Zelftoets Meetkunde met algebra

Zelftoets Meetkunde met algebra

Licht elk antwoord voldoende toe.

Hoekensom

1

Zie de figuur hiernaast. Bereken de som van de 6

gemarkeerde hoeken in de figuur. Licht je antwoord toe met

een redenatie of bewijs.

Vierkant bedekt met cirkels

Gegeven is vierkant ABCD met zijde 8.

We bedekken het vierkant deels door er een cirkel op

te leggen.

De cirkel met middelpunt M gaat door de punten C en

D en raakt bovendien aan zijde AB. Zie figuur.

2

Bereken exact de straal van deze cirkel.

Nu wordt er een cirkel met middelpunt N en straal 2√7

midden op het vierkant gelegd. Deze cirkel snijdt het

vierkant ABCD – nog steeds met ribbe 8 – bij elk

hoekpunt op een afstand x.

Zie figuur.

3

Bereken exact de waarde van x.

Twee rechthoekige driehoeken

Twee rechthoekige driehoeken ABC en ABD

met basis 1 liggen over elkaar zoals in de

figuur hiernaast.

De hoogte AD van de ene driehoek is x en de

hoogte BC van de andere rechthoek is y.

Het snijpunt E van de twee schuine zijden ligt

op hoogte h.

Verder zijn in de figuur de lijnstukken met

lengte p en q aangegeven. Er geldt p + q = 1.

4

Toon aan dat geldt:

h h

1

x

 

y

5

Laat met algebra zien dat hieruit volgt:

h

xy

x y





h

y

x

p

q

1

A

B

C

D

E

F

B

A

x

x

C

D x

x

x

x

x

x

N

B

A

C

D

M

Vlinderfiguur

Gegeven is een cirkel met diameter 10. In de cirkel is

een vlinderfiguur getekend als volgt: AB is middellijn

van de cirkel. De punten C en D liggen zodanig dat CD

de middellijn AB loodrecht snijdt in P.

Bovendien is CP = DP = 4. Zie figuur.

6

Leg uit dat ∆BPD ~∆CPA.

Bereken exact de lengte van AP.

Puzzelen!

In een vierkant met zijde 1 zijn twee kwartcirkels

getekend.

Een vierkant ligt met een zijde op het grote vierkant en

twee andere hoekpunten liggen op de kwartcirkels. Zie

hiernaast.

Een kleine cirkel raakt aan beide kwartcirkels en aan

het vierkant, zoals hiernaast is aangegeven.

8

Bereken de zijde van het kleinere vierkant.

9

Bereken de straal van deze kleine cirkel.

1

A

D

C

B

P

4

4

Zelftoets Meetkunde met algebra

Uitwerkingen

Hoekensom

1 3pDe 4 driehoeken samen hebben hoekensom 4 ∙ 180º = 720º.

De middelste driehoek heeft hoekensom 180º en de drie direct aangrenzende hoeken aan deze

binnenste driehoek zijn samen dus ook 180º (overstaande hoeken). De ongemerkte hoeken samen zijn 2 ∙ 180º = 360º. De gemerkte hoeken zijn dus samen 720º – 360º = 360º.

Vierkant bedekt met cirkels

2 4pGebruiken van het juiste driehoekje 1p

Opstellen van de vergelijking r2 _{= 4}2 _{+ (8 – r)}2 _1p

r2 _{= 16 + 64 – 16r + r}2 _{→ 16r = 80 →} 80 16 5

r   2p

3 6pGebruiken van het juiste driehoekje 1p

Opstellen van de vergelijking (2√7)2 _{= 4}2 _{+ (4 – x)}2 _1p

28 = 16 + x2 _{– 8x + 16 → x}2 _{– 8x + 4 = 0 → (x – 4)}2 _{= 12 → x – 4 = ±√12 → x = 4 ± 2√3 3p}

Omdat x < 4 vervalt de oplossing x = 4 + 2√3, dus x = 4 – 2√3 1p

Twee rechthoekige driehoeken

4 5p∆ABD ~ ∆FBE (namelijk gelijke hoek bij B en rechte hoeken bij A en F, hh) 1p

Hieruit h_p ₁y, ofwel p h_y 1p

∆BAC ~ ∆FAE (namelijk gelijke hoek bij A en rechte hoeken bij B en F, hh) 1p Hieruit h_q ₁x, ofwel h x q 1p p + q = 1, dus hx hy 1 1p 5 3p keer 1 1 1 _{1 keer} 1 (_{x y}) 1 xy xy x y xy h h y x        3p 6 6pADB90 (Thales) 1p 180 90 90 PAD PDA          (hoekensom driehoek) 1p

Dus PAD90  PDA PDB 1p

Verder APD BPD90, dus BPD_DPA (hh) 1p

Ook CPA_DPA (gelijke zijden) 1p

Dus BPD_CPA 1p

7 6pNoem de lengte van AP x, dan is de lengte van BP 10 x 1p

Uit de gelijkvormigheid van BPD en CPA volgt dan

4

4 10

x

x





Uitwerken tot _{10x x} 2 _{16, ofwel x}2_{10x16 0 1p}

(x2)(x 8) 0 geeft x2 of x8 1p

Puzzelen!

8 6p Tekenen van een straal van een hoekpunt van het grote vierkant

naar een hoekpunt van het kleine vierkant en loodlijn naar beneden, geeft een rechthoekige driehoek met zijden van 1, z en

½ + ½ z 2p

De st. van Pythagoras geeft 12 z2(1₂1₂z)2 1p Dit geeft 1z21₄z2₂1z ₄1 5z22z 3 0

1p Dit geeft z = 3_/

5 (z = –1 vervalt) 2p

9 6p Verbinden van het middelpunt van de kleine cirkel met een

hoekpunt van het vierkant en loodlijn naar beneden, geeft een rechthoekige driehoek met zijden van 1 + r, 1 – r en ½ (zie figuur) 3p De st. van Pythagoras geeft

2 2 1 2 2 (1r)  (1 r) ( ) 1p Dit geeft 2 2 1 1 4 4 2 1 2 1 4 r  r r  r   r 1p Het antwoord 1 16 r 1p r rr

1

1 - r

1 + r

½

1

½ + ½ z

1

z

z