Hoofdstuk 2: Differentiëren

Hoofdstuk 2:

Differentiëren.

a. Na ongeveer 50 seconden wordt de parachute geopend.

b. Teken de raaklijn in t 4 en bepaal de helling: de valsnelheid is ongeveer -44 m/s. c. De grafiek is daar een rechte lijn. Daar is de snelheid dus constant. v 1600 3000_{40 20} 70



   _m/s.

d. Ook het tweede gedeelte is een rechte lijn. De helling daarvan is ongeveer _{180 100}0 500_  6,25 _m/s.

V_2.

a. De helling van de raaklijn is ongeveer 4 8_{2 2} 3

  . b. y 1;1,001 1,0013 13 3,003001 x 1,001 1  _{  }       c. f'(1) 3 d. In (0, 0): f'(0) 0 _{in (-1, -1):} f'( 1) 3  _{en in (2, 8):} f'(2) 12 _. V_3. a. _{f'(x) 100x} 99 _{d. l'(x) 8x} 3 b. _{g'(x) 18x} 2 _{e. k'(x) 3x}9 c. h'(x) 1 _f. m'(x) 3 V_4. a. s (5t) 2 25t2 ds_dt 50t _c. s 3(t 5) 3t 15    ds_dt 3 b. s 1₃(t45) 1₃t4 1₃2 _dtds 1 t₃1 3 _d. 2 ds dt s (t 3)(t 3) t    9 2t V_5. a. f'(x) 2x en g'(x)  2x

De helling van f in P is 4 en van g in P is –4. b. -c. f'(3) 6 d. g'(x)   6 2x  6 x 3  (3, 1) e. g'(x) 6  2x 6  x    3 ( 3, 1) V_6. a. ds_dt 9,8t ds_dt(2) 19,6

b. De snelheid waarmee de steen valt na 2 seconde is 19,6 m/s. c. s 50 2 t 10,2 t 3,2 s   d. ds_dt(3,2) 31,3 m / s x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 10 -5

1.

a. Voer in y₁x26x en plot de grafiek. Met 2nd _{trace (calc) optie 6 (dy/dx) -2 kun je de GRM}

de helling laten uitrekenen. s'( 2) 2  _en s'(3) 12 _. b. f'(x) 2x _en g'(x) 6

f'( 2) g'( 2)       4 6 2 s'( 2) _en f'(3) g'(3) 6 6 12 s'(3)     c. s'(x) f'(x) g'(x) 2x 6   

d. Voor de afgeleide van de verschilfunctie geldt: v'(x) f'(x) g'(x) 2x 6   

2. a. s'(x) 2x 8  _{d. q'(x) 90x} 8_x3 b. f'(x) 8x _{e. h'(x) f'(x) s'(x) p'(x) 6x   } 2_{4x 9} c. p'(x) 6x 26x 1 3. a. _{A' 2t} 3_{3t c. M' 4t} 3_3t2_3 b. _{K' 6t}7_{2t 1 d p' 2at b } 4. a. _{f'(x) 4x} 3_4x b. f'(x) 0 2 2 4x(x 1) 0 4x 0 x 1 x 0 x 1 x 1           

De grafiek loopt daar even horizontaal; meestal is daar een minimum of een maximum. c. Op de intervallen 1,0 en 1, _{is de helling positief. De grafiek is daar stijgend.} d. De helling is negatief op  , 1 en 0,1 _.

e. Als de helling negatief is dan is de grafiek dalend. 5.

a. dh 60 10t dt  

dh

dt stelt de snelheid van de vuurpijl voor.

b. Als dh 0_dt  gaat de vuurpijl omhoog, en als dh 0_dt  gaat de pijl naar beneden.

c. dh 0_dt  _d. h 0 60 10t 0 10t 60 t 6     2 60t 5t 0 5t (12 t) 0 5t 0 12 t 0          Na 6 seconden bereikt de pijl de t 0  t 12

maximale hoogte van 180 meter. Na 12 seconden is de vuurpijl weer op de grond. De snelheid is op dat moment

6. a. b. _{f'(x) 12x} 3_54x2_54x c. _12x3_54x2_{54x 0} 2 2 ABC formule 1 2 6x(2x 9x 9) 0 6x 0 2x 9x 9 0 x 0 x 0 x 1 x 3                 d. f'(x) 0 voor ,0  1 ,3₂1 7. a. dg 12x2 18x 12 dx   b. 2 2 ABC formule 1 2 12x 18x 12 6(2x 3x 2) 0 x 2 x            c. 1 2 dg 0 voor , 2 , dx     en 12 dg _{0 voor 2,} dx  . 8.

a. Na ongeveer 60 minuten. Daarna neemt de snelheid weer toe.

b. Na 40 minuten heeft de renner ongeveer 18 km afgelegd. Zijn gemiddelde snelheid was

18

40 0,45km/min.

c. Teken zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn aan de grafiek in het punt (40, 18) en bepaal de helling van deze raaklijn: ongeveer 0,3 km/min.

d. Teken de raaklijn in t 40 door. Na ongeveer 75 minuten haalt de renner de motor weer in. 9.

a. f'(x) 4x 316x en f'(1) 12

b. De vergelijking van elke lijn is van de vorm: y ax b  _{. Hierin is a het hellingsgetal en b het} snijpunt met de verticale as.

c./d. y 12x b 7 12 1 b b 5 y 12x 5         

e. Plot de grafiek van f. Met 2nd _{PRGM optie 5 (tangent) en x 1 kun je raaklijn in P laten tekenen.}

De GRM geeft dan ook de vergelijking van deze raaklijn.

x y 1 2 3 4 -1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -2 -4

10. a. f'(x)  x 3 _en f'(6) 3 _{De helling is –3.} y 3x b 0 3 6 b b 18 y 3x 18           

b. f'(0) 3 _{De helling is 3 en de lijn snijdt de y-as in (0, 0). Dus de raaklijn is:} y 3x 3x 18 3x 6x 18 x 3 y 9 (3, 9)       

c./d. De helling moet dan 4 zijn. f'(x) 4 x 3 4 x 1      

In (-1; -3,5) is de helling gelijk aan 4. 11. a. g 1; 1,001 31,001_0,0019 (3 9)1 3,30 x     _  _   en 2,001 2 3 9 (3 9) 0,001 g _{2; 2,001 9,89} x     _{  }     b. y 3,30x b  _c. y 9,89x b  6 3,30 1 b b 9,30 y 3,30x 9,30         0 9,89 2 b b 19,79 y 9,89x 19,79        12. a. _{f'(x) 4x} 3_12x2 2 2 f'(x) 0 4x (x 3) 0 4x 0 x 3 0 x 0 x 3 (0, 0) en (3, 27)            

b. De raaklijnen in deze punten lopen horizontaal (helling is 0): y 0 _en y 27_. c. Voldoende inzoomen: nee.

d. Er zijn 3 raaklijnen aan de grafiek evenwijdig aan de lijn y 9,5x_. e. f'( 1)  16 y 16x b 5 16 1 b b 11 y 16x 11             

13. a. f'(x) g'(x) 2 2 2 3x 2 1 3x 3 x 1 x 1 x 1         b. f( 1) 1  _en g( 1) 1  _{: Ja} f(1) 1 _en g(1) 3 _{: Nee}

c. Voer de functies in en laat de GRM het snijpunt berekenen met 2nd _{trace (calc) optie 5}

(intersect): x 2 . De grafieken van f en g hebben een raakpunt (-1, 1) en een snijpunt (2, 4). d. f(x) g(x) _voor , 1  1, 2 14. a. f'(x) cosx f'(0) 1 y x  

b. De lijnen door bijvoorbeeld de punten ( 2 , 0)  _of (2 , 0) _of (4 , 0) _{. De bijbehorende} vergelijkingen zijn: y x 2  _, y x 2   _en y x 4  

c. De grafiek van f'(x) schommelt tussen –1 en 1. De helling dus ook. 15. a. (-1,41; 5,66) en (1,41; -5,66). b. _{f'(x) 3x} 2_{ 6 0} 2 2 3x 6 x 2 x 2 x 2       c. ( 2, 4 2) en ( 2, 4 2)  16. a. f(x) 0 ABC formule 4 3 2 2 2 2 2 3x 16x 18x x (3x 16x 18) 0 x 0 3x 16x 18 0 x 0 x 0 x 1,61 x 3,72                    b. _{f'(x) 12x} 3_48x2_36x 3 2 2 12x 48x 36x 12x(x 4x 3) 0 12x(x 1)(x 3) 0 x 0 x 1 x 3              

c. De functie is stijgend op de intervallen 0,1 en 3, d. Voor x-waarden in ,0 en 1,3 _{daalt de grafiek van f.}

e. f heeft een minimum 0 voor x 0 , een maximum 5 voor x 1 en nog een minimum van -27 voor x 3 . x y 1 2 3 -1 -2 -3 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 -25 -30

17.

a. De meeropbrengst bij het gebruik van één machine meer. b. dO_dq  3q248q 51 abc formule 2 dO 0 dq 3q 48q 51 0 q 1 q 17          

De opbrengst is maximaal bij 17 machines. c. De opbrengst is dan € 2.890.000,-d. dO 3q2 40q 0 dq     1 3 q( 3q 40) 0 q 0 q 13      

De fabrikant zou dan 13 machines moeten hebben, dus 8 machines extra aanschaffen. 18. a. _{f'(x) 2x 3x } 2 _{b. g'(x) 2x 2 } f'(x) 0 x (2 3x) 0 x 0 3x 2        g'(x) 0 2x 2 x 1    2 3

x 0  x _{De grafiek van g is een dalparabool, dus} Voer in 2 3

1

y x x en kijk of het heeft g een minimum 1 voor x 1 . om een minimum of maximum gaat.

f heeft een minimum 0 voor x=0 en een maximum 274 voor x 23

c. h'(x) 4x 34 d. k'(x) 6

h'(x) 0 De grafiek van k stijgt alleen maar en

3

4x 4 heeft geen uiterste waarden.

3 x 1 x 1   Voer de functie 4 1 y x 4x 4 in en dan zie je dat h een minimum 1 heeft voor x 1 .

19. a. 2 2 2 4 4 3 2 3 3 f(x) 2x (4x  x 2) 8x   x 4x _{b. g(x) 2x(6 x ) } 2 _{ 2x}3_12x 3 2 2 2 f'(x) 32x 4x 8x f'(x) 0 4x(8x x 2) 0 4x 0 8x x 2 0             2 2 g'(x) 6x 12 g'(x) 0 x 2 x 2 x 2         

x 0  geen oplossing _{De functie g heeft een minimum 8 2 voor} De functie f heeft een minimum 0 voor x=0 x  2 en een maximum 8 2 voor x 2 c. k(x) (x 23)(x23) x 49 3 3 k'(x) 4x k'(x) 0 4x 0 x 0    

De functie k heeft een minimum –9 voor x=0. 20. a. _{s(x) 1,5x} 2_x3_6x2 _x3_4,5x2 2 s'(x) 3x 9x 3x(x 3) 0 x 0 x 3        

De somfunctie heeft een maximum voor x 0 .

b. maximum 0 voor x 0 en een minimum -13,5 voor x 3 . c. _{v(x) 1,5x} 2_(x3_{6x )}2 _{ x}3_7,5x2 2 v'(x) 3x 15x 3x(x 5) 0 x 0 x 5          

De verschilfunctie heeft een minimum 0 voor x 0 en een maximum 62,5 voor x 5 .

21. _{f'(x) 4x} 3_12x2_8x 2 f'(x) 0 4x(x 3x 2) 4x(x 1)(x 2) 0 x 0 x 1 x 2            

De grafiek van f heeft een maximum 1 voor x 1 en twee minima 0 voor x 0 en x 2  _. Voor p 0 _{zijn er geen snijpunten; voor} p 0 en p 1  _{zijn er twee snijpunten; voor} 0 p 1  zijn er vier snijpunten en voor p 1 _{zijn er drie snijpunten.}

22. _{f(x) x} 2_{6x c} 2 f(2) 4 12 c 1 c 15 f(x) x 6x 15         

23.

a. f stijgt steeds sneller; h stijgt gelijkmatig en g stijgt steeds langzamer. b. f'(x) h'(x) 2 3 1 10 2 2 2 3 2 2 3 3 x x 1 x 1 1,29 x 1 1,29          c. f'(x) h'(x) voor  ; 1,29 en 1,29; d. g'(4) 1 ₂1 h'(4) 4    e. g'(x) h'(x) voor 0,4 24. a. 1 en 4.

b. 6 en 2 (dalparabool) en 3 en 5 (bergparabool). exponentieel: 2 en 6. c. 2, 3, 5 en 6.

25.

a. Bij het eerste deel; voor de negatieve waarden van x. b. Als x 0 is er sprake van een toenemende stijging. c. De grafiek stijgt overal, dus dan is de afgeleide positief. d. _{f'(x) 3x} 2_2

e. _3x2 _{0 voor alle waarden van x. Dus 3x}2_{ 2 0 voor alle waarden van x.}

f. Voor x 0 is de helling het kleinst. g. (0, 0) is een buigpunt.

h. De grafiek van f’ heeft daar een minimum. 26.

a. De grafiek heeft één uiterste waarde. b. _{f'(x) 2x} 3_6x2 3 2 2 f'(x) 0 2x 6x 2x (x 3) 0 x 0 x 3        

Alleen bij x 3 is er een uiterste waarde. c. f’(x) heeft een maximum 0 voor x 0 en een

minimum -8 voor x 2 .

d. De grafiek van f heeft daar buigpunten. 27.

a. h heeft een uiterste waarde als h' 0 : bij x 0 (maximum) en bij x 2 (minimum). b. De grafiek van h heeft een buigpunt want h’ heeft een minimum: bij x 1 .

c. -x y 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

28. a. _{f'(x) 6x} 2_{6x 0} 6x(x 1) 0 x 0 x 1      

f heeft een minimum 5 voor x 0 en een maximum 6 voor x 1. b. f’ is minimaal bij x   1₂ 0,50_.

c. We kunnen op dit moment geen derdegraads vergelijking oplossen. d. f( 2) 1 

e. omdat er een positief getal uitkomt.

f. f'( 2) 12  _g. y 0 y 12x b 1 12 2 b 24 b b 25 y 12x 25                    1 12 1 12 12x 25 0 12x 25 x 2 A( 2 , 0) h. f( 2 ) ₁₂1  0,06_{. Het nulpunt ligt dus rechts van A.}

29.

a. Het bezoekersaantal stijgt dan met 40 bezoekers. Het gemiddeld aantal bezoekers is dan 210 en de inkomsten 210 8 €1680,  

b. Bij een prijsverlaging van p euro bezoekersaantal met 40p omhoog. Het gemiddeld aantal bezoekers is dan 170 40p _{, die elk een toegangsprijs betalen van} 9 p _euro.

c. _{I 40p}2_{190p 1530} I' 80p 190 I' 0 80p 190 p 2,375      

De maximale waarde van I is dan €1755,62 bij een toegangsprijs van €6,63

30. De breedte is dan b_20 x₂ _10_21x 2 1 1 2 2 O(x) x(10 x) x 10x O'(x) x 10 0 x 10          

De maximale oppervlakte is _{O(10) 10 5 50 m  } 2

31.

a. De lengte van het doosje is dan 24 cm. Voor de hoogte blijft over: 180 4 12 4 24 36     cm ijzerdraad. De hoogte van het doosje is 9 cm, en de inhoud 2592 cm3_.

b. Voor de lengte en de breedte van het doosje is 4 x 4 2x 12x    cm ijzerdraad nodig. De hoogte van het doosje wordt dan 180 12x4 1804 12x4 45 3x .

c. I 90x 6x 2 I' 180x 18x I' 0 18x(10 x) 0 18x 0 10 x 0 x 0 x 10            

De maximale inhoud is 3000 cm3 _{bij een doosje van 20 bij 10 bij 15 cm.}

d. De hoogte moet positief zijn, dus x mag maximaal 15 zijn. De uitkomst I is nog zinvol (positief) voor x 0, 15

e. _{A(x) 2 (x 2x x (45 3x) 2x (45 3x)) 2(2x         } 2_{45x 3x} 2_{90x 6x )} 2 _{ 14x}2_270x f. A'(x) 28x 270 A'(x) 0 28x 270 x 9,64 cm    32.

a. De inhoud van het blik kan beschreven worden door de formule: _{I  r h}2

De inhoud moet 850 cm3 _{zijn en de straal is 10.}

850 100 100 h 850 h _ 2,71      

b. De oppervlakte van de boven- en onderkant van het blik is _{2  10}2 _{628,32 cm}2_.

Voor de zijkant (een rechthoek van 2 10  bij 2,71) is er 2 10 2,71 170,27    cm2 _{blik nodig.}

In totaal is er dus ongeveer 798,59 cm2 _{blik nodig.}

c. Druk eerst de hoogte h uit in r.

2 2 2 2 2 2 2 2 r h 850 850 270,56 h r r 270,56 1700r 1700 A 2 r 2 r 2 r 2 r r r r                     c. Voer in 2 1

y  2 x 1700/ x en met 2nd _{trace (calc) optie 3 (minimum) laat je het minimum}

berekenen. De straal is 5,1 cm en de hoogte 10,3 cm. 33.

a. Voor een punt op de lijn geldt: P(x, 6 3x)

In driehoek OPR (met R(x, 0)) geldt de stelling van Pythagoras: _{OP x}2_{(6 3x)} 2

b. Omdat de wortelfunctie een stijgende functie is. c. _{y x} 2_{(6 3x)} 2_x2_{36 36x 9x } 2 _10x2_{36x 36} y' 20x 36 0 20x 36 x 1,8     

Het punt (1,8; 0,6) ligt het dichts bij de oorsprong. d. d 3,6

34. a. _{f'(x) 300 3x } 2 2 f'(x) 0 x 100 x 10 x 10 ( 10, 2000) en (10, 2000)         b. _{f'( a) 300 3( a)   } 2 _{300 3a} 2 _f'(a)

De raaklijnen lopen evenwijdig. 35.

a. f(0) 0 _{voor alle waarden van a.} b. f (x) x₀  36x2 2 0 f '(x) 3x 12x 3x(x 4) 0 x 0 x 4        

f0 heeft een maximum 0 voor x 0 en een minimum -32 voor x 4 .

c. f (x) x₁₂  36x212x 2 12 2 2 f '(x) 3x 12x 12 0 3(x 4x 4) 3(x 2) 0 x 2          

f12' is een dalparabool met top (2, 0). Dus voor x 2 heeft de afgeleide een minimum (f een

buigpunt) en de afgeleide is 0 (horizontale raaklijn).

d. 2

a

f '(x) 3x 12x a

Voor welke waarden van a heeft f '(x) 0a  geen oplossingen? 2 D 0 12 4 3 a 144 12a 0 12a 144 a 12          36.

a. Hoe meer bescherming je wil, hoe hoger de kosten om je te beschermen tegen diefstal. b. Hoe meer je jezelf beschermt tegen diefstal, des te moeilijker wordt het om in te breken.

De kosten bij een diefstalpoging kunnen nooit tot 0 teruggebracht worden. c. Daarvoor worden de kosten veel te hoog.

d. S(x) B(x) 42000 800x 4x    20,1x3 ABC formule 2 2 3 S'(x) B'(x) 800 8x 0,3x S'(x) B'(x) 0 x 66 x 40             S(x) B(x) _{is minimaal 22800 voor x 40} _.

37.

a. Pas het window aan: Xmin 0 en Xmax 12 en plot de grafiek door op zoom te drukken optie 0 (ZoomFit). Ze gaat in het begin steeds iets sneller rijden en op het laatst steeds iets

langzamer.

b. Voer in: 3 2

1

y  0, 012x 0,18x 1,6x en plot de grafiek van y0 nDeriv(y , x, x)1 .

Het maximum van de hellingsgrafiek is na 5 minuten en is 2,5 km/min, en dat is 150 km/u. c. Meneer Bouma reed met een constante snelheid van 2 km/min, ofwel 120 km/uur. In 12 minuten

heeft hij dus 24 km afgelegd. d. s 2t

e. Na ongeveer 1,3 minuten en 8,7 minuten reden ze even snel. 38.

a. W 100 (0,60 0,25) €35,    

b. Per 5 cent prijsverlaging worden 20 kopjes soep meer verkocht. De prijs moet nog 2 5 10  cent lager worden. Voor 200 kopjes soep moet de prijs liggen op 35 cent per kopje.

c. W 200 (0,35 0,25) €20,    _{. Ze maken dan minder winst.}

d. Winst is maximaal als de opbrengst – kosten (de afstand tussen de parabool en de rechte lijn) maximaal is. En dat is ongeveer bij 60 cent.

e. q 4p 340

f. _{TW TO TK q p 25 q ( 4p 340) p 25 ( 4p 340)               4p}2_{440p 8500}

g. TW(61) TW(60)  44_{. Als de prijs toeneemt van 60 tot 61 cent, neemt de winst af met 44} cent.

h./i. De winst is maximaal 3600 eurocent bij een prijs van 55 cent per kopje.

T_1. a. f'(x) 4x 5  b. _{g'(x) 1,5x}4_8x c. _{h(x) (x 3)(2x 5) 2x   } 2_{ x 15 h'(x) 4x 1 } T_2. a. f'(x) 2x _en g'(x) 2 b. 2x 2 x 1

c. f(1) g(1) _{. Dus voor x 1} zijn de functiewaarden en de hellingen aan elkaar gelijk. d. f'( 2)  4 y 4x b 4 4 2 b 8 b b 4 y 4x 4               

T_3. a. df 4x 8 dx  en 2 dg 6x 16x dx  . b. df 0 dx d. dg 0dx 4x 8 0 4x 8 x 2     2 2 3 2 3 6x 16x 2x(3x 8) 0 x 0 x 2 (0, 0) en (2 ; 18,96)        

c. De top van f is (2, -8). Maximum 0 en minimum -18,96. T_4. a. _{f'(x) x} 3_4x2_4x 2 2 1 3 f'(x) 0 x(x 4x 4) x(x 2) 0 x 0 x 2 (0, 0) en (2, 1 )         

b. f’ heeft een maximum bij x  2₃ en een minimum bij x 2 . De buigpunten zijn: ( ,2_{3 81}44) en (2, 1 )₃1 .

T_5.

a. Driehoek APS en CQR vormen samen een vierkant met oppervlakte 2 2 4  . Driehoek BPQ en DSR vormen een rechthoek met oppervlakte (10 2)(6 2) 32   _{. De oppervlakte van het} parallellogram is 10 6 4 32 24    cm2_.

b. APS en AQR: samen een vierkant met oppervlakte _x2_{. BPQ en DSR: samen een rechthoek van}

10 x bij 6 x  _{. De totale oppervlakte van de tegel is 60.}

2 2 2 2 O 60 (10 x)(6 x) x     60 (60 16x x ) x    16x 2x c. O'(x) 16 4x 0   4x 16 x 4   d. De maximale oppervlakte is 32 cm2_. T_6. a. _{f'(x) 20x en g'(x) 3x } 2

De helling van f in C is f'(5) 100 _{en de helling van g in D is} g'(5) 75 b. CD f(5) g(5) 250 125 125     _.

c. De afstand tussen C en D wordt dan kleiner. En groter als je de lijn naar rechts verschuift. d. _{CD 10x} 2_x3 2 2 3 CD' 20x 3x 0 x(20 3x) 0 x 0 x 6        

a. f'(x) 3x c. k(x) (x 2,5)   6 x 5x 12 ₄ f'(1) 3 y 3x b 1 3 1 b 3 b b 2 y 3x 2             1 4 k'(x) 2x 5 3 2x 8 x 4 P(4, 8 )      b. g(x) x x x  121 1 2 1 1 2 2 1 2 g'(x) 1 x 1 x g'(4) 1 2 3      T_8. a. K(6) 39,6 en K(12) 64,8 

Bij 6000 vazen zijn de kosten 39600 en bij 12000 vazen 64800. b. dK 0,3q 4q 15_dq  2  

c. _0,3q2_{4q 15 0 }

De discriminant is kleiner dan 0, dus de vergelijking heeft geen oplossingen. De afgeleide is altijd positief, dus de kosten stijgen altijd.

d. GK(6)39,6₆ 6,6 en GK(12)64,8₁₂ 5,4 e. G(q) 0,1q3 2q2 15q 0,1q2 2q 15 q       en G'(q) 0,2q 2  f. G'(q) 0 0,2q 2 q 10  