Hoofdstuk 7 Lijnen en afstanden

(1)

Hoofdstuk 7:

Lijnen en afstanden

V-1

a. het startgetal is 5 en de richtingscoëfficiënt is -2.

b. Als de x-coördinaat één groter wordt, neemt de y-coördinaat met 2 af. c. het hellingsgetal van l is 1

2 1 .

d. 1

2 1

y   x b gaat door (2, -3) e. y  2x b gaat door (-3, -4) 1 2 1 2 3 1 2 6 1 6 b y x         4 2 3 10 2 10 b y x           f. 4 0 1 6 2 2 a     1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 y x b b y x          V-2 a. y  3x7 b. 3 4 y  x c. 1 1 2 2 8 13 y  x d. 1 2 y   x b e. 4 1 1 4 2 2 a     f. 1 1 2 1 4 5 a       1 1 2 2 1 2 4 1 5 5 b y x        1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 y x b b y x          2 5 3 2 5 5 3 2 5 5 1 4 y x b b y x          V-3 a.

b. Als x met 1 toeneemt wordt de y telkens 2 3 groter. c. 2 3 d. 2x3y 12 2 3 3 2 12 4 y x y x     V-4 a. 6x4y 24 b. x 3y17 c. 3(x2 ) 1y  1 2 4 6 24 1 6 y x y x     1 2 3 3 3 17 5 y x y x     1 1 2 6 3x 6y 1 y x      d. 3y2x  x 5y 4 1 2 2 3 4 1 2 y x y x       V-5 a. y 5(2x3) 7 10  x15 7 10  x8 b. 1 3 1 3 1 1 2( 4) 4 2 2 4 2 14 y    x   x   x c. 3(2x5) 2 y7 6 15 2 7 2 6 22 x y y x      x -1 0 1 2 3 y 2 3 4  -4 1 3 3  2 3 2  -2

(2)

V-6 a. _AB_ ₃2_₆2 __{3 5} _b. _ML_ _{( 30)}2_₂2 _ ₂₆ c. 2 2 1 2 4 (3,5) 15 RS    1 2 2 2 ( 15) (1,8) 6,99 RQ   V-7 3 4 tan(A) _{sin(39 )} 4 KL  _ 6,3 cos(18 ) _ RQ 37 A    KL sin(39 )4  6,4 RQ6,3cos(18 ) 6,0  V-8 a. 2 4

tan(OPQ) b. lijn m gaat door 1 2 (0, 4 ) en (3, 0) ) 27 OPQ    1 1 2 tan (1 ) 56  _  _  1 a. startgetal: 5 en richtingscoëfficiënt: 1 2 2  b. y 0 : 1 2

2 x5 en daaruit volgt x 2 dus door (2, 0) 0 x : 1 2 2 0 5 5 y      dus door (0, 5) c. m: 1 2 3 y   x d. k: 1 2 2 y  x 2 a. 1 2 3 y   x b. 1 2 2 y  x 2 3 2 3 y x x y      2 4 2 4 y x x y     3

a. Als x 0 dan moet 1 5

y  en dus y 5 en voor het snijpunt met de x-as volgt iets

dergelijks. b. m: ₁ 2 2 1 3 3 3 1 x _ y _{ }x y  en k: 2 1 4 4 4 2 x y x y      c. de x-as in (-6, 0) en de y-as in (0, 3) d. 1 9 4 x _ y _

(3)

4 a. y  2x3 b. 2 3 7 y   x c. 1 1 2 3 2 1 1 y x    1 2 3 1 2 3 1 y x x y    32 32 2121 y x x y      1 1 3 2 2 5 1 2 8 1 15 3 1 1 1 y x _x y x         5 a. 1 6 18 x _ y _ b. y   x 4 c. 1 4 20 x _ y _  d. 1 2 1 5 7 x _ y _   3 18 3 18 x y y x      4 1 4 4 x y x y     5 20 5 20 x y y x      1 1 2 2 3 2 15 1 7 x y y x       6

a. Als a0 dan is by c. Hieruit volgt c b

y  : een horizontale lijn. b. Als b0 dan is ax c . Hieruit volgt c

a

x : een verticale lijn. c. Als c 0 dan is ax by 0, ofwel a

b

y   x: een rechte lijn door de oorsprong. Er is dan sprake van een recht evenredig verband.

d. Als a b 0 dan is c 0

Als a c 0 dan geldt by 0. Hieruit volgt dat b0  y 0. Dus de x-as. Als b c 0 dan is x 0: de y-as.

7 k: 12 1 2 2 ₁ ₅ ₁ 2 7 2 3 2 2 y   x   x l: gaat door (-1, 1) en (4, 2): 1 1 5 15 y  x m: x3 8 a./b. x0 : y 0 : 1 2 4 18 4 y y     3 618 x x  

  De snijpunten met de assen zijn (0, 4 )21 en ( 6, 0) c./e. d. 5x7y 19 5 4 5 7 5 7 1 19 19 3 2 x y x y      

De snijpunten van m met de assen zijn: 4 5 ( 3 , 0) en 5 7 (0, 2 ). 9 x y 1 pq  1 y x q   p q p y   x q

l en m zijn evenwijdig, dus q 4

p   (of 4p q). 10 a. 4x y 9 b. 6x2y 3 d. 1 2 4x 9 3x 1     4 9 y   x 1 2 2 6 3 3 1 y x y x     1 2 1 2 7 10 1 x x   1 2 (1 , 3) S

(4)

11 a. 4x 3( 4x3) 1 b. y  3x c. y 6x14 4 12 9 1 8 8 1 1 x x x x en y          5 ( 3 ) 4 2 4 2 6 x x x x en y        2 3(6 14) 18 20 60 3 4 x x x x en y       d. y   x 10 e. b2a7 f. p13q24 ( 10) 18 2 28 14 4 x x x x en y         3 2(2 7) 14 7 0 0 7 a a a a en b       4(13 24) 20 24 72 72 1 11 q q q q en p         12 a. 3x2y 8 b. 1 2 8x3(1 x4) 5 1 2 2 3 8 1 4 y x y x     1 2 1 2 8 4 12 5 3 7 x x x      2 7 x  en y  13 a. 3x5y 12 b. 2x  8 0,6x2,4 5 3 12 0,6 2,4 y x y x       2,6 10,4 4 0 x x en y    c. -14 a. A en C. b. 1 2 2x( x2) 3 y   x 2 3(y4) 2 y 2 0 4y 7x2 1 2 1 2 2 2 3 2 5 2 1 x x x x en y        3 2( 2) 4 3 2 4 4 5 0 x x x x x         5 10 2 2 y y en x     3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 1 2 5(1 ) 19 10 21 y x x x x         0 2 x en y   x  2 en y  3 15 a. Ja; 3 2 y 8 b.  4 2y 8 1 2 2 5 2 y y   2 612 y y  

c. voor alle waarden van x. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen. d. De lijnen vallen samen.

16 a. 1 2 2( 4) 6 x  x  8 6 0 2 x x x      

b. Er bestaat geen waarde voor x waarvoor 0  x 2. c. De lijnen zijn evenwijdig.

2 6

x y 

2y   x 6 geeft 1 2 3

(5)

17 a. 2x5y 6 b. 1 2 3x2y 1 c. 8x8y 4x3 d. 1 1 2x 3y 7    2 1 5 5 5 2 6 1 y x y x       1 2 3 1 2 4 2 3 1 1 y x y x     3 4 4 8 3 2 x y x y       1 1 3 2 1 2 7 1 21 y x y x    

1 oplossing oneindig veel geen oplossingen oneindig veel 18

a. Van O naar P is 2 naar rechts en 5 omhoog; de richtingscoëfficiënt is 1 2 2 .

b. 5 1

2 2

tan(POQ) 2 . Deze is dus gelijk aan de richtingscoëfficiënt. c. POQ68o d. 2 4 tan(ROS) e. 4 3 tan( )  f. tan( ) 3  27 ROS   o _ _₅₃o  _₇₂o 19 a. 1 3 tan( )  b. 1 1 3 tan ( _{  }) 18 18   

c. De hoek die de lijn 1 3

y   x maakt met de positieve x-as is 18°. 20 4x5y 0 4x  y 2 4 5 1 4 5 tan ( ) 39 y x         o 1 4 2 tan (4) 76 y x       o 21

a. tan(35 ) 0,7o  _y __0,7_{x b}_ _{, waarbij b een willekeurig getal is.} b. tan( 45 ) o  1 _y _{  }_{x b} c. y 0 22 a. De richtingscoëfficiënt is 1 2 en de richtingshoek tan ( ) 271 12  _ o b. l y:   x 2 De richtingscoëfficiënt is -1 en de richtingshoek -45°. De hoek tussen k en l is 27o45o72o 23 a. b. y  4 x 4y x 4 4 tan( ) 1 45 y x        1 4 1 4 1 tan( ) 14 y x          

c. De hoek die de twee lijnen met elkaar maken is 59° (of 180 59 121_). 24

a. lijn r loopt evenwijdig aan de x-as, dus de hoeken PSR en QSR zijn gelijk aan de hoeken met de positieve x-as, de hellingshoeken.

(6)

b. x3y 3 2x3y 9 1 3 1 1 3 3 3 1 tan ( ) 18 y x y x PSR          2 3 1 2 3 3 2 9 3 tan ( ) 34 y x y x QSR         

De hoek tussen de lijnen p en q is ongeveer 15°. 25 a. 1 2 3x y 4 2y 3x6 b. 2 5 4 y  x 2y5x1 1 2 1 3 4 6 8 tan (6) 81 y x y x         o 1 2 1 1 2 2 3 6 1 3 tan ( 1 ) 56 y x y x             o 1 2 5 tan ( ) 22  _   o 1₂ ₂1 1 1 2 2 5 1 2 tan ( 2 ) y x y x          

De hoek tussen de lijnen is 43°. Deze hoek is 90°. 26 a. 3y2x 6 0 2y3x 9 0 2 3 3 2 6 2 y x y x     1 1 2 2 2 3 9 1 4 y x y x       rcmrcl   32 112  1 b. 3 2 tan( ) DE AB tan( ) AD BC ACB       dus ACB

c. In driehoek ABC geldt:  90o  180o 90

   o_{: l en m snijden elkaar loodrecht.} 27 a. DE BC p en ADAB q b. 1 p q m  en 2 q p m _  c. 1 2 1 p q q p m m_ _{ } _{ } 28 a. y  3 21 24

l: y   x 2 en het product van de richtingscoëfficiënten is -1.

b. 1 3 4 3 104 10 y      1 2 : 2 1 4 2 m y x y x     en 4   14 1, dus loodrecht. 29 a. l: 2y  x 1 1 1 2 2 y  x 2 y   x b en 1 2 2 1

    dus staan loodrecht op elkaar. b. 2      2 2 b 4 b 6 b c. y  2x6 30 a. 2x3y 5 loodlijn: 1 2 1 y   x b gaat door (-2, -1) 2 2 3 3 3 2 5 1 y x y x     1 2 1 2 1 1 2 4 1 4 b y x          

(7)

b. 1 2 3 1 5 2 3 1 3 y  x  x _loodlijn: 5 6 y   x b gaat door (-1, 3) 5 1 6 6 5 1 6 6 3 1 2 2 b y x         31 a. px qy 3 b. 3 3 4 4 1 p p q q  _{  } _{ } c. 4p q 3 3 3 p q q qy px y  x      3 4 3 4 0 p q p q     d. 3p 4( 4p3) 13p12 0 9 12 12 13 13 13 13 12 4 3 p p en q         dus 1213x139 y 3 32 a. 1 3 5 1 1 a       b. y  x b gaat door C(-3, -5) 3 1 4 4 y x b b y x          5 3 2 2 b y x         c. 5 1 1 3 5 2 a    

  y  2x b gaat door A(1, 3) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 5 3 3 3 y x b b y x            3 2 1 5 2 5 b y x        33 a. 5y 9 2y2 3x15y 27 3x6y 6 7 7 1 9 5 1 4 (4, 1) y y x A       15 27 1 14 28 2 ( 1, 2) y y y y B         6 6 1 7 7 1 (0, 1) y y y y C          b. richtingscoëfficiënt van AB is 1 5  . Hoogtelijn uit C: y 5x1 richtingscoëfficiënt van AC is 2 4. Hoogtelijn uit B: y  2x richtingscoëfficiënt van BC is 3 1  . Hoogtelijn uit A: y  13x31 Het snijpunt van de hoogtelijnen uit B en C is:

1 2 7 7 5 1 2 7 1 x x x x en y       

Invullen in de hoogtelijn uit A: 1 1 1 1 7 6 2 3 7 3 21 21 21 7 y _{     }  _{ } _klopt. 34 a. _AB_ ₅2_₂2 _ ₂₉ b. _PQ_ ₅2_{ }_{( 4)}2 _ ₄₁ c. _ST _ ₁₂2_{ }_{( 5)}2 _₁₃

(8)

35

a. _AB_ ₄2_₂2 _ ₂₀_,_AC _ ₁2_{ }_{( 2)}2 _ ₅_en_BC _ _{( 3)}_ 2_{ }_{( 4)}2 _₅ b. _AB2__AC2 __BC2_{(stelling van Pythagoras geldt)}

c. BAC90 36

a. x2y 10 de loodlijn is y 2x b en gaat door P(3, 1): 1 2 2 10 5 y x y x       1 2 3 5 2 5 b y x        b. 1 2x 5 2x 5     c. _{d P l}_{( , )}__PS_ ₁2_₂2 _ ₅ 1 2 2 10 4 x x   S(4, 3) 37 a. 1 1 4x 3y 1    1 3 1 y   x b 3 1 1 4x  3 13x16 1 1 3 4 3 4 1 3 y x y x     1 1 1 2 3 6 1 1 3 6 2 1 1 1 1 1 b y x          1 1 12 6 1 2 2 4 2 1 x x en y      2 2 ( , ) 3 4 5 d P l    b. 2x3y 3 1 2 1 y   x b 2 3 3 2 3 1 y x y x     1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 b y x          Het snijpunt is (0, -1). 2 2 ( , ) (0 2) ( 1 2) 13 d Q m       38 a. 2 1 3 3 : 1 m  x y  1 2 3 3 1 2 3 y x y x  

  De lijnen l en m hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, dus evenwijdig. b. y     2 3 7 1 , dus P ligt op l. c. 1 2 y   x b gaat door P(3, -1) 1 1 2 2 2x  3 x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 b y x         1 1 2 2 2 2 1 1 Q Q x x en y      2 2 ( , ) 4 ( 2) 2 5 d P m PQ    39 a. P(0, -3) b. P(0, 1 2  ) c. 5x2y 10 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 4 2 7 3 3 3 6 3 5 y x x x x x en y d                1 2 5 1 1 2 4 8 1 1 4 8 1 1 2 2 2 2 1 1 2 4 4 4 2 4 2 2 ( ) ( 2) 4 y x x x x x en y d                1 2 2 5 10 2 5 0 y x y x d       

(9)

40 a. b. 7 5 4 2 2 a       2 5 2 2 1 2 1 y x b b y x             c. M(-1, 1) d. 1 2 y  x b 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 b y x       

e. Een willekeurig punt op k is: 1 1

2 2 ( , 1 ) P x x 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 4 2 1 1 1 4 2 4 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 4 2 1 1 1 4 2 4 ( 2) ( 1 5) 4 4 6 42 1 2 46 ( 4) ( 1 7) 8 16 5 30 1 2 46 PA x x x x x x x x PB x x x x x x x x                               41 a. 1 3 1 6 4 5 a      b. 5 1 4 6 3 a      c. 1 1 3 3 5x  3 x midden van AB is (1, 2): midden van BC is (5, -2): 1 2

3 3 5 x 2 5 2 5 1 3 : 5 3 y x b b l y x          1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 5 : y x b b k y x             1 1 2 2 x en y   d. 5 3 4 4 1 a   

   en het midden van AC is (0, -1): y  x 1

M 1 1

2 2

( , ) ligt op deze lijn.

e. M ligt op l, de middelloodlijn van AB, dus MA MB

M ligt op k, de middelloodlijn van BC, dus MB MC

Dus MA MB MC  . f. zie e. 42 3x y  2 7x y  12 x2y 6 3 2 y   x y 7x12 1 2 3 y   x 3 2 7 12 10 10 1 (1, 5) x x x x A        1 2 1 2 3 2 3 2 5 2 ( 2, 4) x x x x B           1 2 1 2 7 12 3 7 15 2 (2, 2) x x x x C       Middelloodlijn van AB: 1

3 y  x b gaat door 1 1 2 2 ( , ): 1 1 3 3 y  x Middelloodlijn van BC: y 2x b gaat door (0, 3): y 2x3

1 1 3 3 2 1 3 3 2 3 1 3 2 1 x x x x en y         

het middelpunt van de cirkel is M(-2, -1)

2 2

3 ( 4) 5

MA    , _MB_ ₀2_₅2 _₅_en_MC _ ₄2_₃2 _₅_{: straal is 5.}

A B

(10)

43 a. 1 3 5 x _ y _  b. y  23x b c. a 31 56 121 2 3 5 3 15 3 5 15 1 5 x y y x y x       2 3 2 3 0 3 2 2 2 3 6 b y x x y           1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 3 2 3 b y x x y          1 3 2 x _y _  1 2 1 1 1 x _ y _  d. 4x5y d en 1 2 (0, 2 ) invullen e. 6x4y  6 1 2 1 2 4 1 5 2 4 5 12 5 4 12 2 x y y x y x         1 1 2 2 1 1 8 2 4 5 1 12 12 1 3 2 x y x y     12 6 4 24 4 6 24 1 6 x y y x y x         en 4 6 1 x y   45 a. _AB_ ₄2_{ }_{( 1)}2 __4,1_BC _ ₅2_₁₀2 __11,2_en_AC _ ₉2_₉2 __12,7 b. 8 1 6 3 1 AC rc  

  hellingshoek van AC: _{tan (1) 45}1 _  2 1 1

1 3 4

AB

rc  



   hellingshoek van AB: 1 1 4 tan ( _ )_{ }14,0 8 2 6 1 2 BC rc  

  hellingshoek van BC: _{tan (2) 63,4}1 _  45 14,0 59 CAB       _ABC ₁₈₀_(63,4 _{14,0 ) 103}   180 59 103 18 ACB       

c. de lijn door B loodrecht op AC is y   x b met b     2 1 1 1 de lijn door A en C is y  x b met b     1 1 3 2

1 1 2 2 1 2 2 3 1 S S x x x x en y          d B AC( , )BS (2 )21 2 ( 2 )12 2 212 2 46

a. k gaat door (-2, 0) en (3, 2) l gaat door (6, 0) en (0, 4):

2 0 2 3 2 5 2 4 5 5 2 4 5 5 0 2 a b y x            1 6 4 2 3 12 x y x y    

m is evenwijdig aan l en gaat door (3, 4): 2x3y 18

b. 2x3y 12 2 3 3 2 12 4 y x y x       ( , ) tan ( ) tan (k l 1 25 1 23) 55         c. Neem punt P(0, 4) op l

een loodlijn op m door P heeft vergelijking: 1 2 1 4 y  x 1 2 2 3 1 6 5 12 13 13 1 4 6 2 2 5 S S x x x x en y        d l m( , )PS ( )1312 2(1 )135 2 1,7 d. 2 3 2 y   x

(11)

47 a. x2y  3 1 3 5 3 1 y x   ₇_x_₆_y__{33 0}_ 4 15 15 1 y x   1 1 2 2 2 3 1 y x y x     1 2 1 2 1 5 1 5 x y y x      1 1 6 2 6 7 33 1 5 y x y x       x4y 15

evenwijdig één oplossing samenvallend één oplossing geen oplossingen oneindig veel oplossingen

b. B: 1 1 2x 3 12x 5      D: 3 3 1 3 4x  4 4x34 x2 en y 2 x 3 en y 3 c. 1 2 (0, 5 ) en (3, 2) 48 a. 5x2y 3 en y  x 6 b. 5x2(qx6) p 5 2( 6) 3 3 9 3 9 x x x x en y          5 2 12 5 2 12 (5 2 ) 12 x qx p x qx p x q p          c. 5 2 q0 en p12 0 ; dus voor p12 en 1 2 2 q  d. strijdig als 1 2 2 q  en p12 e. precies één oplossing als 1

2 2 q 49 PS: 1 4 50 y   x QS: y 4x b gaat door (40, 10) 1 4x 50 4x 150     b_y _10 4 40₄_x _₁₅₀  150 1 4 1 4 17 17 4 200 47 38 S S x x en y    2 13 2 1 17 17 (47 ) ( 11 ) 48,5

PS     wordt afgelegd in 3.02 uur. De schipper komt om 12.02 uur aan in punt S.

De patrouilleboot moet 1 2 4 2

17 17

(7 ) (28 ) 29,1

QS   km afleggen in 47 minuten. Zijn snelheid zal 37,2 km/uur moeten varen.

(12)

Test jezelf

T-1 a. k: 1 2 (2 , 0) en (0, 4) l: (3, 0) en (0, -2) b. 1 2 4x2 y 10 c. 3y 2x6 1 2 3 5 2 4 10 1 4 y x y x       2 3 2 1 3 2 y x x y      T-2 a. x2(2x 1) 8 b. 3x2y 6 c. 6x4y  2 5 10 2 3 x x en y    3( 2 2) 2 2 8 8 1 0 y y y y en x         6 15 21 19 19 1 1 x y y y en x        d. 1 2 1 x y    2 1 3 2 2 1 3 3 3 1 2 4 ( 1) 1 y y y y en x        T-3 a. 3x4y 12 3 4 4 3 12 3 y x y x      

Het stelsel heeft geen oplossingen. b. De lijnen zijn evenwijdig.

T-4 l: y 3x m: 2 1 3 33 y   x 1 tan (3) 72 O     o 1 2 3 tan ( ) 34 A       o 180 72 34 74 B   o o o  o T-5 a. 4x10y 5 1 2 2 y   x b gaat door P(1, 2) 2 1 5 2 10y 4x 5 y x     1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 4 2 4 b y x        b. 2 1 1 1 5x  2 22x42 21 2 21 1 11 29 5 29 2 58 2,9 5 1 1 x x en y       T-6 a. 2x3y 6 de loodlijn door P: 1 2 1 y  x b met 1 1 2 2 1 1 3 5 b      2 3 3 2 6 2 y x y x       2 1 1 3 2 2 1 1 6 2 2 1 5 2 7 x x x      6 4 13 13 3 x en y   6 2 9 2 13 13 ( , ) ( ) ( ) 0,8 d P l   

(13)

T-7 a. _PQ _ ₂2_{ }_{( 4)}2 __{2 5} b. 4 2 2 PQ rc _  _{ } _c. 1 2 y  x d. 1 2x 2x7 2 3 2 2 7 2 7 y x b b y x           1 2 4 2 5 5 2 2 4 2 5 5 2 7 2 1 ( , ) (2 ) (1 ) 3,1 x x en y d O l       T-8 a. 2( 2 y6) 3 y  4 b. 2x3y  4 x2y 6 4 12 3 4 7 16 y y y       2 1 3 3 3 2 4 1 y x y x     1 1 2 2 2 5 2 y x y x       3 2 7 7 2 1 y  en x  1 2 1 1 3 2 ( , ) tan ( ) tan (l m   ) 60      o T-9 a. 4 1 3 13 l rc  _   2 1 4 2 m rc   1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 5 1 1 3 1 3 y x b b y x            1 2 1 2 1 2 1 2 0 y x b b y x        b. 1 1 1 1 2 3 ( , ) 180l m (tan ( ) tan (1 )) 80    o   o c. 3 4 : AB l y  x b gaat door 1 2 ( , 3) m_BC :y  2x b gaat door (4, 2) 3 1 5 4 2 8 3 5 4 8 3 2 2 b y x       2 2 4 10 2 10 b y x        d. 1 3 1 4 (l_AB,m_BC) 180 (tan ( ) tan ( 2)) 80    o    o T-10

a. Oostvaardersdijk: door (2, 4) en (5, 6) Afsluitdijk: door (7, 0) en (10,2) 6 4 2 5 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 4 2 2 2 a b y x           2 0 2 10 7 3 2 2 3 3 2 2 3 3 0 7 4 4 a b y x           

b. Lijn door (2, 4) loodrecht op de Oostvaardersdijk: 1 2 1 7 y   x 1 2 2 2 3 3 1 2 6 3 5 1 13 13 1 7 4 2 11 5 1 x x x x en y         2 2 5 1 13 13 (2 5 ) (4 1 ) 6,1 d       km

(14)

Extra oefening – Basis

B-1 a. 5x4y 10 1 2 2 2 1 y x   4 5 2 x   y  1 1 4 2 4 5 10 1 2 y x y x       4 5 1 1 4 2 2 1 2 y x y x       Vergelijkingen a, b en d passen bij lijn l. B-2 a. 1 2 1 x   4 x 11 b. 2(6y7) 3 y 17 c. 6x10y 26 1 2 2 15 6 5 x x en y    1 3 9 3 9 y y en x    6 9 39 19 13 x y y    13 9 19 519 y  en x  d. 1 3x y 1    geeft 1 3 1 y   x 1 1 1 3 3 2 2 1 3 2 1 1 4 4 1 1 2 x x x x en y           B-3 a./b. x3y 6 d. 1 2 3x 2 3x 1     e. 1 2 3 tan ( ) 34  _  _ o 1 3 3 6 2 y x y x       2 3 1 (1, 1 ) x S  __{( , ) 18}_{l m} _ o_₃₄o_₅₂o c. 1 1 3 tan ( ) 18  _  _{  } o B-4 a. 3 1 4 2 1 x y 3    7y  4x14 3 1 4 2 1 3 y  x 4 7 2 y   x en 3 4 4 7 1    1, dus loodrecht. b. 2x5y 3 de loodlijn: 1 2 2 y   x b gaat door (2, 3) 3 2 5 5 5y 2x 3 y x     1 2 1 2 3 2 2 8 2 8 b y x        B-5 a. _PQ _ ₁2_₄2 _ ₁₇ __4,12 b. 1 3 l

rc   en rcPQ 4: PQ staat niet loodrecht op l.

c. y 3x b gaat door P(5, 5) 1 1 3 3 3x10  x2 5 3 5 10 3 10 b y x        1 1 3 3 7 7 1 10 10 10 3 12 3 3 3 10 1 x x en y       2 2 3 9 10 10 ( , ) (1 ) (3 ) 4,11 d P l   

(15)

Extra oefening – Gemengd

G-1

a. _AB_ ₅2_{ }_{( 2)}2 _ ₂₉ _BC _ _{( 3)}_ 2_₆2 __{3 5}_en_AC_ ₂2_₄2 __{2 5} b. De grootste hoek ligt tegenover de langste zijde: dus hoek A.

c. de hellingshoek van AB is 1 2 5 tan ( ) 22  _   _{ } _{en die van AC is} 1 4 2 tan ( ) 63  _  _  22 63 85 A      

Driehoek ABC is scherphoekig. G-2

a. OP OQ QP OS   (oppervlakte van de driehoek) 2 2 32 3 5 4 5 8 4 8 4 1 5 OS OS      

b. POS Q en QOS P dus OPS : QOS

De driehoeken zijn gelijkvormig, dus de zijden passen in een verhoudingstabel:

PS OS

OS QS en dat geeft PS QS OS  2

G-3

a. _AB_ ₆2_{ }_{( 2)}2 __{2 10} _BC _ _{( 3)}_ 2_₅2 _ ₃₄_en_AC_ ₃2_₃2 __{3 2} De omtrek van driehoek ABC is ongeveer 16,40

b. rico AB is 2 1 6 3  _{ }

De loodlijn vanuit C op AB is: y 3x2

AB: 1

3

y   x b met 1 2

3 3

1 1

b     snijden met de loodlijn: 1 2 3 3 1 2 3 3 4 2 5 5 3 2 3 2 x x x x en y        2 3 2 1 2 5 5 5 ( , ) (1 ) (3 ) 14 d C AB    c. 1 1 2 2 ( , ) 2 2 10 145 12 ABC Opp  AB d C AB     d. rico BC is 5 2 3 13

   De hoogtelijn uit A is: y  35x135 rico AC is 3

3 1 De hoogtelijn uit B is: y   x 4

1 1 2 2 3 2 4 4 6 1 2 x x x x en y        3 1 3 1

51215 22, dus het hoogtepunt ligt ook op de hoogtelijn uit A. G-4 a. k: y 3x1 b. l: 2x5y 5 0 loodlijn: 1 3 y   x b gaat door (-2, 4) 5y  2x5 1 1 3 3 1 1 3 3 4 2 3 3 b y x         2 5 1 2 1 2 5 y x y x     

(16)

c.

d. De hoekensom van een vierhoek is 360°.

Vanwege de twee loodlijnen zijn de overstaande hoeken samen ook 180°.

180

  o_{, mar dan is de scherpe hoek tussen n en m} gelijk aan 180o(180o) _. G-5 a. 4 5 l rc  en 1 9 m rc _  1 4 1 1 5 9 ( , ) tan ( ) tan ( ) 45l m        o b. rcAC  pq , q BC p rc _  en rcAB p qp q   

c. rc_AC rc_BC  1, dus  C 90o_{. En verder}_AC _ _p2__q2 __BC_{. De andere hoeken} zijn dus 45°.

Uitdagende opdrachten

U-1

a. x 3 en y 4 invullen levert p   0 q 0 0 en dat geldt voor alle waarden van p en q. b. x y  7 0 en 2x y  2 0 2 ( 7) 2 0 9 16 x x x en y        

Alle lijnen gaan door (-9, 16) U-2 a. 1 2 '( ) f x  x '(4) 2 f  2

y  x b gaat door R(4, 4). Dit geeft b    4 2 4 4 y 2x4

b. F(0, 1) en V(4, -1)

De richtingscoëfficiënt van VF is 1 1 1 4 0 2  

   en het midden van VF is (2, 0)

Het product van de richtingscoëfficiënten is -1 en het midden ligt op de raaklijn. k m

(17)

c. Y(a, -1)

middelloodlijn van YF: raaklijn in X: ricoYF 1 1 2 a a      , dus 1 2 2 a rc  a 1 2 '( ) a f a  a

midden van YF: 1 2 ( a, 0) 1 2 y  ax b gaat door X 2 1 1 1 2 2 4 2 1 1 2 4 0 b a a a y ax a        2 2 1 1 1 4 2 4 2 1 1 2 4 b a a a a y ax a        U-3 a. y ax5 2 2 2 2 5 5 1 1 ( a) ( ) 3 a a d       loodlijn door (0, 0): 1 a y   x 2 2 2 2 2 25 25 ( 1) ( 1) 9 a a   a   1 2 2 2 1 1 5 5 1 5 5 1 1 1 5 ( ) 5 a a a a a a a a a a ax x a x x   en y                  2 2 2 2 2 2 25 16 9 9 25( 1) 9( 1) 1 0 25 9( 1) 1 a a a a a             1 1 3 3 1 1 a   a b. loodlijn 1 p y   x b gaat door (4, 0) 1 4 1 4 0 _p 4 p p p b b y x         2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 4 4 1 1 1 ( ) : p p p p p p p p p p _p _p _p px x p x x  en y              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 1 4 2 2 4 1 1 16 16 32 ( 1) 1 ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) ( ) 2 2 ( 4) ( ) 8 16 8 16 32( 1) 16 8( 1) 16(1 ) 8( 1) 1 0 2 1 1 1 p p p p p p p p p p d p p p p p p p p p                                        U-4 a. A(-5, 0) en B(5, 0)

rcAP  34 5 2 en rcBP  3 54  12. Het product van de rico’s is -1.

b. 5 q AP p rc  _ en 5 q BP p rc  _ 2 2 2 2 2 2 25 25 5 5 25 25 25 1 q q q p p p p p p p               , dus AX BX.