Modellering van een inspuitpomp

Modellering van een inspuitpomp

Citation for published version (APA):

Sol, E. J. (1983). Modellering van een inspuitpomp. (DCT rapporten; Vol. 1983.015). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

3 O D E L L E R I M G V A N E E N I N S P U I T P O M P

Egbert-Jan Sol, 1983-nov

Inhoud :

O . inleiding

1. beschrijving van de brandstof inspuit pomp 2. simulatie van het kinematische gedrag 3. simulatie van het dynamische gedrag 4. literatuurlijst

appendices: A. de nok

B. het EHD contact C. de HD lagering

O . Inleiding

Dit rapport beschrijft de analyse van het kinematisch en dynamisch gedrag van een brandstof-inspuitpomp welke door Bosch gebouwd wordt (fig. 1 Z . O . Z . ) . Teneinde een betere verbranding in een dieselmotor te verkrijgen tracht men ondermeer de inspuitdruk zo groot mogelijk te maken. Een probleem hierbij is dat de Hertze spanning in het con- tact gebied van nok en nokrol hoge waarden aan kan nemen waarbij na enig tijd vermoeiingsverschijnselen op kunnen treden en waarbij even- tueel de vloeigrens bereikt kan worden. Een tweede probleem omvat de vraag hoe de smering tussen nok en nokrol en tussen nokroijtussen- ringfpen en penfnokrolhouder zich zal gedragen.

Het eerste deel van dit rapport is in het engels geschreven en i s in grote lijnen terug te vinden als hoofdstuk 9 in Sol [1983]. In tegen- stelling tot genoemd hoofdstuk bevat dit rapport de uitwerking van het toegepaste 1iokpïofie.l d e * - * - - = - L C C I Lvcycya; c.'; 31,<\-Liil=U..IYU~i-Vi-. c m n i r n n c m n r l e l l c s n EPZP

uitwerkingen zijn als appendices toegevoegd en zijn in het nederlands geschreven. Essentieel voor het voorbeeld is dat hierin een aantal lastige, niet-standaard verbindingen voorkomen. Het is niet de bedoe- ling om de resultaten van de berekeningen aan het model te toesten met experimenteel verkregen resultaten. De nadruk ligt op het toepas- sen van het gereedschap zoals beschreven in Sol E19831 bij de model- lering en analyse van een technisch relevant systeem.

2

1 The description of the fuel injection pump

The multibody model of the pump The cam-roller connection

The hydrodynamic (HD) fluid film

FUEL OUTLET

figure 1

.

1 The pump figure 1.2 The model

The multibodr model of the P U ~ D

The model of the pump in figure 1 . 1 consists o f a fixed world Bo, a

1

U i i v i n g ~ h ~ f t k l i t ! ? u cam R I m e roller B2 and one plunger B 3 , These

bodies are all considered to be rigid. The floating ring and the in- ertia o f the oil are left out of consideration. The model, together with the global base (xyz), is shown in figure 1.2. Only displace- ments in the xz-plane and rotations along the y-axis will be studied. Therefore three instead of six coordinates are necessary for the des- cription o f the (relative) attitudes of the bodies.

O

We distinguish three kinematic connections: a pin-joint between i3

and B 1

,

a connection between El and i3 2 and a prismatic joint between

3

3

B

connection between B and B

pin-joint and the prismatic joint are modelled as hinges. In the graph of this system these hinges are represented by the branches M and H3, while the constraint C

the branches (solid lines in figure 1.3a) are considered in the defi- nition of a tree structure in this graph. Because B2 is an isolated

1 2

vertex, we introduce between B and B a hinge with three generalized coordinates. This yields the regularly numbered graph with a tree structure of bodies and hinges as shown in figure 1.3a. The first tree consists of Bo, the pin-joint H

,

the shaft B

,

an extra hinge H

H3 and the plunger €3 .

and BO. Because of the complicated camprofile, we will model the

1 2

by a kinematic constraint C ’ , while the

1

is represented by the chord C

.

Only

1

1

1 1

2

and the roller B2. The other tree contains Bo, the prismatic joint

3

a ) tree b) kinematic simuiation cj dynamic simuiation

figune 1 . 3 Graph o f the pump

2 2 3

A constraint C is introduced between B and B for the simulation of the kinematic behaviour (figure 1.3b). This constraint must ensure

t h a t tiie rtlleï arid thz p i n a t t h e b ~ t t a m ~f the p l m g e r rtzy in c m - tact. For the simulation of the dynamic behaviour we distinguish three energetic connections: the elastohydrodynamic (EHD) fluid film E’, the hydrodynamic (HD) fluid film E2 and the spring E3 between Bo and i3

.

The HD fluid film E replaces constraint C2 used in simula-

3 0

tion of the kinematic behaviour (see figure 1.3~). Between B and B another energetic connection can be introduced to represent the vis- cous friction in the prismatic joint. Since the estimated magnitude of this friction force was very small (less then 1 Newton), it was

3 2

4

decided to leave this connection out of consideration. In the follo- wing subsections the nonstandard connections, that is the HD fluid film and the cam-roller connection will shortly be described. Only the endpoints and relevant variables o f these connections are defin- ed, while their constitutive equations are discussed in more detail in the first three appendices A, B and C . In the fourth appendix D the numerical data as used in this study is given.

The cam-roller connection

The relative motion between cam and roller is described by three ge- neralized coordinates, these being the polar coordinates y , and r of the centre of the roller with respect to the centre o f the shaft and the counter-clockwise rotation y P of the roller (see figure 1.4b). The camprofile consists o f a basic circle, two tangent lines, a top circle and two small circle segments on the transition from the tan- gent lines to the kop circle.

aj geometry

figure 1 . 4 The cam

For the simulation of the kinematic behaviour we assume that the cam and roller are in contact and that the roller rolls (without slip) on the cam. The contact condition results in a holonomic constraint of the form

5

while the assumption of pure rolling is expressed mathematically by a nonholonomic constraint, of the form

For f, = f ('p 1, P (p,) and P (cp ) different expressions apply to different parts of the camprofile. For example, the expressions for the basic circle are given by:

1 1

21 22 1

f, = Rb t Rr, P 2 2 = 0 . 0 ( 1 . 3 )

where R and R are the radius of the basic circle and the radius o f

the roller respectively. The more complicated functions for the tan- gent lines and the transition segments are not discussed here, but in appendix A.

b r

For the simulation of the dynamic behaviour we have to consider the EHD fluid film between cam and roller (Johnson, 1970). In this case there is no direct contact between cam and roller and some slip oc- curs. As a result we have to drop the nonholonomic constraint ( 1 . 2 ) . The slip in the EHD fluid film gives rise to a traction force which causes the roller t o rotate. This fluid film will be modelled by an energetic connection. The relevant kinematic variable

E

o f this energetic connection is the slip, while the traction force is the relevant force variable F (see figure 1.5a). The constitutive equation is a relationship of the kind

F = ftA, _{( 1 . 4 )}

where ft is the friction (also called traction) coefficient and A the (a priori) unknown normal load between cam and roller. This load can be determined after the equations of motion have been solved. In sec- tion 3 some attention will be given to the iterative solution to ob- tain the unknown load A . For the function ft we use the expression derived by Noupert [1980]. This expression accounts for the nonlinear viscous effects produced in the EHD fluid film and is described in appendix B.

6

n

a) the EHD fluid film

1

HDbearins/ \y

'

b) the HD fluid film figure 1.5 Relevant variables

Although the EHD fluid film has a certain thickness, the constraint

( 1 . 1 ) is not modified. Compared to the displacements in this con-

ytrain-her-hhkc-knes s-sf-khef&&m+-l-u r n ~ ) - i , s - n e s l ~ s ~ ~ ~ y - ~ t ~ - ~ ~ ~ ~ ~ should be said that the normal load between cam and roller can become

negative. In that case the roller loses contact and the constraint

( 1 . 1 ) is no lonyer active.

The hydrodynamic íHDI fluid Eilm

The HD fluid film between the roller and the plunger is considered as

an energetic connection too. Its relevant kinematic variables are the

2nd + h a sqnlilaE

. . .

eccentricities i n the Ä and z Uirectiûns, E l and c 2 , U I I U L i a i - u i y u

velocity of the roller,

tation of the roller and the eccentricity, the HD fluid film produces a bearing force, denoted by the relevant force variables F

as well as a (low) viscous friction moment, denoted by F

.

For the constitutive equation o f the HD fluid film a relation of the follow- ing kind applies

(see figure 1.5b). As a result of the ro-

and F2,

1

3

7

In the literature on KD bearings this type of equation is known as

the impedance formula [Childs, Moes and van Leeuwen, 19773. For the constitutive equations for F, and F

2

r-bearings of finite length [Moes and Bosma, 19811. For the determi- nation of the friction moment F a simplified equation is used as suggested by van Leeuwen [1983]. In appendix C a more comprehen-' oive description of the equations is given.

we use the impedance formula for

3

2 The simulation of the kinematic behaviour

To simulate the kinematic behaviour we consider the system without the energetic connections. As stated in the previous section, it is assumed that the roller rolls without slip on the cam and the roiler stays in contact with the plunger. In this case we assume that the position of the centre of the roller coincide5 with the position o f

the pin at the bottom of the plunger. The system consists of three bodies, three hinges, two constraints and two trees.

T o P o l o w

The graph of the system is shown in figure 1.3b. From this figure we can determine the location (sub)matrices and the tree matrix. This yields :

s

= [-I

o

-1

1 ,

-0

sc

r"0 =

E-1

o

1,

VI lT= [

o

1

o -j

( 2 . 1 ) s" = t1

o

T = tl ti O

-

Selection of the Laqranqe coordinates

Of the three hinges H 1 has one generalized coordinate (y), H

three ( t p , , r f rp ) coordinates and H nates we therefore use

2

has

3

has one (2). As Lagrange coordi-

2

8

( 2 . 2 )

Description o f the bodies

The three bodies are characterized each by the matrix representation of the body-fixed tensor and vector ( B I b). For these variables we use -b Ground Bo: I Body B : 2 Body B : Ob33 m = [O,O,b,]T, lB33 =

-

ii (2.3) (2.6)

Description of the (elements o f ) connections

The three hinges are characterized each by the matrix representation of the connection tensor and vector (Ir,

c)

and their derivatives

(GI

.

.

,

v .+ 1 . For a pin-joint like €I1 this yields:

00

-b -?I .+ 4

while = o , v = o and all other vectors are equal t o o . For hinge H

obtain :

we

2

with the Lagrange coordinates q2 = (pl, q 3 = r and q

-

4 - q 2

9

IC2 = c

o

-s

,

4 -

Ijj

o

j:l

w +2 = 7 O f 2 -4

G2

= o , 3 I c2 cn (2.8)

where ci and s . stand for cos(qi) and sin(qi) respectively. For the prismatic joint H3 we finally use, with q 3 = [q5],

1

cn

(2.9)

T h e l c i n e m a t n r a i n t C

1.1. As functions of the Lagrange coordinates the constraint equa-

tions are given by

h as alreädflemTcmtkixie4 i r i ae&n

P

g

i- P23;3

-

B I q 4 =

o

2 2 2 (2.19)

The constraint equations for the second constraint, introduced to re- place the HD fluid film in the simulation of the kinematic behaviour, become -a2 +o ( f 3 - r lee = O X and 7 3 -42 -+o (r

-

I )*e = O z (2.11) + 2 where r

tion of the centre of the pin at the bottom of the plunger.

is the position of the centre of the roller and

f 3

the posi-

Kinematics of the tree structure

In this subsection the kinematic formulas for the tree structure are set up. First the data of the bodies and hinges are assembled in the

T" and

h,

TTU* TT8 and substituted

tree matrices

ST,

--

?Tio,

?

w~~~

_--

_-

_cnof

_-

_-00

l o

these matrices in the kinematic formulas of section 5.2. This way we obtain the columns with all the angular velocity vectors, the

position vectors etc.

-

.+I + 2 .+ w * c o 1 V '2

;

'2

;

'

3 ' 2 V O O

'

3' O V 5 - Orientation: 80 =

1,

El =

a!

1

,

E 2 = c 2 * a

,

E 3 = 1 - -v 0 1

'

O

'

O O ' 3 5 V

'

Angular velocities and accelerations:

-v UT

_--

=

8T

_-- = r

'

o 3 O

'

O O O

'

'

- 'I w = ' I + I

'

w 1 _{' +}w I ₊O O 0 0 O 0 0 + 2' 3 o w 0 O 0 0 3 ' '

'

-v4

'

-* T+

-

TTG - . " o = o , m T

bJoo

-

,

+I 0 w l q

i

3 O * 3 2 " -b w4q4 ó (2.12)

'

Y, = o (2.13) Positions:

velocities and accelerations:

-v O 3 O O O 3 ( 2 . 1 4 ) 1 1

LI) -?- O NO 43 ai c ci O ci d O .d bi rd ci E: b) in a, H g, a, H x -4 LI +,

E

a, s: -I-, E: -4

3

m in ai LI g, x ai a, LI d m LI O .!-J U a,

*

rl rl d -IJ x a, z -3- in u: U a 101 V e IR e I _{4- c-} F m N *-i

N

u m Cu I e1 a0' 7 N N m N u1 in 6 o* .i- m Cu

N

UI u CJ I m *V N * VN U U N 4- eV eV c N N m N v) U I *w et3 m v) N ! c m N N .i-

+

R h m Nm a-c t3

+

eli 43 N NN v Cu 40

+

?O I_- m m N ru w I3 m UI in U io+ _c c m m N U u U UI wN

-

-

N N In m in V 104- u U U m c c N N c c o-c O O O O 0 O O O O O O O O O O II us N O li N PI 3s O N *U U r 1 O 0 O O O O O O O O O O O O a.

-

PI M O'N V U in U -", c T- I O c- I O i-

-

'i- ill

-

io+ o O 4L-Y 5 Wi t. +N 81 f3 NN /I rill T- O O O O O O O O O O O m m N VN 1 in v) U in ! I

-

il

-

'i- m N U U .i m ?!N OYC c- I O U m F +ui N 80' tO tu mrn u 43 .r u01

..

T- ill T-

..

?OS I1 I II II Cl51 c O

-

81 -c i1 O NO 35 O O 43 s I- E-il NN SS O t3 v" rill O II 8tMS

'(T~u l T = [O, O, O, T U O O ~ , O, T U O O ~ , O, 0 , 01 - W O O O e e -9,- q 4 O I I Kinematic constraints

All implicit constraint equations will be rewritten as explicit equa- tions. The constraint equations (2.10) are already expressed as func- tions of the Lagrange coordinates and therefore only the constraint equations (2.11) have to be rewritten. For these constraint equations we obtain:

13

sim. kinematic EJS 83-nov-2

s q - b + b - q 5 = 0 (2.16)

Cl2q3 = 0 , 1 2 3 o 3

The holonomic constraint equations can be written in matrix form. This yields

(2.11)

Differentiation with respect to time furnishes us with a relation o f

the form

where P = o and P and P are given by

*oh * -h mooh

(2.18)

1

TUOO 4

TUoo6

The terms P I 2 and Pool are derived from ( 1 . 1 ) and the terms U T l 4 , .. f

constraint equations in (2.10) can be written in matrix form as

-9 T-9

are components o f

vT

and

T

!oo. Furthermore, the nonholonomic

UTOOG

where P = o and P and

Poon

are given by

*on L-- -n - r n - =o02 ui P ^r -R U ] , P 2 2 2 3 r -oon

The terms P Z 2 , P 2 3 and Poo2 are derived from (1.2)

Formulation of the kinematic simulation problem

The simulation o f the kinematic behaviour includes the determination of the trajectories of the positions, orientations, velocities and accelerations of the bodies. The number o f degrees of freedom, nd, is found as

14

nd = nq - rank(oh) = 5

-

3 = 2 (2.20)

With q1 representing the prescribed rotation of the driving shaft, we still must prescribe one of the other Lagrange coordinates. For this we select the fourth Lagrange coordinate, that is the rotation o € the roller. As a result of this choice the columns

9,

and

sf

are defined by

T

gf

=

E

q21 q3, q5

1

(2.21) However, there is the nonholonomic constraint for pure rolling, re- sulting in a Pfaff matrix

En

of rank one. This implies that only nd - nnp = 1 component o f

is

and $s may be prescribed. For this we choose

9

and while the derivatives

6

and follow from Sol

[1983, equation (8.3.6)]. Thus the value of q at a certain time re-

4 '

mains undetermined. Since we are interested in the trajectory of q we will integrate

9,

in order to obtain the trajectory of q4. Only at the origin time t

1 1' 4 4

4

must a value €or q

O 4 be specified.

-F-njr-t he-dete rmi nat i . a n d A A ~ 3 ~ - j e ~ ~e 4 4 o u&*a- ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ L a ~ ~ ~ ~ ~

tes, also called the KSP/O, we must solve for a given q 1 the values €or the coordinates o f

gf

from the constraint equations (2.17). In- stead of solving these equations numericaiiy, we can rewrite the con- straint equations in this special case in an explicit form. Since q # O, the second constraint equation yields cos(q +q ) = O. This implies that q =

-

t n+

-

q, (integer n). Substitution of this result in the third constraint equation yields q

-

b t b - q - O. Instead of

(2.17) we can therefore formulate the KSP/O as

1 2 li 3 2 2 3 0 3 5 -(2.22)

The coordinate q 4 does not appear in this set of equations. As stated above, the value €or this Lagrange coordinate is determined by inte- gration.

15

To formulate the KSP/I, /2, that is to determine the derivatives o f

the Lagrange coordinates q

In this case these matrices consist o f the second, third and fifth column and the first and fourth column of the matrix

0,.

The sub- matrix P

tions

El

and P

we must set up the matrices P -hf and Phs. - ..f'

can easily be inverted analytically. With the abbrevia- -hf given by . . 2 (2.23)

the KSP/I and KSP/2, as formulated in section 8.3 of Sol [1983], become

and

(2.24)

The equations for

4,

and :4 are obtained from the (linear) nonholomic constraint equation itself. Using (8.3.6) from SOL [I9831 results in the same equation, but now formulated in

6,

and

1 '

Solution o f the kinematic simulation problem

m e equations (2.22-25) have been y r c g m m e d 5 0 -;hat the solution for

9,

i

and

i

is obtained each time for a prescribed rotation of the driving shaft. The results of a simulation with

(1000 rpm) is shown in figures 2.1 and 2.2.

-.

= -104.7 rad/sec

1

In these figures the results for q4' that is the rotation of the rol- ler, and q5, the displacement o f the plunger, as well as their deri- vatives are shown for q

(t = O msec, just before the beginning of one of the tangent lines) to 260

the angle o f the cam, ranging from 10ûo 1'

O

(t = 27 msee, just after returning to the basic circle).

1 6

figure 2.1 Trajectories of q 4 and i t s derivatives

4 '

From figure 2.1 it follows that the angular velocity of the roll,

6

increases as soon as the plunger is lifted. From an angular velocity of 245 r/s on the basic circle to a value of 332 r/s at the top of the cam, the angular velocity reaches a maximum value of 360 r/s. This value is attained at the moment the camprofile changes from the tangent lines to the transition circle segments.

.io mm

3

- -~~

time (10'~sec)

Sigure 2.2 Trajectories of q5 and its derivatives

The trajectory for q5 illustrates the camprofile. The changes from the basic circle to the tangent lines, to the transition circle seg- ments and to the top circle are clearly illustrated by the trajecto- ries of the derivatives of q5. The deceleration of the plunger on the

1 7

transition circles is higher than the acceleration on the tangent lines. By chosing another camprofile these peaks may be reduced.

3 The simulation of the dvnamic behaviour

The energetic connections The equations of motion Two serious problems The results

Simulation of the dynamic behaviour is of particular interest for the analysis of the lubrication processes and the Hertzian stress in the contact between cam and roller. However, simulation of the dynamic behaviour is more difficult than of the kinematic behaviour. First of all we have to deal with the normal load between cam and roller un- known a priori, second, the displacements in the HD fluid film are extremely slight compared with the other displacements. The first problem requires an iterative solver which must be used each time the equat5maf-möfkon-ar e-emfh&edTT he-secxmcFprab-l em-Ee sk~k&s - & h e length of the time step significantly and requires a special integra- tion scheme suitable for stiff differential equations.

The enersetic connections

In the pump we consider only three energetic connections. For the first energetic connection, the EHD friction E' (see appendix €31, the following data applies:

i ïïv ;; rl - n 2 , - w \ 2

1

relevant variables: see appendix €3.4 constitutive equation: F' =

~ ( Z , : , A ) A

with f = friction coefficient

F1

(load on E

1 :

I n

-

a t - - l V ) , A = u

A = normal load (unknown)

1 1

(':'iT = [-F s O, F Cu], 0: = a ( $ )

1

U'

2

For the second energetic connection, the HD lubrication & friction E

(see appendix C), we use:

3

A2 = B

2

1 element, nv = 3 A' = B ( = M I ,

18

+33 -

c3

-

ifo3)

+ b

relevant variables: E: = goo(:2

+

b

-+33

-

C3 - 603) E 2 = L o e30(c + 2 $ 2 * o +2 E = e e w 3 22 2 2 e 2 constitutive equation: F

= F ( : , $ )

F2,

$i2

(load on B3): o 2-T 2 2 (

M

1 (

F

1 = [ F l I O, F 2

1 ,

o 2 T - - [O, F i l

o1

Finally, the third energetic connection, the spring E3 (the small spring on top of the plunjer) is described by:

3 2 O

i element, nv = I A " = B ( = N I , A = B constitutive equation: F3 = k 3 E

relevant variables: E 3 = q5

1,

o 3 T

F3

(load on Bo) : ( vi F 1 = [O,

o,

F31

The equations o f motion

Compared to the kinematic simulation problem we drop the constraint for pure rolling as well as constraint C2 for the relative position of the centre of the roller and the pin of the plunger. These kinema-

tic c onn e c ~ i ~ ~ ä ~ ë ~ r ~ ~ ~ ~d ~ ~ ~ ~ ~ ~ e ~ l a ~ ~ ~ ~ d ~ ~ d ~ ~ ~ i € ~ R ~ ~ i

film and the hydrodynamic (HD) fluid film. As mentioned in section

1 ,

we denote these energetic connections by E and E respectively. Only the kinematic constraint for contact between cam and roller remains. This constraint results in the Pfaff matrices given below

I 2

p _-f = [ P l 2 , -1,

o,

o

1

( 3 . 1 ) P = O = [ o ] ,

-S

and implies the following partition of the Lagrange coordinates

T

Jzs

=

f

4,

I r

( 3 . 2 )

For the equations o f motion we have to determine the generalized mass matrix A and the generalized loads Q and Qin. The mass and in-

-

-00' -ex

ertia tensors o f the bodies are easy to determine.

Q

Inertia loads :

19

O

-D T"

($T)*(fi -- YI t Z*T - -

WOO)

=

2

since both

$

and

TTtoo

are

2

c - = O 0

Afs

-*2 2' "2 -*2

Aff

= m v b V m v rv m v eV3 m v ev 2 2 2 2 3 2 -+2 -*2 "2 "2 2 2 2 3 3 O O - - - - - --- - - ~- ~~ - ~ ~ - - ~ O

o

+2 w 4 4 g -

2-"2---ö

o w 4 ) +3 '3 O O O m3v5.v5 -

-

t -"l*-*2 "2 '1*"2 2' 2 3 -91 --2-92- m w C.V 2 1 2 4 liìW C C V w,.@ *w4) O

-

and in matrix notation

The generalized external load Qex is completely determined by the pressure p on top of the plunger. From

Fex

= [ o, o , p] and

Mex

= o v)

it foilows that

'

-? -*T d ' " = [O,

o,

o ,

0,-apPl 9ex ( 3 . 5 ) 20

where A

mined pressure p = pjql(t)) is given as a function of the angle of the driving shaft and is therefore known as a function o f time. A xiarmed pressure curve is shown in figure 3 . 1

is the area on top of the plunger. The experimentally deter-

P

Pm = max. pressure

t 0 = starting time t, = final time

figure 3 . 1 Normed pxessure curve

The actual curve starts (point to of normed curve) as soon as the angle ql-of-tbe driving shaft reaches a va-he of-approximately~:l48

.

A few degrees later, somewhere between -156' and -153', the actual curve ends (point t l o f normed curve). The starting point, final point and the maximum are determined as functions cif the âagülar ve- locity

t ,

(500 - 1500 rprn) and a control variable for the fuel inlet (ie= 9 - 15 m m f . The €unction p = p(t) is chosen so that the experi- mental data fits as accurately as possible.

o

figure 3.2 The positive directions of the internal loads

21

From the relation

gin

= (UT)*$. t (gT1.M. column Q

only. These internal loads on the bodies arise out of the energetic connections E

,

E and E3. The positive directions of these loads are shown in figure 3.2. Note that the direction of

F1

is determined by the normal vector of the cam profile at the contact point. The direc- tion of this normal vector is a function of the cam angle g On the

2 ’

basic and top circle segments the angles a and q 2 are equal, on the tangent lines and the transition circle segments these angles differ.

it follows that the sub-

-1n

and $n: depends on the internal load vectors Fin, Min

1 2

-+2 -+2

-in --

--

in, f

Generalized internal loads:

I -r1 -rl -r2 -+I -+2*$2 wl*(MinC M. f

+

wI*c in 1l-l -+2 -92 V2*Fin -+2 +2 v3 e Fin + 2 -r2 W45Min + 3 -+3 v eF 5 in 1 2 T 1 2 = [. O, -R,F =

-R2

i-

g2

*-$I ( M. ) _{- F3, O]} + 2 Min -in 22 .6)

and in matrix notation

(3.7)

From these arrangements, one can derive the generalized internal gin, f as

R2F 1 t F3 2

load

FGE t h e ~ u m e r i r a l v ~ l ~ t i n n nf the equations of motion, the constraint stabilization technique with the %aumgarte constants was used (see section 8.4 of Sol [1983]). The corresponding Pfaff term yields

2

p

p = P 100 -i- 2PIPI2q2

-

;,I + I3 tR1(q2) -

ca3)

Based on these results, the final equations of motion become:

(3.9)

23

(3.10)

The equations of motion as described above can be solved numerically. Before any results are shown, some problems must be mentioned.

Two serious problems

The value of the traction force F 1 depends on the traction coefficj.- ent f and the value of the normal load between cam and roller, indi- cated by A . The relationship is given by

F 1 = f ( A ) A (3.11)

The normal load A is an internal load arising out o f the kinematic constraint. The normal load A and the Lagrange multiplier A are re- lated to each other. In this case the normal load and the internal load caused by the constraint have opposite directions

A = -A (3.12)

The line of action of both loads intersects the contact point and the centre of- the röxlër

r

From this- proyerty and- thexefationships-

-~ ~~~

(3.13)

the equation for the Lagrange multiplier A becomes an implicit, non- linear algebraic equation of the kind

(3.14)

Since this equation musk be solved each time t h e epüatiûns üf iriûtiûii

are evaluated, it was decided to use a fast converging Newton solver. This solver requires the partial derivatives of Q

spect to A , given by:

and Q with re-

2 3

The derivative of the friction coefficient f ( h ) with respect to A was obtained by differentiation of the expression of Houpert and axe men- tioned in appendix B.

Another problem is caused by the slight displacements in the HD bea- ring. During the solution process, when the plunger and roller are raised 10 mm, displacements in the HD fluid film are of order of 2 pm. Since slight displacements in this fluid film introduce large hy- drodynamic forces, we are confronted with a set of stiff differential equations. To solve these equations a Gear solver has been used (sub- routine D02EAF of the NAG library [NAG, 19811).

Again because of the great difference in displacements, all calcula- tions have been done with double precision and finally with an accu- racy of IOe7. All values have been scaled to

and 1 kg to achieve that during the solution of the differential equations all variables attain values of order i . For the stabiliza- tion parameter (3, occuring in the constraint equation, a value of

.O01 gave the best results.

metres, IO-' sec

The_re_sults

The results discussed in this subsection ay;plp t c ? a pimp with a fuel inlet ie = 15 mm and

that the radial clearance in the HD fluid film has a value of 6 pm, which implies a radius/clearance ratio of 1000, For the oil parame- ters we have used data for a common engine oil (see appendix DI.

= -104.7 rad/s (1000 rpm). It is assumed

lirry

rw

30 104.68 22 30 90 150 30 90 150

A

time (io3sec)

B

_C

figure 3 . 3 The trajectories of

tz,

t 4

and hmin ai the HD bearing 25

e .

In figure 3.3 q 2 , q, and thickness hmin of the HD fluid film are shown for three revolutions of the cam. From figure 3.3a it can be seen that the initial values f o r

4

( 5 digits). The three spikes are caused by the applied fuel pressure on top of the plunger. When figure 3.3b for

9,

is compared to figure

2.2, it can be concluded that the roller slips on the cam. At top of

the cam this slip approaches a value of 33% o f the average velocity of the EHD fluid film. From a cam angle of -145' to 0' the slip is in the opposite direction in order to decelerate the rotation o f the roller. The thickness in the HD fluid film is shown in figure 3 . 3 ~ . The irregularity is caused by the transient response. it is of inte- rest t o note that the eccentricity ratio in this HD bearing is rather slight (10%

. .

50%). This is an undesired situation since it results in Less stability of the bearing. If the radius/clearance ratio i s decreased from 1000 to 500 the eccentricity ratio is increased to 50%

. .

75%.

(and q 1 have to be very accurate

2 2 120 130 140 120 130 140 time ( 1 ~ ~ ~ ~ ~ )

A

125 130 135

c

figure 3.4 The trajectories of B , f hmin â t EH= and Bextzian vtxevs

In figures 3.4a and 3.4b some results are shown for a cam angle be- tween 100' and 260' degrees, while figure 3 . 4 ~ gives the Hertzian stress f o r a cam angle between 100' and 180'. The load Q, (figure 3.4a) is the load required at the driving shaft in order to realise a constant angular rotation. As can be seen from figure 3.4b the EHD fluid film thickness has an average value of - 2 6 pm, while its mini- mum value, obtained on the transition circle segments, is .O6 pm. The latter value iml;lies that the surfaces of the cam and ioller should

26

be very smooth, so as t o avoid metalic contact. In figure 3 . 4 ~ the Hertzian stress in the contact between the cam and roller is shown. The value of 975 N/mm2 is a reasonable one for a line contact. The additional (second) spike i s caused by the change in curvature at the intersection of the tangent line and the transition circle.

4 . Literatuur lijst

CHILDS,D., Moes,H. and van Leeuwen,H.: Journal bearing impedance descriptions for rotordynamic applications.

Journal o2 Lubrication Technology,

22.:

198-214, 1 9 7 7

HOUPERTIL.: Contribution 1' $tude de frottement dans un contact èlastohydrodynamique.

PhD dissertation, I.N.S.A., Lyon, France, 1 9 8 0 .

JOHNSON,K.L.: Regimes o f elastohydrodynamic lubrication J.Mech. Engineering Science,

12:

9-16, 1 9 7 0

LEEUWEN,H. van: private communication, 1933

I.1ûEC,Ei. and 8osma,R.: î40liiflity and iïíìpedance definitions f o r plane journal bearings

Journal of Lubrication Technology,

u:

468-470, 1 9 8 1

NAG: Fortran Library Reference Manual (Mark 8)

Numerical Algorithms Group Limited, Oxford England, 1 9 8 1

SOL,E.J.: Kinematics and dynamics of multibody systems PhD dissertation, Eindhoven Univ. of Tech., 1 9 8 3 .

27

Appendix A : BE NOK

A.l Beschrijving van het nokprofiel

Het profiel van de nok wordt vastgelegd door 4 parameters. Deze para- meters zijn de straal van de basiscirkel RcI de opvoerhoogt hcI de straal van de afrondingscirkel rc en de hoek 8 , van de tangent lijn

1

(zie ook

figuur A.1 Kek nokprofiel

De positie van een punt ergens op het nokprofiel zai mek Ge pool- cobrdinaten B en R beschreven worden. Afhankelijk van de waarde van de hoek 8 zal het punt P op de basiscirkel, de tangent lijnen 1 of l ‘ , op de afrondingscirkels of op de opvoercirkel liggen. De overgang van basiscirkel naar tangent wordt vastgelegd door de hoek 8 1 ’ De overgangen van tangent naar afrondingscirkel en van afrondingscirkel

---

-

-- -I--- --e.. - L - l

_---

1ldd.L UpVueLL;LKeI WUId2rì gegeven dûûï de haeken

v 2

en 0 3 . Tei?eiPi.ti- deze hoeken te bepalen, zullen eerst de posities van de punten P a en Pb berekend worden.

Punt Pa is het snijpunt van de cirkel met straal Rc

+-

hc - rc en de lijn parallel aan de tangent 1 doch op een afstand rc onder 1. Van de twee snijpunten van de cirkel en lijn i s P

geldt dat

2

<

ea<

T T . Met xa en y,, de componenten langs de basisvec- toren el respectievelijk e2, kan voor de positie van F a geschreven worden :

het snijpunt waarvoor a

* -P

1

2 2 2 (xa) i- (Y,) = (Rc + hc - rc) = x tan(B1-

2)

T f i"- rc) ' a a C O S ( Q , - ") 2

Kwadrateren van ($1.2) en invullen hiervan in (A.1) r-sulte vierkantsvergelijking met als oplossing voor

2

T 6 Ba < TT:

2 x = -A 2 - J [ ( A 2 )

-

4 A l A 3 ] 2A1 a (A. 1) (A.2) rt in een (A.3) waarbij 2 A = I

+

tan

( e

-

E) 1 1 2 ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~ +

Omdat de lijn tussen Pa en Pb onder een 8

kan de positie van P b Pa bekend is. Er geldt:

t.o.v. de e vector ligt, eenvoudig berekend worden zodra de positie van

1 1 x = x - r sin(e1- -1; TT b a C 2 - - y, i- rc cos(8 - "1 ' b 1 2

--

_{voor û en 6 g e l d t :} 2 3 - Xa y, -X, lT D

e 3

=

-

B t arctanf-1 2 8 =

-

+

arctan(-); Yb 2 2 (A.4) (A.5)

Merk op dat steeds getracht wordt om de waarde van sin, cos, tan en arctan termen tussen O en

5

te laten vallen.

Bij de beschrijving van het nokprofiel zal naast de eenvoudige be- schrijving van de basiscirkel R ( 8 ) = Rc en opvoercirkel R f Q ) = Rc+ hC

2

ook de beschrijving van de tangent lijnen en de afrondingscirkels nodig zijn. Voor de positie van punt P op de tangent lijnen 1 en 1' geldt:

C

R y = x tan(8'

+

"1 -

COS(6; f

p)

Door invullen van x = R c o s ( 8 ) , y = Rsin(8) en

1 '

waarbij 6 ; = -6

toepassen van enkele goniometrie regels kan voor de positie van P ir, poolcohdinaten met 8 C 181

<

6 geschreven worden:

1 2

Voor de positie van P op de afrondingscirkels geldt dat de afstand

tussen P

a en P gelijk moet zijn aan de afrondingsstraal:

Na invullen van de relaties x = R c o s ( 6 ) en y = Rsin(6) kan, na enige manipulaties o.a. met de oplossing van de vierkantsvergelijking, gevonden worden dat voor e 2 6 1 8 1 < 0 geldt:

3

met

A . 2 De holonome conditie

De holonome conditie voor contact van nok en nokrol zal zodanig ge- formuleerd worden d a t de positie van het middelpunt van de nokrof t.o.v. de -t2

2

basis vastgelegd wordt.

3

De holonome conditie kan direct uitgeschreven worden als functie van de gegeneraliseerde cobrdinaten q en q3. Merk op dat q een hoek

2 2

vastlegt die in het algemeen niet gelijk zal zijn aan 8. Analoog aan de hoeken tll, 8 en 8 3 worden de hoeken 9,' w 2 ' en q 3 geintroduceerd met : 2 - IT C - -

+

arctan(-) ; 9 3

-

e 3 9 2 - 2 YC P I =

e l ;

(A. IO)

waarbij x en y gegeven zijn door:

C C

met R de straal van de nokrol. r

Naast de holonome conditie zullen ook de eerste en tweede afgeleiden naar de tijd van belang zijn. Hiervoor wordt geschreven:

2

Wij spreken af om in het vervolg de gegeneraliseerde coördinaat g

steeds door optellen/aftrekken van een veelvoud van 2a om te zetten in een waarde tussen -IT en I T .

Voor de functies f,, p12 en P,2 geldt voor O Q lq21

<

cp cirkel 1 :

(de basis-

1

f l = R + R * P I 2 = o ; P 1 2 = o (A. 1 3 )

C r'

Als de nokrol evenwijdig aan de tangent lijnen beweegt, dan geldt:

4

De functie sgn(q2) heeft de waarde +I indien q 2 O en de waarde - 1

indien q2< O. Dus de term sin(q2 f r p ' ) mek -rp 6 q

<

-rp

herschreven worden als sgn(q )sin(/q

1

- rp f

2

kan

I 2 2 1

2 2 1

Indien de nokrol over de afrondingscirkels beweegt, dan geldt:

f, =

c ,

f

c2

(A. 151

5

waarbij a(q2,q3) gedefinieerd wordt voor ip2< Iq,l < Q als: 3 x - x li a 2 CY =

-

-k arctan( (A. 1 6 ) 2 waarbij x en q3. Voor ip

<

Iq I Q ip

en y, reeds berekend zijn en x

a P en yp functies zijn van q

geldt:

2 2 3

Tenslotte geldt voor i p 3 < {q21 tf m (de opvoercirkel) dat:

f, = Rc -t- hc

+

Rr; _{p I 2} = o ; _{P I 2 = o}

(A. 1 7 )

(A. 1 8 )

W.3 De niet-holonome conditie VOQE zuiver rollen

De holonome conditie f uit de vorige paragraaf zorgt voor het con- tact van nok en nokrol. Voor een kinematische analyse (dus wanneer krachtgn-bui-en beschouwing ~~ gelaten - worden) ~ - veronderstellen ~~ wij dat nok en nokrol zuiver rollen. In dat geval moet de relatieve snelheid tussen nok en nokrol gelijk aan nul zijn. Dit kan met een niet- holo~erne coditie in rekening gebracht worden. Wij schrijven dan:

1

~

met

Voor het opstellen van P 2 2 2 , . . í P

stilstaat en de nokrol over de nok rolt. Dit betekent dat de snelheid van de nokrol in het contactpunt gelijk aan nul aoet zijn.

wordt verondersteld dat de nok

2 3 3

2

Wederom veronderstellen wij dat de gegeneraliseerde coördinaat q

terug getransformeerd wordt naar een hoek tussen -v en T I . Hetzelfde wordt ook met q4 gedaan. Tussen O G lq2/

<

'p, geldt:

I

6

P 2 2 = Rc 4- Rr (A. 20) terwijl de overige termen P ~ ~ , . . gelijk aan nul zijn. Tussen

f 1q

I

< ( p 2 geldt:

2

waarbij a(q2,q3) is gedefinieerd in ( 8 . 1 6 ) . Voor de partieel afgeleide van a naar q2 en q3 schrijven wij:

~ ~ ~ ~ ~ -~ ~ -~ - ~~~ ~ (A.21) ( A . 2 2 ) met voor ip

<

{ q

I

6 cp : 2 2 3 E = (R f rc) 2 i C = (Rr

+

rc)cos(1q2/ - a )

met y 2 Q

Is

i

< ip gevonden wordt dat: ' "233 2 3 terwijl voor P222,. p222 = -q3(sgn(q2)

-

D1)sin(lq21 - a ) (A.25) P~~~ = cos(lq21 - 01) f q3D2Sin(iq21 -

Co

= ( í - sgntq2)B1)cos(1q21 - OL) p232 P~~~ = -sgn(q2)D2cOS(lq21 -

Co

Tenslotte geldt voor y 3 Q

Is

I

< T dat:

2

= Rc

+

hc

+

Rr

p2 2 (A.26)

terwijl alle overige termen nul zijn.

De toegepaste nok en nokrol worden volgens de tekeningen (Eosch, 1962) door de volgende parameters vastgelegd:

Rc = 16 mm, hc = 10 mmr r = 2 mm, = 118.7°, R = 12 mm

C r

Opgemerkt dient te worden dat i.p.v. de hoek

e l

ook de hoek B 3 = 180 - 7

maken van een geleidelijk verlopende afrondingsstraal van 2 mm naar 4 mm. Van deze gegevens is geen gebruik gemaakt.

O o

gevonden is, terwijl meer recente tekeningen melding

Het resultaat van toepassen van (A.3) en (A.4) levert:

x x = -23.8 mm, y, = 2.9 mrn = -24.8 mm, yb = 4.7 mm a b

waaruit direct volgt (A.5) dat:

8

O O

9, = 118.7

,

6 2 = 196.3

,

E i 3 = 173'

Ten behoeve van de condities vermelden wij nog dat:

X = -30.5 mm, y, = 15.2 mm

C

lp., = 118.7', lp2 = 153.5O, lp3 = 173'

Met deze laatste gegevens zijn ondermeer de formules (A.13-IQ) zoveel mogelijk gecontroleerd.

9

Appendix B: HET ELASTO-HYDRODYNAMISCH CONTACT

B.1 Inleiding

Het contact tussen nok en nokrol vindt plaats via een smeerfilm waar- in een elasto-hydrodynamische (EHD) smering optreedt. Ten gevolge van slip zal, afhankelijk van de normaalbelasting ( A = Xn), een

wrijvingskracht optreden. Het constitutieve verband voor de relevante krachtgrootheid F kunnen wij schrijven als:

met f de zogenaamde wrijvingscoëfficiënt en E en

E

de relevante kine-

matische grootheden. Deze constitutieve vergelijking wordt in para- graaf 8.2 besproken.

Voor het berekenen van f wordt een formule toegepast waarin een aan- tal parameters van de olie en hat-materiaal van nok-en nokrol voor- -

komen. In paragraal B.3 worden voor deze parameters de veronderstelde waarden vermeld. In paragraaf 8 . 4 wordt aangegeven hoe de relevante kinematische grootheid E en als functie van bekende kinematische grootheden berekend worden. Daarbij worden, naast de slipsnelheid AU, ook de gereduceerde straal R en de gemiddelde snelheid U bepaald. Aan het slot van deze appendix wordt ingegaan op de partieel afgeleide van

E

welke nodig is voor het rekenproces.

De formule voor f welke wij zullen toepassen is afkomstig van Houpert

[1980]. Deze formule is gebaseerd op de veronderstelling dat het

constitutieve gedrag van de olie door een linear elastisch en een niet-linear visceus deel beschreven wordt. De wrijvingscoëfficiënt kan met behulp van de volgende benaderingsformule berekend warden:

f =

3

arcsinh( {AU )

hz Tohc

Ir0

(B.2)

1

met voor auhz

<

8

(B.31

-

q = .92qoe (.906738aohz)

waarbij qo de viscositeit bij atmosferische druk representeert, a de drukviscositeit coëfficiënt en -co de representatieve schuifspanning in de vloeistof. De grootheden ohz en hc zijn resp. de Hertze

spanning in het contact en de centrale smeerfilm dikte. Voor de grootheden geldt:

55 7 .425E-.025L.125A-.125 hc = 3.38 a ’ _{( q 0 U ) .} R

met L de breedte van het contactvlak, R de gereduceerde straal en de E de gereduceerde elasticiteit modulus gedefinieerd door:

~~

met v l , E

teit modulus van de nok respectievelijk de nokrol.

en v2, E2 de dwarscontractie coëfficiënt en de elastici-

1

B.3 Uitwerkinq van de formule voor f

Wij zullen de formule voor f zodanig herschrijven dat hierin uitslui- tend de kinematische variabelen R, U, A U en nonmaalbelasting h voor- komen. De overige grootheden zullen, nadat een keuze gemaakt is voor

de yebrtiikte olie en looyv?âk ;râteriâlen, hekende constante paraliie-

ters zijn. Voor de breedte van de nokrol een waarde van L = 0.012 m gebruikt, terwijl voor de olie parameters bij een temperatuur van 90’ C (temperatuur motorolie in het carter) geldt:

= 1.703 M s m-2

‘10

-c = 0.5

lo7

N m-2

a = 0.185 N-’ m2

O

Herschrijven van de formule voor f resulteert in: 2

5 -.5 -.7R-.425A.125e(D3A' R ' 1 (B.6) arcsinh(D2AU U 5 -.5 f = D,R' A met .5 -1 [kg s

I

[kg-.125s.55 [ kg- * 5s 'i] D l = 3.2 T ~ ( L / E ) ' ~

1

D2 = .27 q; 3 E .O5 8 -1 ci .55L-.125 D3 = . 3 6 ci E' L 5 -.5

Invullen van numerieke waarden levert:

-4 -2

D I = 3.9, D2= 9.5 10

,

D3= 2.5 10

B.4 B j

Wij veronderstellen dat de gegeneraliseerde coördinaten van de koppe- ling H en hun eerste afgeleiden naar de -tijd bekend zijn. Indien wij de nok in gedachte stil zetten en de nokrol over de nok laten bewe- gen, dan geldt voor de slipsnelheid:

2

AU = u1

-

U = -u2 ( : =

E )

2

waarbij u l , de snelheid van de stil gezette nok, gelijk is aan nul en de snelheid voorstelt van de nokrol t.o.v. de nok in het contact punt langs de raaklijn door dit contact. De snelheid u2 is reeds in appendix A aan de orde geweest. Bij de niet-holonome conditie f geëist dat u (bij zuiver rollen) gelijk aan nul was. Nu in het con- tact slip mag optreden, schrijven wij voor u

werd

2 2

2:

(5)

gegeven zijn in (A.18)-(A.25). Merk op dat waarbij p en p23

sgnf

.E)

positief zal zijn indien de slipsnelheid rechtsdraaiend is (zie figuur B.1).

Ten behoeve van het berekenen van de wrijvingscoëfficient dienen nog de gereduceerde straal R en de gemiddelde snelheid U bekend te zijn. Deze grootheden zullen wij berekenen als functie van de bekende kine- matische grootheden $ en ;.

rn

3

\

\

/

I

I

I

\

/

/

figuur B.1 Definitie van enkele grootheden

Voor de gereduceerde straal R geldt:

R1R2 R =

R2

met R A de straal van de nok in het contactpunt en R2 = RE de (con- stante) straal van de nokrol. De nog onbekende straal RI wordt als volgt bepaald. ~~ ~~ De grootheid q1 vast en niet de fiyüiir B . 1 ) . Ee door : ~~

legt de richting van het middelpunt van de nokrol richting waarin het contactpunt nok/nokrol ligt (zie

wnzdt gegeven

p m i t i e XC' ic: VUE h e t c^nta!A prink 0

C

li

x C = -q2cos(r -

IsAl)

+

Rrsin(a

-

2)

q2sin(n

-

1q,1)

-

Rrcos(a -

2)

T YC =

met a (zie ook A.16 en figuur B.1 en 2):

(E. IO) xa + q2cosb

-

IS,l) 1 T a = - i- arctan(q sin(r - w2 ISll 4 w3: 2 2 IsIl) - Y, 4 (B.11)

Uitgaande van de waarde van q1 wordt allereerst de bijbehorende hoek

8 = û(q,'q2) bepaald waarna R direct volgt (zie appendix A):

1

waarbij B2(8) en B3 in (A.9) vermeld zijn.

figuur B.2 Beschrijving van 01 en u P

Voor de gemiddelde snelheid U van de smeerfilm geldt:

1

u

_{= ~ ' + ~ '2)1 Icontact staat stil}

+

u

I

+ Eu, + u,], I = ;(EU; P (B. 13) I . = --E t u 2 P 5 Inspuitpomp appendix i3 E J S 8 3 - O C ~ - 1 7

waarbij voor u

(zie ook figuur B.2):

de snelheid van het contactpunt t.o.v. de nok, geldt P'

(B. 14)

De grootheden a(9) en Rl(q) zijn reeds In ( B . 1 1 ) en (B.12) berekend.

B . 5 De Partieel afqeleide van f

Ten behoeve van het iteratieve rekenproces is de afgeleide van f naar A nodig. Herschrijven van formule (B.6) voor f als functie van A levert: 5 (€3.19) f = MlA-.5arcsinh(M2A .125e(M3A' 1 ) 5 1 -.7R-.425 M = D R '

1

1 M 2 = D2AU U -.5 M3 = D3R

Voor de partieel afgeleide van f naar A vinden wij tenslotte:

waarbij : -.5 NI = M I F N 3 = ( 1 t N2) 2 .5 125e(M3F' 5 ) N 2 = M2F' N4 = ln(N2 t N3) 6 (B. 20) EJC 83-act-17 Inspuitpomp appendix B

Appendix C: HET HYDRODYNAMISCHE LAGER

C.l Inleidinq

Het draagvermogen en het wrijvingsmoment van het hydrodynamische (HD) lager zal door middel van een energetische verbinding in rekening ge- bracht worden. In deze appendix wordt beschreven hoe m.b.v. het con- stitutieve verband de relevante belastingsgrootheden bepaald kunnen worden als functie van de relevante kinematische grootheden. Daarbij zal gebruik gemaakt worden van een rekenschema met impedantie formu- les welke gelden voor zogenaamde r-lagers met een eindige lengte. Dit rekenschema is ontstaan na overleg met Harry van Leeuwen en is geba- seerd op het werk van Childs, Moes en van Leeuwen [ 1 9 7 6 ] en de toe- voeging van Moes en Bosma [ 1 9 8 1 ] . De toegepaste formules zijn benade- ringsformules en gelden voor modellen met een volledige HD smering.

C.2 Afspraken, notatie, definities en hulpsrootheden

~ ~

Wij veronderstellen dat lichaam B3, i.h.b. de pen, niet roteert, terwijl de oriëntatie van

de globale basis

e".

De nokrol, lichaam B2, zal roteren met een hoek- snelheid

z2.

Deze hoeksnelheidsvector zal evenwijdig aan

G;

gericht zijn. De positie van het middelpunt van de nokrol en de pen leggen wij vast met

t2

en r

.

gelijk gericht is als de oriëntatie van

v)

@

-43

Voor de relevante kinematische grootheden wordt gekozen:

met -+o :2 -93 = e.,e(r - r

1

"O -?2 -?3 €3 E

1

= e e(r

1

- r 1, -+o + 2 +3 "O :2 3: = e a ( r - r 1 E = e e(r

-

r I r z 2 3 2 3 E = n.v.t., 3 o "O -42 E = e w 3 3 1

terwijl voor de relevante belastingsgrootheden geldt:

met

+o +I +o +I =

g0.p

F , = e e X ,

-1

F 2 = e * X , m3 FJ - 2

Ten behoeve van de impedantie formules dienen allereerst een aantal hulpgrootheden berekend te worden [Childs et al., 1 9 7 7 1 . In figuur

C.1 zijn de draagkracht

f r

de excentriciteit

?

en de zuivere buffer- snelheid ('pure-squeeze') vs aangegeven alsmede de richting van deze vectoriële arootheden t.o.v. de qlobale basis e

.

4

+O

figuur C . i Afspraken

Dé grootheden

3,

c

en zijn gedefinieerd middels:

S + + 30 F = [Fl, F2, O]

$";

C = 01 $ ; (C.3) e -L + + + v = c - w * c s S

waarbij de grootheid

ws

gedefinieerd wordt als de gemiddelde hoek- snelheid van het binnen en buiten oppervlak van de film. In ons geval : L zodat : +

( E & )

*

( E

E 1 +O v

= [ E * +

3 2 , € - 3 1 0 1 $ , 2 2 2 S ( C . 5 ) 2

-9 -b

In plaats van c wordt ook gewerkt met een vector 6:

+ d

c = Ca

waabij C de radiale speling is.

C.3 Berekeninrx van impedantie coëfficiënten

Het is gebruikelijk om de componenten F 1 en F2 als functie van dimen- sieloze impedantie coëfficiënten te schrijven. Voor een aantal type lagers zijn deze coëfficiënten als functie van de excentriciteit en de zuivere buffersnelheid te berekenen [Childs et al, 19771. Wij zullen hier de formule van Moes en Bosma [I9811 voor r-lagers met eindige lengte gebruiken.

d d -B

Y In deze formules wordt met de componenten van 6 t.o.v. de e X en e vectoren gewerkt. De hoek tussen e en e wordt gegeven door (zie +O *

1 X figuur C.1): 2E2

-

E

E 2 E 1 4- E 3 E 2 1 3 1 5 = arctan( o (C.7) -9

Voor de componenten x en y van 6 geldt dan:

Voor de impedantie coëfficiënten kan geschreven worden:

w r = 6Y/A1

y _{l/[A4x i- 1 i ( 3 ~ / 4 -1)A3] i A1AS/[A4x t 1 - A3/3]}

met:

3

C.4 Berekenina van de relevante belastinqsqrootheden

Voor Fx en F

en e

,

geldt:

de componenten van de draagkracht in de richtingen

ex

Y'

Y

R 3 r

F = 2rlLVS($

wy

Y ( C . 1 1 )

met Vs =

lif

l i . Merk op dat de componenten F en F onder een hoek tp

t.o.v. de globale basis c l staat. Voor F., en F

S _O X Y

geldt daarom: 2

F = Fxcos(<)

-

F sin(<); F2 = Fxsin(<) i- F c o s ( < ) (C.12)

1 Y Y

Tenslotte dienen wij nog de grootheid F3' het wrijvingsmornent, te be- rekenen. Hiertoe wordt gebruik gemaakt van een vereenvoudigde formule zoals voorgesteld is door Harry van Leeuwen (1'383):

1 2 2 2 5 3 R L

=

--

F (e t - 4uI1 - el -k e2)' o w R

6

(C.13)

F 3 2 y l 2

waarbij de eerste term afkomstig is van de drukstroom en de tweede term afkomstig is van de schuifstroom; Bij het opstellen van deze vergelijking is verondersteld dat de stroming laminiar is, de olie zich als een Newtons medium gedraagt, dat R/C = 1000 a 500

< <

1 en dat er sprake is van een volledige smering zonder cavitatie.

4

Appendix D: NUMERICAL DATA O F THE PUMP 1 B SHAFT: geometry 1 = . 3 I$ = .O3 m = 1.7 massa inertia J = 1.9 1 Y

B +CAM: geometry Rc = .O16

= .o02 hc = .O1

TC

8 , = 118.7O contact b = .O12

B* ROLL: geometry R~ = .o12 Ri = .O06 L = .O135 C = 1/500 m = .O35 2 Y mass inertia J = 3.4 B3 PLUNG: geometry A = 1.1 P b, = .O43 bo = .O71 m, = .I84 mass

E3SPRING: stiffn kg = 2.63

lo4

restlgth l3 = -.O079 T n a n u w n u : INPUT : OIL : m length m average diameter kg app. mass of shaft kgm2 with y the length

m radius basis circle m step height

m small radius angle tangent

m width of EHD contact

m radius outside (EHD) m radius inside (HD) m bearing length m radial clearance kg kgm2 ~

m2 pressure area on top

m from HD to centre M m from M to frame O

kg

N/m main spring m

MOBIL automotive engine oil, type DELVAC 1340

temperature = 90’ C carter temp.

= 1.703 IOm2 Ns/m2

visco

prelvis a = 1.85 m /N pressure/vicos coef shear str ‘ c o = 5 10 6

2 N/m2

‘1,

1