

−5 λ+4=0 met als oplossingen

λ₁=1 en λ₂=4 . De algemene oplossing van de homogene DV is y_h=C1∙ ex+C2∙ e4 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=x ∙ B ∙ e

4 x _{van (41) ( B is een constante) ;}

s=1 want in y_h komt de term C2∙ e4 x voor, maar er komt geen term van de vorm D∙ x∙ e4 x

voor.

Invullen in (41) geeft:

B ∙

(

8 e4 x+16 x ∙ e4 x

)

−5 B ∙

(

e4 x+4 x ∙ e4 x

)

+4 B ∙ x ∙ e4 x=6 e4 x , 3 B ∙ e4 x=6 e4 x , dus B=2 . De algemene oplossing van (41) is y=C1∙ e

x +C2∙ e

4 x

+2 x ∙ e4 x .

(23)

y''−6 y'+9 y =8 e3 x . (42)

−6 λ+9=0 met als dubbele oplossing

(

C1+C2x

)

∙ e3 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=x2∙ B∙ e3 x van (42) ( B is een constante) ; s=2 want in yh komen de termen C1∙ e

3 x _en

C2x ∙ e

3 x _{voor. Invullen in (42) geeft:}

B ∙

(

2+12 x+9 x2

)

e3 x−6 B ∙

(

2 x+3 x2

)

e3 x+9 B ∙ x2∙ e3 x=8 e3 x , 2 B ∙ e3 x=8 e3 x , dus B=4 . De algemene oplossing van (42) is y=

(

C1+C2x

)

∙ e

3 x

+4 x2e3 x=

(

C₁+C₂x+ 4 x2

)

∙ e3 x .

Voorbeeld 42

y''_{+2 y}'_{+3 y =(3 x+4) ∙ e}−2 x_. ₍₄₃₎

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2+2 λ+3=0 met als oplossingen

λ1=−1+

√

2 i en λ2=−1+

√

2 i . De algemene oplossing van de homogene DV is

y_h=e−x∙

{

C₁cos(

_√

2 x)+C₂sin(

_√

2 x)

_}

.

We zoeken een particuliere oplossing yp=(Bx+C ) ∙e

−2 x _{van (43) ;} _s=0 _{want geen enkele term}

van y_p komt voor in y_h . Invullen in (43) geeft:

−4 B ∙ e−2 x+4 ( Bx+C ) ∙ e−2 x+2

(

B ∙ e−2 x−2 (Bx+ C) ∙ e−2 x

)

+3 (Bx +C )∙ e−2 x ¿(3 x−2)∙ e−2 x . Hieruit volgt dat

4 B−4 B+3 B=3∧ −4 B+4 C+2 B−4 C +3C=4 , dus B=1 en C=2 . De algemene oplossing van (43) is y=e−x_∙

{

C₁cos

(

_√

2 x

)

+C₂sin

(

√

2 x

)

_}

+(x +2) ∙ e−2 x .

Voorbeeld 43

y''−2 y'−8 y =(12 x−10 )∙ e4 x . (44)

De karakteristieke vergelijking van de homogene DV is λ2−2 λ−8=0 met als oplossingen

λ₁=4 en λ₂=−2 . De algemene oplossing van de homogene DV is yh=C1∙ e 4 x

+C₂∙ e−2 x . We zoeken een particuliere oplossing y_p=x ∙( Bx+C ) ∙e4 x=

(

B x2+Cx

)

∙ e4 x van (44) ;

s=1 want in yh komt de term C1∙ e

4 x _{voor. Invullen in (44) geeft (na deling door}

e4 x ₎

2 B+(16 Bx+8C )+16

(

B x2

+Cx

)

−2

{

(2 Bx +C )+ 4

(

B x2+Cx

)

}

−8 ∙

(

B x2+Cx

)

=12 x−10, dus

16 B+16C−4 B−8C−8C=12∧2 B+8 C−2C=−10 . Dit geeft: B=1 en C=−2 .

De algemene oplossing van (44) is y=C1∙ e 4 x +C₂∙ e−2 x+

(

x2−2 x

)

∙ e4 x , oftewel y=

(

C1−2 x +x2

)

∙ e4 x+C2∙ e−2 x . Voorbeeld 44 y'' −4 y'+4 y=(3 x+8) ∙e2 x. (45)

(24)

(

C1+C2x

)

∙ e 2 x _.

We zoeken een particuliere oplossing yp=x2∙(Bx+C)∙ e2 x=

(

B x3+C x2

)

∙ e2 x van (45) ; s=2 want in y_h komen de termen C1∙ e

2 x _{en C} 2x ∙ e

2 x _voor.

Invullen in (45) geeft (na deling door e2 x _):

(6 Bx +2 C)+ 4

(

3 B x2+2Cx

)

+4

(

B x3+C x2

)

−4

{

(

3 B x2+2Cx

)

+2

(

B x3+C x2

)

}

+4

(

B x3

+C x2

)

=3 x +8 , 6 Bx +2 C=3 x +8 , dus B=1₂ en C=4 . De algemene oplossing van (45) is y=

(

C1+C2x

)

∙ e

2 x +

(

1 2x 3 +4 x2

)

∙ e2 x , oftewel y=

(

C₁+C₂x +4 x2+1 2x 3

)

∙ e2 x . Voorbeeld 45 y''−y'−6 y=

(

4 x2−2 x+4

)

∙ e−x . (46)

−λ−6=0 met als oplossingen

λ₁=3 en λ₂=−2 . De algemene oplossing van de homogene DV is yh=C1∙ e3 x+C2∙ e−2 x .

We zoeken een particuliere oplossing yp=

(

B x2+Cx +D

)

∙ e−x van (46) ;

s=0 want geen enkele term van y_p komt voor in y_h . Invullen in (46) geeft (na deling door e−x ₎

2 B−2(2 Bx+C )+

(

B x2+Cx+D

)

−

{

(2 Bx+C )−

(

B x2+Cx +D

)

}

−6

(

B x2+Cx+D

)

¿4 x2−2 x +4 , −4 B x2+ (−6 B−4 C) x+(2 B−3 C−4 D)=4 x2−2 x+4 , dus

−4 B=4∧−6 B−4 C=−2∧2 B−3 C−4 D=4 , waaruit we direct vinden dat B=−1 , C=2 en D=−3 .

De algemene oplossing van (46) is y=C1∙ e3 x+C2∙ e−2 x+

(

−x2+2 x−3

)

∙ e−x .

Voorbeeld 46

y''−y'−6 y=

(

30 x2−2 x+3

)

∙ e−2 x (47)

−λ−6=0 met als oplossingen λ₁=3 en λ₂=−2 . De algemene oplossing van de homogene DV is _y_h₌_C₁_{∙ e}3 x₊_C₂_{∙ e}−2 x _. We zoeken een particuliere oplossing yp=x ∙

(

B x2+Cx +D

)

∙ e−2 x van (47) ;

s=1 want yh bevat een term van de vorm D∙ e−2 x . Invullen in (47) geeft (na deling door e−2 x ₎

(6 Bx +2 C)−4

(

3 B x2_{+2 Cx+D}

₎

+4

(

B x3+C x2+Dx

)

−

{

(

3 B x2+2 Cx+D

)

−2

(

B x3+C x2+Dx

)

}

−6

(

B x3+C x2+Dx

)

=30 x2−2 x +3 , −15 B x2+ (6 B−10 C) x+(2C−5 D)=30 x2−2 x+3 , dus