V4: vaardigheden 4

Vaardigheden 4.

Vergelijkingen 1. a. 5p 7 2p11 b. 7t 6 3t c. 4v v 17 3 18 6 p p   1 2 4 6 1 t t     2 5 5 17 3 v v     d. 3x  2 2x7 e. 3(2p4) 5 p3 f. 2(d4) 3(2 d) 4 5 5 9 1 x x   6 912 5 3 p p p     52 8 6 32 d d d      2 5 d   g. 11s  7 (13 9 ) s h. p0,2 0,3( p4) i. 1 1 2k 7 4k2 3 10 11 6 9 20 6 s s s s       0,2 0,3 1,2 0,7 1,4 2 p p p p        1 4 9 36 k k   2.

a. Dan heb je geen breuken meer in de vergelijking.

b. 1 1 1 1 2m 4 14m32 2 1 5 14 3 15 5 m m m m        3. a. 1 2 3x  4 x 13 b. 51w 157 31w1 c. 212x  17x457 1 2 12 3 5 2 17 8 x x x x      3 7 5 15 2 22 11 w w w w        35 2 66 33 66 2 x x x x     d. 4 1 5 5 2g6   (g1) e. 1 1 2 2h16  5h f. 31(x7) 34(2x) 10 34 1 11 33 3 g g g g         2 3 15 35 12 3 35 11 h h h h     4( 7) 9(2 ) 4 28 18 9 5 46 x x x x x         1 5 9 x   4.

a. Als p7 dan is de noemer gelijk aan 0 en je mag niet delen door 0.

b. 5p 4 3(p7) c. 3k 2 5(k4) 1 2 5 4 3 21 2 25 12 p p p p        3 2 5 20 2 22 11 k k k k        5. a. n 32 17 n  _ b. 7 1 4 5 3 p p  _  c. 1 6 3 2 y   y  32 17 16 32 2 n n n n     7 1 20 12 19 19 1 p p p p      1 3 6 2 5 5 1 y y y y     

d. 2 3 2 x x     e. 4 5 2 x x  _{ } f. 3 2 4 3 1 5 w w w w  _{ }  2 3 5 2 5 10 6 10 1 x x x x x x         2 3 4 7 4 7 6 4 x x x x x x  _     2 2 2 1 2 3 4 (3 1)( 5) 3 4 3 14 5 10 5 w w w w w w w w w w           Herleiden 6.

a. links en rechts –q en links en rechts :3 b. q  3p21 1 3 3 21 7 p q p q       7. a. q 2p6 b. q3p17 c. q 1,25p0,25 d. 1 2 2(3 ) 3 q    p  1 2 2 6 3 p q p q     1 2 3 3 3 17 5 p q p q     1,25 0,8 0,20,25 p q p q       6 3 3 q p p q       8.

a. Je moet links en rechts met 12 vermenigvuldigen.

b. 1 1 1 3a4b12 1 3 4 3 18 3 4 18 1 6 a b b a b a         9. a. 1 2a3b6 b. a78b134 c. 35a121b103 0 d. 4a2b7(471a) 12 1 2 1 6 3 6 2 b a b a       1 7 8 7 14 7 8 14 1 2 a b b a b a       2 1 5 5 6 15 3 0 15 6 3 a b b a b a        1 2 4 2 40 2 5 40 2 20 a b a b a b a        10.

a. met p1 vermenigvuldigen haakjes uitwerken 2p aftrekken

q aftrekken p buiten haakjes halen delen door q2

b. 23 41 p p q  _ c. 23 y y x  _ (2 4) 3 1 2 4 3 1 2 3 (2 3) 4 1 4 1 2 3 q p p pq q p pq p p q q q p q               ( 3) 2 3 2 2 ( 2) 3 3 2 x y y xy x y xy y y x x x y x            

11. a. 3 ₁ p q   b. ₃ 2 4 p p q  q c. 4 1 5 12 q p p    3 ( 1) 3 3 1 pq p p q p q       3 2 4 2 6 6 3 2 pq pq pq p q q       1 1 2 2 1 1 2 2 3 5 4 1 7 2 4 7 1 3 q p p p q p q        d. 3 124 3 q p q     3 12 ( 3)( 4) 3 4 12 ( 3) 3 q q p pq p q p q q q p q               Substitueren 12. a. … y uitgedrukt is in t. b. 1 2 4( 1) 2 2 4 2 2 6 y  t   t   t 13. a. t 0 :h2 km en dan is T 15 6,25 2 2,5   oC b. t 4 :h12 en T  60oC c. startgetal is 2,5

d. in 4 uur daalt de temperatuur 62,5o _{richtingscoëfficiënt is} 62,5

4 15,625  _{ } e. T  15,625 t 2,5 f. T 15 6,25(2 2,5 ) 15 12,5 15,625  t    t  15,625t2,5 14. a. 1 7 7( 4) 3 28 3 25 y  t   t   t b. 1 2 2 1 2 2 3(6 1) 2 2 3 2 2 13 y  n    n    n  c. _{y 2( 3 2 q}2 2_{)  7 2(3 2 ) 7 13 4 q}2 _{   q}2 15. a. 1 5 4 1 5 3 1 20 1 15 20 15 8(2 ) 2(2 ) 8 16 2 8 2 4 y  t  t   t   t  t  t b. ( 1)2 2 2 1 2 1 1 1 t t t y t t t t           c. _{y t}4_{ 5 t}4_{  5 5 t}4_{ 5 t}4 _t4_{ t}2 ₅ Wortelvormen 16. a. x 5 0 5 ( 5, 3) x R   

b. Voor x 5 is x 5 0 en dan kun je de wortel trekken.

5 0

17. a. 2x12 0 b. 4x10 0 c. x 6 0 d. 2x 1 0





2 12 6 : 6 , : 0 , f f x x D B    



1 2 1 2 4 10 2 : 2 , : 3 , g g x x D B        





6 : 6 , : 0 , h h x D B     



1 2 1 2 2 1 : , : 5 , j j x x D B       e. _x2_{ 2 0 voor alle waarden van x, dus :}

k D ¡ en B _k : 4_  2 , f. x 2 0 2 : 2 , : 0 , m m x D B    18.

a. 4 aftrekken kwadrateren haakjes uitwerken 7 aftrekken

b. 1 2 6 x y  c. x  y13 2 2 2 6 2 6 (2 ) 4 4 6 y x y x x y x        2 2 1 2 1 1 1 3 3 ( ) 3 x x x x y y y        19. a. x 2 y6 b. x   7 y3 c. x 3 2y5 2 2 6 2 6 ( 2) ( 2) 6 y x y x y x          2 2 3 7 3 ( 7) ( 7) 3 y x y x y x          1 3 2 1 9 2 1 9 2 5 2 5 2 5 y x y x y x       2 1 1 18 22 y  x  d. x 1 y13 e. x  6 3y f. x  37y9 2 2 13 1 13 ( 1) ( 1) 13 y x y x y x          2 2 3 6 3 ( 6) ( 6) 3 y x y x y x          2 2 7 49 49 3 3 9 3 9 3 x x x y y y       20.

a. Voor y 3 is y  3 0 en kun je er de wortel uit trekken. b. Uit de wortel komt een getal dat groter of gelijk is aan 0.

c. x y 3 2 2 3 3 y x y x     d. _{x 2 :y  ( 2)}2_{ 3 7, maar y 7 :x  7 3 2}

Extra oefening Basis.

B-1.

a. De aantallen zijn absoluut. b. B-2. a. De klassenbreedte is 5. b.



48,5 ; 53,5



53,5 ; 58,5



58,5 ; 63,5 c. 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 d. Voer in L1: 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 en L2: 36 78 97 94 61 47 19 19 16 5 1-var Stats L1, L2 g 66,4 kg. e. L3 cumsum L( )2 : 36 114 211 305 366 413 432 451 467 472 f. De mediaan is ongeveer 64,8 kg. g. De mediaan is het steilst op het interval



58,5 ; 63,5 . In deze klasse zitten de meeste waarnemingen.

B-3.

a. 6,4% van 6.090.000: dat is ongeveer 390.000 werklozen

b. het aantal werklozen daalde van 8,5% van 6.400.000 (544.000) in 1995 naar 7,8% van 6.490.000 (506.000) in 1996. Dat is met ongeveer 544000 506000

544000 100 7% .

c. lastig af te lezen: gaat op dezelfde manier als bij a en b. B-4.

a. spreidingsbreedte 36,66 34,98 1,68  seconden

b. mediaan is het gemiddelde van de 10e _{en 11}e _waarneming: 35,28 35,43

2 35,355

 _

c. het eerste kwartiel is het gemiddelde van de 5e _{en 6}e _{waarneming: 35,175}

het derde kwartiel is het gemiddelde van de 15e _{en 16}e _{waarneming: 35,51}

de kwartielafstand: 0,335 d.

e. x35,43 en  0,44

B-5.

a. AB: afnemende stijging BC: toenemende daling CD: afnemende daling

DE: toenemende stijging EF: afnemende stijging FG: toenemende daling b. In de punten B en F is er een maximum.

c. C is een buigpunt: de daling gaat van toenemend over in afnemend (minimale helling) en punt E is ook een buigpunt: de stijging gaat over van toenemend in afnemend. De helling heeft in punt E een maximale waarde.

B-6.

a. Rond een uur of 1 was het aantal bezoekers minimaal.

b. Tussen 3 en 4 uur ’s middags was het aantal bezoekers maximaal.

c. _{tijd 10 11 12 13 14 15 16}

B-7.



0 , 2



(2) (0) 35 2 h h h t  _  _  m/s





(4) (3) 3 , 4 10 1 h h h t  _  _  m/s en



4,5 ; 9



(9) (4,5) 22,5 4,5 h h h t  _  _{ }  m/s B-8. a. b. A: 1 2 B: 1 C: 112 c.





1 2 2 , 2.001 f x   



4 , 4.001



1 f x   



6 , 6.001



112 f x    B-9. 1. 1 2 2 ( ) 2 k x   x  x 2. _{h x( )x}2 _{3. f x( ) 2 x 4. g x( )  x 2}

Extra oefening Gemengd.

G-1.

a. 89,8 mannen van de 1000; dat is ongeveer 9%. b.

c.

d. De piek in 1990 veroorzaakt voor een deel 5 jaar later een piek in een hogere leeftijdscategorie. e. Die leeftijdsklasse is aanmerkelijk groter dan de

andere klassen. In die leeftijdscategorie verhuizen de mannen naar bejaardenhuizen o.i.d.

leeftijd 0-14 15-19 20-24 25-29 30-39 40-49 50-64 65-79

breedt

e 15 5 5 5 10 10 15 15

G-2. a. b. rare vraag. Voer in: L1: 3,30 3,50 3,70 … 4,70 L2: 1 2 8 … 1 1-var Stats L1, L2 3,98 x en  0,28 c. 3 2 2 ( ) *100 ( ) cumsum L L sum L  d. Q13,78 en Q3 4,16 kwartielafstand: 0,38 e. G-3.

a. het gemiddelde van beide rijen is 16.

b. Voer in: L1: 15 16 17 L2: 3 1 3 1-var stats L1, L2: _A 0,93

c. De afwijkingen van de waarnemingen tot het gemiddelde is groter, dus de standaardafwijking van B is ook groter.

d. Het gemiddelde en standaardafwijking worden beide met 2 vermenigvuldigd.

G-4. slechte opgave

a.

b. als het toenamediagram van negatief naar positief gaat is het bedrag minimaal. G-5. a.





7 50 1 4 4 , 1 19 f x           



1, 2



102 17 1 f x         



2 , 5



121 105 2 37 f x         b. Nee, want de grafiek is ook nog even stijgend.

c.



4 , 1



,



1,1



en



1, 5



d. _{f x'( ) 3x}2_{2 en f'(1) 1} G-6. a. 29,753,5 (3,5) (0) 8,5 3,5 s s v     _km/u

b. Rond 1,5 uur liep hij het langzaamst.

c. s



1,1.001



5,9985

t

 _

 ; Bram loopt dan ongeveer 6 km/u

G-7.

a. _{45 4,9 t}2 _0

klasse freq_. somfr_.



3,20 ; 3,40 1 2,5



3,40 ; 3,60 2 7,5



3,60 ; 3,80 8 27,5



3,80 ; 4,00 10 52,5



4,00 ; 4,20 11 80



4,20 ; 4,40 6 95



4,40 ; 4,60 1 97,5



4,60 ; 4,80 1 100

tijd jan feb mrt apr mei jun jul aug sep

bedrag -300 1570 -3150 3000 2750 4180 4330 1160 -750

2 2 4,9 45 9,18 3,03 sec t t t   

b. G



3.03 , 3.03001



29,7

t

 _{ }



de steen valt met een snelheid van ongeveer 29,7 m/s in het water. c. Voer in: y145 10 x4,9x2 maximum: x 1,02 s

d. H



0 , 0.001



10

t

 _

 m/s

e. Na ongeveer 4,22 sec valt de steen in het water met een snelheid van ongeveer 31 m/s

G-8. De grafiek van f x( ) 7x is een rechte lijn met helling -7. Die is het dus niet.

De grafiek van _{f x( )x}2_{7x is een dalparabool. De helling wordt dan steeds groter}

naarmate de x groter wordt. De hellinggrafiek van deze functie is een stijgende rechte lijn.

De grafiek van helling   x 7 is een dalende lijn, dus de hellinggrafiek van

2 1 2

( ) 7

Extra oefening Vaardigheden.

Functies V-1. a. 1 2 ( ) 2 5 f x  x b. _{g x}( ) 5 (1,5)_{ } x c. 243 9 5 2 78 a     d. 3 243 9 27 g   9 78 2 156 147 ( ) 78 147 b b b j x x          1 3 2 27 3 9 3 9 ( ) 3x g b b k x       e. 160 5 2 3 31 a       f. 5 5 1 160 32 g   160 31 2 62 98 ( ) 31 98 b b b m x x            1 5 1 32 2 ( ) 0,5 160 (0,5) 4 ( ) 40 (0,5)x g b b n x         V-2. a. x 7 0 b. 20 6 x0 c. x 4 0 d. _x2_{15 0}





7 : 7 , : 2 , f f x D B     1 3 1 3 6 20 3 : , 3 g x x D      _





4 : 4 , : , 3 h h x D B      2 ₁₅ : : 3 15 , k k x D B       ¡



: 0 , g B  Vergelijkingen V-3. a. 4x  2 4x8 b. 7 5 m3(m4) c. 3(b12) 5(2 b4) 0 3 4 8x 6 x   5 8 7 5 3 12 8 5 m m m m        3 36 10 20 0 7 56 8 b b b b         d. 14 8 k 16 2 k e. 45 d 3(d1) f. 4(2p7) 5(2 2 ) 0  p  1 5 10k 2 k   452 423 3 21 d d d d        8 28 10 10 0 18 18 1 p p p p          V-4. a. _x2 _{7x18 b. x}2_{2x 4 20 3 x c. x}2 _11x 2 _{7 18 0} ( 9)( 2) 0 9 2 x x x x x x           2 _{5 24 0} ( 8)( 3) 0 8 3 x x x x x x           2 _{11 0} ( 11) 0 0 11 x x x x x x        d. _(x1)2 _{25 e. (2x3)}2 _{0 f. (7 2 ) x} 2 _121 1 5 1 5 4 6 x x x x           1 2 2 3 0 2 3 1 x x x     7 2 11 7 2 11 2 18 2 4 9 2 x x x x x x              

V-5. a. _p4 _{200 b. m}0,1_{6 c. v}8 _{ 11} 1 4 1 4 200 3,76 200 3,76 p p        10 6 60466176 m  _{geen oplossing} d. _4g6 _{148 e. 0,25h}7 _{ 5 f. y}3 _11 1 6 1 6 6 ₃₇ 37 1,83 37 1,83 g g g         1 7 7 ₂₀ 20 1,53 h h       1 3 11 0,45 y    V-6. a. 81 9 q 9 b. 5 x 7 18 c.  3 8  t 5 9 72 8 64 q q q    7 13 7 169 176 x x x      8  t 2  d. 12 2g15 4 e. 4 6 3 k 0 f. _{17 3 x}2_{ 1 14} 1 2 2 15 8 2 15 64 2 79 39 g g g g       1 3 6 3 4 6 3 16 3 10 3 k k k k         2 2 2 3 1 3 1 1 0 0 x x x x       Herleiden V-7. a. 18 3 2 3  3  2 d. 108 6 3 3  3 6 b. 5 7 3 28 5 7 6 7   7 e. 2 8  2 2 2 3 2  c. 1 1 5 50  5 5 2  2 f. 6 12 6 6 2 6 2 6 6 6 2  _   _  _ V-8. a. 1 1 3 5 8 5 3 1515 15 d. 2 2 ₁ 1 a 1 a a a a a a_{   }  b. 1 1 2 1 3 2 2 2 2 a a  a a  a e. 1   a1 aa 1a aa1 c. 2 1 2 3 2 3 3 a 3aa 3a  3aa f. 1 1 1 1 1 1 (a1) (a 1) a a( 1) ( 1) a  a a a a a a a   a a V-9. a. 6p(3p5) 6p3p  5 9p5 b. 5(6 3 ) 4 x  x30 15 x4x 19x30 c. _{2 (n n5) 12 n}2 _{ 2n}2_10n12n2 _10n2_10n d. _{(x4)(x2)x}2_2x8 e. _{(2g7)(g6) 2 g}2_5g42 f. _{( 3 h2)(4h) 3 h}2_14h8

V-10. a. y 3x30 b. 5y 2x 46 c. 4x3y12 0 1 3 3 30 10 x y x y     1 2 2 5 46 2 23 x y x y       3 4 4 3 12 3 x y x y     d. y 0,5(x12) 3 e. 5y3x2(x3 )y f. 2(x3 ) 3(y  x2) 0,5 6 3 0,5 3 2 6 y x x y x y        1 5 5 3 2 6 5 y x x y x y x y        2 6 3 6 6 6 x y x x y       V-11. a. N 10 t   b. N 5 7 t   c. 9 6 N t   d. 5 12 13 N t    10 t N   5 7 5 7 N t t N     9 6 9 6 t N t N     5 12 13 5 13 12 N t t N       e. 24 2 7 N t   f. 7 3 2 3 N t    1 2 24 2 7 24 2 7 12 3 t N t N t N       7 3 2 3 7 2 3 3 7 2 3 3 N t t N t N             1 2 7 1 2 6 t N     V-12. a. K  a6 b. K 2 a2 c. K  3 a d. K   8 a4 2 2 6 6 a K a K     1 2 2 1 4 2 2 a K a K     2 3 ( 3) a K a K     2 4 8 4 ( 8) a K a K       2 1 4 2 a K  _{a(K 8)}2_4