Optimaliseringstechnieken ten behoeve van het kontaktprobleem

Optimaliseringstechnieken ten behoeve van het

kontaktprobleem

Citation for published version (APA):

Baaijens, F. P. T. (1985). Optimaliseringstechnieken ten behoeve van het kontaktprobleem. (DCT rapporten; Vol. 1985.036). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1985

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Frank Baaijens. Eindhoven, 25-6-85. WFW 85.036.

ûptimaliseringstechnieken ten behoeve van het kontaktprobleem.

O Inleiding

1 Minimaliseren

2 Minimaliseringstechnieken

3 Enkele algorithmen

O Inleidinq.

Uit de literatuur is bekend dat het Signoriniprobleem uit de elastostatica te formuleren is als een minimaliseringsprobleem met ongelijkheidsnevenvoor- waarden.

namelijk afkomstig uit de optimaliseringstheorie. we een aantal van deze werkwijzen.

van een functie gekozen die afhankelijk is van n variabelen, x , terwijl voldaan moet worden aan m nevenvoorwaarden.

voldoen aan nevenvoorwaarden in de vorm van ongelijkheden, doch in een aantal gevallen is het aanbevelingswaardig te starten met

gelijkheidsnevenvoorwaarden.

het bestaan van een minimum onder een aantal verschillende typen nevenvoorwaarden.

zonder nevenvoorwaarden, met gelijkheids- en ongelijkheidsnevenvoorwaarden.

Vervolgens worden een aantal oplosstrategieën besproken. Daarna komen een aantal algorithmen aan de orde waarmee een minimaliseringsprobleem met

ongelijkheidsnevenvoorwaarden kan worden opgelost.

de uitwerking vaii een concxeet doch eenvoudig voorbeeld.

De voor dit probleem gebruikte oplossingstechnieken zijn voor- In dit rapport bespreken Als uitgangspunt wordt het minimaliseren

5

Het uiteindelijke doel is te

Allereerst bespreken we de voorwaarden voor

Daarbij beschouwen we achtereenvolgens: minimalisering

Tenslotte presenteren we

Als standaardprobleem bestuderen we het minimaliseren van de functie f:

<

Rn+ R, onder de nevenvoorwaarden c(x) {i) O, x E Rnr c(x) c: Rmf ci: Rn+ R.

Met i=--)

-

geven we aan dak we bf uitsluitend sngelijkheidsbepenkingen 6f

gelijkheidsbeperkingen in rekening brengen. De probleemstelling luidt dus

- 5

-

5 5 5 5

<

inis X

5

waarbij de gewenste oplossing met

x

wordt aangegeven.

1

Minimaliseren.

Allereerst bespreken we de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor het bestaan van een minimum van een functie zonder nevenvoorwaarden.

bestuderen we de consequenties van de aanwezigheid van nevenvoorwaarden in de vorm van gelijkheden en ongelijkheden. Het blijkt dat bij gebruik van de Lagrange multicatoren methode de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor het bestaan van een minimum op zeer natuurlijke wijze kunnen worden afge- leid.

Daarna

1 . 1 Ninimaliseren zonder nevenvoorwaarden.

Gegeven is een functie f(x): Rn-, R,

x

E: Rn. tenminste tweemaal continu differentieerbaar is. doende kleine E geldt

We veronderstellen dat f(x1

Voor iedere p E Rn en vol-

c

T 1 2 T 3

f(X+EP) = f(x1 t ep g(x1 t E p b(x)p i- O ( & )

5

5 5 h-.... 5

*..

waarbij gfx) de gradientkolom van f(.) is

5 5

en

C(x)

de Hessiaan van f(x) representeert

5 5

( 1 . 1 )

We definieren een locaal minimum als dat punt

2

waarvoor in een zekere omge- ving van

i

geldt

5 5 f(XtEP)

>

f(x) - 5 5 V p $ O en voldoend kleine E c c ( 1 . 4 )

We spreken van een alobaal minimum indien ( 1 . 4 ) geldig is voor alle E en

alle p # O.

het optimale punit vaii f1.3.

In het vervolg noemen we het punt dat aan ( 1 . 4 ) voldoet vaak

c c 5

“ 2

O ( E ) termen en hoger verwaarlozen zodat in het optimale punt zeker moet

gelden

Een punt dat aan ( 1 . 5 ) voldoet noemen we een stationair punt van f. In het stationaire punt volgt met ( 1 . 1 )

(1.6)

Opdat een locaal minimum is moet naast de voorwaarde ( I . 5 ) voldaan worden aan de eis dat

G(X)

positief definiet is, dus

5

5

In het geval dat

b(x)

semi-positief-definiet is moeten we hogere orde afgeleiden van f ( x ) bekijken. We laten deze situatie hier buiten beschouwing. Dat het optimale punt voldoet aan (1.5) noemen we de noodzakelijke voorwaarde en de eis ( 1 . 7 ) vormt dan samen met ( 1 . 5 ) een vo-Pdsemde voorwaarde voor het bestaan van een ?maal ainimia. in

-;

v a f ( x ) .

.c

I

1.2 Geliikheden als nevenvoorwaarden.

We willen f(x) minimaliseren onder de voorwaarde dat

5

c(x) = O, c(x) c R ~ , m

<

n

5 5 5 5 . .

We definieren de deelruimte S van Rn als de ruimte van alle toelaatbare x

5

n

S = tx E R

1

c(x) = O1

5 5 - 5

Het optimale punt

x

van f ligt uiteraard in S.

;+Eh c S , dan moet voor voldoend kleine E de kolom h zodanig zijn dat

Beschouw een naburig punt

5

5 5 5

waarbij de matrix

A

is gedefinieerd als

(1.10)

( 1 . 1 1 )

Relatie Ci.10) geldt VOOE alle voldoend kleine E , neem E -9 O dan volgt onmiddellijk

T -

A

(x)h = O

5 . . 5 (1.12)

Als

2

de functie f(.) locaal minimaliseert dan moet voor voldoend kleine E $

O en iedere h # O z.d.d. X+Eh c S gelden

5

5 - 5 5

Laat E + O dan volgt onmiddellijk als noodzakelijke eis

T -V h Z O z.d.d. AT(x)h 5 - = O 5 - 5 h g ( x ) = O - 5 s ( 1 . 1 3 ) (1.14

Onder de voorwaarde dat de rang van

&(i)

gelijk is aan m is hiermee direct te bewijzen ciai voor giX) geicit

5

( 1 . 1 5 )

met i; e R ~ .

Dat met ( 1 . 1 5 ) voldaan wordt aan ( 1 . 1 4 1 volgt met ( 1 . 1 2 ) door substitutie: hT(x)g(x) = h A(x)h = O.

c

T

- -

Bovendien geldt uiteraard

".

L S Z * c - . c(X) =

o

L S -, met c(x) e R~ h " . ( 1 . 1 6 1

We hebben hiermee relaties afgeleid die het stationaire punt van f(.) defi- nieren z.d.d. voldaan wordt aan de randvoorwaarde c(x) = O. Merk op dat

( I . 15

1

en ( I . 1 6 ) n+m vergelijkingen leveren voor evenveel onbekenden ( # en

A ) .

Hieruit kan dus in principe het stationaire punt worden bepaald.

k

inderdaad een locaal minimum is moet als extra voorwaarde worden geeist dat (zie(l.13)) * . % L c Opdat c c V h # 0 h c ( 1 . 1 7 )

De te stellen eisen voor een optimaal punt, geformuleerd met ( 1 . 1 5 ) r ( 1 . 1 6 ) en ( 1 . 1 7 ) kunnen we ook afleiden met behulp van de Lagrange multiplicatoren methode.

1 . 3 Laqrange multiplicatoren.

De voorwaarden ( 1 . 1 5 ) en ( 1 . 1 6 ) volgen op natuurlijke wijze uit het statio- naire punt van de Lagrangiaan L(.,.)

T L(x,A) = f(x)

-

A C(X)

n n n n n n

Daarvoor geldt immers

V L = O e n o A L = O

-.X

..

z

en hieruit volgt direct

( 1 . 1 8 )

( 1 . 1 9 )

( 1 . 2 0 )

Het stationaire punt

(x,Ä)

is een optimaal punt van L(

.

,

.

1

m.b.t. het eerste argument indien de Hessiaan

F(x,A)

van L(.,.)

c z

c n

( 1 . 2 1 )

positief definiet is in

(X,h).

voorwaarde.

een optimaal punt is van f(x). voldoende kleine E

Hierin is C . de Hessiaan van de i-de neven-

-1

We laten zien dat de

x

die op deze manier gevonden wordt ook

h

Onder de gestelde nevencondities geldt voor

..,

waaruit met ( 1 . 1 9 ) en de eis dat positief definiet is in een omgeving van

i

direct volgt

n

L ( & h , h ) ) L(X,Ä) V h # O en E # O voldoende klein

5 n n h 5 h 5

Met ! 1 . 1 8 ) leidt dit tot

T - -

-

cT(X+eh)h

>

f(x)

-

c (x)h c L . . V h # O en E voldoende klein 5 -( 1 . 2 4 )

Beperken we ons tot die h z.d.d. voldaan is aan de nevencondities c(XtEh) =

O, dan geldt

L i * . . L

L

f(%trh)

>

f(2)

B h z.d.d. c(Xtah) = O

L . .

..

L C L 5 5 ( 1 . 2 5 )

Waarmee bewezen is dat

nevenvoorwaarden als tenminste voldaan is aan de eis dat E positief definiet is.

een optimaal punt is van f(.) onder de gestelde

..

Omdat we eisen dat c(XtEh) = O en omdat we primair geinteresseerd zijn in het locale minimum van f(.) kunnen we de eis dat

- . L c 5

positief definiet is een weinig afzwakken. Uit ci(Xteh) = O volgt direct

L . . ci (%+eh) -C

(2)

8 L L

...

= o

T (oxci) h = lim * 8+0 en dus ook T h

..

C.h = O V h z.d.d. c(X+eh) = O -1, L ..c 5 c ( 1 - 2 6 ) ( 1 . 2 7 )

De voorwaarde dat h zodanig wordt gekozen dat c(x+eh) = O is voor voldoende kleine P equivalent met de eis

A

(x)h = O .

positief definiet ‘kunnen we” vervangen door

c L L L

T - z

Dit betekent dat we de eis dat E

5 . . h hT€’(x,h)h

>

O *i L 5 C T V h # O z.d.d.

A

h = O L L h L ( 1 . 2 8 )

Samenvattend vinden we dus als voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan van een minimum van f voor met c.

(2)

= O dat moet gelden

L 1 ,

C ( X ) =

o

hTE(x,i)h

>

O V h # O z . d . d . aT(X)h = O

c * c c c c c c c

Relatie (1.31) is op basis van (1.27) equivalent met ( 1 . 1 7 ) .

1 . 4 Ongelijkheden als nevenvoorwaarden.

We willen het punt

x

bepalen waarvoor de functie f (x) minimaal is onder de voorwaarde dat

5 5

c(x)

i

O, c(x) e Rm

.l.- 5 - 5

Definieer de verzameling K van toelaatbare n

K =

tx

..

e R

1

c(x)

i

O, c(x) E Rm)

a b c 5 5

Analoog aan het voorgaande bespreken we de

( 1 . 3 2 )

x

als

5

( 1 . 3 3 )

noodzakelijke en voldoende voor- waarden voor het bestaan van een minimum van f.

Veronderstel dat in het optimale punt bekend is voor welke i voldaan wordt aan c,(x) = O. De verzameling van alle i's waarvoor dit geldt duiden we aan

L s

met I. A l s de voorwaarde ci een actieve nevenvoorwaarde.

v

i E I: ci(X)

..

= O

hieraan voldoet, dus

i

e I , dan noemen we dit Dus

( 1 . 3 4 )

( 1 . 3 5 )

In het optimale punt

2

zal op basis van het voorgaande, vergelijk o.a. ( 1 . 3 0 1 , moeten gelden

..

( 1 - 3 6 )

met a.

(x)

= V c . ( X I .

We zullen aantonen dat steeds voldaan wordt aan de eis dat

E;

i

O .

geval kunnen we op basis van ( 1 . 3 6 ) als noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan van een locaal minimum formuleren

We definieren

hi

= O voor alle i

6

I .

21 5

5x

1 5

In dat

L L

hTc(i) =

o

(1.38)

h h h

ci(X)

i

O

v

i = I,...,m (1.39)

n

ii

i

o

V i = I,...,m (i . 4 0 )

Een punt dat aan ( 1 . 3 7 ) - ( 1 . 4 0 ) voldoet noemen we een Kuhn-Tucker punt (KT-

punt).

227-2531.

Voor een bewijs van het voorgaande verwijzen we naar Panik [ I , pag.

We kunnen eenvoudig nagaan dat, conform ( 1 . 3 1 ) , naast (1.37) tm. (1.40) in het optimale punt als voldoende voorwaarde voor het bestaan van een minimum in

x

moet gelden

h

met

( 1 . 4 1 )

2 Minimaliserinqstechnieken.

We hebben in het voorgaande gezien onder welke voorwaarden er een minimum van de functie f ( x ) bestaat.

waarmee een minimum van een functie onder nevenvoorwaarden gevonden kan worden.

ongelijkheidsnevenvoorwaarden omdat dit ons uiteindelijke doel is.

sommige methoden is het echter aanbevelenswaardig om eerst minimaliseren met

gelijkheidsnevenvoorwaarden te bestuderen.

In hoofdstuk

1

hebben we laten zien aan welke voorwaarden voldaan moet zijn opdat voor de te minimaliseren functie een locaal minimum gevonden is. Wet name de relaties die zijn afgeleid voor het stationaire punt kunnen, zoals

in $ 1 . 2 reeds is opgemerkt, in een aantal gevallen uitstekend als uitgangs-

punt dienen voor het vinden van het optimale punt.

met ongelijkheidsvoorwaarden hebben we gezien dat een noodzakelijke eis die aan het optimale punt moet worden gesteld is dat dit punt voldoet aan de KT- relaties.

werkwijzen die ertoe leiden dat er een punt wordt gevonden dat tenminste aan de KT-relaties voldoet.

tevens voldaan wordt aan de z.g. 'voldoende voorwaarde' voor het bestaan van een locaal minimum.

voorwaarde worden gecontroleerd.

We zullen nu een aantal technieken bespreken -,

In een aantal gevallen beperken we ons tot het minimaliseren met Voor

Voor het minimaliseren

De in dit hoofdstuk geformuleerde oplossingsstrategien zijn

Soms kan ze1-E.s direek worden geconcludeerd dat

In het andere geval moet achteraf de voldoende

2 . 1 Externe/interne Penaltv functie methoden.

Een eenvoudige en soms efficiente klasse van methoden zijn de penalty func- tie methoden.

voorwaarden. functie methoden.

werking zodra een nevenvoorwaarde c overschreden wordt, terwijl de penalty

i

term bij de interne methode juist actief is indien ci niet overschreden wordt. (Opm: een randvoorwaarde wordt overschreden zodra c

>

O . ) In het algemeen gaat men er zelfs vanuit dat ci nooit wordt overschreden bij de interne methode.

We bestuderen alleen de toepassing bij ongelijkheidsneven- We maken onderscheid tussen de externe en de interne penalty

Bij de externe methode treedt de penalty term pas in

Externe methode.

Aan de te minimaliseren functie wordt een penalty functie toegevoegd z.d.d. de te minimaliseren functie de volgende vorm krijgt

De scalaire functie 'pi kiezen we z.d.d. voldaan wordt aan

i p p

>

o

v

t

>

o,

ipi(t) =

o

v

t I

o

(2.2)

i

U

We beperken ons tot 'pi =

-

(t+)2, t*= max(0, t)

,

waarbij ui

>

O een weegfac-

tor is voor de i-de beperking.

2

In dit geval kunnen we h ( x ) schrijven als

L

Hierin is 0 een diagonaalmatrix met op de diagonaal de weegfactoren ui. Opmerking: indien de nevenvoorwaarden gelijkheden zijn worden andere eisen gesteld aan pi. Dan moet cpiIt) 2 O voor alle t en ')pi(( = O t3.e.s.d.a. t =

L

O, bijvoorbeeld tpi(t) = uit met ui

>

O.

Interne methode.

De te minimaliseren functie voor de interne methode luidt

De functie ai(t) moet voldoen aan

Jli(t) + O als t

*

-m (2.7)

Er worden normaliter geen relaties gegeven voor $i voor t

>

O.

numerieke problemen geven indien men door een foute schatting van de oploc- sing vindt dat t

>

O.

De eigenschap (2.6) van $i impliceert dat er als het ware een barriere wordt opgeworpen zodra het argument nul nadert.

zijn (u

>

O )

Dat kan

Veel gebruikte voorbeelden van Jl i i U i t ' U

Jli(t) =

-

--

$ift) =

--

lbi(t1 = - a i l n w

t2

(2.8)

Het laatste voorbeeld voldoet niet aan alle eisen die we aan $i hebben gesteld maar wordt desondanks vaak gebruikt.

Op basic van (2.1) of ( 2 . 4 ) hebben we een formulering van het

oorspronkelijke probleem gekregen in de vorm van een minimaliseringsprobleem zonder nevenvoorwaarden.

Een veel gebruikt algorithme maakt direct gebruik van de resultaten uit $1.1

t.a.v. het stationaire punt van ffx).

h(x) levert (1.5) n vergelijkingen voor evenveel onbekenden x . De

nauwkeurigheid van de oplossing hangt o.a. af van de penalty factor E . De oplossing wordt in het algemeen beter naarmate e kleiner wordt. Voor zeer kleine waarden van E kunnen echter numerieke problemen optreden.

zal nooit exact aan de eis c(x)

i

O voldaan worden. verduidelijkt in onderstaand voorbeeld.

Hiervoor zijn vele opfosalgorithmen beschikbaar.

Immers in het stationaire punt van

L

.., L

Overigens Het een en ander wordt

3 - .*

In de volgende figuur wordt het gebruik van de verschillende penalty

functies toegelicht. De te minimaliseren functie f is (x+l) met als neven- voorwaarde x

2

O.

b en c de interne methode wordt toegepast. Daarbij wordt in b de natuur- lijke logarithme als penalty functie gebruikt en in c de inverse functie.

2

2 . 2 Duale formulerins.

De duale formulering maakt gebruik van de Lagrangiaan die we in het voor- gaande hebben geintroduceerd. We beperken ons, in eerste instantie, tot problemen met gelijkheidsnevenvoorwaarden.

werk gaan bij ongelijkheidsnevenvoorwaarden. van de Lagrangiaan m.b.t. x.

en met n+m onbekenden

Daarna geven we aan hoe we te Beschouw het stationaire punt Dit levert ons een stelsel van n vergelijking- e

In het optimale punt

(;,hl

wordt hieraan (uiteraard) voldaan.

van dit stelsel vergelijkingen kunnen we x schrijven als functie van A :

x

= 8(h). Preciezer, veronderstel dat

E(;,^)

positief definiet is, dan bestaat er volgens de impliciete functiestelling in een omgeving

W(h)

van Ä

m in R Met behulp 5 -A.

..

c c z c c e e

een continue functie 8: Rm + Rn z.d.d. x = O ( A f en dus

c

..

e c

v

A E N f Ä l

e .* ( 2 . 1 0 )

In deze omgeving M(Ä) definieren we de zogenaamde duale functie J, als

c

( 2 . 1 1 )

Op basis van het bovenstaande kunnen we de duale functie schrijven als

We zullen laten zien dat, onder de voorwaarde dat l?(%,Ä) positief definiet is, de gezochte A de duale functie J1 maximaliseert. De dualiteit bestaat daarin dat we in het oorspronkelijke probleem de minimaliserende

2

van f(x) zoeken terwijl we nu de maximaliserende Ä van $ ( A ) zoeken.

Differentieren van $ ( A ) naar A levert, met 1 ( 8 ( A ) , A ) = O

..L

A.

*. c

c 5

= V L I A waaruit volgt ( 2 . 1 3 ) T IA..

...

De matrix

v

8 ( A ) volgt onmiddellijk na differentiatie van ( 2 . 9 )

immers ( 2 . 9 ) is geldig voor alle h c # ( h l . Hiermee volgt

L c Substitutie in ( 2 . 1 4 ) levert T -1

y y I T

= -A E

A

( 2 . 1 4 ) ( 2 . 1 5 ) ( 2 . 1 6 ) ( 2 . 1 7 ) T Omdat in het

Uit ( 2 . 1 7 ) blijkt dat als positief definiet is dat dan in een

omgeving van Ä negatief definiet is mits 9 rang m heeft. optimale punt geldt

-

( 2 . 1 8 )

-

blijkt dat $ ( A ) een maximum heeft voor h = h .

( 2 . 1 2 ) dan kunnen we

(2,Ä)

vinden uit

Combineer dit resultaat met

L I I max min L ( x , h ) - . b h x z * . ( 2 . 1 9 )

Bij ongelijkheidsnevenvoorwaarden kunnen we een vrijwel analoge afleiding geven. We moeten ons daarbij wel steeds beperken tot de actieve set zodra relaties voor

eis dat h 1 O

5

-A er,

A

w=rden zfyeleic?.

het optimale punt

(;,XI

gevonden kan worden uit

Eet blijkti. dan dzt op basis van de z

max min L(x,h)

ALO x c c

5 - c

(2.20)

In de volgende paragraaf zullen we hier, voor een soortgelijk probleem, nader op in gaan.

2 . 3 De aeaugmenteerde Lagrangiaan.

In het voorgaande, zie $1.3, hebben we gezien dat voor het bestaan van een oplossing van het minimaliseringsprobleem

min tf(x)

I

c(x) = 0 )

e c c e

X c

het ondermeer nodig is dat T

v

h z.d.d.

..

A

h = O en h # O + hTg(X,Ä)h

>

O z - . - . - c c c - d ( 2 . 2 0 ) ( 2 . 2 1 ) T

conform ( 1 . 2 8 ) . Hierin is

&(XI

= V c

(x)

en de Hessiaan van L(x,A). Een noodzakelijke eis voor het succesvol toepassen van de duale methode is dat

-

F ( X , h ) positief definiet is, m.a.w.

..

c.Xe A. c c

c c

( 2 . 2 2 1

In het algemeen zal

penaltyterm toe te voegen kan, onder bepaalde voorwaarden, wel aan ( 2 . 2 2 ) worden voldaan; dus

niet aan ( 2 . 2 2 ) voldoen. Door aan de Lagrangiaan een

( 2 . 2 3 1

De functie La(.,.) noemt men de geaugmenteerde Lagrangiaan. behoort de Hessiaan

Bij La(x,A) c c

m

( 2 . 2 4 )

Dat F

( x , h )

positief definiet is voor voldoend kleine e indien aan een met

( 2 . 2 1 ) equivalente relatie voor

Ea

voldaan wordt kan als volgt worden inge-

zien -a e

..

In het stationaire punt

(;,i)

geldt c ( 2 ) = O, dus

5 5 5 5 L

waaruit blijkt dat dit punt eveneens een stationair punt is van L(x,h) t.a.v. het eerste argument.

- 5

Voor oXxLa geldt

( 2 . 2 6 )

1 T

m

v

L =

b(x)

-

E

mi-

CiI

Gil

+

- A A

7cx a 5 E

i= 1

In het stationaire punt geldt c ( 2 ) = O, zodat daar geldt

5 - “

4 m

v

L

= F + f A A ’

-xx

a

Indien rang(A) = m kunnen we bewijzen dat V L voor

-xx

a

tie€ definiet is in het stationaire punt, d.e.s.d.a.

m

( 2 . 2 7 )

voldoend kleine E posi- hTF h

>

O voor alle

5 5

h # O z.d.d.

gh

= O. Het bewijs splitsen we in twee delen (i) A l s h F h

>

O voor alle h # O dan h h

>

O voor alle h

+ -ah 5 5 5 5 5 T c -T 5 5 O. ( 2 . 2 8 ) T

(ii)*Als h h

>

O voor alle h # O z.d.d. ATh = O dan hTF h

L . 5 c 5 z . . . -a,

f O voor voldoend kleine E.

5

Bewijs :

T

(i) Veronderstel dat F positief definiet is, dus h F h

>

O dan volgt direct uit de definitie van

Ea

dat

-a

..

-a”

T

A l s

A

h = O dan kunnen we ( 2 . 2 9 ) onmiddellijk schrijven als

. . L .

T 1 T

h

(E

t

A A

) h = hTF h

>

O

r., c L . 5

waarmee onderdeel (i) bewezen is.

T # O z.d.d.

A

h = c h

>

O voor alle h 5 voor alle h # O, z . . T V h f O z.d.d.

A

h = O 5 h L . 5 ( 2 . 2 9 ) ( 2 . 3 0 ) T T T

(ii) We hebben zojuist gezien dat h F h = h Hieruit volgt direct dat als h

h F h

>

O voor dergelijke h.

h voor alle h z.d.d. & h = O.

5 5 “ T -ah h

>

O V Q O ~ alle h f 0 z.d.d.

A

h = Q ook L . 5 T “ T 5 5 Als

A

h # O geldt -a5 5 “ 5

hTA I ATh

>

O

c

V h # O z.d.d. ATh # O

c c C C

Dus voor voldoende kleine E geldt zeker dat

T T 1 T T

h F h = h F h + ; h & & h > O -aC

..

c Waarmee onderdeel (ii) is bewezen.

T V h # O z.d.d.

A

h # O

c c I C

( 2 . 3 1 )

( 2 . 3 2 )

Enkele opmerkingen t.a.w. de toepassing van de duale functie bij de geaug- menteerde Lagrangiaan.

worden toegepast op de geaugmenteerde Lagrangiaan. relatie ( 2 . 9 ) kunnen we la(xfA) definieren

De in $ 2 . 2 gegeven formulering kan vrijwel onverkort In overeenstemming met c c

( 2 . 3 3 1

Omdat

Ea

voor vodoende kleine E positief definiet is kan op basis van de

impliciete functiestelling een functie 0 ( A ) worden gevonden. Hiermee kan opnieuw een duale functie, zeg J, ( A ) worden gevonden. Dit betekent dat het overige gedeelte van $ 2 . 2 onverkort geldig blijft.

-a

..

-a

Oncreliikheidsnevenvoorwaarden.

Indien de nevenvoorwaarden ongelijkheden zijn moet La aangepast worden. doen äit op de volgende manier

We

met

Jli(ci(x), c Aif E ) = O als ci(x) 5

>

e Ai

( 2 . 3 4 ) ( 2 . 3 5 ) 1 2 1 2 € 1 z 1 1 , 2 i i - c.(x)

+

~.c.(x) -

-

E h2 ais c

<

E = - -

Dit betekent dat we L

en in het hele niet-toegelaten gebied. In het grootste deel wan het toege- laten gebied passen we La zodanig aan dat er slechts een van Ai en E afhan-

kelijke term bij f(x) wordt opgeteld.

niet modificeren in een klein deel van het toegelaten a

Definieer de verzameling A als

b

A = ti

I

ci(x)

>

E A E

>

O )

c i'

dan is L te schrijven als

E

(2.36)

(2.37)

Dat de Hessiaan positief definiet is voor voldoend kleine E. volgt op analoge

wijze ais in het voorgaande. als volgt worden weergegeven.

De toevoeging aan f ( x ) als functie van

_..

ci kan

?

i,

De toepassing van de duale formulering verloopt als volgt.

we de randvoorwaaräen, zonder verlies van aigemeenheid, rsollaiiig hebbsn ge-

rangschikt dat

Veronderstel dat

ci(x) L

>

chi i =

1 ,

....

IP

i = p+l,..,n

We splitsen hiermee c en A in twee delen

c

..

T T T L

-1

-2 c = [ c c ] cT =

[Cl

...

c ]

-1

*P (2.38a) (2.38b) (2.39)

(2.40)

Voor het stationaire punt van L E ( . , . ) t.a.v. het eerste argument geldt (2.41) T

-x5 1 met

A l

= V c

.

definiet is als A #

tgl.

met behulp van bovenstaande relaties een functie x = û ( A ) gevonden worden. Op de gebruikelijke manier kan een duale functie worden gedefinieerd

(J, ( A ) ) . Differentiatie van J, ( A ) naar A levert met

1-=

O

Als E voldoende klein is kan bewezen worden dat -E F positief

Op basis van de impliciete functie stelling kan

I .% 5 1

a b €

-

,E 5 5 , E 5

Voor de tweede orde afgeleide geldt

v cv

J,

IT

,A2 * A l 5 & v [o J,

IT

= _{o ,Al}

_[v

_{..Al*& J,}

_IT

I

+A ..LE (2.42) (2.43) (2.44) T Met

I

de (m-p)x(m-p) eenheidsrnatrix.

analoge manier worden afgeleid dat

Voor

Kl[oAIJrE]

kan op een aan $2.2

(2.45) T

met Al = ~ A l ~ l . voor voldoen kleine E.

Dit betekent dat zeker negatief definiet zal zijn Daarom kunnen we het optimale punt vinden uit

max min LB(x,h)

5 5

A x

- . . .

(2.46)

Merk op dat er geen beperkingen aan de Lagrange multiplicatoren worden opge- legd.

3 Enkele aluorithmen.

Er worden een tweetal algorithmen besproken waarmee een oplossing gevonden kan worden voor het klassieke Lagrange multiplicatoren probleem.

thoden zijn echter ook geschikt voor toepassing bij de geaugmenteerde La- grange methode.

Beide me-

I. Uzawa alaorithme. A l s uitgangspunt wordt de duale formulering gekozen. De duale functie $ ( A ) = min 5 X 5 is gedefinieerd door (3.1)

We veronderstellen dat de Hessiaan van L(x,A) positief definiet is.

vinden we de minimaliserende x van L bij gegeven A door het stelsel verge- lijkingen

v

L = O op te lossen.

de duale functie m.b.v. een gradient methode.

Dan

5 5

5 5

Daarna bepalen we de maximaliserende h van

5X c 5

Het iteratieve proces heeft de volgende vorm

1 ) initialiseer A

_.,.

2) Vind een nieuwe schatting voor

2

uit

5

l(xktl,hk) = O,

* h 5 c * . - 5 nX 5

,.

met l(x,h) = V L(x,A)

3 ) Bepaal een nieuwe schatting VOOE Ä uit

-

hkt’ = hk+ a

L. 5

(3.2)

( 3 . 3 )

Dit is een gradient methode om de maximaliserende A te vinden. De factor a kan in principe vrij gekozen worden, doch om convergentie te krijgen moet deze binnen bepaalde grenzen gekozen worden.

gaan hier niet nader op in.

5

We Omdat

oh$

= -c volgt

4) Zolang niet aan een van te voren bepaald convergentiecriterium wordt voldaan herhalen we het bovenstaande proces van stap 2).

Opmerking. De multiplicator iteratie (3.4) is geldig bij gelijkheidsvoor- waarden.

groter dan nul zijn.

Bij ongelijkheidsvoorwaarden in de vorm c

i

O mag Ak” nooit

z c h

De iteratie (3.4) vervangen we dan door

2. Newton-Raphson algorithme. Beschouw de verzameling A

(3.5)

Hierin is Ai de Lagrange multiplicator behorende bij de i-de nevenvoorwaar- de. De konstante E. kan arbitrair worden gekozen. M.b.v. A kunnen we een gemodificeerde Lagrangiaan introduceren

i

Het stationaire punt van L voldoet aan

g(x) - E Aiai =

o

ieA ..,z z Ci(X)

_-.

=

o

- E Xi = O V i e A V i 9 A (3.8) (3.9) (3.101

We zullen laten zien dat de oplossing van (3.8)-(3.10),

(i,^),

juist het KT- punt is van het originele probleem.

Immers voor alle i c A geldt ci(i) = O, dus uit (3.6) blijkt dat Ai

<

0 voor alle i c A .

Dit betekent dat we (3.8) in het punt

( 2 , h )

kunnen schrijven als z c

c

Omdat A: = O voor alle i A moet cn(x)

i

O voor alle i !$ A .

J. 5

m i=3 g(X)

-

I Ä,a.(X) =

o

Z L 1-1 n h (3.11) T met Äi

1

O en ci O alsmede A c = O.

Z L L

De relaties (3.8)-(3.10) vormen in het algemeen een niet-lineair stelsel vergelijkingen dat bijvoorbeeld met het Newton Rahpson algorithme kan worden opgelost.

4 Een uitgewerkt voorbeeld.

Aan de hand van een eenvoudig discreet mechanisch voorbeeld lichten we de verschillende technieken uit het voorgaande toe.

D

Beschouw daartoe het vol- gende systeem. * ---+k

Dit bestaat uit een lineaire torsieveer met ongespannen hoek ipo en stijfheid s 1 .

spannen lengte lo en stijfheid s2. Deze veer kan draaien rond het punt O . De verlenging van de veer geven we aan met u. Punt B kan in kontakt komen

met twee wanden: 1 en 2. Bij dit kontakt treedt geen wrijving op. De be- lasting bestaat uit een moment M rond O zoals aangegeven in de figuur.

De hoek cp wordt bepaald door de stand van de lineaire veer met onge-

We willen bij een gegeven uitwendige belasting M de hoek ip en de verplaat- sing u berekenen. Een manier om dit te doen is het punt te bepalen dat de potentiele energie van dit systeem minimaliseert.

worden aan de twee ongelijkheidsrandvoorwaarden zoals die volgen uit de kon- taktconditie.

äoor

Daarbij moet wel voldaan

De potentiele energie en de nevenvoorwaarden worden gegeven

T

met x = [u

141.

Het probleem is dus te formuleren ais

Merk op dat we met c I O bedoelen dat ci I O voor i =

1 ,

2 .

-(4.3)

We weten dat het minimaliserende punt

x

van f (x) tenminste moet voldoen aan de z.g. Kuhn-Tucker-relaties. In hoofdstuk 2 zijn een drietal werkwijzen geintroduceerd die als uitgangspunt kunnen dienen voor het vinden van een dergelijk punt. Dit zijn: a) de externe penalty functie methode (PFM), b) de Lagrange multiplicatoren methode (LMM) en c) de geaugmenteerde Lagrange methode (GLM).

h 5

De beschrijvende relaties zijn

a) PFM:

met = max(O,$). We zoeken die x die h(x) minimaliseert.

5 h L(x,A) = f(x)

-

E. A.c.(x) 1 1 - ie1 h h (4.4) ( 4 . 5 )

met I = {(BI als ci< O voor i = 1 , 2 , als c2= O A c1< O.

argument en het maximum m.b.t. het tweede argument onder de voorwaarde dat A

-

<

O.De situatie dat beide randvoorwaarden actief zijn laten we buiten beschouwing omdat dan de oplossing triviaal is.

Merk op dat de oplossing van de L W moet voldoen aan de Kuhn-Tucker condi- ties (1.34)-(1.37). Dit betekent ondermeer dat

I= {I) als c,= O A c2

<

O en I = t21 We zoeken het minimum van L(.,.) m.b.t. het eerste

h

c

-T-

A x = O ,

hi<

O, C.< O

h h 1 (4.61

We kunnen eenvoudig aantonen dat

Äi

de kontaktkracht Ni met wand i reprecen- teerd.

blijkt dat (4.6) precies overeenkomt met de kontaktcondities.

C) GLM:

Vergelijking van (4.4) (4.5) en(4.7) leert dat de PFM en de LMM als bij- zondere gevallen van GLM beschouwd kunnen worden.

ceent L

de operatie iI, IJ representeert. Indien we in (4.7) de termen met E

schrappen volgt precies (4.5) en de verzameling A komt overeen met I .

Kies n.1. A = O dan redu-

5 5

juist tot h(x) waarbij de verzameling A juist de eigenschappen van

+

"

a

We hebben verschillende algorithmen tot onze beschikking om op basis van bovenstaande methoden het KT-punt te vinden.

in het algemeen niet exact mogelijk zijn, zie $2.1. maakt intensief gebruik van de duale formulering.

gebaseerd op de toepassing van de klassieke- en de geaugmenteerde Lagrangiaan.

positief definiet zijn van de bijbehorende Hessiaan.

deze voorwaarde in het algemeen niet voldaan kan worden bij toepassing van de klassieke Lagrangiaan. Veronderstel dat we een oplossing x, h hebben gevonden z.d.d. aan de RT-relaties wordt voldaan en dat c1 = O en c2

<

O voor deze oplossing.

dat zo'n oplossing inderdaad een minimum is.

aan de eisen voor de toepasbaarheid van de duale methode wordt voldaan, m.a.w. het positief definiet zijn van de Hessiaan wordt gecontroleerd.

Met behulp van de PFM zal dit Het Uzawa algorithme Deze werkwijze is

Een essentiele voorwaarde voor de toepasbaarheid is het Het blijkt dat aan

5 5

In dat geval is h2 = O. Allereerst bestuderen we of Daarna bekijken we in hoeverre

Er geldt voor de gevonden oplossing

1 1 T

V L = F (x,h) = d(x)

-

[A

-

;

c]

C(x)

+

-

a a

7 f X & -& 5 5 5 5 E n - (4.10)

b ( x ) =

v

(v

fIT =

-

.wx IX

Is2

“1

lo

cos tp [ c o s tp -(ïo+u)sin tp

i

r

4

(lo+ukos cp

i

A = Al

Opdat het KT-punt inderdaad het optimale punt is moet

T

- -

h

F(x,A)

h = I 5 . w c T V h # O z.d.d. k a = O I C n r ( 4 . 1 1 ) ( 4 . 1 2 ) (4.13) ( 4 . 1 4 ) ( 4 . 1 5 )

De voorwaarde die aan h wordt gesteld leidt tot een afhankelijkheid tussen hl en h2 (hT = [h h

3 1 ,

n.1. 1 2 cos ut hl =

-

h

(1

+U) tp 2 0 ( 4 . 1 6 )

Uitwerking van bovenstaande voorwaarde levert m.b.v. deze afhankelijkheid

( 4 . 1 7 ) h

>

O voor alle h # O

1, . w c I - .

TI li T

Omdat s

>

O, s2

>

O, l0+u

>

O en

-

5

<

tp

<

5

zal h

z.d.d. h’a = O, zodat een oplossing die aan de KT-relaties voldoet inderdaad een optimale oplossing is.

L I

T

- -

h F(x,h) h

>

O e L e e hTa(X,Ä) 5 h

>

O c c c V h # O V h # O c c

Uitwerking van de relatie voor

E(.,.)

levert

2 2

s2hl

+

2h2hlh cos ip

+

h2sl

-

h2hlh (lO+U) Sin ip

>

0

(4.18)

(4.19)

V h # O (4.20) c c

Aan deze eis kan in het algemeen niet voldaan worden voor alle ip E ( -

5,;)

en alle u.

van de verschillende parameters.

In het voorgaande, $2.3 en $2.4, is gebleken dat de term

-

aa

E: e -

F positief definiet maakt. Immers -a

Hieraan kan eventueel wel voldaan worden voor bijzondere keuzen

I T

de Hessiaan

1 T T

-

h aa h = [hlsin q~

+

h2(lotu) cos ipI2

>

O V h c # O c z.d.d. aTh c z # O (4.21)

8 z e=, c

Dit betekent dat we de duale methode wel kunnen toepassen op de geaugmen- teerde Lagrangiaan maar niet op de klassieke Lagrangiaan.

Behalve een algorithme dat gebaseerd is op de duale formulering (ket UzaKa algorithme) bespreken we de toepassing van het z.g. Newton-Raphson

algorithme en het gemodificeerde Lagrange algorithme.

A. Uzawa alcrorithme.

( 1 ) . Bepaal een beginschatting voor x en A .

c c

(ii). Bepaal een nieuwe schatting voor x door het minimum van h, L of La t.a.v. x te bepalen bij vaste h.

het Newton-Raphson algorithme om een van de volgende niet-lineaire stelsels e

Wij beperken ons bij het minimaliseren tot

z e

vergelijkingen die het stationaire punt t.a.v. x beschrijven op te lossen e

V h = 0 ,

(iii). Bepaal een nieuwe schatting voor de Lagrange multiplicatoren door de duale functie te maximaliseren.

volgende z.g. eerste orde iteratie

Daarbij wordt veelal gebruik gemaakt van de

Aktl = min(0,A k -uc(xk+’))

( 4 . 2 3 )

De factor a dient in het algemeen door numerieke experimenten bepaald te worden. De waarde ervan beinvloedt de convergentiesnelheid sterk. Bij GLM wordt u = 1 / ~ gekozen.

bovenstaande iteratie overeenkomt met de tweede orde iteratie voor A Voor voldoend kleine t kan men laten zien dat de

c

( 4 . 2 4 1

(VI.

Herhaal dit proces vanaf (ii) totdat convergentie optreedt.

(i). Bepaal een beginschatting voor x

-

en A .

c

(ii). Bepaal welke randvoorwaarden actief zijn.

(iii). Bepaal de relaties die het stationaire punt beschrijven t.a.v. x 4n

A , dus c c V _CX h = O, <5 ,X a, c -x E: ,A E V L = O A oAL = O, V L = O A (J L = O ( 4 . 2 5 )

Vanwege de niet-lineariteit van de randvoorwaarden ci zijn dit stelsels niet lineaire vergelijkingen.

(iv). Los deze op m.b.v. het Newton-Raphson algorithme. Dit is een itera- tief proces waarbij per iteratieslag een nieuwe

-

naar verwachting betere

-

schatting voor

5

en

i

wordt verkregen.

opnieuw welke randvoorwaarden actief zijn.

in de actieve verzameiing ranavoorwaarden keren we terug naar stap (iii). Na iedere iteratieslag beoordelen we

Indien er een wijziging optreedt

Het verschil van het Newton-Raphson algoritme t.o.v. het Uzawa algorithme is dat de actieve verzameling randvoorwaarden per iteratieslag van het Newton- Raphson proces kan worden gewijzigd.

C . Gemodificeerd Newton-RaDhson alcrorithme.

Voor de Lagrange multiplicatoren methode is een derde werkwijze mogelijk. We kunnen hiervoor het tweede algorithme uit hoofdstuk 3 gebruiken.

ziging t.a.v. het gewone N-R-algoritme bestaat uit de identificatie van de actieve verzameling randvoorwaarden, zie hoofdstuk 3 .

De wij-

De volgende alternatieven zijn op het onderhavige probleem toegepast.

1.

GLM in combinatie met het Uzawa algortihme en de multiplicatoren iteratie volgens (4.9).

2 . GLM in combinatie met het Newton-Raphson algorithme.

3 . LMM met algorithme C.

4. PFM met algorithme B.

5 . PFM met het Uzawa algorithme, uiteraard zonder multiplicatoren iteratie.

De LMpfI in combinatie met het Uzawa algorithme is niet onderzocht omdat het a priori niet bekend is welke waarde voor CI gekozen moet worden, ook de

combinatie met het standaard Newton-Raphson algorithme is niet onderzocht vanwege de te verwachten convergenitieproblemen.

i?esuii;äken en conciusies.

1 )

De Lagrange multiplicatoren methode met het gemodificeerde N-R-algorithme

blijkt het meest succesvol. te zijn. gentie en een grote nauwkeurigheid.

onder voor de voorgaande methode, doch de convergentiesnelheid is gemiddeld wat lager. De overige werkwijzen vertonen allen een aantal nadelen dan wel convergentieproblemen (met de PFM met algoritme B).

terug gekomen.

Deze methode geeft een snelle conver- De GLM met algorithme B doet weinig

Hierop wordt later

Raphson algoritaime in combinatie met de LMM) worden in onderstaande tabel gegeven. Invoergegevens S I = 1.0 s2 = 1.0 E = 0.10000E-02 = 0.0 O U ‘po = 0.15700E O1 lo = 0.10000E O 1 a = 0.75000E O0 M = 0.0 b = 0.80000E O0 aantal incrementen: 10 toename van M (awl: -0.2

(n: aantal iteraties tot convergentie)

M n -0.2 5 -0.4 5 -0.6 5 -0.8 3 -1.0 4 -1.2 5 -1.4 5 -1.6 5 -1.8 5 -2.0 5 U -0.1772E O0 -0.1121E O0 -0.2053E-01 0.0 -0.7765E-01 -0.1324E 80 -0.2335E O0 -0.2495E O0 -0.2198E O0 -0.1464s O0 tp 0.1335E O1 0.0 0.1122E O1 0.0 0.9558E O0 0.0 0.7700E O0 0.0 0.6213E O0 -0.9550E-01 ö.4’366E

óu

-û.íYû%E OU 0.2077E O0 -0.2387E O0 -0.3692E-01 -0.2497E O0 -0.27923s O0 -0.2286E O0 -0.4979E O0 -0.1666E O0 -0.1823E O0 -0.1244E O0 -8.2514E-01 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 =2 -0.5578E O0 0.3353E-07 -0.3648E O0 -0.1434E-06 -0.1849E O0 -0.4098E-07 -0.3209E-01 -0.1039E O0 0.4796E-07 -0.2631E 00 -u.7916E-û8 -Û.45Û?E O0 -0.1057E-06 -0.6419E O0 -0.4377E-07 -0.8277E O0 -0.2049E-07 -0.1015E O1 0.9313E-08 -0.1208E O1

2) De bepaling van de actieve verzameling randvoorwaarden m.b.v. ci-eAi>O kunnen we fysisch interpreteren. De voorwaarde c representeert n.1. de

negatieve afstand van punt P tot de wand i en Ai vertegenwoordigt de nor- maalkracht op wand i. Als tijdens het iteratieproces geldt dat Ai< O dan betekent ci

>

ehi dat het punt P zich in een dunne laag langs de feitelijke wand mag begeven om toch als in kontakt zijnde te worden aangemerkt. Dit heeft grote numerieke voordelen omdat door een foute schatting voor

x

P in het toegelaten gebied kan komen te liggen (dus ci< O ) . We zouden dan con- cluderen dat de betreffende randvoorwaarde niet langer actief is.

bij de PFM zullen zien kan dit tot een niet convergerend cyclisch proces leiden.

tie met het gemodificeerde N-R algorithme wordt geven door

z

Zoals we

Een typisch voorbeeld van het verloop van c bij de LMM in combina- 2 c2 -0.2292 E-1 O. 2356 0.9660 E-3 -0.2329 E-5 -0.1057 E-6 + convergentie

3 ) Een goed voorbeeld van het niet convergeren als gevolg van h e t cyclisch actief/niet-actief worden van een randvoorwaarde vinden bij de PFM in combi- natie met het standaard N-R algorithme.

proces.

voor alle i geldt ci

i

0.

paald.

voor iteratieslag 1.

waarden gekozen als onder punt i j .

De onderstaande tabel toont zo'n

Na iteratieslag 4 is er geen enkele randvoorwaarde meer actief, dus Dus wordt het onbeperkte minimum van f(x) be-

n

Dit levert voor de volgende iteratie dezelfde startwaarden op als

A l s probleemparameters en startwaarden zijn dezelfde

E. = 0.10000E-02

incr = 0.50000E O1 M =-O. 10000E O 1 (n: iteratieslag)

n U 0.0 -0.8250E-01 -0.8827E-O1 -0.7782E-01 0.0 -0.8250E-Of -0.8827E-O1 -0.7782E-01 0.0 cp _h2 0.5700E O0 -0.9190E 02 0.6073E O0 -0.3426E O1 0.60466 O0 -0.8954E-01 0.6212E O0 0.1066E O0 0.5700E O0 -0.9190E 02 0.6073E O0 -0.3426E O1 0.6046E O0 -0.8954E-01 0.6212E O0 0.1066E O0 0.5700E O0 -0.9190E 02 c2 0.2604E 03 0.9190E-01 0.0 0.3426E-02 0.0 0.8954E-O4 0.0 -0.1066E-03 0.26046 03 0.9190E-01 0.0 0.3426E-02 0.0 0.89543-04 0.0 -0.1066E-03 0.2604E 03 0.9190E-01

1

C -0.2604E O0 -0.2764E O0 -0.2817E O0 -0.2633E O0 -0.2604E O0 -0.2764E O0 -0.2817E O0 -0.2633E O0 -0.2604E O0

4) Tenslotte vergelijken we oplossing en convergentiesnelheid van de vijf methoden. Voor methoden (no. I en 5) waarbij een aparte Lagrange muitipli- catoriteratie is gebruikt worden twee increment aantallen aangegeven: n2 voor het aantal multiplicatoriteraties en nl voor het aantal incrementen bij vaste multiplicator. M = -0.6 dM = -0.2 lo = 1.0 a = 0.75 b = 0.8 U _cp c2 n nl n2 E

1 :

-0.2053E-1 0.9558 -0.2514E-1 -0.1849 -0.4098E-7 6 0.01

2: -0.2053E-1 0.9558 -0.2514E-1 -0.1849 -0.4098E-7 5 0.001 3: -0.2053E-1 0.9558 -0.2515E-1 -0.1849 -0.4191E-8 2 7 0.001 4: -0.2051E-1 0.9558 -0.2504E-1 -0.1849 0.2504E-7 7 0.001 5: -0.2051E-1 0.9558 -0.2504E-1 -0.1849 0.2504E-7 I 7 0.001

We zien dat methode 3 de beste convergentieresultaten geeft.

dat de penalty functie methoden altijd een overschreiding van de randvoor- waarden te zien geven: c

>

O.

Vexder blijkt

2