H3: Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 3:

Hoeken en afstanden.

Verrichte arbeid |a1| | | | | cos b  a | | | | | | cosb  a  b  

ur r r r r r 2. a. 1 2 6 4 cos 60 6 4 12 a br r    o    b. 1 2 8 6 cos135 8 6 2 24 2 a br r    o      c. 1 1 2 2 5 3 cos 45 5 3 2 7 2 a br r    o    d. _{a b}r r_{  5 4 2 cos90} o_{ 5 4 2 0 0 } 3. a. 1 2 6 6 cos 60 6 6 18 AB AC    o    uuur uuur b. 1 2 6 3 3 cos30 6 3 3 3 27 CA CDuur uuur    o    c. 1 1 2 2 3 3 cos120 3 3 4 AD DE    o      uuur uuur

d. AC DEuuur uuur   6 3 cos 0o   6 6 1 18 e. AD DCuuur uuur  3 3 3 cos 90 o 3 3 3 0 0 

f. 1 2 6 3 3 cos 30 6 3 3 3 27 BF AE    o    uuur uuur 4. a br r | | | | cosar  br   2 3 10 5 3 cos 15cos cos 48           o 5. a. cos | | OD b   r 2 2 2 2 2 2 | | cos | | | | | | cos OD b h b OD b b          r r r r b. _h2 _AB2_AD2 _{ |a b}r r_|2 _{(| | | | cos )a}r _{ b}r _{ } 2 c. _{| |b}r 2 _{| | cosb}r 2_ 2_{  |a b}r r_|2 _{(| | | | cos )a}r _{ b}r _{ } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

| | | | cos | | (| | 2 | | | | cos | | cos ) | | | | | | 2 | | | | cos 2 | | | | cos | | | | | | b b a b a a b b b a b a a b a b a b a b                            r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

d. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2  a br r (a a ) ( b b ) (( a b) (a b ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 a b a a b b (a 2a b b a 2a b b ) 2a b 2a b a b a b a b                       r r r r e. a b a b      1 1 a b2 2 a b3 3 r r 6. a. _{| |a}r _{ 3}2_42 _{5, | |b}r _{ 5}2_{ ( 12)}2 _{13 en} 3 5 4 12 33 a br r        b.    33 5 13 cos 65cos cos 0,51 120,5      o 7. a. _{3 5 2 1    3}2_{ ( 2)}2_{ 5}2_{ 1 cos}2 _{ b.        4 3 2 4 0 5 20 50 cos } 13 13 26 cos cos 0,707 45         o 4 1000 cos cos 0,13 97          o 8. Stel B(x, 5):_{7x 5 x}2_{25 50 cos 45} o 2 2 2 2 2 3 2 3 4 7 5 5 25 25( 25) (7 5) 49 70 25 24 70 600 0 6 3 ABC formule x x x x x x x x x x                  De coördinaten van B 3 4 (3 , 5) 9. a. _{a b}r r_{    3 10 2 15 0} b. _{0 3}2_{ ( 2)}2_{ 10}2_{15 cos}2 _{ } cos 0 90     o De hoek tussen a r en br is 90o_.

c. 1 1 3 7 5 4 0      . De hoek tussen de vectoren is dus weer 90o_.

d. 1 7 3 1 5        t 7 3 5t 10 5 t 0 5 10 2 t t    

e. Het inproduct is 0 omdat cos90o0_. 10.

a. De normaalvector staat loodrecht op de twee richtingsvectoren van het vlak. b. 7 5 5  b35 5 b0 c. Kies a10: 7 10 5  b70 5 b0 1 2 7 2 5 7 2 3 2 0 1 b c c c           14 2 10 14 2 6 2 0 3 b c c c           De verhouding tussen a, b en c blijft gelijk.

d. Als a0 dan krijg je ook b c 0. En die vector kan geen normaal zijn. e. 2 10 1 14 5 3 x y z           _{  } _             _        11. 3 0 9 AB            uuur en 1 1 9 AC             uuur 3 9 0 3 a c a c     en 9 3 4 0 4 a b c a b a a b b a             Kies c 1. Dan is a3 en b12 0 3 1 12 2 1 x y z           _{ }              _       12. a. Het inproduct is 0 2 3 1 1 3 0       . b. 3 0 2           en 1 2 0   _        c. Stel 1 2 3 a a a           en 1 2 3 b b b          

zijn twee normaalvectoren van _ar. Dan geldt: 2a1a23a3 0 en 2b1 b2 3b3 0. Maar ook: 2(a1b1) ( a2b2) 3( a3b3) 2 a1 a2 3a32b b1 2 3b3  en0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2(a b) ( a b ) 3( a b ) 2 a a 3a (2b  b 3 ) 0b  13. a. S( , 3 , 2 2 )   0 3 3 2 2 7 9 2 BS                _   _{ }  _ _{  }  _{ }      uur b. 1       1  2 ( 9 2 )      18 4618 0 6 18 3     S(3, 0, 4) c. 0 1 : 3 1 7 1 x l y z           _{ }  _            _      

14. a. 0 4 3           , 4 0 2       _    en 3 2 0           b. 3 0 3 : 1 4 2 0 3 0 x V y z              _{ }  _                          

c. Een vergelijking van V wordt: 2x3y4z3

2 (2 ) 3 (2 3 ) 4 ( 5 4 ) 4 6 9 20 16 29 26 3 29 29 1 (2, 1, 1) S                              15. a. 0 6 6 0 6 6 6 0 6 BD              _{    }   _             uuur is de normaal. 6 0 1 : 3 1 0 6 1 1 x V y z              _{ }  _                           b./c. Een vergelijking van V wordt: x y z  3 ofwel 1 1 1

3x3 y3z1

De snijpunten met de assen zijn: (3, 0, 0), (0, 3, 0) en (0, 0, -3) 16. a. 0 0 2 : 0 1 1 6 1 0 x CDP y z              _{ }  _                _           b. b c 0 en 2a b 0

Kies a 1. Dan is b c 2. Een normaalvector is: 1 2 2           

c./d./e. Een vergelijking van CDP is:  x 2y2z12; ofwel 1 1 1

12x 6 y 6z 1

   

Het snijpunt met de x-as is (-12, 0, 0)

f. De verhouding van p, q en r is gelijk aan de verhouding van de kentallen van de normaalvector.

17.

a./c. 1 1 1

3x2 y6z1 ofwel: 2x3y z 6

b. De richtingsvectoren staan loodrecht op de normaal 2 3 1        _   . Dus bijvoorbeeld 0 1 3           en 1 0 2           . d. Het inproduct is 0.

18.

a. 5 0 2 1 2 1         2 2 0 en 5 2 2 2 2 3 10 4 6 0         . b. Tja, dat staat er min of meer al.

c. Tel de drie vergelijkingen bij elkaar op. d. 5 2 2 1 2 3 10 2 6 6          klopt. 19. a. b c 0 en 2a c 0 b. 2a b 5c0 en a2c0 1, 2 2 2 2 2 a c en x y z         1, 2 9 2 9 28 c a en b x y z      

c. a0 en a b c  0 d. Dit vlak verandert niet in hoogte: z3

0, 1 1 0 a b en c y z       20. a. 1 0 1 5 0 2 x y z          _  _                     b. 2 1 1 0 1 0 0 0 1 x y z              _ _  _{ }                  _         c. 0 1 0 4 0 3 0 0 2 x y z             _{  }  _                           d. 1 2 0 1 0 0 0 1 2 0 0 x y z              _{ }  _                           e. 2 1 0 0 2 0 0 0 1 x y z              _ _  _                           f. 1 0 0 1 1 0 x y z          _  _                     21. a. 2 2 6 AB             uuur en 1 0 5 AC         _    uuur . 3 1 1 : 0 1 0 1 3 5 x V y z               _{ }  _              _             b.   a b 3c0 en a5c0 1, 5 8 5 8 16 c a en b x y z       

c. De coëfficiënten van x, y en z zijn gelijk en dus hebben ze dezelfde normaalvector. d. p 10 en q 16.

22.

a. (AT ABC, ) OAT b. (BT ABC, ) OBT

4 4 tan 45 OAT OAT     o 4 3 tan 53 OBT OAT     o c. (OT BT, ) OTB 3 4 tan 37 OTB OTB     o d. 2 3 4 CT            

Twee richtingsvectoren van ABT zijn: 1 0 1            en 4 3 0           

De normaal staat daar loodrecht op:   a c 0 en 4a3b0

3, 4 3

e. _{2 3 3 4 4 3      2}2_{ 3}2 ₄2_{ 3}2_42_{3 cos}2 _{ } 30 986 cos cos 0,96 17        o f. (CT ABT, ) 90  (rvCT,nvABT) 73 o o 23. a. 4a3c0 en 2a3b0 b. a b c  0 en b c2  0 3, 2 4 1 3 1 2 2 4 6 29 cos cos 0,53 122 a b en c                   o 1, 2 3 3 3 0 1 5 2 34 14 cos cos 0,87 151 b c en a                    o

De hoek tussen de normaalvector en de De hoek tussen de normaalvector en de richtingsvector is ongeveer 58o_{: ( , ) 32l V } o _{richtingsvector is 29}o_{: ( , ) 61l V } o

c. 2a b c  0 en   a b 2c0. Deze twee bij elkaar optellen levert: a3c0.

1, 3 5 1 3 1 35 cos cos 0,51 120 c a en b                o

De hoek tussen lijn l en vlak V is ongeveer 30o_.

24. a. b. 1 : 1 1 x DF y z       _               1 0 : 1 1 0 1 x DBG y z          _  _                     Voor de normaal van DBG geldt:

0 0 1, 1 a b en b c b a c        

Een vergelijking van DBG is: x y z  0

c. 1 3 |1 1 1 1 1 1| cos 3 3           d. 1 2 1 BQ rv         _   en 1 1 0 ACGE nv            71 (DF DBG, ) 90 19        o o o 1 2 |1 1 2 1 1 0 | cos 3 6 2 30            o (BQ ACGE, ) 90 30 60   o o o 25. a. 90o

b. (OABC ABGD, ) CBG45o _{en (OABC ACGE, ) CAE90}o

c. In het vlak ACGE: (OABC OBE, ) AME waarbij M het midden is van AC.

8 4 2

d. De ribben van het viervlak zijn diagonalen van vierkanten met zijden 8. De lengte van de ribben zijn dan 8 2. e. Ook weer in het diagonaalvlak ACGE.

f. tan ENA  4 28 55 180 2 55 71 ENA GNC ANC          o o o o 26.

a. Als je vlak V om s draait over een hoek  zodat V samenvalt met W, draait n1 naar n2.

b. 4 9 | 2 1 2 2 1 2 | cos 9 9          64  o 27. a. b. 2 2 4 DT            uuur : 2 4 V x y  z c. 2 6 | 0 1 0 1 1 2 | cos 1 6         d. 2 1 : 2 1 0 2 x DT y z           _{  }                     1 3 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 4 6 4 6 8 1                    Het snijpunt is 2 2 2 3 3 3 ( , , 2 ) S  

e. Een vergelijking van het vlak BCT is: 1 1

2 y4z1, ofwel 2y z 4

Kies y. Dan volgt uit de vergelijking van vlak BCT: z 24, en uit de vergelijking van vlak V: x   2( 24)  x  4  8 x 3 8 4. Ofwel x34.

Voor de snijlijn geldt:

3 4 4 3 0 1 2 4 4 2 x y z                 _  _ _             _{ }    _          28. a.

b. Een vergelijking van ACD is:

1 1 1

40 x30 y20 z1 ofwel 3x4y6z12.

Een normaalvector van ACD is: 3 4 6          

4 2

c. Een normaal van vlak OCGD normaal vlak OAED normaal vlak OABC en ABFE is 1 0 0           en BCGF is 0 1 0           en DEFG is 0 0 1           3 89 cos 71     o 4 89 cos 65     o 6 89 cos 51     o

d. Twee richtingsvectoren in vlak BEG zijn:

0 3 2 BE      _{ }     uur en 4 0 2 BG             uuur

. De normaal staat daar loodrecht op. Dus  3b 2c0 en  4a 2c0.

Kies c6, dan is a3 en b4. De normaal is gelijk aan die van vlak ACD. e. De normalen van beide vlakken zijn gelijk, dus de vlakken zijn evenwijdig. 29.

a. Met de afstand bedoelen we altijd de kortste afstand, en die is loodrecht. b. 5 4 2 1 PQ            _{ }    uuur

c. PQuuurl dus het inproduct tussen PQuuur en de richtingsvector van l is 0. 4 (5 4 ) 2 (2 ) 1 ( 1 ) 20 16 4 1 21 21 0 1 ( 2, 1, 4) Q                             d. d P l( , ) PQuuur  12 ( 2)202  5 30. a. 3 2 3 PQ         _{ }    uuur loodrecht op 2 1    _   b. 2 3 3 PQ        _  _  _    uuur loodrecht op 1 1 0           3 5 2 3 2 4 1 4 5 5 5 5 2 ( 3 2 ) 1 ( 3 ) 0 6 4 3 5 3 0 ( , ) (1 ) ( 3 ) 16 1 5 d P l                            1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 (2 ) (3 ) 3 0 5 2 0 2 ( , ) ( ) ( ) ( 3) 9 d P l                     c. 3 3 5 2 PQ        _    uuur loodrecht op 3 2       d. 1 3 1 PQ          _{ }    uuur loodrecht op 0 0 1           6 13 2 2 5 1 9 13 13 13 3 (3 3 ) 2 (5 2 ) 0 9 9 10 4 13 19 0 1 ( , ) ( 1 ) (2 ) 13 d P l                         2 2 2 1 0 1 ( , ) ( 1) 3 0 10 d P l           

31. Een normaalvector van V is 1 0 1           

en daarmee een vergelijking:    x z 8.

2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 2 8 4 (4, 0, 4) ( , ) 4 0 ( 4) 4 2 A S d A V                     2 2 2 1 ( 2 ) 1 (6 ) 2 6 8 8 (6, 4, 2) ( , ) 8 0 ( 8) 8 2 B S d A V                           32. a. 6 1 : 0 0 0 1 x AD y z            _{ }                     en 6 1 : 0 1 6 0 x EG y z            _{ }                     b. P(6, 0, ) en Q(6 , , 6). c. 6 PQ               _    uuur d. PQAD: 1 (    ) 1 (6  )  2 6 0 (1) : 1 ( ) 1 2 0 PQEG            (2)

Uit vergelijking (2) volgt 2. Dit invullen in de eerste vergelijking:

2 2 6 3 6 0 2 4 (2, 0, 4) (4, 2, 6) en P en Q               e. 2 2 2 ( , ) 2 2 2 2 3 d AD EG PQ    f. 6 1 : 6 1 0 1 x BD y z           _{ }              _       en 0 0 : 6 0 0 1 x CG y z           _{ }                     (6 , 6 , ) (0, 6, ) 6 :1 (6 ) 1 1 ( ) 3 6 0 :1 ( ) 0 P en Q QP QP BD QP CG                              _{ }                         uuur

Uit de onderste vergelijking volgt  . Invullen in de vergelijking daarboven:

2 2 2 2 6 0 3 3 ( , ) 3 ( 3) 0 3 2 en d BD CG QP               

33. a. 16 6 : 3 2 13 3 x l y z           _{ } _             _        b. 6( 16 6 ) 2( 3 2 ) 3(13 3 ) 6           96 36 6 4 39 9 141 49 6 49 147 3 (2, 3, 4) Q                   c. _{d P V( , ) PQ  18}2_62 _{ ( 9)}2 _{ 441 21}

d. Kies een punt in vlak U: P(3, 0, 0)

De lijn l door P loodrecht op U en W heeft vectorvoorstelling:

3 2 : 0 6 0 3 x l y z           _{ }             _        1 1 2 2 1 2 16 49 2 2 2 32 96 48 2 49 49 49 7 (3 2 ) 3 (6 ) 1 ( 3 ) 3 24 11 24 8 ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 d U W PQ                        34. a. _{RQ  6}2_{ 3}2 ₃2 _{ 54 3 6} b. 6 0 1 : 6 1 0 0 2 1 x BGP y z               _{ }  _{ }                          

heeft als normaalvector 1 2 1           De lijn door O en loodrecht op het vlak BGP snijdt BGP in S.

2 2 6 18 3 (3, 6, 3) S            _{d O BGP( , ) OS  3}2 _62_32 _{ 54 3 6}

c. Een willekeurig punt op OA is X( , 0, 0) en op PQ is Y( , 3, ) 

: 0

XY OA   

uuur

en XYuuurPQ:    0. Uit de eerste vergelijking volgt dat   Invullen in de tweede:  0 en 0 ( , ) 3 d PQ OA OQ d. 0 1 2 : 3 0 1 0 1 1 x PQR y z              _{ }  _                          

. Een normaalvector van PQR is 1 1 1           

Het inproduct van _OEuuur en de normaalvector is 0, dus OE is evenwijdig aan vlak PQR. Bovendien is OE evenwijdig aan PQ in vlak PQR.

Een vergelijking van PQR is    x y z 3.

Een willekeurig punt van de lijn door O loodrecht op PQR is X(  , , ). Dit punt ligt in PQR als     33, en dus als 1.

2 2 2

( , ) ( 1) 1 1 3

35. -36. a. 1 2 (2 , 4, 6) M b. Een normaalvector is 1 0 2 PQ            uuur

. De vergelijking van vlak V is 1 2

2 14

x z .

c. Die afstand is gelijk. Alle punten in vlak V hebben dezelfde afstand tot P en Q. d. Voor een willekeurig punt in V zijn de coördinaten: 1

2 (14 2 , , ) X  z y z . 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 2 2 1 4 (12 2 ) ( 4) ( 5) (156 50 4 ) ( 4) ( 10 25) (181 60 5 ) ( 4) (11 2 ) ( 4) ( 7) (132 46 4 ) ( 4) ( 14 49) (181 60 5 ) ( 4) PX z y z z z y z z z z y QX z y z z z y z z z z y                                        

37. Een normaalvector van W is 1 2 3   _       

. Een vergelijking van W: x2y3z12

De lijn door P loodrecht op W is

5 1 10 2 19 3 x y z           _{ } _                    . 1 7 (5 ) 2(10 2 ) 3(19 3 ) 12 5 20 4 57 9 14 42 12 14 30 2                           

Om in het spiegelbeeld Q te komen moet je 2 5 4 1

7 7 7 7

4 : ( , 18 , 6 )Q

  .

38.

a. Alle punten P liggen op de lijn

1 1 3 0 5 0 x y a z          _ _           _          en alle punten Q op 0 0 1 0 0 1 x y a z          _{ }                     Dit zijn twee kruisende lijnen. Er is dus geen vlak mogelijk waarin alle punten P en Q liggen

b. 2 2 2 2 ( , ) (1 ) ( 2) ( 5) 2 8 30 d P Q  a    a  a  a is minimaal als _y2a2_8a30 minimaal is. ' 4 8 0 4 8 2 y a a a       

c. Het midden van PQ is 1 1 1 1

2 2 2 2

( , 2, 2 )

M a a en moet op l liggen:

1 1 1 1

2 2 2 2

4 3  a en 1 2  a2 . Nemen we het verschil van deze twee vergelijkingen:

3 2 1       1 1 2 2 1 1 2 2 4 3 1 1 a a       Dus als a3.

39. a. 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b a a b a b a a a b a b a a b a b a a b a b a b a b a       _   _{          }      _        1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1 0 a a b a a b a a b a a b a a b a a b       

En het inproduct met de vector br is op dezelfde manier ook gelijk aan 0. b. 2 3 1 4 7 5 4 35 31 1 5 7 3 2 4 21 8 13 7 4 2 5 1 3 10 3 7                    _{   }  _{  }  _{ }  _                 _{    }  _{ }  _            40. a. 3 1 0 : 2 2 2 8 2 1 x ABC y z              _{  }  _               _   _        

Ligt punt D in vlak ABC?    7 3 , dus  4 2     2 4 2 2   10 2, dus 6.

Controleren of de z-coördinaat klopt: 8       4 2 6 1 10. Ja, dus D ligt in ABC. b. 2 1 2 n            c. 2x y 2z8 d. 1 2 2 AB        _    uuur en 1 2 2 DC        _    uuur

, dus zijden AB en CD zijn evenwijdig. 2 2 1 BC             uuur en 2 2 1 DA             uuur

, dus zijden BC en AD zijn evenwijdig.

Verder is _{AB BC}uuur uuur_{         1 2 2 2 2 1 0}, dus de zijden AB en BC staan loodrecht op elkaar. Met andere woorden: ABCD is een rechthoek.

41. a. 1 3 5 5 4 5 0 0 0 : 2 2 1 0 4 x P y z             _{   }  _{ }                         b. 3 5 4 5 2 1 PB        _    uur , 3 5 4 5 2 1 PD         _    uuur en 0 2 4 AT            uuur

. Verder is PB ATuur uuur 0 en PD ATuuur uuur 0. AT staat loodrecht op twee richtingen (PB en PD) in het vlak BPD, dus AT staat loodrecht op vlak BPD. c. 0 1 0 : 2 1 1 0 0 2 x ATB y z             _{  }  _                          

met een normaalvector: 2 2 1   _       

0 1 0 : 2 1 1 0 0 2 x ATD y z              _{  }  _                          

met een normaalvector: 2 2 1        _   1 9 | 2 2 2 2 1 1| cos 3 3 84              o

d. Een willekeurig punt Q van CT is (0, 2 , 2 ) 2 2 2 BQ        _  _     uuur staat loodrecht op 0 1 2           :    2 0 (2 ) 1 (2 ) 2 2       4 2 30 Hieruit volgt: 2 3

  . Met andere woorden: 2 1

3 3

(0, 2 , 1 )

Q 

e. AT staat loodrecht op vlak BPD (zie b). Een vergelijking van BPD is dan y2z0 En de coördinaten van Q voldoen hieraan.

f. De hoek tussen de richtingsvector van lijn QT (of CT: 0 1 2    _       ) en de normaalvector 0 1 2           van vlak BPD noemen we  . 3 5 | 1 4 | cos 5 5 53 (QT BQPD, ) 90 53 37             o o o o 42. a. P(12, 6, 0) en Q(6, 12, 6) b. 0 1 2 : 12 0 1 0 1 0 x CFP y z              _{ }  _  _                         2 24 x y z  c. De richtingsvector van AG 1 1 1           

staat loodrecht op de normaalvector 1 2 1        _   van CFP. d. De richtingsvector HQ 1 2 1        _  

is gelijk aan de normaalvector.

e. met ADHE (en BCGF) met DCGH (en ABFE) met ABCD (en EFGH)

2 1 6 cos 35      o 1 1 6 cos 66      o 1 1 6 cos 66      o f. 0 1 : 0 2 12 1 x HQ y z           _{ }              _       12 0 12    

g. Een willekeurig punt R op CP is (12 2 , 6  , 0). 12 2 2 6 1 (12 2 ) 2 (6 ) 1 12 0 5 18 0 12 0 HR PC                 _  _{ } _              _        uuur uuur 3 5 3  3 4 5 5 2 3 2 2 4 1 5 5 5 (4 , 9 , 0) ( , ) (4 ) (9 ) ( 12) 7 5 R d H CP  HR      h. 12 1 : 0 0 0 1 x AH y z            _{ }                     en 12 1 : 6 1 0 1 x PQ y z            _{ }                     1 0 (12 (12 )) 1 ( ) 1 2 2 0 1 XY            _{ }               uuur   1 1 (12 (12 )) 1 (6 ) 1 ( ) 1 3 2 6 0 1 XY             _{ }                   uuur 6 (18, 0, 6) (18, 0, 6) X en Y     

De lijnen AH en PQ snijden elkaar in (18, 0, -6). De afstand is dus 0. i. 0 1 : 0 1 12 0 x HF y z           _{ }                     12 1 : 0 1 0 1 x AG y z            _{ }                     2 : 1 0 x DP y z       _               : (12 ) 1 ( ) 2 ( 12) 1 24 3 0 8 : (2 (12 )) 1 ( ) 2 (0 ) 1 12 4 0 3 CFP CFP XY n YZ n                                              uuur uur

Lijn l gaat door X(8, 8, 12) en Z(6, 3, 0)

6 2 : 3 5 0 12 x l y z           _{ }                    

T_1. a. 6 0 6 0 3 6 18 3 6 OM AB    _{   }          uuur uuur en 6 6 6 6 3 6 54 3 6 OM OB    _{   }          uuur uuur b. 3 6 tan  c. cos 54 0,95 45 72    _c. 4 5 | 6 3 3 6 | cos 45 45         27   o  _18o 37   o T_2.

a. met behulp van het uitproduct: 1 2 1        _  

b. Een willekeurig punt op l is P(3 2 , 2, )   . De vector van P naar (0, 3, 0) staat loodrecht op de richtingsvector van l: (3 2 ) 2 ( ) 1 5        6 0 1 5 3 1 5 5 1 ( , 2, 1 ) 0 3 : 3 5 0 6 P x l y z                _{ }                     c. X(3 2 , 2, )   en Y( 2, 2 ,  ) 3 1 : ( 5 2 ) 3 (2 2) 1 ( ) 1 13 7 3 0 1 1 1 : ( 5 2 ) 1 (2 2) 1 ( ) 3 7 5 0 3 XY XY                  _{ }                         _{ }                    uuur uuur

Uit de tweede vergelijking volgt:   7 5. Dit invullen in de eerste vergelijking: 13 7 3( 7 5 ) 8 8  0         . Dus  1 en   2 X(1, 2, -1) en Y(-2, -4, 2) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 x y z              _{ }  _              _  _  _         T_3. a. 4x3y5z1

b. Dan moet het inproduct van de richtingsvector met de normaalvector gelijk zijn aan 0:

1 4 4a 3 2 5 1 4a 1 0 a        

T_4. a. cos 45 |1 0 2 0₂ 1| ₂ 5 1 5 c c c c           o b. cos 30 |1 1 2 1₂ 0 | 3 ₂ 5 2 10 2 c c c           o 2 2 2 2 5 2 5 2 5 5 5 c c c c c c c          2 2 2 10 2 2 3 10 2 12 1 1 1 c c c c c          T_5.

a. Een punt P op l heeft coördinaten (1, 4, 7 2 )  1 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (7 2 ) 2 6 18 0 2 AP         _{ }                uuur 6 18 3       2 2 2 ( , ) ( 1) ( 1) 1 3 d P l  AP       b. 1 1 0 : 4 1 0 7 2 1 x V y z              _{ }  _                          

De tweede richtingsvector kun je vinden door de richting te nemen van Q(1, 4, 7) naar B.

Een vergelijking van V is: x y  3 moet je snijden met de lijn door A en richtingsvector de normaalvector van V: ( 1 ) (2 )  3 2 3. Dit geeft 0.

Punt A ligt in vlak V: de afstand is 0. T_6. a. 4 4 1 : 0 4 2 1 3 0 x V y z               _{ }  _                           met normaalvector 2 1 4    _       Een vergelijking van V wordt dan: 2x y 4z12

b. Een willekeurig punt van BF is K(4, 4, ) en van DH is L(0, 0, ) . 2 4 4 4 4 4 12 4 8 2             2 0 0 4 4 12 3          c. 0 2 0 : 4 0 4 0 1 3 x CKL y z              _{ }  _ _                          Voor punt Q geldt: y0 en z4

4 4 0 1      en 3 1 4 1     

 Hiermee wordt de x-coördinaat van Q: x    1 2 1 0 2 En ligt Q dus in het midden van EH. Q ligt wel in vlak CKL.

d. 1 : 0 x l y a x       _               2 2 ( , ) ( , ) | 2 1 0 1 0 | | 0 1 2 1 0 | 5 1 5 1 2 2 2 2 1 1 CM l EM l a a a a a a a a         _                  

e. Deze vraag lijkt me niet goed. T_7. a. 0 1 : 0 0 1 0 x l y z           _{ }                     en 0 0 : 0 1 1 0 x m y z           _{ }            _         b. P( , 0,1) en Q(0, , 1)  2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) | 1 0 2 0 | | 0 1 2 0 | | | 1 | | 1 0 0 0 0 PQ l PQ m PQ PQ AP BQ                                              T_8.

a. Voor P op l geldt: P(4 , , 3) en Q op de z-as: Q(0, 0, )

: (4 ) 1 1 (3 ) 0 4 2 0 PQl             uuur 2    P(2, -2, 3) : (4 ) 0 0 (3 ) 1 3 0 PQ z as            uuur 3   Q(0, 0, 3) 2 2 2 ( , ) 2 ( 2) 0 2 2 d l z as  PQ      b. ABnV : (4) 2     1 (3 ) 2 3   2 2 0 uuur 1 2 3 1 1 2 2 4 1 2 1 2 3 4 (4 , , 3) (0, 0, 1 1) (2 , , 1) 2 2 2 : 0 2 1 1 3 AB A en B M x M y z                             _{ } _              _    _          c. Stel 1 W n a b            . Dan 1 1 1 1 0 0 a b b        _{   }             , dus b 1 en 1 2 _{2 2} | 2 1 2 | |1 2 | cos 45 2 9 2 3 2 c c c c          o 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 2 1 4 2 (1 2 ) 1 4 4 2 (4 2 ) 9 4 8 4 ( 8 16) ( 4) 0 c c c c c c c c c c c c c                       4 c  W x y:  4z 8