Het begrip deformatie

Het begrip deformatie

Citation for published version (APA):

Kals, J. A. G. (1973). Het begrip deformatie. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor

mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0315). Technische Hogeschool

Eindhoven.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1973

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

" -ARK

01

WPA

Overdruk uit Metoolbewerking, Nr. 15 (joorgong 39), 10 jonuori 1974

WT 0315-1

Het begrip deformatie

ire

J. A. G. Kals

Het begrip deformatie

Ir. J. A. G. Kals

THE, afdeling Werkluigbouwkunde, vakgroep Produklielechnologie

dA = F dl

We kunnen deze uitdrukking onafhankelijk maken van het deshe'treffende materiaalvolume V:

Hier blijken de wegen te splitsen, want in de elastici-teitsmechanica definieert men:

dA Fdl dAs =V- =

or-

=ado

waarin dAB de specifieke infinitesimale arbeid

VQor-(2)

(1 )

do

=

dl

=

"rekincrement"

1

Definities van het begrip "rek"

Gemeenschappelijk in beide rekdefinities is dot men de lengteverandering van een lijnstukje zuiver geome-trisch karakteriseert door mid'del van een dimensieloze grootheid - de 'rek' - die ontstaat door deling van de verlenging door de bijbehorende lengte.

Verschillend denkt men over wat de 'bijbehorende' lengte is, namelijk de uitgangslengte dan wei de momentane lengte.

De betekenis van de deling is zonder meer duidelijk. Bij uniform verdeelide verlenging van een lijns'lukje I, zal - bij overigens gelijke omstandigheden - de verlenging evenredig zijn met de lengte. Delen we beide op elkaar, dan verkrijgen we een dimensieloos getal, dat onafhankelijk is van de gekozen lengte. We bekijken nu een recht lijnstukje I, dat oorspronke-lijk de lengte 1₀ had en uiteindelijk de leng'te Ie zal aannemen, tijdens het rekken. We laten de lengte I toenemen met een infinitesimaal bed rag en definieren: maar hanteren onderling afwijkende definities van het beg rip rek. Eenerzijds is dit het gevolg van de historische ontwikkeling, anderzijds ook van uiteenlo-pende behoeften. Zoals in het volgende zal worden toegelicht, zijn beide rekdefinities echter minder ver-schillend dan vaak wordt gedacht.

d dl I I ' f" .

E;

=

'1"

=

~n ~n~tes~male rek"

o

waarbij de infinitesimale verlenging i.h.a. niet door de bijbehorende beginlengte wordt gedeeld, maar door de beginlengte van een eindige verlenging

61

waarvan dl een willekeurige infinitesimaal deel is.

Het is duidelijk, dat een voorkeur voor een van deze definities niet op zuiver geometrische gronden kan worden gefundeerd. In de plasticiteitsmechanica heeft men e'en voorkeur voor def. (1) op energetische gronden, die samenhangen met de niet-omkeerbaarheid van plastische vervorming. Op eenvoudige wijze kan dit als voigt duidelijk worden gemaakt:

Stel, dat een cilindrische staaf met een lengte I en een loodrechte doorsnede 0 (beide zijn momen1tane waar-den voor een willekeurige tussentoestand) onder in-vloed van een infinitesimale verandering van de kracht F, die in de lengterichting werkt, een infinitesimale verlenging dl ondergaat. Voor de infinitesimale arbeid geldt dan:

Voor het onderzoek van problemen in de

praktijk van de vervorm'ingstechniek is het

onder meer van essentieel belong, dOlt men

bij de desbetreHende beschouwingen kan

s'teu'nen op een iuist begrip van het

ver-schijnsel

vervorming.

Foutieve

condus'ies

zijn vaak het gevolg van het

veronacht-zamen van het feit, dot een plasfische

ver-vorming wezenlijk een ruimtelijk karakter

heeft. Voorts realiseert men zich in vele

ge1vallen niet voldoende, dot de r'ekdefin'itie

veel meer is dan aileen maar een

wiskun-dilge abstractie of een zuiver arbitraire

grootheid. Zij is de beschrijving van een

fysische reaHteit. Vooral ten be'hoev'e van

produktietechnici, die n'iet toeikomen aan

een uitgebreidere studie van de theoretische

achtergronden van de

vervormingstechno-logie, probeert de schrijver 'een beeld te

geven van de wezenlijke betekenis van de

begrippen IInatuurlijke

rek" en lIeffectie,ve

deformatie",

waarvan

de

internationale

vakliiteratuur zich nagenoe'g uitsluitenld

be-dient. De nadruk wordt hierbij vooral op

praktische aspecten en voorstellingswijzen

en minder op wiskundige vol'ledigheid

ge-legd.

Inleiding

In tegenste,lling tot de gang van zaken in andere technische wetenschappen - zoals de elektrotechniek en de chemie - is de mechanische techniek gedurende vele eeuwen empirisch ontwikkeld in de praktijk. Pas veel later is men begonnen aan de wetenschappelijke analyse van doorgaans reeds bestaande methoden en processen. Het directe doel van de analyse is vergro-ting van kennis en inzicht, het verder liggende doel is een systematische verbetering van oude methoden en ontwikkeling van nieuwe.

Hoewel de ontwikkeling van metalen werktuigen (ma-chines) de kloof vernauwde, vindt men tot vandaag een zekere scheiding terug tussen het 'construeren' en

het 'produceren'.

De mechanica is voornamelijk op het eerste gericht geweest, omdat het tweede, althans voorzover het de plastisohe vervorming en de ondersteunende techno'iogie betreft, pas na 1940 goed tot ontwikkeling begon te komen.

De 'elasticiteitsmechanica' en de 'plasticiteitsmechanica' zijn beide gebaseerd op dezelfde spanningstheorie,

III I II 0 ( I = ° 1-- II 1

"

~_{kracht F}

r

n.l_o

LCD

III r·eld:1H(· (i)--:>0: 61::s 1nl'?- c In n o

begintoestand tussentoestand eindtoestand " - . .

rek~

" - - s t u i k /

Fig. 20. Gelijkmotige rekverdeling

(3)

stelt. We zien dus, dat door het invoeren van def. (1) een relatie tussen de infinitesimale specifieke arbeid en de incrementele rek bestaat, waarvoor de oorspron-kelijke geometrie niet bekend hoeft te zijn. Dit is een belangrijk voordeel bij het analyseren van grote en gecompliceerd verlopende deformaties, zoals deze bij plastische processen voorkomen.

Omdat:

As .. fdAs =jado

ligt het voor de hand voor een eindige rek de volgende definitie in te voeren:

o

Ie 1

o

=f

do =

f~l

=In 1: ="logarithmische rek"

o 1~

Dit houdt dus in, dat we per definitie stell en, dat de eindige rek (de meetbare grootheid) gelijk is aan de som van die opeenvolgende incrementele rekken. Dit geldt ook met betrekking tot def. (2):

1 e 1 -1

J

d 1l = - I e0 = 161 =~ "proportionele rck" 1 0 0 0 0 (4)

Omkering en combinatie van de beide functies (3) en

(4) levert de betrekking: 1

=

1 eO

=

1 (£+1) e 0 0 1 10-nl" I-n stuikfascQ)"G): 52 = In n~ =-In n f. 2 =-n-)-- =

n

o 0

Fig. 2b. Symmetrie von de notuurlijke rekdefinitie

Tussen beide rekdefinities bestaat dus de volgende relatie:

o

= In(£+I)

het geval van grote (plostische) deformatie beter bleek aan te sluiten bij het fysisch-mechanisch gedrag van metalen.

dat wil zeggen de totale rek volgens de logarithmische definitie is eenduidig, want ze geeft waarden die onafhankelijk zijn van de doorlopen tussentoestanden, ze is weer nul als de uitgangstoestand weer bereikt wordt.

We realiseren ons, dat een rekdefinitie altijd eenduidig is als ze symmetrisch is, dat wil zeggen als de rekwaarde behorend bij twee lengten - afgezien van het teken - onafhankelijk is van de vraag welke lengte de beginlengte is en welke de eindlengte. In het geval van een symmetrische rekdefinitie maakt het namelijk niets uit als men de totale rek in een willekeurig aantal deelrekken verdeelt, elk met zijn eigen begin- en eindlengte. Mothematisch kunnen we dit als voigt formuleren:

Ie 11 _{1 2} Ie

In - " In - + In - + ••••••••• + In - (7)

10 10 I) l e-)

Uit de grafiek van figuur 1 volgde reeds, dot de proportionele rekdefin,itie asymmetrisch is:

Emin = - 1 en _Emax =

+

00.

Vergeliiking van de twee rekdefinities

Symmetrie en eenduidigheid

Een prima ire eis, aan een rekdefinitie te stellen is, dat ze eenduidig is met betrekking tot het vastleggen van een nieuwe lengte (of vorm). Hiermee wordt bedoeld, dot bij elke lengte slechts een totale eindige rekwaarde behoort en omgekeerd, ongeacht de wijze waarop ze bereikt werd.

We kunnen dit aan de hand van een voorbeeld demonstreren (figuur 2b):

We zien uit het voorbeeld, dat voor elke willekeurige tussenlengte nlo geldt:

(6) (5)

Fig. 1. Het verband tussen de prof'ortionele en de logorothmische/ notuurlijke rek \ 2 proportionele rekt:

-,

-2 -2 1-1 01 /. .Er / ~ / / ~// / 1 / 1 / 1 / 1 / , / 1 / 1 -1.-00 e: =eO_)

Grafisch is deze relatie in figuur1 weergegeven.

Opmerking: In het algemene geval is de rek niet gelijkmatig ve'rdeeld over een lijnstuk I (zie figuur 2a). Zander dat we dit steeds vermelden beschouwen we aile eerder gedefinieerde rekgrootheden als limieten:

do " lim dl

1-"0 1

We bedoelen dus verder steeds een 'plaatselijke rek'. In mathematisch opzicht is het verschil tussen beide rekconventies gelegen in het feit, dat proportionele rekken een vervorming beschrijven ten opzichte van een vast coordinatenstelsel (zogenoemd Lagrange-coor-dinaten) en dat logarithmische rekken gebaseerd zijn op een meelopend coordinatenstelsel.

De logarithmische rekdefinitie (3) is in 1909 door LUDWIK [1] inge,voerd en wordt tegenwoordig meestal met de naam 'natuur.lijke rek' aangeduid, omdat ze in

notuurlijke rek 161 (9) I:1Q,eriaa/: gegloeid aluminium (kleine rek) voor e: «1 80 20 6 .. £

men' tegelijkertijd moeten worden gesuhstitueerd, om-dat een grote ruimtelijke vervorming steeds uit onder-ling loodrechte rekken met verschillend teken bestaat (zie paragraaf over volumeverandering). Dit zou uiter-aard tot onoverkomelijke problemen leiden.

We concluderen - aangezien overeenkomstige resulta-ten ook voor andere metalen werden verkregen - dat de natuur blijkbaar beter door de natuurlijke rekdefi-nitie beschreven wordt, zodat de naam 'natuurlijk' terecht is.

De kl9ine rek

Uit het voorgaande is de indruk gegroeid, dat de proportionele rekdefinitie grote nadelen bezit ten op-zichte van de natuurlijke rekdefinitie. Desondanks weten we uit ervarin9, dat vele bruikbare theorieen uit de elasticiteitsmechanica op dit begrip gebaseerd zijn.

Hoe zit dit nu? De oplossing is zeer eenvoudig, immers we kunnen schrijven (reeksontwikkeling):

£2 £3 £4 (8)

6

=

In(I+£)

=

£ - 2 + 3 - i f+

Deze reeks convergeert voor-I<£ ~

+

I.Er geldt dus ook: ~100

mm'

O'--_ _L -_ _L-_---'L-_----'_ _----I_ _---1

°

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

proportionele rek Itl

Fig. 4. De rekkromme en de stvikkromme (uitgedrvkt in proportionele rekken) vallen niet somen

Aan de voorwaarde £ < < I is in het algemeen voldaan binnen het elastisch gebied van aile metalen, die van technisch belang zijn, waar steeds geldt, dat E <0,001.

De afwijking van beide rekdefinities ten opzichte van elkaar is dan minder dan 10-6 _{ofwei 10-}40

/0. Deze algemene conclusie volgde in feite ook al uit figuur l.

We concluderen, dat - bij de huidige stand van zaken - de gelijkwaardigheid van beide rekdefinities voor kleine rekken interessant maar niet van groot belang is. Opmerkingen:

1e De kleine rek is iets we:z:enlijkanders dan een infinite-sima Ie of incrementa Ie rek.

Een kleine rek sluit namelijk steeds aan op de uitgangs-toestand.

2e Met betrekking tot de keuze van symbolen zou men eigenlijk principieel onderscheid moeten maken tussen de volgende begrippen:

- kleine rek ('small strain')

- grote proportionele rek ('engineering sl,rain') (maatrek) - grote natuurlijke rek ('natural strain')

In de literatuur wordt vaak in aile gevallen hetzelfde symbool gebruikt, hetgeen tot misverstanden kan leiden.

3e In de Duitsrolige literatuur wordt het symbool <P vaak gebruikt voor de gemiddeldenatuurlijke rek (bijvoorbeeld 0,6

0,5

0,4

0,3

materiaal: geg loeid

aluminium 0 - 0 trekproef

x""':x stuikproef

en de stuikkromme, vitgedrukt in natuvrlijke

0,2 0,1 D'---_l.--_----'"--_----'-_ _---'-_ _---L_ _- l o ~ '" c .~ 40 o CL 60 Fig. 3. De rekkromme rekken, vallen samen

N mm,120

I

100 [

80

.n het bovenstaande voorbeeld is de som van £1 en £2 dan ook ongelijk aan nul. Dat wil zeggen dat door optellen va,n deekekken de zaak niet eenduidig wordt. Bij het han/eren van de £-de,finitie moet dus streng de voorwaarde worden gesteld, dat aile deelrek-ken op dezelfde referentielengte betrokken moeten zijn, anders kan niet aan de eis van eenduidige vormbeschrijving worden voldaan.

Ook in dit geval blijft de zaak nog enigszins onbevredi-gend, omdat aile aan tussenvormen toegevoegde rek-waarden afhankelijk zijn van een volkomen arbitraire

referentieleng'te 1

0, Welke vorm is de uitgangsvorm:

het stafmateriaal uit het magazijn of de ingot voor deze in de s'taalwalserij de eerste wals ingaat, enz.? Het is duidelijk dat dit laatste probleem vooral een

rol speelt bij pbstisch deforme'ren, waar de fe,ferentie-lengte niet door ontlasten kan worden terugverkregen, zodat er geen voor de hand liggende 'oerlengte' kan worden gedefinieerd.

Ais besluit van de symmetrie beschouwingen zou het interessant zijn te weten of het materiaal bij grote deformatie een symmetrisch gedrag vertoont met betrekking tot omkering van het teken van de rek. Uit de metaa'lfysica is bekend, dat grate rekken tot stand komen door afschuiving van bepaalde rooster-vlakken in de kristalstructuur onder invloed van de schuifspanningen in die roostervlakken.

(Het mechanisme van de afschuiving wordt genaly-seerd in de dislocatietheorie, maar doet hier niet ter zake).

Rekken of stuiken van een lichaam of een deel ervan betekent in dit opzicht niets anders dan afschuiven van dezelfde roostervlakken in tegengestelde richting. Afgezien van enige invloeden van ondergeschikt belang

-zoals bijvoorbeeld restspanningen - moet het gedrag van metalen bij rek en stuik gelijk zijn, omdat het mechanisme identiek is. Vele malen is dit feit inder-daad empirisch bevestigd, onder andere door TABOR

[2] (zie figuur 3).

Fysisch bekeken, houdt deze experimentele grafiek in dat de vervormingsarbeid onafhankelijk is van het teken van de rek onder de voorwaarde, dat de rek in de natuurlijke rekconventie wordt beschreven. We kun-nen op basis van het voorgaande dus reeds conclude-ren, dat de trekkromme en de stuikkromme niet identiek zijn als ze in proportionele rekken worden uitgedrukt. Ter illustratie werd de kromme u als functie van 8 omgerekend naar £ (zie figuur 4):

Dit betekent, dat in procesmodellen twee

(16)

over een doorsnede), die vaak een rol speelt in de elemen-taire analytische benadering van vervormingspmcessen. Volumeverandering

We beschouwen sen oneindig klein rechthoekig volume-elementje met zijden Xl, X2 en X3. Voor he,t volume V geldt dan:

v =XI Xz X3

(elastische) volumeverandering, die een materiaal on-dergaat onder invloed van een belosting steeds evenre-dig is met de gemiddelde rek:

d~ ~ 3do_m (15)

of (onder de bekende voorwaardel:

v

e

Iny

~ _30m

o

Bij een oneindig kleine vervorming blijft het elementje i.h.a. bij benadering rechthoekig en kan een infinitesi-male volumeverandering 015 voigt worden uitgedrukt:

dV ~ ~ dx +~dx +~dx oX_I I oX₂ 2 oX 3 3 0'₎ IN

=

3E (17) V m o

Het is nu zonder meer duidelijk, wat de fysische achtergrond is van het feit, dot men longs zuiver wiskundige weg kan aantonen, dot er een symmetri-sche eerstegraadsvergelijking in de rekcomponenten van iedere deformatie (de zogenoemde 'eerste invari-ant van de rektensor') bestaat, waarvan de woarde onafhankelijk is van de gekozen orientatie van het assenstelsel.

Uitgedrukt in de hoofdcomponenten is deze waarde:

11

=

£I + £II+ EIII

Een volumeverandering is immers geen vectoriele grootheid en kon dus niet afhonkelijk zijn van de keuze van het assenstelsel.

In het algemeen kunnen We een vormverondering von een volume-elementje opgebouwd denken uit een volu-meverondering en een gedoanteverondering. De lootste wordt dus bepaald door:

z {

doz + d0 3 } do'l

=

_{dOl - dOm}~ 3 dOl - 2

~

} { (dOl - doZ) + _{(dOl - d0 3)}}

do' z

~

doZ - dO

m

~

} { (doZ- d03) + (doZ- dO)}(18) do'3

~

d0

3 - dOm

~}

{ (d03 - dOl) + (d03 - dOZ)} De grootheden d8'J enz. noemen we 'deviatorische re'k-incrementen'. In de plasticiteitsmechanica wordt dllm gelijk

aan nul gesteld en zijn de deviatorische en totale incre-mente'le rek gelijk.

Onder de voorwoorde, dot materiele lijntjes njet rateren ten opzichte van de hoofdrichtingen, dot wil zeggen blijvend in de hoofdrichtingen georienteerd zijn, geldt ook:

°'

Z

of voor

£«

look

(10)

(11 )

Indien de zijden gedurende een hele (eindige) defor-matie loodrecht op elkaar blijven staan, dot wil zeggen 015 de zijden blijvend in de hoofdrichtingen georien-teerd zijn, mogen we ook schrijven:

v v e In ve

~

/ dV

~

°

+ ' , , o V ) " z + "3 ~ "I + °11 + °111 V o

Hierin zijn 81 enz. de (eindige) hoofdrekken.

Zoals eerde'r gezegd is komt plastische vervorm:ng u::-sluitend door afschuiving tot stand. Dit betekent, dot het materiaalvolume hierbij constant blijft (denk bij-voorbeeld aan speelkaarten). Dit is experimenteel be-vestigd. Men kon vaststellen, dot volumeveranderingen hoogstens

±

0,01 % bedroegen en het gevolg waren van elastische residuspanningen. Ten opzichte van de rekken is de gemiddelde rekdus verwaarloosbaar klein:

3 dOm~ dOl + doz + _d03

=

0 (12)

Dit is een van de basisvergelijkingen van de plasticiteits-mechanica. In proportionele rekken uitgedrukt geldt nu voor de hoofdrichtingen:

v

In ,;.::Or+<\1+0Ilr '" In(l+E:._r)+In(l+£n} +In(l+£UI) =

o

:: In(l+s..J (1+8It(I+e:III)

De (grote) deviatorische rek

Uit de vergelijkingen (10) en (11), voigt, dot de +e: {'I I+£:I fI I I+e:I I t I +

+£ {-IfIII+1

Voor kleine rekken, dot wil zeggen: E1I Ell' Ern

<<

1 geldt dus:

IN

V " E1+ Ell+ EIII~ 3Em

o

(13)

(14)

0' 3 °3 - om

Dit zijn de grote deviatorische rekken, die de gedaante-verandering bepalen.

Tens'lotte ge'ldt voor de kleine rekken E

<<

1 nog: E'I

=

E] - Em

=}

_{{(E1 - EZ)} + (E) - £3)} E'Z E_Z- Em

~

_{{- {(EZ - E3)} + (E_Z- E

1)} (19)

E'3 _{E3 - Em}

=}

_{{(E3 - E1)} + _{(E 3 - EZ)}}

Fig. 5. De rolalie van de maleriele richlingen bii vervorming

We beschikken dus nu over een gesloten beschrijvings-model van rekken, dat ook in dit opzicht fysisch relevant is. In het volgende zullen we neg nader ingaan op de definities van hoekverdraaiing c.q. afschui-ving.

(20)

Fig. 7. Zuivere afschuiving

dA = TOds

Betrekken we dit op het materiaalvolume, dan is:

dA

=

dA

=

TOds

=

Td(tan~)

=

Tdy

s V Oh

We hehben zo een incrementele rekgrootheid

dy = ds = .d(tan~)

h

ingevoerd, die geschikt is voor h~t beschrijven van afschuiving op een zinvolle manler. We bedoelen verder steeds - zonder dit nog te vermelden - de plaatselijke incrementele afschuiving:

dy = lim ~ h+o h

Per definitie beschouwen we een eindige afschuiving als de som van aile opeenvolgende incrementele af-schuivingen:

vlakken van zuivere afschuiving zijn weggedraaid door richtingen waarin wEd rek optreedt.

We benutten het geval van zuivere afschuiving om een eveneens zuivere definitie van afschuiving te formule-ren. In eerste instantie is men namelijk geneigd ~e afsahuifhoek <l? te kiezen als dimensieloze grootheld om de grootte van de vervorming. door afschuiving .t.e kwantificeren. De fysische relevantle van een dergelJl-ke dergelJl-keuze is hier echter minder goed zichtbaar als bij de zuivere rek (zie 'definities van het beg rip rek'). De fysische bruikbaarheid is echter automatisch aanwezig, als we op analoge wijze als bij de zuivere rek de definitie een energetische basis geven.

Fig. 8. Schemalische weergave van een willekeurige incremenlele afschuiving S

ds

Opp.O

,.

..II·

I ::

~~;;;;;;;~~~"'3~~

l--:---~~'

h

I '/

_L_

~'/

We gaan hiertoe uit van een willekeurig,e tussentoe-stand bij zuivere afschuiving en brengen een incremen-tele afschuiving aan (figuur 8).

We hebben nu uitsluitend te maken met de arbeid van de schuifkracht in het bovenvlak, immers de aangrij-pingspunten van de schuifkrachtjes in de zijvlakken ver-plaatsen loodrecht op de richting .van de. schuifkracht en het aangrijpingspunt van de schulfkracht In het grond-vlak wordt niet verplaatst. Voorts is de totale arbeid van de normaalkrachten - die voor schuinstaande vlakken natuurlijk aanwezig zijn - gelijk aan nul voor een homogeen belmt en dus homogeen deformerend blokje. De arbeid, behorend bij de incrementele nfschuiving is dus nu:

Fig. 6. Schemolische we,ergave von de rolalies door een

'af-schuiving' , I

~<P

-.,1

I I

tIl

I JI' :..- 45° , I

Hieruit voigt een bijzonder interessante conclusie: het rechter gedeelte van deze vergelijkingen bestaat uitslui-tend - afgezien van constanten - uit hoekverdraaiin-gen, of wat fysisch gezien hetzelfde is (zie volgend~ paragraaf) uit afschuivingen. Dit voigt rechtstreeks Ult de rekcirkels van Mohr. Met andere woorden gezegd:

Een gedaanteverandering kan steeds worden beschouwd als het gevolg van een combinatie van hoekverdraaiingen of - wat hetzelfde is -afschuivingen. Bovendien veroorzaken afschui-vingeng~'envolumeverandering.

~

,

,

Algemene definitie van (grote) hoekverandering

c.q. afschuiving

Uit de rekcirkels van Mohr - of liever uit de afleiding daarvan - weten we, dat tijdens een defor-rna tie stoffelijke lijntjes niet aileen langer of korter wo'rden (dat wil zeggen 'rekken'), maar dat ze i.h.a. bovendien roteren. Oat dit zo is, kan aan de hand van een zeer eenvoudig model worden gedemonstreerd. Daar-toe ma'rke,ren we twee vie'rkantj,es op (een uniform defor-merend gedeeHe van) een trekstrip ails g·eschetst in figuur 5.

De - in dit geval symmetrische - hoekverdraaiing van richtingen, die niet evenwijdig zijn aan de hoofd-richtingen, blijkt duidelijk. Uit de rekcirkels van Mohr blijkt, dat de hoekverdraaiing van materiele lijntjes, die een hoek van 45' met de hoofdrichtingen maken het grootst is, of eigenlijk beter uitgedrukt: de groot-ste hoeksnelheid hebben.

Ter wille van de overzichtelijkheid kunnen we de ongedeformeerde en de gedeformeerde vorm van het vlakje over elkaar leggen (figuur 6).

Omdat een verplaatsing op zich geen arbeid vergt is het zinvol de situatie op deze wijze voor te stellen. ~efererend aan deze voorstellingswijze wordt <l? de 'clfschuifhoek' genoemd.

Een bijzonder geval is in figuur 7 weergegeven:

De afgebeelde de·formatie duiden we aan met de naam 'zuivere afschuiving', dat wil zeggen de getekende lijnstukjes worden bij zuivere afschuiving uitsluitend geroteerd maar niet gerekt. Oat de schuine lijntjes desondanks toch langer zijn, komt omdat ze vanuit de

Voor zeer kleine hoekverdraaiingen geldt dus - d.w.z. als

<I'

«

1 - , dat

Dit is steeds het geval binnen het elastisch gebied van metalen. We kunnen dus concluderen, dot de aandui-ding van afsichuiving in de elasti6teitmechanica (<P

<<

1) door middel van afschuifhoek y overeenkomt mel de aanduiding door mid del van y

=

tan <P voor graTe waarden van <P in de plasliciteitsmechanica.

Volledigheidshalve kunnen we nog opmerken, dot zui-vere afschuiving plaatsvindt bij torsie van staven onder invloed van enkel een wring moment in de richting van de staafas.

Het meten van grote rekken

Het is niet de bedoeling hier een uitputtende behan-deling van meetmethoden te geven. In het geval van eindige rekken heboen we te maken met eindige en dus i.h.c. zichtbare en goed meetbare relatieve ver-plaatsingen. Behalve een oantal elektronische hulp-middelen - zoals weerstandsmeting; inductieve, capa-citieve en foto-optische meetopnemers - bestaat de zeer iIIustratieve rostermethode. Hiertoe worden longs fotografische of chemische weg (etsen) nauwkeurige

rasters op het materiaaloppervlak overgebracht.

Beperking: uitsluitend geschikt voor oppervlakken en aileen in bijzondere gevallen voor deelvlakken, waar-door kwantitatieve toepassing tot de bewerking van dunne plaat beperkt blijft.

Voordeel: onmiddellijk overzicht over grootte, verde-ling en orientatie van de rekken.

Voordeel: onmiddellijk overzicht over grooHe, verde-I,ing en orientatie van de rekken. Vroe-ger werden voor-namelijk millimelerrasters gebruikt in ve'rband de moge-lijkheid tot het nauwkeurig vervaardigen (tekenen) ervan. Tegenwoordig is men in staat zeer nauwkeurige en fijne cirkelraslers toe te passen met behu,lp van numeriek be-stuurde tekenmachines, fotografische precisieapparatuur voor het verkleinen von grote rasteroppervlakken enzo-voort. Cirkelrasters bieden het domineren,d voordeel, dar de hoofdinrichtingen onmiddellijk zichtbaar worden. Omdat de aanvankelijke rasterelementen van een cir-kelraster geen orientatie hebben deformeren ze tot ellipsen. De eUipsossen zijn dan automatisch de hoofd-assen van de vervorming, om dot in deze richtingen de rekken maximaal en minimaal zijn (zie rekcirkel van Mohr). De richtingen, waarin de (hoofd)rekken geme-ten moegeme-ten worden zijn dus duidelijk herkenbaar, dit in tegenstelling tot orthogonale rasters [zie figuur 9). Strikt genomen is dit aileen waar als de hoofdrichtin-gen niet roteren ten opzichte van het materiaal. Doorgaans zijn de afwijkingen bij plaatbewerking niet

01 te groot en is de rastermethode bruikbaar voor het bepalen van bijvoorbeeld de grensvervormingskromme. Vanzelfsprekend goat een cirkel aileen in een zuivere ellips over als het gebied van de desbetreffende

f2

_f2

--

O~

~

--I

l~

t

t

02\

cJ?

0/

01

=f>

/

\

t

f2

--0-

=i> - -

~~1

\t

t

\'

/~

0/

=f>

/C(

0

/

\

~

rasterelementen uniform deformeert. Ter illustratie van het gezegde over de gebruiksmogelijkheden van rasters geeft de foto (figuur 10) een indruk van de verdeling van grote rekken over het oppervlak van een diepgetrokken rechthoekig bakje. Doorgaans worden echter fijnere rasters gebruikt.

Zoals we eerder gezien hebben (zie verg. (11)) is bij grote plastische vervorming de som van de hoofdrek-ken gelijk aan nul. Door vergelijhoofdrek-ken van de ellipsassen met de oorspronkelijke cirkeldiameter kan men dus de rek van het oppervlaktemateriaal in de richting van de normaal op het oppervlak afleiden:

Fig. 9, In tegenstelling tot orthogonale rasters zijn bij cirkclrasters de hoofdrichtingen van de deformatie direct zichtbaar

Fig. 10. Een voorbeeld van een rekverdeling zoals die zicntboor wordt door middel van een cirkelraster

(21 )

(22)

Y '" $

De kleine ofschuiving

Er geldt de volgende reeksontwikkeling:

$2 . $4 $6 . $ 1-

3T

+

5T - 7T

+ •••••••• y tan$ = ~ = $ --'-;;----"-;---'--7'---cos$ $2 . ",4 ",6 1- 2T + 4T - 6T + ... $ y

=

~

d(tan$)

=

tan$ o 8

In het geval, dat men relatief dunne plaaf vervormt, neemt men vaak aan, dat de l10rmaalrek aan het oppervlak gelijk is aan de dikterek in elk punt onder het meetpunt.

Inwendige rekverdelingen probeert men soms te ach-terhalen door gebruik te maken van het net van korrelgrenzen - dat door etstechn ieken zichtbaar kan worden gemaakt - als een soort raster. Dit lukt beter naarmate de korrels minder fluctueren in afmetingen en minder afwijken van de ronde vorm, Hoewel het behelpen blijft, is dit de enige manier om metingen uit te voeren bij massieve lichamen zonder be'invloeding van het deformatieproces. In figuur 11 is - sterk vergroot, - de situatie geschetst zoals die gevonden wordt I~ oppervlaktelagen na plastische wrijving, Verplaatsmgsvelden probeert men vaak te achterhalen met speciale rasters, die afgestemd zijn op de aard van het coordinatenstelsel waarin een probleem het best beschreven kan worden, bijvoorbeeld een stelsel van concentrische cirkels doorsneden door stralen enz Een interessante meetmogelijkheid bij trekstaven

res~

pec~ieveliik trekstrippe~ is.ten~lotte de volgende. Op baSIS van de volume-lnvanantJe geldt (voar e'en strip met breedte b en dikte d):

°

1

= -

(ob + cd)

=

de som van de elementen op de hoofddiagonaal van de incrementele rektensor.

Uitgedrukt ten opzichte van de hoofdassen van de deformatie is:

(23) Fig. 12. Plaatselijke waarden van de (o,er de door3nede) gemid. delde langsrek volgen uit de verandering von de diomeier

-f--=*=-t

Omdat de arbitraire keuze van de orientatie van het assenstelsel de deformatietoestand natuurlijk niet kan be'invloeden, zal ook de rek in een bepaalde richting niet worden be'invloed door een rotatie van het assenstelsel. Er verschijnt dan aileen een nieuw stel rekcomponenten in de matrix van de incrementele rektensor.

Evenals voor de spanningstoestand bestaan voor de rektoe'Stand een aantal invarianten, dat wil zeggen een aantal functies van de tensorcomponenten, waarvan de waarde niet door een draaiing van het assenstelsel wordt beinvloed. Enkele van deze invariante functies zijn bovendien symmetrisch in de indices en zijn dus geschikt als fysisch criterium voor de deformatietoe-stand. De eerste invariant 1, hebben we al leren kennen

(In~ + In

£.)

= - In ab

r r 2

r

en we kunnen - na omrekenen - ook schrijven: (24) We voeren nu per definitie de zogenoemde incremente-Ie 'effectieve rek' in

(25)

De incrementele effeclieve rek

eM

is een scala ire grootheid, die representatief is voor de gedaanteveran-dering van een volume-elementje. Men zou kunnen zeggen:

d'S

is de grootte van de 'incrementele gedaan-teverandering'. In het geval van een trekproef in richting 1 geldt om symmetrieredenen:

d0 2 = d0₃ (= -

±

dOl)

Substitutie hiervan in (23) geeft (alle·en voor trekstaaf!)

do = dOl

De - overigens zuiver arbitraire - keuze van de constante factor in verg. (24) resp. (25) berust op de wens deze eenvoudige relatie (uit de trekproef) vast te We hehben gezien, dat I, evenredig is met de infinite-sima Ie volumeverandering. Men noemt (23) de voor-waarde van volume-invariantie als de vergelijking ge· lijk aan nul gesteld wordt.

Op volkomen ana loge wijze als voor de spanningsten-sor kan ook de tweede of kwadratische invariant van de incrementele rektensor worden afgeleid. Deze is tevens de invariant van de deviatorische rektensor als

het volume constant is.

Uitgedrukt in de incrementele hoofdrekken luidt deze:

1

2 =

~

{ (dOl - do2)2 + (do2 - do3)2 + (do3 -

d~l)t

}

Fig. 11, Inwendige rekverde-lingen kunnen soms globaal worden achterhaald door ge-bruik te maken van de korrel-grenzan als taster

a

(l b + In ~) = _ bd Ao n b do In b""';i = In A

o 0 0

dat wil zeggen de langsrek voigt uit de verandering van d.e d.oorsnede Ao•--'> A en is met betrekking tot de

I.angsnchtlng au~omatJsch een plaatselijke waarde. Dit

IS vooral een Interessante mogelijkheid als de

trek-stGOf niet m~er unifo.rm deformeert, zoals het geval is na het begin van Insnoering. Voor bijvoorbeeld de (gemiddelde) langsrek ter plaatse van de kleinste d?orsnede van een ingesnoerde ronde trekstaaf geldt (frguur 12):

do 2

°

1 = In (d)

De (incrementele) effectieve rek

Om, een red~n. ~ie later. wordt verduidelijkt, gaat men In de plastJclteltsmechanlca niet uit van de kleine maar van de incrementele rektensor. Dit is ee;

[

dolI dYil/2 dy /2]

"'ij) -

"12

/2

"22

',::/2

dY13/2 dy₂₃/2 d0₃₃

symbolische schrijfwijze in matrixvorm van de defor-matie in een stoffelijk punt (figuur 13):

2 (27) (28) ZI + d0 3 )

y

d6 =

f

~

f

(do 1Z + doZ Z o totale deformatie - Z

o

=

-~

(Deze vergelijking geldt voor vervorming bij constant volume).

Elimi,neren we met be1hulp van de'ze uitdrukking dil2 en dil3 uit de vorige ve'rgelijking, dan verkrijg'en we de volgende uitdrukking voor de totale effectieve

deformatie:

0) .

~~(aZ+a+t)'dol

o

dat wil zeggen dat

de totale effectieve deformatie in de figuur wordt voorgesteld - op zekere schaal - door de lengte van de deformatieweg, dot wil zeggen door de afstand, die het beeldpunt heeft afgelegd.

De deformatieweg behorend bij een incrementele ver-vorming kan i.h.a. worden bepaald door middel van

een parametera:

cr

=0₁

Hierop berust in feite de keuze van de constante in de definitie van u. We concluderen, dot we langs de

U1 -as en 81-as van het stelsel waarin we de trel<kromme van een materiaal afbeelden, eenvoudigwe,g de aan-duidingen

'u/

en '8_1' mogen vervangen doo,r 'ii' en 'I)'.

Door dit te doen generaliseren we de trekkromme tot

'vloeikromme' van het materiaal. Indien we koudver-steviging buiten beschouwing laten, dot wil zeggen een 'ideaal-plastisch' gedrag aannemen, kan deze worden weergegeven als in figuur15.

Hierdoor zijn we nu in staat om iedere willekeurige

~/) Z Z z',zodat

cr

=~

2

{(oi-oZ) + (oZ-03) + (0 3-01) }

in verband met de lijnspanningstoestand (U2 U3

== 0) de effectieve spanning een bijzondere waarde aanneemt, namelijk:

Hierin is in het algemeen a een fundie van il" voor

a == constant hebben we met een rechte deformatie-weg te maken. In dot geval kan (28) worden

ge'inte-greerd en omgewerkt tot:

_ ~Z Z Z

z'

o

=

3

(0) + 0z + 03 )

als de rechte deformatieweg bovendien nog door de oorsprong gaat.

Een voorbeeld van de rechte deformatieweg in be-perkte zin is de trekproef: a == -1j2'

Tenslolte gaan we ons in de laatste paragraaf bezig-houden met een technisch belangrijk aspect van het begrip 'effectieve deformatie', dat voor de plastici-teitsmechanica van fundamenteel belang is.

Effectieve vloeikromme en verborgen deformatie

Het is zonder meer duidelijk, dat voor de trekproef geldt:

6

= 0) (= langsrek)

Veor de trekproef geldt voorts veor de effectieve spanning volgensvon Mises:

(26)

_ _ beeldpunt eindloestand ' _ - _ , no een grate vervorming

I

t

" e ffectieve deformatie"

leggen. We kunnen nu de afspraak maken, dat geldt:

6

J

d6

o

3

Fig. 13. Schematische weergave van een incremenlele delormalie door middel van hel volledige slel rekcomponenlen behorend bij he! aangegeven assenslelsel (lei op de indexering)

De deformatieweg

Bij plastische vervorming is in tegenstelling tot elastisch vervormen - van belong hoe elk volume-element zijn eindtoe'stand bereikt. Dot wil zeggen voar een juiste kennis van een vervorming kunnen we niet volstaan met aileen de kennis van begin- en eindvorm, maar we moeten de zogenoemde ,deformc1tieweg' kennen ('stra in path')

We kunnen dit begrip verduidelijken aan de hand van een hulpfiguur, die averigens geen enkele meetkundige betekenis heeft.

Hiertae stellen we elke tussentoestand, die een volume-elemen1tje doorbopt voar, door middel van een beeldpunt in het assenstelsel van figuur 14.

De drie ingetekende lijnen CD,

®

en

®

zijn dan bijv. mogelijkheden, waarop de eindtoestand kan wor-den bereikt. Ze stellen verschillende aaneenschakelin-gen van tussentoestanden voor. De volaaneenschakelin-gende benamin-gen zijn ingeburgerd:

lijn CD rechte deformatieweg lijn ® == kromme deformatieweg lijn

®

== samengestelde deformatieweg

In eerste instantie is de betekenis van deze figuur gelegen in het feit, dat uit(25) en(26)voigt, dat

Fig. 14. Verschillende deformaliewegen

Fig. 15. Ket oppervlak onder de effectie'le 'Iloeikromme is eee meat

'Ioor de plastische gedaanteveranderingsorbeid

L---"=---__

6

d6

In verg. (25), (26), (28) enz. zijn"8 en ds steeds positief vom plas.tische vervorming.

Bij het experimenteel onderzoek van vervormingspro-cessen is vaak aileen de begin- en eindvorm bekend. De rekken en de effectieve deformatie worden dan

hieruit afgeleid op basis van de stilzwijgende (vaak Nawoord

De voorgaande voorstellingswijze van het be,grip deformatie, meer aangepast aan de praktijkbehoeften, is voor een belangrijk deel ontstaan en gegroeid tijdens discussies met Prof. Dr. P. C. Veenstra. De auteur wenst zijn erkentelijkheid hiervoor tot uitdruk-king te brengen. Voorts is hij dank verschuldigd aan aile collega's en medewerkers, in het bijzonder Dr. Ir. J. A. H. Ramaekers, Dr. J. Smit, L. J. A. Houtackers en M. van der Meulen, die in enigerlei vorm hebben bijgedragen aan het tot stand komen van deze publika-tie.

L1TERATUUR

[1] ludwik, P.: 'Elemente der Technologischen Mechanik'. Springer Verlag Berlin (1909)

[2] Tabor, D.: 'The Hardness of Metals'. Oxford CI·arendon Press (1951)

, 11

A

tot =A + A (+ Aw)

waarin A' := arbeid, die zou worden gedissipeerd in een lichaam als aile volume-elementjes een zelfde rechte deformatieweg volgen van begingeometrie tot ei ndgeometrie.

A" := additione'le 'verborg-en arbeid' ten ge'vol'ge van afwijkingen van de enkelvoudige rechte deformatieweg.

(Aw = wrijvingsarbeid).

De arbeid A' voigt doorgaans uit elementaire bereke-ningsmodellen, waarbij uitsluitend begin- en eindgeo-metrie verantwoord wardt.

De betekenis hiervan is gelegen in het feit, dot we niet een maar twee extreme gevallen kunnen

onderschei-den, namelijk voer A' = 0 en voor A" = O!

A"

=

0 i,s ~onder meer duidelijik, dit is bijvoorbee,ld het geval bij de trekproef.

A'

=

0 betekent, dat de e'indgeomekie van het lichaam en van elk volume-elementje erin gelijk is aan de beg ingeometrie.

Belangrijk is de vaststelling, dat aile tussengeometrie-en in principe slechts infinitesimaal zouden kunnen afwijken van de begintoestand, terwijl A" toch een eindige waarde aanneemt. Hierdoor zou het bijvoor-beeld mogelijk worden te verklaren, waarom bij explosief vervormen het materiaal soms aanzienlijk harder wordt, dan op grond van de globale deformatie verklaarbaar is.

Het zal tens lotte duidelijk zijn, dat bij vermoeiingsver-schijnselen de gelijkblijvende macrogeometrie geen enkel bewijs vormt voor de vaak gehoorde bewering, dot vermoeiing geen plastisch proces zou zijn!

onbewuste) aanname, dat de deformatieweg recht is. Het verschil tussen de (gemeten) arbeid van de uitwendige belasting en de (bekende) opgenomen ar-beid blijkt dan soms zeer aanzienlijk te zijn en staat bekend onder de naam 'verborgen arbeid' ('redundant work').

Vermoed'elijk ligt hier bijvoorbeeld een belang'rijke oor-zaak van het praktijkprobleem, dot de rektoestand bij begin insnoering onder testcondities afwijkt van die in de produktiesituatie. Men leidt de kritische waarden van de rek namelijk af uit de begin- en e·indafmetingen van de rasterelementen. De meestal aanwezige verschil-len in de deformatieweg blijven zodoende onapge-merkt.

Effectieve vervorming die met inachtneming van (29) vit (28) voigt, maar niet uit de hoofdrekken blijkt (die als zuiver geometrische grootheden wei van teken kunnen omkeren) noemt men 'verborgen ve·rvorming'. Een praktisch voorbeeld levert het plastisch heen en weer buigen van plaat.

Men zou kunnen stellen, dat de totale eindige gedaan-teveranderingsarbeid uit twee gedeelten bestaat:

(29)

(voor plastis~hedeformatie)

... / ... -lineaire versteviging

-procesrichting ...

--

--_

..

~

cr

v

F----~'77'"---~dAs

(pos.) ~I

spanningstoestand met toegevoegde rektoestand te her-leiden tot een punt op de vloe·ikromme van het desbetreHende materiaal. De trekkromme kan als rekengegeven op verantwoorde wijze worden gebruikt bij de kwantitatieve behandeling van meerassige belas-ting- en rektoestanden.

We volstaan hier met de mededeling, dat bewezen kan worden, dot de opgenomen arbeid (per volume-een-heid) bij een willekeurige vervorming kan worden weer-gegeven door het oppervlak onder het doorlopende ge-deelte van de gegeneraliseerde trekkromme.

Vaak denkt men, dat het wezenlijke ve'rschil tussen een elas-tische en een plaselas-tische vervorming gelegen is in het feit, dat het elastisch materiaalgedrag lineair is en het plastisch Lh.a. niet. Veel wezenlijker is echter, dat een elastische vervorming omkeerbaar is en een plasti-sche niet. Bij een plastische vervorming ('blijvende' vervorming) wordt uitsluitend arbeid toegevoerd en nooit afgevoerd, dat wi) zeggen bij omkering van de deformatie blijft de vervormingsarbeid een positief teken houden. Hierop berust een problematiek die karaktedstiek is voor de plasticiteitsmechanica en die we kunnen illustreren met figuur 14, deformatieweg

®. Het tweede gedeelte van deize defo'rmatieweg volt samen met het eerste, maar is tegengesteld gericht. Dit houdt in, dot in een later stadium van de vervorming het desbetreffende volume-elementje of lichaam opnieuw een vorm aanneemt, die het vroeger ook heeft gehad. Was de vervorming elastisch dan zal de arbeid na de omkering (dus bij het 'terugveren') ook van teken wisselen zodat bij elke vorm €len bepaalde (potentiele) arbeid behoort. Het beeldpunt op de rechte van Hooke is dan ook weer hetzelfde als vroeger. Was echter de vervorming een plastische, dan moet ook no de omkering arbeid worden toegevoerd (positief). Dit betekent, dat de vervormingsarbeid geen toestandsgrootheid meer is met betrekking tot de vorm van het volume-element.

Ais in een later stadium de oude (tussen)vorm weer wordt aangenomen, blijkt uit de geometrie niet meer daf een hoeveelheid arbeid is 'gedissipeerd'. De be no-digde arbeid kan dus ook niet aan de vorm worden

gekoppeld.

We kunnen het nog anders uitdrukken: bij plastisch vervormen kan het beeldpunt van de spanninglrektoe-stand langs de vloeikromme uitsluiterid van links naar rechts verplaatst (figuur 15) worden.

Mathematisch geformuleerd:

WT 0315-2

TE'H~IS(.Hc

MECHANI'R.:III:'

ENIGE

NOTITIES

OVER tiEr BE:GR»IP

PE'FORt1ATIE.

Bf1'!~k(I'1Qt

r(k

~~,·ni+it~ ~OQ.I~

'tOf'3!i'!QSt

RRK

01

WPR

bsw

B I BL.

TECHN I SCHE

UNIVERSITEIT

IIU

_*9342709*

IIII

III

In

EINDHOVEN

..

1.

~.

IN

L.EIOIN~.

~ t'1tt'\\tatiM~

tOt

ott.

~~~

11Qv.A.

~~rl. ~ ~olue tt~kn-i~d.c.

(Wc.tC.lI\~(.h.aIo~C.11.

-

n,oo.t~ (,~v.

oU

t-ttldM:>ta¢kklelt

(n.

cie

CZhamlt

-~ cit Ma-~ha..-~-~e

ttekVlltk.

~(QlM\t~Q(e

vdt

.~lNJ. ~pWise"­

DMAw-ikkd«

)M

all.

~TlOkt~k..

'P<l~

IltU

La-tv..

M

,t-fN\

,L,'1t?"'1AUl.

~"'"

ott

IWUW~4kata~ck:jlc.(,

(A.V\O.t1'e.

VQM.

~~(l.QlA~ 1LUQl~

Jpt)tQ.<W\.oU.

h\ut...oolcM.

w.

~1\.Octt~S(rl-. bt~ ~K~

dod

VQM

aU.

~t1st

M

vtl~t-WtO

IKJlIl.

k~i~

W.

~~M, htt ~o£iu.ld(

(J,od

iA.

tAM.

~\(£~tM~I'~ekt lI~d<MM1l

lfQM

O-udt

rne.t-~

t,.u.

l ) . .J

pJWt

w-ik.k.~~

VeMA

/!A4wwt.

~olM.A~

ott

~~cU

1IOV1,

at

ftWt~iM5tf~ .,bW(~kkt~i9 ~~)tOlAo(ll.1

;~""d PMa.t~Ic.~1c.

lA21.4.

e..t~

d..t

~Ol.MNklMo1Q(t

L

1.ci.&WI~e

"MA~qel1.) io\.c:MA~t

1ca..tht.o<Mteen,

~Ic$(.. 1-¢rnJod~

£ft.)

.L-\A.

oU.

~a:.ta4iXotW<A/c,4Mr

o..wv(,a..eh.tw.-

L

f\.u,kw.

VQN\

~O.cA.0(d4Q.a.o(

(lalA,

k.U'

k..:>t

VQ.M

ole.

f~) ~\,'oU~uotk.~yt,

IJQ(otM~h-1(.LollGLAM$t..,

k« o(ic.pt\CkklM-

VG\M vw.~h Cll.~

,u..

lc.to-D$-t.u~

t.,.

v.

hu-.Ioow.~ ~e.)

Kotwd

d..t.

CNVtwilc.lc.aw.o

(~ rn~ tWtMttw~w. lrY\O-4£k~t~)

a.r.

Idcot

VLlVL-1~cPluo{t

G

/ViMG(t

'""~ ~~

"*,

V~D .~

".l.Ltt\(

I'

..4a~o t~

iAA-sSl-vz..

htt "

"O~~tM.c.~

I

£AA,h«~, rw)<MA.a~.

~ Mac!~aa. ~

i,(

voo~~

ep

~

ws-f't

~c2M ~twu.~

OAMolot

hLt

twU4Lt,

lU~(M.<.J VG?O~IMA-

ku

(J...c.

~a.fJti)a.c.

.

V~l.lO\,,"I.:c.

..

U? .(M.

cU

~~st~€Mo(.c..

tw"INOWeeu

ht.tAtjt

If:xl..S

'0(',(.

tot

D

Dwt

wi

let

U

vw:

Jo

~M,

t (.

k:o""'t~

.""4

tej

it.o.

J)L

"U().~t;.ti+Ukj,1A,t~~t~

1/

LeA.

Q(.(.

I

~t().&hetiftit4VtAt<£"<UM@,"

'?-+/ot.i.ott

~a,~tUti.

,of,

atu.

t.tt

ott

I

~

().MM

~

+kow

J

vwuu.

~~

,c~~

~~I<:~ ottj~+~ lt~

W

Jo~/o

!\1k.

~lMA~ot1

4,lA

~ ~ ~W~

VClM.

<X..c.

L«

Stb~ &~

,oANt

wi~k.dW~

(AMot.u-~o(.~

olrlc.

\b.v.,J

~ tMA..to~lM.oU.­

htJaoejt-f.M,.

flJ~ ~

W

lIo<.o~

Jl4t

P-01l.~ -hK~~

~ 10~ ~lMihu

UUv.

~Q(.u. vu~~~ol ~

Vaa-k

W'V~ ~<Zk,f.

"

t.

{)SFItJITlES

VAt! Her

BeaBIPIc

~Ek'

~~LtM.4~Io~

iM

"'~ ~JiAM+~

i.,..(

~

,«.4e/,.\

ott.

}.w.ft.

V

~tM~

Y(U.l

(,UA.

'+

1tftMc.i<-J1M,4v«

'FMd'~~(M Ka..\okt:tM~U\t

cJ..(YJ.l/.

,L(M

o.MM.«.c.~l.c~t ~t"t.i,ol

-

oLe.

II~

11-otU.

DMt1ff-oot

QWo'\

ott£~~

VQM.

Q(.(.

Vt.\1.£M1!M~ oLoO'\

0lL

.£p'1~tl..6?~ott UM~it

Vu)t,lM~o( CJlu.\U ~~

blJtA.

wa.t

r).A.

JI~1

bt-kO\L4A.dt./

r

UM~

...-.. " ...- . .

)..)

dJ.

,lMA.1Q1M.~LcMr-c

..of

au

,4.twOi+l~~QM.t

1_({_)

(jS_:=r_~e_=_I/_f\tk_V\;1_'

_(!hq._m_t_V\._t

1 ,

1

t;(A.i.t

~k.fM

QU

~~

ott.

*'

teitt'"

~

LJ<MA-t

L<A

Q(.t

do.

*t

e.i

re.iH

~

~~~

cU\.

CXlJll'lo1

t..£M-

MU1;

\

wa.G1JI41

Gk

~~

'kslM"a..u

VcMLlA~w.o

A.t

.0..

~ ~11l

(J4

kH."tM~~k

)ou.c.

L\.

.o~lMA.o(o(c.~

a.L

vo-nc:l.r~~)

1Nlne:a..t"

~oU.ttd

~o.o.A.

<:U>O't

olt

,(,t,,,,,,

~~te V'~ ~. ~oc.c:~ N-U~tn~

~l W~ClAA

ct(

tt.M

IlJ'\

t1Lk~~ '\M~,k.S'tMa.a-t

oUU fd

~

H

fA'

M

~~k.

I

QCAt

u.v.

V01>,",

~

/l1l"IIl<

UM

~

<Jtu..t

<kJ~

j

rit~

MicJ.

~

rtuAvu

.19~1M.(.(~~~ ~~ ~ W--O~ rt~·

~

04

"l~~~

t·iJ..,

tMt<:eLuMM

eo.

ku{f

~

/..lM.

V'YPCkt4M.

!ro11\I

~.li)

0}

tlM.u~U·HW ~~

au

~~~~~ ~

au

~

- Q\Molc..f.tM,OI.CMW-c:ot

V~ pta.~s~t

VelIlOO\K4.J,.

Cf

UMvaw:J.ig.c.

,w'1%t

/c<;Wt.

~

4.,u

lJotr

~~ W'z;lc\c:t~'1. ~!,,"C2Q.k-t-:

~t£(, ~

t..t.tA

~~~ s~ ~t~ tfM.d"'" ~gt(

L

tM. .(.U.c,

.Q.cootuak.tt..

okJOAY\.-\(..O(L

0

l

(? tMM.

~ VKCCM.«Mlf~ ~~~

V~

U<A.

~,,~~ t"')1tA.odO(,,~!) D~ ~U<O~ol

.

~

.(..(.L4

iM~ite~Q.tl. V~o(..(AM...~

VC\M

d t

k'\'o'~

F

I

~

~

ote..

~<ttMaM~ w.<A-':t-~,

,UA.A.

~rV\.\k~~lt ~~~

dA

c

F

de

~~

wQ.

t(..1~tM.

a.u.

VQ.M,

M~Q.

o"<,tt

k~

1.iV1

VtAwCU)hfo'lUl..

Wt.

j(.""Vllo1tlll..

c:;(.cA.(.

.u.A.k~k.&M.O

A?tA.~lke¥ ~okt4.A.

VtMA.

kt.t

JottA..Olc¥..tvt.

LtIA.a:t~\lotu.~e.:

3

A~=,(aA~

i

!<'f

~

n",.

<JJ..

~

!rD1Jl,

~

cu~

l

kL

~

tl.

Ifo~t~:

---.---

_ . _

-it.

, . . . . - - - -

-(;)

s

=

ttl

₈

l

f.

H)

e •

e-I

va

2

~ CSl ~ -..> ...s: ~ o.A

'i

c.$

i

~ ~ <$ en

...2

-2

I

~I

21

.-0. I / CI / ~I /

dV

,/1

/ I / I

//

I

/

I

/ /

/

I

/ I I

(-1,-00)

-1

i

2-~ro~Ol-t

lonelt

t-elc

E.

J.

VER4ELlJklNGJ

VAN

J)E

TWEe.

~EICJ)EFltJITIES

3.1.

$~Mm~tw.

(..(...\

UM.~ht.c:O<

((Lv\.

p~a.V\.c.

W)

~

1tM-

ru.r..d.L[Wtitli.

it

2ftttfLu/~) ~ l~

UM.~~,l..(

/WI.

to.t.

k«

tv-<A..1tlu?f.n

VeMA

J..iAA, (1A.(lMLV(.

~t.e.

(oJ

tJ.c;!VM).

b-tcuwu

wo1\dt'

tJ£~UDl)

aa.t

Jo1

tekt

~~tt.

~¢'ktG

itM.

fota.(f.

~~ ~~O'\.<M Io~~oo~ ~ ..o~'ftUhaI

lJ~cr~~/.\t

Q(.(

~1ze. ~ ~ l,~k-t

/W-UO(.

INt

lc.lA.NWt~ ~ ~

Q(.f.

ha.'-tol

\I~

UM.

(1I-oo\.4~

~1M.o1\A.~~:

b~intot~tar1ol

.fuSStn:roilla~d

e"n~tot)tat1d

"-hZk /

"'-5fuik/

reqa~e.

8) ...

® :

d'J-u'

lkt(1)(

@

~

@

t'2'D

-ll>

~=

lo

•

a-I

£.

12:...Qfo

=

I~

~

n.l

_o

n.

---,----11.

110

mm~

mQ.t~riaa{: qt~letjcj

c.lumi

r.ll

um

LOO

-80

b

bO

-0""

C

t!

C!

~

t/')

.!to

10

-0 - -0

X-)\,

~tuik.~roet·

tWc.ProeJ.

o

_o

0,1

I

I

0.1

0,3

O,l4

0,5'

n.(AtuUH~lc.€.

,..ek.

(51

8.

&0

10

~a.~¢rlCl€M

:

~(~oe;Gt

(.U(..

u"i

ni

Utl'!·

o

L....-_ _...L-._ _--L. ~l

l

-o

0, I

0,

1

0,

~

q

4

pro/:>ortione.le rek.

I

f,

I

o,b

~~ f,tkc,lw.~~. ~ ~ "1\.O't~VWOd.t~

tt.J~

vtot.i

k\OLN'Wi~~

u~k.t(,r1lt AMcU(..V1. WOI\~ ~f~~t~~)

.tI-""aaA-

jJ..I.A

'fOte.

~t~ IIUIIO-\IM~~

~"u.U

p~~"

Loool-he.(j~(. l\.tkV'.£~ ~

f'V"'U4<:BM;

tltM

0(,

ttk~ ~42 ~

t

2.

~

/D~

()JU

vo~('v~.M19). ~lit

\"l.oM

~L\.c~o\ ~

.(>M--O~""'~OlM~ pw~~

lLiJ.'AA.

Wt.-

QoMltwkt~

-

~~

O.,.(..

UL4Ak.o{..v\.~~ l\L~tAAtM ~

V017\

~etu.t. ~~ w-u.~ t1"<4kM~

-

oLu

at&.

(lI\~~

~tjk.h~ ~

VOO"'tM-\

~

V'lTh"

(U~~~ M.kaU.fiMi~J

IC

8

1

---~~._._._...~----_._---- - - ,

I

(q)

voo""

£«

i

t:l~

«.t

VDM~a..\~

£.

<<:

~

t'\

J.M.

l-La

~<l~

((M.

VO~~

1D

IMlo1ell1.

"'VI.

LW.~tl.)~ och~

VClM.

o..t.lt

~~ ~~

VeMA.

-tetl.lA~~ to~

r+,

6 W:u.t.

~u.t;ll) ~~

QlOA:'

£.

<

0 ..00 I .

t)(.

4tw1k.1MC'

v~ b~Gl.z, ~ikU

i.o.~.

UkGUU

..4

~

MMMau

~ ~-Io ~twd

10- 4

~

e.

~ ~lM.~

aoMa!.<.4

~ vo<~oLt. ~

t<li

~

.()

Cfk

a..(

~

oU.

~~ ~

lob.

-4.

Wt,

¢C''''a~) ~

-

~

OCt

~~ ~ol

lX.lM

Wtw -

Q/.A.

opjt""~o~<t Va.M.

bf.4ett

~lMl'kt.l I/~

jd.t.it1(.

rat.Jc.k.w

&0

C1e

k.~'r1('

1\.Q,k,.

0

~ ~V1~ ~ ~

UM.

".<MKW

in

'V1MAatL

Df

~ k:~WHLVl.te.<.t ~.

(lM.

~li2w. ~ ~t It\~4 ~

a4M

of»

rJ..t,

~6<AMrh~~ol.

'J.'=

8t<.,{

h~\tk;,,~l.9

to{

QU.

kw-u..

I/a.,v..

Sr~o<u..

~~

Vl'l1All.

~J~t.A11c. p~~.u.e .cw;W4~

~a.ta.4.N

,MA-q;2(AN

tu

S.\tAA.

ott.

v~~

f,~~.,tVl

:

(

.

Dp",

(,1,1;

;~

: \

l!

-

~tt t'~.

uk.

lmaat~t~

-

A

- reet

not.

7t.tk.

...

S

~ S~(,(

)f

l\a4t'1

II)

lfe~inWLM~ )t'Ul~()

~

naA

LAM1

M'

r~,,~,/)

---J

iff.

~

I)

JVl.

~

=

J

0/

=

s~,

+

SX

₁

+

S

~3

=

b,

~

8.

t

&)

I/o

12.

in

~

=

b,

+

b

L

+

D3

=

LYl

(It!.. )

t

en

(I

t

~z.

\

.j-

trl

(I+-~j)

:

=

.en.

ll+Z:,)ll+

i:~)(.1+ 'i.~)

£1 ,

~:I' zJ ~

1.

~

o{M..I :

...

...

Ve

_ c

(0

lYbl

or

t'\rvn

[~11

~..:...-~_~_~_fm

l

13.

bt«

loA

(\MA. l).,oV\Ot.U (\MtU

~olc..t~

k. "

wa.t

d.J..

t

1

Vi

~~ a.<tJt.t~

-&/~lA.().

,.A

1l00M.

!tu..t

t~ ~

04

W

~ MA II~~ V~

a.U

7'i.tAt~~t}, ~:

Q.t4A.

V01A.A.lMc.vU.'""'~j

~ ~~ ~aVJ.,

ve.k:.to-'\.\e4

~otwQt. ~ ~ ~ a.~~~ ~ V~

ott..

l<:~

V<1M,

het

o..~StM~,h~

!

~

W

a..to.tl.4A~

k..1N1.1.1-1e.1'2.

we.

~ \lO""""'vu~'S

VQc.M

~ lJOt<.A~t~t.vd-r ~~f}M.Wot ~lM. ~

.ttM.

VO(M.,"1A.('I1~oLu4

w

i..t.M

~(,V(.A.,~((.

k

W,.oJ

*

W1'~olt ~

"~a.(ol

GfoO.\.

t

<l~~1

:

~111

-

ciZ

m •

!

t

otS"l -

~,nz.+-ct$llJ

~

j

{~O.I-ca.l)

i-

(dS..

·'MI'dJ

c1S~l

c

<iV~1

-

et.5

M •

H

(~,- ~~)

+

(a.lAI. -

.ts~I)

J

ol£:3

=

~.l

-

otS", •

J

f

lllbtl-dS.

_{l )}

d.

olS":l

.;to.u)]

I II

t)e,

Q('oOoH\t<1-.uz.

dS",

Uf.

~~

!.IK

II~tVio.fOl\.ll~<f'~ nt.kke~,

~ ~ ~ ~"\LLMc.V\it(..(.c. oc.e.vi~OM~~

1\.fk.!c('t'1. ""'" Ql4

pea.rh~t"~"'lM.l~I.4LM<fO. ~.

dSn-t

~c.t.ifk. ~ ~, ~ ~

ott

Qlwi~o~'~/.(.

tNt

t~,

MAo

k~(.w(t

.

.u

T\.-tk

~.( ~

ole.

/oOUIM.

t~~tf3a.'Dte 1<!J1~~w-'i1Jl ~4f.

w..

o.atefl4.dt4A.

~

te

~~

,tM.tA-

~ ~)S~~~~a;tCt,~)

IJ/-Ad..v..

ole.

VOQ,\.W~, ~

lMa.:<u..i.th

~tf.-' ~

1\.otl.4Ll.4

~.o.v

. . cte

1M:>~~kklM~

J

~.W.l.. (gllf~

jj...

eu

~-~~~ ~~twot' ~ ~ DOi1c.~

I

0,:

SI-Sm

&;,

=

s~

-SIM

OJ'

=

b3 -

Sf),

LliJ

~

d..r..

'f'Ok

~~~S~ ~tt.c ~

ott

~Q~t.~

I~.

.

(l~)

e:

=

f

_l-

~m

c:

~

t

l

£1 -

f

1)

~

(£1 -

f.J)

1

f~.;-

fz.-f

_m

=

j {

(t2.-

f

_{l )}

to-

(f

_{z- (,)}

J

f.~

=

~3-

f

m -

j

r

(tj-

£,)

~

LtJ-

E.z.)J

Ht..U~ vo~r

UM.

1,1

UJlI1o(..U.

M-d~~V\'fe (k)li1C!f.4A.~u..: h~

WlIMU

~~ II~

d.1..JL

\I'-U,~I<.'-~W Jo4~ ~sl..<..v.­

teV1Ol-

~

va.-

"'~~'dt4~W- ~

~1c.~Qt\Qa\~ltAA.£

Of

~ bk1~'~ Q~ kd'-tef(h

M

('l..U.

VO<~oU p<uq.~QQ

) :

)M~ ~~~ lMlltM~~. ~

Vl)(f

l\.tal.r8i"-MtIGfl

;.J.iJ,

<;U

h.tl'~

t«

~

nc"'a,.

tW

~ ~ ~Tol:

EEN

4

E

DAAl'JTE

\jEQ.ANr>E~'Nq

vtAN

STEe05

WORJ)EkJ

·~£sc::.HOUWO

Al-~

HEr

4e\loj..~

\fAN

tEEN

lcor-iBIIISAT'IE

fAN

HOEICVERbRARl-IN4E~

OF

-

W~T

HET 2E.l.FDE 15 -

AF~l-/UI"tN4etJ. ~OIlEtJ~iEN

HEB6fN

AFSCHUlv'i!JycN

N1Er~

TE

HI-)K.eN

KET

VOl.Ut1E

vE,z-RNO&

RtN

4·

~.

Q

l 4EttEWE.

~eFINITla

VAN

l

~R.ore) HOEk"er<A~l>e~(N4

Cos.

°

AF~I1UtVI~§

°

-~

I "

WI.

1~rk-

W

"!NAt

V~

JUM-lMM:

a.~<ik~\I&M(P ~

LtAA

/..\I(A.4.UMA

~II~

4.vv\kA,

IJcM.,..

Q,~<BMM.

....

~

t.'

r\Wt~Lu.t

...

~"""

LUrk..

~~a~~

M.

,1AA.~n

,lka"",""'i:f"

~(lru.A.~ol

oU

at~~J~

l4.oek.

V

-te

"~2tn. Q..t~ dM-

(M

{1I~.d,-o~e

0r:oo

t-f.L4ol O.tAA

d.A

~J1ic

VQ.M. (J..c.

\I(A.VC"IM~~ ~ ~~\lWlP

+t

Kwavvt(rC1~. ~e

~i""~ ~~i.t v~ ~ ot...v.~ k~ ~ .~

Q.<lLotu

~Q..u ~O(Ql ~~

aJ.

iP..if

at

~v<A.t

uk: (1.L.e

~0\'2.)

J)t

J'1vi\eJU

lol\AM"~~

/..A

~u a-.-tC::Mo",aAVS~

OQII\

1.Jof-1).A.D)

aJ1

~

P'(o

~Oe

~2.e

Q..Lt

~ ~ ~lI"(M

Uk

~q

oU,Fitu,

f..tM,

~~~akt. kQ.~ '~\1'V1.

\Jq,

~oa.VI- ~ ~

t

l)(,

,AM.+

\QA.A.

tWo

tWi.

u,.

k

~C'

t

t..~~~t~~« ~~t

~v~ 0{1~~ vv....~

tM.

~JtlM.r>tM

J.cM,

~~

u

-~tit

0

ot'e~vlM~

~.

o.A •

1:"

0

do)

~\.ttkU4

fw.(.

~ ~jo

ka

~u4.a.a.tvoturn~) ~

i./:

aR

rOol~

(

)

d~.

7

~

o~

=

1:

d

tQMt\f ::.

t'

ol·r

I"--_(~_)

__

C1_t_·_t_::_d._t_·~_"fJ_~

J

ie

~M ~

w

~~

kM.-.\.1.IU1.

~ Uo.ri-i~<id., ~'uczL V~

1M.ttQ.~.

WQ.

.k.~(.M. ~ ~~ ~.

ott

~~f

VClM

o.,~ah.«MlnNtil£

"'"

au.

Uo.~~~ ~~QQ..

(11'

(<:

I)

ct.W\.t:

ole.

~~¢lM;,.ue...

'(

K)LrUu.vvk"h'\t

~

ott

a.o..v.-~l

ac..

V\I\ •

v.

0'::.

t~

Af

j1.rYh

~ ~ VeAM

f\I

j.M

~

trlo.&i-i&tMM~~eA.

V~~oU~

v-(

k.LAMNl~

tW<

,1M)iP

~tM<.Wl

QW.;t

~

\K\.t

'!11~iMlD ~a \I~ ;1.Pq.

eo"ke.

\klM.

~~ ~A

f,,-

vtot4

v~

tNcAcU

~ ~Q1MOI\MW- ~

at

"(UJ~(

V().M

~ ~~.

0

7.

HEr

MErE~

VAN

9l<OTE

~KKetJ.

Voo~:

~

.

~~K,t-

vYlf}

~ ~

J.-..

aJlu.-'A.

~ J.o~~~ ~~

If)'n

dM.£~lc:etl2J

W"M.A.c(dn

D~ t~lI-< +~a..U-..A..O

+-n.

04

.

,Lo~~~ V~ ~(, ~ ~#.(Nk;t h~ft.

.

p~ ~~~ Po«2i~

/:)\)04

Fot1(

J

l1<-UU~1

~

,0

A,U..v,+

d;t (.(,

VCUA.

0(.(

~ki.M..

VA.ct.o('"

/k.~1JA ~ ""o~~

MM-

~ ~

u

~a

i'fL4J

'}Ck~lct

/..11.

Ilk·

«.t

,.(M.o0f¥~ t~

h.(;t-

~wlC~1 vl-.tJ~~

(}Q."C...

,~)

,uvQ.M .

r

L~ ~!" AA ftM£~ ~

h1'Q.Q-t .

Ilu.\.

~W1c.~<. ~

&1-&

<2kA~tl

"a,f,tu-s

+(M..

-ttL.

pe;a.fa~

oLn1.

~~

VC1..M.

.M--lN'

~ ,bt.i't~04

tUc.e.L.1

".,aG~ /

JOh~t-ibaM. ~"-t¢,&~<Lfoloa.\QJttMM,

Vlm.

~ If'<..Ik~ V~

~l. hc.*u*jou"~Q,,,,,

a.tc..

~l:tl:-a'f~ ~ ~

(.tc:n~A""""'~

¥

VcrtKQ(.ut

Qtot

a.c.

h'n6dAA.ai.4LMOtM

Ow

b•

..

o

?

ts,.

ct> --

L

,.~'~

.]-l

t