H5: Inleiding meetkunde

(1)

Hoofdstuk 5:

Inleiding meetkunde

V-1.

a.

b. De som van de hoeken van een driehoek is 180o_{. Dus}_{ }_C ₁₈₀o_₉₀o_₆₀o _₃₀o_.

c. De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt. d.  C 180o90oxo 90oxo

V-2.

a. De bissectrices van een driehoek gaan door één punt. b. Ook de hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. V-3.

a. Nee. De twee kortste zijden moeten samen langer zijn dan de langste zijde.

b.

c. Nee, er zijn geen andere driehoeken mogelijk met dezelfde afmetingen.

V-4. a.

b. Een ruit (AB tegen elkaar), een parallellogram (BC tegen elkaar) of een vlieger (BC tegen AC).

c. Een gelijkbenige driehoek met basis 6 (KL tegen elkaar), een gelijkbenige driehoek met basis 10 (KM tegen elkaar), een rechthoek (LM tegen ML) en een vlieger (ML tegen ML)

V-5.

a. loodrecht op elkaar: ruit, vlieger en vierkant

b. delen elkaar middendoor: ruit, parallellogram, rechthoek en vierkant c. delen de hoeken middendoor: ruit, vlieger en vierkant

d. twee paar overstaande hoeken even groot: ruit, parallellogram, rechthoek, vierkant. V-6.

a./b.

c. AP AS, dus VAPS is een gelijkbenige driehoek met tophoek A. 180 70 2 55 APS ASP       o_. d. PBQ180o70o110o PBQ

V is ook gelijkbenig met tophoek B.

180 110 2 35 BPQ    o o  _o en 180 55 35 90 QPS   o o o  o

e. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat PQR QRS  RSP 90o_.

Dus PQRS is een vierhoek met vier rechte hoeken: een rechthoek. V-7.

a./b.

c. Nee, de bissectrices vallen niet samen met de diagonalen. d. Nu wel, de vierhoek is een ruit.

e. ABCD is een rechthoek. De diagonalen delen de hoeken

(2)

1.

a. C4  C2 (overstaande hoeken) E2  C2 (F-hoek)

b./c. A₂  A₄ 180o  A₁ 142o_{(gestrekte hoek)} 4 2 78 C C     o (overstaande hoeken) E2  C2 78  E4 o (F-hoek) 1 180 78 102 3 C C   o o o  _{(gestrekte hoeken)} 1 1 102 3 E C E     o   (F-hoeken)  B1 180    A1 C2 64 o o (hoekensom van een driehoek)

3 1 64 B B     o (overstaande hoeken) D3  D1  B1 64 o (F-hoeken) 2 180 1 116 B B   o   o (gestrekte hoek) B4  D4  D2 116 o 2.

a. VABT is een gelijkbenige driehoek: 180 30

3 2 2 75 A B      o o  _o . b.  B₁ 180o B₂ 105o_{(gestrekte hoek)} c. A3    A1 D1 D3 75 o 2 4 2 4 2 4 2 4 1 3 1 3 180 75 105 75 180 75 105 A A D D B B C C B B C C                             o o o o o o o 3. a. b. vergrotingsfactor 12 3 4 AC CD   

c. CDE CAB (F-hoeken) en ook CED CBA (F-hoeken) d. BE BC EC 16 4 12 

4.

a. ADE ABC (F-hoeken, want BC // DE)

AED ACB

   en A hebben ze gemeenschappelijk. Dus VABC: VADE (hh) b. De vergrotingsfactor is 24 1 16 12 AB AD   . 1 1 2 2 1 1 18 27 AC AE    en 1 1 2 2 15 1 1 10 BC DE   

c. EDC DCB (Z-hoeken, want BC // DE); idem voor DEB EBC

en DFE BFC (overstaande hoeken). Dus VDEF : VCBF. d. De vergrotingsfactor is 15 1 10 12 BC DE   DF CF: 2 : 3 DF is het 2 5 deel van CD. 5. a. b.  C 180o50o30o 100o

Alle driehoeken zijn gelijk. c. Ze zijn weer allemaal gelijk.

6. AC BC (driehoek ABC is gelijkbenig), AM BM (M is het midden van AB) Zijde CM hebben ze gemeenschappelijk

zijden van VDEC 1 2

4

DE  CD3 CE 4

(3)

7. a.

b. Als twee hoeken bekend zijn, dan ligt de derde hoek ook vast.  L 180o30o57o 93o_{. De}

driehoek is éénduidig bepaald. 8.

a. ZHZ

b. Uit de congruentie volgt dat ABC  ABD, en dus is AB de bissectrice van

DBC

 .

9. 1. OH ON (O is het midden van HN) 2. HOA NOD (O1,2  O2,3)

3. OA OD (gegeven)

4. VAOH VDON (ZHZ: uit 1, 2 en 3) 10.

a. 1. AB CB en BD BE (gegeven) 3. VABDVCBE (ZHZ: uit 1 en 2)

2. ABD  CBE (overstaande hoeken) 4. AD CE (uit 4) b. Uit punt 3 volgt ook dat BAD BCE

En daaruit volgt dan weer dat AD // CE (Z-hoeken) 11.

a. De middelloodlijn gaat door het midden van AB en staat loodrecht op AB. b. 1. AM BM 4. VAMP VBMP (ZHZ: uit 1, 2 en 3)

2. AMP  BMP 90o _5._AP __BP _{(uit 4)}

3. MP is gemeenschappelijk 12.

a.

b. 1. AP BP (gegeven) 4. VAPQVBPQ (ZZR: uit 1, 2 en 3)

2. PQ is gemeenschappelijk 5. AQ BQ (uit 4) 3. PQA PQB 90o_{(PQ is loodlijn op AB)}

c. De lijn door P en Q is de middelloodlijn van AB. 13. 1. SA SB (S ligt op de middelloodlijn van AB) 2. SB SC (S ligt op de middelloodlijn van BC)

3. SA SB SC  , dus A, B en C liggen op een cirkel met middelpunt S (uit 1 en 2) 14.

a. ABCD en ABEC zijn parallellogrammen.

b. AB CD (ABCD is een parallellogram) en AB EC (ABEC is een parallellogram) dus CD CE .

c. AB // ED, dus de hoogtelijn uit C op AB staat ook loodrecht op ED. De hoogtelijn uit C is de middelloodlijn van DE.

d. In opgave 13 hebben we bewezen dat de drie middelloodlijnen van een willekeurige driehoek door één punt gaan. De drie middelloodlijnen van driehoek DEF vallen samen met de drie hoogtelijnen van driehoek ABC. Dus de drie hoogtelijnen gaan door één punt.

(4)

15.

a. C1 A en C3  B (Z-hoeken).

b.     A B C₂ C₁ C₂ C₃ 180o_{(gestrekte hoek)}

c. De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180o_.

16.

a. 1.   P Q1  R 180 o

(hoekensom van een driehoek) 2. Q₂ 180o Q₁_{(gestrekte hoek)} 3. Q2 180 (180    P R)   P R o o (uit 1 en 2) b. 1. Q3  R (Z-hoeken) 2. Q4  P (F-hoeken) 3. Q2  Q3 Q4    R P (uit 1 en 2) 17.

a. MA MC (straal), dus VAMC is een gelijkbenige driehoek. Dus C1  A 56 o

b. M₁180o 2 56o68o

c. C2   B M168 o

(stelling van de buitenhoek) d. MC MB (straal), dus VMBC is gelijkbenig:   B C2.

e. C₂ 34o_{(uit c en d) en} 1 2 56 34 90 C C     o o  o f. C1  A  (VAMC is gelijkbenig) 1 180 1 180 2 M A C    o     o

(hoekensom van een driehoek) g. C₂   B M₁180o2 _{(stelling van de buitenhoek) en}

2 C B    (VMBC is gelijkbenig). 180 2 2 2 90 C  _   o  _o 1 2 (90 ) 90 C C C          o  o 18.

a. Teken vanuit één hoekpunt van de vijfhoek twee diagonalen. De vijfhoek wordt zo opgedeeld in 3 driehoeken. De som van de hoeken van deze driehoeken zijn

3 180 o 540o_.

b. De hoekensom van een zevenhoek is (7 2) 180  o900o_.

Teken vanuit één hoekpunt de 4 diagonalen. Deze diagonalen delen de zevenhoek op in 5 driehoeken ….

19.

a. 1. ADC ACD (stelling van de buitenhoek) 2. ADC  ACD (VACD is gelijkbenig)

3. 1 2 D    (uit 1 en 2) b. 1 2 E 

  (op dezelfde manier als bij a) 180

  o   _{(hoekensom van een driehoek)}

1 1

2 2

DCE DCA ACB BCE   

(5)

20.

a. 1. BAC  EDC (F-hoeken) 2. ABC  DEC (F-hoeken) 3. VABC: VDEC (hh)

b.

c. ADF  CDG (overstaande hoeken) en    F G 90o_:_V_ADF_{: V}_CDG_(hh)

BEH CEG

   (overstaande hoeken) en    H G 90o_:_V_BEH_{: V}_CEG_(hh)

d.

e. Uit de eerste tabel volgt: CD CG

AD  AF en uit de tweede tabel:

CG CE BH  BE

Verder geldt: AF BH. Dus CD CG CG CE

AD  AF BH  BE

21.

a. ADC ACB90o_en__A_{is gemeenschappelijk.}

ABC ACD

V : V (hh) en dus is   B ACD C1

b. ADC CDB90o_en__DBC_{ }_DCA_{(uit a), dus}_V_ADC_{: V}_CDB_(hh)

c.

d. Uit de tweede en vierde kolom volgt met de kruisproducten: _h2 _{ }_{p q}

22. De hoogtelijn uit P snijdt QR in S en de hoogtelijn vanuit Q snijdt PR in T.

1. PS QT (gegeven)

2. PSR  QTR 90o_{(hoogtelijnen)}

3. PRS  QRT (gemeenschappelijk) 4. VPSR VQTR (ZHH: uit 1, 2 en 3)

5. Dus PR QR (uit 4), ofwel VPQR is gelijkbenig. 23.

a. Een diagonaal deelt de ruit in twee congruente driehoeken (ZZZ). De diagonaal deelt dus de hoeken middendoor.

b. AB BC , ABM  CBM en de zijde BM is gemeenschappelijk dus VABM VCBM (ZHZ)

AMB CMB

   .

En omdat AMB BMC 180o_{(gestrekte hoek)}

zijn beide hoeken gelijk aan 90o_{. De diagonalen}

staan loodrecht op elkaar.

c. Ook volgt uit de congruentie van b. dat AM CM . Op dezelfde manier kun je bewijzen dat BM DM ; de diagonalen delen elkaar middendoor.

zijden VABC AB AC BC zijden VDEC DE CD CE AD AF DF CD CG DG BE BH EH CE CG EG zijden VADC AD = q AC = b CD = h zijden VCDB CD = h BC = a BD = p

(6)

24. 1. VACD is gelijkbenig (AD DC ). 2. CAD  ACD (uit 1)

3. ACD  CAB (Z-hoeken) 4. CAD CAB (uit 2 en 3)

5. AC is de bissectrice van A (uit 4). 25. 2 2 180o_{(gestrekte hoek)}

90

   o_{, dus de bissectrices staan loodrecht op elkaar.}

26. a. 1. BP BQ (gegeven) 2. B is gemeenschappelijk 3. BRP  BTQ90o_(loodlijnen) 4. VPBR VQBT (ZHH: uit 1, 2 en 3) 5. BR BT (uit 4)

b. PT BP BT BQ BR QR  (uit 1 en 5 van opgave a) c. 1. PST  QSR (overstaande hoeken) 2. PTS  QRS90o 3. PT QR 4. VPTSVQRS (ZHH: uit 1, 2 en 3) 5. PS QS (uit 4) 27. 1. plaatje 2: ABAC

2. plaatje 3: (punt D wordt geconstrueerd): BD CD 3. De zijde AD hebben ze gemeenschappelijk.

4. De bovenste driehoek en de onderste driehoek zijn congruent (ZZZ: uit 1, 2 en 3) 5. Dus CAD BAD.

28. a.

b. De middelloodlijn staat loodrecht op AB en deelt AB middendoor. c. Dan krijg je een ruit.

d. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. 29.

a. De hoogtelijn uit C staat loodrecht op AB.

b. De twee geconstrueerde punten op AB zijn P en Q.

Teken cirkelbogen met middelpunten P en Q en straal PC c. CM is de middelloodlijn van PQ. Deze lijn gaat door C en

staat loodrecht op AB. CM is dus de hoogtelijn uit C. 30. a. 1. ABA B' ' 2. AC A C' ' 3. BC B C ' ' 4. VABC VA B C' ' ' (ZZZ: uit 1, 2 en 3) 5.   A A' (uit 4) b. c.

(7)

31. a.

b. Kies een punt F op BE en breng DEF over op D en op C zoals in opgave 30.

c. AEB  ADG ACH en A hebben ze

gemeenschappelijk. Dus VACH : VADG: VAEB (hh) De verhouding is 1:2:3, dus AH HG GB

d. Ja, dat gaat op dezelfde manier! 32.

a. 1. AB CD

2. ABS  SDC (Z-hoeken)

3. BSA DSC (overstaande hoeken) 4. VABS VCDS (ZHH: uit 1, 2 en 3) 5. BS DS en AS CS (uit 4)

Dus de diagonalen delen elkaar middendoor. b. 1. AS CS en BS DS (gegeven)

2. ASB  DSC (overstaande hoeken) 3. VABS VCDS (ZHZ: uit 1 en 2) 4. AB CD (uit 3)

5. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat AD BC .

Dus ABCD is een vierhoek met twee paar gelijke overstaande zijden: ABCD is een parallellogram.

33. a.

b. Voor de berekening van de oppervlakte van de driehoeken nemen we als basis AC. Omdat de oppervlakte van de twee driehoeken gelijk zijn, is de lengte van de hoogtelijn DQ gelijk aan die van de hoogtelijn BP.

c. VDQSVBPS (ZHH), dus DS BS (S is het midden van BD). 34.

a. 1 1

1 1 2 2

ASE A C  

       (stelling van de buitenhoek: VASC) b. DSE360o E₂ D₂ _{(hoekensom van een vierhoek)}

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 360 ( ) (  )  360      360 1  1    o      o      o   35. a. 1. AP is gemeenschappelijk

2. PAD  PAE (AP is bissectrice van A) 3. ADP  AEP 90o_{(PD en PE zijn loodlijnen)}

4. VADP VAEP (ZHH: uit 1, 2 en 3) 5. DP EP ofwel d P AD( , )d P AE( , )

b. Als de afstand van een punt P tot de twee benen gelijk is, dan ligt punt P op de bissectrice van die hoek.

1. AP is gemeenschappelijk en PD PE (gegeven) 2. ADP  AEP 90o

3. VAPDVAPE (ZZR: uit 1 en 2)

(8)

36. 1. d P AB( , )d P AC( , ) omdat P op de bissectrice ligt van A

2. d P AB( , )d P BC( , ) omdat P op de bissectrice ligt van B

3. d P AC( , )d P BC( , ) (uit 1 en 2); dus P ligt op de bissectrice van C. 37. l en m gaan door één punt P.

Te bewijzen: de bissectrice van A gaat door P. 1. d P AB( , )d P BC( , ) omdat P op l ligt.

2. d P AC( , )d P BC( , ) omdat P op k ligt.

3. d P AB( , )d P AC( , ) (uit 1 en 2): P ligt op de bissectrice van A

38.

a. 1. B is gemeenschappelijk 2. ACB  CDB90o_(gegeven)

3. VABC: VCBD (hh: uit 1 en 2) b.

c. De stelling volgt uit het kruisproduct van de 2e_{en 4}e_kolom:_a2 _{ }_{p c}

d. VABC: VACD 2 AB AC AC AD b c q    e. _a2__b2 _{    }_{p c q c} ₍_{p q c c}_ ₎_{ } 2 39. a. b. 1. AB MB 2. ABT  MBT 90o 3. BT is gemeenschappelijk 4. VABT VMBT (ZHZ: uit 1, 2 en 3) 5. TM is gemeenschappelijk

6. MB ME (straal van de cirkel)

7. MBT  MET (hoek raaklijn en straal) 8. VMBT VMET (ZZR: uit 5, 6 en 7) c. 1. MTE  MTB (uit 8)

2. ATB  MTB (uit 4) Uit 1 en 2 volgt dat 1

3

ATB ATE

    .

d.

-zijden van VABC AB c AC b BC a zijden van VCBD BC a CD h BDp

(9)

T-1.

a. AHE BHD (overstaande hoeken) en AEH  BDH 90o_{(hoogtelijnen)}

AHE BHD

V : V (hh)

b. BEC  ADC 90o_{(hoogtelijnen) en}__C_{is gemeenschappelijk, dus}

ADC BEC V : V (hh) AD BE AC BC T-2. a.  B 180o35o80o115o

b. Alle driehoeken zijn congruent: ZHH

c. De driehoeken zijn nu niet congruent. T-3. 1. AP BP 2. PAS  PBQ90o 3. AS BQ 4. VAPS VBPQ (ZHZ: uit 1, 2 en 3) 5. PS PQ (uit 4)

6. SP SR QR  (op dezelfde wijze)

7. PQRS is een vierhoek met vier gelijke zijden: PQRS is een ruit. T-4.

a. 1. EC AC: 1: 2

2. C is gemeenschappelijk 3. DC BC: 1: 2

4. VCDE: VCBA (zhz: uit 1, 2 en 3) 5. CDE  CBA (uit 4)

6. DE // AB (F-hoeken: uit 5)

7. DEB  EBA en EDA DAB (Z-hoeken) 8. VABS: VDES (hh)

Voor de zijden geldt: 1 2

DS ES

AS BS  en omdat AD BE is ook BSAS.

ABS

V is gelijkbenig, dus BAD ABE. b. 1. AB is gemeenschappelijk

2. ABE  BAD (uit a) 3. BE AD (gegeven)

4. VABE VBAD (ZHZ: uit 1, 2 en 3)

5. AE BD (uit 4) en dus is AC BC , ofwel VABC is gelijkbenig. T-5. 1. ABC  CDE (Z-hoeken)

2. BC DE (gegeven) 3. BCA DEC 90o

4. VABC VCDE (HZH: uit 1, 2 en 3)

(10)

T-6.

a. ECF  ACH (overstaande hoeken) en DGF  BGH (overstaande hoeken) b. 1. AHC  BHG (overstaande hoeken)

2.   A B (gegeven)

3. ACH  BGH (hoekensom van een driehoek) 4. ECF  DGF (uit 3 en a)

T-7. Teken een willekeurige driehoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. Construeer de middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek.

Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de cirkel. T-8.

a. PQH  QPH (gelijkbenige driehoek)

b. 1. APE 180o90o  90o _{(hoekensom van een driehoek)} 2. AQF 180o  90o 90o _{(hoekensom van een driehoek)} 3. APE  QPH (overstaande hoeken) en AQF  PQH

4. PQH  QPH (uit 1, 2 en 3) 5. PH QH (uit 4)

T-9. Noem K het snijpunt van de bissectrice van hoek C met zijde AB.

1 2

180

CKB B C

  o   

(hoekensom van een driehoek)

SKA CKB    (overstaande hoeken) 1 1 2 2 180 90 (180 ) 90 DSB B C B C   o o o         o