KLM vluchtcatering aanbeveling

BSc Opleiding: Econometrie en Operationele Research Universiteit van Amsterdam

Begeleider: prof. dr. N.M. van Dijk Datum: 29 juni 2016

KLM VLUCHTCATERING

AANBEVELING

Steven Asselman (10178201) en Siger de Vries (10289321)

1

Verklaring eigen werk

Hierbij verklaren wij, Steven Asselman en Siger de Vries, dat wij beiden volledig verantwoordelijk zijn voor de inhoud die in de scriptie als volgt onderverdeeld is:

‘Inleiding’: Steven Asselman

‘Notatie en gegevens’: gezamenlijk

Deel I: Steven Asselman

Deel II: Siger de Vries

Deel III: gezamenlijk

Wij bevestigen dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat wij geen gebruik hebben gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd.

2

Inhoudsopgave

1) Inleiding ... 3 1.1) Probleemstelling ... 3 1.2) Notatie en gegevens ... 4 Deel I ... 5 2) Newsvendor Problem ... 5

2.1) Mathematische oplossing van het Newsvendor Problem ... 6

3) Simulatie/Numerieke resultaten bij 1 bestelmoment ... 8

3.1) Bestelmoment 3 maanden van tevoren... 8

3.2) Bestelmoment 2 weken van tevoren ... 11

3.3) Vergelijking tussen de verschillende bestelmomenten ... 13

3.4) Bestelmoment 3 maanden van tevoren: vraag verdeeld volgens kansboom ... 15

4) Uitbreiding Newsvendor Problem: langer houdbare producten ... 18

4.1) Modelspecificatie ... 18 4.2) Modelvergelijkingen ... 19 4.3) Onderzoeksresultaten ... 21 5) Conclusie/Samenvatting Deel I ... 22 Deel II ... 24 6) Sequentiële beslissingsprobleem ... 24 6.1) Markov beslissingsproces (MDP) ... 24

6.2) Theoretisch kader sequentiële beslissingsprobleem ... 25

6.3) Analyse van het bestelprobleem met meerdere mogelijke bestelmomenten ... 27

6.4) Model formulering ... 30 6.5) Toepassing model ... 32 6.6) Resultaten ... 33 6.7) Conclusie deel II ... 40 Deel III ... 42 7) Conclusies/Samenvatting ... 42 7.1) Samenvatting ... 42 7.2) Conclusies/Resultaten ... 42 7.3) Verdere aanpak ... 43 Appendix ... 45 Literatuur ... 54

3

1) Inleiding

De KLM (Koninklijke Luchtvaart Maatschappij) is een van oorsprong Nederlandse luchtvaartmaatschappij die werd opgericht op 7 oktober 1919 en daarmee inmiddels alweer bijna 100 jaar bestaat. KLM vormt de kern van de KLM Groep, waarvan onder meer ook de dochters KLM Cityhopper, transavia.com en Martinair deel uitmaken. Samen met Air France zijn ze sinds 2004 de grootste Europese luchtvaartgroep: AIR FRANCE KLM. Ze vervoeren samen ruim 77 miljoen passagiers per jaar in een wereldwijd netwerk met 243 bestemmingen in wel 103 verschillende landen. Het is dan ook een grote logistieke operatie om alle vluchten veilig en efficiënt te organiseren.

Eén van de eisen die KLM zichzelf bij deze vluchten stelt, is om al zijn passagiers tijdens de vlucht een maaltijd aan te kunnen bieden. Deze maaltijden worden verzorgd door KLM Catering Services. Dagelijks serveren zij meer dan 55.000 maaltijden voor ruim 350 intercontinentale, Europese en cargovluchten.

1.1) Probleemstelling

De KLM plaatst bij KLM Catering Services zijn bestelling voor het aantal te leveren maaltijden, dit dient natuurlijk te gebeuren voordat het vliegtuig vertrekt. Het is echter onzeker hoeveel maaltijden er besteld moeten worden; passagiers kunnen tot op het laatste moment hun vlucht boeken of annuleren. De onzekerheid van hoeveel passagiers er uiteindelijk meegaan wordt alleen maar groter naarmate dit vroeger bepaald dient te worden. Tegelijkertijd is het ook voordeliger om maaltijden eerder te bestellen; deze 2 dingen samen zorgen ervoor dat het niet eenvoudig is om te bepalen hoeveel er besteld dient te worden. Daarbovenop komt ook nog dat als achteraf blijkt dat er te weinig is besteld, er met spoed een parlevinker ingehuurd moet worden. Deze parlevinker heeft naast relatief hoge kosten per maaltijd, ook hoge setupkosten. Als er te veel maaltijden worden besteld, zal er een deel weggegooid moeten worden wat natuurlijk ook weer zonde is.

In dit onderzoek wordt getracht om voor deze situatie een zo voordelig mogelijke bestelstrategie te ontwikkelen. Hierbij worden twee typen bestelstrategieën met elkaar vergeleken, waarbij de bestelstrategieën worden toegepast met versimpelde aannames om zo een eerste indruk te geven van het nut van de strategieën. Bij het eerste type bestelbeleid wordt er eenmalig een grote bestelling geplaatst die ofwel een paar maanden van tevoren wordt geplaatst, of 2 weken van tevoren. Als er op de dag van vertrek dan een tekort is, wordt de parlevinker ingehuurd. De bestelstrategie hier wordt hierbij bepaald met behulp van zowel simulatie als het ‘newsvendor model’, waarover later meer volgt.

4 Bij het tweede bestelbeleid kan ervoor worden gekozen om op meerdere momenten bestellingen te plaatsen. Hierbij wordt aangenomen dat het mogelijk is om een paar maanden van tevoren te bestellen, 2 weken van tevoren, 1 week van tevoren, en tot slot ook nog 1 dag voor vertrek. Ook hierbij geldt er dat indien op de dag van vertrek zelf er te weinig besteld is, een parlevinker ingehuurd moet worden. De optimale bestelstrategie wordt bij dit beleid bepaald door het te modeleren als een Markov beslissingsproces om vervolgens met behulp van stochastisch dynamisch programmeren (SDP) numeriek opgelost. Vervolgens wordt met behulp van simulatie het optimale bestelbeleid op verschillende prestatie indicatoren geanalyseerd.

Bij het eerste bestelbeleid wordt er de versimpelde aanname gemaakt dat de vraag van de maaltijden normaal verdeeld is. Het tweede bestelbeleid werkt daarentegen met een vraag verdeeld als een Markovketen. Beide aannames leiden ertoe dat het makkelijker is om tot resultaten te komen die een eerste indruk kunnen geven van de te behalen besparingen.

In het verlag zal in deel I het eerste type bestelstrategie aan bod komen, waarna in deel II het tweede type wordt behandeld. Tot slot worden de strategieën in deel III met elkaar vergeleken en volgt er een conclusie en aanbeveling voor KLM.

1.2) Notatie en gegevens

In dit verslag worden de volgende notatie en gegevens gebruikt:

𝑞𝑡 = totaal aantal bestelde maaltijden op beslissingstijdstip t (𝑡 = 0 , 1, … , 𝑁)

𝑥𝑡 = totaal aantal passagiers op beslissingstijdstip t (𝑡 = 0 , 1, … , 𝑁)

𝐶 = capaciteit van vliegtuig

𝑘𝑡 = kosten van maaltijden op beslissingstijdstip t (𝑡 = 0 , 1, … , 𝑁)

𝑝 = kosten per maaltijd parlevinker 𝐹𝑘 = eenmalige kosten parlevinker

𝑘𝑢 = under cost = 𝑝 − 𝑘𝑡

𝑘ℎ = higher cost = 𝑘𝑡

𝐵𝑡 = maximaal aantal te bestellen maaltijden op beslissingstijdstip t (𝑡 = 0 , 1, … , 𝑁)

In deel I van het verslag wordt bij deze notatie de ‘t’ in het subscript overal weggelaten om het zo overzichtelijker te houden. 3 maanden voor vertrek 2 weken voor vertrek 1 week voor vertrek 1 dag voor vertrek Dag van vertrek Variabele kosten 25 40 50 75 100 Vaste kosten - - - - 200

5

Deel I

2) Newsvendor Problem

Zoals eerder besproken is in de inleiding, richt deel I van het verslag zich op een bestelstrategie waarbij er eenmalig een bestelling geplaatst wordt voor de maaltijden. Hierbij is er de mogelijkheid om één nabestelling te plaatsen indien er een tekort is. Een dergelijk bestelbeleid heeft veel overeenkomsten met het zogenoemde ‘newsvendor problem’. Het newsvendor problem behandeld het vraagstuk van hoeveel kranten een krantenverkoper moet kopen om achteraf zoveel mogelijk winst te maken. Hierbij moet de krantenverkoper rekening houden met het feit dat kranten die aan het eind van de dag niet verkocht zijn, de dag daarop waardeloos zijn geworden. Tevens is het ook zonde als er te weinig kranten worden ingekocht en de krantenverkoper daarmee niet aan alle vraag kan voldoen. De overeenkomsten tussen het vraagstuk van de KLM en die van de krantenverkoper zijn duidelijk: beide hebben te maken met een verlies als er te weinig of te veel ingekocht wordt. Het verschil tussen de twee vraagstukken is dat het verlies bij een tekort zich bij de KLM op een andere manier manifesteert; namelijk als een nabestelling met hogere inkoopkosten waarbij ook nog eens setupkosten betaald dienen te worden. Het vraagstuk van de KLM kan dan dus ook beschouwd worden als een speciale vorm van het newsvendor problem.

Het newsvendor problem zelf lijkt al te dateren uit 1888, toen Edgeworth een paper schreef over het bepalen van de optimale hoeveelheid geld die een bank achter de hand moet houden, om zo toch nog met een bepaalde zekerheid aan alle geldopnames te kunnen voldoen. Het oplossen van dit vraagstuk deed hij toen met behulp van de Centrale Limiet Stelling. Later kwamen Arrow, Harris en Marchak (1951) voor het eerst met de inmiddels al klassieke oplossing op het gebied van het newsvendor problem, waarbij de oplossing uitgedrukt wordt in een enkele breuk.

Later zijn er nog vele uitbreidingen gekomen van het newsvendor problem (een aantal hiervan staan genoemd in ‘Handbook of newsvendor problems’, samengesteld door Choi (2012)), waaronder die van Weng (2004), waarbij er gekeken wordt naar de optimaal te bestellen hoeveelheid als de fabrikant van de producten en de koper/verkoper van de producten een gecoördineerde beslissing maken. Daarbij wordt in dit model ook rekening gehouden met vaste setupkosten van de productie, wat in dit verslag ook van belang is bij de nabestelling. De resultaten van zijn onderzoek waren dat bij gecoördineerde beslissingen vaak meer geproduceerd wordt door de fabrikant, en meer opgekocht wordt door de verkoper. Tegelijkertijd leidt dit niet altijd tot substantiële winsten, maar deze winsten groeien wel naarmate backordering kosten, setupkosten, en bezorgkosten in de niet gecoördineerde situatie een grote invloed hebben op de totstandkoming van de te bestellen hoeveelheid.

6 Ook is er nog de mogelijkheid het probleem uit te breiden door te optimaliseren voor producten die langer meegaan dan 1 bestelcyclus. Dit wordt gedaan in het verslag van Tekin, Gürler en Berk (2001), waarvan verdere details verderop in dit verslag (sectie 4) uitgebreid besproken worden.

2.1) Mathematische oplossing van het Newsvendor Problem

In de literatuur van het newsvendor problem is in de loop der jaren al meerdere malen een oplossing afgeleid voor het newsvendor problem. De afleiding die hieronder volgt, heeft als verschil dat er naast de ‘underage’ kosten 𝑘𝑢 en ‘higher’ kosten 𝑘ℎ, nu ook rekening wordt gehouden met de

setupkosten 𝐹𝑘 van de parlevinker en de capaciteit C van het vliegtuig. De definities van 𝑘𝑢 en 𝑘ℎ

zijn:

𝑘𝑢: De kosten die extra gemaakt worden nadat er bekend is dat er te weinig maaltijden zijn besteld

𝑘ℎ: De verspilde kosten van de eventueel teveel bestelde maaltijden

fff

𝑘𝑢 en 𝑘ℎ kunnen dus beide beschouwd worden als verspillingskosten; het zijn namelijk de kosten die

onnodig extra gemaakt worden/zijn doordat er van tevoren niet precies het juist aantal maaltijden is besteld. Hieronder volgt een oplossing van het newsvendor problem, waarbij er geminimaliseerd wordt over de verspillingskosten.

2.1.1) Afleiding

Indien 0 ≤ 𝑞 < 𝐶, geldt er dat de verspillingskostenfunctie 𝑘1(𝑞) er als volgt uitziet:

Hierbij stelt f(x) de pdf (probability density function) voor van een normaal verdeelde stochast X. De uitdrukking 𝑘1(𝑞) kunnen we differentiëren met behulp van de regel van Leibniz. Deze regel luidt als

volgt: Indien 𝐼(𝑡) ≔ ∫_𝑔(𝑡)ℎ(𝑡)𝑓(𝑥; 𝑡)𝑑𝑥 en f(x; t), g(t) en h(t) differentieerbaar zijn naar t, dan geldt dat:

7 Een optimale oplossing kan nu gevonden worden door de bovenstaande afgeleide gelijk aan nul te stellen:

Dit resultaat wordt ondersteund door Weng (2004), waarin uit een algemener newsvendor model dezelfde formule wordt afgeleid. Te zien is dat de uitdrukking van F(q*) ook een functie is van f(q*). Hierdoor is het niet mogelijk om q* direct uit te rekenen. Dit in tegenstelling tot de ‘standaardoplossing’ van het newsvendor problem, waarbij 𝐹(𝑞∗) = 𝑘𝑢

𝑘_ℎ + 𝑘_𝑢 aangeeft hoeveel

standaardafwijkingen boven het gemiddelde de oplossing zich bevindt.

Het is ook mogelijk om bovenstaande optimale oplossing af te leiden door de gewone kostenfunctie te minimaliseren. Deze kostenfunctie, die we hier aanduiden met 𝑘2(𝑞), ziet er als volgt uit:

Deze vergelijking kan dus gebruikt worden om de verwachte gemiddelde kosten te berekenen.

De optimale oplossing q* die bepaald is door 𝑑𝑘1

𝑑𝑞 = 0 te nemen, kan relatief eenvoudig numeriek

bepaald worden door te bekijken wanneer 𝐺(𝑞∗) = |𝐹(𝑞∗) −𝑘𝑢+200𝑓(𝑞∗)

𝑘ℎ+𝑘𝑢 | minimaal is. Er zijn echter

ook situaties te bedenken waarbij het minimaliseren van deze functie tot een verkeerde oplossing leidt. Bovenstaande formule houdt namelijk geen rekening met het geval dat indien q* = C wordt gekozen, er ook geen setupkosten van de parlevinker meer mogelijk zijn (gegeven door de term 𝐹𝑘∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∞

𝑥=𝑞 ). Bij een maximale bestelling van q* = C is het immers onmogelijk om achteraf te

maken te krijgen met een tekort aan maaltijden. Het probleem kan opgelost worden door achteraf te controleren of het voordeliger is om 𝐶 ∙ 𝑘 kwijt te zijn in plaats van 𝑘2(𝑞∗). Deze controle met

correctie voor q* en 𝑘2(𝑞∗) ziet er (van links naar rechts gelezen) als volgt uit:

𝑞∗_{∶= {}𝑞∗ 𝑎𝑙𝑠 𝑘2( 𝑞∗) < 𝐶 ∙ 𝑘

𝐶 𝑎𝑙𝑠 𝑘2( 𝑞∗) ≥ 𝐶 ∙ 𝑘 𝑘2(𝑞

∗_{) ≔ {} 𝑘2(𝑞∗) 𝑎𝑙𝑠 𝑞∗≠ 𝐶

8

3) Simulatie/Numerieke resultaten bij 1 bestelmoment

3.1) Bestelmoment 3 maanden van tevoren

In deze sectie bekijken we eerst de situatie waarbij we alleen 3 maanden van tevoren een bestelling plaatsen, en dus met relatief lage bestelkosten van 25 te maken hebben. We nemen aan dat de vraag normaal verdeeld is met een gemiddelde van 150 en een standaardafwijking van 30, genoteerd als X ~ N(150, 30). Tot slot gaan we uit van een vliegtuig met capaciteit C = 200.

Vergelijken we in Matlab (voor programmeercode zie Appendix A) alle waarden van de functie G(q*) (zie eind vorige sectie) voor q tussen 0 en 200, dan komt 𝑞∗≈ 172,2 ≈ 172 als beste naar voren. De gemiddelde kosten die hierbij gemaakt worden zijn 𝑘2( 𝑞∗) = 4691.8. Hieronder volgt een grafiek

(figuur 1) van 𝑘2(𝑞) voor waarden van q tussen 0 en 200:

Naast het mathematisch bepalen van de optimale oplossing, is het ook nog mogelijk om het gehele probleem te simuleren om zo te bekijken wanneer de kosten optimaal zijn. Dit heeft als bijkomend voordeel dat er ook relatief eenvoudig andere karakteristieken bekeken kunnen worden, zoals de spreiding van de kosten, het daadwerkelijk aantal verkochte stoelen, of statistieken met betrekking tot overschotten en tekorten. Er wordt hier gebruik gemaakt van de Monte Carlo simulatiemethode.

9 Voor het aantal verkochte stoelen is in figuur 2 een grafiek weergegeven, waarbij er 10 miljoen trekkingen zijn gedaan uit de normale verdeling met N(150,30), met een maximum van C = 200.

Te zien is dat het aantal verkochte stoelen hier zoals verwacht een op het oog normale verdeling heeft, maar doordat het vliegtuig niet meer dan 200 stoelen bevat is er bij de grafiek daar een piek te zien. In werkelijkheid is de piek van 200 ongeveer 4,8% hoog, maar in de grafiek zelf bevat de balk

van 200 ook lagere waardes waardoor deze hoger lijkt. Het daadwerkelijke gemiddelde van de verkochte stoelen ligt door deze piek iets lager met 149,4 (standaardfout 0,01).

Als daadwerkelijk gezocht wordt naar de optimale oplossing, komt ook hier naar voren dat het optimaal te bestellen maaltijden volgens simulatie 172 of misschien 173 is (zie tabel 2). Daarnaast liggen de gesimuleerde gemiddelde kosten van 4691,6 bij het bestellen van 172 maaltijden, heel erg

Maaltijden besteld: 160 165 170 171 172 173 175 180

Gemiddelde kosten: 4776,8 4720,8 4694,4 4692,4 4691,6 4692,0 4696,0 4722,0

Standaardafwijking: 0,4 0,4 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,2

𝒌𝟐(𝒒) 4777,1 4720,6 4694,4 4692,6 4691,8 4692,1 4695,9 4722,2

Figuur 2: # verkochte stoelen met X ~ N(150,30) (3 maanden van tevoren)

10 in de buurt van de eerder berekende 𝑘2(172) = 4691,8. Dit komt mede doordat er bij het opstellen

van de tabel gebruik is gemaakt van 10 miljoen simulaties. Buiten de waardes 172 en 173 nemen zowel 𝑘2(𝑞) als de gemiddelde gesimuleerde kosten alleen maar toe. Wat wel afneemt met het

bestellen van meerdere maaltijden, is de variabiliteit van de kosten. Zo is in het geval dat men q = 200 bestellingen plaatst altijd 5000 kwijt, terwijl dit bij q = 172 varieert van 4300 tot 7300. De spreiding van deze kosten is hieronder in figuur 3 te zien. Daarin is af te lezen dat in ongeveer 18% van de gevallen men meer dan 5000 kwijt is. Wel is alsnog duidelijk te zien dat in de meeste gevallen de kosten 172 ∙ 25 = 4300 zijn; dit is in 76,8% van de gevallen zo. In precies evenveel van de gevallen is er vanwege de continuïteit van de verdeling dan ook een overschot aan maaltijden (meer dan 172) besteld.

Een overzicht met betrekking tot de statistieken van de tekorten en de overschotten is in tabel 3 gegeven. De kolom met ‘Verwachte verspilde kosten bij tekort/overschot’ geeft hier aan hoeveel geld er achteraf gezien minder uitgegeven zou zijn, indien vooraf precies het juiste aantal maaltijden besteld zou zijn. De meest rechtse kolom geeft aan wat de gemiddelde kosten zijn van het bijbestellen van maaltijden indien men op de dag van vertrek weet dat er bijbesteld moet worden. Dit is ook de reden dat er bij overschot ‘0’ extra kosten genoteerd staan; dit omdat er bij een overschot geen nabestelkosten zijn. Bij een overschot moeten er wel maaltijden weggegooid worden, dus zijn er wel verspilde kosten.

11

3.2) Bestelmoment 2 weken van tevoren

In deze sectie wordt de situatie bekeken waarbij er in plaats van een paar maanden van tevoren, 2 weken van tevoren wordt besteld. De kosten per maaltijd zijn hierbij gestegen van 25 naar 40, waarbij de rest van de kosten en de capaciteit C = 200 onveranderd zijn gebleven. Wat wel veranderd is, is de verdeling van X. Deze verdeling wordt nu mede bepaald aan de hand van onderstaande gegevens:

Linksboven staat het aantal verkochte stoelen van 2 weken voor de vlucht. Verwacht wordt dat er uiteindelijk bovenop dit aantal verkochte stoelen nog 20% extra stoelen verkocht worden, waarbij deze 20% een standaardafwijking heeft van 10% van het eerder aantal verkocht stoelen. Als er bijvoorbeeld 2 weken van tevoren 120 stoelen verkocht worden, dan wordt het uiteindelijk aantal verkochte stoelen geschat op 120 ∙ (1 + 0.2) = 144 met een standaardafwijking van 120 ∙ 0.1 = 12. De uiteindelijke verdelingen van het aantal stoelen 𝑌𝑎𝑐𝑡 , staat rechtsboven weergegeven.

q* = 172 Percentages Gemiddeld tekort/overschot aan maaltijden Verwachte verspilde kosten bij tekort/overschot Verwachte extra kosten na tekort/overschot Tekort 23,2 14,9 1317,3 1689,8 Overschot 76,8 33,9 847,5 0 Verdeling van 𝒀𝒂𝒄𝒕 N(0, 0) N(48, 4) N(96, 8) N(144, 12) N(192, 16) N(240, 20)

12 Weer kan met behulp van het minimaliseren van de formule 𝐺(𝑞∗) = |𝐹(𝑞∗_{) −}𝑘𝑢+𝐹𝑘∙𝑓(𝑞∗)

𝑘ℎ+𝑘𝑢 | de

optimale bestelhoeveelheid q* worden bepaald door de minimale waarden te vinden voor q tussen 0 en 200, wat eveneens weer in Matlab gedaan kan worden. In dit geval zal dat voor iedere mogelijke verdelingsuitkomst apart gedaan moeten worden. De resultaten hiervan zijn te vinden in tabel 4 in de kolom van q*.

In deze zelfde tabel zijn de gemiddelde (gesimuleerde) kosten en 𝑘2(𝑞) berekend door de afgeronde waarden van q* te gebruiken. Merk daarbij op dat in het geval

van de normale verdeling met N(192; 16) de niet gecorrigeerde oplossing q* = 198 is. Omdat in dit geval echter geldt (voordat het randpunt q = C is gecontroleerd) dat:

𝑘2( 𝑞∗) = 8057 > 𝐶 ∙ 𝑘 = 200 ∙ 40 = 8000

, wordt q* aangepast door 𝑞∗∶= 𝐶 te nemen waarna ook geldt dat 𝑘2( 𝑞∗) ∶= 𝐶 ∙ 𝑘 = 8000 (zie

einde van sectie ‘Mathematische oplossing Newsvendor Problem’). Hieronder volgt tabel 5 met het overzicht van de gemiddelde tekorten/overschotten met bijbehorende percentages van alle normale verdelingen samen: Verdeling van 𝒀𝒂𝒄𝒕 Kans q* Gemiddelde kosten Standaardafwijking Gemiddelde 𝒌𝟐(𝒒) N(0; 0) 0,05 0 0 0 n.v.t. N(48; 4) 0,20 50,8 2137,8 0,1 2137,8 N(96; 8) 0,25 99,9 4219,9 0,1 4219,9 N(144; 12) 0,30 149 6297,7 0,2 6297,4 N(192; 16) 0,15 200 8000 0 8000 N(240; 20) 0,05 200 8000 0 8000 Percentages Gemiddeld tekort/overschot aan maaltijden Verwachte verspilde kosten bij tekort/overschot Verwachte extra kosten na tekort/overschot Tekort _{21,5 4,0 442,6 604,4} Overschot _{64,0 9,4 374,4 0} Precies goed _{14,5 0 0 0}

Tabel 5: Statistieken met betrekking tot overschotten en tekorten (2 weken van tevoren)

13 Ten opzichte van de vorige situatie, kan er nu ook ‘precies goed’ besteld worden. Dit zijn eigenlijk alle gevallen waarbij er 200 maaltijden zijn besteld en er ook precies 200 passagiers in het vliegtuig terecht kwamen. Door de continuïteit van de normale verdeling is het niet mogelijk dat er bij andere situaties exact goed wordt besteld.

Onderstaand (tabel 6) volgt er ook nog een overzicht van

𝑘2(𝑞) en de gesimuleerde gemiddelde kosten (10 miljoen simulaties) met daarbij waarden gekozen

rond q*, waarmee het inzichtelijk wordt wat de kosten zijn van het afwijken van q*: fffffff Verdeling N(48; 4) N(96; 8) N(144; 12) q 50 51 52 99 100 101 149 150 151 Gem. kosten 2140,8 2137,8 2145,1 4222,1 4219,9 4222,7 6297,7 6297,4 6303,8 Std. Afw. Gem. 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 𝒌𝟐(𝒒) 2140,8 2137,8 2145,1 4222,1 4219,9 4222,7 6297,4 6299,1 6303,9

Opvallend bij deze tabel is, dat in het geval dat X ~ N(144; 12) verdeeld is, de gemiddelde gesimuleerde kosten bij q = 150 lager liggen. Dit wordt hoogstwaarschijnlijk veroorzaakt door de onnauwkeurigheid bij het simuleren.

Tot slot komen de gesimuleerde kosten ook hier nauw overeen met de kosten zoals berekend met 𝑘2(𝑞). De volledige grafieken voor 𝑘2(𝑞) van deze verdelingen zijn te vinden in Appendix B.

3.3) Vergelijking tussen de verschillende bestelmomenten

Om te kunnen vergelijken of het beter is om 2 weken van tevoren te bestellen of een paar maanden van tevoren, is het eerst nodig om de verwachte kosten bij de situatie van 2 weken van tevoren te berekenen. Dit kan gedaan worden door alle verwachte gemiddelde kosten (in dit geval de gesimuleerde kosten) te vermenigvuldigen met de kansen dat deze kosten gemaakt worden, en ze daarna te sommeren:

2137,8 ∙ 0,20 + 4220,0 ∙ 0,25 + 6297,7 ∙ 0,30 + 8000 ∙ 0,15 + 8000 ∙ 0,05 = 4971,8 Aangezien deze kosten ruim hoger zijn dan de 4691,6 van de andere situatie, is het dus niet aan te raden om te wachten tot 2 weken voor de vlucht, tenzij er veel waarde wordt gehecht aan de lagere tekorten of overschotten (vergelijk hiervoor tabel 3 en 5). Daarnaast zijn ook nog de verwachte extra kosten bij een tekort lager dan bij situatie van een paar maanden van tevoren, wat uiteindelijk tot minder variatie in de kosten leidt. Indien er veel waarde wordt gehecht aan de variabiliteit van de

14 kosten, kan er tot slot ook overwogen worden om altijd 200 maaltijden 3 maanden van tevoren te bestellen; dit zorgt ervoor dat men altijd 5000 kwijt bent. De gemiddelde extra kosten hiervan ten opzichte van het optimale bestelbeleid bij 2 weken zijn ‘slechts’ 28,2 , maar dit zal wel tot een veel hogere verspilling aan maaltijden leiden dan bij de andere situaties.

Er dient ook nog opgemerkt te worden dat de verschillen tussen de verschillende bestelmomenten waarschijnlijk veroorzaakt wordt door de verschillende aannames in de verdeling van X. Daarom zou er ook nog gekeken kunnen worden of het rendabel is om het geschatte aantal verkochte stoelen van 2 weken voor de vlucht te gebruiken, om zo al 3 maanden van tevoren een bestelling te plaatsen. Vanwege de complexiteit die bij deze nieuwe situatie ontstaat, wordt er nu alleen maar gebruik gemaakt van simulatiesoftware.

De grafiek in figuur 4 wordt verkregen bij het uitvoeren van 10 miljoen simulaties voor het aantal verkochte stoelen. Er zijn bij deze grafiek vijf duidelijke pieken te zien, waarbij de piek bij 200 stoelen het grootst is. Het gemiddeld aantal verkochte stoelen is 115,1 met een standaardafwijking van 0,02. Als we de grens van 200 stoelen negeren en de verwachting uitrekenen van deze verdelingen samen, verkrijgen we het volgende: 1,2 ∙ (0,2 ∙ 48 + 0,25 ∙ 96 + 0,30 ∙ 144 + 0,15 ∙ 192 + 0,05 ∙ 240) = 117,6. Het daadwerkelijke gemiddelde daalt dus met ongeveer 2,5 als gevolg van niet tegemoetgekomen vraag van boven de 200. Bij het zoeken naar de optimale q* voor dit probleem, worden de gegevens verkregen zoals in tabel 7 te zien is.

Maaltijden besteld: 150 154 155 156 157 158 159 160 165

Gemiddelde kosten: 4712,1 4694,5 4692,3 4691,7 4691,1 4692,1 4692,07 4695,0 4707,8

Standaardafwijking: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,4

Figuur 4: # verkochte stoelen bij het samenvoegen van 5 normale verdelingen van X (3 maanden van tevoren)

15 Te zien is dat er niet echt een eenduidige optimale q* te vinden is, maar meer een soort bereik dat loopt van 155 tot en met 159. Daarbuiten beginnen de kosten relatief veel te stijgen. Opvallend is dat de laagste gemiddelde kosten hier (4.691,7) min of meer hetzelfde zijn als de laagste kosten van het eerdere probleem (4.691,6), terwijl de optimale bestelhoeveelheid van 172 wel significant verschilt met dat van hier. Dat ze dan toch ongeveer dezelfde kosten hebben, wordt veroorzaakt door de grotere spreiding. Dit is in te zien door tabel 3 met tabel 8 te vergelijken:

fff q = 156 Percentages Gemiddeld tekort/overschot aan maaltijden Verwachte verspilde kosten bij tekort/overschot Verwachte extra kosten na tekort/overschot Tekort 24,6 30,2 2465,4 3220,5 Overschot 75,4 64,1 1602,1 0

3.4) Bestelmoment 3 maanden van tevoren: vraag verdeeld volgens een kansboom

Tot slot bekijken we de situatie waarbij we een paar maanden van tevoren de keuze maken om te bestellen, en ervan uit gaan dat het uiteindelijk aantal verkochte stoelen bereikt wordt doordat het aantal verkochte stoelen op 3 verschillende momenten er als volgt uitziet:

Doorlopen we deze 3 verschillende periodes, dan zouden er bijvoorbeeld dus 160 + 20 + 3 = 183 stoelen verkocht kunnen worden. Ook hier is er weer een maximum van C = 200 verkochte stoelen. Met behulp van simulatie, kunnen alle eindmogelijkheden van het aantal verkochte stoelen bekeken worden met de daarbij behorende kansen (zie figuur 5). Te zien is dat er 101 verschillende Tabel 8: Statistieken met betrekking tot overschotten en tekorten (3 maanden van tevoren, 5 normale verdelingen samen)

16 Tabel 9: Gemiddelde kosten bij q aantal maaltijden besteld (3 maanden van tevoren, X verdeeld volgens kansboom) uitkomsten zijn van het aantal verkochte stoelen, waarbij de situatie met 200 verkochte stoelen met ruim 12% veruit het meest voorkomt. Er zijn ook telkens gaten van 10 te zien tussen de hoeveelheden verkochte stoelen. Dit is natuurlijk niet erg realistisch. Het gemiddeld aantal verkochte stoelen is hier 131,4. Bij het zoeken naar de optimaal te bestellen hoeveelheid maaltijden, worden met behulp van simulatie de resultaten verkregen zoals in tabel 9 gegeven staat:

fffffff

Te zien is dat er in eerste instantie geen duidelijke bestelhoeveelheid lijkt te zijn. De gemiddelde kosten bij het bestellen van tussen de 165 en 185 maaltijden liggen erg dicht bij elkaar, mogelijk ook doordat er zich een gat bevindt tussen de 170 en 180. Door extra simulaties uit te voeren valt dit beter te analyseren (zie tabel 10).

Met deze extra data is nu te zien dat de kosten niet monotoon stijgen of dalen vanaf één punt. Van zowel 179 naar 180 als van 184 naar 185 zijn er ineens grotere sprongen qua kostenverschil. Van 179 naar 180 is deze sprong zelfs negatief, wat als oorzaak heeft dat er wel 180 stoelen maar geen 179 stoelen verkocht kunnen worden.

Maaltijden besteld: 160 165 170 175 180 185 190

Gemiddelde kosten: 4900,4 4853,9 4843,4 4845,9 4845,6 4852,4 4900,1

Standaardafwijking: 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,1

17 Tabel 11: Statistieken met betrekking tot overschotten/tekorten (3 maanden van tevoren, X verdeeld volgens kansboom) ffffffffffffffffffffffffffffff

Voor onderstaande tabel (tabel 11) wordt een q* gekozen van 180 om zo nog een relatief kleine variatie aan kosten te krijgen ten opzichte van de ander mogelijk te kiezen q:

fffffffff

Te zien is dat ondanks de relatief hoog gekozen q van 180, de verwachte extra kosten bij een tekort met 1450,8 nog steeds wel relatief hoog zijn. Ook worden er in 75,5% van de gevallen gemiddeld 68 maaltijden verspild, wat relatief gezien erg hoog is.

In deel II van het verslag zal de situatie waarbij X verdeeld is volgens een kansboom opnieuw geanalyseerd worden, waarbij ook meerdere bestelmomenten geïntroduceerd worden.

Maaltijden besteld: 167 168 169 179 181 184 Gemiddelde kosten: 4844,7 4843,7 4842,9 4848,1 4845,8 4846,8 Standaardafwijking: 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 q = 180 Percentages Gemiddeld tekort/overschot aan maaltijden Verwachte verspilde kosten bij tekort/overschot Verwachte extra kosten na tekort/overschot Tekort _{23,9 12,5 1138,1 1450,8} Overschot _{75,5 68,3 1708,5 0} Precies goed _{0,6 0 0 0}

18

4) Uitbreiding Newsvendor Problem: langer houdbare producten

Deze sectie behandeld een uitbreiding van het newsvendor model, waarbij er nu ook rekening wordt gehouden met producten die langer meegaan dan 1 bestelcyclus. In de eerdere secties werd namelijk aangenomen dat de maaltijden weggegooid konden worden na het vertrekken van het vliegtuig, maar in werkelijkheid zou er ook nog gedacht kunnen worden aan een beleid waarbij de

overgebleven maaltijden gebruikt worden voor andere vluchten. Een eerste opzet voor een dergelijk beleid wordt gemaakt in het onderzoek dat verricht is door Tekin, Gürler en Berk (2001). Deze sectie zal de resultaten van dit onderzoek bespreken.

In het onderzoek wordt er een (Q, r, T) model ontwikkeld dat een optimaal bestelbeleid bepaalt voor producten met een beperkte houdbaarheid. Het (Q, r, T) beleid is een uitbreiding op het klassieke (Q, r) beleid, waarbij er alleen gekozen kan worden om een hoeveelheid Q te bestellen zodra de voorraad een niveau r bereikt heeft. Merk op dat we bij dit (Q, r) beleid nu niet met de bekende Economic Order Quantity (EOQ) te maken hebben (𝑄∗ = √2𝐷𝐾

ℎ ), dit vanwege de beperkte

houdbaarheid van de producten. Het (Q, r, T) beleid heeft ten opzichte van het (Q, r) beleid de mogelijkheid om standaard T tijdseenheden na de laatste bestelling een nieuwe bestelling te plaatsen, dit indien voorraadniveau r nog niet bereikt is.

4.1) Modelspecificatie

In het model wordt ervan uitgegaan dat de vraag Poisson verdeeld is met een gemiddelde van λ, waarbij er bij een tekort vraag verloren gaat. De verloren vraag mag hierbij niet groter zijn dan een fractie α van de totale vraag. De producten hebben allemaal een levensduur τ en beginnen te verouderen zodra de batch met producten geopend wordt voor verkoop. Dit openen hoeft dus niet altijd direct plaats te vinden nadat de producten geleverd zijn na bezorgtijd L. Tot slot zijn er de volgende kosten: vaste bezorgkosten K, bedervingskosten p en opslagkosten h, waarbij p en h beide de kosten per product zijn.

Aangezien de voorraad in de loop der tijd telkens afneemt en weer aan wordt gevuld, is er sprake van een soort van cyclusduur. Deze wordt gedefinieerd als de verstreken tijd tussen het moment dat de voorraad een niveau Q heeft, en het moment na aanvullen dat de voorraad zich opnieuw op niveau Q bevindt. Een grafiek (zie figuur 6) kan dit verduidelijken:

19 Te zien is dat er bij de horizontale as van de grafiek 𝑋𝑄−𝑟, 𝑋𝑄−𝑟+ 𝐿 en 𝑋𝑄 genoemd staan. Hierbij

staat 𝑋𝑄−𝑟 voor het tijdstip waarop er nog Q – r producten op voorraad zijn, en er dus een bestelling

wordt geplaatst. Bij 𝑋𝑄 zijn er nog Q producten op voorraad, en tevens staat 𝑋𝑄 hier voor het tijdstip

(en ook de tijdsduur) van het begin van de nieuwe cyclus. 𝑋𝑄−𝑟+ 𝐿 Is het moment dat de bestelling

van tijdstip 𝑋𝑄−𝑟 is binnengekomen.

4.2) Modelvergelijkingen

Indien de situatie bekeken wordt waarbij de levensduur van de producten altijd tussen het gekozen vaste tijdstip van bestellen T, en het uiterste tijdstip van bezorgen T + L ligt, wordt de volgende uitdrukking verkregen voor de cyclusduur CL:

Eenzelfde soort uitdrukking kan ook verkregen worden voor de oppervlakte OH bij de voorraadgrafiek:

20 De oppervlakte OH bij de voorraadgrafiek is een maat voor hoeveel producten er op voorraad zijn. Zowel de uitdrukking CL als de uitdrukking OH zijn af te leiden met behulp van het tekenen van verschillende voorraadgrafieken. Zo is in figuur 7 te zien dat wanneer 𝑋𝑄−𝑟 tussen T en τ ligt, de

cyclusduur CL gelijk is aan T + L. Ook is duidelijk te zien dat de oppervlakte OH gelijk is aan de som van de gekleurde gebieden: ∑ 𝑋𝑖

𝑁(𝜏)

𝑖=1 + 𝜏[𝑄 − 𝑁(𝑡)] . Dit correspondeert ook weer met de

voorwaarde dat 𝜏 < 𝑋𝑄 en dat 𝑇 < 𝑋𝑄−𝑟.

Tot slot kunnen er ook nog uitdrukkingen gemaakt worden voor het aantal gemiste verkopen LS en het aantal producten P dat bederft binnen een cyclus:

fff

Hierbij is N(t) een functie die bijhoudt hoeveel vraag er is tussen tijdstip 0 en tijdstip t. Het aantal bedorven producten is daarom ook gelijk aan het aantal producten op voorraad Q, min het aantal producten dat verkocht is totdat alle producten op voorraad bedorven zijn, mits de producten eerder bederven dan dat zij allemaal verkocht zijn. Met behulp van de afgeleide karakteristieken kan een doelfunctie worden opgesteld:

21 In bovenstaande doelfunctie TC(Q, r, T), wordt er geminimaliseerd over de verwachte kosten die gemaakt worden binnen de verwachte cyclusduur. De restrictie die daarbij wordt opgelegd, is een servicerestrictie die ervoor zorgt dat het voorraadtekort binnen een cyclus beperkt blijft tot maximaal een fractie α. Hiermee is het model nu ook volledig, en indien er voor de verwachtingen numerieke benaderingen gebruikt worden kunnen hier ook resultaten mee behaald worden. Het (Q, r) model kan uit ditzelfde model gedestilleerd worden door 𝑇 = 𝜏 te nemen, waardoor er dus in de praktijk alleen een bestelling geplaatst wordt wanneer het voorraadniveau afneemt tot r, of door bederving in één keer tot 0 (en daarmee dus ook onder r).

4.3) Onderzoeksresultaten

Zoals te verwachten is, presteert het (Q, r, T) beleid overal minstens even goed of beter dan het (Q,r) beleid. Vooral wanneer de levensduur van de producten klein is, en de servicerestrictie streng is, zijn de prestaties van het (Q, r, T) model beter. Nog sterker wordt het effect voor producten waarbij ook de bederfkosten hoog zijn, zoals chemicaliën waarbij het relatief duur is om ze weer af te breken. Daarbij loopt het kostenverschil wel op tot meer dan 40%. Bij producten met een lage vraag en een hoge servicerestrictie is er tot slot ook een kostenbesparing van maar liefst 12%.

Al met al laat het model niet echt hele verassende resultaten zien, en blijken de resultaten over het algemeen goed met de intuïtie overeen te komen. Dit is echter ook als iets positief te beschouwen, want het model lijkt daarmee wel de werkelijkheid goed te benaderen.

22

5) Conclusie/Samenvatting Deel I

In deel I van het verslag is er bekeken hoeveel maaltijden er het best vooraf besteld kunnen worden voor een vliegtuig met een capaciteit van 200 passagiers. Hierbij werd er aangenomen dat het mogelijk was om maar 1 bestelling vooraf te plaatsen, met daarnaast een nabestelling indien er op de dag van vertrek zelf een tekort zou zijn. Het probleem is eerst mathematisch opgelost als een speciale vorm van het newsvendor problem, waarbij er extra rekening gehouden werd met setupkosten van een eventuele nabestelling en de maximale capaciteit van het vliegtuig. Het

ontwikkelde model blijkt vrijwel exact dezelfde resultaten te geven als het Monte Carlo gesimuleerde probleem, en is dus erg goed bruikbaar in plaats van simulatie.

Het wiskundige model en de Monte Carlo simulatie zijn beide toegepast op een situatie waarbij 3 maanden van tevoren een bestelling wordt geplaatst, en een situatie waarbij 2 weken van tevoren de bestelling wordt geplaatst. Bij beide situaties werd er gebruik gemaakt van de aanname dat de vraag op het moment van bestellen normaal verdeeld zou zijn, wat het mogelijk maakt om het

mathematische model eenvoudiger op te stellen en zo een eerste indruk te krijgen van de te behalen resultaten. De situatie 3 maanden van tevoren maakt gebruik van één vaste normale verdeling, terwijl aangenomen werd dat 2 weken van tevoren de vraag de vorm aan zou nemen van 1 van 6 specifiekere veronderstelde normale verdelingen. Hierdoor blijkt het mogelijk te zijn om 2 weken van tevoren een gemiddeld efficiëntere bestelling te plaatsen waarbij de overschotten en tekorten aan maaltijden gemiddeld kleiner zijn. Doordat het echter duurder is om later een bestelling te plaatsen, is het ongeveer 6% goedkoper om de bestelling 3 maanden van tevoren te plaatsen. Dit heeft echter wel tot gevolg dat er gemiddeld meer verspild wordt en de kosten zelf variabeler zijn ten opzichte van de kosten bij een latere bestelling.

Naast het analyseren van de specifiekere normale verdeling 2 weken van tevoren, is er ook nog gewerkt met de gegevens van de 6 normale verdelingen van 2 weken van tevoren om zo een bestelling 3 maanden van tevoren te plaatsen. Hierbij blijkt uit simulatieresultaten dat dit ongeveer dezelfde gemiddelde kosten tot gevolg heeft als met het werken van één normale verdeling 3 maanden van tevoren. Dit komt doordat er onder de aanname van 6 verschillende normale verdelingen bijna een kwart minder passagiers met de vliegtuigen mee zouden gaan, terwijl het tegelijkertijd onder deze nieuwe aanname lastiger is om in te schatten hoeveel passagiers er uiteindelijk meegaan. Het eerste leidt vanzelfsprekend tot lagere kosten, terwijl de grotere onduidelijkheid van de hoeveelheid passagiers weer leidt tot hogere kosten. Daardoor is het uiteindelijk ook zo dat de kosten onder deze aanname een stuk variabeler zijn.

23 Tot slot zijn er ook nog simulaties uitgevoerd voor de situatie waarbij de vraag 3 maanden van tevoren verdeeld is volgens een kansboom. De resultaten hiervan waren dat de gemiddelde kosten tussenin de gemiddelde kosten van de ander bestudeerde situaties liggen. Daarbij waren de kosten zelf relatief erg variabel doordat de kansboom zelf dit ook is. Dezelfde kansboomverdeling voor de vraag komt ook weer terug in het volgende deel van het verslag, waarbij dan ook gebruik wordt gemaakt van meerdere bestelmomenten.

Als verdieping is ook nog een verslag besproken waarin een model wordt ontwikkeld voor producten die langer houdbaar zijn dan 1 bestelcyclus. In het geval van de vliegtuigmaaltijden werd eerder namelijk aangenomen dat deze weggegooid zouden worden indien er voor een vliegtuig te veel besteld werd. In werkelijkheid zou er ook nog gedacht kunnen worden aan een beleid waarbij overgebleven maaltijden gebruikt worden voor andere vluchten. Bij een dergelijk beleid zou er dan ook ruim van tevoren groter ingekocht kunnen worden om zo aan de vraag te voldoen van de verschillende vluchten. Dit zou mogelijk grote besparingen met zich mee kunnen brengen doordat er minder vaak een parlevinker nodig is, er minder verspild wordt, en tot slot de kosten per maaltijd bij vroeg inkopen ook substantieel lager zijn.

24

Deel II

6) Sequentiële beslissingsprobleem

6.1) Markov beslissingsproces (MDP)

In de situatie met meerdere mogelijke bestelmomenten wordt de vraag naar stoelen gemodelleerd als een Markovketen en wordt gebruik gemaakt van stochastisch dynamisch programmeren om tot een optimaal bestelbeleid te komen.

Dit sequentiële beslissingsprobleem kan worden beschreven als een Markov Beslissingsproces. In een Markov beslissingsproces kan de beslisser in elk op elkaar volgende tijdstippen een actie kiezen. Op ieder tijdstip bevindt het proces zich in een bepaalde toestand S en aan de hand van de gekozen actie en bijbehorende transitiekansen kan het proces in het daaropvolgende tijdstip overgaan in een nieuwe toestand of in dezelfde toestand blijven. De verandering van toestand heeft dus een deterministische en een stochastische component. In een Markov beslissingsproces hangt de set van acties die gekozen kunnen worden, de beloning/kosten bij de gekozen actie en de transitiekansen alleen af van het huidige tijdstip en de toestand waar het proces zich in bevindt. De geschiedenis van het probleem heeft geen effect op de huidige beslissing.

In deze scriptie wordt gebruik gemaakt van een discrete tijds Markov beslissingsproces aangezien gewerkt wordt met een eindig aantal bestelmomenten. De set van bestelmomenten bestaat uit T={N,N-1,…,0}. Hierbij is punt 0 het moment van vertrek. Bij het Markov beslissingsproces met een eindige horizon zijn de ‘terminal’ kosten uit het eindstadium (t=0) van invloed op de beslissing in de stadia hiervoor.

Wanneer we zouden kijken naar het probleem met maar één periode, dan bevindt het proces zich ergens in de toestand ruimte S1 en moet de beslisser één keer een actie kiezen. Afhankelijk van de

huidige toestand S1 en de gekozen actie a1 zal het proces in de toestand S0 eindigen met kans

P(S0 | S1, a1) en gelijk na de gekozen actie zijn hier directe kosten aan verbonden. Een waarde V0

wordt geassocieerd met het bezetten van een bepaalde toestand in het eindstadium. Deze ‘terminal’ kosten zijn te berekenen aangezien beslissingen in voorgaande stadia geen effect hebben op deze kosten. Het gaat hier alleen om de kosten die gemaakt zouden worden wanneer men zich in toestand S0 bevindt. Bij het vliegtuigcatering bestelprobleem zijn dit de kosten van het mogelijke

tekort aan maaltijden dat moet worden opgevangen door een parlevinker op het laatste moment. De verwachte kosten E(V0) zijn afhankelijk van de genomen actie, de transitiekansen en de ‘terminal’

25 die, opgeteld, deze directe kosten en de verwachte daaropvolgende kosten minimaliseert. De waardefunctie V1 is de som van de directe kosten en E(V0), en levert een waarde voor het bezetten

van een bepaalde toestand en het kiezen van een specifieke actie. In het geval met maar één periode zijn we alleen op zoek naar de enkele beste actie die genomen kan worden.

Het probleem met twee periodes wordt al meer complex. De beslisser neemt nu een actie op tijdstip t=2 en als gevolg van deze actie bevindt het proces zich ergens in toestand ruimte S1 met kans

P(S1|S2, a2) en hangen hier weer directe kosten aan vast. Om de optimale oplossing te vinden, wordt

eerst het probleem met één periode opgelost. Maar we zijn nu niet opzoek naar één enkele beste actie maar naar een vector van alle mogelijke beste acties bij de set van toestanden S1. De

bijhorende directe kosten en de verwachte kosten uit het eindstadium die gepaard gaan met deze acties worden vervolgens opgeslagen in de waardefunctie V1. Nu kiest de beslisser op tijdstip t=2, de

actie die opgeteld de directe kosten en de verwachten kosten E(V1) minimaliseert. De beslisser zoekt

dus naar een set van achtereenvolgende beslissingen die de totale kosten over de gehele tijdshorizon minimaliseert.

Voor het probleem met N periodes neemt de beslisser een actie op tijdstip t=N en als gevolg van deze actie bevindt het proces zich in toestand SN-1 met kans P(SN-1|SN, aN) en gelijk na de beslissing

zijn hier weer directe kosten aan verbonden. De optimale beslissing bestaat nu uit het kiezen van de actie aN die opgeteld de directe kosten en de verwachte kosten van alle acties in de overgebleven

periodes minimaliseert. Dit probleem kan opgelost worden doormiddel van terugwaartse inductie. Eerst wordt het probleem met 1 periode opgelost, vervolgens met 2 periodes tot en met het probleem met N periodes. Een meer uitgebreide formulering van het Markov beslissingsproces kan worden gevonden in het boek van Putterman (2014).

6.2) Theoretisch kader sequentiële beslissingsprobleem

Een probleem formuleren als een Markov Beslissingsproces en dit vervolgens met stochastisch dynamisch programmeren numeriek oplossen wordt vaak in de operationele research toegepast. Deze techniek wordt bijvoorbeeld ingezet bij problemen met een dynamische prijzenzetting waarbij de winst moet worden gemaximaliseerd. ‘Revenue management’ in de luchtvaartindustrie is hier een goed voorbeeld van.

Zo hebben bijvoorbeeld Zhang en Cooper (2009) een prijsmodel ontwikkeld aan de hand van een MDP-formulering voor substitueerbare vluchten waar de consument uit alle beschikbare vluchten kan kiezen. Omdat de toestand- en actieruimte n-dimensionaal zijn in dit probleem, wordt het vinden van een numerieke oplossing al snel overweldigend. Om het MDP-model toch oplosbaar te maken

26 zijn er heuristieken op basis van ‘pooling’ ontwikkeld en hebben ze makkelijk te berekenen grenzen opgesteld voor de waardefunctie van het model. Het prijsbeleid voor de stoelen van substitueerbare vluchten dat wordt gevonden met behulp van deze heuristieken en grenzen wordt vervolgens getest voor numeriek oplosbare gevallen om te kijken of ze dicht bij de optimale oplossing komen. Hieruit kwam naar voren dat de pooling heuristieken het alleen goed deden bij symmetrische problemen waar de consument zijn keuze tussen verschillende vluchten alleen baseert op de prijs en waar elk vliegtuig dezelfde capaciteit heeft. De benaderingen die voortkwamen uit het gebruik van grenzen hebben geen last van dergelijke tekortkomingen en blijven implementeerbaar voor grote problemen. In deze scriptie wordt het vluchtcatering bestelprobleem behandeld. In een vergelijkbaar onderzoek, heeft Goto et al. (2004) een catering bestelbeleid gebaseerd op een Markov beslissingsproces opgesteld voor de Canadese luchtvaartmaatschappijen. In dit onderzoek is de maaltijdcatering verdeeld in twee stadia, de productiefase en de aanpassingsfase. In de productiefase bevinden de maaltijden zich nog in de keuken en kan zonder extra kosten een verandering in de bestelling worden aangebracht. In de aanpassingsfase zijn de maaltijden al naar het vliegtuig gebracht. Wanneer in deze fase de bestelling aangepast moet worden, wordt per maaltijd een sanctie plus vaste leveringskosten berekend.

Het opgestelde MDP-model door Goto et al. (2004) is erg vergelijkbaar met het model dat in deze scriptie is opgesteld. Het model verschilt op twee punten. De actieruimte van de aanpassingsfase bij Goto et al. (2004) is gelijk aan 𝐴𝑆,𝑡= {max(𝑞 − 𝑉, 0) , … , min (𝑞 + 𝑉, 𝑀)} waar V staat voor de

capaciteit van het busje dat de maaltijden brengt. Deze is anders aangezien er in het model van Goto et al. (2004) ook de mogelijkheid is om maaltijden te verminderen in de bestelling. Verder is de kostenfunctie anders gedefinieerd in dit model omdat een vliegtuig ook met een tekort aan maaltijden kan vertrekken.

Het model is toegepast op 40 vluchten en maakt gebruikt van 5 tijdstippen waarop besteld kan worden. Voor het bepalen van de transitiekansen is in eerste instantie gebruik gemaakt van het ‘maximum likelihood’ principe. Er wordt geschat wat de waarschijnlijkheid is om van de ene toestand naar de andere toestand te gaan aan de hand van de gevonden frequenties uit de data. Echter, er zijn hier een heel groot aantal observaties nodig en in de praktijk geeft dit ook veel nul uitkomsten aangezien veel toestandsparen nooit worden geconstateerd in de data. Om de lege cellen in de overgangsmatrix op te vullen en een meer gelijke verdeling te krijgen, is een verdeling van de verschillen in verkochte stoelen tussen op elkaar volgende periodes geconstrueerd. Vervolgens is per periode een normale verdeling opgesteld die het best past bij de gevonden verdeling van de

27 verschillen. Ten slotte werd de transitiematrix opgesteld met behulp van een gewogen combinatie tussen de normaal verdeelde overgangskansen en de empirisch gevonden kansdichtheidsfunctie. Het MDP-model is vervolgens gebruikt om een bestelbeleid te ontwikkelen dat de kosten minimaliseert, maar ook om te onderzoeken of een beleid ontwikkeld kan worden om de hoeveelheid overschot en tekorten aan maaltijden te reduceren. Verder kan het model worden gebruikt om de kosten te berekenen als van tevoren een bepaald serviceniveau wordt vastgesteld door de vliegtuigmaatschappij.

Het toepassen van het verkregen optimale bestelbeleid in de praktijk levert een kostenbesparing van 17%, 1% en -14% voor vluchten van lange, middellange en korte duur. Verder is door middel van het evalueren van het model over verschillende kosten en sancties voor het hebben van een overschot of een tekort een afwegingscurve opgesteld. Als laatst zijn twee servicelevels geëvalueerd in termen van bijkomende kosten. (i) geen vlucht mag meer dan 5 maaltijden tekort hebben en (ii) geen vlucht mag een tekort hebben. De maandelijkse extra kosten in verband met het bereiken van dit serviceniveau zijn ongeveer voor (i) gelijk aan 5.400 dollar en voor (ii) 43.300 dollar per maand. Het onderzoek dat in deze scriptie is uitgevoerd, is gebaseerd op de gegevens die verstrekt zijn door KLM. Er zijn geen gegevens verstrekt over hoe het huidige bestelbeleid er uitziet en wat de kosten hiervan zijn. Wij vergelijken onze bevindingen dan ook alleen met elkaar om zo het verschil bloot te leggen tussen verschillende bestelbeslissingsstrategieën gebaseerd op het aantal bestelmomenten.

6.3) Analyse van het bestelprobleem met meerdere mogelijke bestelmomenten

In dit hoofdstuk wordt het vluchtcatering bestelprobleem met meerdere mogelijke bestelmomenten analytisch bekeken voor een vliegtuig met 200 stoelen. Alle maaltijden kunnen nog steeds, net als bij de newsvendor benadering, ruim van tevoren goedkoop worden ingekocht. Echter is er nu ook de optie om voor een aanzienlijk hogere prijs, twee weken alsmede één dag voor de vlucht maaltijden in te kopen. Hoewel de prijs per maaltijd hoger wordt op deze latere beslismomenten, is wel al meer bekend over het aantal passagiers dat op het moment van vertrek in het vliegtuig zit. Hierdoor kan beter worden ingespeeld op de variantie van het aantal benodigde maaltijden waardoor het percentage vluchten met een tekort of overschot aan maaltijden aan boord op het moment van vertrek aanzienlijk lager zal zijn. In tabel 1 uit het hoofdstuk ‘notatie en gegevens’ zijn de variabele en vaste kosten per bestelmoment af te lezen. Door de vaste kosten van de parlevinker op t=0 en de hoge variabele kosten is het hebben van een tekort aan maaltijden aanzienlijk duurder dan het hebben van een overschot aan maaltijden op het moment van vertrek. Er zal dan ook blijken dat met

28 het gebruik van meerdere bestelmomenten een bestelstrategie kan worden opgesteld met lagere kosten dan wanneer alleen ruim voor de vlucht maaltijden ingekocht kunnen worden.

Om inzicht te krijgen in dit sequentiële beslissingsprobleem, wordt in dit hoofdstuk slechts gewerkt met 3 bestelmomenten. Er wordt gebruik gemaakt van een simpele discrete kansverdeling voor het aantal verkochte stoelen verschillend per tijdsperiode en maaltijden kunnen alleen worden ingekocht in van tevoren vastgestelde aantallen. De kansverdeling voor het verwachte aantal verkochte stoelen per periode is hieronder nog een keer gegeven. In alle gevallen is er in het opstellen van de kansen al rekening gehouden met mogelijke annuleringen.

Aangenomen wordt dat op 1 dag voor vertrek alleen 5 of 10 maaltijden besteld kunnen worden, 2 weken voorafgaand aan de vlucht dit per 20 of 40 maaltijden kan en 3 maanden voorafgaand aan de vlucht alleen in twintigtallen.

Om het bestelprobleem beter in beeld te brengen, wordt begonnen met het schetsen van het probleem als een beslisboom. In een beslisboom worden beslisknopen weergegeven als vierkanten, takken die vanuit een beslisknoop vertrekken geven alternatieve keuze-opties weer. Kansknopen worden weergegeven als cirkels, takken vanuit een kansknoop geven alternatieven gebeurtenissen weer die met een bepaalde kans kunnen voorkomen. Eindknopen zijn driehoekjes, deze bevatten een getalswaarde waar het besliscriterium van af zal hangen. Hier zullen alle eindknopen de kosten bevatten van het mogelijk inzetten van een parlevinker en de kosten van het aantal maaltijden dat tekort is bij het vertrek. Een beslisboom kan goed inzicht verschaffen van hoe het Markov beslissingsproces eruit zal komen te zien. Een beslisboom wordt ook opgelost doormiddel van

29 terugwaartse inductie, de voorgaande beslissingen hebben geen effect op de huidige beslissing. En vanuit elke kansknoop wordt door gerekend met de verwachte kosten.

Bij het construeren van de beslisboom wordt snel duidelijk dat deze heel groot wordt. In Appendix C is de bovenste tak van af het tweede bestelmoment te zien. Vervolgens worden er in Appendices D en E beide één kansknoop van deze tak uitgelicht. Er is gelijk duidelijk dat er een structuur zit in de waardes van de eindknopen en het gekozen aantal maaltijden dat besteld wordt in het laatste bestelmoment. Omdat het vliegtuig een maximumcapaciteit heeft en er geen rekening wordt gehouden met overboeking, is deze structuur onderin de beslisboom anders. In Appendix F zijn de onderste 5 takken van af het tweede bestelmoment te zien.

Er zijn verschillende inzichten gevonden na het construeren van de beslisboom:  De toestandsruimte waar het bestelprobleem zich in kan bevinden is 2-dimensionaal

(q, x), deze bestaat uit het aantal bestelde maaltijden voorafgaand aan beslissingstijdstip t en uit het totaal aantal stoelen dat verkocht is.

 De waardes van de eindknopen en het bestelde aantal maaltijden één dag voor vertrek hebben een herhalende structuur. Doormiddel van het analyseren van deze structuur kwam naar voren dat wanneer x groter is dan q er 10 maaltijden bijbesteld moeten worden, wanneer x en q even groot zijn 5 maaltijden moeten worden bijbesteld en wanneer x kleiner is dan q moeten er geen maaltijden worden bijbesteld één dag voor vertrek. Uit Appendix F kwam naar voren dat voor x=200 werd afgeweken van dit verband, aangezien er niet meer dan 200 maaltijden besteld kunnen worden. De onderstaande formule is opgesteld om de waardefunctie V1 te bereken. Door gelijk V1 uit te rekenen

is de toestandsruimte nog maar 11 x 11 groot.

𝑉1= {

2360 + (𝑥 − 𝑞)500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 > 𝑞) 500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 = 𝑞)

0 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 < 𝑞) ∨ 𝑞 = 200



Het aantal verkochte stoelen kan niet de maximale capaciteit van het vliegtuig overschrijden aangezien er geen rekening wordt gehouden met overboeking. Voor de grenstoestanden wordt daarom een cumulatieve verdelinggebruikt van de kansen die de capaciteit zouden overschrijden.

Met behulp van deze gevonden inzichten kan in de komende hoofdstukken een MDP-Model worden opgesteld en met behulp van stochastisch dynamisch programmeren een optimaal bestelbeleid numeriek worden bepaald.

30

6.4) Model formulering

Het vliegtuigcatering bestelprobleem met meerdere bestelmomenten is het best te modeleren als een MDP-model met een eindige tijdshorizon. Voor de formulering van dit model zijn de toestandsruimte, de beslissingstijdstippen, de set van acties, de kostenfunctie en de transitiekansen van belang.

Toestandsruimte

𝑆𝑡 = {0,1, … , 𝐶} × {0,1, … , 𝐶}

De toestandsruimte bestaat uit elk mogelijk paar van het aantal bestelde maaltijden en het aantal verkochte stoelen (qt ,xt). De waardes kunnen variëren van nul tot aan de capaciteit van het vliegtuig,

er wordt geen rekening gehouden met overboeking. Beslissingstijdstippen

𝑇 = {0,1, … , 𝑁}

Waar tijdstip 𝑡 ∈ 𝑇 staat voor de resterende tijd tot het einde van de planningshorizon, het laatste

moment dat er maaltijden kunnen worden bijbesteld. De beslissingstijdstippen hoeven niet even ver

uit elkaar te liggen. Het moment t=0 staat gelijk aan het vertrek van het vliegtuig, op dit tijdstip kan er geen bestelling meer gedaan worden.

Set van acties

𝑡 = 𝑁 − 1, … ,1

𝑎 = 𝑥𝑡−1∈ 𝐴𝑠,𝑡= {𝑞𝑡, … , min (𝑞𝑡+ 𝐵𝑡 , 𝐶)}

𝑡 = 𝑁

𝑎 ∈ 𝐴𝑡 = {0, … , 𝐶}

Op elk beslissingstijdstip kiest de beslisser hoeveel maaltijden hij in het totaal besteld wilt hebben voor het volgende beslissingstijdstip. De set van mogelijke acties die gedaan kan worden is afhankelijk van de huidige toestand St en het tijdstip t. Als bijvoorbeeld het huidige aantal bestelde

maaltijden al gelijk is aan de capaciteit C, kan er vanuit deze toestand niets meer worden bijbesteld en is de enige mogelijk actie om op C aantal bestelde maaltijden te blijven. De set van acties is afhankelijk van het tijdstip aangezien er op ieder beslissingstijdstip in verschillende partijen maaltijden ingekocht kunnen worden en het verschilt per beslissingstijdstip wat het maximale aantal maaltijden (Bt) is dat ingekocht kan worden.

31 Kostenfunctie

𝑘𝑡(𝑆𝑡 , 𝑎) = variabele kosten per maaltijdt + parlevinker kostent

De kostenfunctie geeft aan wat de directe kosten zijn van een genomen actie afhankelijk van de toestand en het tijdstip. De kostenfunctie bestaat uit variabele kosten afhankelijk van het tijdstip en het aantal maaltijden dat besteld wordt, alsmede uit de vaste kosten voor het inzetten van een parlevinker wanneer op de dag van de vlucht nog maaltijden bijbesteld worden.

Transitiekansen

Bij de transitiekansen moet er rekening worden gehouden dat de beslissingstijdstippen teruglopen

naarmate de tijd vordert, en dat beslissingstijdstip t-1 optreedt na beslissingstijdstip t. De

transitiekansen p((qt-1 , xt-1 )| (qt , xt),a) geven de kans weer dat het proces zich in toestand (qt-1 ,xt-1)

op beslissingstijdstip t-1 bevindt, gegeven dat het proces op beslissingstijdstip t in toestand (qt , xt)

zat, en de beslisser actie a neemt. Hierbij is de verandering van qt naar qt-1 deterministisch

afhankelijk van de genomen actie a. Het enige stochastische element in de transitiekansen is de verandering van xt naar xt-1, dit valt volledig buiten de controle van de beslisser. De transitiekansen

worden samengevoegd in een overgangsmatrix, dit is een vierkante matrix met het aantal mogelijke toestanden als dimensie.

Het MDP-model moet een bestelbeleid opleveren dat de directe kosten en de verwachte kosten van alle acties in de overgebleven beslissingstijdstippen minimaliseert. Dit bestelbeleid π= (dN,dN-1,…,d1)

vertelt op ieder beslissingstijdstip t gegeven de toestand S hoeveel maaltijden mogelijk bijbesteld moeten worden. Voor een bestelbeleid π wordt de verwachte totale kosten gevonden door.

𝑣𝑁π(𝑞𝑁, 𝑥𝑁) = 𝐸 {∑ 𝑘𝑡(𝑆𝑡, 𝑑𝑡(𝑠𝑡)) + 𝑘0(𝑆0) 𝑁

𝑡=1

}

Het optimale bestelbeleid wordt gevonden door de volgende recurrente formule op te lossen. 𝑡 = 0 𝑉0(𝑞𝑜, 𝑥0) = 𝑘(𝑆0) fff 𝑡 = 𝑁, … ,1 𝑉𝑡(𝑞𝑡, 𝑥𝑡) = min 𝑎∈𝐴_𝑠,𝑡{ 𝑘𝑡(𝑆𝑡, 𝑎) + ∑ 𝑃((𝑞𝑡−1 , 𝑥𝑡−1)|(𝑞𝑡 , 𝑥𝑡), 𝑎) × 𝑉𝑡−1(𝑞𝑡−1, 𝑥𝑡−1) 𝑥_𝑡−1∈[𝑥_𝑡,..,𝐶] } , (𝑞𝑡, 𝑥𝑡) ∈ 𝑆.

32

6.5) Toepassing model

Het aantal operaties dat wordt verricht in het model stijgt polynomiaal met de vliegtuigcapaciteit. De toestandsruimte bestaat uit elk mogelijke paar van het aantal bestelde maaltijden en het aantal verkochte stoelen. Wanneer de capaciteit van het vliegtuig groter wordt, zal de toestandsruimte kwadratisch toenemen en het aantal acties dat geëvalueerd moet worden stijgt lineair. Zonder restricties zouden er dan bij een vliegtuig met een capaciteit van 200 stoelen zo’n 8120601 evaluaties plaats moeten vinden.

In de gegevens die door KLM zijn verschaft, zijn beide dimensies van de toestandsruimte verkleind. Het aantal maaltijden kan alleen worden ingekocht in partijen en er wordt een kansverdeling voor het aantal verkochte stoelen gehanteerd die het aantal verkochte stoelen weergeeft per twintigtallen.

Wanneer nu de gegevens die voor ons verstrekt zijn door de KLM met behulp van de gevonden inzichten uit de eerdere analyse worden geïmplementeerd in het opgestelde MDP-model gaat dit er als volgt uit zien:

Toestandsruimte 𝑆1= {0,20, … ,200} × {0,20, … ,200} 𝑆2= {0,20, … ,200} × {0,40, … ,200} 𝑆3= {0,20, … ,200} × {0} Beslissingstijdstippen 𝑡 = {1, … ,3}

Beslissingstijdstip t=0 is weggelaten aangezien met de analyse van de beslisboom een formule gevonden was waarmee direct de waardefunctie V1 uitgerekend kan worden. Dit zorgt ervoor dat de

toestandsruimte met een factor van bijna 4 wordt verkleind. Set van acties

𝑎 ∈ 𝐴𝑠,2 = {𝑞𝑡, min (𝑞𝑡+ 20 , 𝐶), min (𝑞𝑡+ 40 , 𝐶)}

𝑎 ∈ 𝐴3= {0,20, … ,200}

fff

Per periode wordt een overgangsmatrix geconstrueerd aan de hand van de transitiekansen

33

𝑉

₁

= {

2360 + (𝑥 − 𝑞)500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 > 𝑞)

500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 = 𝑞)

0 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 < 𝑞) ∨ 𝑞 = 200

Het optimale bestelbeleid wordt hierna gevonden door de vergelijking 𝑉𝑡(𝑞𝑡, 𝑥𝑡) met behulp van

stochastisch dynamisch programmeren in Excel iteratief op te lossen voor t=2 en t=3 (zie appendix G en H).

6.6) Resultaten

In dit hoofdstuk zijn de gegevens en versimpelde aannames gebruikt die door de KLM aan ons zijn verstrekt. We hebben met behulp van stochastisch dynamisch programmeren in Excel het MDP-model met deze gegevens numeriek opgelost. Vervolgens wordt er met behulp van Monte Carlo simulaties het gevonden optimale bestelbeleid getest op verschillende interessante prestatie indicatoren.

Eerst kijken we naar de situatie zoals in het vorige hoofdstuk is beschreven met een toestandsruimte van 11 x 11 en een zeer gelimiteerd aantal toegestane acties. Hierna wordt aangenomen dat in het eerste moment ook in tientallen besteld kan worden, de toestandsruimte zal hierdoor toenemen tot 21 x 11. Vervolgens wordt een extra bestelmoment, één week voor vertrek toegevoegd, waardoor het proces één extra iteratie zal doorlopen.

Deze verschillende bestelbeslissingsstrategieën worden gemeten aan de hand van de volgende prestatie indicatoren:

 De verwachte kosten van de optimale strategie en alternatieve strategieën  Het percentage van vluchten met overschotten en tekorten

 De gemiddelde hoeveelheden overschotten en tekorten voor vluchten waar er overschotten of tekorten zijn

fff

De eerste situatie is alleen behandeld om inzicht te verschaffen in het model. Het mag duidelijk zijn dat wanneer er in kleinere partijen ingekocht kan worden terwijl verder alle voorwaarden gelijk blijven, dit altijd tot een even goed of beter bestelbeleid zal leiden. Daarom zijn voor deze situatie zonder verdere toelichting op de bestelstrategie alleen een deel van de prestatie indicatoren gegeven ter vergelijking in tabel 12.

34 In de tweede situatie is alles gelijk aan de situatie die hiervoor behandeld is, alleen wordt nu gesteld dat er 3 maanden voor vertrek in plaats van in partijen van twintig ook in partijen van tien maaltijden kan worden ingekocht. Weer is met behulp van een beslisboom een formule gevonden waarmee de waardefunctie V1 geconstrueerd kan worden zodat de toestandsruimte beperkt blijft.

Het optimale bestelbeleid is vervolgens numeriek berekend met het doen van twee iteraties.

𝑉

₁

=

{

2360 + (𝑥 − 𝑞)500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 > (𝑞 + 10))

1350 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 = (𝑞 + 10))

500 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 = 𝑞)

0 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 < 𝑞) ∨ 𝑞 = 200

In het optimale bestelbeleid wordt op beslissingstijdstip 3 voor 150 stoelen aan maaltijden ingekocht. Vervolgens is het stochastisch bepaald in welke toestand de beslisser zich bevindt in het daaropvolgende tijdstip. Voor het maken van een beslissing op tijdstippen 2 en 1 zijn tabellen opgesteld waarin kan worden afgelezen wat het optimaal aantal te bestellen maaltijden is per toestand.

Twee weken voor vertrek.

ffff

35 Wanneer de beslisser één dag voor vertrek al een totaal van 170 maaltijden heeft besteld in de beslissingstijdstippen hiervoor, en hij weet dat er nu 180 stoelen verkocht zijn, dan kan uit de tabel worden afgelezen dat zijn optimale beslissing is om 10 extra maaltijden te kopen. Bij het bestuderen van deze tabellen is het direct duidelijk dat er een patroon aanwezig is tot dat q dicht bij de capaciteit komt. Uit dit patroon zijn de volgende formules gedestilleerd waarmee de beslisser het optimale bestelbeleid kan hanteren:

𝑂𝑟𝑑𝑒𝑟1= { 10 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 > 𝑞) 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑞 ≤ 190 5 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 = 𝑞) 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑞 ≤ 190 0 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 < 𝑞) ∨ 𝑞 = 200 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑟2 = { 40 , 𝑎𝑙𝑠((𝑥 + 10) ≥ 𝑞) 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑞 ≤ 160 20 , 𝑎𝑙𝑠((𝑥 + 20) ≥ 𝑞 ≥ (𝑥 + 30)) 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑞 ≤ 180 20 , 𝑎𝑙𝑠(𝑥 ≥ 𝑞) 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑞 = 170,180 0 , 𝑎𝑙𝑠((𝑥 + 40) ≤ 𝑞) ∨ 𝑞 = 190,200 fff

De verwachte kosten van het optimale bestelbeleid zijn dikgedrukt in tabel 12. Daarnaast worden in deze tabel ook de verwachte kosten van alternatieve strategieën weergegeven. Mocht KLM een beleid willen hanteren waarbij minder maaltijden worden weggegooid of juist een beleid waarin minder gebruik wordt gemaakt van de parlevinker, dan kan ze gelijk aflezen wat de extra verwachte kosten per vliegtuig hiervoor zouden zijn.

Totaal aantal gekochte maaltijden op t3

140 150 160

Verwachte kosten 4545,4 4484,8 4506,6

Als laatst wordt gekeken naar de verdeling van het aantal vluchten met overschot en tekorten. Dit is een belangrijke prestatie indicator voor het gevonden bestelbeleid aangezien dit grotendeels kan aantonen waarom de kosten bij het ene bestelbeleid hoger liggen dan bij een ander. Het catering proces is een miljoen keer gesimuleerd onder het optimale bestelbeleid. Vervolgens is met het verschil tussen het aantal verkochte stoelen en ingekochte maaltijden de onderstaande grafiek opgesteld. In deze grafiek is de verdeling te zien van het aantal maaltijden dat voor het inzetten van de parlevinker te veel of te weinig aanwezig is in het vliegtuig. Vervolgens wordt in tabel 13 het

36 percentage van de miljoen gesimuleerde vluchten dat met een overschot of tekort aan maaltijden kampt weergegeven. In de laatste kolom van tabel 13 staan de gemiddelden van het aantal overschot/tekort aan maaltijden, indien er een overschot of tekort is. Onder het optimale bestelbeleid zijn ongeveer 8 keer zo veel overschotten als tekorten, en deze overschotten zijn ook nog eens gemiddeld ongeveer 6 keer zo groot. Een tekort aan maaltijden is een stuk duurder voor de KLM dan het hebben van een overschot aan maaltijden.

Figuur 8: Tekort/overschot 3 bestelmomenten

Percentages Gemiddeld tekort/overschot

aan maaltijden

Tekort 10,7 7,0

Overschot 81,5 42,6

Precies goed 7,8 0

Tabel 13: Tekort/overschot 3 bestelmomenten

Nu wordt de situatie met 4 bestelmomenten geanalyseerd om te kijken of de KLM nog een betere bestelstrategie kan vinden wanneer het aantal mogelijke bestelmomenten wordt vergroot. In deze nieuwe situatie kan er ook één week voor vertrek nog maaltijden bijgekocht worden. De tijdstipparameter t wordt nu gebruikt met t=1 voor 1 dag, t=2 voor 1 week, t=3 voor 2 weken en t=4 voor 3 maanden voor vertrek.