H6: Werken met algebra

Hoofdstuk 6:

Functies en algebra.

1. a. 2 2 (x 3)(x  1) 0 b. _x2_{  x 6 0} 2 2 3 1 3 3 1 1 x x x x x x             ( 3)( 2) 0 3 2 x x x x        c. 4 2 2 2 6 ( 3)( 2) x x   x  x  2. a. _x4_7x2_{12 0 b.} 2 4 2 12 0 x  x  2 2 2 7 12 ( 3)( 4) 0 3 4 3 4 3 3 2 2 p p p p p p x x x x x x                      2 1 2 2 3 12 ( 4)( 3) 0 4 3 2 2 4 3 p p p p p p x x x x                   c. _x8_5x4 _{6 d. ( x)}2_{5 x 4 0} 2 4 4 5 6 ( 6)( 1) 0 6 1 6 1 1 1 p p p p p p x x x x                     2 _{5 4 ( 4)( 1) 0} 4 1 4 1 16 1 p p p p p p x x x x                3. a. _x4_9x2_{14 0 b. x}4_9x2_{14 4} 2 2 2 9 14 ( 2)( 7) 0 2 7 2 7 2 2 7 7 p p p p p p x x x x x x                      2 2 2 9 18 ( 3)( 6) 0 3 6 3 6 3 3 6 6 p p p p p p x x x x x x                     

c. Als de lijn y p precies door de twee onderste toppen van de grafiek van f gaat of als de lijn boven de lijn ligt die door de bovenste top gaat.

Voer in: 4 2 1 9 14 y x  x  minimum: y 6, 25 en maximum: y14 Voor 1 4 6

p  en p14 heeft de vergelijking f x( ) p twee oplossingen. 4. a. 2 2 (2x1) x c. 2 2 (2x3) (2 3 ) x 2 2 2 1 3 4 4 1 3 4 1 (3 1)( 1) 0 1 x x x x x x x x x               1 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 1 5 x x x x x x x              

5.

a. Dan komt er aan beide kanten van het =-teken 0 te staan. b. Beide kanten van het =-teken delen door x1

c. _(x1)(x2_{ 5) (x1)(2x5)} 2 2 1 0 5 2 5 1 2 ( 2) 0 0 2 x x x x x x x x x x                 6. a. _(3x1)2 _{ (1 2 )x} 2 b. _{x x(  1) (x1)(x}2_20) 2 5 3 1 1 2 3 1 1 2 5 2 0 x x x x x x x             2 2 1 0 20 1 20 ( 5)( 4) 0 5 4 x x x x x x x x x x                  c. _(7x2)(x2_{ 1) x(14x4) 2 (7 x x2)} d. _x2 _4(x5)2 _{2 (}2_{ x 5)}2 _(2x10)2 2 2 2 7 7 2 0 1 2 7 2 2 1 0                ABC formule x x x x x x x 1 3 2 10 2 10 10 3 10 3 x x x x x x x              x 2 8 x 2 1 2 1 2        7. a. _(x2_6)(x2_{3 ) 0x } 2 _{6 ( 3) 0} 6 6 0 3 x x x x x x x            

b. De functie f heeft ook de factor _x2_{3x. Dus x0 en x3 zijn ook nulpunten van f.}

c. _{x x(} 2_{3 ) (x  x}2_6)(x2_{3 )x} 2 2 2 6 3 0 6 ( 3)( 2) 0 ( 3) 0 3 2 0 3 x x x x x x x x x x x x x x                       8. a. Domein: x0 b. 3 x2x0 2 2 1 4 3 2 9 4 4 9 (4 9) 0 0 2 x x x x x x x x x x          ( ) 0 h x  voor 1 4 2 x . 9. a. 1 2 7 8 15 4   7 28 28 28 c. 2 2 3 6 x x  x b. 1 2 1 2x 1 2x x x x x      d. 2 _{28 28} 2 4 7 7 x x x x x   

10. a. 5 5 6 6 35 12 2 2 7 7 42 42    b. 5 7 35 6 2 12 c. zie a en b. 11. a. f x( ) 2 3 2 3x 2 3x x x x x       domein: , 0  0, b. 2 1 3 2 5 15 5 ( ) : 15 x f x x x x x    domein: , 0  0, c. 2 ( 1) ( ) 1 1 1 1 x x x x x f x x x x x x           domein: ,1  1, d. f x( ) 1 2 3 x x x    domein: , 0  0, e. f x( ) 3x 2₂ 6₂x 6 x x x     domein: , 0  0, f. 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) 2 2 2 ( 1) x x x x f x x x x x x         domein: ,0  0,1  1, 12. a. 2 2 4 x x   b. 12 4 1 2 x x    2 2 2(4 ) 8 2 2 8 ( 4)( 2) 0 4 2 x x x x x x x x x               2 2 2 12 ( 1)( 4) 3 4 3 28 ( 7)( 4) 0 7 4 x x x x x x x x x x                  c. 12 4 4 2 x  d. 10 2 9 10 2 x x    12 4 1 2 1 4 4 2 3 2 1 x x x x       3 10 2 9(10 2 ) 90 9 2 10 2 80 2 8 2 3 x x x x x x            13. a. 4 3 x x  b./c. 4 3 x x  x 4( 3) 4 12 3 12 4 ( 4, 4) x x x x x S          2 2 2 3 4( 3) 4 12 ( 6)( 2) 0 6 2 (6, ) ( 2, 2) x x x x x x x x en              

14. a. nee. D_f : 0,



 D_g: 2,



  b. ja. D: 0,



 c. ja. D: 0, d. nee. D:¡ e. nee. D:¡ 15. a. Bf : 3,



 en Bg:¡ ( 4) 25 5 f    en g( 4)  1 b. Het snijpunt is (0, 3)

c. De uitkomst van een wortel is altijd groter of gelijk aan 0: 2 0 2 x x     16. a. 200  100 2 10 2 96 16 6 4 6 48 16 3 4 3 75 25 3 5 3 1000 100 10 10 10 b. 18 8 3 2 2 2   2 c. _{d  z}2_z2 _{ 2z}2 _{ z}2_{ 2 z 2} 17. a. D_f : 0,



 en ook D_g : 0,



 b. c. 3 2 2 ( ) x x x h x x x x x      voor x0 18. a. b. Voor x0 is _x2 _{x en voor x}_{0 is} 2 x  x 19. a. 1 2x 1 0 1 2 1 2 x x     b. 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 x voor x f x x voor x      _{   } 

c. De grafiek van f is 1 naar beneden verschoven. De nulpunten van g zijn: (-4, 0) en (0, 0).

t y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1 g(x) f(x) t y 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 f(x) g(x) t y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 2

y



x

1 2

|

1|

y



x



20. a. b. ( ) 2 2 2 2 x voor x f x x voor x     _{  }  Voor x2 is h x( ) (    x 2) (3 x) 5 c. ( ) 3 3 3 3 x voor x g x x voor x      _{   }  Voor x 3 is k x( ) (     x 2) ( 3 x)  2x 1 Voor   3 x 2 is k x( ) (    x 2) (3 x) 5 En voor x2 is k x( ) ( x  2) (3 x) 2 x1 21. a. b. Als _x2 _{| |x dan is} 2 (x1)  |x 1|

c. Als je het gedeelte van l(x) dat onder de x-as ligt spiegelt in de x-as, dan krijg je de grafiek van k(x).

d. 2 1 4 x x     2 1 1 1 1 2 2 2 2 5 0 21 21 ABC formule x x x x            2 2 1 1 2 2 1 4 3 0 13 ABC formule x x x x alleen x voldoet            2 2 1 1 2 2 1 4 5 0 21 ABC formule x x x x alleen x voldoet            2 2 1 1 2 2 1 4 3 0 13 ABC formule x x x x alleen x voldoet          ( ) ( ) h x k x voor 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 x 2 2 13 en 2 2 21 x 2 2 13           22. a. 1 2 10 p q  b. 1 2 24 p q  1 2 10 q p 1 1 2 1 2 2 2 (10 ) 10 24 p p  p p  c. 2 1 1 2 2 10 24 0 p  p  1 2 1 2 3 7 7 3 ABC formule p p q q       23. a. b. 2 I a b en 2 2 4 O a  ab c. 2 112 a b 2 112 b a  d. 2 2 2 112 448 2 4 2 O a a a a a      t y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 t y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2

e. 2 3 448 2 144 2 448 144 0 a a a a     

Voer in: y12x3144x448 zero: x4  x5,75

De afmetingen zijn 4 bij 4 bij 7 of 5,75 bij 5,75 bij 3,39 24. a. 12 2 25 x a x a        12 x a 24 2 25 25 24 ( 1)( 24) 0 x x x x x x         1 2 1 ( 12) 24 ( ) x a  x a b. 1 3 2 432 a x ax     _  a3(x1) 2 2 2 3( 1) 6 6 432 6 6 432 0 x x x x x x          9 ( 24) 8 ( 27) ABC formule x a x a         c. 2 3 15 2 4 x a x a     _{ }  x 12a2 2 1 2 2 2 3 15 6 26 0 a a a a        1 11 6 12 2 ( 3) 2 ( ) ABC formule a x a x        25. 26. a./b. y3x en y x 76 a. k6m c. 3x x 76 b. k 6 3(m6) 4x76 c. 6m 6 3m18 19 57 x en y 3 12 4 24 m m en k    27.

a. De parabool gaat door A(0, 5): f(0) c 5 b. 16a4b 5 13 en 144a12b 5 0

c. Uit de eerste vergelijking volgt: 48a12b24 0 . Deze van de tweede vergelijking aftrekken: 96a29 0 29 96 96a 29 a     1 2 5 24 12 38 3 b b   2 29 5 96 324 5 y  x  x 28.

a. 75 kippen verkopen: k75 kippen over.

Voor dit aantal kippen kunnen ze 20 dagen langer met het voer toe: d20 dagen (k75)(d20) is ook evenredig met k d

b. kd (k75)(d20)kd75d20k1500 c. kd (k100)(d15) 3 4 20 75 1500 3 75 k d k d     2 3 15 100 1500 6 100 k d k d     d. 3 2 4 3 3 d75 6 d100 11 12 2 175 60 300 d d en k   

29. a. 2 3 2x 1 x    b. 2 2 3 2 x x   2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 (2 3)( 1) 0 1 1 (1 , 4) ( 1, 1) x x x x x x x x x en                4 2 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ( 3)( 1) 0 3 1 ( 3, 3) ( 3, 3) x x x x x x x x en              30. a. Zijn ze gelijk? b. _{g x( ) ( x2)(x}2_{2x4)x}3_2x2_4x2x2_{4x 8 x}3_{ 8 f x( )}

31. De formules zijn gelijk voor alle waarden van I behalve I 0. 32. a. R P₂ I  b. _I2 P R  en dus I P R  c. 20 P I  33. a. b. _{5 4 S } 0,2 _{c. 4 S} 0,2 _M 0,2 1 4 5 1 4 1 (1 ) S S   0,2 1 4 5 5 5 1 1 4 4 ( ) ( ) S M S M M     34. a. 1 1 1 12  8 b 3 1 1 1 2 1 12 8 24 24 24 24 b b         b. 1 1 1 15 1 16 10 150 150 150 150 f      150 3 16 98 f   c./d. 1 1 1 10  v b 10 10 1 1 1 10 10 10 10 10 10 v v b v v v v v v b        

e. Als v heel groot wordt, wordt de 10 in de noemer verwaarloosbaar ten opzichte van v.

10v ₁₀ v

b  . Het beeld komt bijna in het brandpunt terecht en wordt dus steeds kleiner. f. 10 10 1,5 v v b v b _   _  b 1,5v     10 10 1,5 1,5 ( 10) 10 v v v v v v     2 2 3 1,5 25 0,5 (3 50) 0 0 16 ( 25) v v v v v v en b         S M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 15 c=1 c=10

35. a. 2 l g T   b. 2 2 1 4 1 9,8 0, 25 l _    m 1 2 l g  T c. 2 2 1 4 2 9,8 0,99 l _    _m. 2 2 2 2 1 1 2 ₄ 2 1 4 ( ) l g T T l T g  _   

  Die moet 4 keer zo groot worden.

36.

a. 1

2 6

y  x

b. De coördinaten van P zijn dan (a, 1

2a 6   ) 2 1 1 2 2 ( 6) 6 OQPR Opp   a a   a  a c. 1 2 2a 6a 14    2 1 2 6 14 0 6 2 2 6 2 2 ABC formule a a a a          

d. De symmetrieas van de bergparabool is a6. De top is (6, 18). 37.

a. langs de weg: K   (5 2) 1000 60 € 420000,  

door het land: _{K  5}2_{2 1000 75 € 403887,}2 _{    dit is dus goedkoper.}

b. _{K  3 1000 60  2}2_{2 1000 75 € 392132,}2_{   }

c. 0 x 5000

d. _{K (5000 x) 60 x}2_{2000 75 300000 60}2 _{   x75 x}2_{4000000 euro.}

De formule in het boek krijg je als je x in km neemt. e. _x2_{ 4 x}2 _x

2

( ) 300 60 75 4 300 60 75 300 15

K x   x x    x x  x

38.

a. Als de breedte x is dan is de lengte 2x.

Voor de totale oppervlakte geldt: _{x x2 2x h  2 2x h 2x}2_{6x h 120} 2 2 6 120 2 120 2 6 x h x x h x      b. 2 2 4 2 2 3 3 120 2 240 4 2 2 40 6 6 x x x I x x h x x x x x           c. Voer in: 2 3 1 40 3 y  x x maximum: x4,5dm d. _2x2_{6h x 120 0} 2 2 2 2 6 (6 ) 4 2 120 6 36 960 6 4(9 240) 3 9 240 4 4 4 2 ABC formule h h h h h h h h x                     e. 2 2

39. a. _{y 10a a} 2 b. QM  |a 5 | c. _{PM  ( 10a a} 2 2_{)  (a 5)}2 _{ 10a a} 2_a2_{10a25 25 5} 40. a. _{Opp     2 7}2 _{4 7 5 238} cm2 _en 2 7 5 245 I    cm3_. b. _Opp2z2_4zh en 2 I z h c. _2z2 _{4zh z h} 2 d. 128 32 h64h e. 32 16 h16h 18 12 h9h 32 128 4 h h   geen oplossing 3 18 6 (?) h h     f. _{z h}2 _4zh2z2 2 2 2 2 2 ( 4 ) 2 2 2 2 4 ( 4) 4 h z z z z z z h z z z z z         g. Voer in: 1 2 4 x y x 

 en kijk in de tabel. y1 is geheel als x5, x6, x8 en x12

h. De afmetingen zijn: 5 5 10, 6 6 6, 8 8 4      en 12 12 3  41. a. C(0, 6) _{a  0}2 _{b b6 b36} B(4, 10) _{a 4}2 _{36 16a36 10} 16 36 100 16 64 4 a a a     b. _ax2_{ b y}2 c. _{c   0}2 _{d d 6} 2 2 2 2 2 ax y b y b x a y b x a        2 1 4 4 6 10 16 4 c c c      d. Voer in: 2 1 2 1 4 36 (4 6) y  x   x  maximum: x 2,6  x2,6 42. a. _(x2)2 _(2x1)2 c. x24 2 x 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 x x x x x x x x                 2 2 2 ( 24) 48 576 4 52 576 ( 16)( 36) 0 16 36 x x x x x x x x x x              

b. 3 2 1 x x x x    d. 2 | 2x 8 | x 2 2 2 1 2 3 ( 1)( 2) 3 2 2 3 2 (2 1)( 2) 0 2 x x x x x x x x x x x                 2 2 2 2 2 8 2 8 2 8 0 2 8 0 ( 4)( 2) 0 4 2 x x x x x x x x x x x x                       e. 2 3 4 0 1 1 x x x x   _  _{ }  _   _      f. 4 2 2 4 x x_  2 _{3 4 ( 4)( 1) 0} 4 1 4 1 1 1 4 4 1 y y y y y y x x x x x x x x                       2 2 4 2 2 8 (2 ) (2 ) 2 2 8 0 (2 4)(2 2) 0 2 4 2 2 2 x x x x x x x x x x                  1 1 3 2 3 4 2 1 1 x x x x           43. a. De afstand BC kostte 1 6 x uur. b. De driehoek is gelijkzijdig: AB BC CA z   3 3 1

4  (z z z) 4 3z24z, dat is dan AB, BC en nog 1 4 van CA. c. 1 1 1 6 4 2 ( ) 3 x  x y d. 1 1 1 6 4 2 ( ) 4 y  x x 1 1 4 3 2x y3 1 1 4 3 1 x y 4 e. Uit de tweede vergelijking (Jones) volgt: 1 1

4 3 1 4 y  x 5 1 1 1 1 11 1 1 4 4 3 16 12 16 12 3 11 1 16 4 1 2 3 3 2 ( 1 4 ) 2 1 1 1 3 1 2 1 2 x x x x x x x en y            

Het traject AB kostte 1 uur en 20 minuten; BC kostte 1 2

1 uur en het laatste stuk kostte 2 uur en 40 minuten.

T_1. a. _2x4_3x2_{ 2 0 b. (x}2_{3 )x} 2 _4 2 2 2 1 2 2 (2 1)( 2) 0 2 2 2 x x x x x x            2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 0 3 2 0 ( 2)( 1) 0 ABC formule x x x x x x x x x x                   1 1 2 2 2 1 1 17 x  x  x  c. _{2 (x x 3) (x3)(x}2_3) d. _9x4 _4(x2_3x4)2 2 2 2 3 3 0 2 3 0 3 ( 3)( 1) 0 3 1 x x x x x x x x x x                   2 2 2 2 2 2 4 5 3 2( 3 4) 3 2( 3 4) 6 8 0 5 6 8 0 ( 4)( 2) 0 (5 4)( 2) 0 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                               T_2. a. ( ) 1 2 1 2( 1) 1 (2 2) 3 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x f x x x x x x x x x x x                        b. 3 3 ( 1)( 1) 3 x x x x   _    2 2 2 2 3( 1) ( 3)( 3) 9 4 12 3 3 3 x x x x x x x x               T_3.

a. Spiegel het gedeelte van _{y x} 2_{4x dat onder de x-as ligt in de x-as.}

b. 2 2 2 4 0 4 ( ) | 4 | 4 0 4 x x voor x en x f x x x x x voor x        _{ }     

c. Voor x0: voor 0 x 2: voor 2 x 4: voor x4:

2 2 2 4 3 2 0 0,56 3,56 ABC formule x x x x x x x             2 2 2 4 5 2 0 0, 44 4,56 ABC formule x x x x x x x             2 2 2 4 3 2 0 0,56 3,56 ABC formule x x x x x x x             2 2 2 4 5 2 0 4,56 ABC formule x x x x x x          ( ) ( ) : 0.56, 0.44 3.56, 4.56 f x h x   T_4. a. l b 33600en 2l2b800 b. 2l  2b 800 _{( b 400)   b b}2 _400b33600 400 l   b 2 _{400 33600 ( 120)( 280) 0} 120 ( 280) 280 ( 120) b b b b b en l b en l           

T_5. a. v 100 0,1 3 3h 10 3 3h h h      10 9 2 2 : 15 h v  en 10 15 4 4 : 9,7 h v 

Als de muur hoger wordt, is er juist minder wind nodig om de muur om te blazen.

b. Dan wordt de snelheid heel erg groot. Een klein muurtje wordt steeds lastiger om te blazen. T_6. a. _{I   r h}2 _850 2 850 h r   b. 2 2 2 2 850 1700 2 2 2 2 2 Opp r r h r r r r r                  c. Voer in: 2 1 1700 2 y x x    minimum: r x 5,1 cm De hoogte is dan ongeveer 10,3 cm

T_7. a. 2 2 (x2)(x 2x 3) (x2)(1x ) b. 2 2 4x  (1 2 )x 2 2 2 2 0 2 3 1 2 2 2 4 0 2( 2)( 1) 0 2 1 x x x x x x x x x x x                     1 4 2 1 2 2 1 2 4 1 x x x x x x         c. 7 5 3 2 1 x x x x      d. y  x 1 2 2 2 1 2 ( 7)( 1) ( 2)(5 3 ) 6 7 3 10 2 5 3 (2 1)( 3) 0 3 x x x x x x x x x x x x x x                     2 2 1 1 2 2 4 ( 1) 4 4 3 4 4 3 (2 1)(2 3) 0 1 x x x x x x x x x x                  e. |1 2 | 3 x  f. _2x8_x4 _15 1 2 3 1 2 3 2 4 2 2 2 1 x x x x x x               4 4 4 1 4 2 4 4 (2 5)( 3) 0 2 3 3 3 x x x x x x             g. 1 10 3 2 3( 1) 2 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x            h. x 3y 2 ( 1) 10( 3) 11 30 ( 5)( 6) 0 5 6 x x x x x x x x x             2 2 2 2 2 2 5 8 ( 3 ) 5 9 8 5 y y y y y y        5 5 8 8 5 5 8 8 3 3 y y x x        

T_8. a. 2 4 (2 )(2 ) 2 2 2 y a a a a x a a  _  _   _{ }   

b. y(2  a x b) gaat door het punt (2, 4) 4 (2 ) 2 4 2 2 (2 ) 2 a b a b b a y a x a              (2 ) 2 2 (2 ) 2 2 2 2 2(2 ) 2 2 2 2 2 2 a x a a x a a a x a a a                  

c. De coördinaten van T zijn: ( 2, 2)

2 2 2 (2 ) 2 2 0,01 2 2 ST a a          Voer in: 1 2 2 2 2 y x     en y2 0,01 intersect: x1,357 Voor 1,357 a 2 is ST 0,01.